GEOMETRIA PLANA

TRIÂNGULOS

DEFINIÇÃO c) Escaleno
Apresenta os três lados e ângulos
Triângulo é o polígono que possui três
diferentes.
lados.

CLASSIFICAÇÃO
1. Quanto aos lados
a) equilátero 2. Quanto aos ângulos
Apresenta os três lados e os três ângulos a) Retângulo
respectivamente congruentes.
Apresenta um ângulo reto. Os outros dois
ângulos são agudos e complementares

b) isósceles
    90º

Apresenta dois lados e dois ângulos
respectivamente congruentes. Todo Obs.: O lado oposto ao ângulo reto é
triângulo equilátero é isósceles. chamado hipotenusa e os outros dois,
Em um triângulo isósceles o lado diferente catetos.
(quando existe) é chamado de base, o b) Acutângulo
vértice a ele oposto é o vértice principal e
os ângulos adjacentes à base, chamados de Apresenta os três ângulos agudos.
ângulos de base, são congruentes. Na
figura:
Base: BC .
Vértice principal: A.
c) obtusângulo
Ângulos da base: B , C
Apresenta um ângulo obtuso. Os outros
dois ângulos são agudos.

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CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA O triângulo de lados 5, 12 e 6 não

existe
DE UM TRIÂNGULO
"A medida de cada lado de um triangulo c) Maior valor = 6
deve ser menor que a soma e maior que o 6<6+6
módulo da diferença dos outros dois.” O triângulo de lados 6, 6 e 6 existe e
é equilátero
| b  c | a  b  c
| a  c | b  a  c d) Maior valor = 15
| a  b | c  a  b 15 = 6 + 9
O triângulo de lados 6, 9 e 15 não
existe

2) Determine os valores inteiros de x

para que o triângulo da figura abaixo
Exemplos: exista.
1) Verifique quais triângulos, com lados
dados abaixo, existem.
a) 7, 8 e 13
b) 5, 12 e 6.
c) 6, 6 e 6. Resolução:
d) 6, 9 e 15.
Como neste caso não podemos precisar
qual é o maior lado, já que não sabemos o
Resolução: valor de x, devemos aplicar as duas
condições de existência.
Como conhecemos os valores dos três
supostos lados, basta, ao invés de x  2  8  5


aplicarmos as duas condições, verificar se o x  2  8  5

maior “lado” é estritamente menor do que
a soma dos outros dois. Em caso afirmativo  x  11

o triângulo existe, em caso contrário não 
x  1

existe.
Logo x 2,3,4,5,6 ,7,8,9,10 .
a) Maior valor = 13
13 < 7 + 8
O triângulo de lados 7, 8 e 13 existe

b) Maior valor = 12
12 > 5 + 6

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TEOREMA
ANGULAR DE THALES

“Em todo triângulo, a soma dos ângulos

internos é Igual a 180°."
A  B  C  180º
AH é a altura relativa ao lado BC .

2. MEDIANA
É a ceviana que liga o vértice ao ponto
médio do lado oposto.

CONSEQUÊNCIA DO TEOREMA
ANGULAR DE THALES
"Cada ângulo externo de um triângulo é
igual à soma dos dois ângulos internos não AM é mediana relativa ao lado BC .
adjacentes."
x  A  B
3. BISSETRIZ INTERNA
É a ceviana que divide o ângulo interno em
dois ângulos adjacentes congruentes.

CEVIANA DE UM TRIÂNGULO
Chama-se ceviana do um triângulo
qualquer reta que contém um vértice e
intersecta o lado oposto ou o seu
AR é bissetriz interna do ângulo A .
prolongamento.
4. BISSETRIZ EXTERNA
PRINCIPAIS CEVIANAS
É a ceviana que divide o ângulo externo em
1. ALTURA DE UM TRIÂNGULO dois ângulos adjacentes congruentes.
É a ceviana perpendicular a um lado ou a
seu prolongamento.

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TRIÂNGULOS

equidistante dos lados do triângulo, e o

circuncentro equidista de seus vértices.
3) Em um triângulo acutângulo, o
ortocentro está em seu interior, já no
obtusângulo ele está em seu exterior,
AS é bissetriz externa do ângulo A . enquanto que no triângulo retângulo, ele
coincide com o vértice do ângulo reto.

Atenção: 4) O triângulo cujos vértices são os pés das

alturas de um triângulo, é chamado de
Mediatriz é toda reta perpendicular ao lado triângulo órtico. O triângulo retângulo é o
que contém o seu ponto médio, não único que não possui triangulo órtico.
necessariamente passando pelo vértice, daí
não ser considerada ceviana. 5) O baricentro divide cada mediana em
dois segmentos aditivos que estão sempre
na razão 2:1, ou seja, a distância do vértice
ao baricentro vale sempre o dobro da
distância do baricentro até o lado.

MN é mediatriz do lado BC .

Se liga no bizu! G é baricentro

AG  2  GM
1) As três alturas de um triângulo
encontram-se em um mesmo ponto 6) Em um triângulo isósceles chamamos de
chamado de ORTOCENTRO, as três altura principal àquela relativa à base, a
medianas no BARICENTRO, as três qual é também mediana, mediatriz e
bissetrizes internas no INCENTRO, e as três bissetriz, simultaneamente.
bissetrizes externas encontram-se, duas a 7) Em um triângulo equilátero, o incentro,
duas, nos EX-INCENTROS, e as mediatrizes o baricentro, o ortocentro e o circuncentro
encontram-se no CIRCUNCENTRO. são coincidentes.
2) O incentro é o centro da circunferência 8) Em todo triângulo, o ângulo formado
inscrita no triângulo, enquanto que o pelas bissetrizes internas de dois de seus
circuncentro é o centro da circunferência ângulos vale sempre 90° mais a metade do
nele circunscrita. Daí, o incentro é o ponto terceiro ângulo interno.

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 formado pelas bissetrizes

a) o ângulo 
internas de M eN;
b) o ângulo  formado pelas bissetrizes
M e P ;
externas de 
 c) o ângulo  formado pela bissetriz
x  90º  A
2 interna do N com a bissetriz externa
de P .
9) Em todo triângulo, o ângulo formado
pelas bissetrizes de dois de seus ângulos
externos, vale sempre 90° menos a metade Resolução:
do ângulo interno localizado no terceiro 
vértice.   90º  P  90º  80º  130º .
a) 
2 2
N
b)   90º 
70º
 90º   55º .
2 2

c)   
M 30º
 15º .
2 2
11) Em todo triângulo retângulo, o ângulo
formado pela altura e pela mediana,
relativas à hipotenusa, vale sempre a
 diferença entre as medidas dos ângulos
x  90º  A
2 agudos do triângulo.

10) Em todo triângulo, o ângulo formado

por uma bissetriz interna e outra externa,
traçadas de vértices diferentes, vale
sempre a metade do ângulo interno
localizado no terceiro vértice.
AH  altura
AM  mediana
x | B  C |

12) Em todo triângulo, o ângulo formado

pela altura e pela bissetriz interna,

x  A traçadas de um mesmo vértice, vale
2 sempre a semi-diferença entre os ângulos
Exemplos: internos localizados nos outros vértices.

Dados um triângulo MNP de ângulos

M  30º , 
 N  70º e P  80º , determine:

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4º caso (LAA) - São congruentes dois

triângulos que têm um lado congruente, e
dois ângulos respectivamente
congruentes, sendo um deles oposto ao
lado congruente.
AH  altura
AS  bissetriz
 
x  | B  C |
2
Obs.: O símbolo de congruência é  . Assim,
CONGRUÊNCIA como os pares de triângulos acima são
DE TRIÂNGULOS congruentes, podemos escrever que:
 ABC  ' A' B' C'
1º caso (LLL) - São congruentes dois
triângulos que tem os três lados
respectivamente congruentes.

2º caso (LAL) - São congruentes dois

triângulos que têm um ângulo congruente
compreendido entre dois lados
respectivamente congruentes.

3º caso (ALA) - São congruentes dois

triângulos que têm um lado congruente
compreendido entre dois ângulos
respectivamente congruentes.

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Hora do papiro! 7) Classifique, quanto aos lados e ângulos,

os triângulos cujos ângulos medem:
a) 30°, 70° e 80°
b) 30°, 60° e 90°
LISTA DE EXERCÍCIOS c) 40°, 40° e 100°
1) Determine o perímetro de um triângulo d) 60°, 60° e 60°
de lados 3 cm, 5 cm e 6 cm. e) 45°, 45° e 90°
f) 20°, 80° e 80°
2) Os lados de um triângulo são expressos,
em centímetros, por 2x  1 , 4x  2 e x  9 . 8) Classifique, quantos aos lados e ângulos,
Determine a medida do maior lado, o triângulo cujos ângulos são expressos
sabendo que o perímetro do triângulo por 2x  10º , x  30º e x  20º .
vale 29 cm.
9) Em um triângulo, dois ângulos medem
3) A base de um triângulo isósceles e um 43° 19’ 37” e 54° 52’ 49”. Determine a
outro lado, estão na razão 2 para 3. Se o medida do outro ângulo.
perímetro do triângulo vale 40 cm,
determine as medidas de seus lados. 10) Os ângulos internos de um triângulo
são expressos por 3x  3º , 2x  1º e x  40º .
4) O perímetro de um triângulo isósceles Determine-os.
mede 16 cm. O comprimento da base
3
vale da soma dos outros lados que são 11) Os ângulos da base de um triângulo
5
isósceles são expressos em graus por
iguais. A base mede:
4x  10º e 2x  40º . Determine a medida do
a) 5 cm ângulo do vértice.
b) 6 cm
c) 8 cm 12) Os ângulos internos de um triângulo
d) 10 cm são expressos em graus por números
e) 12 cm pares e consecutivos. Calcule-os.

5) Um triângulo isósceles tem lados iguais a 13) Determine as medidas dos ângulos
7 e 16. Calcule o perímetro do triângulo. de um triângulo, sabendo que elas são
inversamente proporcionais a 1,2 e 6.
6) Quais os valores possíveis para x
sabendo que 10, 8 e x  3 são lados de um 14) Na figura abaixo, determine o valor
triângulo? do S  a  b  c .

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medidas dos ângulos externos em A e C

vale 220°. Determine os ângulos
internos desse triângulo.

17) Na figura, as retas r e s são paralelas.

15) Determinar a soma dos ângulos

assinalados nas figuras a seguir

A medida y é igual a:
a) 70°
a) b) 80°
c) 90°
d) 100°
e) 110°
b)
18) Em um triângulo ABC, o ângulo A
está para o ângulo B assim como .
7
3
Enquanto que o ângulo B está para o
ângulo C , assim como . Determine a
3
c)
5
medida do menor ângulo externo desse
triângulo.

19) Na figura abaixo AB  AC . Calcule a

medida do ângulo x.
d)

e)
16) Em um triângulo ABC, a soma das
medidas dos ângulos externos em A e B
vale 260°, enquanto que a soma das

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20) Em um triângulo ABC, um ponto D 26) Num triangulo ABC, B  C  90º .

do lado BC é equidistante dos três Calcular o menor dos ângulos formados
vértices do triângulo. Classifique, quanto pela bissetriz interna AD com BC .
aos ângulos, esse triângulo.
27) Em um triângulo ABC as bissetrizes
21) Qual é o único triângulo cujo internas dos ângulos B e C formam um
circuncentro pertence a um dos seus ângulo    4x  30º e as bissetrizes
externas de B e C formam um ângulo
lados?
  x  10º . Determine o valor de x.
22) Se em um triângulo, um dos ângulos
é o dobro da soma dos outros dois,
28) Determine os ângulos obtusos
podemos garantir que seu ortocentro é
formados em torno do incentro de um
interior, exterior ou pertence a um de
seus lados? triângulo ABC, no qual tem-se A  60º e
B  70º .

23) Um triângulo não possui triângulo

órtico. Determine as medidas de seus 29) Em um triângulo MNP, temos
ângulos, sabendo-se que um deles é a M  80º e P  70º . Determine a medida do


quinta parte da soma dos outros. ângulo formado pela bissetriz interna do
ângulo  M com a altura que parte do
24) Considere o triângulo ABC da figura. vértice M.
Se a bissetriz interna do ângulo B forma
com a bissetriz externa do ângulo C um 30) Em um triângulo retângulo, o maior
ângulo de 50°, determine a medida do ângulo é o quíntuplo do menor.
ângulo interno A . Determine a medida do ângulo formado
pela altura e mediana traçadas do vértice
do ângulo reto.

31) Na figura abaixo, AH é altura e AM é

mediana, relativa à hipotenusa.
Sabendo-se que a altura e a mediana
fazem um ângulo de 14°, determine os
25) Em um triângulo isósceles as ângulos B e C do triângulo.
bissetrizes dos ângulos da base formam
um ângulo que equivale ao triplo do
ângulo principal. Determine os ângulos
desse triângulo.

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dobro do ângulo ABD  . Determine a

32) Em um triângulo retângulo, a altura medida do ângulo A.

e bissetriz relativas à hipotenusa
formam um ângulo de 18°. Quanto mede 38) Na figura abaixo, as retas r e s são
o maior dos ângulos agudos? paralelas. Sabendo- se que AC  AE e
BE  BD , determine a medida do ângulo
33) Em um triângulo ABC, o ângulo CED .
formado pela altura e pela bissetriz
interna traçadas do vértice B, mede 5°,
enquanto que aquele formado pela
altura e pela bissetriz interna traçadas
do vértice A, mede 10°. Determine os
ângulos desse triângulo.

34) Em um triângulo isósceles, um dos

ângulos é o triplo do outro. Sabendo-se 39) Na figura abaixo, o triângulo ABC é
que o ortocentro desse triângulo é isósceles, de base BC e o triângulo DEF é
interior a ele, determine a medida de seu equilátero. Determine a medida do
menor ângulo interno. ângulo x , em função de y e z .

35) Em um triângulo ABC, os pontos M,

N e P são, respectivamente, os pontos
médios dos lados BC , AC e AB . Os
segmentos AM , BN e CP intersectam-se
no ponto R. Sabendo-se que AR  10 ,
RN  6 e CP  12 , determine a soma das
medidas dos segmentos RM , BR e RP .
40) Na figura tem-se AB  AC e CD  CE
36) Em um triângulo isósceles ABC, de
. Determine x.
base BC igual 7 cm, a soma das medianas
relativas aos lados iguais é 18 cm. Sendo
G o ponto de encontro dessas medianas,
determine o perímetro do triângulo GBC.

37) No interior de um triângulo

isósceles ABC, constrói-se um triângulo
equilátero BCD. O ângulo A , ângulo
principal do triângulo ABC, é igual ao

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GABARITO
1. 14 cm 16. 60°, 40° e 80°
2. 12 cm 17. C
3. 10 cm, 15 cm e 15 18. 96°
cm
4. A; B; D 19. 30°
5. 39 20. Retângulo
6. – 1 < x < 15 21. Retângulo
7. 22. Exterior
a. Escaleno e 23. 30°, 60° e 90°
acutângulo
b. Escaleno e 24. 100°
retângulo
c. Isósceles e 25. 36°, 72° e 72°
obtusângulo
d. Equilátero e 26. 45°
acutângulo
e. Isósceles e 27. 40°
retângulo
f. Isósceles e 28. 115°, 120° e 125°
acutângulo
8. Escaleno e 29. 20°
obtusângulo
9. 81° 47’ 34” 30. 54°
10. 72°, 45° e 63° 31. 52° e 38°
11. 40° 32. 63°
12. 58°, 60° e 62° 33. 60°, 70° e 50°
13. 108°, 54° e 18° 3
25º 42' 51 "
34. 7
14. 130° 35. 21
15. 36. 19 cm
a. 110° 37. 30°
b. 360° 38. 90°
c. 180°  
x  y  z
39. 2
d. 360° 40. 60°
e. 900°

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