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Trabalho - Arcos - Final
Trabalho - Arcos - Final
Trabalho - Arcos - Final
GUARAPUAVA/PR.
COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA CIVIL – COECI.
GUARAPUAVA
2018
2
SUMÁRIO
ARCO ARTICULADO....................................................................................................................................3
ARCO BIAPOIADO......................................................................................................................................14
ARCOS ATIRANTADOS..............................................................................................................................41
ARCO TRIARTICULADO
Imagem 2: Exercício 1.
𝑉2(𝑝) = 70,5 − 4𝑥 8 ≤ 𝑥 ≤ 12
𝑉3(𝑝) = 25,5 − 4𝑥 12 ≤ 𝑥 ≤ 16
𝑉4(𝑝) = −4,5 − 4𝑥 16 ≤ 𝑥 ≤ 24
4𝑥²
𝑀1(𝑝) + − 100,5𝑥 = 0 0≤𝑥≤8
2
𝑀1(𝑝) = 100,5𝑥 − 2𝑥 2 0≤𝑥≤8
4𝑥²
𝑀2(𝑝) + 30(𝑥 − 8) + − 100,5𝑥 = 0 8 ≤ 𝑥 ≤ 12
2
𝑀2(𝑝) = 100,5𝑥 − 30(𝑥 − 8) − 2𝑥² 8 ≤ 𝑥 ≤ 12
f= 5,0 m
L= 24,0 m
2 2
𝐿 2 2 2
𝐿 2
𝑅 = (𝑅 − 𝑓) + ( ) = 𝑅 − 2𝑅𝑓 + 𝑓 + ( )
2 2
𝑓 𝐿2 5,00 24,002
𝑅2 = + = + → 𝑅 = 16,9𝑚
2 8𝑓 2 8 ∗ 5,00
f= 5,00 m 20 seções
L= 24,00 m 0,0789582
R= 16,90 m
i -0,7895 rad
f 0,7895 rad
NO ARCO CIRCULAR = -
ARCO DE INÉRCIA CONSTANTE
12
-10
-30
-50
-70
Esforço (kN)
-90
-110
-130
-150
-170
-190
40
30
20
10
Esforço (kN)
-10
-20
-30
-40
-50
-10
-30
Esforço (kNm)
-50
-70
-90
-110
ARCO BIAPOIADO
𝛿10 + 𝐻. 𝛿11 = 0
− ∫𝑒𝑠𝑡 𝑀0 . 𝑀1 𝑑𝛾
𝐻=
∫𝑒𝑠𝑡 𝑀12 𝑑𝛾
Onde:
𝑑𝑆
𝑑𝛾 =
𝐸𝐼
𝑀0 = 𝑀𝑃
𝑀1 = −𝑦
Portanto:
𝑑𝑥
∫𝑒𝑠𝑡 𝑀𝑃 . 𝑦 cos ∝
𝐻=
𝑑𝑥
∫𝑒𝑠𝑡 𝑦² cos ∝
E assim:
∫𝑒𝑠𝑡 𝑀𝑃 . 𝑦 𝑑𝜃
𝐻=
∫𝑒𝑠𝑡 𝑦² 𝑑𝜃
𝑑𝑥
∫𝑒𝑠𝑡 𝑀𝑃 . 𝑦 cos ∝
𝐻=
𝑑𝑥
∫𝑒𝑠𝑡 𝑦² cos ∝
m1 = 106*x
m2 = 106*x-40*(x-9)
m3 = 106*x - 40*(x-9) - 80*(x-18) - 4*(x-18)^2
y = 4*f*x*(l-x)/(l^2)
yd = diff(y,x)
alpha = atan(yd)
f1=m1*y/cos(alpha)
f2=m2*y/cos(alpha)
f3=m3*y/cos(alpha)
den=(y^2/cos(alpha))
h1=vpaintegral(f1,x,[0,9])
h2=vpaintegral(f2,x,[9,18])
h3=vpaintegral(f3,x,[18,36])
h4=vpaintegral(den,x,[0,36])
H =(h1+h2+h3)/h4
Portanto H = 234.77573182826954260543420136691.
-240,00 -243,60
-250,00
-254,14
-256,25
-260,00
Esforço (kN)
-270,00
-280,00 -282,99
-290,00
-300,00
90,00
40,00
Esforço (kNm)
-10,00
-60,00
-102,49
-110,00
-160,00 -146,59
60,00
40,00
26,32
20,00
Esforço (kN)
-1,23
0,00
-11,63
-20,00 -14,00
-40,00
-42,03
-60,00
∫𝑒𝑠𝑡 𝑀𝑃 . 𝑦 𝑑𝜃
𝐻=
∫𝑒𝑠𝑡 𝑦² 𝑑𝜃
24
syms theta
l=36.00
f=6.00
r=30
t1=-0.643501
t2=-0.3046927
t3=0
t4=0.643501
m1 = 106*(r*sin(theta)+18)
m2 = 106*(r*sin(theta)+18)-40*(r*sin(theta)+9)
m3 = 106*(r*sin(theta)+18) - 40*(r*sin(theta)+9) - 80*(r*sin(theta)) -
4*(r*sin(theta))^2
y=r*cos(theta)-(r-f)
h1 = vpaintegral(m1*y,theta,t1,t2)
h2 = vpaintegral(m2*y,theta,t2,t3)
h3 = vpaintegral(m3*y,theta,t3,t4)
hn = vpaintegral(y^2,theta,t1,t4)
H = (h1+h2+h3)/ hn
Portanto H = 230.81351919662152893898386390978.
-210,00
-220,00
-230,81
-230,00
Esforço (kN)
-239,98
-240,00
-248,25
-250,00
-251,98
-260,00 -253,94
-270,00
-279,45
-280,00
-290,00
-300,00
60,00
40,00 31,87
Esforço (kN)
20,00 12,09
0,00
-6,28
-20,00 -14,53
-40,00
-53,69
-60,00
120,00
70,00
20,00
Esforço (kNm)
-18,92
-30,00
-80,00
-130,00
-170,66
-180,00
Para resolver o caso (0), adota-se o arco como uma viga projetada,
representada abaixo:
𝑑𝑥
∫𝑒𝑠𝑡 𝑀𝑃 . 𝑦 cos ∝
𝐻=
𝑑𝑥
∫𝑒𝑠𝑡 𝑦² cos ∝
syms x
l=60.000
f=10.000
m1 = 70*x
m2 = 70*x-50*(x-15)
m3 = 70*x - 50*(x-15) - 50*(x-30) - 4*(x-30)^2
y1 = ( 4*f*x*(l-x) )/(l^2)
y2 = -0.01023555555*x^2 + 0.61413333333*x + 0.788
yd1 = diff(y1,x)
yd2 = diff(y2,x)
alpha1 = atan(yd1)
alpha2 = atan(yd2)
f1=m1*y1/cos(alpha1)
f2=m2*y1/cos(alpha1)
f3=m3*y2/cos(alpha2)
den1=(y1^2/cos(alpha1))
den2=(y2^2/cos(alpha2))
h1=vpaintegral(f1,x,[0,15])
h2=vpaintegral(f2,x,[15,30])
h3=vpaintegral(f3,x,[30,45])
h4=vpaintegral(den1,x,[0,30])
h5=vpaintegral(den2,x,[30,45])
H =(h1+h2+h3)/(h4+h5)
Portanto H = 113.21423515665197482146518913069.
Com o auxílio do Excel obteve-se a seguinte tabela:
-20,000
-40,000
-60,000
Esforço (kN))
-80,000
-100,000
-113,214
-119,852
-120,000
-140,000 -135,664
-143,770
-146,574
-160,000
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00
60,000
48,977 39,364
40,000
20,000
11,556 1,543
0,000
Esforço (kN))
-…
-20,000
-40,000
-60,000
-80,000
-91,648
-100,000
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00
800,000 79…
700,000
600,000
Esforço (kNm))
49…
500,000
400,000
300,000
200,000
100,000
0,000
2 2
𝐿2 2 2 2
𝐿2 2
𝑅2 = (𝑅2 − 𝑓2) + ( ) = 𝑅2 − 2𝑅2𝑓2 + 𝑓2 + ( )
2 2
𝑓2 𝐿22 3,303 60,002
𝑅22 = + = + → 𝑅2 = 50,0008𝑚
2 8𝑓2 2 8 ∗ 3,303
syms o
l1=60.0000000
f1=10.0000000
l2=30.0000000
f2=10.000000-7.697000000
o1=-0.643501
o2=-0.304693
o3=0.0
o4=0.304688
R1=((l1/2)^2+f1^2)/(2*f1)
R2=((l2/2)^2+f2^2)/(2*f2)
m1=70*(R1*sin(o)+30)
m2=70*(R1*sin(o)+30) - 50*(R1*sin(o)+15)
m3=70*(R2*sin(o)+30) - 50*(R2*sin(o)+15) - 50*R2*sin(o) - 4*(R2*sin(o))^2
y1=R1*cos(o)-R1+f1
y2=R2*cos(o)-R2+f1
yd1=diff(y1,o)
yd2=diff(y2,o)
38
alpha1=atan(yd1)
alpha2=atan(yd2)
f1=m1*y1/cos(alpha1)
f2=m2*y1/cos(alpha1)
f3=m3*y2/cos(alpha2)
den1=(y1^2/cos(alpha1))
den2=(y2^2/cos(alpha2))
h1=vpaintegral(f1,o,o1,o2)
h2=vpaintegral(f2,o,o2,o3)
h3=vpaintegral(f3,o,o3,o4)
h4=vpaintegral(den1,o,o1,o3)
h5=vpaintegral(den2,o,o3,o4)
H= (h1+h2+h3)/(h4+h5)
Portanto H = 106.40099420278456638824524967639.
Com o auxilio do Excel obtém-se a seguinte tabela:
-20,000
-40,000
-60,000
Esforço (kN))
-80,000
-100,000 -106,401
-112,960
-120,000
-127,960
-140,000
-138,040 -141,040
-160,000
20,000
6,718 4,519
0,000
-11,801
Esforço (kN))
-20,000
-40,000
-60,000
-80,000
-100,000 -93,811
-120,000
700,000
600,000
Esforço (kNm))
504,025
500,000
400,000
300,000
200,000
100,000
0,000
ARCOS ATIRANTADOS
Os arcos atirantados, como os biarticulados, têm grau de
hiperestaticidade igual a um, mas com a vantagem de ser externamente
isostático. Tratam-se de arcos constituídos de uma “chapa”, vinculada
externamente por um apoio fixo e um móvel, e de um tirante (barra) que,
geralmente tracionado, impede a abertura do arco.
𝑑𝑆
Onde 𝑑𝛾 = 𝐸𝐼
DADOS/INFORMAÇÕES ADICIONAIS
• O arco será composto de perfil I metálico, com momento de inércia à flexão
igual a 6572,4175 cm4, de aço ASTM-A36 (E = 205000MPa).
• O tirante será composto de uma barra redonda, com 2,87cm de diâmetro.
44
syms x
l=40.00
f=8.00
i=6.5724175e-05
e=205e+06
a=pi*(0.0287)^2/4
m1 = 105*x
m2 = 105*x - 75*(x-10)
m3 = 105*x - 75*(x-10) - 60*(x-20)
m4 = 105*x - 75*(x-10) - 60*(x-20) - 75*(x-30)
y = 4*f*x*(l-x)/(l^2)
yd = diff(y,x)
alpha = atan(yd)
46
f1=m1*y/cos(alpha)
f2=m2*y/cos(alpha)
f3=m3*y/cos(alpha)
f4=m4*y/cos(alpha)
den=(y^2/cos(alpha))
h1=vpaintegral(f1,x,[0,10])
h2=vpaintegral(f2,x,[10,20])
h3=vpaintegral(f3,x,[20,30])
h4=vpaintegral(f4,x,[30,40])
hden=vpaintegral(den,x,[0,40])
Portanto H = 162.41477822978043967625959995292.
-175,000
-180,000
-185,000
19,468
20,000
10,000
Esforço (kN))
0,000
-10,000
-20,000 -19,468
-30,000 -30,000
-32,465
-37,171
-40,000
60,000
50,682
40,000
Esforço (kNm))
20,000
0,000
-20,000 -18,111
-18,111
-40,000
-47,755
-47,755
-60,000
lin=5.857864376
lsup=34.14213562
m1 = 105*x
m2 = 105*x - 75*(x-10)
m3 = 105*x - 75*(x-10) - 60*(x-20)
m4 = 105*x - 75*(x-10) - 60*(x-20) - 75*(x-30)
y = 4*f*x*(l-x)/(l^2)
yd = diff(y,x)
alpha = atan(yd)
f1=m1*y/cos(alpha)
f2=m2*y/cos(alpha)
f3=m3*y/cos(alpha)
f4=m4*y/cos(alpha)
den=((y-4.0)^2/cos(alpha))
h1=vpaintegral(f1,x,[lin,10])
h2=vpaintegral(f2,x,[10,20])
h3=vpaintegral(f3,x,[20,30])
h4=vpaintegral(f4,x,[30,lsup])
hden=vpaintegral(den,x,[lin,lsup])
Portanto H = 882.35191452278793360465386452616.
-300,000
Esforço (kN))
-400,000
-500,000
-600,000
-700,000
-800,000 -830,385
-821,161 -882,352 -819,687
-900,000 -858,239
-871,101 -871,101
-1000,000
250,000
150,000
Esforço (kN))
50,000
-50,000
-150,000
-250,000
-350,000
100,000
-400,000
Esforço (kN))
-900,000
-1400,000
-1900,000
-2179,408
-2400,000
2 2
𝐿 2 2 2
𝐿 2
𝑅 = (𝑅 − 𝑓) + ( ) = 𝑅 − 2𝑅𝑓 + 𝑓 + ( )
2 2
𝑓 𝐿2 8,00 40,002
𝑅= + = + → 𝑅 = 29,0𝑚
2 8𝑓 2 8 ∗ 8,00
Chegando em:
𝑀1(𝑝) = 105(𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 20) − 0,761013 ≤ 𝜃 ≤ −0,352055
𝑀2(𝑝) = 105(𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 20) − 75(𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 10) − 0,352055 ≤ 𝜃 ≤ 0
𝑀3(𝑝) = 105(𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 20) − 75(𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 10) − 60𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 0 ≤ 𝜃 ≤ 0,352055
𝑀4(𝑝) = 105(𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 20) − 75(𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 10) − 60𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
− 75(𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) − 10) 0,352055 ≤ 𝜃 ≤ 0,761013
syms o
l=40.00
f=8.00
i=6.5724175e-05
e=205e+06
a=pi*(0.0287)^2/4
R=(f/2)+(l^2/8/f)
of=asin(l/2/R)
o1=-of
o2=asin(-10/R)
o3=0.0
o4=asin(10/R)
o5=of
m1=105*(R*sin(o)+20)
m2=105*(R*sin(o)+20) - 75*(R*sin(o)+10)
m3=105*(R*sin(o)+20)-75*(R*sin(o)+10)-60*R*sin(o)
m4=105*(R*sin(o)+20)-75*(R*sin(o)+10)-60*R*sin(o)-75*(R*sin(o)-10)
56
y=R*cos(o)-R+f
yd=diff(y,o)
alpha=atan(yd)
f1=y*m1/cos(alpha)
f2=y*m2/cos(alpha)
f3=y*m3/cos(alpha)
f4=y*m4/cos(alpha)
den=(y^2)/cos(alpha)
h1=vpaintegral(f1,o,o1,o2)
h2=vpaintegral(f2,o,o2,o3)
h3=vpaintegral(f3,o,o3,o4)
h4=vpaintegral(f4,o,o4,o5)
hden=vpaintegral(den,o,o1,o5)
Portanto H = 153.56561309786094460554266737417.
Com o auxilio do Excel obtem-se a seguinte tabela e diagramas de
esforço normal, cortante e momento fletor.
f= 8,0 m
L= 40,0 m
R= 29,0 m
i = -0,761013 rad 12 seções + críticas
f = 0,761013 rad 0,1268 rad
h tirante = 0 m
-20,000
-40,000
-60,000
Esforço (kN))
-80,000
-100,000
-120,000
10,000
Esforço (kN))
0,000
-10,000
-20,000
-24,794
-30,000 -29,873 -30,000
-40,000
-45,606
-50,000
120,000 121,475
94,620 94,620
70,000
Esforço (kNm))
47,197
47,197
20,000
-30,000
-66,811 -66,811
-80,000
syms o
l=40.00
f=8.00
i=6.5724175e-05
e=205e+06
a=pi*(0.0287)^2/4
ltir = 29.39387691
R=(f/2)+(l^2/8/f)
of=asin(l/2/R)
o1=-of
o2=asin(-10/R)
o3=0.0
o4=asin(10/R)
o5=of
m1=105*(R*sin(o)+20)
m2=105*(R*sin(o)+20) - 75*(R*sin(o)+10)
m3=105*(R*sin(o)+20)-75*(R*sin(o)+10)-60*R*sin(o)
m4=105*(R*sin(o)+20)-75*(R*sin(o)+10)-60*R*sin(o)-75*(R*sin(o)-10)
y=R*cos(o)-R+f
yd=diff(y,o)
alpha=atan(yd)
f1=y*m1/cos(alpha)
f2=y*m2/cos(alpha)
f3=y*m3/cos(alpha)
f4=y*m4/cos(alpha)
den=((y-4)^2)/cos(alpha)
60
h1=vpaintegral(f1,o,o1,o2)
h2=vpaintegral(f2,o,o2,o3)
h3=vpaintegral(f3,o,o3,o4)
h4=vpaintegral(f4,o,o4,o5)
hden=vpaintegral(den,o,o1,o5)
Portanto H = 601.76028692659063616350686736651.
Com o auxilio do Excel obtem-se a seguinte tabela e diagramas de
esforço normal, cortante e momento fletor.
Arco atirantado de eixo circular
f= 8,0 m
L= 40,0 m
R= 29,0 m
i = -0,761013 rad 12 seções + críticas
f = 0,761013 rad 0,126835 rad
h tirante = 4 m
l tirante = 29,3939 m
-250,000
-350,000
-450,000
-750,000
50,000 76,034
30,000
0,000
-30,000 -76,034
-50,000
-100,000 -108,944 -90,517
-150,000
-179,344
-200,000
-214,449
-250,000
200,000
0,000
Esforço (kNm))
-200,000
-286,699 -286,699
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