Re82129 Ny11 Resolucoes CA Suc11
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156.4 Não tem minorantes; conjunto dos majorantes: f1 , + ?f ; Concluindo a resolução, temos:
não tem mínimo nem máximo.
1 - "5 1 + "5
156.5 Não tem minorantes; conjunto dos majorantes: 0 x 0 - x2 + 2 > 1 § a <x< ‹ x ≥ 0b ›
2 2
f- 3 , + ?f ; não tem mínimo; máximo: - 3 .
156.6 Conjunto dos minorantes: g- ? , 1g ; conjunto dos majo- - 1 - "5 - 1 + "5
› a <x< ‹ x < 0b §
rantes: f1 , + ?f ; mínimo: 1 ; máximo: 1 . 2 2
1 + "5 - 1 - "5
157.1 Limitado; por exemplo, 2 é minorante e 4 é majorante. § 0≤x< › <x<0
2 2
157.2 Limitado; A x å A , - 1 ≤ x ≤ 1 A 0 x 0 ≤ 1 § - 1 ≤ x ≤ 1B.
- 1 - "5 1 + "5
157.3 Não limitado; A não é majorado. § <x<
2 2
157.4 Não limitado; A = R , pelo que não tem majorantes nem
minorantes. Na forma de reunião de intervalos, temos
11 11 - 1 - "5 1 + "5
158.1 , por exemplo. 158.3 c , +?c C= d , c.
2 2 2 2
x2 - x - 1 = 0 § x = §
2*1 1+1 2 2+1 3 1
163.1 a1 = = ; a2 = = =
3*1 3 3*2 6 2
1 ¿ "5
§ x=
2 3+1 4 4+1 5
a3 = = ; a4 = =
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184
16 16 16n - 16 1n + 12
Ln + 1 - Ln = - = =
n+1 n n 1n + 12
A sucessão 1bn2 é não monótona, pois, b3 > b4 mas b4 < b5 .
16n - 16n - 16 - 16
n+2 n+1 n+2 n+1 = =
165.1 un + 1 - un = - = - = n 1n + 12 n 1n + 12
3n + 3 3n 3 1n + 12 3n
A n å N , Ln + 1 - Ln < 0 , logo 1Ln2 é decrescente.
n 1n + 22 - 1n + 12 1n + 12 n2 + 2n - 1n2 + 2n + 12
= =
3n 1n + 12 3n 1n + 12 162 n2 - 162 1n + 12
2 2 2
16 16
An + 1 - An = a b -a b = =
n+1 n 1n + 12
2
n2 + 2n - n2 - 2n - 1 -1
= =
3n 1n + 12 3n 1n + 12
162 n2 - 162 1n2 + 2n + 12 162 n2 - 162 n2 - 162 12n + 12
= =
A n å N , un + 1 - un < 0 , logo 1un2 é decrescente. 1n + 12
2
1n + 12
2
3 1n + 12 - 4 3n - 1 64 64 64n - 64 1n + 12
165.3 vn + 1 = = Pn + 1 - Pn = - = =
n+1 n+1 n+1 n n 1n + 12
3n - 1 3n - 4 n 13n - 12 - 1n + 12 13n - 42 64n - 64n - 64 - 64
v n + 1 - vn =
- = = = =
n+1 n n 1n + 12 n 1n + 12 n 1n + 12
3n2 - n - 13n2 - 4n + 3n - 42 3n2 - n - 3n2 + n + 4 4 A n å N , Pn + 1 - Pn < 0 , logo 1Pn2 é decrescente.
= = =
n 1n + 12 n 1n + 12 n 1n + 12
166.4 1Qn2 é não limitada, pois não tem majorantes.
A n å N , vn + 1 - vn > 0 , logo 1vn2 é crescente.
1Ln2 é limitada pois, por exemplo, A n å N , 0 < Ln ≤ 16 .
2 1n + 12 + 1 2n + 3
165.4 tn + 1 = = 1An2 é limitada pois, por exemplo, A n å N , 0 < An ≤ 256 .
2 1n + 12 - 1 2n + 1
2n + 3 2n + 1 1Pn2 é limitada pois, por exemplo, A n å N , 0 < Pn ≤ 64 .
tn + 1 - tn = - =
2n + 1 2n - 1
12n - 12 12n + 32 - 12n + 12 12n + 12 5 5
167.1 an + 1 - an = - =
= =
12n + 32 12n - 12 "n + 1 + 2 "n + 2
= = twwwwwwuwwwwwwv
12n + 32 12n - 12 12n + 32 12n - 12 >0
185
167.2 Por um lado, tem-se A n å N , an > 0 . Por outro lado, 171. Mostrar que 22n + 2 é múltiplo de 3 é equivalente a mostrar
como a sucessão é decrescente, tem como majorante o que 22n + 2 é divisível por 3 .
5
1.° termo. Assim, tem-se A n å N , 0 < an ≤ . Para n = 1 , temos 22 + 2 = 6 , que é divisível por 3 . A pro-
3
Logo 1an2 é limitada. posição é verdadeira para n = 1 .
Para averiguar a hereditariedade da proposição, considera-
3*1-2 1
168.1 u1 = = -se por hipótese de indução que a propriedade é válida para
1+1 2
n : 22n + 2 é divisível por 3 , ou seja, E p å N : 3p = 22n + 2 .
3*3-2 7
168.2 u3 = = Pretende-se agora provar que é válida para n + 1 , ou seja,
3+1 4
que 22n + 2 + 2 é divisível por 3: E q å N : 3q = 22n + 2 + 2 .
3 1n + 12 - 2 3n - 2 3n + 1 3n - 2
168.3 un + 1 - un = - = - = 22n + 2 + 2 = 22n * 4 + 2 = 4 * 122n + 2 - 22 + 2 = 4 * 13p - 22 + 2 =
n+1+1 n+1 n+2 n+1
13n + 12 1n + 12 - 1n + 22 13n - 22 = 3 * 4p - 8 + 2 = 3 * 14p - 22
= =
1n + 12 1n + 22
Com q = 122 p - 22 , demonstramos a igualdade
3n + 3n + n + 1 - 13n + 2n - 6n - 42
2 2
5 3q = 22n + 2 + 2 o que é verdade qualquer que seja n å N .
= =
1n + 12 1n + 22 1n + 1 2 1n + 22
172.1 Vamos ver que A n å N , P 1n2 ± P 1n + 12 , ou seja,
168.4 A n å N , un + 1 - un > 0 ; logo, a sucessão é crescente. que se n2 + 3n + 1 é par, também 1n + 12 + 3 1n + 12 + 1 é
2
par. Temos:
168.5 Como 1un2 é crescente, o primeiro termo é um minorante.
1n + 12 + 3 1n + 12 + 1 = n2 + 2n + 1 + 3n + 3 + 1 =
2
1 2
1- 12 1- 12 1 5
169.1 v1 = 2 + = 2 - 1 = 1 ; v2 = 2 + =2+ = ; = 1n2 + 3n + 12 + 2n + 4
1 2 2 2
1 5 1 9 1 9 1 13
v3 = 2 - = ; v4 = 2 + = ; v5 = 2 - = ; v6 = 2 + = Assumindo que n2 + 3n + 1 é ímpar, como
3 3 4 4 5 5 6 6
2n + 4 = 2 * 1n + 22 é par, conclui-se que
1n + 12 + 3 1n + 12 + 1 é ímpar porque é a soma de um
2
169.2 A sucessão não é monótona pois v1 < v2 mas v2 > v3 .
número ímpar com um número par.
1
169.3 Os termos de ordem par são dados pela expressão 2 + . 173. Para n = 1 , temos 2 * 1 - 1 = 12 , que é uma proposição
n
5 verdadeira.
Para n par, temos 2 < vn ≤
2
5 Por hipótese de indução, temos que
avn ≤ , pois 1vn2 , com n par, é decrescenteb.
2 1 + 3 + 5 + p + 12n - 12 = n2 e temos que provar que
1 + 3 + 5 + p + 12n - 12 + 12 1n + 12 - 12 = 1n + 12 .
2
1
Os termos de ordem ímpar são dados pela expressão 2 - . Usando a hipótese de indução:
n
Para n ímpar, temos 1 ≤ vn < 2 1 + 3 + 5 + p + 12n - 12 + 12 1n + 12 - 12 = n2 + 12n + 2 - 12 =
1vn ≥ 1 , pois 1vn2 , com n ímpar, é crescente2.
= n2 + 2n + 1 = 1n + 12 , como queríamos mostrar.
2
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5
Conclui-se, portanto, que A n å N , 1 ≤ un ≤ .
2
186
6 u 2n + 2 22 + 2
un + 1 = ≤ =2
1 1 3 3
= 1n + 12c n 12n + 12 + 1n + 12d = 1n + 12c * 12n2 + n + 6n + 62d
6 6 u 2n + 2 12 + 2
un + 1 = > =1
1 3 3
= * 1n + 12 * 12n2 + n + 6n + 62
6 Assim, tem-se A n å N , 1 < un + 1 ≤ 2 , como queríamos
1 demonstrar.
= * 1n + 12 * fn * 12n + 32 + 2 * 12n + 32g
6
u2n + 2 u2n - 3un + 2
=
1
* 1n + 12 * 1n + 22 * 12n + 32 como queríamos mostrar. 180.2 un + 1 - un = - un =
6 3 3
Estudemos o sinal de u2n - 3un + 2 :
175. Para n = 5 , temos que 10 - 3 < 23 § 7 < 8 , proposição
verdadeira. Por hipótese de indução, temos que u2n - 3un + 2 = 0 § un = 1 › un = 2
2n - 3 < 2n - 2 para todo o natural n ≥ 5 . Desenvolvendo o u2n - 3un + 2 ≤ 0 § 1 ≤ un ≤ 2
lado esquerdo da desigualdade e usando a hipótese de
indução, temos que Como temos A n å N , 1 < un ≤ 2 1ver alínea 180.12,
2 1n + 12 - 3 = 2n + 2 - 3 = 12n - 32 + 2 < 2n - 2 + 2 temos consequentemente A n å N , un + 1 - un ≤ 0 .
Como para n ≥ 5 , temos 2 < 2n - 2 , conclui-se que 181. Para n = 1 , temos que u1 = "21 - 1 = 1 .
2 n-2
+2<2 n-2
+2
n-2
=2*2 n-2
=2
n-1
.
Por hipótese de indução temos que un = "2n - 1 , para
Logo 2 1n + 12 - 3 < 2 n-1
. n å N , isto é, u2n = 2n - 1 .
Pretende-se demonstrar que un + 1 = "2n + 1 - 1 .
176. Para n = 0 , temos que a - 1 = a - 1 , proposição verdadeira.
Por hipótese de indução temos que un + 1 = "2u2n + 1 = "2 12n - 12 + 1 = "2n + 1 - 2 + 1 =
1a - 12 11 + a + p + an2 = an + 1 - 1 .
= "2n + 1 - 1 , como se pretendia mostrar.
Pretende-se demonstrar que
1a - 12 11 + a + p + an + an + 12 = an + 2 - 1 .
182.1 Os termos desta sucessão são os múltiplos de 5 cujo
1a - 12 11 + a + p + a + a n n+1
2= termo geral é 5n .
= 1a - 12 11 + a + p + a 2 + 1a - 12 an + 1
n
182.2 A razão desta progressão é - 3 e o seu primeiro termo é
Usando a hipótese de indução temos que - 4 . O seu termo geral é: - 4 - 3 1n - 12 = - 3n - 1 .
1a - 12 11 + a + p + an + an + 12 = an + 1 - 1 + 1a - 12 an + 1 = 1
182.3 A razão desta progressão é 1 e o seu primeiro termo é .
= an + 1 - 1 + an + 2 - an + 1 = an + 2 - 1 como queríamos mostrar. 3
1 2
O seu termo geral é: + 1 * 1n - 12 = n - .
3 3
177.1 a1 = 4 ; a2 = a1 + 3 = 7 ; a3 = a2 + 3 = 10 ; a4 = a3 + 3 = 13
3 1 3 3
177.2 A n å N , an + 1 - an = 3 > 0 , logo a sucessão 1an2 é cres- 184. a7 = a1 + r * 17 - 12 = - * 6 = - 3 = -
2 2 2 2
cente.
3 1 3 19
178. Cada um dos termos apresentados, excluindo o primeiro, a20 = a1 + r * 120 - 12 = - * 19 = - = - 16 = - 8
2 2 2 2
obtém-se do anterior adicionando 5 unidades ao anterior,
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3 1 3 49 46
assim, temos, por exemplo: a50 = a1 + r * 150 - 12 = - * 49 = - = - = - 23
b1 = - 1 2 2 2 2 2
e
bn + 1 = bn + 5 , A n å N
187
185.1 Mostremos para cada uma das sucessões que a diferença 187.2 Trata-se da soma dos 10 números inteiros consecutivos
entre dois termos consecutivos é constante: 100 + 109
de 100 a 109 . Assim, tem-se: S = * 10 = 1045
2
2 - 4 1n + 12 2 - 4n
A n å N , an + 1 - an = - =
3 3 u10 - u5 26 - 2
2 - 4n - 4 - 2 + 4n 4 188. u10 = u5 + 5r § r = = = 4,8
= =- 5 5
3 3
3 3 u1 = u5 - 4r = 2 - 4 * 4,8 = - 17,2
A n å N , bn + 1 = bn - § A n å N , bn + 1 - bn = -
2 2 u18 = u10 + 8r = 26 + 8 * 4,8 = 64,4
- 17,2 + 64,4
2-4*1 2 4 S18 = * 18 = 424,8
185.2 a1 = = - e r = - 1atendendo à alínea 185.12 2
3 3 3
3 189.1 Designando por 1an2 a progressão aritmética, de razão 4 ,
b1 = 2 e r = - 1atendendo à alínea 185.12
2 temos an = a1 + 4 1n - 12 .
185.3 1an2 e 1bn2 são decrescentes, pois A n å N , an + 1 - an < 0 Por outro lado, temos também S60 = 240 , ou seja,
a1 + a60
e A n å N , bn + 1 - bn < 0 , respetivamente. * 60 = 240 § a1 + a60 = 8
2
186.1 Comecemos por determinar a razão da progressão aritmé- Assim, temos:
tica:
a60 = a1 + 4 * 59 a = a1 + 236
169 - 15 e § e 60 §
u12 = u1 + r * 112 - 12 § r = = 14 a1 + a60 = 8 a1 = 8 - a60
11
O termo geral é dado por: a60 = 8 - a60 + 236 2a = 244 a = 122
un = u1 + r * 1n - 12 = 15 + 14 1n - 12 = 14n + 1 § e § e 60 § e 60
a1 = 8 - a60 a1 = 8 - a60 a1 = - 114
187.1 Trata-se da soma dos 50 primeiros números pares. 191. O número de árvores a plantar anualmente aumenta em pro-
Assim, tem-se: gressão aritmética, cujo primeiro termo é a1 = 80 e a razão
2 + 100 é r = 40 .
S = * 50 = 2550
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2
O termo geral desta progressão aritmética é:
an = a1 + r * 1n - 12 = 80 + 40 1n - 12 = 40n + 40
188
189
Para determinar o valor de n , consideremos 204.5 Recorrendo ao resultado da alínea 204.3., temos, para
n-1
an = a1 * rn - 1 = 1- 22 e igualamos a expressão a 4096 . 4
d = 0,05 , p = c - 2d + 1 = f78g + 1 = 79 .
n-1 n-1 0,05
= 4096 § 1- 22 = 1- 22 ± n - 1 = 12 §
12
1- 22
Alternativamente, pode-se fazer:
§ n = 13
5 4 5
1 - 1- 22 1 + 8192 0 bn - 0 0 < § ` `< § 5n + 10 > 400 §
13
202. Sendo 1an2 e 1bn2 progressões geométricas, tem-se 205.2 Sendo 1un2 decrescente, tem-se un ≤ u1 , ou seja,
an + 1 bn + 1 5
An å N , = r1 e A n å N , = r2 , com r1 e r2 un ≤ , A n å N .
an bn 3
constantes. Multiplicando os termos das igualdades ante- 4n + 1 4 1
Por outro lado como, un = = + , tem-se
an + 1 * bn + 1 3n 3 3n
4
riores, obtém-se A n å N , = r1 * r2 , con- un > , A n å N .
an * bn 3
cluindo-se que 1an * bn2 também é uma progressão aritmé- 4 5
Assim, 1un2 é limitada pois A n å N , < un ≤ .
tica 1de razão r1 * r22. 3 3
190
2 L+1
fazendo p > , todos os termos da sucessão são
Å 3
inferiores a - L . Portanto, o limite de 1vn2 é - ? .
191
210.3 Como 1vn2 tende para - ? , 1vn2 não é minorada, logo 213.4 Seja d > 0 . Tem-se:
não é limitada.
4n 4 12n - 12n - 8
` - ` <d § ` ` <d §
211. 1vn2 não tem limite, pois 1un2 não tem limite, porque a 3n + 2 3 9n + 6
sucessão dos termos de ordem par tende para 0 e a suces- -8 8 8
são termos de ordem ímpar tende para - ? . A alteração § ` ` <d § < d § 9n + 6 >
9n + 6 9n + 6 d
de apenas um número finito de termos de 1un2 não altera
8 2
este resultado. § n > -
9d 3
8 2
212. Comecemos por mostrar que a sucessão não é monótona. Assim, dado d > 0 , basta considerar p = c - d+1
9d 3
u1 = 1- 12 * 11 + 12 = - 2 ; u2 = 1- 12 * 12 + 12 = 3 ;
1 2
4n
para que todos os termos da sucessão definida por ,
u3 = 1- 12 * 13 + 12 = - 4
3
3n + 2
213.1 Vamos mostrar que 214.3 lim 1- 3n2 + 12 = lim 1- 3n2 2 + lim 1 = - 3 lim 1n2 2 + 1 =
A L > 0 , E p å N : A n å N , n ≥ p ± 2n + 4 > L :
= - 3 * 1+ ?2 + 1 = - ? + 1 = - ?
L-4 L
2n + 4 > L § n > § n> -2
2 2
214.4 lim Q "n + 1 - 1 R = lim "n + 1 - lim 1 =
Assim, para cada L > 0 , a partir de uma ordem p satis-
L
fazendo p > - 2 , todos os termos da sucessão são = "lim 1n + 12 - lim 1 = "lim n + lim 1 - 1
2
superiores a L . Portanto, lim 12n + 42 = + ? . = "+ ? + 1 - 1 = + ?
5n - 1
pois verifica-se que
1
A d å R+ , E p å N : A n å N , n ≥ p ± ` ` <d.
5n - 1
192