Matemátca Básica Ferretto

ProfessorFerretto ProfessorFerretto
POTÊNCIA DE 10 E NOTAÇÃO CIENTÍFICA

PotÊncia de dez
Quadro comparativo:
... 105 104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 ...
... 100.000 10.000 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 ...
Reescreva os números abaixo utilizando a potência de base 10:

12.000.000.000.000 =
0,0000000000023 =
30.000.000 × 0,000005 =
48.000.000.000
=
2.000.000 × 0,00008
1
Notação Científica
A notação científica é uma forma de escrever números que acomodam valores
demasiadamente grandes ou pequenos. Sua representação numérica é composta de dois
fatores:
1º Número decimal 𝒂, tal que 𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎;

2º Potência de base 10 e expoente inteiro.
𝑥 = 𝑎 ⋅ 10𝑛
Reescreva os números abaixo em notação científica:

365.000.000.000.000 =
0,0000000000001345 =
0,0006 × 1015 =
870.000 × 10−8 =
2
Ordem de grandeza
Se um determinado número em notação científica é representado por 𝒂 ⋅ 𝟏𝟎𝒏 , a ordem
de grandeza desse número é definida assim:
𝑶𝒓𝒅𝒆𝒎 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒛𝒂 = { 10𝑛 𝑠𝑒 𝑎 < √10

10𝑛+1 𝑠𝑒 𝑎 > √10
√10 = 3,1622776601 …
Determine a ordem de grandeza dos números a seguir:

2,45 =
34,5 =
0,002 × 10−5 =
6,02 × 1023 =
3
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Equação do 1º grau, na variável real 𝑥, é toda equação que pode ser expressa
na forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, no qual 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑎 ≠ 0.
a. 𝟐𝒙 − 𝟓 = 𝟎
b. 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟏
𝟑𝒙
c. 𝟏𝟐 − = 𝟐𝒙
𝟒
1
Raiz de uma Equação do primeiro Grau
Raiz de uma equação do primeiro grau é um número que transforma a equação em uma
sentença verdadeira.
𝟑𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎
Soluções de uma Equação do primeiro Grau

Uma equação do primeiro grau pode ter uma única solução, infinitas soluções ou
nenhuma solução no conjunto dos números reais. Veja:
a. 𝟓𝒙 − 𝟖 = 𝟑𝒙 + 𝟔
b. 𝟒 + 𝟐𝒙 = 𝟏𝟎 − 𝟐(𝟑 − 𝒙)
c. 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟒𝒙 + 𝟏
2
Resolver a equação 𝒙[𝟐𝒙 − (𝟑 − 𝒙)] − 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝟎.
𝟑𝒙−𝟐 𝒙
Resolva, em ℝ, a equação − = 𝟑.
𝟐 𝟑
3
Problemas que envolvem a Equação do primeiro Grau
Um motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo, gastou 1/5 da capacidade do
tanque para chegar à cidade A; gastou mais 28 litros para ir da cidade A até a cidade B;
sobrou, no tanque, uma quantidade de combustível que corresponde a 1/3 de sua
capacidade. Qual é a capacidade do tanque desse veículo?
A idade de uma pessoa é o dobro da de outra. Há cinco anos, a soma das idades das duas
pessoas era igual à idade atual da mais velha. Quais são as idades atuais das duas
pessoas?
4
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Vamos relembrar dois métodos para achar as soluções de um

sistema de duas equações e duas incógnitas.
Método da Substituição
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟑
{
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏
Método da Adição
𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏𝟏
{
𝒙 + 𝒚 = −𝟏
1
Numa fazenda existem galinhas e cabras, num total de 40 cabeças e 128 pés.
Determine o número de cabras dessa fazenda.
Há cinco anos a idade de Paulo era o dobro da idade de Amanda. Daqui a cinco anos
a soma das duas idades será de 65 anos. Quantos anos Paulo é mais velho do que
Amanda?
Uma empresa solicitou que seus funcionários entregassem panfletos nas

residências de uma certa cidade. Se cada funcionário entregasse os panfletos em 100
residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram
visitadas e cada funcionário visitou 102, quantas residências possui a cidade?
2
EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 1)
Equação do 2º grau, na variável real 𝑥, é toda equação da forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +

𝑐 = 0, no qual 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, com 𝑎 ≠ 0.
𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎
𝒂= 𝒃= 𝒄=
𝟐
𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝟎
𝟑
𝒂= 𝒃= 𝒄=
𝟑𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎
𝒂= 𝒃= 𝒄=
1
Raiz de uma Equação do segundo Grau
Uma equação do segundo grau possui no máximo duas raízes. Essas raízes podem ser
determinadas através da seguinte fórmula, que é conhecida como fórmula de Bhaskara:
−𝑏 + ∆
𝑥1 =
2𝑎
−𝑏 ± ∆
𝑥=
2𝑎
−𝑏 − ∆ no qual
𝑥2 =
2𝑎
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑥 2 − 9𝑥 + 7 = 0
2
Equações Incompletas
1º Caso: 𝒃 = 𝟎.
𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝟒 = 𝟎
2º Caso: 𝒄 = 𝟎.
𝟒𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎
3
Discriminante ∆
∆ > 𝟎 ⇒ a equação possui duas raízes reais e diferentes
∆ = 𝟎 ⇒ a equação possui duas reais e iguais
∆ < 𝟎 ⇒ a equação não possui raízes reais
𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎
𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎
4
EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 2)

Relação entre os Coeficientes e as Raízes
A equação do 2º grau possui duas importantes relações entre as raízes 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 e os
coeficientes 𝒂, 𝒃 e 𝒄. Essas relações são conhecidas como Soma e Produto ou, também,
Relações de Girard.
Soma: Produto:
−𝒃 𝒄
𝒙𝟏 + 𝒙 𝟐 = 𝒙𝟏 ⋅ 𝒙𝟐 =
𝒂 𝒂
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎.
1
Se 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 são as raízes da equação 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎, determine o valor
𝟓 𝟓
da expressão + .
𝒙𝟏 𝒙𝟐
2
Determinação da Equação do segundo Grau
Se 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 são as raízes de uma equação do 2º grau, então essa equação pode ser escrita
como:
𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2
𝑥 2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
P = 𝑥1 ⋅ 𝑥2
Determine a equação do 2º grau que possui {𝟑, −𝟕} como conjunto solução.
3
Problemas que envolvem a Equação do
segundo Grau
O produto da idade de Pedro pela idade de Augusto é igual a 374. Pedro é 5 anos
mais velho do que Augusto. Quantos anos tem cada um deles?
Um homem caminhou 240 km em uma certa viagem. Se caminhasse mais 4 km

por dia, teria gasto dois dias a menos na viagem. Quantos dias gastou na viagem e
quantos quilômetros andou por dia?
4
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Divisibilidade por
Um número é divisível por 2 se esse número for par, ou seja, se o algarismo
das unidades terminar em 0, 2, 4, 6, ou 8.
Quais dos números abaixo são divisíveis por 2:
234 9830
8537 19834
Divisibilidade por
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for um número
divisível por 3.
234 9830
8537 21654
1
Divisibilidade por
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois últimos
algarismos for também divisível por 4.
234 9860
8537 21648
Divisibilidade por
Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5.
456 8720
7348 96245
Divisibilidade por
Um número é divisível por 6 se ele for divisível por 2 e por 3.
864 8720
2635 95046
2
Divisibilidade por
46067172109
Divisibilidade por
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos
algarismos também for divisível por 8.
548864 87206783
387000 952034680
Divisibilidade por
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos resultar em
um número divisível por 9.
873 840803
8905 78057
3
Divisibilidade por
Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades for 0.
8920 102890
17902 38522
Divisibilidade por
83038180168658
Divisibilidade por
Um número é divisível por 12 se ele for divisível por 3 e 4.
864 7920
2635 84048
4
NÚMEROS PRIMOS
Número primo
Um número natural primo é aquele que possui somente dois divisores

naturais distintos: o número um e ele mesmo.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, ...
Número composto
Um número natural composto é aquele que possui mais de dois divisores

naturais distintos.
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, ...
1
Como identificar um número natural primo
Um número natural é primo se as divisões sucessivas por números primos
resultarem resto diferente de zero até o divisor ser maior ou igual ao quociente.
253
223
2
FATORAÇÃO E DIVISORES DE UM NÚMERO

Fatoração de um número inteiro positivo
O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos
maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo essa
decomposição única, a menos da ordem dos fatores.
Decomponha em fatores primos os seguintes números compostos:

a. 12
b. 90
Regra prática
Decomponha em fatores primos os seguintes números compostos:
a. 180
b. 1470
1
Quantidade de divisores de um número inteiro positivo
Quantos divisores naturais possuem os números abaixo?

a. 20
b. 300
2
Divisores de um número inteiro positivo
Quais são os divisores naturais dos seguintes números?

a. 60
b. 360
3
MÚLTIPLOS E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

Múltiplos de um número inteiro
𝑴(𝟑) =
𝑴(𝟒) =
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais inteiros é o menor

inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente desses números.
MMC – Regra prática
Determine o MMC entre os números 12, 15 e 20.
𝑴(𝟏𝟐) = {𝟏𝟐, 𝟐𝟒, 𝟑𝟔, 𝟒𝟖, 𝟔𝟎, 𝟕𝟐, 𝟖𝟒, 𝟗𝟔, 𝟏𝟎𝟖, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟑𝟐, … }
𝑴(𝟏𝟓) = {𝟏𝟓, 𝟑𝟎, 𝟒𝟓, 𝟔𝟎, 𝟕𝟓, 𝟗𝟎, 𝟏𝟎𝟓, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟑𝟓, … }
𝑴(𝟐𝟎) = {𝟐𝟎, 𝟒𝟎, 𝟔𝟎, 𝟖𝟎, 𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟒𝟎, … }
1
Propriedades que envolvem o MMC
O mínimo múltiplo comum (mmc) entre dois ou mais números primos será
sempre o produto entre eles.
Entre dois ou mais números, se o maior deles é múltiplo dos outros, então
esse maior número é o mmc.
Se os números forem multiplicados/divididos por uma constante 𝑘, então o

mmc entre esses números também será multiplicado/dividido por 𝑘.
Problemas sobre MMC
Uma pessoa dá a volta completa em uma pista circular em 24 minutos enquanto

que outra realiza a mesma volta em 30 minutos. As duas partem juntas e ao mesmo
tempo às 13h30min. A que horas as duas pessoas se encontrarão novamente no ponto
onde partiram e quantas voltas deu cada uma?
2
Em uma sala existem quatro lâmpadas. A primeira acende a cada 27 minutos, a
segunda a cada 45 minutos, a terceira a cada hora e a quarta lâmpada só acende quando
as outras três estiverem acesas ao mesmo tempo. Em um certo momento as quatro
lâmpadas estão acesas. Pergunta: quantas horas após esse momento as quatro lâmpadas
voltarão a estar acesas simultaneamente?
3
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Máximo divisor comum - MDC
O máximo divisor comum (mdc) entre dois ou mais números inteiros é o

maior número inteiro que é divisor de tais números.
Qual é o máximo divisor comum entre os números 12 e 18?
MDC – Regra prática

O máximo divisor comum entre dois ou mais números inteiros pode ser obtido
pelo método da fatoração simultânea de números inteiros.
Calcule o máximo divisor comum nos itens abaixo:

a. 𝒎𝒅𝒄(𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟒𝟎) = b. 𝒎𝒅𝒄(𝟖𝟒, 𝟏𝟔𝟖, 𝟐𝟏𝟎) =
1
Propriedades
O máximo divisor comum (mdc) entre dois ou mais números primos é

sempre igual a 1.
O Se 𝑎 é divisor de 𝑏, então 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑎.
Se os números forem multiplicados/divididos por uma constante 𝑘, então o

mdc entre esses números também será multiplicado/dividido por 𝑘.
Problemas sobre MDC
Três barbantes que medem respectivamente 24 m, 84 m e 90 m foram cortados

em pedaços iguais do maior tamanho possível, sem deixar sobras. Determine o número
de pedaços obtidos e o tamanho de cada um deles.
2
Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos
e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo
um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade
possível. Sabendo que todos os itens foram utilizados, calcule o número total de
pacotinhos feitos.
3
REGRA DE TRÊS SIMPLES

Grandeza
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, contado ou comparado.
Assinale se as grandezas abaixo são diretamente proporcionais (D) ou inversamente

proporcionais (I):
( ) Velocidade e Tempo
( ) Velocidade e Distância
( ) Tempo e Distância
( ) Quantidade de Operários e Tempo
( ) Horas Trabalhadas por dia e Tempo de Realização de um Serviço
( ) Eficiência e Quantidade de Operários
1
Regra de TrÊs Simples
Regra de três simples é uma regra prática para resolver problemas que
envolvam duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Um jardineiro consegue cortar a grama de um gramado, em forma de quadrado

com 120 m de lado, em 15 horas. Quantas horas o mesmo jardineiro levaria para cortar
um gramado de 6000 m² de área?
Um suinocultor tinha ração para alimentar os seus 100 porcos por 30 dias. Se o
consumo diário de ração de cada porco é constante e o suinocultor comprou mais 20
porcos, então a ração irá durar quantos dias?
2
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
É uma regra prática para resolver problemas que envolvam três ou mais
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Numa gráfica existem 3 impressoras off set que funcionam sem parar, 10 horas
por dia, durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado umas das
impressoras e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por
dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes?
1
Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 6 dias para fazer
determinado trabalho, então 3 impressoras (com a mesma eficiência das anteriores)
trabalhando 8 horas por dia levarão quantos dias para fazer o mesmo trabalho?
Vinte e quatro operários fazem 2/5 (dois quintos) de um determinado serviço em

10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-
se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora
por dia?
2
ESCALAS NUMÉRICAS
Exemplo de uma pequena escala: sabendo que no mapa a distância entre São
Paulo e Manaus seja de 8 cm, determine a distância real entre as duas cidades.
1
Exemplo de uma grande escala:
Exemplo de uma escala microscópica: - veja o exemplo de ampliação de 400

vezes.
Um aluno do curso de Engenharia Mecânica recebeu o desenho de uma peça, fez

as devidas medições e, a partir de sua escala, fabricou a peça. Se a largura da peça no
desenho tinha 1,5 mm e a largura da peça já fabricada tinha 45 cm, qual é a escala do
desenho?
2
(Ueg) Analise o desenho.
Tendo em vista que, na planta acima, a quadra A possui uma área de 1800 m2, a escala
numérica da planta é:
a) 1:10000
b) 1:1000
c) 1:100
d) 1:10
3
PORCENTAGEM
Formas de Representação da Porcentagem
Transformação de Taxas
Taxa Taxa
Percentual Unitária
 32% =  0,15 =
 0,43% =  0,081 =
1
Porcentagem de uma quantia
a. Qual é o valor de 30% de R$ 80,00?
b. 60% de quanto dá 27?
c. O valor 24 corresponde a quanto de 150?
Notas
Para calcular 10% ou 1% de um número, basta “andar com a vírgula” uma ou duas
casas para a esquerda.
 10% de 32,8
 1% de 123
2
Aumento de x% de um valor A
a. Aumente em 30% o valor 400.
b. Aumente em 8% o valor 250.
Desconto de x% de um valor A
a. Diminua em 40% o valor 600.
b. Diminua em 15% o valor 360.
3
Aumentos e Descontos Sucessivos
Para compor vários aumentos e/ou descontos basta multiplicar os vários fatores
individuais e obter o fator acumulado.
Uma determinada quantia recebe um aumento de 30%, depois um desconto de

10% e, por último, outro desconto de 20%. . Ao final, a quantia teve um aumento ou
diminuição ao valor original? Qual é a porcentagem?
Problemas que envolvem a Porcentagem
De toda a produção agrícola de uma região no ano passado, 68% foram grãos e,
destes, 75% foi soja. Qual foi o percentual de soja produzida em relação a toda a
produção agrícola da região no ano passado?
4
A quantidade de desempregados de um certo país, em 2001, era de 4.400.000,
correspondendo a 22% da população total. Em 2010, este número aumentou para
5.400.000, correspondendo a 20% da população total. Indique a variação percentual da
população do país no período considerado.
5
MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS SIMPLES

Termos Utilizados
Maria Luísa emprestou R$ 1.000,00 a Roberta por 3 anos. Durante esse período, a
taxa de juros simples aplicada foi de 10%ao ano. Qual é o montante desse empréstimo
ao final de três anos?
De modo geral, podemos dizer que:

Quando um capital C é aplicado durante t unidades de tempo e a taxa i de juros,
por unidade de tempo, incide apenas sobre o capital inicial, os juros j são chamados de
juros simples. Esses juros ao final da aplicação são calculados por:
𝑱=𝑪⋅𝒊⋅𝒕
1
Qual é o juro simples produzido por um capital de R$ 1.200,00 aplicado durante
um ano e meio à taxa de 4% ao mês?
Em quanto tempo se pode duplicar um capital aplicado a juro simples à taxa de

0,1% ao dia?
2
Gráfico dos Juros Simples
Imagine uma taxa de juros simples de 6%ao mês aplicada sobre um capital de
R$ 500,00.
Montante
(R$)
T (meses)
3
MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS COMPOSTOS

Termos Utilizados
Maria Luísa emprestou R$ 1.000,00 a Roberta por 3 anos. Durante esse período, a
taxa de juros compostos aplicada foi de 10% ao ano. Qual é o montante desse
empréstimo ao final de três anos?
Fórmula
Início Juros Montante
1º Período
2º Período
3º Período
1
Determine os juros compostos gerados por uma aplicação de R$ 4.000,00 por
um período de um ano e meio, à taxa de 8%ao mês. Dado: (1,08)18 = 3,99.
Apliquei um capital de R$ 10.000,00 durante 3 anos, a juro composto. A taxa de

juro no primeiro ano foi de 10%, no segundo, 12% e no terceiro, 8%. . Qual foi o
montante acumulado nos 3 anos?
2
Gráfico dos Juros Compostos
Imagine uma taxa de juros compostos de 6%ao mês aplicadas sobre um capital
de R$ 500,00.
3
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
1. definição
Equação irracional é uma equação em que há incógnita sob um ou mais radicais.
Exemplos:
• √𝑥 − 3 = 2
(
• √3𝑥 + 2 = 4
• √2𝑥 + 1 + √2𝑥 − 4 = 8
2. Forma de resolução
Para resolvermos uma equação irracional, devemos transformá-la em outra equação equivalente,
eliminando os radicais. Para isso, basta elevar os dois lados da igualdade a potências convenientes. Ao
final, sempre devemos testar as raízes encontradas na equação original, pois talvez tenhamos raízes
que não satisfaçam a igualdade.
EXEMPLO 1: EXEMPLO 2:
√2𝑥 − 3 = 5 -𝑥 . + 5𝑥 + 1 + 1 = 2𝑥
1
(
√2𝑥 + 1 + √2𝑥 − 4 = 5 √2𝑥 + 1 = 3
√2𝑥 − 3 + √4𝑥 + 1 = 4 (
-4𝑥 . + 9𝑥 + 1 = 𝑥 + 1
2
RAZÃO E PROPORÇÃO (PARTE 1)

Razão
Razão é toda a relação existente entre dois valores de uma mesma grandeza,
𝑎
expressa geralmente “𝑎 para 𝑏“, 𝑎: 𝑏 ou .
𝑏
Quando comparamos duas medidas, dois valores ou até duas grandezas,

estamos determinando uma relação entre dois números que os representam.
a. Um concurso público possui 20.000 candidatos concorrendo a 50 vagas.
b. Em uma sala de aula existem 20 meninas e 15 meninos.
c. Os modelos mais antigos de televisores possuem telas 4:3. Os modelos

widescreen possuem telas 16:9.
1
Proporção
Proporção é igualdade entre duas ou mais razões
Propriedades nas proporções

𝒂 𝒄
a. = ⇒
𝒃 𝒅
𝒂 𝒄
b. = =
𝒃 𝒅
Encontre o valor de 𝑥 na seguinte proporção:

2𝑥 − 4 5
=
8 2
Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de

efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos?
2
RAZÃO E PROPORÇÃO (PARTE 2)

Grandezas diretamente proporcionais
𝑎
As grandezas 𝑎 e 𝑏 são diretamente proporcionais se = 𝑘.
𝑏
Três amigas, Roberta, Beatriz e Andréia, abriram uma loja. Roberta entrou com
R$6.000,00, Beatriz com R$9.000,00 e Andréia com R$12.000,00. No primeiro ano, a loja
teve um lucro de R$540.000,00, que será dividido de forma proporcional aos valores
integralizados por elas na abertura do negócio. Quanto cada uma deverá receber?
1
Grandezas inversamente proporcionais
As grandezas 𝑎 e 𝑏 são inversamente proporcionais se uma delas é

proporcional ao inverso da outra, ou seja, 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑘.
José recebeu um prêmio de R$3.000,00 e irá dividi-lo entre suas três filhas de forma
inversamente proporcional a suas idades. Sabendo que suas filhas têm 20 anos, 15 anos
e 12 anos, determine a quantia que cada uma receberá.
2


CONJUNTOS

Representação
de um Conjunto
Normalmente, usamos letras maiúsculas para nomear os conjuntos e letras
minúsculas para representar seus elementos.
Representação através de chaves

𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}

Representação por diagrama de Venn

A

Representação por propriedade
𝐴 = {𝑥 | 𝑥 𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑃}

1

Subconjunto
Dizer que um conjunto 𝐵 é subconjunto de um conjunto 𝐴, é equivalente a

dizer que, se 𝑥 é elemento de 𝐵, então 𝑥 é elemento de 𝐴.

Em símbolos: 𝑩 ⊂ 𝑨 ⟺ (∀𝒙)(𝒙 ∈ 𝑩 ⇒ 𝒙 ∈ 𝑨)

𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐶 = {4, 5, 6}
2

Operações
União
A união de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, é o conjunto formado pelos elementos

que pertencem ao conjunto 𝐴 ou ao conjunto 𝐵.
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝒐𝒖 𝑥 ∈ 𝐵}
𝐴 = {1, 2, 3, 4}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐶 = {1, 2, 3}
3

Intersecção
A intersecção de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, é o conjunto formado pelos

elementos que pertencem ao conjunto 𝐴 e ao conjunto 𝐵.
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝒆 𝑥 ∈ 𝐵}
𝐴 = {4, 5, 6, 7}
𝐵 = {4, 6, 8}
𝐶 = {8, 9, 10}
4

Diferença
A diferença de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, é o conjunto formado pelos

elementos que pertencem ao conjunto 𝐴 e não pertencem a 𝐵.
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∉ 𝐵}

𝑨 = {𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕}
𝑩 = {𝟒, 𝟔, 𝟖}
𝑪 = {𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎}
Complementar
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos tais que 𝐴 ⊂ 𝐵. Chama-se complementar

de 𝐴 em relação a 𝐵, o conjunto o qual os elementos pertencem a 𝐵 e não
pertencem a 𝐴.
𝐶𝐵𝐴 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑥 ∉ 𝐴 }

𝑨 = {𝟒, 𝟓}
𝑩 = {𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕}
𝑪 = {𝟓, 𝟔, 𝟕}
5

Resolução de Problemas
É importante que saibamos resolver problemas que relacionam as operações
entre conjuntos aprendidas até aqui com a quantidade de elementos desses conjuntos.

Dos 35 alunos de uma classe, 15 falam inglês, 8 falam espanhol e 16 não falam
inglês e nem espanhol. Quantos alunos dessa classe falam as duas línguas?
Em uma pesquisa, 33% dos entrevistados leem o jornal A, 29% leem o jornal B,
22% leem o jornal C, 13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A e C e 6% leem os 3
jornais. Qual é a porcentagem que lê os jornais A e B, mas não lê C?
6
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Exercícios: Conjuntos
Sendo 𝑨 = {𝟏, 𝟐}, 𝑩 = {𝟐 , 𝟑}, 𝑪 = {𝟏 , 𝟑 , 𝟒} e 𝑫 = 13. 𝐴 − 𝐵 =
{𝟏 , 𝟐 , 𝟑 , 𝟒}, classifique em V ou F cada sentença
abaixo: 14. 𝐵 − 𝐴 =
1. 𝐴⊂𝐷 ( )
15. (𝐴 ∪ 𝐶) − 𝐵 =
2. 𝐴⊂𝐵 ( )
3. 𝐵⊂𝐶 ( ) 16. 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) =
4. 𝐷⊃𝐵 ( )
5. 𝐶=𝐷 ( )
6. 𝐴⊄𝐶 ( ) 17. Em uma escola que tem 415 alunos, 221
Dados os conjuntos 𝑨 = {𝒂, 𝒃, 𝒄}, 𝑩 = {𝒄, 𝒅} e 𝑪 = estudam inglês, 163 estudam francês e 52
{𝒄, 𝒆}, determine: estudam ambas as línguas. Quantos alunos
estudam somente inglês ou somente francês?
7. 𝐴 ∪ 𝐵 = Quantos alunos não estudam nenhuma das
duas?
8. 𝐴 ∪ 𝐶 =
9. 𝐵 ∪ 𝐶 =
18. Em certa comunidade há indivíduos de três

Dados os conjuntos 𝑨 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅}, 𝑩 = {𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆} e etnias: branca, preta e amarela. Sabendo que
𝑪 = {𝒄, 𝒆, 𝒇}, descreva: 70 são brancos, 350 são não pretos e 50%
10. 𝐴 ∩ 𝐵 = são amarelos, responda:
11. 𝐴 ∩ 𝐶 = a) Quantos indivíduos tem a comunidade?
12. 𝐵 ∩ 𝐶 =
b) Quantos são os indivíduos amarelos?
Sejam os conjuntos 𝑨 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅}, 𝑩 =

{𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇, 𝒈} e 𝑪 = {𝒃, 𝒅, 𝒆, 𝒈}, determine:
GABARITO: 5. F 11. {𝑐} 17. 280 e 83.

6. V 12. {𝑐, 𝑒} 18. a) 560
1. V 7. {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} 13. {𝑎, 𝑏} b) 280
2. F 8. {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒} 14. {𝑒, 𝑓, 𝑔}
3. F 9. {𝑐, 𝑑, 𝑒} 15. {𝑎, 𝑏}
4. V 10. {𝑏, 𝑐, 𝑑} 16. {𝑎, 𝑏, 𝑐}
1
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Naturais ℕ

O conjunto dos números naturais é representado por:
ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … }
O conjunto dos números naturais não nulos é representado por:
ℕ∗ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … }
Conjunto dos Números Inteiros ℤ

O conjunto dos números inteiros é representado por:
ℤ = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … }

Subconjuntos importantes de ℤ:
ℤ∗ = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … }

ℤ+ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … } = ℕ
ℤ∗+ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … } = ℕ∗
ℤ− = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎}
ℤ∗− = {… , −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏}
Nota
Todo número natural é inteiro, isto é, ℕ ⊂ ℤ.
1
Conjunto dos Números Racionais ℚ
Número racional é aquele que pode ser representado por uma razão entre
dois números inteiros, sendo o denominador não nulo.
𝑎
ℚ = { | 𝑎 ∈ ℤ e 𝑏 ∈ ℤ∗ }
𝑏
Um número racional pode ser:
 Um número inteiro
−𝟏𝟓 𝟖
= =
𝟑 𝟏
 Um número decimal exato

𝟐𝟓 −𝟗
= =
𝟏𝟎 𝟒
 Um número decimal periódico (Dízima Periódica)

𝟏
=
𝟑
−𝟑𝟐𝟒
= −𝟒𝟔, 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕 …
𝟕
Nota
Todo número natural é inteiro e todo número inteiro é racional, isto é, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.
2
Conjunto dos Números Irracionais
Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é
periódica: esses são os números irracionais. Eles não podem ser representados por uma
razão entre dois números inteiros, tal como os números racionais.
√2 = 1,4142136 …
√3 = 1,7320508 …
𝜋 = 3,1415926 …
Nota
Até esse momento, um número é racional ou irracional e ℤ⋂𝐼 = ∅
Conjunto dos Números Reais ℝ

A união entre o conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais resulta no conjunto dos números reais ℝ .
3
Exercícios: Conjuntos numéricos

Assinale V para verdadeiro e F para falso: 9. 0,474747 … ∈ ℚ ( )
1. ℕ ⊂ ℤ ( )
4 11
10. {7 , 3 } ⊂ ℚ ( )
2. ℕ ∪ ℤ− = ℤ ( )
11. 3 ∈ ℝ ( )
3. ℤ+ ∩ ℤ− = ∅ ( )
12. ℕ ⊂ ℝ ( )
4. 0 ∈ ℤ− ( )
13. ℤ ⊂ ℝ ( )
5. ℕ ⊂ ℚ ( )
1
6. ℤ ⊂ ℚ ( ) 14. ∈ℝ−ℚ ( )
2
7. 0 ∈ ℚ ( ) 15. √4 ∈ ℝ − ℚ ( )
8. 517 ∈ ℚ ( ) 3
16. √4 ∈ ℝ − ℚ ( )
GABARITO: 4. V 9. V 14. F
5. V 10. V 15. F
1. V 6. V 11. V 16. V
2. V 7. V 12. V
3. F 8. V 13. V
1
REPRESENTAÇÃO DECIMAL
Representação Decimal Finita
𝟗
=
𝟐
𝟓=
−𝟐, 𝟒𝟕𝟓 =
𝟐𝟑
=
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
1
Representação Decimal Infinita
Um número com representação decimal infinita é chamado de dízima.
 Dízima não periódica

É um número que quando escrito na forma decimal apresenta uma série infinita de
algarismos após a vírgula e, em nenhum momento, se repetem em grupos de um ou
mais algarismos.
𝟐𝟑, 𝟏𝟕𝟖𝟗𝟎𝟑𝟖𝟔𝟐𝟕𝟑𝟗𝟒𝟓 …
−𝟓, 𝟑𝟗𝟎𝟓𝟕𝟐𝟓𝟏𝟖𝟎𝟑𝟗𝟎𝟎𝟏 …
 Dízima periódica
É um número que quando escrito na forma decimal apresenta uma série infinita de
algarismos após a vírgula e, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um
ou mais algarismos.
𝟏
𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 … =
𝟑
𝟐𝟏
𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 … =
𝟗𝟎
𝟔𝟒
𝟐, 𝟕𝟖𝟐𝟔𝟎𝟖𝟔𝟗𝟓𝟔𝟓𝟐𝟏𝟕𝟑𝟗𝟏𝟑𝟎𝟒𝟑𝟒𝟕𝟖𝟐𝟔𝟎𝟖𝟔𝟗𝟔 … =
𝟐𝟑
2
𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 …
𝟓, 𝟑𝟓𝟑𝟓𝟑𝟓 …
𝟔, 𝟑𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏 …
3
𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 …
𝟒, 𝟐𝟔𝟐𝟔𝟐𝟔𝟐𝟔 …
𝟖, 𝟐𝟒𝟑𝟏𝟒𝟑𝟏𝟒𝟑𝟏𝟒𝟑 …
Notas
𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 … = 𝟏?
4
Exercícios: Representação decimal

Coloque na forma de uma fração irredutível os seguintes Calcule o valor de:
números racionais:
11.
1. 0,4 = 0,2 ⋅ 0,7 − 4 ⋅ 0,01
=
0,5 ⋅ 0,2
2. 0,444 … =
3. 0,32 =
4. 0,323232 … =
5. 54,2 =
6. 5,423423423 … =
7. 1,090909 … = 12.
1 1
+
8. 0,077777 … = 0,999 … + 5 3 =
3 1
−
5 15
9. 1,272727 … =
10. 0,625 =
GABARITO: 4. 32/99 9. 14/11

5. 271/5 10. 5/8
1. 2/5 6. 602/111 11. 1
2. 4/9 7. 12/11 12. 2
3. 8/25 8. 7/90
1
INTERVALOS REAIS
A reta real
A cada ponto de uma reta pode-se associar um único número real.
Intervalos reais
Considere 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, no qual 𝒂 < 𝒃. Os intervalos reais são os subconjuntos de
ℝ apresentados a seguir:
Intervalo fechado
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃} = [𝒂, 𝒃]
ℝ
Intervalo aberto
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 < 𝒙 < 𝒃} = ]𝒂, 𝒃[
ℝ
Intervalo fechado à esquerda

{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃} = [𝒂, 𝒃[
ℝ
Intervalo fechado à direita

{𝒙 ∈ ℝ | 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃} = ]𝒂, 𝒃]
ℝ
1
Intervalo ilimitado
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒙 ≥ 𝒂} = [𝒂, +∞[
ℝ
{𝒙 ∈ ℝ | 𝒙 < 𝒂} = ] − ∞, 𝒂[
ℝ
Operações com intervalos

Intervalos são subconjuntos de ℝ, logo é possível fazer operações com eles.
Dados os intervalos 𝑨 = ]𝟒, 𝟖], 𝑩 = [𝟔, 𝟏𝟎], 𝑪 = ] − 𝟑, +∞[ e 𝑫 = ] − ∞, 𝟕],

determinar:
a. 𝑨 ∪ 𝑩
b. 𝑨 ∩ 𝑩
c. 𝑪 − 𝑫
2
Exercícios: Intervalos reais

Determine os seguintes conjuntos: 6.
[1, 2] ∩ [0, 3] ∩ [−1, 4] =
1.
[2, 0] ∩ [1, 3] =
7.
[−1, 3] ∪ [0, 4] =
2.
[2, 0] ∩ ]1, 3[ =
8.
]−2, 1] ∪ ]0, 5[ =
3.
2 4
]−1, [ ∩ ]0, [ =
5 3
9.
[−1, 3] ∪ [3, 5] =
4.
]−∞, 2] ∩ [0, +∞[ =
10.
1 3 1
[− , 0[ ∪ ]− , − ] =
2 2 4
5.
9
[−1, +∞[ ∩ [− , 2[ =
2
GABARITO: 3.
2
]0, [ 7. [−1, 4]
5
8. ]−2, 5[
1. [1, 2] 4. [0, 2]
9. [−1, 5]
2. ]1, 2] 5. [−1, 2[ 3
6. [1,2] 10. ]− , 0[
2
1
PROGRESSÃO ARITMÉTICA – Parte 1

Progressão Aritmética
Progressão Aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada termo, a

partir do segundo, é igual à soma do termo antecedente com uma constante
r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética.
Fórmula do Termo Geral de uma PA
Numa 𝑷𝑨(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , 𝒂𝟒 , … , 𝒂𝒏 , … ) de razão r, temos:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟
1
1. Determinar o 48º termo da 𝑷𝑨(𝟑, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟓, … ).
2. Determine a PA em que o 6º termo é 7 e o 10º termo é 15.
3. Inserir 6 meios aritméticos entre 2 e 16, nessa ordem.
2
Propriedades das Progressões Aritméticas
Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual

à soma dos extremos.
𝑷𝑨(−𝟒, −𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟖, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒)
Em uma PA de três termos, o termo médio é igual à média aritmética entre

os outros dois.
𝑷𝑨(𝟔, 𝟗, 𝟏𝟐)
As medidas dos lados de um triângulo são expressas por 𝒙 + 𝟏, 𝟐𝒙, 𝒙𝟐 − 𝟓 e

estão em PA, nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo.
3
Exercícios: Termo geral de uma PA

1. Calcule o 17° termo da P.A. cujo primeiro 4. Qual é o termo igual a 60 na P.A. em que o 2°
termo é 3 e cuja razão é 5. termo é 24 e a razão é2?
2. Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro 5. Determine a P.A. em que o 6° termo é 7 e o

termo é 8 e o vigésimo é 30. 10° é 15.
3. Obtenha o primeiro termo da P.A. de razão 4

6. Qual é a P.A. em que o 1° termo é 20 e o 9°
cujo 23° termo é 86.
termo é 44?
1
7. Determine a P.A. em que se verificam as 9. Quantos meios aritméticos devem ser
relações: interpolados entre 12 e 34 para que a razão
𝑎12 + 𝑎21 = 302 𝑒 𝑎23 + 𝑎46 = 446 da interpolação seja 1/2?
8. Quantos números ímpares há entre 14 e 192? 10. Intercale 12 meios aritméticos entre 100 e
200.
GABARITO: 4. 𝑎20 9. 43
5. (−3, −1, 1, 3, … ) 10. 𝑟=
100
1. 83 6. (20, 23, 26, … ) 13
2. 𝑟=2 7. (89, 93, 97, … )

3. 𝑎1 = −2 8. 89
2
PROGRESSÃO ARITMÉTICA – Parte 2

PA de Termos
Para agilizar a resolução de certos problemas, convém representar a PA de maneira
genérica. Veja:
 PA de 3 termos: (𝒙 − 𝒓, 𝒙, 𝒙 + 𝒓)
Numa PA decrescente de três termos, a soma desses termos é −6 e o

produto é 64. Determine a PA.
1
Soma dos Termos de uma PA
Somar os números naturais de 1 a 100.
(𝟏 𝟐 𝟑 … 𝟗𝟖 𝟗𝟗 𝟏𝟎𝟎)
Esse raciocínio pode ser generalizado pela seguinte fórmula:
(𝑎1 + 𝑎𝑛 ) ⋅ 𝑛
𝑆𝑛 =
2
Estudos realizados em um município mostraram que o desmatamento do cerrado

cresce assustadoramente. A cada dia são desmatados 4 ℎ𝑎 a mais que a área desmatada
no dia anterior. No primeiro dia de determinado mês foram desmatados 50 ℎ𝑎 nesse
município. Quantos hectares foram desmatados nos 20 primeiros dias desse mês?
2
Exercícios: Soma dos termos de uma PA

1. Calcule a soma dos 25 termos iniciais da P.A. 4. Uma progressão aritmética de 9 termos tem
(1, 7, 13, ...). razão 2 e soma de seus termos igual a 0.
Determine o sexto termo da progressão.
2. Obtenha a soma dos 12 primeiros termos da

P.A. (6, 14, 22, ...).
5. O primeiro termo de uma progressão

aritmética é 10 e a soma dos oito primeiros
termos 60. Determine a razão.
3. Qual é o 23° elemento da P.A. de razão 3 em

que a soma dos 30 termos iniciais é 255?
1
6. A soma dos vinte primeiros termos de uma 8. Quantos termos devem ser somados na P.A. (
progressão aritmética é 15. Calcule a soma 5, 1, 3, ...), a partir do 1° termo, para que a
do sexto termo dessa P.A. com o décimo soma seja 1590?
quinto termo.
9. Determine uma P.A. de 60 termos em que a

soma dos 59 primeiros é 12 e a soma dos 59
últimos é 130.
7. Numa progressão aritmética limitada em que

o 1° termo é 3 e o último 31, a soma de seus
termos é 136. Determine o número de termos
dessa progressão.
10. Qual é a soma dos múltiplos positivos de 5

formados por 3 algarismos?
GABARITO: 3. 𝑎23 = 31 7. n=8 10. 98.550

4. 𝑎6 = 2 8. 30
1. 1.825 5. r=5 −3410
9. 𝑎1 = ; r=2
2. 𝑆12 = 600 6. 𝑎6 + 𝑎15 = −1,5 59
2
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – Parte 1
Progressão Geométrica
Progressão Geométrica (PG) é toda sequência numérica em que cada termo,

a partir do segundo, é igual ao produto do termo antecedente por uma
constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica.
Fórmula do Termo Geral de uma PG
Numa 𝑷𝑮(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , 𝒂𝟒 , … , 𝒂𝒏 , … ) de razão r, temos:
𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞 𝑛−1
1
1. Determinar o 12º termo da 𝑷𝑮(𝟏𝟐𝟖, 𝟔𝟒, 𝟑𝟐, … ).
2. Inserir 5 meios geométricos positivos entre 𝟏 e 𝟔𝟒, nessa ordem.
Propriedades das Progressões Geométricas
Em uma PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é

igual ao produto dos extremos.
𝑷𝑮(−𝟐, 𝟒, −𝟖, 𝟏𝟔, −𝟑𝟐, 𝟔𝟒, −𝟏𝟐𝟖)
2
Em uma PG de três termos, o termo central é igual à média geométrica
entre os outros dois.
𝑷𝑮(𝟑, 𝟗, 𝟐𝟕)
1. Determinar x de modo que a sequência (𝟑, 𝒙 + 𝟐, 𝟑𝒙) seja uma PG crescente.
2. Para dois números positivos 𝒂 e 𝒄, a sequência (𝒂, 𝟒, 𝒄) é PA e a sequência

(𝒄 + 𝟐, 𝟒, 𝒂) é PG. Determine 𝒂 e 𝒄.
3
Exercícios: Termo geral de uma PG

1. Obtenha o 100° termo da P.G. (2, 6, 18, ...) 1 1
4. Se 𝑎1 , 𝑎2 , , , 𝑎5 , 𝑎6 , 𝑎7 , 𝑎8 formam, nessa
4 2
ordem, uma P.G., determine os valores de 𝑎1
e 𝑎8 .
2. Se o oitavo termo de uma progressão

geométrica é 1/2 e a razão é1/2, qual é o
primeiro termo dessa progressão?
5. Determine o número de termos da progressão

(1, 3, 9, ...) compreendidos entre 100 e 1 000.
3. O quinto e o sétimo termos de uma P.G. de

razão positiva valem, respectivamente, 10 e
16. Qual é o sexto termo dessa P.G.?
1
8. Intercale 6 meios geométricos reais entre 640
6. Uma indústria está produzindo atualmente e 5.
100 000 unidades de um certo produto.
Quantas unidades estará produzindo ao final
de 4 anos, sabendo que o aumento anual da
produção é de 10%?
9. Qual é o sexto termo de uma progressão

geométrica, na qual dois meios geométricos
estão inseridos entre 3 e 24, tomados nessa
ordem?
7. Calcule o número de termos da P.G. que tem

razão 1/2 , 1° termo 6 144 e último termo 3.
10. Quantos meios devem ser intercalados entre

78 125 e 128 para obter uma P.G. de razão
2/5?
GABARITO: 4. 𝑎1 =
1
; 𝑎8 = 8 8. q = 1/2
16
5. 2 9. 𝑎6 = −96
1. 𝑎100 = 2 ⋅ 399 10. 6
2. 𝑎1 = 64 6. 146 410
3. 𝑎6 = 4√10 7. n = 12
2
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – Parte 2

PG de Termos
Para agilizar a resolução de certos problemas, convém representar a PG de maneira
genérica. Veja:
𝒙
 PG de 3 termos: ( , 𝒙, 𝒙 ⋅ 𝒒)
𝒒
Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que

a soma do 2º com o 3º termo é 14.
1
Soma dos 𝒏 Termos de uma PG
A soma 𝑺𝒏 dos n primeiros termos de uma 𝑷𝑮(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , 𝒂𝟒 , … , 𝒂𝒏 , … ) de
razão 𝒒 é dada por:
𝑎1 ⋅ (𝑞 𝑛 − 1)
𝑆𝑛 =
𝑞−1
Nos 14 dias de inscrição para um concurso público, o número diário de candidatos

inscritos aumentou em progressão geométrica. No primeiro dia foram feitas 3
inscrições, e no último, 24.576. Quantos candidatos se inscreveram para esse concurso?
2
Soma dos 𝒊𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐𝒔 Termos de uma PG
A soma 𝑺∞ dos infinitos termos de uma 𝑷𝑮(𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , 𝒂𝟒 , … ) de
razão −𝟏 < 𝒒 < 𝟏 é dada por:
𝑎1
𝑆∞ =
1−𝑞
Determine o limite da soma dos termos da progressão geométrica 1/3, 1/9, 1/27, ...
3
Exercícios: Soma dos termos de uma PG

1. Calcule a soma das 10 parcelas iniciais da série 5. A soma de seis elementos em P.G. de razão 2
1 1 1 é 1197. Qual é o 1° termo da P.G.?
1+ + + +⋯.
2 4 8
2. Calcule a soma dos 20 termos iniciais da série  Calcule a soma dos termos das seguintes
1 + 3 + 9 + 27 + ⋯ . sequências:
2 2 2
6. (2, , , ,…)
5 25 125
3. Se 𝑆3 = 21 e 𝑆4 = 45 são, respectivamente,
as somas dos três e quatro primeiros termos
de uma progressão geométrica cujo termo 1
7. (−3, −1, − , − , … )
1
3 9
inicial é 3, determine a soma dos cinco
primeiros termos da progressão.
4. Quantos termos da P.G. (1, 3, 9, 27, ... ) 2 3 4 5

8. Calcule a expressão 1 + + + + + ⋯ .
2 4 8 16
devem ser somados para que a soma dê
3280?
GABARITO: 2. 5. 𝑎1 = 19
320 − 1 6. 5/2
1. 𝑆20 =
7. 9/2
2
1023 3.
𝑆10 = 𝑆5 = 93 8. S=4
512 4. 8
1
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC
Entendimento
A Análise Combinatória é embasada no Princípio Fundamental da Contagem. A seguinte
situação ajudará a compreender esse princípio:
Existem três cidades A, B e C. Há duas rodovias que ligam A e B e três que ligam B
e C. Partindo de A e passando por B, de quantas formas podemos chegar até C?
Se um experimento E pode apresentar n resultados distintos e um

experimento F pode apresentar k resultados distintos, então o número de
resultados distintos que o experimento composto de E e F pode apresentar,
nessa ordem, é dado pelo produto 𝒏 ⋅ 𝒌.
Considerando a situação anterior das cidades e rodovias, imagine que ao chegar

na cidade C, deseja-se ir a uma lanchonete ou a uma sorveteria. Quantas são as
possibilidades, considerando os possíveis trajetos já mencionados?
1
Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os números
𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 e 𝟓?
Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e

coroa?
Cinco atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para

o 𝟏º, 𝟐º e 𝟑º lugares?
Com os algarismos 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 e 7, determine:
a. Quantos números naturais pares de quatro algarismos podem ser formados?
b. Quantos números naturais pares de quatro algarismos distintos podem ser

formados?
2
Uma sala possui 10 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode
estar iluminada por essas lâmpadas?
Calcule a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e 3000 que

podemos representar utilizando somente os algarismos 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕 e 𝟖, de modo que
não figurem algarismos repetidos em um mesmo número.
Uma bandeira é formada por 7 listras, que devem ser pintadas de três cores
diferentes. De quantas maneiras diferentes será possível pintá-la de modo que duas
listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor.
3
Exercícios: Princípio fundamental da contagem

1 Um homem vai a um restaurante disposto a 5 Num concurso com 12 participantes, se
comer um só prato de carne e uma só nenhum puder ganhar mais que um prêmio,
sobremesa. O cardápio oferece oito pratos de quantas maneiras poderão ser distribuídos
distintos de carne e cinco pratos diferentes de um primeiro e um segundo prêmios?
sobremesa. De quantas formas pode o
homem fazer sua refeição?
6 Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5

pares de sapatos. De quantas formas poderá
2 Num banco de automóvel o assento pode ele vestir um terno, uma camisa e um par de
ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 sapatos?
posições, independentemente da posição do
assento. Combinando assento e encosto,
quantas posições diferentes esse banco pode
assumir?
7 Uma prova conta de 20 testes do tipo

verdadeiro ou falso. De quantas formas uma
pessoa poderá responder aos 20 testes?
3 Numa festa existem 80 homens e 90
mulheres. Quantos casais diferentes podem
ser formados?
8 Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras

4 Um edifício tem 8 portas. De quantas formas diferentes essa sala pode ser aberta?
uma pessoa poderá entrar no edifício e sair
por outra diferente da que usou para entrar?
1
9 Quantos números de 3 algarismos (iguais ou 12 Quantos números telefônicos em 7 dígitos
distintos) podemos formar com os dígitos 1, 2, podem ser formados se usarmos os dígitos de
3, 7, 8? 0 a 9?
13 Um homem encontrase na origem de um

sistema cartesiano ortogonal de eixos 𝑂𝑥 𝑒 𝑂𝑦 .
Ele pode dar um passo de cada vez, para
10 Temos um conjunto de 10 nomes e outro de norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias
20 sobrenomes. Quantas pessoas podem ele pode percorrer, se der exatamente 4
receber um nome e um sobrenome, com passos?
esses elementos?
Em um baralho de 52 cartas, cinco são escolhidas

sucessivamente. Quantas são as sequências de
resultados possíveis:
11 Um mágico se apresenta em público vestindo
calça e paletó de cores diferentes. Para que 14 Se a escolha for feita com reposição?
ele possa se apresentar em 24 sessões com
conjuntos diferentes, qual é o número mínimo
de peças (número de paletós mais número de
calças) de que ele precisa?
15 Se a escolha for feita sem reposição?
GABARITO: 5. 132 11. 10

6. 600 12. 10.000.000
1. 40 7. 220 = 1.048.576 formas 13. 16
2. 30 8. 210 − 1 = 1.023 14. 525
3. 7.200 9. 125 15. 311.875.200
4. 56 10. 200
2
FATORIAL
Definição
Com a finalidade de simplificar as operações que envolvem a Análise Combinatória,
vamos definir o símbolo de fatorial.
Seja 𝑛 um número natural, com 𝑛 ≥ 2. Define-se o fatorial de 𝒏,

representado por 𝑛!, por meio da relação:
𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Notas
Por definição, 𝟏! = 𝟏 e 𝟎! = 𝟏. Não existe fatorial de número negativo.
Simplifique as seguintes frações:

9!
a. =
7!
8!
b. =
10!
10!⋅5!
c. =
8!⋅6!
1
Resolva a equação:
(𝒏 + 𝟏)!
= 𝟐𝟎
(𝒏 − 𝟏)!
2
Exercícios: Fatorial
Calcule: Simplifique:
1. 4.
7! 𝑛!
= =
4! (𝑛 − 2)!
2. 5.
3! ⋅ 5! (𝑛 + 1)!
= =
4! ⋅ 6! (𝑛 + 2)!
3. 6.
12! − 13! (𝑛 + 3)! (𝑛 − 1)!
= ⋅ =
12! (𝑛 − 2)! (𝑛 + 2)!
GABARITO: 4. 𝑛2 − 𝑛
5. 1⁄
1. 210 𝑛+2
6. 𝑛2 + 2𝑛 − 3
2. 1/24
3. 12
1
ARRANJOS
Quatro jogadores de futebol concorrem a um dos títulos de 1º e 2º melhor

jogador de um campeonato. De quantas maneiras diferentes esses títulos podem ser
distribuídos?
Dados os 𝑛 elementos distintos do conjunto 𝐼 = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 },

chama-se arranjo simples de 𝑝 elementos de 𝐼 toda sequência formada por
𝑝 elementos distintos de 𝐼 com 𝑝 ≤ 𝑛.
𝑛!
𝐴𝑛,𝑝 =
(𝑛 − 𝑝)!
Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantas são as

possibilidades para os três primeiros lugares?
1
Uma pousada possui 12 quartos e 3 hóspedes desejam passar o final de semana.
Qual é o número de maneiras diferentes com que esses hóspedes podem ser
distribuídos nos quartos de modo que cada quarto seja ocupado por um único hóspede?
Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas

pessoas podem se sentar, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas.
Uma urna A contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna B contém 3

bolas numeradas de 1 a 3. Qual o número de sequências numéricas que
podemos obter se extrairmos, sem reposição, 3 bolas da urna A e, em
seguida, 2 bolas da urna B.
2
Com os algarismos 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 e 𝟔, quantos arranjos desses
algarismos tomados 4 a 4 têm o algarismo 𝟏 antes do 𝟒?
3

Exercícios: Arranjos
1. Em um campeonato de futebol, participam 20 5. De quantas maneiras um técnico de futebol
times. Quantos resultados são possíveis para pode formar um quadro de 11 jogadores,
os três primeiros lugares? escolhidos entre 22, dos quais 3 são goleiros e
só o goleiro tem posição fixa?

2. Em um torneio (de dois turnos) do qual
participam seis times, quantos jogos são 6. Existem duas urnas. A 1º. com 4 bolas
disputados? numeradas de 1 a 4 e a 2º. com 3 bolas
numeradas de 7 a 9. Duas bolas são extraídas

da 1º urna e duas da 2ª urna, sucessivamente
e sem reposição. Quantos números (de 4
algarismos) é possível formar nessas
condições?

3. Uma linha ferroviária tem 16 estações.
Quantos tipos de bilhetes devem ser
impressos, se cada tipo deve assinalar a
estação de partida e de chegada,

respectivamente?
7. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9,

quantos números de 3 algarismos distintos
podemos formar?

4. Designandose seis cidades por A, B, C, D, E e
F, determine o número de maneiras que

permitem a ida de A até F, passando por
todas as demais cidades. 8. Quantos números pares de 3 algarismos
distintos podemos formar com os algarismos

1, 3, 6, 7, 8, 9?

1

12. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos
números pares de 3 algarismos distintos
9. Há placas de automóveis que são formadas
podemos formar?
por duas letras seguidas de 4 algarismos.
Quantas placas podem ser formadas com
letras A e B e os algarismos pares, sem repetir

nenhum algarismos?

13. Com dígitos 2, 5, 6, 7, quantos números

formados por 3 dígitos, distintos ou não, são
10. Com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, divisíveis por 5?
quantos números com algarismos distintos

existem entre 500 e 1.000?

14. Qual é o total de números múltiplos de 4, com

quatro algarismos distintos, que podem ser
11. Com os algarismos 1, 2, 3, ...,9, quantos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
números de quatro algarismos existem, em

que pelo menos dois algarismos são iguais?

GABARITO: 4. 24 9. 480
5. 3 ⋅ 𝐴19,10 10. 280
1. 6.840 6. 72 11. 3.537
2. 30 7. 504 12. 60
3. 240 8. 40 13. 16
2

14. 96
3

PERMUTAÇÕES
Permutações Simples
De quantas maneiras 5 pessoas podem ficar em fila indiana?
Definição de Permutação Simples
Dados os 𝑛 elementos distintos do conjunto 𝐼 = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 }, chama-

se permutação simples dos 𝑛 elementos de 𝐼 todo arranjo simples desses 𝑛
elementos tomados 𝑛 a 𝑛.
𝑃𝑛 = 𝑛!
Dez livros diferentes, 3 de ficção e outros 7 diversos, devem ser colocados lado a
lado em uma estante. Em quantas sequências diferentes esses livros podem ser dispostos
de modo que os de ficção fiquem juntos?
1
De quantas formas 6 pessoas podem se sentar numa fileira de 6 cadeiras se duas
delas, Arnaldo e Samuel, se recusam a sentar um ao lado do outro?
Com relação à palavra ESCOLA:
a. Quantos anagramas existem?
b. Quantos anagramas começam com E?
c. Quantos anagramas começam com vogal?
d. Quantos anagramas têm as vogais juntas?
2
Permutações com Repetição
Quantos anagramas podemos formar com a palavra ABA?
Fórmula da Permutação com Repetição
𝑛!
𝑃𝑛𝑎,𝑏,𝑐,… =
𝑎! ⋅ 𝑏! ⋅ 𝑐! ⋅ …
Em relação à palavra NATALINA:
a. Quantos anagramas existem?
b. Quantos anagramas começam com a letra A?
c. Quantos anagramas têm as vogais juntas?
3

Exercícios: Permutação
Com relação à palavra TEORIA: 7 Quantas palavras distintas podemos formar
com a palavra PERNAMBUCO? Quantas com a
1 Quantas anagramas existem?
sílaba PER?

2 Quantos anagramas começam pela letra T?
8 Quantos anagramas da palavra PASTEL
começam e terminam com consoante?

3 Quantos anagramas começam por T e
terminam com A?
9 Calcule o número de anagramas da palavra

REPÚBLICA, nos quais vogais se mantêm nas
respectivas posições?

4 Quantos anagramas começam por vogal?

10 Dez pessoas, entre elas Antônio e Beatriz,
5 Quantos anagramas tem vogais juntas? devem ficar em fila. De quantas formas isso
pode ser feito se Antônio e Beatriz devem
ficar sempre juntos?

6 Quantos anagramas da palavra FILTRO
começam por consoantes?
11 Temos 5 meninos e 5 meninas. De quantas
formas eles podem ficar em fila se meninos e
meninas ficam em posições alternadas?

GABARITO: 4. 480 9. 120
5. 144 10. 2 ⋅ 9!
1. 720 6. 480 11. 28.800
2. 120 7. 10! e 8!
3. 24 8. 288
1

COMBINAÇÕES
Na aula anterior estudamos os Arranjos, que são agrupamentos no qual a ordem
dos elementos altera a formação. Estudaremos agora a Combinação, no qual a ordem
dos elementos é desconsiderada.
Em uma empresa, três funcionários serão escolhidos como representantes do

sindicato de trabalhadores. Sabendo que apenas quatro funcionários se candidataram,
quantas são as possibilidades de escolha para a formação desse sindicato?
Dados os 𝑛 elementos distintos do conjunto 𝐼 = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 },

chama-se combinação simples de 𝑝 elementos de 𝐼 todo subconjunto
formado por 𝑝 elementos distintos de 𝐼 com 𝑝 ≤ 𝑛.
𝑛!
𝐶𝑛,𝑝 =
(𝑛 − 𝑝)! 𝑝!
1
como diferenciar Arranjo de Combinação
Em um problema de análise combinatória devemos, antes de tudo, verificar se os
agrupamentos em questão são arranjos, permutações ou combinações. No caso da
permutação, todos os elementos do grupo serão utilizados na formação das
possibilidades.
E como diferenciar um caso de arranjo ou um de combinação?
1º Forme um dos grupos sugeridos pelo problema;
2º Altere a ordem dessa formação;
3º Faça a seguinte análise:
 Se a alteração obteve um agrupamento diferente do original, é ARRANJO;
 Se a alteração obteve um agrupamento igual ao original, é COMBINAÇÃO.
Uma prova consta de 10 questões, das quais o aluno deve escolher apenas 6 para
responder. De quantas formas ele poderá escolher as 6 questões?
De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem

reposição. Qual é o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem
das cartas extraídas?
2
No exemplo anterior, quantas são as possibilidades de escolha de modo que em
cada possibilidade haja pelo menos um rei?
Em um encontro de amigos, cada pessoa cumprimentou todas as outras,

havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia no encontro?
Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá

associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não poderão estar juntas
porque produzem uma mistura explosiva?
Uma organização dispõe de 10 economistas e 10 engenheiros. Quantas comissões

de cinco pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha 3 economistas
e 2 engenheiros?
3
4
Exercícios: Combinação
1 Existem 10 jogadores de futebol de salão, 6 De um grupo de 10 pessoas desejase formar
entre eles João, que por sinal é o único que uma comissão com 5 membros. De quantas
joga como goleiro. Nessas condições, quantos formas isso pode ser feito, se duas pessoas (A
times de 5 pessoas podem ser escalados? e B) ou fazem parte da comissão, ou não?
Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 7 Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes.
matemáticos. De quantas formas podemos formar Quantas comissões de 5 pessoas podem ser
comissões de 10 pessoas de modo que: formadas, contendo no mínimo um diretor?
2 Nenhum membro seja matemático?
8 Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4

3 Todos os matemáticos participem da será selecionado para uma excursão. De
comissão? quantas maneiras o grupo poderá ser
formado se dois dos dez são marido e mulher
e só irão juntos?
4 Haja exatamente um matemático na

comissão. Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas
formas:
9 Podemos formar uma comissão de 3 pessoas?
5 Pelo menos um membro da comissão seja

matemático? 10 Podemos formar uma comissão de 3 pessoas
de modo que haja 2 homens e uma mulher,
na mesma?
1
11 Um lote contém 50 peças boas e 10 15 Querse criar uma comissão constituída de um
defeituosas. Extraindose 8 peças (sem presidente e mais 3 membros. Sabendo que
reposição), não levando em conta a ordem as escolhas devem ser feitas dentre um grupo
das mesmas, de quantas formas podemos de 8 pessoas, quantas comissões diferentes
obter 4 peças boas e 4 defeituosas? podem ser formadas com essa estrutura?
12 Em uma urna existem 12 bolas, das quais 7 16 Existem 5 pontos, entre os quais não existem
são pretas e 5 brancas. De quantos modos 3 colineares. Quantas retas eles determinam?
podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 são
brancas?
17 Num plano existem 20 pontos, dos quais 3

13 Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. nunca são colineares, exceto 6 que estão
De quantos modos é possível tirar 7 bolas, das sobre uma mesma reta. Encontre o número
quais pelo menos 4 sejam pretas? de retas que esses pontos determinam.
18 São dadas 2 retas paralelas. Marcamse 10

14 Em um congresso há 30 professores de pontos distintos sobre uma e 8 pontos
Matemática e 12 de Física. Quantas comissões distintos sobre a outra. Quantos triângulos
poderíamos organizar compostas de 3 podemos formar ligando 3 quaisquer desses
professores de Matemática e 2 de Física? 18 pontos?
GABARITO: 6. 112 13. 2080

7. 55 14. 267 960
1. ∁ 49 = 126 8. ∁ 48 + ∁ 28 = 98 15. 280
2. ∁ 10
15 9. 165 16. 10
2
3. 5
∁ 15 10. 60 17. ∁ 20 − ∁ 26 + 1
4 4 3 3
4. 9
5 ⋅ ∁ 15 11. ∁ 50 ⋅ ∁ 10 18. ∁ 18 − ∁ 10 − ∁ 38
5. ∁ 10
20
− ∁ 10
15
12. ∁ 25 ⋅ ∁ 47 = 350
2
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Quando elementos são dispostos ao redor de um círculo, a cada disposição

possível chamamos de permutação circular.
Podemos calcular o número de permutações circulares de 𝒏(𝒏 ≥ 𝟑) elementos, da

seguinte forma:
De quantas formas 6 crianças podem formar uma roda?
1

ÂNGULOS
Definição
É a região compreendida entre duas semirretas de mesma origem.
Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, com origem no
vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes.
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.
CLASSIFICAÇÃO
Ângulo reto Ângulo agudo Ângulo obtuso
EXEMPLO 1:
Se OP é bissetriz de 𝐴Ô𝐵, determine x na figura abaixo.
B
P
2
x + 30° A
O
1

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS

1. Grau (°)
EXEMPLO 2:
Se OP é bissetriz de 𝐴Ô𝐵, determine x na figura abaixo.
Faça as operações com os ângulos abaixo:
a. 32°28′ 36′′ + 17°44′ 48′′ =

b. 20°16′ 14′′ − 10°44′ 48′′ =
2. Radiano (rad)
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90°.
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180°
EXEMPLO 3:
Um ângulo excede o seu complemento em 48°. Determine o suplemento desse
ângulo.
2

Exercícios: Exercícios de ângulos

5. Calcule um ângulo, sabendo que um quarto
1. Determine a soma:
do seu suplemento vale 36°.
10°30′ 45′′ + 15°29′ 20′′ =
6. Qual é o ângulo que excede o seu

2. Determine a diferença: complemento em 76°?
20°50′ 45′′ − 5°45′ 30′′ =
7. Dois Ângulos estão na relação 4/9. Sendo 130°

sua soma, determine o complemento do
menor.
3. Determine o produto:
2 ⋅ (10°35′ 45′′ ) =
4. Dê a medida do ângulo que vale o dobro do 8. Determine dois ângulos suplementares,

seu complemento. sabendo que um deles é o triplo do outro.
GABARITO: 3. 21°11’30’’ 7. 50°

4. 60° 8. 135° e 45°
1. 26°5’’ 5. 36°
2. 15°5’15’’ 6. 83°
1

POLÍGONOS
1. Classificação
Polígono Convexo Polígono Côncavo
2. Nomenclatura
De acordo com o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais:
n=3 Triângulo ou trilátero 3 lados
n=4 Quadrilátero 4 lados
n=5 Pentágono 5 lados
n=6 Hexágono 6 lados
n=7 Heptágono 7 lados
n=8 Octógono 8 lados
n=9 Eneágono 9 lados
n = 10 Decágono 10 lados
n = 11 Undecágono 11 lados
n = 12 Dodecágono 12 lados
n = 20 Icoságono 20 lados
3. Elementos
1

4. Número de diagonais
O número de diagonais 𝑑 de um polígono de 𝑛 lados 𝑛 ≥ 3 é dado por:
EXEMPLO 1:
Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.
5. Soma dos ângulos

 Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada por:
 Soma dos ângulos externos

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é dada por:
EXEMPLO 2:
Determine o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais
multiplicado por 180°.
2

6. Polígono regular
Polígono Equilátero Polígono Equiângulo
Polígono Regular
Um polígono é regular se possuir todos os lados congruentes e todos os

ângulos congruentes.
EXEMPLO 3:

O ângulo externo de um polígono regular é igual à metade do seu ângulo

interno. Determine o número de diagonais desse polígono.
Anotações:
3

Exercícios: Polígonos
Determine o valor de X em cada caso: 4. Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos
vale 1800°?
1. x
60° 2x
2.
105° 5. Calcule o número de diagonais de um decágono.
105°
x
x x
6. Quantas diagonais podemos traçar, partindo de

3. Calcule a soma dos ângulos internos de um um vértice de um polígono convexo de 20 lados?
eneágono.
1
7. Determine o número de diagonais de um polígono 9. A soma dos ângulos internos com a dos ângulos
regular convexo cujo ângulo externo vale 24º. externos de um polígono regular vale 1800°.
Determine o número de diagonais do polígono.
8. A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo 10. Um polígono regular tem 170 diagonais. Quantas
de um polígono regular é 9. Determine o número passam pelo centro?
de lados do polígono.
GABARITO:
1. 70°
2. 110°
3. 1260°
4. Dodecágono
5. 35
6. 17
7. 90
8. 20
9. 35
10. 10
2
POLÍGONOS REGULARES
Introdução
Polígono é uma figura plana com lados, no qual o número de lados é igual ao
número de ângulos.
Soma dos Ângulos Internos
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela seguinte

fórmula:
𝑆𝑖 = 180° ⋅ (𝑛 − 2)
Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado

por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno
e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o
ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, determine a
medida do ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa.
1
Polígono Regular
Um polígono convexo é regular se possuir todos os lados congruentes e

todos os ângulos internos congruentes.
Em um pentágono regular, determine a medida do seu ângulo interno e a

medida do seu “ângulo cêntrico”.
2
Apótema
Apótema de um polígono regular é o segmento com uma extremidade no

centro e a outra no ponto médio de um lado.
Nota
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma circunferência.
Pentágono Regular inscrito Pentágono Regular circunscrito

em uma circunferência a uma circunferência
3

TRIÂNGULOS
Propriedades
P1. Soma dos Ângulos Internos

P2. Ao maior ângulo opõe-se o maior lado
a
60 50

b c

P3. Desigualdade Triangular
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.

a
b

c
1

Dois lados de um triângulo medem 8 cm e 21 cm. Quanto poderá medir o terceiro

lado, sabendo que é múltiplo de 6?

Área de um Triângulo

(UERJ) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede
40 cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos
nessa placa nas direções AE e AC, de modo que 𝐷𝐴̂𝐸 = 45° e 𝐵𝐴̂𝐶 = 30°,
conforme ilustrado a seguir.
A B

D E C
Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois
esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que √3 =
1,7, determine a área do triângulo CAE, em cm2.
2

Exercícios: Triângulos
1. Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 4. Determine o intervalo de variação 𝑥, sabendo
100 m e a base mede 40 m, quanto mede que os lados de um triângulo são expressos
cada um dos outros lados? por 𝑥 + 10, 2𝑥 + 4 𝑒 20 − 2𝑥.
2. Com segmentos de 8 cm, 5 cm e 18 cm pode

se construir um triângulo? Por quê?
Determine a área dos triângulos nos casos abaixo,

sendo o metro a unidade das medidas indicadas.
5.
3. Dois lados, AB e BC, de um triângulo ABC

medem respectivamente 8 cm e 21 cm. 6
Quanto poderá medir o terceiro lado,
sabendo que é múltiplo de 6?
1
6.
2 7. Determine a área de um triângulo isósceles de

perímetro 36 m se a altura relativa à base
mede 12m.
5
6
GABARITO: 4.
6
<𝑥<
26
5 3
1. 30 m e 30 m 5. 15𝑚2
2. Não, |8 − 5| < 18 < 8 + 5 é falso. 6. 21𝑚2
3. 18 cm ou 24 cm 7. 60𝑚2
2

TRIÂNGULOS
Elementos
Classificação
1. Classificação quanto aos lados
Equilátero Isósceles Escaleno
2. Classificação quanto aos ângulos
Retângulo Acutângulo Obtusângulo
1

EXEMPLO 1:
Classifique o triângulo que possui os seguintes lados: 9 cm, 7 cm e 6 cm.
Propriedades
P1. Soma dos ângulos internos
P2. Soma dos ângulos externos
P3. Teorema do ângulo externo
2

P4. Ao maior lado opõe-se o maior ângulo
P5. Desigualdade triangular
EXEMPLO 2:
Dois lados de um triângulo medem 7 cm e 18 cm. Quanto poderá medir o terceiro
lado, sabendo que é múltiplo de 9?
Anotações:
3

Exercícios: Triângulos
̅̅̅̅ ,
1. Se o Triângulo ABC é isósceles de base 𝐵𝐶 3. Determine x e y, sabendo que o triângulo ABC é
determine X. equilátero.
AB = 2x – 7 AC = x + 5 A
A
2x + 1 3x – 3
B y C
B C
4. Se o perímetro de um triângulo equilátero é de

75 cm, quanto mede cada lado?
̅̅̅̅ ,
2. Se o Triângulo ABC é isósceles de base 𝐵𝐶
determine x e y.
2x – 40° x + 45°
y
5. Se dois lados de um triângulo isósceles medem
B C
38 cm e 14 cm, qual poderá ser a medida do
terceiro lado?
GABARITO:
1. 12
2. 𝑥 = 85, 𝑦 = 50°
3. 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 9
4. 25 cm
5. 38 cm
1

PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
Baricentro - Medianas
O ponto de interseção das três medianas de um triângulo é o baricentro do triângulo.
Nota: O baricentro é o centro de gravidade do triângulo.
EXEMPLO 1:
Os segmentos AB, BC, AC e CD medem, cada um, 3 cm. Sabendo que E é o ponto médio do lado
AB, determine CF.
1

Incentro - Bissetrizes
O ponto de interseção das três bissetrizes de um triângulo é o encentro do triângulo.

Nota: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Teorema da bissetriz interna de um triângulo

Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais
aos lados adjacentes.
EXEMPLO 2:
Sabendo que AB é uma bissetriz, determine o valor de x.
A
8 10
x
B
12
2

Circuncentro - Mediatrizes
O ponto de interseção das três mediatrizes de um triângulo é o circuncentro do triângulo.
Nota: O circuncentro é centro da circunferência circunscrita no triângulo.
Ortocentro - Alturas
O ponto de interseção de três alturas de um triângulo é o ortocentro do triângulo.
3

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Introdução
Dois triângulos serão semelhantes se possuírem os três ângulos congruentes

e os lados homólogos proporcionais.
Determine os valores de a e b nas figuras abaixo:
3 5
b 7
a
1
Teorema Fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros

dois lados em dois pontos distintos, então o triângulo que ele determina é
semelhante ao primeiro.
b c
(FUVEST) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre o chão plano,
mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede
0,6m. Determine a altura do poste.
2
Notas
Com base na semelhança de triângulos, se a razão de semelhança é k, então:

 A razão entre os lados homólogos é k;
 A razão entre os perímetros é k;
 A razão entre as alturas homólogas é k;
....
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em

forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do
exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um
holofote, conforme mostra a figura abaixo. Sendo assim, determine o raio aproximado
do disco-voador, em m.
3
Razão entre Áreas de dois Triângulos Semelhantes
Dois A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao

quadrado da razão de semelhança.
4
Exercícios: Semelhança de triângulos

1. Os triângulos ABC e PQR são semelhantes.
3. Os três lados de um triângulo ABC medem 8
Determine x e y.
cm, 18 cm e 16 cm. Determine os lados de um
Q
10 triângulo A’B’C’ semelhante a ABC, sabendo
A 8
que a razão de semelhança do primeiro para o
R
y segundo é igual a 3.
28 P
x
C
B 20
̅̅̅̅ , determine x nos casos:

̅̅̅̅ é paralelo a 𝐵𝐶
Se 𝐷𝐸
4. A
D E
8
3
2. Se o triângulo KLM é semelhante ao triângulo B x C

FGH, determine x.
K
F
18
12
5. X = AD
L 42 M G x H E
C
36
27
A
D 10 B
1
6. O perímetro de um triângulo é 60 m e um dos 10.
lados tem 25 m. Qual o perímetro do
𝛼
triângulo semelhante cujo lado homólogo ao
x
lado dado mede 15 m?
6
4 8
𝛽
2 y
7. Os lados de um triângulo medem 8,4 cm, 15,6

cm e 18 cm. Esse triângulo é semelhante a um
triângulo cujo perímetro mede 35 cm. Calcule
o maior lado do segundo triângulo.
8. Num triângulo ABC os lados medem AB = 4 11. Sendo r e s retas paralelas, determine o valor
cm, BC = 5 cm e AC = 6 cm. Calcule os lados de de x:
um triângulo semelhante a ABC, cujo
perímetro mede 20 cm.
8
12 r
x
21 s
Se 𝛼 = 𝛽, determine x e y em cada caso:
9.
𝛼 12 x 𝛽
8
y
6
8
2
14. As bases de um trapézio ABCD medem 50 cm
e 30 cm e a altura 10 cm. Prolongandose os
12. Dada a figura, determine o valor de x. lados não paralelos, eles se interceptam num
ponto E. Determine a altura 𝐸𝐹̅̅̅̅ do triângulo
ABE e a altura ̅̅̅̅
𝐸𝐺 do triângulo CDE.
10 E
15
x 15
C G D
20
A B
F
15. Num triângulo isósceles de 20 cm de altura e

50/3 cm de base está inscrito um retângulo de
13. Determine a medida do lado do quadrado da 8 cm de altura com base na base do triângulo.
figura abaixo. Calcule a medida da base do retângulo.
GABARITO: 5. 40 11. 6
6. 36 cm 12. 45/4
1. 16; 14 7. 15 cm 13. 12/5
2. 28 8. 20/3 cm; 8 cm; 16/3 14. 15 cm; 25 cm
3. 8/3 cm; 6 cm; 16/3 cm 15. 10 cm
cm 9. 9; 32/3
4. 12 10. 7; 10
3
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Elementos
Hipotenusa:
Catetos:
Altura relativa à hipotenusa:
Projeções dos catetos na hipotenusa:
Relações Métricas
Com base na semelhança de triângulos, podemos deduzir as relações métricas mais
importantes do triângulo retângulo. Veja:
1
Teorema de Pitágoras
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
Uma luminária está presa ao teto por duas cordas perpendiculares, tal como
mostra a figura. Essas cordas medem 50 cm e 120 cm. Determine a distância da luminária
até o teto.
2
Um cabo de aço foi esticado entre as extremidades de duas torres de transmissão.
Sabendo que a torre menor tem 20m de altura, a maior 50 m de altura e que a distância
entre as duas torres é de 40m, determine o comprimento do cabo.
Um restaurante foi representado em sua planta por um retângulo PQRS. Um

arquiteto dividiu sua área em: cozinha (C), área de atendimento ao público (A) e
estacionamento (E), como mostra a figura abaixo.
Sabendo que P, H e R são colineares, que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ mede 12 m,

𝑷𝑯 mede 9 m e que 𝑺𝑯
determine a área total do restaurante, em metros quadrados.
3
Exercícios: Relações métricas no triângulo retângulo

Determine o valor de x em cada caso: 4.
1.
x
x+1
5 4 9
5.
2.
6
x+1 x
12 x
29
6.
3.
x x
6
12 4
8 4
1
7. 11.
6
8 y
3 x
x 12
8.
x 12. Determine a diagonal de um quadrado de
perímetro 20 m.
x
10
13. Determine a diagonal de um retângulo de

perímetro 20 m e base 6 m.
9.
12
6
14. O perímetro de um triângulo isósceles é de 18

x 8
m e a altura relativa à base mede 3 m.
Determine a base.
Determine x e y em cada caso:

10.
8 15. Calcule a altura e as projeções dos catetos
6 y sobre a hipotenusa, no triângulo retângulo de
catetos 12 cm e 16 cm.
x
2
16. Uma escada de 2,5 m de altura está apoiada 19. Dois ciclistas partem de uma mesma cidade
em uma parede e seu pé dista 1,5 m da em direção reta; um em direção leste e outro
parede. Determine a altura que a escada em direção norte. Determine a distância que
atinge na parede, nessas condições. os separa depois de duas horas, sabendo que
a velocidade dos ciclistas é de 30 km/h e 45
km/h, respectivamente.
17. A altura relativa à hipotenusa de um triângulo

retângulo mede 12 m. Se a hipotenusa mede
25 m, calcule os catetos.
Determine a altura de um trapézio de bases 24 cm e

10 cm, sabendo que os lados não paralelos medem
respectivamente 15 cm e 13 cm.
18. Num triângulo ABC, retângulo em A, a altura

relativa à hipotenusa mede 1,2 cm e a
hipotenusa mede 2,5 cm. Sendo m e n,
respectivamente, as projeções do maior e do
𝑚
menor cateto sobre a hipotenusa, calcule .
𝑛
GABARITO: 4. 6 11. 4; 4√3 16. 2m

5. 3 12. 5√2 𝑚 17. 20 m; 15 m
6. 8 13. 2√13 𝑚 18. 16/9
1. 12 7. 9 14. 8m 19. 30√13 𝑘𝑚
2. 20 8. 4 15. 48/5 cm; 36/5 cm; 20. 12 cm
9. 11/4 64/5 cm
3. 2√29
10. 10; 24/5
3
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Triângulo Retângulo
Em relação ao ângulo 𝜶:
• Cateto adjacente:
• Cateto oposto:
Em relação ao ângulo 𝜷:
• Cateto adjacente:
• Cateto oposto:
Razões Trigonométricas
Em um triângulo retângulo, teremos as seguintes razões trigonométricas
1
Dado o triângulo retângulo, calcule:
a. 𝒔𝒆𝒏 𝜶
b. 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝛼
c. 𝒕𝒈 𝜶 5
d. 𝒔𝒆𝒏 𝜷
𝛽
e. 𝐜𝐨𝐬 𝜷
12
f. 𝒕𝒈 𝜷
Razões Trigonométricas de Ângulos Especiais

30° 45° 60°
seno
cosseno
tangente
2
(UEM) Um triângulo retângulo ABC tem cateto AB com medida 30 m e cateto AC
com medida 40 m. Sabe-se que a medida de um dos ângulos agudos 𝜶 é tal que 𝒕𝒈 𝜶 =
𝟑/𝟒. Deseja-se ampliar a área desse triângulo em 30% por meio de um prolongamento
do lado AB, na semirreta de origem A, que passa por B, formando um novo triângulo
̂ 𝑪 mede 𝜷. Nessas condições, assinale o que for correto.
retângulo ADC, cujo ângulo 𝑨𝑫
01) O lado AB deve ser prolongado em 9 m.
02) A área que foi ampliada é de 360 m2.
04) A medida 𝜽 do ângulo formado entre o cateto AB e a hipotenusa BC é maior

que a medida do ângulo 𝜷.
08) A tangente de 𝜷 é 9/2.
16) O seno de 𝜶 é 4/5.
3
Exercícios: Trigonometria no triângulo retângulo

1. Um garoto empina uma pipa com um fio 3. Um barco atravessa um rio e segue numa
esticado de 50 m. Sabendo que o ângulo entre direção que forma com uma das margens um
o fio e o solo é de 30°, calcule a altura que ângulo de 30°. Sabendo que a largura do rio é
está a pipa. de 60 m, calcule a distância percorrida pelo
barco para atravessar o rio.
2. Do alto da torre de uma plataforma de

4. Um caminhão sobe uma rampa inclinada de
petróleo marítima, de 45 m de altura, o
10° em relação ao plano horizontal. Se a
ângulo de depressão em relação a proa de um
rampa tem 30 m de comprimento, a quantos
barco é de 60°. A que distância o barco está
metros o caminhão se eleva, verticalmente,
da plataforma?
após percorrer toda a rampa?
Dados: sin 10° = 0,17; cos 10° =
0,98; tan 10° = 0,18.
1
5. Sendo 𝛼 um ângulo agudo de um triângulo 7. O acesso a um edifício é feito por uma escada
retângulo e cos 𝛼 = 5/13. Calcule sin 𝛼 e de dois degraus, sendo que cada um tem 16
tan 𝛼. cm de altura. Para atender portadores de
necessidades especiais, foi construída uma
rampa. Respeitando a legislação em vigor, a
rampa deve formar, com o solo, um ângulo de
6°, conforme a figura: Dados: sin 6° =
0,10; cos 6° = 0,99
Determine, em metros, a medida c do

comprimento da rampa.
6. Sendo 𝛼 um ângulo agudo de um triângulo

retângulo e tan 𝛼 = 2/3. Calcule sin 𝛼 e
cos 𝛼.
GABARITO: 5. 12/13 e 12/5

2√13 3√13
1. 25 m 6. e
13 13
2. 15√3 𝑚 ou 25,95 𝑚 7. 3,2 m
3. 120 m
4. 5,10 m
2

TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Triângulo Equilátero
Altura Áre
a

Inscrição e Circunscrição

(UECE) Os pontos médios dos lados de um triângulo equilátero cuja medida da

área é 9√3 𝑚2 são ligados dividindo o triângulo em quatro outros triângulos
equiláteros congruentes. Calcule a medida da altura de cada um destes
triângulos menores.
1

Exercícios: Triângulo equilátero

Sendo 6 m o lado de um triângulo equilátero, determine: 4. O apótema do triângulo =
1. A altura do triângulo =
2. O raio R da circunscrita = Dado um triângulo equilátero de 6 cm de altura, calcule:
5. O raio do círculo inscrito =
3. O raio r da inscrita = 6. O lado =
1
10. Determine a área de um triângulo equilátero
7. O apótema = com 6 m de altura.
8. O raio do círculo circunscrito =
11. O apótema de um triângulo equilátero é igual

ao lado de um quadrado de 16 cm² de área.
Determine a área do triângulo.
9. Determine a área de um triângulo equilátero

com 30 m de perímetro.
GABARITO: 4. √3 9. 25√3 m²
5. 2 cm 10. 12√3 m²
1. 3√3
6. 4√3 cm 11. 48√3 cm²
2. 2√3 7. 2 cm
3. √3 8. 4 cm
2

ÁREA DE UM TRIÂNGULO
1. Fórmula Tradicional
Área:
EXEMPLO 1:

Determine a área do triângulo abaixo:
4cm
60°
5 cm
2. Triângulo equilátero
Área:
1

3. Dois lados e o ângulo entre eles
Área:
EXEMPLO 2:
Determine a área do triângulo abaixo:
4cm
120°
4. Através do semiperímetro e o apótema

Apótema: raio da circunferência inscrita.
Semiperímetro:
Área:
5. Em função dos lados

Área:
2

EXEMPLO 3:
Determine o raio da circunferência abaixo:
7 8
9
6. Em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita
Área:
EXEMPLO 4:
Calcule o raio da circunferência circunscrita a um triângulo isósceles de base 6 cm,
tendo outro lado medindo 5 cm.
3

Exercícios: Área de um triângulo

Determine a área do triângulo nos casos abaixo, sendo 4. A razão entre a base e a altura de um triângulo
o metro a unidade das medidas indicadas. é 8/5. Sendo 52 cm a soma da base com a
altura, determine a área do triângulo.
1.
10
30°
12
2.
5. Determine a área de um triângulo isósceles de
6 perímetro igual a 32 cm, sabendo que sua base
135° excede em 2 cm cada um dos lados
8 congruentes.
3. Determine a área de um triângulo retângulo,

sabendo que um dos catetos mede 10 cm e o
ângulo agudo oposto a esse cateto 30°
1
6. Determine a área do triângulo abaixo 8. O apótema de um triângulo equilátero é igual
utilizando 𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐). O ao lado de um quadrado de 16𝑐𝑚2 de área.
metro é a unidade das medidas indicadas. Determine a área do triângulo.
7 8
7. Determine a medida do raio de um círculo

inscrito em um triângulo isósceles de lados 10
cm, 10 cm e 12 cm.
GABARITO:
1. 30 𝑚2
2. 12√2 𝑚2
3. 50√3 𝑚2
4. 320 𝑐𝑚2
5. 48 𝑐𝑚2
6. 10√3 𝑚2
7. 3 𝑐𝑚
8. 48√3 𝑐𝑚²
2

TEOREMA DE TALES

Introdução
Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão

entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra.
Determine o valor de x em cada caso abaixo, considerando que as retas r, s e t

são paralelas:

r
x 2
s x + 4 6
3 4
t x 3
1

Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da
soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto.
Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a
figura.
Considere que
– os pontos A, B, C e D estão alinhados;
– os pontos H, G, F e E estão alinhados;
– os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos entre si;
– 𝐴B = 500 m, 𝐵C = 600 m, 𝐶D = 700 m e 𝐻E = 1980 𝑚.
Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros,

a) 665.
b) 660.
c) 655.
d) 650.
e) 645.
2

Exercícios: Teorema de Tales

Determine o valor de x em cada caso abaixo, sendo r,
s e t retas paralelas.
3.
t
1.
r s x
x 4 r
s 3
6 8
4
t
x
2. Nas figuras, as retas r, s e t são paralelas. Determine

r os valores de x e y.
s 4.
4
r
x
9 4 s
6 t
2x + 3
7
5x – 1 t
1
5. 8. Um feixe de cinco paralelas determina
r
sobre uma transversal quatro
3 5
segmentos que medem,
s respectivamente, 5 cm, 8 cm, 11 cm e
2 x
16 cm. Calcule o comprimento dos
6 y segmentos que esse mesmo feixe
t determina sobre uma outra
transversal, sabendo que o segmento
compreendido entre as paralelas
extremas mede 60 cm.
6. Na figura, ̅̅̅̅̅
𝑀𝑁 é paralela à base 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ do
triângulo ABC. Calcule o valor de x.
A
x 30
9. Três terrenos têm frente para a rua
“A” e para a rua “B”, como na figura.
As divisas laterais são perpendiculares
M N
12
à rua “A”. Qual a medida de frente
10
para a rua “B” de cada lote, sabendo
B C que a frente total para essa rua é 180
m?
40 m 30 m 20 m
Rua “A”
7. Na figura, calcule o valor de x.
18
12
x 16
GABARITO: 4. 25/6 7. 24
5. 10/3; 18/5 8. 15/2; 12; 33/2; 24
1. 3 6. 25 9. 80 m, 60 m, 40 m
2. 15
3. 6
2
QUADRILÁTEROS (Parte 1)
Paralelogramo
Paralelogramo é o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos e

congruentes.
Área
(Upe) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou um

paralelogramo, como mostra a figura abaixo:
Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo mede 4,5 cm, quanto mede a
área desse paralelogramo?
1
Trapézio
Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos entre si.
Área
(Uece) O palco de um teatro tem a forma de um trapézio isósceles cujas

medidas de suas linhas de frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a
medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, calcule, em m2, a medida da área do
palco.
2
Exercícios: Quadriláteros
̅̅̅̅ e
1. Se ABCD é trapézio de bases 𝐴𝐵 3. Calcule os lados de um paralelogramo,
̅̅̅̅
𝐶𝐷 , determine x e y. sabendo que o seu perímetro mede 84 m e
que a soma dos lados menores representa 2/5
𝑥 + 20° y da soma dos lados maiores.
x 𝑦 − 30°
4. A base maior de um trapézio isósceles mede

12 cm e a base menor 8 cm. Calcule o
comprimento dos lados não paralelos,
sabendo que o perímetro é 40 cm.
2. Se ABCD é um paralelogramo e 𝐴̂ = 2𝑥 𝑒 𝐶̂ =
𝑥 + 70°, determine 𝐵̂ .
2𝑥
Determine a área dos polígonos nos casos abaixo,
sendo o metro a unidade das medidas indicadas.
𝑥 + 70°
5. Paralelogramo
5
3
1
6. Trapézio 9. Paralelogramo
6 5
6
30°
10
8
7.
4
10.
5 3
8 10
17
18
8. Paralelogramo
5
11. Trapézio
10
3 4
13 13
20
2
12. As bases de um trapézio isósceles medem,
respectivamente, 4 cm e 12 cm. Determine a 14. As bases de um trapézio retângulo medem 3
área desse trapézio, sabendo que o m e 18 m e o perímetro 46 m. Determine a
semiperímetro do trapézio é igual a 13 cm. área.
13. Uma das bases de um trapézio excede a outra

em 4 cm. Determine as medidas dessas bases, 15. A altura de um trapézio isósceles mede 3√3
sendo 40 cm² a área do trapézio e 5 cm a m, a base maior 14 m e o perímetro 34 m.
altura. Determine a área desse trapézio.
GABARITO:
1. 80°, 105° 7. 18 m² 13. 10 cm; 6 cm

2. 40° 8. 28 m² 14. 84 m²
3. 30 m e 12 m 9. 24 m² 15. 33√3 m²
4. 10 cm 10. 210 m²
5. 18 m² 11. 180 m²
6. 40 m² 12. 24 cm²
3
QUADRILÁTEROS (Parte 2)
Retângulo é o quadrilátero que possui os quatro ângulos congruentes.
Área
(FUVEST) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja lagura é 3/5

do comprimento. A parte sombreada representa um jardim retangular cuja largura é
também3/5 do comprimento. Qual é a razão entre a área do jardim e a área do terreno?
1
Losango
Losango é o quadrilátero que possui os quatro lados congruentes.
Área
O perímetro de um losango é 40 cm e uma diagonal mede 16 cm. Calcule a área

desse losango.
2
Quadrado
Quadrado é o quadrilátero que possui os quatro ângulos e os quatro lados

congruentes.
Diagonal Área
(Uftm) Uma placa retangular, de 60 cm por 40 cm, será inicialmente recortada

ao longo de uma de suas diagonais e, em seguida, ao longo de duas direções paralelas
aos seus lados, de modo a se obter um quadrado, conforme indicado na figura.
Calcule a razão entre as medidas da área do quadrado recortado e da área total

da placa.
3
Exercícios: Quadriláteros
1. Com um arame de 36 m de comprimento 3. Losango
construímos um triângulo equilátero e com o
mesmo arame construímos depois um 5
quadrado. Determine a razão entre o lado do
triângulo e o lado do quadrado. 4
4. Retângulo
17
Determine a área dos polígonos nos casos abaixo,
sendo o metro a unidade das medidas indicadas. 15
2. Losango
5. Retângulo
30°
12
1
9. Um retângulo tem 24 cm² de área e 20 cm de
6. Losango perímetro. Determine suas dimensões.
10. A base de um retângulo é o dobro de sua

altura. Determine suas dimensões, sendo 72
cm² sua área.
7. Losango
120°
24
11. Determine o lado de um quadrado, sabendo

que, se aumentarmos seu lado em 2 cm, sua
área aumenta em 36 cm².
8. A área de um retângulo é 40 cm² e sua base
excede em 6 cm sua altura. Determine a
altura do retângulo.
2
12. Um quadrado e um losango têm o mesmo 14. Um lado de um quadrado é corda de uma
perímetro. Determine a razão entre a área do circunferência e o lado oposto é tangente a
quadrado e do losango, sabendo que as ela. Determine a área do quadrado, sendo 10
diagonais do losango estão entre si como 3/5 m o raio do círculo.
e que a diferença entre elas é igual a 40 cm.
13. Determine a área de um retângulo de 15. Uma diagonal de um losango mede 40 m e a

diagonal 15 m e perímetro 42 m. sua altura 24 m. Determine a área desse
losango.
GABARITO:
1. 4/3 6. 24 m² 11. 8 cm
2. 24 m² 7. 96√3 m² 12. 17/15
3. 40 m² 8. 4 cm 13. 108 m²
4. 120 m² 9. 4 cm; 6 cm 14. 256 m²
5. 48√3 m² 10. 12 cm; 6 cm 15. 600 m²
3
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO (Parte 1)

Elementos
Raio:
Corda:
Arco:
Setor Circular
Segmento Circular
Ângulos na CircunferÊncia e Propriedades

1. Propriedade da Tangente
1
Determine a medida de x, sabendo que os raios das circunferências medem 8cm e 2cm.
2. Propriedade da Secante
2
Em uma circunferência de raio 15 cm, determine o tamanho da corda que se
encontra a 12 cm do seu centro.
3. Segmentos tangentes
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o raio da circunferência

inscrita a esse triângulo mede 1 cm. Calcule o perímetro do triângulo.
3
4. Ângulo Central e Ângulo Inscrito
Ângulo Central:
Ângulo Inscrito:
Propriedade
A circunferência abaixo possui raio medindo 5 cm. Determine x.
x
60°
4
Exercícios: Circunferência
Determine o valor de x em cada caso:
4.
1.
x x+7
3x – 5
70°
5.
2.
5x – 7
2x 140°
2x + 20
6. Encontre o valor de 𝛼:
3.
110° 𝛼
x
25°
1
7. Na figura, o círculo de centro O é inscrito no 9. A distância entre os centros de duas
triângulo ABC. BD = 4, AF = 3 e EC = 5. Qual é circunferências tangentes exteriormente é de
o perímetro do triângulo ABC? 33 cm. Determine seus diâmetros, sabendo
)
A que a razão entre seus raios é .
*
D
F
B E C
10. A distância entre os centros de duas

circunferências tangentes internamente é 5
cm. Se a soma dos raios é 11 cm, determine
8. Na figura, calcule a medida do raio r da
os raios.
circunferência inscrita no triângulo retângulo
ABC, sendo AB = 10 cm, AC = 24 cm e BC = 26
cm.
A C
GABARITO:
1. 35°
2. 35°
3. 70°
4. 6
5. 9
6. 65°
7. 24
8. 4 cm
9. 24 cm e 42 cm
10. 8 cm e 3 cm
2
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO (Parte 2)

Comprimento e Área
Comprimento
Área
Uma pista de atletismo é formada por duas raias cujo percurso é formado por
duas partes retas intercaladas com duas semicircunferências, conforme a figura.
Dois atletas estavam correndo, um na raia I e outro na raia II, quando pararam para
descansar. O atleta da raia II disse que dera 10 voltas na pista e correra mais, pois sua
raia é maior; já, o outro atleta discordou, pois ele acreditava ter dado mais voltas.
Se a semicircunferência tracejada da raia I tem raio igual a 10 metros, a da raia II
tem raio de 12 metros, e as partes retas têm 100 metros de comprimento, então o
número mínimo de voltas que o atleta da raia I deve completar para correr mais que o
outro é
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.
1
(Espm) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e ADE é um quadrante de círculo
de centro D. Se o lado AB e o arco AE têm comprimentos iguais a 𝜋 𝑐𝑚, a medida da
área sombreada, em cm2, é:
a) 4
b) 𝜋
c) 2𝜋
d) 𝜋/2
e) 2
2
Comprimento de um Arco de CircunferÊncia
O comprimento de um arco de circunferência (ℓ) é proporcional à medida

do ângulo central (𝛼).
Área do Setor Circular
(Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia

internamente um setor circular de raio R e ângulo central 𝛼 = 60°.
Determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
3
Exercícios: Circunferência
Determine o comprimento das seguintes 4.
circunferências: A
1.
60°
8m
B
5. Determine a área do círculo e o comprimento

da circunferência:
2.
4m
Determine o comprimento do arco menor 𝐴𝐵̂,

dado o raio de 90 cm e o ângulo central 6. Determina a área do círculo, sabendo que BC
correspondente em cada caso: = 30 m e AM = 25 m:
3. A A
B M C
1
Determine a área da coroa circular em cada caso: 10.
7.
6m 10 𝑚
4m
8. Determine a área da região sombreada em cada caso:

11. Quadrado de lado 8 m.
10 m
Determine a área de cada setor circular sombreado

nos casos abaixo, sendo 6 m o raio. 12. Hexágono regular de lado 6 m.
9.
40°
2
13. Quadrado de lado 8 m. 16. Calcule a área da parte sombreada, sabendo
que o quadrilátero dado é um quadrado.
14. Triângulo equilátero de 6 m de lado.
17. Determine a área da região sombreada.
5 5
5 5
5 5
15. O apótema do triângulo equilátero ABC

inscrito no círculo mede √3 𝑐𝑚. Calcule a área
sombreada.
18. Dê o raio de uma circunferência cujo

comprimento é igual ao de uma
semicircunferência de 5 cm de raio.
3
19. O comprimento de uma circunferência é de 23. As rodas de um automóvel têm 32 cm de raio.
12,56 cm aproximadamente. Calcule o raio. Que distância percorreu o automóvel depois
Adote 𝜋 com duas casas decimais. que cada roda deu 8 000 voltas?
20. Se o raio de uma circunferência aumenta 1 m,

quanto aumenta o comprimento? 24. Um carpinteiro vai construir uma mesa
redonda para acomodar 6 pessoas sentadas
ao seu redor. Determine o diâmetro dessa
mesa para que cada pessoa possa dispor de
um arco de 50 cm na mesa.
21. Duplicando o raio de uma circunferência, o

que ocorre com seu comprimento?
25. Determine a área de um círculo, sabendo que

o comprimento de sua circunferência é igual a
8𝜋 cm.
22. Em quanto aumenta o comprimento de uma
circunferência cujo raio sofreu um aumento
de 50%?
GABARITO: 7. 84𝜋 𝑚2 14. (3√3 − 𝜋) 𝑚² 20. 2𝜋 m

8. 25𝜋 𝑚2 15. 3(4𝜋 − 3√3) 𝑐𝑚² 21. Duplica.
1. 16𝜋 𝑚 9. 4𝜋 𝑚2 4−𝜋 22. 50%
2. 26𝜋 𝑐𝑚 16. 𝑎2
10. 30 𝑚2 4 23. ≅ 16 085 𝑚
3. 45𝜋 𝑐𝑚 11. 8(𝜋 − 2) 𝑚2 17.
25
(2√3 − 𝜋)
2 24. 300/𝜋 cm
4. 30𝜋 𝑐𝑚
12. 3(2𝜋 − 3√3) 𝑚² 18. 5/2 cm 25. 16𝜋 cm
5. 52𝜋 𝑚2 ; 4√13𝜋 𝑚
13. 4(4 − 𝜋) 𝑚2 19. 2 cm
6. 289𝜋 𝑚2
4

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO – PARTE 3
Vamos a mais algumas propriedades importantes de uma circunferência:
1. Quadrilátero circunscrito
Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados
opostos é igual a soma dos outros dois.
Propriedade:
Nota: Para que um quadrilátero seja circunscritível a uma circunferência ele deve
ter a soma de dois lados opostos igual à soma dos outros dois.
EXEMPLO 1:
Determine o perímetro do quadrilátero, circunscrito, da figura abaixo.
x + 1
3x 2x
3x + 1
1

2. Quadrilátero inscrito
Se um quadrilátero é inscrito em uma circunferência, então os ângulos opostos
são suplementares.
Propriedade:
Nota: Para que um quadrilátero seja inscritível em uma circunferência ele deve
ter ângulos opostos suplementares.
EXEMPLO 2:
Determine o ângulo x na figura abaixo.
x
80°
3. Ângulo de segmento
Um ângulo de segmento é metade do ângulo central correspondente.
2

EXEMPLO 3:

x
40°
O
4. Arco capaz
𝛼
EXEMPLO 4:
x 50°
5. Ângulo excêntrico interno
Propriedade:
3

6. Ângulo excêntrico externo

Propriedade:
EXEMPLO 5:
70°
x
20°
4

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO – PARTE 3
Vamos a mais algumas propriedades importantes de uma circunferência:
1. Quadrilátero circunscrito
Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados
opostos é igual a soma dos outros dois.
Propriedade:
Nota: Para que um quadrilátero seja circunscritível a uma circunferência ele deve
ter a soma de dois lados opostos igual à soma dos outros dois.
EXEMPLO 1:
Determine o perímetro do quadrilátero, circunscrito, da figura abaixo.
x + 1
3x 2x
3x + 1
1

2. Quadrilátero inscrito
Se um quadrilátero é inscrito em uma circunferência, então os ângulos opostos
são suplementares.
Propriedade:
Nota: Para que um quadrilátero seja inscritível em uma circunferência ele deve
ter ângulos opostos suplementares.
EXEMPLO 2:
x
80°
3. Ângulo de segmento
Um ângulo de segmento é metade do ângulo central correspondente.
2

EXEMPLO 3:

x
40°
O
4. Arco capaz
𝛼
EXEMPLO 4:
x 50°
5. Ângulo excêntrico interno
Propriedade:
3

6. Ângulo excêntrico externo

Propriedade:
EXEMPLO 5:
70°
x
20°
4

Potência de Ponto
Propriedade
EXEMPLO 1:
Encontre o valor de x:
Parte externa x Total = Parte externa x Total
Propriedade
Propriedade
EXEMPLO 2:
Notas
Exercícios: Potência de Ponto

Em cada caso, determine a incógnita: 4.
1. 3
4 4
5 x
3 8
Determine o raio do círculo em cada caso:
5.
2.
6 10
2
4
8
6.
3.
11 5
8 4
x 4
6 12
2
GABARITO: 3. 4 6. 13
4. 2√10
1. 9
5. 16
2. 4
1
HEXÁGONO REGULAR
Definição
Hexágono regular é o hexágono que possui os ângulos internos e os lados

congruentes entre si.
Área
(Upe) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado

medindo 2 cm e um círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono,
e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono.
Considere: 𝜋 ≅ 3 e √3 ≅ 1,7
1
Inscrição e Circunscrição
Hexágono Hexágono
Inscrito Circunscrito
(Ufsj) Observe a figura abaixo.
Calcule a razão entre a área e o perímetro do hexágono regular inscrito

na circunferência de diâmetro k.
2
Exercícios: Hexágono regular

Lembrando que no hexágono regular as diagonais
maiores passam pelo centro e determinam nele 6
3. O raio r da inscrita;
triângulos equiláteros, sendo 6 m o lado do hexágono,
determine:
R
4. A diagonal menor;
r
1. A diagonal maior;
5. O apótema do hexágono.
2. O raio R da circunscrita;
6. Determine a razão entre as áreas dos círculos

inscrito e circunscrito a um hexágono regular.
GABARITO: 3. 3√3 𝑚
4. 6√3 𝑚
1. 12 m
5. 3√3 𝑚
2. 6m
6. 3/4
1
ESTATÍSTICA – CONCEITOS INICIAIS

População X Amostra
Em uma coleta de dados, o conjunto formado por todos os elementos que

possam oferecer informações chama-se população estatística.
Quando a população estatística é muito grande, seleciona-se um subconjunto

dela, chamado amostra, no qual os dados para a pesquisa são coletados.
APLITUDE DE UMA AMOSTRA NUMÉRICA
A diferença entre o maior e o menor valor de uma amostra chama-se

amplitude da amostra.
R$2,31 R$2,43 R$2,37 R$2,36 R$2,29 R$2,34 R$2,39 R$2,32
Variável Estatística
Variáveis estatísticas são atributos, numéricos ou não, pesquisados em cada elemento de uma
amostra.
 Variáveis qualitativas são aquelas expressas por qualidades não numéricas.

 Variáveis quantitativas são aquelas expressas por números.
 Variáveis quantitativas discretas são aquelas que possuem valores que podem ser
contatos ou enumerados.
 Variáveis quantitativas contínuas são aquelas que formam um intervalo ou união de
números reais.
1
ORGANIZAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE DADOS

Rol
Ao dispor os dados numéricos de uma pesquisa em ordem crescente ou decrescente,
estamos organizando esses dados em uma sequência chamada rol.
32, 45, 37, 49, 30, 45.

Apresentando esses dados em rol, teremos:
Distribuição de Frequência
Para facilitar a análise de dados numéricos de uma amostra, esses dados podem
ser tabelados ou colocados em um gráfico. Para isso, os elementos da amostra são
separados em classes, veja
Notas na prova de matemática de uma sala de aula com 20 alunos: 8, 9, 7, 8, 6, 5, 9, 8, 9,

5, 7, 9, 7, 8, 6, 5, 6, 7, 8 e 7.
Nota dos alunos na prova de Matemática
Classe (nota) Frequência Absoluta Frequência Relativa
1
Altura dos alunos, em m, de uma sala de aula com 20 alunos:
Altura dos alunos em uma sala de aula
Altura (m) Frequência Absoluta Frequência Relativa
1,50 ⊢ 1,60
1,60 ⊢ 1,70
1,70 ⊢ 1,80
1,80 ⊢ 1,90
1,90 ⊢ 2,00
A tabela a seguir refere-se a uma pesquisa sobre “gêneros musicais” mais vendidos em
uma loja de CDs durante um dia. Complete os espaços:
Gênero FA FR
Sertanejo 20
MPB 10%
Rock 15 30%
Pop 10
TOTAL
2
Exercícios: Estatística (dados)

1. Na tabela seguinte, estão representados os 2. A tabela seguinte referese aos resultados de
resultados de um levantamento realizado com uma pesquisa realizada com 400 adolescentes
180 pessoas, na praça de alimentação de um a respeito de seu lazer preferido.
shopping center, sobre seus gastos em uma
refeição. Frequência Frequência Porcentagem
Gastos Número de Lazer absoluta relativa (%)
(em reais) pessoas
Instrumento a 0,06 b
5 ⊢ 10 63 musical
Internet 92 c d
10 ⊢ 15 x + 54
Esporte e f 9
15 ⊢ 20 2x
x Sair à noite 180 g h
20 ⊢ 25
2 Outros i j k
Total 400 1,00 100
a) Qual é o valor de x?
Quais são os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, i, j e k?
b) Que porcentagem do total de entrevistados

gasta de R$ 20,00 a R$ 25,00 por refeição?
c) Que porcentagem do total de entrevistados

gasta menos de R$ 15,00 por refeição?
GABARITO: 1. a) 𝑥 = 18 b) 5% c) 75%
2. a = 24 d = 23 g = 0,45 j = 0,17
b=6 e = 36 h = 45 k = 17
c = 0,23 f = 0,09 i = 68
1
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A representação gráfica de dados estatísticos fornece uma visão de conjunto
mais rápida que a simples observação de dados numéricos em uma tabela. Vamos
estudar agora os principais tipos de gráficos estatísticos.
Gráfico de Linha
Os gráficos de linhas são muito utilizados para mostrar a evolução das
frequências dos valores de uma variável durante certo período. Aparecem
frequentemente na observação de dados ao longo do tempo.
A tabela abaixo mostra a venda de impressoras em uma loja de informática no

primeiro semestre de um determinado ano.
Mês Nº de Impressoras
Janeiro 60
Fevereiro 50
Março 70
Abril 70
Maio 110
Junho 120
1
Gráfico de Barras
Nesse tipo de gráfico, as barras podem estar dispostas verticalmente ou
horizontalmente. Vejamos um exemplo:
Em uma sala de aula com 35 alunos, o número de acertos em uma avaliação

composta por 10 questões é fornecido pela tabela abaixo.
Acertos Nº de
Alunos
5 3
6 5
7 8
8 9
9 6
10 4
2
Gráfico de Setores
Nesse tipo de gráfico, dividimos um círculo em setores, com ângulos de medidas
proporcionais às frequências das classes. Usualmente, esse gráfico apresenta em cada
setor a frequência relativa de cada classe.
Em uma pesquisa eleitoral foram consultados 1000 eleitores sobre as próximas

eleições para a prefeitura de determinada capital. Cada entrevistado respondeu dizendo
em qual candidato votaria ou se o voto seria anulado ou se iria votar em branco. Veja a
tabela de resultados:
FA FR
Candidato A 450
Candidato B 300
Candidato C 150
Nulo 20
Em branco 80
TOTAL 1000 100%
3
Histograma
O histograma é usado na representação de uma distribuição de frequências em
que as classes são intervalos reais. Para classes unitárias, usamos gráficos de linha, de
barras ou de setores, como vimos anteriormente.
Na aula anterior, trabalhamos em uma tabela que mostrava a altura dos alunos,
em m, de uma sala de aula com 20 alunos. Veja:
Altura dos alunos em uma sala de aula

Altura (m) FA
𝟏, 𝟓𝟎 ⊢ 𝟏, 𝟔𝟎 2
𝟏, 𝟔𝟎 ⊢ 𝟏, 𝟕𝟎 5
𝟏, 𝟕𝟎 ⊢ 𝟏, 𝟖𝟎 9
𝟏, 𝟖𝟎 ⊢ 𝟏, 𝟗𝟎 3
𝟏, 𝟗𝟎 ⊢ 𝟐, 𝟎𝟎 1
20
4
Exercícios: Estatística (gráficos)

1. Numa escola, os alunos devem optar por um, 2. O gráfico abaixo ilustra o resultado de uma
e somente um, dos três idiomas: inglês, pesquisa sobre a aprovação da administração
espanhol ou francês. A distribuição da escolha do prefeito de uma cidade um ano após a sua
de 180 alunos está indicada pelo gráfico posse. Sabese que foram ouvidas 480
abaixo. pessoas.
Francês
Espanhol
25%
reprova
75%
Inglês aprova
Sabendo que o ângulo do setor representado

pelos alunos que escolheram inglês é 252° e
que apenas 18 alunos optaram por estudar
a) Quantas pessoas aprovam o prefeito?
francês, determine:
a) A medida do ângulo do setor

correspondente a francês.
b) Quais as medidas dos ângulos dos setores
desse gráfico?
b) O número de alunos que optaram por

c) Suponde que as mulheres representam
espanhol e o ângulo correspondente.
60% entre os que aprovam e 45% entre os
que reprovam, determine a diferença
entre o número de homens que aprovam
e o número de homens que reprovam a
administração daquele prefeito.
1
3. Os resultados de uma pesquisa eleitoral Com base nos gráficos, determine o número de
realizada com 3600 pessoas são dados nos pessoas que são:
gráficos abaixo.
a) Contra a reeleição do presidente.
Você é a favor da reeleição
do presidente?
NÃO
120°
SIM
b) A favor da reeleição do presidente, mas não

votaram nele na eleição passada.
Para os que responderam “sim”, foi feita a pergunta:
Você votou nesse

candidato na eleição passada?
NÃO
288°
SIM
GABARITO:
2. a) 360 3. a) 1200
1. a) 36° b) 270° e 90° b) 480
b) 36 alunos; 72° c) 78
2
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Média Aritmética
A média aritmética é a medida de tendência central mais conhecida e mais usada
no nosso dia a dia.
A média aritmética dos números 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ..., 𝑥𝑛 , é dada por:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +. . . +𝑥𝑛
𝑀𝐴 =
𝑛
(Insper) Para fazer parte do time de basquete de uma escola, é necessário ter,
no mínimo, 11 anos. A média das idades dos cinco jogadores titulares desse time é 13
anos, sendo que o mais velho deles tem 17 anos. Dessa forma, determine a idade
máxima do segundo mais velho do time titular.
1
Média Aritmética Ponderada
É um caso específico de média aritmética.
A média aritmética ponderada dos números 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ..., 𝑥𝑛 , com pesos

𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , ..., 𝑝𝑛 , respectivamente, é dada por:
𝑥1 ⋅ 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 + 𝑥3 𝑝3 +. . . +𝑥𝑛 𝑝𝑛
𝑀𝐴 =
𝑝1 , +𝑝2 + 𝑝3 + . . . + 𝑝𝑛
(Ifsp) Na tabela abaixo constam informações sobre as notas em uma prova de

Matemática de uma turma.
Nota Nº de alunos
5,0 2
6,0 7
7,0 17
8,0 7
9,0 5
10,0 2
Sabendo que todos os alunos dessa turma fizeram a prova e que na tabela todas
as notas estão relacionadas, calcule a nota média dessa prova, para essa turma.
2
Moda
Em estatística, a moda é a medida de tendência central definida como o valor

mais frequente de um grupo de valores observados.
Na sequência de valores abaixo, indique a sua moda.

3, 5, 5, 2, 4, 3, 1, 2, 5, 4, 2, 3, 4, 3, 5, 4 , 1, 2, 3, 2, 3 ,4, 1, 3, 5, 4, 3, 2, 3, 4.
Notas
Uma sequência numérica pode possuir mais de uma moda. Nesse caso teremos uma
sequência multimodal: bimodal, trimodal,... . Caso a sequência não possua nenhum valor
que se repete, ela é chamada de amodal.
3
Mediana
Dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:
 O número que ocupar a posição central, se n for ímpar;

 A média aritmética dos dois números que estiverem no centro, se n for
par.
(Ufsm) O uso de biodiesel gera uma série de efeitos ambientais, tais como a
redução da emissão de gases do efeito estufa e a diminuição da poluição atmosférica. O
gráfico mostra a produção de biodiesel (em milhões de litros) em uma usina, durante o
período de um ano.
De acordo com os dados, determine a média, a mediana e a moda (em milhões

de litros).
4
Exercícios: Medidas de tendência central

Em cada caso, calcule a média aritmética dos valores:
6. Um grupo A de 20 recémnascidos tem “peso”
1. 23 − 20 − 22 − 21 − 28 − 20
médio de 2,8 kg; um grupo B de 30 recém
nascidos tem “peso” médio de 2,6 kg.
Juntando os recémnascidos dos grupos A e B,
qual é o valor esperado para a média de
2. 7 − 9 − 9 − 9 − 7 − 8 − 8 − 9 − 9 − 9 “pesos”?
3. 4,0 − 4,5 − 4,5 − 5,0 − 5,0 − 5,5 − 6,5 − 5,0
4. Em um edifício residencial com 54

7. A média aritmética de um conjunto formado
apartamentos, 36 condôminos pagam taxa de
por vinte números é 12. Qual será a nova
condomínio de R$ 180,00; para os demais,
média se:
essa taxa é de R$ 240,00. Qual é o valor da
a) acrescentarmos o número 33 a esse
taxa média de condomínio nesse edifício.
conjunto?
b) retirarmos o número 50 desse conjunto?
5. A média aritmética entre a, 8, 2a, 9 e a + 1 é

6,8. Qual é o valor de a?
c) acrescentarmos o número 63 a esse conjunto

e retirarmos o 51?
1
8. Em uma fábrica, a média salarial das mulheres Calcule a média (𝑴̅ ), a mediana (𝑴𝒆), e a moda (𝑴𝒐) para
é de R$ 580,00; para os homens a média cada conjunto de valores:
salarial é R$ 720,00. Sabese, também, que a
10. 2 − 2 − 3 − 3 − 3 − 4 − 4 − 4 − 4
média geral de salários nessa fábrica é R$
622,00.
a) Há mais homens ou mulheres trabalhando na
fábrica?
11. 16 − 18 − 18 − 17 − 19 − 18
b) Determine as quantidades de homens e de

mulheres, sabendo que elas diferem de 32.
12. 1 − 5 − 3 − 2 − 4
9. Um professor calculou a média aritmética das

notas dos quarenta alunos que submeteu a
uma prova e obteve como resultado o valor 13. 11 − 8 − 15 − 19 − 6 − 15 − 13 − 21
5,5. Na hora de devolver as provas, ele
verificou que havia cometido erro em duas
delas. Na primeira, a nota correta era 9,5 em
vez de 6,5 e, na segunda, a nota correta era
5,5 em vez de 3,5. Qual era a média aritmética
“verdadeira” das notas?
14. 44 − 43 − 42 − 43 − 45 − 44 − 40 − 41 −
49 − 46
2
15. Os dados ordenados abaixo referemse ao 16. A tabela seguinte informa a quantidade de
tempo de espera (em minutos) de 10 pessoas cartões amarelos distribuídos, por um árbitro,
que foram atendidas em um posto de saúde em uma partida de futebol nos jogos por ele
durante uma manhã: apitados durante uma temporada:
1 − 5 − 8 − 9 − X − 16 − 18 − Y − 23 − 26 Número de 0 1 2 3 4
cartões
Sabendo que o tempo médio de espera foi de Frequência 30 18 7 3 2
14 minutos e o tempo mediano foi de 15 absoluta
minutos, determine os valores de X e de Y.
a) Quantos jogos o árbitro apitou na
temporada?
b) Calcule as três medidas de centralidade

referentes ao número de cartões.
GABARITO:
1. 22,3 8. a) Mulheres 13. ̅ = 13,5; 𝑀𝑒 =

𝑀
2. 8,4 b) 56 mulheres; 24 14; 𝑀𝑜 = 15
3. 5 homens 14. ̅ = 43,7; 𝑀𝑒 =
𝑀
4. R$ 200,00 9. 5,625 43,5; ℎá 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑠: 43 𝑒 44
5. 𝑎=4 10. ̅ = 3,2; 𝑀𝑒 = 3; 𝑀𝑜 =
𝑀 15. 𝑥 = 14 𝑒 𝑦 = 20
6. 2,68 kg 4 16. a) 60 jogos
7. a) 13 11. ̅ = 17,6; 𝑀𝑒 =
𝑀
b) média: 0,82 cartão; mediana: 0,5
b) 10 18; 𝑀𝑜 = 18
12. ̅ = 3; 𝑀𝑒 =
𝑀 cartão; moda: 0 cartão
c) 12,6
3; 𝑛ã𝑜 ℎá 𝑚𝑜𝑑𝑎
3
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Introdução
Muitas vezes as medidas de tendência central não são suficientes para uma
análise conclusiva sobre a variação dos valores em um determinado conjunto. Veja a
seguinte tabela que apresenta as idades de dois grupos de pessoas:
Idades (anos) Média

22, 23, 18, 20, 18, 19, 18, 20, 23, 19 20 anos
36, 3, 37, 5, 4, 35, 3, 2, 37, 38 20 anos
Variância
Chama-se variância a média aritmética entre os quadrados dos desvios dos

elementos de uma amostra, isto é:
(𝑥1 −𝑥̅ )2 +(𝑥2 −𝑥̅ )2 +(𝑥3 −𝑥̅ )2 + ...+(𝑥𝑛 −𝑥̅ )2
𝑉= .
𝑛
𝑂𝑏𝑠.: 𝑥̅ é a média aritmética dos valores.
1
Na seguinte tabela, determine a variância de cada grupo:
Grupo Idades (anos) Média
A 22, 23, 18, 20, 18, 19, 18, 20, 23, 19 20 anos
B 36, 3, 37, 5, 4, 35, 3, 2, 37, 38 20 anos
Desvio Padrão
Não é possível expressar a variância na mesma unidade dos valores da variável, uma vez
que os desvios estão elevados ao quadrado. Por isso, define-se a medida de dispersão
desvio padrão como sendo a raiz quadrada da variância.
𝑫𝑷 = √𝑽
Com os dados do exemplo anterior, determine o desvio padrão de cada grupo.
2
Exercícios: Estatística (medidas de dispersão)

Para cada conjunto de valores, calcule a variância 4. Um grupo de 12 estudantes passou um dia de
(𝜎 2 ) e o desvio padrão (𝜎): verão em um parque aquático. Seus gastos
com alimentação são dados a seguir (valores
1. 3 − 3 − 4 − 4 − 4 − 6 em reais):
12,00 − 8,00 − 15,00 − 10,00

14,00 − 15,00 − 10,00 − 20,00
9,00 − 8,00 − 15,00 − 8,00
Obtenha:
2. 1 − 2 − 3 − 4 − 5
a) a variância dos valores relacionados;
3. 15 − 22 − 18 − 20 − 21 − 23 − 14
b) o desvio padrão dos valores relacionados.
1
5. A quantidade de erros de digitação por página 6. Os salários dos 20 funcionários que trabalham
de uma pesquisa escolar com quarenta em um hotel estão apresentados na tabela
páginas é dada na tabela seguinte: abaixo:
Erro por página 0 1 2 Salários (em reais) Número de funcionários
Número de páginas 28 8 4 350,00 10
480,00 6
Determine:
600,00 4
a) As medidas de centralidade (média,
mediana e moda) correspondentes à a) Calcule a média (x̅ ) e o desvio padrão (𝜎)
quantidade de erros; dos salários.
b) As medidas de dispersão (variância e b) Suponha que sejam contratados cinco

desvio padrão) correspondentes. funcionários, cada um com salário de R$
450,00. O desvio padrão dos 25 salários
será igual, menor ou maior que o
encontrado no item a)?
GABARITO: 5. a) média: 0,4 erro página

mediana: 0 erro página
1. 𝜎 2 = 1; 𝜎 = 1 moda: 0 erro página
2. 𝜎 2 = 2; 𝜎 ≅ 1,41 b) 𝜎 2 ≅ 0,44; 𝜎 ≅ 0,66
3. 𝜎 2 = 10,28; 𝜎 ≅ 3,21
4. a) 13,333...
6. a) x̅ = 439 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠; 𝜎 ≅ 98,20 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
b) 3,65
b) menor
2
INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS
A balança comercial de um país é a diferença entre o valor monetário das exportações e

o das importações, nessa ordem. O gráfico a seguir mostra os valores, em milhões de
dólares, das exportações e das importações do Brasil no período de junho a dezembro
de 2012.
a) Qual foi o maior saldo mensal da balança comercial nesse período?
b) Nesse período, em qual mês a balança comercial foi negativa?
1
O gráfico abaixo apresenta os dados da inflação brasileira de 1995 a 2012, com base no
INPC (índice nacional de preços ao consumidor).
Considerando apenas o intervalo de tempo adotado no gráfico, responda:

a) Em que período, entre dois anos consecutivos, houve a maior queda na taxa de
inflação?
b) Em que período ocorreu o maior aumento na inflação? E a maior queda?
c) Em que ano a taxa de inflação ficou pela primeira vez abaixo de 5% ?
d) Em qual período a taxa de inflação ficou aproximadamente estável, por mais de

um ano?
2
De acordo com os dados sobre o Brasil, disponibilizados pelo gráfico, assinale verdadeiro
ou falso:
( ) Entre 1950 e 1960, a média de filhos por mulher manteve-se estável.
( ) Em meados da década de 1980, as mulheres já tinham, em média, menos de
3 filhos.
( ) As projeções futuras indicam que, em 2020, cada mulher terá apenas um
filho.
( ) A queda mais drástica de fertilidade ocorreu na década de 1960.
( ) Em meio século (1950-2000), a média de filhos por mulher diminuiu 50%. .
3
(Unicamp) Os gráficos a seguir representam a espacialização e proporção da
pobreza e da indigência no Brasil entre 1990 e 2004. Considerando esses
gráficos, assinale a alternativa correta:
a) Comparando as áreas metropolitanas, urbanas e rurais, observa-se que a

melhoria da pobreza (queda na proporção de pobres) no período 1990-2004
foi menos acentuada nas áreas urbanas.
b) Nas áreas rurais, a queda na proporção de indigentes foi mais significativa

do que a de pobres.
c) No período 1995-2004, a proporção de pobres e de indigentes no Brasil se

manteve mais ou menos constante.
4
d) A queda menos acentuada na proporção de indigentes no Brasil, no
período, ocorreu nas áreas urbanas.

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1º Número decimal 𝒂, tal que 𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎;

Reescreva os números abaixo em notação científica:

𝑶𝒓𝒅𝒆𝒎 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒛𝒂 = { 10𝑛 𝑠𝑒 𝑎 < √10

Determine a ordem de grandeza dos números a seguir:

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EQUAÇÃO DO 2º GRAU (Parte 2)

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Quais dos números abaixo são divisíveis por 4:

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Quais dos números abaixo são divisíveis por 6:

Quais dos números abaixo são divisíveis por 8:

Quais dos números abaixo são divisíveis por 9:

Quais dos números abaixo são divisíveis por 10:

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