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Curso 124565 Aula 00 Prof Mariana Moronari v7
Curso 124565 Aula 00 Prof Mariana Moronari v7
Curso 124565 Aula 00 Prof Mariana Moronari v7
Mariana
Moronari)
Engenharia Elétrica p/ Concursos - Curso
Regular (Com Videoaulas) 2020
Autores:
Edimar Natali Monteiro, Juliano de
Pelegrin, Mariana Moronari,
Samuel Carvalho
Aula 00 (Profª. Mariana
Moronari)
15 de Janeiro de 2020
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Edimar Natali Monteiro, Juliano de Pelegrin, Mariana Moronari, Samuel Carvalho
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Sumário
3. Diferença de potencial.......................................................................................................................... 37
3.4.2. Campo elétrico produzido por duas placas paralelas carregadas com cargas opostas
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APRESENTAÇÃO PESSOAL
Olá querido(a) aluno(a),
É uma satisfação ter a oportunidade de contribuir para sua aprovação. Meu nome é Mariana
Moronari e serei responsável pelo curso regular de Engenharia Elétrica para Concursos juntamente com o
professor Samuel Carvalho.
Sou formada em Engenharia de Energia e mestra em Ciências Mecânicas pela Universidade de Brasília
(UNB). Atualmente, estou lecionando exclusivamente para concursos.
O professor Samuel é formado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Rio Grande do
Sul (UFRGS) e especialista em Projeto, Execução e Controle de Engenharia Elétrica pelo Instituto de Pós-
Graduação (IPOG). Atualmente, ele atua como servidor público federal no cargo de Engenheiro Eletricista da
Divisão de Engenharia e Arquitetura do órgão da Polícia Federal.
Veja, então, que o nosso curso será elaborado à quatro mãos! Alinhamos o nosso cronograma de
maneira que você possa extrair o máximo de conhecimento de dois professores que trilharam caminhos
diferentes, mas que, a partir de agora, tem um objetivo em comum...
Antes de falarmos um pouquinho sobre nosso cronograma e metodologia, irei apresentar o Raio X
estratégico que realizamos com o objetivo de priorizar os temas abordados no nosso curso regular.
RAIO X ESTRATÉGICO
O nosso ponto de partida para a elaboração do curso regular de engenharia elétrica para concursos
foi entender como e o que editais estão cobrando nos concursos. Ou seja, responder a seguinte pergunta:
Quais assuntos e temas mais exigidos nos editais de concursos públicos para engenharia elétrica?
Nós tivemos um pouco de dificuldade com a generalidade dos conteúdos cobrados em alguns editais,
pois eles não especificavam os assuntos dentro de temas que, muitas vezes, coincidiam até com nomes de
algumas disciplinas que cursamos na graduação (por exemplo, Máquinas elétricas).
Dessa forma, tivemos que classificar os assuntos dentro de “grandes áreas” (e assim vou chamar
devido à quantidade subtemas que podem ser cobrados dentro delas) para ter um panorama geral do
conteúdo programático.
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O resultado que obtivemos foi o gráfico de incidência de temas nos editais mais atuais de engenharia
elétrica.
Perceba que Circuitos Elétricos e Instalações Elétricas são, disparados, os temas mais cobrados pelos
editais. Eles foram exigidos em 100% dos editais analisados! São seguidas de máquinas e sistema elétrico de
potência. Isso faz todo o sentido, pois elas são disciplinas fundamentais na graduação de engenharia elétrica.
Note também que alguns temas são mais abrangentes que outros e, assim, contemplam vários
assuntos dentro deles...
É importante ressaltar que existe uma grande diversidade de temas dentro dos editais e alguns não
foram apresentados no gráfico devido à sua baixa incidência. Mas que, eventualmente, pode ser abordado
em nossas aulas por serem fundamentos para o entendimento de outras partes da matéria.
A análise dos editais nos permite também verificar as tendências mais atuais sobre a exigência de
determinados temas. Ultimamente, as bancas estão cobrando, por exemplo, o conteúdo de fontes
alternativas de energia, mesmo quando a parte de geração não é especificada no edital.
Perceba que, apenas por meio dessa análise, nós pudemos montar um curso objetivo e priorizado,
focado no que realmente é exigido pelas bancas!
O tipo de concurso e o perfil da banca influenciam diretamente nos conteúdos programáticos dos
editais. Pensando nisso, o nosso curso é um curso regular que contempla as matérias que, em geral, são
cobradas nos concursos.
Dessa forma, o aluno poderá se preparar por meio de um clico básico de estudos baseado nos
principais temas e, assim, aumentar cada vez mais a sua bagagem de conhecimento. Posteriormente a uma
eventual publicação de edital, nós poderemos direcionar o seu estudo para pontos específicos.
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Dessa forma, nós também analisamos as provas aplicadas com o objetivo de terminar quais foram os
temas mais representativos!
Pense comigo! Temas muito exigidos nos editais, não necessariamente são temas representativos.
Pode ocorrer de um tema muito cobrado, ter apenas uma ou duas questões em prova.
Então, também nos baseamos nessa análise para contemplar, em nossos cursos, os temas que além
de serem muito incidentes, são também temas representativos.
Nós analisamos cerca de 40 provas, totalizando aproximadamente 1000 questões. O gráfico abaixo
representa os resultados obtidos para as grandes áreas.
Perceba que os resultados desse gráfico correspondem também aos resultados obtidos na análise
dos editais. O que aumenta ainda mais a nossa confiança de que o conteúdo programático do nosso curso
está em conformidade com as exigências atuais.
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CRONOGRAMA/ METODOLOGIA
A análise dos editais e das provas nos deu um embasamento estatístico para determinar a prioridade
dos temas. Por isso, nós criamos um cronograma considerando essas duas análises! Com o tempo, iremos
sempre atualizar e aumentar o número de provas e editais analisados para dar cada vez te dar mais
segurança.
Evidencio que as aulas foram divididas conforme a quantidade de subtemas cobrados dentro das
grandes áreas. Logo, algumas aulas foram divididas em partes para poder contemplar os tópicos mais
importantes e indispensáveis de seu estudo.
PLANEJAMENTO GERAL
AULAS CONTEÚDO DATA
(postagem)
UNIDADE I: Fundamentos de Eletricidade:
Capítulo 1- Lei de Coulomb
Capítulo 2- Campo Elétrico
Capítulo 3-Diferença de Potencial
Profa. Mariana
Capítulo 4- Materiais Elétricos
Aula 00 Moronari
UNIDADE II: Circuitos elétricos (PARTE 1):
15/01
Capítulo 5- Corrente Elétrica CC
Capítulo 6- Análise de Circuitos CC
Capítulo 7- Métodos de análise
Capítulo 8- Teoremas de circuitos
CIRCUITOS ELÉTRICOS (PARTE 2):
Profa. Mariana
Capítulo 1: Senóides e Fasores
Aula 01 Moronari
Capítulo 2: Análise de potência CA
02/02
Capítulo 3: Circuitos trifásicos
ELETRÔNICA ANALÓGICA E DIGITAL:
Capítulo 1: Diodos Prof. Samuel
Aula 02 Capítulo 2: Transistores Carvalho
Capítulo 3: Amplificadores 20/02
Capítulo 4: Circuitos Digitais
MÁQUINAS ELÉTRICAS (PARTE 1):
Profa. Mariana
Capítulo 1: Fundamentos do eletromagnetismo
Aula 03 Moronari
Capítulo 2: Circuitos magnéticos
09/03
Capítulo 3: Transformadores
MÁQUINAS ELÉTRICAS (PARTE 2):
Capítulo 1: Princípios da conversão eletromecânica Prof. Samuel
Aula 04 Capítulo 2: Máquinas síncronas Carvalho
Capítulo 3: Máquinas de indução 27/03
Capítulo 4: Máquinas de corrente contínua
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Não posso deixar de destacar que a resolução das questões traz uma bagagem muito importante para
o entendimento, treinamento e memorização do conteúdo. Principalmente, na área de exatas.
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A intenção é que você use seu tempo estudando apenas aquilo que responderá as questões, sem ir
além.
Com o nosso curso, você poderá relembrar e treinar os pontos mais importantes dos assuntos
estudados em sua graduação, focando sempre na forma e no nível de profundidade que eles são cobrados.
Vamos sempre priorizar o seu tempo e o seu esforço no que realmente importa, ok?
Além disso, teremos videoaulas! Essas aulas destinam-se a complementar a preparação. Quando
estiver cansado do estudo ativo (leitura e resolução de questões) ou até mesmo para a revisão, abordaremos
alguns pontos da matéria por intermédio dos vídeos.
Com essa outra didática, você disporá de um conteúdo complementar para a sua preparação. Ao
contrário do PDF, evidentemente, as videoaulas podem não atender todos os pontos que vamos analisar nos
nossos livros eletrônicos. Nosso foco é, sempre, o estudo ativo!
Com objetivo de otimizar os seus estudos, você encontrará oportunamente, em nossa plataforma
(Área do aluno), alguns recursos que irão auxiliar bastante a sua aprendizagem, tais como “Resumos”,
“Slides” e “Mapas Mentais” dos conteúdos mais importantes desse curso. Essas ferramentas de
aprendizagem irão te auxiliar no domínio da matéria que você não pode ir para a prova sem saber.
Deixarei nossos contatos para quaisquer dúvidas ou sugestões. Estarei a sua disposição para
respondê-las, afinal é a partir dessas dúvidas que a matéria será fixada em sua mente!
Teremos o prazer em orientá-lo(a) da melhor forma possível nesta caminhada que estamos iniciando.
Conto com todo seu interesse e empolgação para que tenhamos um alto grau de aproveitamento
neste curso!
Um grande abraço,
Mariana Moronari
“Uma mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original.”
Albert Einstein
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De qualquer forma, o seu tamanho não representa, em geral, o tamanho das outras aulas!
A teoria eletromagnética e a teoria de circuitos elétricos são duas teorias fundamentais em que se
apoiam os ramos da engenharia elétrica.
Dessa forma, essa aula foi dividida em duas unidades. A primeira unidade é destinada à apresentação
dos fundamentos de eletricidade, na qual abordaremos os principais aspectos sobre lei de Coulomb, campo
elétrico, diferença de potencial e materiais elétricos.
Como a segunda parte é destinada à eletricidade aplicada, a maior parte das questões comentadas
serão sobre os temas dessa unidade.
1. LEI DE COULOMB
Esse capítulo, essencialmente, se concentrará no estudo da eletrostática e eletrodinâmica (estudo
das cargas em repouso e em movimento). Depois de introduzir o conceito de força e carga elétrica,
apresentaremos a Lei de Coulomb, que, basicamente, descreve a força elétrica exercida por uma carga em
outra.
Evidencio que são indiscutíveis a importância e as diversas áreas de aplicações desse tema.
Transmissão de energia elétrica e proteção contra descargas atmosféricas são, por exemplo, áreas associadas
que necessitam de um conhecimento aprofundado sobre eletrostática para que seja possível projetar
equipamentos adequados.
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Considere uma força semelhante à força gravitacional que varie predominantemente com o inverso
do quadrado da distância, mas que seja cerca de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de vezes mais
intensa. Essa força é responsável pela atração e repulsão entre dois tipos de “matéria”, que podemos chamar
de matéria positiva e matéria negativa.
A repulsão elétrica entre dois elétrons é 1042 vezes maior que sua atração gravitacional.
As cargas elétricas elementares são constituídas, no nível atômico, pelos elétrons e pelos
prótons que formam os átomos. Os elétrons os prótons contêm cargas de sinais opostos e
mesmo módulo, sendo a carga do elétron negativa e do próton positiva. O nêutron, como
o próprio nome sugere, não possui carga elétrica.
Toda matéria é uma mistura de prótons positivos e elétrons negativos, que estão se atraindo e
repelindo por esta força extraordinária (Força elétrica). Entretanto, o balanço de forças é tão perfeito, que,
quando você está próximo de uma outra pessoa, não é capaz de sentir força alguma.
E mesmo um pequeno desbalanceamento poderia ser sentido! Se você estiver a uma distância de um
braço de alguém e cada um de vocês tiver um por cento a mais de prótons, a força de repulsão seria
extremamente grande.
Professora, mas quão grande seria? O suficiente para erguer o edifício Empire State?
Não!
Também não!
Saiba que a repulsão seria suficiente para erguer um “peso” igual ao de toda a Terra!
As cargas existem em dois tipos, positivas e negativas justamente porque seus efeitos tendem a se
cancelar.
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Se você tiver +𝒒 e −𝒒 no mesmo ponto, eletricamente será como se ali não houvesse carga
nenhuma.
Isso pode parecer óbvio demais para merecer um comentário, mas vamos continuar explorando
outras possibilidades...
Os sistemas estariam sujeitos a forças imensas, por exemplo, uma batata explodiria se esse
cancelamento tivesse uma imperfeição tão mínima quanto uma parte em 1010 .
Outro ponto importante é que a carga é conservada, não podendo ser criada ou destruída. Ou seja,
o que existe hoje sempre existiu.
Uma carga positiva pode “aniquilar” uma carga negativa equivalente, mas uma carga
positiva ou negativa não pode simplesmente desaparecer por si só.
Dessa forma, a carga total do universo está fixada para todo sempre. Essa é a chamada conservação
global de carga!
A conservação global permite que uma carga desapareça em São Paulo e reapareça imediatamente
em Brasília (isso não afetaria o total), mas sabemos que isso não acontece. Se a carga estivesse em São Paulo
e fosse para Brasília, teria de ter atravessado algum trajeto contínuo de um lugar para outro. Isso se chama
conservação local da carga.
Oportunamente veremos como formular uma lei matemática precisa que expressa a conservação
local de cargas, chamada de equação de continuidade.
A mecânica nos diz como um sistema irá se comportar quando estiver sujeito a uma determinada
força. Existem quatro forças fundamentais conhecidas (atualmente) na física.
1. Forte;
2. Eletromagnética;
3. Fraca;
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4. Gravitacional.
Mas você pode estar se perguntando, onde está o atrito? Onde está a força “normal” que não nos
deixa atravessar o chão? Onde está a força de impacto entre duas bolas de bilhar que que colidem?
De fato, não é exagero dizer que vivemos em um mundo eletromagnético, pois praticamente todas
as forças que sentimos no nosso dia a dia, com exceção da gravidade, tem origem eletromagnética. A força
eletromagnética está relacionada praticamente com todos os fenômenos físicos que encontramos no nosso
cotidiano, pois as interações entre os átomos são regidas pelo eletromagnetismo.
As forças fortes, que mantêm prótons e nêutrons unidos no núcleo atômico, têm alcance
extremamente curto e, portanto, não as “sentimos”, apesar do fato de sem cem vezes mais fortes do que
as forças elétricas. As forças fracas, que respondem por certos tipos de decaimentos radioativos, não só têm
curto alcance, como são, antes de mais nada, muito mais fraca do que as eletromagnéticas.
Como sabemos, os átomos são formados por um núcleo de prótons positivos com elétrons negativos
ao seu redor. Então, você poderia se perguntar: “se esta força elétrica é tão extraordinária, por que os
prótons e os elétrons não caem uns em cima dos outros? Se eles querem estar numa mistura compacta, por
que não fica ainda mais compactos?”
A resposta está intimamente relacionada com o efeito quântico. Ao tentar confinar elétrons numa
região muito próxima dos prótons, de acordo com princípio da incerteza, estes elétrons adquiriam um
momento quadrático médio que aumentaria à medida que os elétrons fossem confinados. É este
movimento, exigido pelas leis da mecânica quântica, que impede a atração elétrica de juntar ainda mais as
cargas.
Você também poderia fazer a seguinte pergunta: “O que mantém os núcleos coesos?” No núcleo
existem vários prótons, todos positivos. Por que a repulsão não os afasta?
Acontece que dentro do núcleo existem, além das forças elétricas, forças não-elétricas, chamada de
forças nucleares ou força forte. Estas forças fortes são mais intensas que as forças elétricas, o que as permite
manter os prótons unidos, apesar de existir repulsão devido as forças elétricas.
Entretanto, as forças fortes possuem curto alcance e sua intensidade diminui mais rapidamente que
2
1/𝑟 . Este fato possui um a importante consequência, ou seja, se um núcleo tiver muitos prótons, ele se
torna muito grande e estes prótons não conseguirão se manter unidos. Um exemplo é o urânio, com 92
prótons.
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As forças fortes atuam principalmente entre cada próton (ou nêutron) e seus vizinhos mais próximos,
enquanto a as forças elétricas atuam em distâncias maiores, criando uma repulsão entre cada próton e todos
e todos os outros prótons presentes no núcleo. Quanto mais prótons houver no núcleo, mais forte será a
repulsão elétrica.
No caso do urânio, o desbalanceamento de forças é tão delicado que está prestes a se estilhaçar
devido às forças elétricas. Se este núcleo de urânio for perturbado, ou seja, “cutucado”, ele se partirá em
dois pedaços, cada um com carga positiva e estes pedaços se afastarão pela repulsão elétrica. A energia
liberada neste processo é a energia de uma bomba atômica. Essa energia é usualmente chamada de energia
“nuclear”, mas é, na verdade, uma energia “elétrica” liberada quando as forças elétricas superam as forças
fortes.
É claro que existe também uma teoria clássica para a gravidade (lei da gravitação universal) e outra
que é relativística (a teoria da relatividade geral de Einstein), mas nenhuma teoria quântica satisfatória foi
construída para a gravidade (embora muita gente esteja trabalhando nisso).
Atualmente existe uma teoria muito bem-sucedida (embora excessivamente complicada) para as
interações fracas e uma candidata extraordinariamente atraente (chamada cromodinâmica) para as
interações fortes.
Todas essas teorias tiram suas inspirações da eletrodinâmica e nenhuma delas pode alegar verificação
conclusiva no estágio atual. Portanto, a eletrodinâmica, uma teoria maravilhosamente completa, tornou-se
uma espécie de paradigma dos cientistas.
Um campo eletrostático é gerado por uma distribuição de cargas estáticas. Ou seja, eles
são invariáveis no tempo.
Ao longo da nossa discussão, assumiremos que o campo elétrico está no vácuo, mesmo que o campo
elétrico em um meio material possa ser tratado, por conveniência, em outra situação.
A lei de Coulomb e a lei de Gauss são as duas leis fundamentais que governam a eletrostática. A lei
de Coulomb é uma lei mais geral que pode ser aplicada a qualquer configuração de cargas e a lei de Gauss é
utilizada quando a distribuição de cargas é simétrica.
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A lei de Coulomb descreve a interação eletrostática entre partículas carregadas. Ela pode ser
resumida em três afirmações:
Note que o termo pontual significa que o tamanho das cargas é pequeno em comparação as
dimensões do sistema.
𝐾|𝑞1 ||𝑞2 |
𝐹=
𝑟2
onde |q1 | e |q 2 | são os módulos das cargas, 𝑟 é distâncias entre as cargas e 𝐾 é uma constante de
proporcionalidade. Essa equação é uma expressão escalar, ou seja, fornece informação sobre o módulo da
força.
Nas descrições de problemas, o sentido e a direção devem ser atribuídos. Se as cargas possuem sinais
contrários, as observações de coulomb estabelecem que a força é atrativa, assim, o sentido da força que
atua em 𝐪𝟏 é de 𝐪𝟏 para 𝐪𝟐 , enquanto a força que atua em 𝐪𝟐 é de 𝐪𝟐 para 𝐪𝟏 e a direção é a linha que
passa pelas duas cargas (Figura 1).
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Ao utilizar a lei de Coulomb, deve-se considerar que cargas opostas se atraem e cargas de mesmo
sinal se repelem, lembrando que a força é newtoniana, isto é, a força coulombiana obedece à terceira lei de
Newton.
Para escrever a lei de Coulomb na forma vetorial, é preciso considerar o fato de que a força atua ao
longo da linha que une as cargas, sendo positiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e negativa se possuírem
sinais opostos.
Considerando ⃗⃗⃗𝐹1 a força que age sobre a carga q1 (em virtude da presença da carga q 2 ) e 𝑟1,2 é o
vetor que parte de q 2 a q1 cujo módulo é 𝑟1,2 , temos:
Para obter a força elétrica sobre a carga q 2 , é preciso apenas permutar os índices 1 e 2. É importante
observar nessa equação que q1 e q 2 são quantidades positivas e negativas das cargas, que devem ser
atribuídas cada uma com seu sinal na equação vetorial. O resultado fornecido (Fig. 2) é o vetor força
eletrostática, que apresenta informações sobre módulo, direção e sentido da interação.
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1 𝑁𝑚2
𝐾 = 4𝜋𝜖 = 9 ∙ 109
0 𝐶2
onde 𝜖0 = 8,854 × 10−12 𝐶 2 /𝑁𝑚2, que é conhecida como permissividade elétrica no vácuo. Podemos
reescrever a equação da seguinte maneira:
1 𝑞1 𝑞2
𝐹1 = 2 𝑟̂
4𝜋𝜖0 𝑟1,2
Temos um dipolo elétrico quando duas cargas pontuais de igual magnitude e sinais
opostos estão separadas por uma pequena distância.
A intensidade da força gravitacional Fg entre dois corpos de massa m1 e m2 é dada pela lei da
gravitação de Newton:
𝑚1 𝑚2
𝐹𝑔 = 𝐺 𝑟2
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Perceba que podemos comparar essa intensidade com a intensidade da força elétrica de Coulomb
definida na seção anterior.
1 𝑞1 𝑞2
𝐹𝑒 = 4𝜋𝜖
0 𝑟2
Essas leis dependem do inverso do quadrado das distâncias entre os centros dos corpos que
interagem e envolvem a propriedade de interação à distância entra as partículas. Note também que, na
gravitação, sempre haverá atração!
Considere a interação ente duas partículas α (núcleo do átomo de Hélio). A massa da partícula α
equivale a 6,64 × 10−27 kg e sua carga ( +2e ) equivale a 3,2 × 10−19 C.
Vamos então comparar a repulsão elétrica das partículas α com a atração gravitacional entre elas.
Utilizando as equações da força elétrica de coulomb e da força gravitacional, temos que a razão 𝐹𝑒 /𝐹𝑔 é dada
por
2
𝐹𝑒 1 𝑞2 9∙109 (3,2∙10−19 )
= = = 3,1 ∙ 1035
𝐹𝑔 4𝜋𝜖0 𝐺 𝑚2 6,67∙10−11 (6,64∙10−27 )2
O resultado acima revela o quanto a força gravitacional nesse caso é desprezível em comparação com
a força elétrica. Isto é sempre verdade para interação entre partículas atômicas e subatômicas. Se
compararmos dois corpos do tamanho de uma pessoa e de um planeta, em geral, esses dois sistemas não
estão carregados, ou seja, a carga líquida positiva é aproximadamente igual a carga líquida negativa e dessa
forma a força elétrica é muito menor do que a força gravitacional.
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Resolução e comentários:
A questão solicita que você determine a intensidade, a direção e o sentido da força elétrica
resultante sobre a carga 𝑞0 . O procedimento para resolver esta questão consiste em inicialmente
determinar o módulo das forças elétricas |𝐹1,0 | e |𝐹2,0 |. Essas forças agem sobre a carga 𝑞0 .
0
O próximo passo é analisar o diagrama de corpo livre sobre a carga 𝑞0 , com o objetivo de identificar e
determinar as componentes vetoriais das forças aplicadas sobre ela.
Como o vetor 𝐹1,0 faz um ângulo de 𝜃 = 45∘ em relação ao semieixo positivo dos 𝑥's, temos:
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2. CAMPO ELÉTRICO
O campo elétrico é uma entidade abstrata criada por distribuições de cargas e existe em todos pontos
do espaço. As distribuições de cargas no espaço vazio (vácuo) afetam todos os pontos do espaço produzindo
em cada ponto um valor de campo elétrico. Uma carga de prova pode revelar a existência desse campo
elétrico pela força elétrica nela exercida.
Uma forma de visualizar o campo elétrico de forma mais concreta é caracterizar a distribuição do
campo no espaço utilizando o conceito de linha de campo. As linhas de campo são curvas tangentes em cada
ponto à direção do campo elétrico.
Dessa forma, podemos determinar imediatamente a direção do campo em cada um dos seus pontos
apenas com uma linha de campo elétrico. Sua trajetória tem a função de ilustrar a distribuição do campo
elétrico no espaço. Para cargas pontuais afastadas umas das outras, as linhas de campo elétrico são
caracterizadas por serem radiais (Fig. 3).
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A força elétrica exercida por uma carga sobre a outra é um exemplo claro de uma força que atua à
distância, o que é similar à força gravitacional.
Imaginando que uma partícula carregada (posicionada em algum ponto do espaço) seja removida
repentinamente, será que a força elétrica exercida sobre a segunda partícula (que está a uma certa distância
𝑟) varia instantaneamente?
Sabendo que uma carga produz um campo elétrico 𝐸⃗ em todos os pontos do espaço e este campo
exerce uma força elétrica sobre uma segunda carga. Então, será o campo 𝐸⃗ na posição da segunda partícula
que exercerá a força sobre ela, e não a primeira carga (a qual está a certa distância).
Saiba que as perturbações no campo elétrico se propagam no espaço com a velocidade da luz (c ≈
299.792,459 m/s). Dessa forma, se carga for deslocada repentinamente, a força que ela exerce através de
seu campo elétrico sobre a segunda carga (a uma distância 𝑟) não muda antes de um intervalo de tempo de
|𝑟|/c.
Para verificarmos se existe campo elétrico em um dado local do espaço, coloca-se no referido local
um corpo carregado, chamado de carga teste ou carga de prova (q 0 ).
A carga teste é uma carga elétrica de valor bastante pequeno (desprezível), ou seja, a
perturbação causada por ela também será desprezível.
Quando carga teste sofre a ação de uma força elétrica, concluímos que existe um campo elétrico
nessa região. O campo elétrico nessa região é produzido por outra carga e não pela carga teste.
O vetor intensidade de campo elétrico E é dado pela força por unidade de carga imersa
nesse campo elétrico.
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𝐹𝑂
𝐸⃗ = lim
𝑞0 →0 𝑞0
➢ A equação acima fornece a intensidade do Campo Elétrico e não o campo elétrico em si. No entanto,
essa denominação não é utilizada na prática, de modo que a grandeza acima é geralmente chamada
simplesmente de campo elétrico;
➢ O limite aplicado acima é apenas formal, pois a carga é quantizada e não pode assumir valores
menores em módulo do que a carga do elétron;
➢ Apesar da definição operacional ser dada em função da carga de teste, o campo elétrico é uma
propriedade da carga fonte;
➢ Em medidas experimentais, a carga de prova deve ter o menor valor possível, para que o campo
gerado por ela não perturbe significativamente a distribuição de carga fonte cujo campo se quer
mensurar;
➢ O vetor intensidade de campo elétrico está na mesma direção que a força elétrica.
Dessa forma, podemos considerar simplesmente que o vetor intensidade de campo elétrico é dado
por:
𝐹
𝐸⃗ = 𝑞
Nas próximas seções, iremos descrever o campo elétrico gerado por cargas pontuais e por
distribuições contínuas de cargas.
Quando a distribuição de uma carga fonte corresponde a uma carga puntiforme 𝑄, é fácil descrever
o campo elétrico que ela produz. O local onde essa carga fonte se encontra é denominado ponto A, e o local
onde desejamos determinar o campo elétrico é denominado ponto B. O vetor unitário 𝑟̂ é igual o
deslocamento 𝑟 que une os pontos A e B dividido pela distância |𝑟| = 𝑟, ou seja, 𝑟̂ = 𝑟/𝑟.
Se colocarmos uma carga teste q 0 em B a uma distância 𝑟 da carga fonte, o módulo da força elétrica
é dado pela Lei de Coulomb:
1 Q𝑞0
𝐹 = 4𝜋𝜖
0 𝑟2
𝐹 1 Q
𝐸 = 𝑞 = 4𝜋𝜖 2
0 0𝑟
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Observe que o campo elétrico no ponto B depende da distribuição da carga fonte Q. Utilizando o
vetor unitário, podemos escrever uma expressão vetorial para o campo elétrico que fornece seu módulo,
direção e sentido.
1 Q
𝐸⃗ = 4𝜋𝜖 𝑟̂
0 𝑟2
A expressão acima determina o vetor campo elétrico em determinado ponto. Porém, uma vez que o
campo elétrico pode variar de um ponto para outro, ele não é dado por uma única grandeza vetorial, mas
por um conjunto de grandezas vetoriais, cada uma das quais associada a um ponto desse espaço.
É de extrema importância entendermos bem sobre o sentido dessas grandezas vetoriais para que
possamos resolver corretamente as questões! Vamos então analisar o sentido do campo elétrico e da força
entre as cargas...
O sentido do vetor campo elétrico de uma carga fonte carregada positivamente e negativamente é
ilustrado pela Figura (4).
Figura 4- Comportamento do vetor campo elétrico de uma carga fonte positiva e negativa.
Ou seja, perceba que a linha de força para o vetor campo elétrico para uma carga positiva tem o
sentido de "sair" da carga e para uma carga negativa possui o sentido de entrar!
Quando a carga teste sofre a ação de uma força elétrica, conclui-se que o campo elétrico detectado
é produzido por outras cargas e não por 𝑞0 , pois sua carga elétrica é desprezível.
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Portanto, quando o campo elétrico 𝐸⃗ é conhecido em um dado ponto do espaço, a força elétrica 𝐹
que atua sobre uma carga teste 𝑞0 é simplesmente 𝐹0 = 𝑞0 𝐸⃗ .
Isso dependerá da relação de atração ou repulsão entre a carga fonte e a carga teste. Considerando
que a carga fonte está carregada positivamente (Q+):
➢ Quando 𝑞0 também for positiva, 𝐹0 que age sobre a carga terá o mesmo sentido de 𝐸⃗ , pois haverá
uma força de repulsão entre as cargas.
➢ Quando 𝑞0 for negativa, 𝐹0 e 𝐸⃗ terão sentidos contrários, pois o sentido do campo elétrico
permanecerá "saindo" da carga fonte e, agora, a força entre as cargas será de atração!
O comportamento da força e do campo elétrico gerado por uma carga fonte carregada positivamente
sobre uma carga teste pode der visualizado na Figura (5).
Q
q0 ~
E
F~0
Q
q0 ~
F~0 E
Observe que o mesmo raciocínio pode ser utilizado quando a carga teste está carregada
negativamente. Dessa forma, podemos concluir que o sentido da força elétrica e do campo elétrico será
determinado pela carga teste!
Se a carga teste for positiva, o campo elétrico e a força elétrica terão o mesmo sentido! Se
a carga teste for negativa, o campo elétrico e a força elétrica terão sentidos contrários!
Em alguns casos, o módulo e a direção do campo são constantes em uma certa região do espaço e,
assim, teremos um Campo Uniforme. Um bom exemplo é o campo elétrico no interior de um condutor. Caso
exista um campo elétrico no interior de um condutor, o campo exerce uma força sobre cada carga existente
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no interior do condutor, produzindo um movimento das cargas livres. Por definição, não existe nenhum
movimento efetivo em uma situação eletrostática.
Até agora nós consideramos somente forças e campos elétricos de cargas pontuais. Ou seja, cargas
que ocupam um pequeno espaço físico. No entanto, também devemos considerar "corpos" carregados
eletricamente com uma distribuição de cargas.
A carga elétrica é quantizada a nível microscópio e, portanto, as distribuições de carga são discretas.
Porém existem situações em que o acúmulo de cargas é tão grande que podemos considerar a carga como
uma grandeza distribuída de forma contínua, semelhante à descrição de massa específica (utilizando o
conceito de densidade linear λ, superficial σ e volumétrica ρ).
Da mesma forma, consideramos um elemento de comprimento (dx), superfície (dA) ou volume (dV)
que seja grande o suficiente para conter uma quantidade relevante de portadores de carga e, ainda sim, esse
elemento seja suficiente pequeno em comparação com as dimensões do sistema em análise.
A Figura (6) representa um sistema carregado com uma distribuição contínua de carga Q e volume V.
Com o objetivo de descrever o campo elétrico gerado por uma carga pequena o suficiente para ser
tratada como carga puntiforme sobre um ponto P , podemos utilizar a Lei de Coulomb para quantificar o
módulo do campo elétrico nessa região do espaço.
É usual denotar a densidade de cargas volumétrica por 𝜌𝑉 , temos então para este caso que:
𝑑𝑞 = 𝜌𝑉 𝑑𝑉
Logo,
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0
1 |𝑑𝑞|
|𝑑𝐸⃗ | = 4𝜋𝜖
0 𝑟2
Ou seja, a carga total é dada pela superposição de todos os elementos de cargas que
compõe o sistema total!
O módulo do campo elétrico total no ponto P é calculado por meio da integração do campo de todos
os elementos de carga. Portanto,
Integrando,
1 𝜌𝑉
|𝐸⃗ | = 4𝜋𝜖 ∫𝑉 𝑑𝑉
0 𝑟2
Essa fórmula pode ser aplicada para calcular o módulo do vetor intensidade de campo elétrico de
diferentes distribuições, como linha, superfície e volume de carga, considerando sempre o sistema de
coordenadas que melhor descreverá a geometria do problema!
A densidade de fluxo elétrico D está relacionada com a intensidade do campo elétrico E por meio da
seguinte relação:
⃗ = 𝜖0 𝐸⃗
𝐷
10−9
𝜖0 = 36𝜋
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A densidade de fluxo elétrico também pode ser relacionada com o fluxo elétrico. Por definição, o
fluxo do campo elétrico E através de uma superfície orientada dS é calculado como a integral do produto
escalar entre estes dois vetores. Dessa forma, temos que
⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝜓 = ∫𝑆 𝐷 𝑑𝑆
As linhas de campo elétrico têm propriedades que as tornam muito úteis. Essas propriedades são:
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Como o campo elétrico é radial, as linhas são retas partindo da origem em todas as direções,
orientadas para fora no caso em que 𝑄 é positiva e para dentro no caso em que 𝑄 é negativa.
Para verificar a última propriedade, vamos considerar uma carga pontual +𝑞 envolta por uma
superfície 𝑆 esférica de raio 𝑟, como mostra a Figura (7).
Figura 7-Carga puntiforme "+q" envolvida por uma superfície esférica S fechada. Fonte: YOUNG, HUGH.
Raciocine comigo...
Por essa superfície passam 𝑁 linhas de campo, distribuídas de forma homogênea por uma área
equivalente a
𝐴 = 4𝜋𝑅 2
𝑁
𝐸∝ 4𝜋𝑅 2
1
Como 𝑁 é fixo, temos então que 𝐸 ∝ 𝑅2 , o que está totalmente de acordo com a Equação para o
campo elétrico gerado por uma carga pontual.
Agora, vamos fazer uma análise de forma mais aprofundada para situação ilustrada pela Figura 7 com
o objetivo de entendermos a importância da aplicação do fluxo elétrico...
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Como o campo elétrico de uma carga pontual tem simetria esférica radial (Fig. 7), o campo 𝐸⃗ tem
módulo constante em cada ponto da superfície e está na direção normal à superfície. Ou seja, podemos
retirar o produto escalar e os termos constantes da equação.
⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝜖0 𝐸 𝑑𝑆 = 𝜖0 𝐸 ∫ 𝑑𝑆
⃗ ∙ 𝑑𝑆
𝜓 = ∫𝑆 𝐷 𝑆 𝑆
𝜓 = 𝜖0 𝐸 (4𝜋𝑟 2 )
Substituindo o campo elétrico por sua respectiva equação (definida na seção 2.2), temos
1 Q
𝜓 = 𝜖0 (4𝜋𝑟 2 ) = 𝑄
4𝜋𝜖0 𝑟 2
Isso ocorre porque o fluxo elétrico está associado ao número de linhas de campo que atravessam a
superfície 𝑆 (no caso considerado, esse número é sempre fixo)!
A forma da superfície 𝑆 também não importa, pois o número de linhas de campo atravessará a
superfície 𝑆 de qualquer formato que seja colocado em volta da carga.
A Figura (8) representa justamente a situação em que a carga puntiforme Q está envolvida por
superfícies de diferentes formatos.
Figura 8-Carga puntiforme Q envolvida por superfícies fechadas de formas diferentes. Fonte: MACHADO, KLEBER.
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Isso significa que o fluxo por qualquer uma dessas superfícies fechadas é o mesmo! Apenas é mais
fácil calculá-lo para o caso da superfície fechada esférica, porque ela acompanha a simetria do campo
elétrico.
Esse tipo de superfície, que facilita o cálculo do fluxo elétrico e explora a simetria da
distribuição de cargas, é conhecida como superfície gaussiana.
O cálculo para outras superfícies é mais complicado, mas o resultado final seria idêntico. Ou seja, para
qualquer superfície fechada, teremos:
⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝜓 = ∫𝑆 𝐷 𝑑𝑆 = 𝑄
Uma linha de fluxo elétrico é uma trajetória ou uma linha imaginária desenhada de tal
modo que sua orientação em qualquer ponto é a orientação do campo elétrico no ponto.
Logo, são linhas para as quais o vetor densidade de fluxo elétrico D é tangencial a cada
ponto.
Até agora foi analisado a situação onde existia apenas uma única carga pontual dentro da superfície.
No entanto, se tivermos várias cargas pontuais, deveremos considerar a carga líquida total 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 dentro da
superfície.
Esse resultado nos leva à lei de Gauss. Essa importante lei estabelece que:
O fluxo total 𝜓 através de qualquer superfície fechada é igual à carga total envolvida por
essa superfície.
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⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝜓 = ∫𝑆 𝐷 𝑑𝑆 = 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
As cargas podem estar localizadas em qualquer lugar no seu interior, não necessariamente
no centro.
Considerando a situação em que a superfície gaussiana envolve uma distribuição contínua de carga
de densidade volumétrica, teremos:
𝜌𝑉 = 𝑑𝑞/𝑑𝑉
Ou seja,
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∫𝑉 𝜌𝑉 𝑑𝑉
⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝜌𝑉 𝑑𝑉
⃗ ∙ 𝑑𝑆
∫𝑆 𝐷 𝑉
Aplicando o teorema da divergência à lei de Gauss para campos elétricos, obtermos a primeira
equação de Maxwell no formato diferencial e integral.
∫𝑆 𝐷 ⃗⃗⃗⃗ = ∫ ∇ ∙ 𝐷
⃗ ∙ 𝑑𝑆 ⃗ 𝑑𝑣
𝑉
⃗ = 𝜌𝑉
∇∙𝐷
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O teorema da divergência basicamente relaciona uma integral de volume com uma integral
de superfície.
Perceba que a equação na forma integral e na forma diferencial são, apenas, formas diferentes de
expressar a lei de Gauss.
A lei de Gauss é de extrema importância, pois representa uma maneira mais fácil de se determinar o
vetor intensidade de campo elétrico 𝐸⃗ para distribuições simétricas de carga, tais como:
Convém salientar que se a distribuição não for simétrica, a lei de Gauss permanece válida da mesma
forma! Portanto,
Para aplicar a lei de Gauss, devemos verificar a existência de simetria. Uma vez identificada a
distribuição simétrica de cargas, podemos construir a nossa superfície gaussiana de modo que o vetor
intensidade de campo elétrico 𝐸⃗ seja normal à superfície e, assim, poderemos retirar o produto escalar da
integral.
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0
A) 1
B) -1
C) 0
𝑞
D)
4𝜋𝜀0 𝑎2
𝑞
E) 4𝜋𝜀 2
0𝑅
Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule o campo elétrico produzido pelo anel no ponto P, descrito pela
figura.
O procedimento para resolver essa questão consiste em aplicar a lei de Coulomb, explorando da
simetria do problema para fazermos uma análise mais simples.
O anel carregado é um caso típico de distribuição de cargas, então, é bom que, de fato, você tenha
o conhecimento de como calcular o campo elétrico em um anel carregado.
Conforme estudamos, o campo elétrico dE produzido por uma carga pontual dq é dado por:
1 𝑑𝑞
𝑑𝐸 = 4𝜋𝜖
0 𝑟2
O ponto chave para resolver essa questão é olhar para a simetria do problema, considerando a
própria figura do enunciado. Olhe pra ela e perceba que cada elemento de carga dq que compõem o
anel vai produzir um campo dE no ponto P. A questão é que, se tomarmos um elemento de carga dq
oposto e decompormos no esse vetor no eixo y, eles irão se anular nessa direção (apenas eixo Y!).
Em todas as direções que você olhar, vai sobrar apenas dE na direção do eixo x. Logo, por simetria,
Ey=0.
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Partindo desse princípio, temos que encontrar apenas a componente x do campo elétrico. E é
assim que vamos proceder!
𝑑𝐸𝑥 = 𝑑𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐸𝑥 = ∫ 𝑑𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃
Substituindo dE,
1 𝑑𝑞 1 𝑑𝑞
𝐸𝑥 = ∫ 4𝜋𝜖 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 4𝜋𝜖 ∫ 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜃
0 𝑟2 0
1 𝑑𝑞 𝑎
𝐸𝑥 = 4𝜋𝜖 ∫ (𝑅2+𝑎2) 1
0 ( )
(𝑅 2 +𝑎2 ) 2
Simplificando,
1 𝑑𝑞 𝑎
𝐸𝑥 = 4𝜋𝜖 ∫ (𝑅2+𝑎2)3/2
0
1 𝑎
𝐸𝑥 = 4𝜋𝜖 ∫ 𝑑𝑞
0 (𝑅 2 +𝑎2 )3/2
Agora, basta analisarmos essa expressão de acordo com o que o enunciado solicita. Conforme o
enunciado, caso o raio R seja muito maior do que a distância a do seu centro até o ponto P (R>>a) e
apenas colocando R em evidência para podermos comparar esses parâmetros, temos que:
𝑞 𝑎
𝐸𝑥 = 4𝜋𝜖 𝑎 2
0 𝑅 3 (1+( ) )3/2
𝑅
Se R>>a, então podemos desprezar o termo entre parêntese ( elevado a 3/2)... Assim,
𝑞 𝑎
𝐸𝑥 = 4𝜋𝜖 3
0𝑅
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Consequentemente chegamos à seguinte conclusão, já que não temos essa expressão nas
alternativas:
Se R>>a então o valor do campo elétrico se aproxima de 0, pois R ao cubo está no denominador
da expressão.
Portanto,
Quando R>>a, é como se o ponto P estivesse no centro do anel. Ou seja, os elementos de cargas
situadas em postos opostos iriam gerar elementos de campo elétrico que no final das contas iriam
acabar se anulando em todas as direções.
É muito importante que você entenda esses tipos de análise para diferentes distribuições de cargas
( as mais típicas) para que você tome essas conclusões de forma mais rápida e perspicaz no momento
da prova! Fica a dica!
3. DIFERENÇA DE POTENCIAL
Nesta seção, estabeleceremos a relação entre o campo elétrico e potencial elétrico e calcularemos o
potencial elétrico para várias distribuições de carga. Também calcularemos a energia potencial elétrica.
Quando uma partícula carregada se desloca em um campo elétrico, o campo exerce uma força que
realiza um trabalho sobre a partícula. Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos de energia
potencial elétrica.
Tal como a energia potencial gravitacional dependente da altura em que se encontra a massa sobre
a superfície terrestre, a energia potencial elétrica depende da posição da partícula carregada no campo
elétrico.
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Para poder definir a energia potencial elétrica associada à força elétrica, precisamos antes saber se a
força elétrica é conservativa.
Uma forma matemática para determinar se a força elétrica é conservativa ou não é calcular
⃗ × 𝑭
o rotacional da força elétrica (𝛁 ⃗ ). Se ela for conservativa, o rotacional deve se anular
⃗⃗ × ⃗𝑭 = 𝟎). Outro modo de verificar isso (agora de um ponto de vista mais físico) é
(𝛁
calcular o trabalho realizado pela força elétrica ao levar a carga de um ponto a outro. Em
equilíbrio, ela deve ser independente da trajetória descrita pela carga.
O conceito de energia potencial elétrica não se restringe apenas ao caso especial do campo elétrico
uniforme. Portanto, é útil calcular o trabalho realizado sobre uma carga de teste 𝑞0 que se move no campo
elétrico produzido por uma única carga puntiforme estática 𝑞 (carga fonte). Considere um deslocamento
radial, como apresentado na Figura (9) de um ponto 𝑎 até um ponto 𝑏.
Figura 9-Carga teste q0 movendo-se na presença de campo elétrico. Fonte: YOUNG, HUGH.
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0
1 𝑞𝑞0
𝐹𝑒 = 4𝜋𝜖
0 𝑟2
A força elétrica não é constante durante o deslocamento, ou seja, é preciso quantificar o trabalho
utilizando a forma integral. Assim,
𝑟 𝑟 1 𝑞𝑞0
𝑊𝑎→𝑏 = ∫𝑟 𝑏 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = ∫𝑟 𝑏 4𝜋𝜖 𝑑𝑟
𝑎 𝑎 0 𝑟2
𝑞𝑞 1 1
𝑊𝑎→𝑏 = 4𝜋𝜖0 (𝑟 − )
0 𝑎 𝑟𝑏
A integral acima independe do caminho percorrido pela carga. Ela depende apenas dos
pontos inicial e final da trajetória. Além disso, se o ponto final coincide com o inicial, o
trabalho realizado é nulo.
Portanto, a força elétrica é conservativa. Sendo assim, é possível definir uma energia potencial
elétrica associada a ela. A energia potencial elétrica está relacionada ao trabalho realizado ao deslocar a
carga elétrica. O trabalho realizado pela força elétrica no deslocamento da carga é feito à custa de uma
variação contrária na energia potencial elétrica interna 𝑈 do sistema isolado formado pelas duas cargas.
Logo,
𝑞𝑞 1 1
∆𝑈 = −𝑊 = 4𝜋𝜖0 (𝑟 − )
0 𝑏 𝑟𝑎
Note que, se as duas cargas têm o mesmo sinal, quando elas se afastam uma das outras, a energia
potencial elétrica diminui, pois 𝑟𝑏 > 𝑟𝑎 . Quando elas se aproximam, a energia aumenta. Já quando as cargas
têm sinais contrários, a energia potencial aumenta quando elas se afastam e diminui quando elas se
aproximam. Além disso, como todo tipo de energia, a energia potencial elétrica é medida em joules ( 𝐽 ) no
𝑆𝐼.
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0
1 𝑞𝑞0
𝑈 = 4𝜋𝜖
0 𝑟
Na seção anterior, analisamos a energia potencial elétrica 𝑈 associada a uma carga teste 𝑞0 em um
campo elétrico. Com o objetivo de ter uma grandeza que leve informações apenas das cargas geradoras e
que essa nova grandeza também esteja relacionada ao trabalho 𝑊 de deslocar cargas, devemos considerar
que:
O potencial elétrico pode ser definido como a energia potencial por unidade de carga.
Logo,
𝑈
𝑉=𝑞
0
A energia potencial e a carga são grandezas escalares, de modo que o potencial elétrico é uma
grandeza escalar. A unidade do potencial elétrico é o ( J/C ) que recebeu o nome de Volt (V) em homenagem
a Alessandro Volt (1745 -1827), inventor da pilha voltaica.
Agora vamos analisar o mesmo caso da seção anterior sob a perspectiva do potencial elétrico!
Ou seja, ainda considerando o trabalho realizado pela força elétrica durante o deslocamento de 𝑎 até
𝑏...
𝑞𝑞 1 1
∆𝑈 = −𝑊 = 4𝜋𝜖0 (𝑟 − )
0 𝑏 𝑟𝑎
∆𝑈 𝑞 1 1
𝑉𝑎𝑏 = = 4𝜋𝜖 (𝑟 − )
𝑞0 0 𝑏 𝑟𝑎
Generalizando,
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎
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Em que 𝑟 é a distância entre a carga 𝑞 e o ponto em que o potencial está sendo calculado. Quando 𝑞
é positiva, o potencial por ela produzido é positivo em todos os pontos do espaço; quando é negativa, o
potencial é negativo em qualquer ponto. Em ambos os casos, 𝑉 é igual a zero para 𝑟 → ∞, ou seja, quando
a distância entre a carga o ponto do espaço analisado é muito grande.
𝑈 1 𝑞i
𝑉 = 𝑞 = 4𝜋𝜖 ∑𝑖
0 0 𝑟𝑖
Onde 𝑟𝑖 é a distância entre a i-ésima carga 𝑞𝑖 e o ponto onde o potencial está sendo calculado.
Assim como o campo elétrico total de um conjunto de cargas é dado pela soma vetorial de todos os
campos elétricos produzidos pelas cargas individuais, o potencial elétrico produzido por um conjunto de
cargas puntiformes é dado pela soma escalar dos potenciais produzidos pelas cargas individuais. No caso de
uma distribuição contínua de cargas, temos:
1 𝑑𝑞
𝑉 = 4𝜋𝜖 ∫
0 𝑟
Onde 𝑟 é a distância entre o elemento de carga 𝑑𝑞 e o ponto onde o potencial 𝑉 está sendo calculado.
Em alguns problemas para os quais o campo elétrico seja fornecido ou facilmente obtido, é mais fácil
calcular 𝑉 a partir de 𝐸⃗ . A força 𝐹 sobre uma carga de teste 𝑞0 é dada por 𝐹 = 𝑞0 𝐸⃗ ; logo, pela análise do
trabalho realizado pela força elétrica quando a carga de teste se move de 𝑎 até 𝑏 é dado por:
𝑏 𝑏
𝑊𝑎→𝑏 = ∫𝑎 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = ∫𝑎 𝑞0 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫𝑎 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑟
Essa equação pode ser utilizada para calcular a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer
por meio do campo elétrico!
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Quando estudamos sobre campo e potencial elétrico, não podemos deixar de comentar sobre os
capacitores!
Para fazer um capacitor, basta colocar um isolante (ou imersos no vácuo) entre dois condutores. Para
armazenar energia nesse dispositivo, deve-se transferir carga de um condutor para o outro, de modo que
um deles fique com uma carga negativa e o outro fique com carga positiva de mesmo valor. É necessário
realizar um trabalho para deslocar essas cargas até que se estabeleça uma diferença de potencial resultante
entre os condutores. Assim, o trabalho realizado é armazenado sob forma de energia potencial elétrica.
A Figura (10) representa um capacitor constituído por um par de condutores a e b. Inicialmente, cada
condutor possui carga líquida igual a zero e há transferência de elétrons de um condutor para o outro;
dizemos, nesse caso, que o capacitor está carregando.
Figura 10-Capacitor constituído por qualquer par de condutores a e b. Fonte: GRIFFTIHS, DAVID.
𝑏
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫𝑎 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑟
Podemos verificar, com a relação acima, que a diferença de potencial é proporcional ao campo
elétrico. Consequentemente, a diferença de potencial também será proporcional à carga Q. Essa relação
pode ser representada matematicamente por meio da capacitância, da seguinte forma:
𝑄
𝐶 = ∆𝑉
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Essa equação é utilizada para calcular a capacitância ( 𝐶) característica do sistema formado pelos
condutores. Note que tal expressão é uma definição operacional e que, na verdade, a capacitância é uma
propriedade associada à geometria do arranjo formado pelos condutores e ao meio que existe entre eles.
Logo,
A capacitância só pode ser alterada mediante a mudança da geometria dos condutores ou do meio
entre eles (introduzindo-se um dielétrico no capacitor). Assim, os capacitores são classificados por sua
capacitância 𝐶 e, quando submetidos a uma certa diferença de potencial, adquirem uma carga 𝑄.
Desta equação, pode-se obter a unidade da capacitância, que, no SI, é dada por 𝐶/𝑉. Essa unidade
recebe o nome especial de Farads, e ela é simbolizada por 𝐹.
Didaticamente iremos analisar uma sequência de problemas que ajudarão na imersão teórica do
conteúdo sobre capacitores. Esse tipo de abordagem permite atacar os problemas sobre capacitores de
placas paralelas com mais clareza, pois eles são, sem dúvida, o tipo de capacitor mais recorrente em provas.
ok?
A Figura (11) ilustra um campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de cargas em um plano
infinito. Como o plano carregado com uma densidade de cargas 𝜎 é infinito, temos simetria de cargas. Assim,
podemos concluir que o campo elétrico 𝐸⃗ gerado pelo plano carregado é perpendicular ao plano.
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Figura 11- Campo elétrico de uma carga distribuída ao longo de um plano infinito.
Visualizando a figura acima, percebemos que qualquer elemento de carga 𝑑𝑞 produz um campo
elétrico 𝑑𝐸⃗ em um ponto 𝑃 acima do plano de altura 𝑧.
Como o plano carregado tem dimensões muito maiores que a altura 𝑧, para cara elemento de caga
𝑑𝑞 escolhido, existe outro elemento de carga 𝑑𝑞 em uma posição simétrica produzindo um campo elétrico
de mesma intensidade 𝑑𝐸⃗ . Dessa forma fica simples concluir que para cada par de elementos de cargas 𝑑𝑞,
as componentes 𝑑𝐸⃗𝑥 irão se cancelar, sobrando apenas as componentes 𝑑𝐸⃗𝑧 perpendiculares ao plano.
A expressão “infinito” deve ser encarada não apenas como algo extremamente grande,
mas sim como uma comparação entre dimensões, por exemplo, as dimensões do plano
(comprimento e largura) são muito grandes quando comparado com a distância 𝒛 acima de
plano onde vamos calcular o campo elétrico.
Já que sabemos que o campo produzido por um plano infinito é puramente perpendicular ao plano,
o próximo passo é quantificar esse campo elétrico.
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0
Utilizando uma superfície Gaussiana cilíndrica (Fig. 12), percebemos que a superfície é composta de
três áreas para analisar o fluxo de campo elétrico. Aplicando a Lei de Gauss, temos
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑄𝑇
∫𝑆 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 𝜖 0
∫𝐴 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 + ∫𝐴1 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 ⃗⃗⃗⃗2 = 𝑄𝑇
⃗⃗⃗⃗1 + ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴
𝐴2 𝜖 0
A integral sobre a área 𝐴2 é nula, pois o campo 𝐸⃗ está perpendicular ao elemento de área 𝑑𝐴2 . Logo,
𝐸⃗ . 𝑑𝐴2 = 0
Outro detalhe importante é analisar a carga total 𝑄𝑇 envolvida pela superfície Gaussiana.
Considerando que o plano está carregado de forma homogênea, a densidade superficial de carga deve ser
constante para qualquer porção do plano. Comparando a densidade de todo o plano com área 𝐴′ e a
densidade da área envolvida pela superfície Gaussiana, temos
𝑄𝑇
𝜎= 𝐴
𝑄𝑇 = 𝜎𝐴
𝜎𝐴
2|𝐸⃗ |𝐴 =
𝜖0
𝜎
|𝐸⃗ | = 2𝜖
0
Considere placas paralelas grandes, as quais possuem cargas com módulos iguais com sinais
contrários ( +𝜎 e −𝜎).
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Figura 13-Capacitor de placas paralelas (a) Campo elétrico (b) Campo elétrico resultante no ponto b entre as placas. Fonte: Adaptado de
YOUNG, HUGH.
A Figura 13 (a) mostra os efeitos de borda do capacitor de placas paralela. Como carga de sinais
opostos se atraem, as cargas se acumulam nas superfícies opostas das placas, de modo que existe certo
espalhamento e “encurvamento” das linhas de campo nas bordas das placas.
Quando as placas são muito grandes em comparação à distância entre elas, as cargas nas superfícies
externas das placas são muito pequenas. Assim, desprezamos os efeitos de encurvamento, exceto sobre as
bordas. Nesse caso, podemos supor que o campo elétrico é uniforme na região entre as placas.
𝜎 𝜎
|𝐸⃗𝑅 | = 2𝜖 + 2𝜖
0 0
𝜎 𝑄
|𝐸⃗𝑅 | = 𝜖 = 𝜖 𝐴
0 0
O campo elétrico é uniforme, sua direção é perpendicular ao plano das placas e seu módulo é
independente da distância entre as placas.
Esse capacitor é um dos mais simples e é construído por duas placas condutores paralelas, cada uma
delas com área 𝐴, separadas por uma distância 𝑑 pequena em comparação às suas dimensões.
Verificamos que o campo elétrico entre as placas paralelas do capacitor é dado por:
𝜎 𝑄
|𝐸⃗𝑅 | = 𝜖 = 𝜖 𝐴
0 0
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O campo é uniforme e a distância entre as placas é 𝑑, logo a diferença de potencial entre as duas
placas pode ser determinada utilizando a Equação 23,
𝑏
𝑉𝑎𝑏 = − ∫𝑎 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑟 = |𝐸⃗ |𝑑
1 𝑄𝑑
𝑉𝑎𝑏 = 𝜖
0 𝐴
Utilizando a definição de capacitância, temos que a capacitância para o capacitor de placas paralelas
é dada por:
𝑄
𝐶=𝑉
𝑎𝑏
𝐴
𝐶 = 𝜖0 𝑑
Quase todos os capacitores possuem entre suas placas condutoras um material isolante (ou
dielétrico). Colocar um dielétrico sólido entre as placas de um capacitor possui três objetivos que são:
➢ resolver o problema mecânico de manter duas grandes placas metálicas separadas por uma pequena
distância, sem que entrem em contato;
➢ aumentar a diferença de potencial máxima entre as placas, quando submetido a um campo elétrico
suficientemente elevado;
➢ aumentar a capacitância mantendo as dimensões do capacitor.
Sabemos que qualquer material isolante, quando submetido a um campo elétrico intenso, sofre uma
ruptura dielétrica (uma ionização parcial que permite a condução através dele). Muitos materiais dielétricos
conseguem suportar campos elétricos mais elevados do que o do ar, sem que ocorra ruptura do isolamento.
Portanto, o uso de um dielétrico permite a sustentação de uma diferença de potencial mais elevada 𝑉,
podendo assim o capacitor acumular maior quantidade de carga e energia.
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𝜖
𝜖𝑟 = 𝜖
0
𝐴
𝐶 = 𝜖𝑟 𝐶0 = 𝜖 𝑑
Estudaremos sobre os materiais elétrico de forma mais aprofundada no próximo capítulo! Agora,
vamos aplicar os conhecimentos adquiridos neste capítulo em uma questão de concurso.
(Perito Criminal ITEP- Instituto AOCP – 2018) Um capacitor de placas paralelas com dielétrico de
poliestireno possui intensidade de campo elétrico de 𝟏𝟎 𝒌𝑽/𝒎, sendo que a distância entre as placas
é de 𝟏, 𝟓 𝒎𝒎. Assinale a alternativa que apresenta o valor da densidade superficial de cargas livres
nas placas do capacitor em questão. Considerar 𝝐𝒓 = 𝟐, 𝟓𝟓 para o poliestireno.
Resolução e comentários:
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A questão solicita que você determine o valor da densidade superficial de cargas nas placas do
capacitor.
Podemos solucionar essa questão de várias maneiras. Você pode utilizar as equações desenvolvidas
referente aos capacitores com dielétricos ou utilizar o conceito de campo elétricos entre as lâminas do
capacitor com ou sem dielétrico.
Sabemos que o campo entre as placas de um capacitor com placas paralelas é dado por 𝐸0 = 𝜎/𝜖0 ,
quando entre as placas há vácuo. De forma análoga, par um capacitor de placas paralelas com
dielétrico, o campo é dado por 𝐸 = 𝜎/𝜖.
Sabemos também que ao alterar o meio entre as placas, não se modifica a geometria dos capacitores,
permitindo que a densidade superficial de carga das placas se mantenha. Como o problema forneceu
a permissividade relativa 𝜖𝑟 = 2,55, temos
Portanto,
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4. MATERIAIS ELÉTRICOS
Nos capítulos anteriores, consideramos campos eletrostáticos no espaço livre (vácuo). No entanto,
eles também podem existir em meios materiais que são classificados conforme suas propriedades elétricas.
De forma geral, eles podem ser classificados em dois grandes grupos como materiais condutores e isolantes
(ou dielétricos).
Este é um assunto de particular interesse na engenharia elétrica, pois seu estudo é fundamental para
o entendimento de matérias como instalações elétricas, máquinas elétricas e eletrônica industrial.
Além disso, também é um assunto muito cobrado em concursos para diversas áreas da engenharia
(elétrica, nuclear, mecânica, química e civil por exemplo). Daí a importância em estudar esse assunto.
Este último capítulo da Unidade I será responsável por fornecer os principais conceitos e
características referentes aos materiais elétricos.
Os materiais podem ser classificados de acordo com sua condutividade. Dessa forma, a condutividade
elétrica é usada para caracterizar o comportamento elétrico de um determinado material.
Os metais sólidos possuem uma grande faixa de condutividade elétrica. Assim, a maneira mais
simples de se classificar os materiais condutores é de acordo com sua condutividade elétrica. Os metais são
bons condutores de eletricidade, no entanto alguns apresentam uma condutividade intermediária ou muito
baixa.
Quando um campo elétrico é aplicado ao condutor, as cargas livres positivas são empurradas no
sentido do campo aplicado. Já as cargas negativas movem-se no sentido posto. A superfície do condutor
acaba por possuir um acúmulo de cargas formando uma superfície induzida. Dessa forma, as cargas induzidas
na superfície estabelecem um campo elétrico que cancela o campo elétrico externo inicialmente aplicado.
Uma importante propriedade dos condutores é:
Um condutor perfeito não pode conter um campo elétrico em seu interior. Ele também é
caracterizado por ser um corpo equipotencial. Ou seja, em qualquer ponto, o potencial é o
mesmo.
Você deve lembrar que o número de elétrons disponíveis em um material depende do arranjo com o
qual os elétrons estão dispostos na camada de valência. Assim, praticamente a maior parte dos condutores
de eletricidade são metais e isso ocorre justamente devido a sua estrutura atômica (na qual os átomos da
camada de valência estão livres).
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Em outros materiais, a camada de valência pode estar quase completa (quase completando 8 elétrons
pela regra do octeto). Nesta situação, a força de ligação dos elétrons com o núcleo é grande, ou seja, os
elétrons não estão livres como nos materiais condutores. Esses materiais são denominados isolantes ou
dielétricos e serão estudados na próxima subseção.
De forma geral, podemos concluir que os materiais que apresentam elétrons livres são bons
condutores elétricos, dando um destaque para os materiais metálicos!
Existem materiais não metais que são bons condutores! Por exemplo: grafite e água
salgada.
Você pode se perguntar: Professora, por qual razão é comum ocorrer o aquecimento, por exemplo,
de um chuveiro elétrico em funcionamento?
Uma simples resposta é a seguinte: quando os elétrons são arrastados devido a ação do campo
elétrico, eles acabam se chocando com as moléculas do material condutor perdendo energia sob forma de
calor!
Entendeu? Além de boa condutividade elétrica, os metais possuem também boa condutividade
térmica, o que justifica o aquecimento de diversos aparelhos elétricos.
Geralmente a condutividade dos metais aumenta com o aumento da temperatura. Alguns condutores
podem apresentar condutividade infinita e são denominados supercondutores!
Como mencionei anteriormente, muitos metais são bons condutores de eletricidade à temperatura
ambiente. Posso citar a prata, o cobre, o ouro e o alumínio como materiais que apresentam elevada
condutividade elétrica. A maioria dos metais é forte, dúctil e maleável que são fundamentais características
para a produção de componentes elétricos.
A escolha do material mais adequado nem sempre é o que possui maior condutividade
elétrica, mas sim em materiais que satisfaz outros requisitos de utilização.
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Agora vou resumir as principais características e aplicações de alguns metais que são utilizados na
engenharia elétrica!
𝜌𝐴𝑙 0,0290
= 0,0175 = 1,65
𝜌𝐶𝑢
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Os materiais isolantes são o outro extremo quando comparados aos condutores. Assim, possuem
resistividade muito alta, ou seja, eles se opõem o máximo possível à passagem de corrente elétrica. São
chamados também de dielétricos. Exemplo de dielétricos são a borracha, o silicone, o vidro e o ar. Perceba
que os materiais dielétricos podem ser sólidos, líquidos ou gasosos.
Os materiais dielétricos ou isolantes são materiais caracterizados por não permitirem a livre
circulação de cargas elétricas não possuem "elétrons livres" na camada de valência.
Quando uma tensão elétrica atua sobre o dielétrico, ocorre o processo de polarização do material.
Dessa forma, as cargas são deslocadas de forma limitada. Os materiais isolantes impedem a passagem de
corrente elétrica enquanto o campo elétrico estabelecido não ultrapassar um valor específico que depende
do material. Assim que o nível de tensão ultrapassa este valor, o material torna-se condutor de eletricidade.
Volto a ressaltar que um dielétrico submetido a uma tensão será polarizado, comportando-se como
um capacitor. As principais formas de polarização destes materiais são a polarização eletrônica, dipolar e
estrutural.
De maneira simplória e sem aprofundar a nossa análise sobre a estrutura e polarização destes
materiais, a ausência de elétrons livres é o motivo pelo qual um material é denominado isolante!
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Quando o campo elétrico no interior de um dielétrico atinge um valor elevado, os elétrons das
moléculas começam a ser arrancados e, assim, o material se torna um condutor de eletricidade.
Esse fenômeno é denominado ruptura dielétrica do material. Todos os tipos de dielétricos estão
sujeitos à ruptura, que depende da natureza do material, temperatura e do tempo em que o campo é
aplicado.
A rigidez dielétrica é o campo elétrico máximo que o dielétrico pode ser submetido sem
que ocorra a ruptura dielétrica.
Na prática, não existe dielétrico ideal. Mesmo assim, a teoria de dielétricos considera sempre
dielétricos ideais (evitando a ruptura).
Vale ressaltar que alguns materiais isolantes demonstram uma melhor aplicabilidade na engenharia
elétrica. O fato de um determinado dielétrico apresentar propriedades isolantes superiores a outros
materiais, não significa que ele será empregado para determinada aplicação. Portanto, além de suas
propriedades elétricas é importante considerar suas qualidades mecânicas e térmicas como baixa rigidez e
resistência a elevadas temperaturas por exemplo.
É possível classificar os materiais isolantes segundo seu estado. As características e aplicações mais
importantes segundo esta classificação estão reunidas nas tabelas abaixo.
Podemos também comentar sobre os materiais semicondutores. Eles são sólidos que possuem uma
faixa intermediária de condutividade elétrica com muita aplicação na indústria eletrônica. Os
semicondutores mais utilizados são o Silício e o Germânio, no entanto o Selênio também já foi muito
utilizado.
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(Pref. São Gonçalo-UFF- 2011) O cobre e o alumínio são os dois metais mais usados na fabricação dos
condutores elétricos. Ao longo dos anos, o cobre tem sido o mais utilizado, sobretudo em condutores
isolados, devido, principalmente, a suas propriedades elétricas e mecânicas. Já o alumínio,
normalmente utilizado em linhas aéreas de transmissão e distribuição, tem seu uso vinculado ao aço
cuja função é:
Resolução e comentários:
Portanto,
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Dessa forma, iniciaremos de fato a nossa aula de circuitos elétricos com a teoria envolvida em
circuitos de corrente contínua que servirá de base para os outros temas apresentados no decorrer deste
curso. Vamos dar uma atenção especial para esta primeira parte, ok? Além de relembrar muitos
fundamentos e teoremas, você será preparado para boa parte das questões de concurso.
5. CORRENTE ELÉTRICA CC
Até o presente momento, estudamos situações em que as cargas estão em repouso. Estas situações
se encontram no domínio da eletrostática. Neste capítulo, trataremos do estudo das cargas em movimento
e das correntes elétricas (eletrodinâmica).
Em condutores metálicos, as cargas livres que existem são elétrons (cargas negativas). Os elétrons
livres que existem em um condutor metálico movimentam-se como partículas em gás e, então, constituem
um tipo de gás de elétrons dentro do material. Esses elétrons oscilam aleatoriamente e com velocidade
muito elevada na substância.
Em temperatura ambiente, a velocidade média dos elétrons é da ordem de 106 𝑚/𝑠. Sob condições
ordinárias, o movimento de elétrons em um metal é completamente randômico, assim como o movimento
de átomo em um gás. Se considerarmos uma seção transversal de um fio metálico, pelo qual os elétrons
atravessam, encontraremos elétrons se movendo tanto para direita como para esquerda ao longo dessa
seção. Ou seja, o movimento dos elétrons é totalmente caótico! Logo não existe nenhum fluxo efetivo de
cargas em nenhuma direção.
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Na Figura 14, podemos visualizar que existe um movimento líquido contínuo de elétrons ao longo de
qualquer seção transversal do condutor (da direita para a esquerda).
Figura 14- (a) Movimento aleatório dos elétrons, resultando e, uma corte líquida igual a zero; (b) Bateria ligada aos terminais de um condutor
de seção transversal A, com corrente líquida diferente de zero.
Note que o movimento aleatório individual de cada elétron ainda persiste, porém cada elétron tem
uma componente de velocidade na direção imposta pela bateria. Dessa forma, existe um fluxo de cargas no
fio.
Naturalmente, a direção real da corrente é determinada pela forma do condutor. Neste contexto,
utilizaremos o termo direção para indicar o sentido de movimento.
Quando um condutor é ligado aos terminais de uma bateria, os elétrons movem-se sempre do
terminal negativo para o terminal positivo, sendo esse o caminho de fluxo de elétrons.
Esse sentido é denominado sentido convencional de corrente. Porém, sabemos que em um fio não
há movimento das cargas positiva (núcleos atômicos). Portanto, somente os elétrons se movem.
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Sempre que o sentido do campo elétrico for mantido, a corrente também manterá seu sentido,
mesmo que sua intensidade possa variar. Assim, ela será denominada corrente contínua (CC ou DC). Quando
o sentido do campo se inverte periodicamente, o sentido da circulação de cargas também se inverte. Assim,
essa corrente será denominada corrente alternada (CA ou AC).
Dessa forma, verificamos que a corrente pode ser uma constante ou não. Se ela for constante e não
variar com o tempo temos denominada corrente contínua. E no caso comum de variação senoidal temos a
corrente alternada. Concluímos então que:
Corrente contínua é aquela que permanece constante e corrente alternada é aquela que
varia senoidalmente com o tempo.
A corrente elétrica em um fio é a quantidade de cargas que passam através de uma seção transversal
desse fio em uma unidade de tempo. Logo,
𝑑𝑞
𝐼= 𝑑𝑡
Onde o elemento de carga 𝑑𝑞 corresponde à carga total que atravessa a mesma superfície no
intervalo de tempo 𝑑𝑡. No SI, a unidade de 𝐼 será C/s = Ampère (A).
A corrente não é um vetor, embora usemos a palavra sentido de uma corrente. Em um fio
que transporta uma corrente, a corrente flui sempre ao longo do comprimento do fio tanto
em fios retilíneos quanto em fios curvos. Um único vetor não pode descrever a mesma
grandeza ao longo de uma trajetória curva. Por essa razão a corrente não é um vetor.
Podemos expressar uma corrente com base na velocidade de arraste das cargas que se movem. Na
Figura 15, tem-se um condutor com seção reta 𝐴 e um campo elétrico 𝐸⃗ orientado da direita para esquerda.
Em princípio, suponha que as cargas livres do condutor sejam positivas, então a velocidade de arraste possui
o mesmo sentido do campo elétrico.
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Imagine que existam 𝑛 partículas carregadas por unidade de volume. Ou seja, 𝑛 é a densidade
volumétrica de cargas. A grandeza 𝑛 denomina-se concentração das partículas (sua unidade no SI é 𝑚−3).
Suponha que todas as partículas se movem com a mesma velocidade de arraste 𝑣𝑎 . Em um intervalo
de tempo 𝑑𝑡, cada partícula se desloca uma distância 𝑣𝑎 𝑑𝑡. As partículas que fluem para fora da extremidade
direita do cilindro sombreado de comprimento 𝑣𝑎 𝑑𝑡 durante o tempo 𝑑𝑡 são partículas que estavam no
interior desse cilindro no início do intervalo 𝑑𝑡. O volume do cilindro é dado por 𝐴𝑣𝑎 𝑑𝑡 e o número de
partícula em seu interior é 𝑛𝐴𝑣𝑎 𝑑𝑡.
Se cada partícula possui uma carga 𝑞, a carga 𝑑𝑄 que flui para fora da extremidade direita do cilindro
durante o tempo 𝑑𝑡 e, consequentemente, a corrente em função da velocidade de arraste são dadas por:
𝑑𝑄 = 𝑞(𝑛𝐴𝑣𝑎 𝑑𝑡)
𝑑𝑄
𝐼= = 𝑞𝑛𝐴𝑣𝑎
𝑑𝑡
A densidade de corrente 𝐽 é conhecida como a corrente que flui por unidade de área da seção reta:
𝐼
𝐽 = 𝐴 = 𝑞𝑛𝑣𝑎
A unidades de densidade de corrente é ampères por metro quadrado ( 𝐴/𝑚2 ). Podemos também
definir um vetor densidade de corrente 𝐽 que inclui o sentido da velocidade de arraste dado por:
𝑗 = 𝑛𝑞 𝑣𝑎
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A diferença é que a densidade de corrente descreve como as cargas fluem em determinado ponto e
o sentido do vetor descreve o sentido do fluxo nesse ponto. Por outro lado, a corrente 𝐼 possui o mesmo
valor em todos os pontos do circuito, mas 𝐽 não.
Na Figura 15, por exemplo, a densidade de corrente aponta de cima para baixo no lado esquerdo do
circuito e de baixo para cima no lado direito. O módulo de 𝐽 também pode variar... Por exemplo, o módulo
da densidade de corrente é menor na bateria (que possui uma área de seção maior) do que nos fios (seção
reta pequena).
5.3. Resistividade
𝐸
𝜌= 𝐽
Onde 𝜌 é dado em Ω. 𝑚.
Quanto maior for o valor da resistividade, maior será o campo elétrico necessário para produzir uma
dada densidade de corrente, ou menor será a densidade de corrente gerada por um campo elétrico.
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Um condutor perfeito deve ter resistência zero e um isolante perfeito deve ter resistência
infinita.
O inverso da resistividade é a condutividade. Suas unidades SI são (Ω. 𝑚)−1. Conforme estudamos
sobre os materiais elétricos, um bom condutor de eletricidade possui condutividade muito maior que um
isolante.
A condutividade elétrica pode ser comparada à condutividade térmica. Um mau condutor elétrico
(plástico ou cerâmica) costuma ser um mau condutor de calor. Em geral, os elétrons livres (que são os
portadores de carga na condução elétrica) também são os principais responsáveis pela condução de calor.
Portanto, espera-se que haja uma relação entre a condutividade elétrica e a condutividade térmica.
Substância 𝝆(𝛀. 𝒎)
Prata 1,47 × 10−8
Cobre 1,72 × 10−8
Ouro 2,44 × 10−8
Alumínio 2,75 × 10−8
Tungstênio 5,25 × 10−8
Aço 20 × 10−8
Chumbo 22 × 10−8
Mercúrio 95 × 10−8
A lei de Ohm é uma ferramenta simples e prática para a análise de circuitos. O primeiro passo de
nossa caminhada será entender seus fundamentos. Preparados? Então vamos lá!
Os resistores são fabricados basicamente com o objetivo de dissipar energia por meio do efeito Joule.
Sua resistência elétrica é determinada no momento de sua fabricação, dependendo de fatores geométricos
e do material com que são feitos.
A relação entre a corrente elétrica e a tensão para um resistor foi encontrada pela primeira vez pelo
físico alemão Georg Simon Ohm (1787 − 1854). Assim, essa relação ficou conhecida como lei de Ohm.
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𝑉 = 𝑅𝐼
A Figura (16) apresenta a experiência de Ohm, a qual se baseou na variação da tensão 𝑉 aplicada a
um condutor resultando em diferentes valores de corrente 𝐼 no circuito.
Pela lei de Ohm, podemos concluir que a corrente que flui por um resistor é proporcional à tensão
aplicada e inversamente proporcional ao valor de sua resistência. A resistência R de um elemento é a sua
capacidade para resistir ao fluxo de corrente elétrica. Assim, quanto maior sua resistência, menor a corrente
que passará por este elemento.
A resistência de um fio condutor também pode ser escrita em função da geométrica e do tipo de
material compõe o componente resistivo. Ela pode ser calculada por meio da seguinte equação:
𝐿
𝑅 = 𝜌𝐴
Essa equação mostra que a resistência de um fio ou de um condutor com seção reta uniforme é
diretamente proporcional ao comprimento do fio e inversamente proporcional à área de sua seção reta. Ela
também é proporcional a resistividade do material com o qual o condutor é feito.
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Além do tipo de material e suas dimensões, a resistência elétrica também depende da temperatura.
Ou seja, ela depende da mobilidade das partículas no interior do condutor.
No caso dos metais, a elevação da temperatura resulta em maior resistência elétrica, pois amplia a
mobilidade das partículas, gerando colisões entre estas e os elétrons livres no interior do condutor. Isso
dificulta a o arraste dos elétrons através dele.
𝜌(𝑇) = 𝜌0 [1 + 𝛼(𝑇 − 𝑇0 )]
A resistividade da grafita (um material não metálico) diminui quando a temperatura aumenta, visto
que (em temperaturas elevadas) os elétrons ficam “mais fracamente ligados” aos átomos e adquirem maior
mobilidade. Logo, o coeficiente de resistividade térmica da grafita é negativo. O mesmo tipo de
comportamento ocorre para os materiais semicondutores.
A medida da resistência de um pequeno cristal semicondutor pode servir, portanto, para uma sensível
medida de temperatura. Esse é o princípio de funcionamento de um termômetro denominado termistor!
Alguns materiais, incluindo metais, ligas metálicas e óxidos, apresentam um fenômeno chamado de
supercondutividade. À medida que a temperatura diminui, a resistência cai lentamente no início (como
qualquer metal). Porém, para uma certa temperatura crítica, ocorre uma transição de fase e a resistividade
diminui bruscamente. Se uma corrente for estabelecida em um anel supercondutor, ela permanecerá
circulando no anel indefinidamente, sem a necessidade de nenhuma fonte de alimentação.
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Conforme já estudamos...
Quando colocamos uma certa quantidade de carga num material condutor neutro, essas cargas
geram um campo dentro dele. Este campo elétrico, por sua vez, age sobre a cargas e faz com que elas se
distribuam na superfície do condutor, estabelecendo o equilíbrio eletrostático entre todas as forças elétrica
exercidas pelas cargas. Quando isso ocorre, as cargas não se movem mais. Assim, o campo elétrico dentro
do condutor se anula e o campo elétrico na superfície tem apenas uma componente normal à superfície.
Todo esse processo é extremamente rápido e ocorre numa escala de tempo muito menor do que as
que envolvem as medidas usuais de eletrostática, confirmando a consideração de que o sistema (após um
curto intervalo de tempo) atinge o equilíbrio eletrostático.
Assim, a configuração de cargas num material apresenta uma tendência natural ao equilíbrio
eletrostático (que é atingido rapidamente), a menos que um agente externo exerça algum tipo de influência
sobre essas cargas, impedindo que elas alcancem a configuração de equilíbrio.
Esse agente externo é conhecido como fonte de força motriz ou fonte de fem, cujo conceito ficará
mais claro em seguida.
A Figura 17(a) mostra uma fonte de fem ideal que mantém uma diferença de potencial constante
entre os condutores 𝑎 e 𝑏 (chamamos de terminais da fonte).
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O terminal "a" (marcado pelo sinal +) é mantido a um potencial mais elevado do que o potencial do
que o potencial do terminal "b" (marcado pelo sinal -). Associado à diferença de potencial, existe um campo
elétrico 𝐸⃗ na região em torno dos terminais (tanto no interior quanto no exterior da fonte). O campo elétrico
no interior do dispositivo é orientado de a para b.
Uma carga 𝑞 no interior da fonte sofre a ação de uma força elétrica 𝐹𝑒 = 𝑞𝐸⃗ . Porém, a fonte também
fornece uma influência adicional, que vamos representar como uma força não-eletrostática 𝐹𝑛 . Essa força,
agindo no interior do dispositivo, arrasta cargas ‘para cima’ em sentido contrário da força elétrica 𝐹𝑒 . Logo,
𝐹𝑛 é responsável pela manutenção da diferença de potencial entre os terminais.
Caso não existisse 𝐹𝑛 , as cargas se escoariam entre os terminais até que a diferença de potencial se
tornasse igual a zero. A origem da influência adicional de 𝐹𝑛 , depende do tipo de fonte.
Em um gerador elétrico, ela decorre das forças magnéticas que atuam sobre as cargas que se
movimentam. Em uma bateria ou em uma célula de combustível, ela é associada a processos de difusão e às
variações de concentrações eletrolítica produzidas por reações químicas.
Essa "energia" pode ser chamada de força eletromotriz (fem), tensão ou diferença de potencial e é
representada, por exemplo, por uma bateria em um circuito elétrico. Ou seja, a tensão vai fornecer a energia
necessária para que a cargas elétrica se mova de um ponto para outro. Assim,
Tensão é a energia requerida para mover uma carga através de um elemento, medida em
volts (V).
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Assim como a corrente elétrica, as tensões podem ser classificadas como contínuas ou alternadas
segundo sua variação no tempo.
Por exemplo, uma tensão contínua pode ser produzida por uma bateria automotiva e uma tensão
alternada pode ser produzida por um gerador elétrico em uma usina hidroelétrica!
Mesmo sabendo que a tensão e a corrente elétrica são as variáveis básicas de um circuito elétrico,
para efeitos práticos também é necessário saber o quanto de potência é necessário pare se manusear um
aparelho elétrico por exemplo.
Considere o transporte de cargas de acordo com o circuito da Figura 17. Se a força elétrica
proveniente da fonte de tensão ( 𝑉) fosse a única atuante sobre as cargas transferidas de um terminal ao
outro, cada elétron transferido iria adquirir uma energia cinética.
Entretanto, o atrito oferecido pelo fio ao movimento do elétron impede que ele acumule o trabalho
feito pela bateria em forma de energia cinética. Desse modo, o trabalho é dissipado em forma de calor. Dessa
forma, a potência dissipada em um resistor é dada por:
∆𝑞
𝑃 = 𝑉 ∆𝑡
𝑃 = 𝑉𝐼
A unidade de potência é o watt (W)( 𝐽/𝑠 – Joule/segundo). Com a aplicação da Lei de Ohm, podemos
reescrever a potência da seguinte forma:
𝑉2
𝑃 = 𝑅𝐼 2 ou 𝑃 = 𝑅
Considere por exemplo o resistor de um chuveiro elétrico, cuja resistência seja 3,0 Ω. Sendo 120 𝑉a
voltagem da rede, a corrente no resistor será 40 𝐴 e, consequentemente, a potência dissipada será 4800 𝑊!
Em muitas situações, entretanto, a resistência dos fios e de outras componentes elétricas é uma
característica que se deseja minimizar, para evitar desperdício de energia e aquecimento não-desejado dos
equipamentos.
Este efeito é uma importante verificação experimental do princípio de conservação de energia. Assim,
a energia mecânica perdida pelos elétrons é transformada em energia térmica que flui para íons, moléculas
etc. que constitui o material, de forma que nenhuma energia é perdida pelos elétrons ou produzida no
processo.
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A potência consumida ou fornecida por um elemento de um circuito elétrico pode ser mensurada por
meio da tensão entre seus extremos e a corrente que passa por ele. Dessa relação, podemos retirar valores
práticos!
A convenção de sinais passiva diz que quando a corrente elétrica entra pelo terminal
positivo de um elemento do circuito, ele absorve potência. E quando a corrente entra pelo
terminal negativo, o elemento fornece potência.
(FMP - Analista pericial - MPE-AC -2013) Das afirmativas abaixo identifique qual ou quais são
VERDADEIRAS.
II. Há dois tipos de corrente elétrica: a corrente contínua e a corrente alternada. A corrente elétrica
tem a mesma natureza da fonte que a gerou. A corrente contínua se caracteriza por manter seu valor
constante no decorrer do tempo saindo sempre do mesmo terminal fonte. Na corrente alternada, seu
valor e sentido variam periodicamente no decorrer do tempo.
III. Ao fluxo orientado de elétrons livres, sob a ação de um campo elétrico, dá-se o nome de corrente
elétrica. A intensidade da corrente elétrica é a quantidade de carga que atravessa a seção transversal
de um condutor por unidade de tempo. Segundo a lei de Ohm, a intensidade da corrente elétrica é
diretamente proporcional à diferença de potencial a que está submetido o condutor e inversamente
proporcional à resistência elétrica desse condutor.
IV. Potência é a rapidez com que se gasta energia ou a rapidez com que se produz trabalho e tem como
unidade no Sistema Internacional o Watt (W) que é igual a 01 Joule a cada segundo. O efeito Joule
pode ser explicado pelo choque entre os elétrons, quando se movimentam para originar uma corrente
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elétrica. O efeito Joule pode ser desejável ou indesejável dependendo de onde ocorra, por exemplo,
em condutores, aquecedores, lâmpadas, fusíveis...
V. Para se obter ou manter a corrente elétrica fluindo em um condutor, é necessário ligar o condutor
entre dois pontos capazes de transferir energia para os elétrons. Assim, sob a ação de um campo
elétrico, os elétrons se movimentam entre os dois pontos. Quando dois pontos têm essa capacidade,
diz-se que entre eles há uma d.d.p (diferença de potencial). Quando um equipamento é capaz de
realizar trabalho para causar o movimento de elétrons diz-se que ele dispõe de f.e.m (força
eletromotriz).
A) I, II, III e IV
B) II, III, IV e V
C) I, III, IV e V
D) I, II, IV e V
E) I, II, III e V
Resolução e comentários:
A questão solicita que você julgue as afirmativas para identificar quais estão corretas. Dessa forma,
vamos analisar item por item, Ok?
I –O item está incorreto. É fato que a resistência elétrica depende da natureza do material, da área de
seção transversal, do comprimento e da temperatura. Ao afirmar que a resistência de um material
aumenta com o aumento de área da seção transversal vamos de encontro com os desdobramentos da
lei Ohm. As equações mostram que a resistência varia inversamente com a área de seção transversal,
ou seja, se a área aumenta, então a resistência diminui.
II – O item está correto. O item faz uma descrição correta do comportamento da corrente contínua e
alternada. A corrente tem a natureza da fonte, pois a fonte é responsável por oferecer energia aos
portadores de carga, que se movimentarão de forma ordenada dando origem a corrente elétrica. A
Corrente contínua se caracteriza por ter seu comportamento independente do tempo, já a corrente
alternada tem um comportamento oscilante no tempo. As lanternas e o sistema elétrico de automóvel
são exemplos de sistemas que utilizam corrente contínua. Os aparelhos domésticos são alimentados
por corrente alternada.
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III - O item está correto. A corrente elétrica é definida pela quantidade de portadores de cargas que
atravessam determinada seção de área de um condutor em determinado intervalo de tempo, ou seja,
um fluxo de cargas atravessando seção de um condutor.
IV - O item está correto. Potência está intimamente relacionada à transferência de energia para que
sistemas físicos possam realizar certas tarefas (Falaremos em detalhes do conceito de potência a
seguir). Em outras palavras, potência é a rapidez com que se produz ou gasta energia, ou seja, a
transferência de energia por unidade de tempo. Matematicamente é representada pela seguinte
equação:
𝜏 representa o trabalho (unidade no sistema internacional – Joule 𝐽), Δ𝑡 variação temporal (unidade
no sistema internacional – segundos - 𝑠). A unidade de potência no sistema internacional (Watts – 𝑊),
onde 1𝑊 = 1 𝐽/1𝑠.
V - O item está correto. Este item está perfeito! A variação do potencial elétrico está intimamente
relacionada com o trabalho realizado pela força elétrica para movimentar os portadores de carga que
darão origem à corrente elétrica. A informação do potencial em um único ponto do circuito não tem
relevância física, porém sua variação é o que chamamos de diferença de potencial ou d.d.p. Os circuitos
por onde passa uma corrente estacionária deve possuir fontes de fem (força eletromotriz), como por
exemplo, pilhas, baterias, geradores elétricos, células solares, termopares etc. Todos esses dispositivos
convertem algum tipo de energia (mecânica, química, térmica) em energia potencial elétrica e
transfere essa energia para o circuito no qual o dispositivo esteja conectado.
Portanto,
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6. ANÁLISE DE CIRCUITOS DE CC
A análise de um circuito de corrente contínua pode ser, muitas vezes, simplificada substituindo uma
combinação de dois ou mais resistores por um único resistor equivalente que tenha a mesma corrente e a
mesma queda de tensão que a combinação de resistores. Nesta seção, exploraremos diversas técnicas de
solução de circuitos!
Dizemos que existe uma ligação em série quando os elementos de um circuito (tais como resistores,
baterias e motores) são ligados em sequência. Ou seja, quando os componentes compartilham a mesma
corrente elétrica. A Figura 18 ilustra a representação de um circuito que possui dois resistores ligados em
série.
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A resistência equivalente 𝑅𝑒𝑞 da combinação dos resistores 𝑅1 e 𝑅2 é dada pela lei Ohm. Logo,
𝑉 = 𝑅𝑒𝑞 𝐼
Por outro lado, a tensão 𝑉 dessa combinação é a soma das tensões aplicadas sobre cada um dos
resistores. Assim,
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2
Uma vez que a lei de Ohm pode ser aplicada para cada um dos resistores, ou seja
𝑉1 = 𝑅1 𝐼 𝑒 𝑉2 = 𝑅2 𝐼
A equação se torna:
𝑉 = (𝑅1 + 𝑅2 )𝐼
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2
Generalizando, a resistência equivalente para um número qualquer de resistores em série é dada por:
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛
Na abordagem de circuitos, pensar que a corrente é “consumida” ou “usada” à medida que ela
atravessa o circuito até atingir o terminal negativo é um erro conceitual comum.
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0
I1
a b
I2
I
I
Perceba que os resistores compartilham os nós 𝑎 e 𝑏. Cada resistor oferece um caminho alternativo
para a corrente elétrica entre esses pontos. A tensão 𝑉 é a mesma nos terminais de qualquer um dos
resistores ligados em paralelo.
Observe que a corrente é diferente em cada resistor. Como a carga não pode se acumular nem ser
extraída do ponto 𝑎, a corrente 𝐼 deve ser igual à soma das correntes 𝐼1 e 𝐼 2 que passam nos resistores
(conservação da carga elétrica). Dessa forma,
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2
1 1
𝐼 = 𝑉 (𝑅 + 𝑅 )
1 2
1 1 1
=𝑅 +𝑅
𝑅𝑒𝑞 1 2
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0
𝑅 𝑅
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅 1+𝑅2
1 2
Sim. Isso mesmo! O famoso “produto pela soma” tão utilizado por nós!
1 1 1 1
= 𝑅 + 𝑅 + ⋯+ 𝑅
𝑅𝑒𝑞 1 2 𝑛
Que tal fixar os conhecimentos sobre associação em série e paralelo com um simples problema?
(Estratégia concursos - 2019) Calcule a corrente que passa em cada resistor do circuito com fonte de
tensão de 𝑽 = 𝟏𝟖𝑽.
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Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule a corrente que passa em cada resistor do circuito. O
procedimento para resolver essa questão consiste em realizar os passos descritos a seguir. Para a
solução da questão considere a Figura abaixo.
i2
i i
a b c d
i3
(B )
(A)
i
(C)
Primeiro passo: Precisamos determinar a resistência equivalente do circuito, pois dessa forma
poderemos encontrar a corrente total 𝑖. Podemos imaginar que a fonte de tensão “sente” apenas a
resistência equivalente, ou seja, a configuração do circuito é uma espécie de “caixa preta”, entendeu?
Terceiro passo: Na figura (B) é fácil perceber que os resistores de 4Ω e 2Ω compartilha a mesma
corrente elétrica 𝑖, e dessa forma estão em série. Nessa configuração a resistência equivalente será:
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0
Quarto passo: Determinar a queda de tensão sobre o resistor de 2Ω da figura (B). Essa queda de
tensão é encontrada analisando a tensão entre os nós 𝑐 e 𝑑.
Quinto passo: Encontrar a corrente total. Aplicando a lei de Ohm no circuito da figura (C)
determinamos o valor de 𝑖.
O problema que acabamos de solucionar é composto por simples procedimentos que devem ser
compreendidos. Refaça todos esses procedimentos e se preciso leia novamente a teoria. Faça desse
exercício um “setlist” precioso, ok?
Após estudarmos as configurações em série e paralelo, iremos falar de um conceito bastante utilizado
em técnicas de solução de circuito, chamado divisor de corrente e de tensão. Esse conceito é um
desdobramento da análise de circuitos em série e paralelo.
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0
V1 V2
Para encontrar a corrente do circuito 𝑖, podemos utilizar a lei de Ohm juntamente com a resistência
equivalente da associação. Logo,
𝑉 𝑉
𝑖=𝑅 =𝑅
𝑒𝑞 1 +𝑅2
Quando calculamos a queda de tensão sobre o resistor 𝑅1 e 𝑅2 , devemos lembrar que a corrente 𝑖
que passa pelos dois resistores é a mesma. Então, temos que:
𝑉
𝑉1 = 𝑅1 𝑖 = 𝑅1 (𝑅 )
1 +𝑅2
𝑉
𝑉2 = 𝑅2 𝑖 = 𝑅2 (𝑅 )
1 +𝑅2
Considere o circuito em paralelo da Figura 21. Aqui, o nosso objetivo é determinar as expressões das
correntes que atravessam os resistores 𝑅1 e 𝑅2 .
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0
i
i3
i2
A tensão 𝑉 do circuito é determinada, novamente, pela lei de Ohm. Dessa forma, devemos considerar
a resistência equivalente do circuito em paralelo. Temos que:
𝑅 𝑅
V = 𝑖𝑅𝑒𝑞 = 𝑖 (𝑅 1+𝑅2 )
1 2
Aplicando a lei Ohm para cada resistor encontraremos os valores das correntes 𝑖1 e𝑖2 . Lembre-se que,
neste caso, as tensões de cada resistor são iguais. Logo,
𝑉1 = V = 𝑖1 𝑅1
𝑉 𝑖 𝑅 𝑅
𝑖1 = 𝑅 = 𝑅 (𝑅 1+𝑅2 )
1 1 1 2
Simplificando, temos:
𝑅2
𝑖1 = 𝑖 (𝑅 )
1 +𝑅2
𝑅1
𝑖2 = 𝑖 (𝑅 )
1 +𝑅2
Essas equações serão fundamentais para o desenvolvimento da técnica de substituição de fonte que
estudaremos oportunamente.
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0
A lei de Ohm sozinha não é suficiente para analisar circuitos. No entanto, quando ela se une às leis
de Kirchhoff, temos um conjunto suficiente para analisar uma grande variedade de circuitos. Em muitos
deles, principalmente circuitos que envolvam mais de uma fonte de tensão, temos que recorrer a outros
métodos de análise.
A Figura 22 apresenta um circuito que, por mais que ainda seja simples, não podemos resolver usando
resistências equivalentes.
Figura 22-Circuito em que os conceitos de ligação em série e paralelo não são suficientes para a análise.
Perceba que os resistores não compartilham corrente elétrica e nem nós, pois os resistores 𝑅1 e 𝑅2
não estão ligados nem em série e nem em paralelo.
Dessa forma, devemos considerar que todos os circuitos podem ser analisados com a aplicação de
duas regras denominadas de leis de Kirchhoff.
A lei de Kirchhoff dos nós afirma que a soma algébrica de todas as correntes que entram ou saem de
um nó é igual a zero. Ou seja, ∑ 𝐼 = 0. Em um circuito em onde a corrente pode ser dividir, a soma das
correntes que chegam na junção (nó) deve ser igual à soma das correntes que saem da junção. Logo,
A lei de Kirchhoff dos nós (ou das correntes) estabelece que a soma das correntes que
entram em um nó é igual a soma das correntes que saem deste mesmo nó.
Então, devemos considerar que as correntes que entram em um nó são positivas, enquanto as que
saem são negativas. Assim, a soma algébrica das correntes que passam por aquele nó deve ser igual a zero.
Já a Lei de Kirchhoff das malhas diz que a soma algébrica de todas as diferenças de potenciais através
de uma malha, incluindo os elementos resistivos e a fem de todas as fontes, deve ser igual a zero. Ou seja,
∑ 𝑉 = 0. Portanto,
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0
A lei de Kirchhoff das tensões estabelece que a soma das quedas de tensão em um circuito
deve ser igual a soma das elevações de tensão.
É importante evidenciar que o termo malha pode ser considerado qualquer caminho
condutor fechado!
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0
1
Substitua qualquer combinação em série ou em paralelo de resistores por seus equivalentes.
Repita o passo 1 quantas vezes for possível.
A seguir, designe um sentido positivo para cada ramo do circuito e indique este sentido por
uma seta. Identifique a corrente de cada ramo. Adicione um sinal de mais e um sinal de menos
para indicar o terminal de mais alto potencial e o de mais baixo potencial da fonte de tensão.
4
Aplique a lei das malhas às diferentes malhas até que o número total equações independentes
seja igual ao número de incógnitas. Quando percorrer um resistor no sentido positivo (sentido
da corrente), a variação de tensão é igual à −𝑹𝑰. Quando percorrer um resistor no sentido
contrário da corrente, a variação de tensão é igual à +𝑹𝑰. Quando percorrer uma bateria do
terminal negativo para o positivo, a variação de tensão é igual à +𝑽. Quando percorrer uma
bateria do terminal positivo para o negativo, a variação de tensão é igual à −𝑽.
(Prefeitura de Sobral - UECE - 2018 ) Observe o circuito elétrico mostrado na figura abaixo.
Considerando esse circuito, é correto afirmar que o valor, da corrente 𝑰𝒙 é igual a
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0
(A) 6
(B) 1
(C) 1
(D) 3
Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule o valor da corrente IX. O procedimento para resolver essa
questão consiste na aplicação das estratégias descritas anteriormente.
i2 i1
ix
I II
i2
ix
Passos da solução:
1. e 2. No circuito apresentado não podemos mais simplificar a configuração atual, ou seja, não
podemos substituir os resistores por associações equivalentes de resistores em série ou em paralelo.
3. O sentido das correntes foi devidamente definido em cada ramo e os potenciais das fontes foram
identificados. A escolha das correntes é totalmente arbitrária, sendo preciso respeitar o sentido da
corrente em relação aos potenciais das fontes. Dessa forma, o fluxo de corrente é direcionado do
potencial maior 𝑉+ para o potencial menor 𝑉− .
4. Aplicando a lei dos nós sobre o nó 𝑎, ou seja, a corrente total 𝑖𝑥 que chega se divide em 𝑖1 e 𝑖2 .
Temos que:
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0
𝑖𝑥 = 𝑖1 + 𝑖2 (𝐼)
5. Para aplicar a lei das malhas, identificamos dois ramos em nosso circuito: ramos (I) e ramo (II). Iremos
caminhar no sentido horário em cada ramo e calcular as quedas e elevações de tensões ao longo dos
ramos.
Ao passar pela fonte de 4𝑉 no sentido anti-horários, passamos do potencial maior para o potencial
menor, ou seja, temos uma queda de potencial igual à −4𝑉.
Ao passar pela fonte de tensão de 2𝑉 teremos uma elevação do potencial igual à +2𝑉.
Ao passar pelo resistor de 6Ω, caminharmos no sentido contrário da corrente 𝑖1 . Dessa forma,
teremos uma elevação de tensão de +6𝑖1.
Equacionando a lei das malhas para o ramo (I), temos: ∑ 𝑉 = 0, iremos somar todos os potenciais
de ramo (I).
Ao passar pelo o resistor de 2Ω no sentido anti-horário, temos uma queda de tensão de −2𝑖𝑥 .
Da mesma forma para o resistor de 6Ω, resultando em uma queda de −6𝑖1 . Ao passar pela fonte
de 2𝑉 , teremos uma queda de −2𝑉. Ao passar pela fonte de 12𝑉, teremos uma elevação de +12𝑉.
Equacionando a lei das malhas para o ramo (II), temos: ∑ 𝑉 = 0. Assim, iremos somar todos os
potenciais de ramo (II).
−2(𝑖1 + 𝑖2 ) − 6𝑖1 + 10 = 0
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0
−4𝑖2 − 2 + 6𝑖1 = 0
{
−8𝑖1 − 2𝑖2 + 10 = 0
Simplificando a equação (𝐼𝑉), multiplicando por um fator de × (−2) e somando termo a termo,
temos:
−4𝑖2 − 2 + 6𝑖1 = 0
{ ⇒ 22𝑖1 − 22 = 0 ⇒ 𝑖1 = 1 𝐴
16𝑖1 + 4𝑖2 − 20 = 0
−8(1) − 2𝑖2 + 10 = 0 ⇒ 𝑖2 = 1𝐴
Portanto,
Existem algumas situações em que a determinação da resistência equivalente não é possível, pois em
alguns circuitos não é possível encontrar resistores associados nem em série e nem em paralelo. A
transformação Δ − 𝑌 permite encontrar uma configuração alternativa ao circuito original que possibilita a
aplicação das técnicas de simplificação já estudadas (série/paralelo).
A Figura 23 é um exemplo de um circuito em que nenhum dos elementos resistivos estão em série
ou em paralelo, ou seja, não compartilham correntes nem nós entre si.
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0
i1 i2
i3
i4
i5
i6
E a lei de Kirchhoff professora? Não poderíamos usar essa ferramenta junto com a lei de Ohm?
A resposta é sim! Porém, teríamos que solucionar um sistema de equações com várias equações e
não é esse nosso objetivo...
Precisamos de técnicas que nos levem resolver problemas de circuitos com mais rapidez, ok?
1
1
R1
R 12 R 13
R2 R3
2 3
2 3 R 23
A demonstração das equações a seguir podem ser realizadas em um material extra ou podem ser
encontradas em qualquer livro de circuitos elétricos. Aqui, o nosso objetivo é saber como poderemos
resolver as questões de forma objetiva rápida!
Para realizar as transformações, vamos considerar a Figura 25 que relaciona as duas configurações.
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0
R1
R 12 R 13
R2 R3
2 R 23 3
Supondo que tenhamos uma configuração Y inicial, mas que seja mais fácil trabalhar com a
configuração Δ, devemos transformar o sistema de resistências de Y para Δ. Ou seja, devemos usar as
equações abaixo para calcular o respectivo valor das resistências em triângulo. Logo,
𝑅1 𝑅2 +𝑅1 𝑅3 +𝑅2 𝑅3
𝑅12(∆) = 𝑅3
𝑅1 𝑅2 +𝑅1 𝑅3 +𝑅2 𝑅3
𝑅13(∆) = 𝑅2
𝑅1 𝑅2 +𝑅1 𝑅3 +𝑅2 𝑅3
𝑅23(∆) = 𝑅1
Perceba que os numeradores das expressões são sempre os mesmos. Já, os denominadores serão
sempre os resistores que não se ligam ao par de nós analisados. Ou seja, analisamos um par de nós nessa
transformação!
Exemplo:
Pensando no resistor 𝑅12 (em triângulo), ele está conectado aos nós 1 e 2, certo?
Então, o denominador da expressão será apenas o resistor 𝑅3 (em estrela), dado que ele não está
ligado aos nós do resistor 𝑅12 . O numerador da expressão permanecerá igual para todos os resistores.
Logo,
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Agora, vamos supor que seja mais fácil trabalhar com a configuração Y. Assim, devemos transformar
o sistema de resistências em Δ para Y. Ou seja, devemos usar as equações abaixo para calcular o respectivo
valor das resistências em estrela. Logo,
𝑅12 𝑅13
𝑅1(Y) = 𝑅
12 +𝑅13 +𝑅32
𝑅12 𝑅23
𝑅2(Y) =
𝑅12 +𝑅13 +𝑅32
𝑅13 𝑅23
𝑅3(Y) = 𝑅
12 +𝑅13 +𝑅32
Para memorizar esse conjunto de equações, utilize novamente a Figura 25 e as orientações abaixo!
Perceba que agora os denominadores das expressões são sempre os mesmos. Já, os
numeradores serão sempre o produto dos resistores (em triângulo) comum ao nó
analisado. Ou seja, analisamos o nó nessa transformação!
Então, o numerador da expressão será o produto dos resistores (em triângulo) comum ao nó
analisado. Ou seja, 𝑅12 e 𝑅13 . Logo, o 𝑅23 (que não está ligado ao nó 1) não entra na conta do numerador. O
denominador permanece como a soma de todos as resistências em triângulo.
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Logo,
Cada resistor da rede em Y é o produto dos resistores dos ramos em Δ adjacentes divido
pela soma dos três resistores em Δ.
Transformação Y-Δ
Quais resistores (em estrela) estão ligados a um par de nós? Quem não estiver entra na
conta como o único elemento do denominador!
Transformação Δ -Y
Quais resistores (em triângulo) são comuns ao nó analisado? Quem não for, fica de fora da
conta do numerador!
𝑅𝑌 = 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3
𝑅Δ
𝑅𝑌 = 3
Essa é uma importante informação, pois pode simplificar muito a sua análise!
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1
Identifique os arranjos no circuito.
2
Escolha aqueles sobre o qual será realizada a transformação.
3
Enumere os nós do arranjo a ser transformado (não importa a ordem).
4
Aplique a transformação adequada.
5
Redesenhe o circuito, substituindo o arranjo original pelo transformado.
6
Se necessário, redesenhe o circuito mais uma vez.
7
Aplique as simplificações possíveis
(TSE -Analista judiciário - Consuplan -2012 -) A figura a seguir representa a transformação estrela –
triângulo. Para converter a estrela em triangulo, o valor de 𝑹𝟑 é dado pela fórmula
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Resolução e Comentários:
Portanto,
Perceba que as questões podem sim cobrar conceitos fundamentais e teóricos, bem como
dedução de fórmulas!
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7. MÉTODOS DE ANÁLISE
Com as leis fundamentais da teoria de circuitos estudadas e devidamente compreendidas, agora
podemos aplicar algumas das mais eficientes técnicas da análise de circuitos elétricos: o método dos nós e
das malhas.
O método dos nós se baseia em uma aplicação sistemática da lei de Kirchhoff das correntes/nós (LKC)
e o métodos das malhas se baseia na lei de Kirchhoff das tensões (LKT). Então, vamos entendê-las, pois, além
das questões de concursos abordarem este assunto, esse conteúdo servirá de base para prosseguirmos no
nosso curso.
Mas, primeiro, vamos falar um pouquinho sobre os tipos de fontes que podem existir em um circuito.
No capítulo anterior, a fonte de tensão era única fonte que aparecia na análise de circuitos básicos.
Isso se dava fundamentalmente porque as fontes de tensão como baterias e fontes de alimentação são mais
comuns em nosso cotidiano e no ambiente de laboratório. No entanto, também temos que comentar sobre
a fonte de corrente.
A fonte de corrente é descrita como dual da fonte de tensão. Da mesma maneira que uma bateria
fornece uma tensão fixa para um circuito, uma fonte de corrente estabelece uma corrente fixa no ramo onde
está localizada. Além disso, a corrente através de uma bateria é uma função do circuito para o qual ela está
aplicada. Da mesma maneira, a tensão para uma fonte de corrente também é uma função do circuito
conectado.
Nas seções anteriores, todas as fontes de tensão e de corrente que analisamos em circuitos CC eram
fontes independentes. As Figuras 26 e 27 representam graficamente fontes de tensão e corrente
independentes.
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O termo fonte independente significa que a magnitude da fonte é independente do circuito ao qual
ela é aplicada, de modo que suas características se mantêm mesmo que a fonte seja completamente isolada.
Uma fonte dependente ou controlada (Fig.28) é aquela cujas característica são determinadas (ou
controladas) por uma corrente ou tensão do sistema em que se encontra.
As fontes dependentes precisam da existência de pelo menos uma fonte independente, que é quem
fornecerá a energia ao circuito. As fontes controladas estão somente redirecionando a potência das fontes
independentes, que são as verdadeiras fontes de energia. Isso quer dizer que as fontes dependentes de
corrente podem fornecer potência às custas das fontes independentes.
Para simplificar, vamos considerar inicialmente que os circuitos não contêm fontes de tensão, pois os
que contêm serão estudados na próxima subseção.
No método dos nós, nos interessa achar as tensões de um determinado nó. Para ficar mais simples e
objetivo o seu entendimento, vamos fazer um passo a passo para a aplicação deste método. Dado um circuito
com n nós sem fontes de tensão, a análise nodal pode ser realizada seguindo os três passos a seguir:
1- Selecione um nó como referência e atribua as tensões aos nós restantes do circuito. As tensões são
atribuídas com relação ao nó de referência;
2- Aplique a LKC a cada um dos nós restantes (sem ser o de referência). Use a lei de Ohm para expressar
as correntes de cada ramo em função das tensões do nó.
3- Resolvas o sistema de equações gerados para obter as tensões do nó desconhecido.
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Considere o circuito da Figura 29 que será usado como configuração para exemplificar o passo a passo
de aplicação do método dos nós.
Figura 29-Aplicação do método dos nós (a) circuito original e (b) circuito com os nós definidos.
Na Figura 29-a, é possível observar que o nó de referência é o nó indicado pelo número 0 e os outros
nós serão utilizados para montar o sistema de equações. As tensões V 1 e V2 foram atribuídas aos restantes
dos nós. Considerando a Figura 29-b, vamos aplicar a LKC para os nós 1 e 2. Temos então para o nó 1:
𝐼1 = 𝐼2 + 𝑖 1 + 𝑖 2
E para o nó 2:
𝐼2 = 𝑖 3 − 𝑖 2
Vamos agora utilizar a lei de Ohm para escrever as correntes em função das tensões e das resistências.
Para a corrente i1:
𝑣1 −0
𝑖1 = 𝑜𝑢 𝑖1 = 𝐺1 𝑣1
𝑅1
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0
𝑣1 −0
𝑖3 = 𝑜𝑢 𝑖3 = 𝐺3 (𝑣2 )
𝑅3
𝐼1 − 𝐼2 = 𝐺1 𝑣1 + 𝐺2 (𝑣1 − 𝑣2 )
𝐼2 = 𝐺3 (𝑣2 ) − 𝐺2 (𝑣1 − 𝑣2 )
𝐺 + 𝐺2 −𝐺2 𝑣1 𝐼 − 𝐼2
[ 1 ] [𝑣 ] = [ 1 ]
−𝐺2 𝐺2 + 𝐺3 2 𝐼2
Agora, chegamos no ponto em que vamos considerar a existência de fontes de tensão no circuito.
Observe a Figura (30).
𝑣1 = 10 𝑉
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E qual a consequência disso? A análise vai ser simplificada, porque agora teremos o valor da tensão
nesse nó.
➢ Se a fonte de tensão estiver entre dois nós que não são de referência, eles formarão um supernó.
Dessa forma, teremos que aplicar tanto a LKC e a LKT para determinar as tensões nodais.
O supernó é uma região que engloba a fonte de tensão e seus dois nós.
Analisando o exemplo da Figura (30), os nós 2 e 3 formam um supernó. Devemos analisar esse circuito
considerando os mesmos passos da seção anterior em conjunto com a análise do supernó. Mas
porque professora?
Porque se não fizermos isso, não teríamos como descobrir a corrente que passa pela tensão entre
esses nós (2 e 3)! No super nó, teremos:
𝑖1 + 𝑖4 = 𝑖2 + 𝑖3
Em termo de tensões,
𝑣1 −𝑣2 𝑣1 −𝑣3 𝑣2 −0 𝑣3 −0
+ = +
2 4 8 6
−𝑣2 + 5 + 𝑣3 = 0
𝑣2 − 𝑣3 = 5
Assim, teremos o número suficientes de equações para determinar a tensão em cada nó!
2- Se a fonte de tensão está conectada entre nós sem referência, este ramo simplesmente
será analisado apenas como 1 nó denominado supernó, o que causará uma condição de
restrição necessária para resolver o sistema de equações.
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Da mesma forma da seção anterior, vamos considerar inicialmente que os circuitos não contêm
fontes de corrente, pois os que contêm serão estudados na próxima subseção.
No método das malhas, nos interessa achar as correntes de malha em um dado circuito. Podemos
considerar que uma malha é laço ou parte do circuito que não contém nenhum outro laço dentro dele.
Para facilitar o seu entendimento também vamos fazer um passo a passo para a aplicação deste
método. Dado um circuito com n malhas sem fontes de corrente, a análise de malhas pode ser realizada
seguindo os três passos a seguir:
O primeiro passo requer a atribuição das correntes de malha i1 e i2 nas malhas 1 e 2 como é possível
observar na Figura 31. Posteriormente, aplicando-se a LKT em cada malha e utilizando a lei de Ohm para
expressar as tensões em função das correntes das malhas, podemos obter a seguinte equação para a
primeira malha:
(𝑅 1 + 𝑅 3 )𝑖 1 − 𝑅 3 𝑖 2 = 𝑉 1
E para a segunda:
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0
(𝑅 + 𝑅3 ) −𝑅3 𝑖 𝑉
[ 1 ] [ 1] = [ 1 ]
−𝑅3 (𝑅2 + 𝑅3 ) 𝑖2 −𝑉2
Resolvendo este sistema de equações, podemos obter as correntes que circulam cada malha.
Nessa seção, vamos considerar a existência de fontes de corrente no circuito. À princípio você pode
até achar mais complicado a análise desse tipo de circuito. No entanto, a verdade é que ela é muito mais
fácil, a presença de fontes de correntes de corrente reduz o número de equações.
Da mesma forma que ocorreu para o método dos nós, poderemos ter duas situações. Uma, em que
a fonte de corrente está presente em uma malha específica, e a outra, em que a fonte de corrente é comum
a duas malhas. Então vamos analisar esses dois casos tendo como exemplo os circuitos das Figuras (32) e
(33), respectivamente.
➢ Quando existir uma fonte de corrente apenas em uma malha, devemos considerar que a corrente
que circula nessa malha é igual ao valor da fonte de corrente.
Figura 32- Circuito com fonte de corrente apenas uma malha. Fonte: Alexander e Sadiku (2013).
𝑖2 = −5 𝐴
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Consequentemente,
𝑖1 = −2𝐴
Assim, conseguimos descobrir o valor das correntes de malha do circuito. Note que a presença dessa
fonte de corrente reduziu o número de equações!
➢ Quando uma fonte de corrente estiver entre duas malhas, devemos criar uma supermalha, excluindo
a fonte de corrente e quaisquer elementos em série ligados a ela.
A supermalha é uma região resultante, quando duas malhas possuem uma fonte de
corrente em comum, que exclui a fonte de corrente e os elementos em série associados a
ela.
Figura 33- (a) Fonte de corrente em comum a duas malhas. (b) supermalha formada. Alexander e Sadiku (2013).
𝑖2 = 𝑖1 + 6
𝑖1 = −3,2 𝐴 𝑒 𝑖2 = 2,8 𝐴
Logo, conseguimos um número suficiente de equações para determinar as correntes em cada malha.
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1- Se a fonte de corrente estiver conectada apenas em uma malha, a corrente que percorre
essa malha será igual à corrente da fonte;
2- Se a fonte de corrente estiver entre duas malhas, criaremos uma super malha (excluindo
a fonte de corrente e os elementos em série associados a ela), o que causará uma condição
de restrição necessária para resolver o sistema de equações.
Existe um procedimento para facilitar a aplicação do método dos nós e das malhas, que se baseia
apenas na observação do circuito. Ou seja, consiste em um método de inspeção.
Quando todas as fontes de um circuito resistivo são fontes de corrente de independentes, não é
necessário aplicar a lei de Kirchhoff das correntes a cada nó para obter as equações. Da mesma forma, não
é necessário aplicar a lei de Kirchhoff das tensões, quando o circuito resistivo tem apenas fontes de tensão
independentes. Dessa forma, poderemos obter as equações para ambos os métodos por mera inspeção do
circuito!
- no caso da aplicação do método dos nós, quando todas as fontes forem fontes de corrente
independentes. Ou seja, não possuir fontes de tensão;
-no caso da aplicação do método das malhas, quando todas as fontes forem fontes de
tensão independentes. Ou seja, não possuir fontes de corrente.
Fique atento às considerações a seguir, pois elas te ajudarão a resolver as questões de forma muito
mais rápida e objetiva por meio da aplicação deste procedimento (quando aplicável, é claro!)
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Por inspeção, verifica-se que, na matriz gerada pelo método dos nós, os termos diagonais
são a soma das condutâncias conectadas diretamente a cada nó analisado. Enquanto, os
outros termos não diagonais são os valores negativos das condutâncias conectadas entre
estes nós.
De igual maneira, na matriz gerada pelo método das malhas, os termos diagonais da matriz
são a soma das resistências de cada malha correspondente. Enquanto, os outros termos
não diagonais são os valores negativos das resistências comuns às malhas.
Lembre-se que a inspeção visual valerá apenas se o circuito elétrico possuir fontes de tensão e de
corrente independentes. Essa análise facilita muito a montagem dos sistemas nos economizando um bom
tempo para a resolução das questões.
(Pref. São José do Campos- VUNESP-2017) Pode-se empregar o método de análise nodal para a
determinação das tensões nos nós indicados no circuito apresentado. Assinale a alternativa que
mostra, corretamente, as equações de análise nodal, na forma matricial, considerando esse circuito.
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Resolução e comentários:
A questão solicita que você monte as equações da análise nodal da forma matricial considerando
o circuito da figura.
O procedimento para resolver essa questão consiste em aplicar o método de inspeção para a
análise nodal.
Sabemos que os elementos diagonais correspondem à soma das condutâncias conectadas ao nó.
E os elementos não diagonais correspondem ao negativo das condutâncias entre os nós.
1 1
− (0,1) 0
0,1 𝑒1 10
1 1 1 1 1
− (0,1) (0,1 + 0,2 + 0,025) − (0,025) 𝑒
[ 2] = [ 0 ]
1 1 1
𝑒3 0
[ 0 − (0,025) (0,025 + 0,2)]
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10 −10 0 𝑒1 10
[−10 55 −40] [𝑒2 ] = [ 0 ]
0 −40 45 𝑒3 0
Portanto,
Perceba que, se não utilizássemos o método por inspeção, resolver essa questão demandaria
muito esforço e tempo.
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8. TEOREMAS DE CIRCUITOS
Com o aumento das áreas de aplicações dos circuitos elétricos, os circuitos se tornaram cada vez mais
complexos. Assim, os engenheiros desenvolveram alguns teoremas para simplificar a análise de circuitos.
Embora os métodos dos nós e das malhas sejam técnicas poderosas para resolver circuitos, ainda
estamos interessados em métodos que possam ser usados para simplificar circuitos de forma mais otimizada.
Uma substituição de fonte, permite que uma fonte de tensão em série com um resistor seja
substituída por uma fonte de corrente em paralelo com um resistor ou vice-versa.
Considere o circuito em série da Figura 34. Qual a tensão que o resistor 𝑅𝐿 está submetido?
𝑉 1 = (𝑅 1 + 𝑅 𝐿 )𝑖
𝑉1
𝑖=(
𝑅1 +𝑅𝐿 )
𝑉1
𝑉 = 𝑖𝑅𝐿 = ( 𝑅𝐿
𝑅1 +𝑅𝐿 )
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𝑉1 𝑅𝐿 𝑅1 𝑉1 𝑅1 𝑅𝐿
𝑉=( )
× =
𝑅1 +𝑅𝐿 𝑅1 𝑅1 (𝑅1 +𝑅𝐿 )
𝑉
𝑉 = 𝑅1 𝑅1 ||𝑅𝐿
1
Essa equação mostra o resultado do divisor de tensão e evidencia que a expressão do circuito pode
ser reescrita como se os resistores 𝑅1 e 𝑅𝐿 estivessem em paralelo.
𝑉1 𝑅1
𝑖=( ×
𝑅1 +𝑅𝐿 ) 𝑅1
𝑉 𝑅1
𝑖 = 𝑅1 (𝑅
1 1 +𝑅𝐿 )
Podemos dizer que as equações em destaque derivam de um circuito com uma fonte de corrente em
paralelo com uma resistência 𝑅1 , ou seja, há uma equivalência entre os dois circuitos (Fig. 35).
V1 i
R1
Dessa forma, em um circuito elétrico, podemos substituir um arranjo de fonte por outro sem alterar
o comportamento percebido nos terminais daquele arranjo como pode ser observado na Figura 36.
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V1
V1 R1
I 1 R1
I1
Professora, o que acontece se houver uma resistência 𝑅𝑝 em paralelo com a fonte de tensão ou uma
resistência 𝑅𝑠 em série com a fonte de corrente?”
Em ambos os casos, a resistência não tem nenhum efeito sobre o circuito equivalente que prevê o
comportamento apenas em relação aos terminais 𝑎 e 𝑏.
Frequentemente em certas análises de circuitos, o que mais nos interessa é sabe o que acontece em
um par específico de terminais. Os teoremas de Thévenin e Norton são técnicas de simplificação de circuitos
que estudam o comportamento de terminais e, por isso, são uma ajuda extremamente valiosa em análise de
circuitos.
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Nesta primeira aula abordaremos essas técnicas apenas para circuitos resistivos. No entanto, esses
teoremas podem ser usados para representar qualquer circuito composto de elementos lineares. Ou seja,
eles podem ser aplicados em análise de corrente alternada em um circuito com elementos resistivos,
capacitivos e indutivos que serão abordados na próxima aula.
a a
RT h
Circuito resistivo VT h
que contém fontes
independentes e
dependentes
b b
(A) (B )
A Figura 38-B mostra o equivalente de Thévenin. Assim, um circuito equivalente de Thévenin pode
ser representado como uma fonte de tensão independente 𝑉𝑇ℎ em série com um resistor 𝑅𝑇ℎ , que substitui
uma interligação de fontes e resistores.
Essa combinação em série de 𝑉𝑇ℎ e 𝑅𝑇ℎ é equivalente ao circuito original no sentido de que, se
ligarmos a mesma carga aos terminais 𝑎 e 𝑏 de cada circuito, obteremos as mesmas tensões e corrente nos
terminais da carga. Essa equivalência vale para todos os valores possíveis de resistência de carga.
Um circuito linear com dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente que
é composto por uma fonte de tensão VTH em série com um resistor RTH, onde VTH é a tensão
de circuito aberto nos terminais e RTH é a resistência equivalente nos terminais quando as
fontes são desligadas.
Para representar o circuito original por seu equivalente de Thévenin, temos que determinar a tensão
de Thévenin 𝑉𝑇ℎ e a resistência de Thévenin 𝑅𝑇ℎ . Se a resistência da carga for infinitamente grande, temos
uma condição de circuito aberto.
A tensão de circuito aberto nos terminais 𝑎 e 𝑏 do circuito pode ser visualizada na Figura 39.
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Se os terminais a-b (fig.39-B) estão em circuito aberto (mediante a eliminação da carga) nenhuma
corrente fluirá. Logo, a tensão de circuito aberto entre os terminais a-b é a própria VTH.
Por hipótese, ela deve ser a mesma que a tensão de circuito aberto nos terminais 𝑎 e 𝑏 do circuito
original. Portanto, para calcular a tensão de Thévenin 𝑉𝑇ℎ , simplesmente calculamos a tensão de circuito
aberto do circuito original.
Para calcular a resistência de Thévinin, vamos curto-circuitar fontes independentes de tensão e abrir
fontes independentes de corrente. Ou seja, esse passo funciona como se aplicássemos uma fonte externa
de tensão 𝑉𝑒𝑥𝑡 ou de corrente 𝐼𝑒𝑥𝑡 ao circuito como mostra a Figura (40).
A RTH é a resistência equivalente vista dos terminais de entrada quando as fontes independentes se
apagam. Logo,
𝑉𝑒𝑥𝑡
𝑅𝑇𝐻 = 𝐼𝑒𝑥𝑡
Perceba que a aplicação de uma fonte externa é apenas uma forma teórica de considerar uma
resistência equivalente vista dos terminais a-b quando desconsideramos as fontes do circuito. De forma
prática, você irá apenas desconsiderar as fontes e calcular uma resistência equivalente vista dos terminais.
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Vai ficar mais fácil você assimilar esse procedimento com a questão que vamos resolver no final deste
capítulo!
Ainda temos que analisar o comportamento de uma carga que pode ser ligada aos terminais a-b do
circuito.
Considerando uma carga (RL) ligada aos terminais do circuito, nós podemos obter facilmente a
corrente (IL) que passa por ela e a tensão na carga (VL), após determinarmos o circuito equivalente de
Thévenin. Dessa forma,
𝑉𝑇𝐻
𝐼𝐿 =
𝑅𝑇𝐻 +𝑅𝐿
𝑉 𝐿 = 𝑅 𝐿 𝐼𝐿
Dessa forma tenha em mente que, para aplicar o circuito equivalente de Thévinin, devemos fazer
duas considerações:
➢ A tensão de Thevenin (VTh) é a tensão entre os terminais da carga quando o resistor de carga for
aberto.
➢ A resistência de Thevenin (RTh) é definida como a resistência equivalente entre os terminais da carga,
quando as fontes de tensão e de correntes são reduzidas a zero.
Um circuito equivalente de Norton consiste em uma fonte de corrente independente e paralelo com
a resistência de Norton 𝑅𝑁 . Podemos obtê-lo de um circuito equivalente de Thévinin por uma simples
transformação de fonte, ou seja, a resistência de Norton 𝑅𝑁 é igual a resistência Thévinin 𝑅𝑇ℎ .
Assim, a corrente de Norton é igual a corrente de curto-circuito 𝐼𝑐𝑐 nos terminais de interesse.
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A Figura 41-B mostra que a corrente de curto 𝐼𝑐𝑐 é igual à corrente de Norton 𝐼𝑁 , pois na situação
curto, toda a corrente do circuito irá passa integralmente pelo curto.
𝑅𝑁 = 𝑅𝑇𝐻
𝑉𝑇𝐻
𝐼𝑁 = 𝑅𝑇𝐻
Um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente que
é composto por uma fonte de corrente 𝐼𝑁 em paralelo com um resistor 𝑅𝑁 , onde 𝐼𝑁 é a
corrente de curto-circuito e 𝑅𝑁 é a resistência equivalente nos terminais quando as fontes
independentes estão desligadas.
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Resolução e comentários:
I) A tensão de Thévenin (VTh) é a tensão entre os terminais da carga quando o resistor de carga for
aberto.
II) A resistência de Thévenin (RTh) é definida como a resistência equivalente entre os terminas da carga,
quando as fontes de tensão e de correntes são reduzidas a zero e o resistor de carga for aberto.
Para calcularmos a tensão de Thévenin primeiramente abrimos o resistor de carga RL, o circuito
resultante e mostrado na figura (a):
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Como os terminais A e B estão abertos a corrente fornecida pela fonte circula apenas através dos
resistores do bloco II (figura (d). Calculando o resistor equivalente do bloco II e aplicando a lei de ohm
ao circuito da figura (d), encontramos a corrente i que percorre o circuito:
Aplicando novamente a lei de ohm para o resistor de 2kΩ assinalado na figura (e), podemos
determinar a tensão entre os terminais A e B:
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O resistor equivalente do bloco I (já foi calculado no item anterior), está em paralelo com o resistor
de 2kΩ (bloco II), cujo resistor equivalente resultante está em série com o resistor de 1kΩ (bloco III).
Aplicando a lei de ohm para essa associação de resistores, podemos determinar a resistência
equivalente entre os pontos A e B:
Portanto,
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9. QUESTÕES COMENTADAS
1. (CESPE – TCE-PR – Eng. Elétrica - 2016) Considerando-se a figura precedente, que ilustra duas cargas
elétrica de sinais contrários, +𝟐𝒒 e −𝒒, separadas de 𝟏, 𝟎 𝒎, é correto afirmar que o campo elétrico
resultante é nulo no ponto sobre a linha reta (horizontal) que passa pelas cargas localizado
Resolução e comentários:
A questão solicita que você determine o ponto no qual o campo elétrico é nulo. Ela explora
conceitos básico da Lei de Coulomb na forma de campo elétrico. Muitos alunos deslizam no caráter
vetorial da força e do campo elétrico. Questão clássica sobre campo elétrico nulo na presença de duas
cargas.
Vamos começar analisando os itens (a) e (d) no qual afirmam que o ponto de campo elétrico
resultante está entre as cargas.
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Nessa situação (cargas de sinais opostos) é impossível obter um campo elétrico nulo, pois os dois
vetores têm a mesma direção e sentido.
Um local possível para o ponto 𝑷 representar o campo elétrico resultante nulo será à direta de −𝒒
ou à esquerda de +𝟐𝒒, como mostra a Figura.
Pelo que foi explanado, o ponto P poderia estar à direita da carga negativa e à esquerda da carga
positiva. Certo? Sim! Só que para o campo elétrico ser nulo isso só poderia acontecer no caso específico
em que as cargas tivessem o mesmo valor em módulo.
No caso da questão, como a carga positiva tem uma magnitude maior, a única possibilidade dos
campos elétricos resultantes de cada carga se anularem vai ser a situação em que o ponto P estiver
mais perto da carga de menor magnitude (no nosso caso, a negativa).
Pela própria equação do campo elétrico (que depende de forma diretamente proporcional de q e
inversamente proporcional da distância a r), podemos observar que, para compensar o valor da carga
positiva, a distância tem que ser maior.
1 Q
𝐸 = 4𝜋𝜖 2
0𝑟
Pense o seguinte...
Como que o campo elétrico produzido pela carga de maior magnitude vai conseguir produzir um
campo elétrico que vai "empatar" com o da mais fraca?
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O módulo da carga positiva é maior, mas quando o ponto P está à direta da carga negativa, a
distância r vai ser também maior. Ou seja, uma coisa vai compensar a outra.
Por outro lado, a carga negativa é mais fraca (por ter uma magnitude menor), mas está mais perto do
ponto P. A questão agora é saber a que distância...
Então, vamos considerar o ponto 𝑷 situado a direita da carga −𝒒, como mostra a próxima figura.
Calculando o campo resultante sobre o ponto 𝑷 e já utilizando a condição de que nesse ponto o
campo resultante é nulo, temos
𝐸⃗+2𝑞 = 𝐸⃗−𝑞
Trabalhando a equação em módulo, ou seja, para que o campo resultante seja nulo é necessário
que os módulos dos vetores campo elétrico sejam iguais.
|𝐸⃗+2𝑞 | = |𝐸⃗−𝑞 |
1 2𝑞 1 𝑞
= 4𝜋𝜖
4𝜋𝜖0 (𝑥 ′ +1)2 ′ 2
0 (𝑥 )
Simplificando,
2 1
(𝑥 ′ +1)2
= (𝑥 ′ )2
2
𝑥 ′ − 2𝑥 ′ − 1 = 0
Resolvendo,
𝑥 ′1 = 1 + √2 ≅ 2,41 𝑚
𝑥 ′1 = 1 − √2 ≅ −0,41 𝑚
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Ou seja, o ponto P deve estar à direita da carga positiva, à uma distância de aproximadamente 2,41
metros. Vamos considerar a segunda raiz da equação? Não, pois o valor negativo significa que o ponto
P estaria entre as cargas e, como já estudamos, o campo elétrico resultante nessa situação não seria
nulo. Matematicamente o valor do campo produzido por cada uma seriam iguais, mas fisicamente eles
teriam o mesmo sentido.
A) A alternativa está incorreta, pois o campo elétrico resultante quando o ponto P está entre as
cargas de sinais opostos não pode ser nulo.
B) A alternativa está incorreta, pois a menos de dois metros à direita da carga negativa não satisfaz
a condição para o vetor resultante ser nulo.
C) A alternativa está correta. Conforme calculamos, o ponto P de fato deve estar a mais de 2
metros à direita da carga negativa (-q).
E) A alternativa está incorreta. Conforme foi analisado, o ponto P sempre estará do lado da carga
mais fraca em módulo, que no caso é a negativa(-q) e não a positiva (+2q)!
Portanto,
2. (UFPR - Pref. Municipal de Curitiba – Eng. Eletricista – 2019) Duas esferas iguais, eletricamente
carregadas com +𝟏𝟒𝟎 𝐦𝐂 e−𝟏𝟓𝟒 𝐦𝐂, e separadas de uma distância fixa 𝐝 se atraem com uma força de
intensidade 𝟔, 𝟔 𝐦𝐍 (𝐝 é suficientemente grande para que os raios das esferas possam ser
desconsiderados). Em seguida, mantidas nas mesmas posições, as duas esferas são colocadas
eletricamente em contato até que as cargas se redistribuam (o condutor usado é suficientemente fino para
que se despreze a carga distribuída sobre ele). Depois de removido esse condutor, a força de interação
entre as duas esferas passa a ser de:
(A) 15 μN (repulsão)
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Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule a força de interação entre as duas esferas após a redistribuição
de cargas.
O problema explora conceitos de conservação da carga elétrica e aplicação direta da Lei Coulomb.
A questão afirma que duas esferas iguais e carregadas com cargas diferentes, estão separadas por uma
distância 𝑑. Essa distância 𝑑 deve ser considerada grande o suficiente para que os efeitos eletrostáticos
das esferas sejam análogos aos de cargas puntiformes, ou seja, deve-se desconsiderar os raios das
esferas.
1. O valor de 𝑑 é determinado utilizando a Lei de Coulomb. Sabendo que a interação entre as cargas
obedece a terceira Lei de Newton, ou seja, as forças têm a mesma intensidade, direção e sentidos
⃗⃗⃗1 | = |𝐹
opostos, |𝐹 ⃗⃗⃗2 | = |𝐹 |.
Após atingido o equilíbrio eletrostático, as cargas das duas esferas serão redistribuídas, pois temos
um único condutor resultante do contato das duas esferas. Pelo princípio da conservação da carga
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elétrica, temos que a carga total do sistema antes do contato (𝑞1 + 𝑞2 ) deve ser igual a carga total do
sistema após o contato (𝑞1′ + 𝑞2′ ).
3. Após a condição de equilíbrio devido o contato, as esferas restabelecem suas posições originais. Com
o objetivo de quantificar a nova interação, aplicaremos novamente a Lei de Coulomb. Agora teremos
uma interação repulsiva. Vamos escrever as novas interações da seguinte forma, |𝐹 ⃗⃗⃗1 | = |𝐹 ⃗⃗⃗ |.
⃗⃗⃗2 | = |𝐹′
Portanto,
3. (CESPE - SLU -DF – Eng. Elétrica – 2019) Julgue o item abaixo, acerca de eletromagnetismo.
A força que atua sobre uma carga pontual colocada em um campo elétrico produzido por outra carga pontual
terá a mesma direção do vetor intensidade do campo elétrico.
Resolução e comentários:
Essa questão explora o conceito vetorial da lei de Coulomb e do campo elétrico. O vetor campo
elétrico é dado pela força por unidade carga imersa nesse campo elétrico: 𝐸⃗ = 𝐹 𝑞0 . Essa expressão
revela a natureza vetorial entre campo elétrico e força elétrica, ou seja, o campo e a força elétrica têm
a mesma direção.
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0
Lembre-se que o sentido entre o vetor força elétrica e o vetor campo elétrico dependerá da relação
de atração ou repulsão entre as cargas analisada!
Se a carga teste for positiva, o campo elétrico e a força elétrica terão o mesmo sentido! Se a carga
teste for negativa, o campo elétrico e a força elétrica terão sentidos contrários!
Portanto,
O item é verdadeiro.
Resolução e comentários:
A força eletrostática tem uma característica muito especial, ou seja, ela é conservativa!
O trabalho realizado pela força elétrica para transportar em equilíbrio uma carga em uma
trajetória aberta de 𝒂 até 𝒃 é cada por:
O resultado mostra que o trabalho depende apenas das posições finais e iniciais, ou seja,
independe da trajetória.
Portanto,
118
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0
O item é falso.
Resolução e comentários:
Perceba que o campo elétrico (dipolo) “nasce” na carga +𝑸 e “morre” na carga −𝑸, dessa forma,
temos linhas de campo aberto para o campo elétrico.
As linhas de campo magnético são linhas fechada, elas entram pelo pólo sul e saem pelo pólo
norte. Assim, quando envolvemos um dos pólos com uma superfície fechada 𝑺, como mostra a Figura
(b), o número de linhas de campo que atravessam a superfície fechada para fora é exatamente igual
ao número de linhas que atravessam a superfície para dentro, o que faz com que o fluxo de campo
magnético através da superfície fechada seja nulo.
Portanto,
O item é falso.
6. (UFPR - ITAIPU – Eng. Elétrica – 2019) Duas pequenas esferas condutoras, idênticas, possuem cargas
de 𝟐, 𝟎 × 𝟏𝟎−𝟗 𝑪 e −𝟎, 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟗 𝑪. Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, a força entre
elas quando estiverem separadas por 𝟒 𝒄𝒎, e a força entre elas quando forem postas em contato e
novamente separadas por 𝟒 𝒄𝒎.
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Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule a força entre as esferas quando elas estiverem separadas por
4 𝑐𝑚, e a força entre elas quando forem postas em contato e novamente separadas por 4 𝑐𝑚.
⃗ 𝟏 | = |𝑭
Sabendo que |𝑭 ⃗ 𝟐 | = 𝑭, temos
Com essa análise já poderíamos definir o gabarito, mas vamos prosseguir com a resolução.
Próximo passo é verificar qual é carga final das esferas após o contato. Após o contato, o sistema
ficará sob o mesmo potencial, de tal forma que a carga será redistribuída igualmente entre as esferas,
pois elas são idênticas. Usando o princípio da conservação da carga, a carga total antes do contato
(𝒒𝟏 + 𝒒𝟐 ) deverá ser igual a carga total após o contato (𝒒′𝟏 + 𝒒′𝟐 = 𝟐𝒒).
Agora vamos calcular a intensidade da nova interação após o contato e restabelecida a posição
original das esferas.
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0
Portanto,
7. (CS UFG - profissional de Engenharia (SANEAGO) – Eng. Elétrica – 2019) A figura a seguir mostra um
capacitor de placas paralelas. As placas do capacitor estão separadas por ar e o capacitor está carregado
com carga 𝑸. Nesta condição, a diferença de potencial ente as placas do capacitor, medida pelo voltímetro,
é 𝑽. O voltímetro é ideal. Em um segundo momento, foi introduzido um material dielétrico (constante
dielétrica superior à do ar) entre a placas do capacitor. Nesta nova condição, a diferença de potencial entre
as placas do capacitor
A) Sofre redução.
B) Sofre aumento.
C) Permanece constante.
D) Diminui para zero.
Resolução e comentários:
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Outra informação importante é sobre a carga acumulada nas placas do capacitor. Para a carga 𝑸
ser alterada, as dimensões do capacitor (características geométricas) precisam ser modificadas. Dessa
forma, ao inserir um dielétrico, o potencial diminui, a carga permanece constante e,
consequentemente a capacitância vai aumentar 𝑪 = 𝑸/𝑽.
Portanto,
8. (IADES – Analista Legislativo (ALEGO) – Engenheiro Eletricista – 2019) Duas placas condutoras
retangulares de comprimento 𝒙 e largura 𝒚 são colocadas em paralelo a uma distância 𝒅 uma da outra, e,
entre elas é inserido um dielétrico com permissividade relativa 𝜺𝒓 . Esse conjunto possui capacitância 𝑪.
Com base nessas informações, é correto afirmar que, se
Resolução e comentários:
A permissividade relativa é
(A) Utilizando um novo material com 𝜺′𝒓 = 𝜺𝒓 /𝟑, teremos a seguinte capacitância:
122
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0
(C) Como as placas têm formas retangulares, a área é 𝑨 = 𝒙. 𝒚. Se 𝒙 e 𝒅 são dobrados, temos:
(D) Da mesma forma do item (c), dobrando 𝒚 e 𝒅 teremos a mesma capacitância original. (item- Errado)
(E) Se 𝒙 for triplicado, a nova capacitância também será triplicada. (item- Errado)
Portanto,
9. (Cespe - Polícia Científica - PE - Eng. Elétrica - 2016) Se no circuito elétrico apresentado, a corrente
que flui pelo resistor de 𝟒𝛀 é 𝟐𝑨, então o valor da resistência de 𝑹, em ohms, é igual à
A) 3
B) 4
C) 6
D) 9
E) 1
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Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule o valor da resistência R. Para resolver essa questão, considere
a figura abaixo.
a i4
x y
i2 i2
i
2A
i3
I II
i i2
b
𝑖 = 𝑖2 + 𝑖3
Como o resistor de 8Ω está sob a mesma diferença de potencial de 8𝑉, podemos encontrar a
corrente que atravessa esse resistor. Chamando de 𝑖4 a corrente que passa pelo resistor de 8 Ω, temos:
𝑉𝑥𝑦 8𝑉
𝑖4 = = 8Ω = 1𝐴
8Ω
𝑖2 = 𝑖4 + 2𝐴 = 3𝐴
30 − 2𝑖 − 10𝑖3 = 0(𝐼)
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0
−8 − 𝑖2 𝑅 + 10𝑖3 = 0(𝐼𝐼)
Perceba que ao caminhar sobre os resistores de 8Ω e 4Ω que estão em paralelo não precisamos
encontrar a resistência equivalente entre eles, pois já sabemos que a queda de tensão entre ele é −8𝑉.
Vamos chamar de ramo (III), o ramo mais externo do circuito, ou seja, o ramo que desconsidera a
malha 𝑎𝑏. As elevações e quedas de tensão sobre esse ramo será:
30 − 2𝑖 − 8 − 𝑖2 𝑅 = 0(𝐼𝐼𝐼)
−8 − i2 R + 10i3 = 0 −8 − i2 R + 10i3 = 0
{ ⇒ {
30 − 2i − 8 − i2 R = 0 × (−1) −30 + 2i + 8 + i2 R = 0
Simplificando, obtemos:
𝑖3 = 2𝐴(𝑉)
10𝑖3 − 8 = 3𝑅 ⇒ 𝑅 = 4Ω
Portanto,
10. (FGV – Prefeitura de salvador – BA – Analista – Engenharia Elétrica - 2019) Na figura a seguir são
apresentadas correntes elétricas em três ramos e tensão em um dos resistores.
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0
A) 17
B) 5
C) 15
D) -5
E) -17
Resolução e comentário:
A questão solicita que você calcule a diferença de potencial 𝑉𝑎𝑏 do circuito. Para resolvê-la,
considere a figura abaixo.
8A
x
i1 2A
i2
i2
y
2A i3
Observamos uma distribuição da corrente 8𝐴 sobre o nó 𝑥. Essa divisão de corrente pode ser
representada matematicamente por:
A questão informa a queda de tensão sobre um dos resistores. Representamos essa queda de
tensão por 𝑉𝑥𝑧 . Aplicando a lei de Ohm sobrea região delimitada entre os nós 𝑥 e 𝑧, tem-se:
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0
O próximo passo será analisar as elevações e quedas de tensões caminhando do ponto 𝑎 até o
ponto 𝑏. Ao longo desse caminho, estaremos no sentido contrário das correntes nos trechos 𝑎𝑧 e 𝑧𝑥 e
no mesmo sentido no trecho 𝑥𝑏. Matematicamente temos:
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏
Logo,
𝑉𝑎𝑏 = −5𝑉
Portanto,
11. (FGV – Senado Federal – Engenharia Elétrica - 2008 ) O menor número de equações de malha para
se resolver o circuito a seguir é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolução e comentário:
A questão solicita que você determine o menor número de equações de malha necessárias para
resolver o circuito. O procedimento para resolver essa questão consiste em analisar o circuito
aplicando o método das malhas. O primeiro ponto que devemos perceber é que esse circuito possui
fontes de correntes.
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À princípio teríamos 4 equações de malha, pois temos 4 malhas no circuito. No entanto, as fontes
de corrente do circuito causam restrições que reduzem o número de equações (o que facilita nossa
análise). Dessa forma, vamos verificar quais são essas restrições para que possamos determinar
quantas equações serão necessárias para determinar as correntes que circulam em cada malha.
Atribuindo as correntes de malha para cada malha respectiva, temos tal circuito:
Malha 1:
Malha 2:
Essa malha possui uma fonte de corrente não compartilhada por outra malha. Conforme
estudamos para o primeiro caso da seção 7.3.1:
Quando existir uma fonte de corrente apenas em uma malha, devemos considerar que a corrente
que circula nessa malha é igual ao valor da fonte de corrente. Logo,
𝑖2 = 2 𝑚𝐴
Supermalha:
As malhas 3 e 4 possuem uma fonte de corrente comum. Conforme estudamos no caso 2 da seção
7.3.1:
Quando uma fonte de corrente estiver entre duas malhas, devemos criar uma supermalha,
excluindo a fonte de corrente e quaisquer elementos em série ligados a ela.
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0
Aplicando a LKC ao nó 0 (no ramo em que as duas malhas apresentam uma interseção), temos
que:
𝑖4 = 𝑖3 + 4
Logicamente, você não pode considerar essa equação como uma equação de malha, dado que
acabamos de aplicar a LKC (lei de Kirchhoff das correntes)! Ela é uma necessidade vinculada à análise
da supermalha!
Agora fica a pergunta do enunciado da questão... Qual o número mínimo de equações de malha
para resolver o circuito?
O número mínimo de equações de malha para resolver o circuito é igual a 2. Note que uma
equação foi "embora" pela restrição causada pela fonte de corrente de 2m A e a outra foi embora pela
restrição causada pela fonte de corrente de 5 mA (fonte compartilhada entre as malhas 3 e 4). Das
quatro, sobraram duas!
Portanto,
Perceba que nem precisamos resolver o sistema de equações para resolver essa questão! Mas
seria possível resolvê-lo apenas com as duas equações de malha que definimos.
Considerando a equação da super malha, temos (por substituição) que a equação resultante
dependerá apenas de i3 e i1, já que sabemos o valor de i2. Da mesma forma, a equação da malha 1
também depende apenas de i3 e i1. Logo, possuímos duas equações e duas incógnitas. Ou seja, um
sistema linear possível e determinado.
12. (FGV – TJ – AM – Engenharia Elétrica - 2013) Analise o equivalente de Thévenin a seguir. Visto entre
os pontos A e D e tendo o resistor 𝟏𝟎𝛀 entre esses pontos como sendo a carga a ser alimentada por esse
equivalente, é composto, respectivamente, por uma fonte e um resistor de:
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0
Resolução e comentário:
Iremos abrir o circuito entre os pontos 𝐴 e 𝐷, como poder ser visualizado na figura abaixo
𝑉
𝑖=𝑅 ,
𝑒𝑞
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0
𝑖 = 120𝑉 /40Ω = 3𝐴
Nessa etapa iremos deixar em curto as fontes independentes de tensão e abrir as fontes
independentes de corrente. Dessa forma, teremos a seguinte configuração para o circuito:
No nó 𝑪 , sabemos que:
𝑖𝑒𝑥𝑡 = 𝑖1 + 𝑖2 (𝐼)
𝑖𝑒𝑥𝑡 = 2𝑖
𝑉𝑒𝑥𝑡 − 10 𝑖𝑒𝑥𝑡 − 20 𝑖1 = 0
𝑉𝑒𝑥𝑡
𝑉𝑒𝑥𝑡 − 40 𝑖 = 0 ⇒ = 𝑅𝑇ℎ = 20Ω
𝑖𝑒𝑥𝑡
Portanto,
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0
A) 460Ω
B) 470Ω
C) 480Ω
D) 490Ω
E) 500Ω
Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule o valor da resistência R. Para resolver essa questão,
utilizaremos uma transformação 𝚫 − 𝒀.
Na região demarcada no circuito temos um arranjo do tipo triângulo. Nosso objetivo é simplificar
a região de azul transformando-a em um arranjo do tipo estrela.
Como o valor das resistências são iguais, temos um sistema equilibrado. Nestas condições, as
fórmulas de conversão se tornam:
𝑅Δ 𝑅
𝑅𝑌 = =
3 3
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0
Na região destacada de vermelho temos claramente os resistores 𝑹 e 𝑹/𝟑 em série, onde sua
equivalência terá resistência de 𝟒𝑹/𝟑. Logo, temos um circuito mais simplificado que pode ser visto
na figura abaixo.
Dessa forma, o valor da resistência pode ser determinado utilizando a seguinte expressão:
Logo,
Portanto,
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0
14. (FGV – Prefeitura de Salvador – BA – Analista – Engenharia Elétrica - 2019) Considere o circuito a
seguir, composto apenas por fontes ideais de tensão e resistores de resistência 𝑹. A resistência
equivalente de Thévenin, vista dos terminais A-B, é:
A) 0,20𝑅
B) 0,50𝑅
C) 0,75𝑅
D) 1,50𝑅
E) 2,00𝑅
Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule a resistência equivalente de Thévenin vista dos terminais AB.
Para determinar a resistência de Thévenin, vamos deixar em curto todas as fontes de tensão
independentes. Para facilitar a análise, vamos redesenhar o circuito.
Com esse novo desenho fica mais fácil identificar quais resistores estão em série e em paralelo. A
resistência equivalente entre os nós 𝐴 e 𝐷, será:
𝑅𝐴𝐷 = (2/3)𝑅
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0
𝑅𝐴𝐶 = 𝑅/2
𝑅𝑒𝑞 = (15/19)𝑅
Logo,
Portanto,
15. (FGV – DPE - RJ – Engenharia – Elétrica - 2014) A figura abaixo apresenta um circuito composto pela
fonte 𝑬 e pelos resistores 𝑹𝟏 e 𝑹𝟐 . A ddp da fonte é igual a 𝟒𝟎𝑽 e os resistores são, respectivamente,
iguais a 𝟏𝟎𝛀 e 𝟑𝟎𝛀. Entre os terminais 𝑨 e 𝑩 é conectada uma carga resistiva. O valor dessa carga, de
modo que a potência dissipada seja a máxima, e o valor dessa potência são respectivamente:
A) 40Ω e 10𝑊
B) 40Ω e 50𝑊
C) 20Ω e 30𝑊
D) 20Ω e 10𝑊
E) 10Ω e 10𝑊
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0
Resolução e comentários:
A questão solicita que você determine o valor da carga conecta aos terminais ab do circuito. Para
resolver a questão considere a figura abaixo
𝑉𝑇ℎ = 40𝑉.
Para calcular a resistência de Thévenin 𝑅𝑇ℎ , iremos deixar em curto a fonte independente de
tensão como mostra a figura ao lado.
Considerando uma carga (RL) ligada aos terminais do circuito, nós podemos obter facilmente a
corrente (IL) que passa por ela e a tensão na carga (VL), após determinarmos o circuito equivalente de
Thévenin. Dessa forma,
𝑉𝑇𝐻
𝐼𝐿 =
𝑅𝑇𝐻 +𝑅𝐿
𝑃 = 𝑖 2 𝑅𝐿
Logo,
𝑉𝑇ℎ 2
2
𝑃 = (𝑅 ) 𝑅𝐿 = 𝑉𝑇ℎ /4𝑅𝐿 .
𝑇ℎ + 𝑅𝐿
𝑉𝑇ℎ 2
2
𝑃 = (𝑅 ) 𝑅𝐿 = 𝑉𝑇ℎ /4𝑅𝐿 .
𝑇ℎ + 𝑅𝐿
2
𝑃 = 𝑉𝑇ℎ /4𝑅𝑇ℎ = (40𝑉)2 /[4 × (40Ω)] = 10𝑊.
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0
Portanto,
16. (DPE – RJ – FGV – 2014 –Engenharia Elétrica) A figura abaixo apresenta um circuito composto por
três resistores iguais a 𝑹 e três fontes contínuas 𝑬𝟏 , 𝑬𝟐 e 𝑬𝟑 . Os valores de 𝑬𝟏 e 𝑬𝟐 são iguais a 𝑬. Para
que a corrente elétrica no ramo central do circuito seja igual a zero, a fonte 𝑬𝟑 deve ser igual a
A) 𝐸/4
B) 𝐸/2
C) 𝐸
D) 2𝐸
E) 4𝐸
Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule o valor da fonte E3. As correntes que passam por cada resistor
podem ser identificadas na figura abaixo.
𝑖1 + 𝑖2 = 𝑖3
Sabendo que 𝒊𝟑 deve ser nulo, podemos aplicar a Lei de Kirchhoff das malhas:
𝐸 − 𝑖1 𝑅 − 𝐸3 = 0
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0
𝐸 − 𝑖2 𝑅 − 𝐸3 = 0
𝐸3 = 𝐸
Portanto,
17. (FGV – DPE – RJ – Engenharia Elétrica - 2014) Considere as afirmativas abaixo a respeito dos
materiais isolantes, condutores, dielétricos e semicondutores.
Assinale se
Resolução e comentários:
I) A afirmativa está incorreta. A resistividade dos materiais condutores aumenta com a temperatura.
II) A afirmativa está correta. Os materiais isolantes conseguem armazenar energia na forma de campo
elétrico em seu interior. Um exemplo bem prático são os capacitores, eles recebem em sua armadura
um material isolante.
III) A afirmativa está correta. A resistividade dos materiais isolantes e semicondutores diminui com a
temperatura!
Portanto,
18. (CESPE – ABIN – Engenharia Elétrica - 2018) O modelo de Thévenin equivalente ao circuito que se
encontra à esquerda dos pontos 𝑨 e 𝑩, ou seja, o circuito obtido pela retirada do resistor 𝑹𝟒 e da fonte
𝑬𝟐 , é formado por uma tensão de Thévenin 𝑽𝑻𝒉 e resistência de Thévenin 𝑹𝑻𝒉 dada por:
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0
Considere que todos os componentes do circuito sejam ideais e que 𝐸1 = 10𝑉, 𝐸2 = 2𝑉, 𝑅1 = 𝑅2 = 4𝑘Ω ,
𝑅3 = 𝑅4 = 2𝑘Ω.
A) 5𝑉 e 4𝑘Ω
B) 1𝑉 e 20𝑘Ω
C) 15𝑉 e 20𝑘Ω
D) 5𝑉 e 2𝑘Ω
E) 10𝑉 e 1𝑘Ω
Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule a tensão e a resistência de Thévenin. Ao abrir o circuito entre
os pontos A e B, a corrente apenas circulará no primeiro ramo do circuito, como pode ser visto na figura
abaixo.
10 − 4𝑘 𝑖 − 4𝑘 𝑖 = 0 ⇒ 𝑖 = 1,25 𝑚 𝐴
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0
Agora ficou mais fácil simplificar a configuração atual do circuito, pois os resistores de 4𝑘Ω estão
em paralelo resultando em um resistor equivalente de 2𝑘Ω.
𝑅𝑇ℎ = 4𝑘Ω.
Portanto,
19. (CESPE – ABIN – Engenharia Elétrica - 2018) O modelo de Norton equivalente ao circuito que se
encontra à esquerda dos pontos 𝑨 e 𝑩, ou seja, o circuito obtido pela retirada do resistor 𝑹𝟒 e da fonte
𝑬𝟐 , é formado por uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência equivalente de Norton dada
por:
A) 1,2𝐴 e 4𝑘Ω
B) 20𝐴 e 2𝑘Ω
C) 2𝐴 e 2𝑘Ω
D) 1,25 𝑚𝐴 e 4𝑘Ω
E) 1,2𝐴 e 2𝑘Ω
Resolução e comentários:
Perceba que esse circuito é o mesmo da questão 17, pois essas questões foram retiradas da mesma
prova e faiam referências ao mesmo circuito.
Essa questão avalia bem o candidato em relação aos conceitos de equivalência dos modelos de
Thévenin e Norton.
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0
Como a questão 17 já foi solucionada pelo método de Thévenin, iremos apenas converter de
Thévenin para Norton, ok?
Portanto,
20. (CESPE – TCE-PA – Engenharia Elétrica - 2016) Considere as afirmativas abaixo a respeito dos
elementos e métodos de análise de circuitos elétricos lineares.
I. De acordo com as leis de Kirchhoff, a soma das correntes que percorrem uma malha de um
circuito fechado é igual a zero.
II. Conforme o teorema de Thévenin, um circuito elétrico linear de dois terminais pode ser
substituído por um circuito equivalente, ou seja, um circuito formado por uma fonte de tensão
paralela a um resistor.
III. Um supernó é formado por uma fonte de tensão conectada entre dois nós de um circuito.
Assinale se
Resolução e comentários:
Lei dos nós de Kirchhoff: a soma algébrica de todas as correntes que entram ou saem de um nó é
igual a zero, ou seja, ∑ 𝑰 = 𝟎. Em um circuito em onde a corrente pode ser dividir, a soma das correntes
que chegam na junção (nó) deve ser igual à soma das correntes que saem da junção.
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0
Lei das malhas de Kirchhoff: a soma algébrica de todas as diferenças de potenciais através de uma
malha, incluindo os elementos resistivos e a fem de todas as fontes, deve ser igual a zero, ou seja,
∑ 𝑉 = 0.
II) A afirmativa está incorreta. O método de Thévenin é formado por um circuito equivalente
constituído de uma fonte de tensão em série com um resistor.
Portanto,
21. (UFPR – Prefeitura de Curitiba – Engenharia Elétrica - 2019) O valor da SOMA das tensões nodais
𝑽𝟏 e 𝑽𝟐 é de:
A) 90𝑉.
B) 95𝑉.
C) 100𝑉.
D) 105𝑉
E) 110𝑉.
Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule o valor da soma das tensões dos nós V 1 e V2. O procedimento
para resolver essa questão consiste em aplicar o método dos nós, já que nos interessa achar as tensões
de um determinado nó. Dessa forma, considere a figura abaixo com o respectivo nó de referência
(ponto aterrado).
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0
Analisando o nó 1
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
𝑉0 −𝑉1 100−𝑉1
𝑖1 = =
10 10
𝑉1 −0 𝑉
𝑖2 = = 401
40
𝑉1 −𝑉2
𝑖3 = 10
100−𝑉1 𝑉 𝑉1 −𝑉2
− 401 − =0
10 10
Simplificando,
Analisando o nó 2
𝑖3 = 𝑖4 + 1,5
𝑉1 −𝑉2
𝑖3 = 10
𝑉2 −0 𝑉
𝑖4 = = 352
35
𝑉1 −𝑉2 𝑉
− 352 − 1,5 = 0
10
143
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0
Simplificando,
𝑉1 = 60 𝑉
𝑉2 = 35 𝑉
Logo,
𝑉1 + 𝑉2 = 95 𝑉
Portanto,
22. (FGV – Prefeitura de Salvador – BA – Engenharia Elétrica - 2019) Nos materiais dielétricos, a
mobilidade dos portadores de cargas elétricas é quase nula, ficando os mesmos praticamente fixos no seu
interior e permitindo uma ínfima passagem de corrente sob ação de um campo elétrico. O campo aplicado,
provoca um deslocamento reversível dos centros de cargas positivas e negativas do material dielétrico,
conhecido como
A) Efeito corona
B) Fotoionização
C) Permissividade relativa
D) Polarização
E) Rigidez dielétrica
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Resolução e comentários:
Em (A) temos o átomo neutro. Em (B) o átomo está submetido a um campo elétrico externo. A
ação do campo elétrico desloca o centro de massa do átomo, pois os portadores negativos estão sob
uma força elétrica ⃗𝑭, dando origem ao que chamamos de POLARIZAÇÃO. Quando o campo elétrico é
retirado (em (D)), o átomo restitui sua configuração original.
Portanto,
23. (Pref. São José dos Campos-VUNESP-2017) Pode-se empregar o método de análise de malhas para
a determinação das correntes indicadas no circuito apresentado. Assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, as equações de análise de malhas, na forma matricial, considerando esse circuito.
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Resolução e comentários:
A questão solicita que você monte as equações da análise das malhas da forma matricial
considerando o circuito da figura.
Conforme foi explanado, o método das malhas pode ser aplicado apenas por inspeção do circuito.
Isto nos economiza tempo e simplifica a análise. Os termos diagonais correspondem à soma das
resistências da malha correspondente. Os outros termos (não diagonais) correspondem aos negativos
das resistências comuns às malhas.
Para o circuito da questão, temos então o seguinte sistema de equações na forma matricial:
Simplificando os termos:
20 −5 −5 𝐼1 10
[−5 40 −15] [𝐼2 ] = [ 0 ]
−5 −15 30 𝐼3 −5
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Portanto,
Note que a tensão na malha 3 deve ser negativa, pois os terminais estão invertidos! Assim, existe
uma queda de tensão.
24. (CESPE – STJ – Engenharia Elétrica - 2015) Considerando o circuito elétrico e seu equivalente de
Thévenin com relação aos terminais 1 e 2, a tensão de Thévenin é
A) 150𝑉.
B) 20𝑉.
C) 50𝑉.
D) 10𝑉.
E) 90𝑉.
Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule a tensão de Thévenin. O procedimento para resolver essa
questão consiste em fazer uma substituição de fonte de corrente para fonte de tensão e seguir nas
simplificações do circuito.
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60𝑉 − 30 𝑖 − 60 𝑖 − 30 𝑉 = 0 ⇒ 𝑖 = 0,33 𝐴
𝑉𝐴 − [60. (0,33)] − 30 = 𝑉𝐵
Assim,
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑉𝑇ℎ = 50𝑉
Portanto,
25. (CESPE – STJ – Engenharia Elétrica - 2015) Considerando o circuito elétrico e seu equivalente de
Thévenin com relação aos terminais 1 e 2, a resistência de Thévenin é
A) 150Ω.
B) 20Ω.
C) 50Ω.
D) 10Ω.
E) 90Ω.
Resolução e comentários:
Ainda considerando o circuito da questão 24, agora a questão solicita o cálculo da resistência de
Thévenin. Para o cálculo da resistência de Thévenin, iremos abrir as fontes independentes de corrente
e aplicar um curto nas fontes independentes de tensão. Dessa forma, considere o circuito abaixo.
Com a nova configuração do circuito fica fácil visualizar que os resistores de 30Ω e 60Ω estão em
paralelo.
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Portanto,
Resolução e comentários:
A questão solicita que você julgue as alternativas acerca de fundamento de eletricidade e magnetismo.
Para resolver a questão, vamos julgar cada alternativa separadamente.
B) A alternativa está incorreta. Essa equação é a terceira equação de Maxwell (Lei de Ampere na forma
diferencial e representa a característica de que o campo magnetostático não é conservativo.
C) A alternativa está correta. Essa equação representa a primeira equação de Maxwell e estabelece
que a densidade de volumétrica de carga é igual a divergência da densidade de fluxo elétrico.
D) A alternativa está incorreta, pois essa equação trabalha com a divergência e não com o gradiente.
E) A alternativa está incorreta, pois , além dessa equação a está relacionada com o gradiente e não o
divergente, o sinal negativo mostra que a direção de E é oposta à direção em que V cresce.
Portanto,
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A) Uma linha de fluxo elétrico é definida como uma trajetória cuja orientação, em qualquer ponto, é a
orientação do campo magnético nesse ponto.
B) Quando duas cargas pontuais de igual magnitude e sinais opostos estão separadas por uma pequena
distância, há o surgimento de um dipolo elétrico.
Resolução e comentários:
A questão solicita que você julgue as alternativas acerca de fundamento de eletricidade e magnetismo.
Para resolver a questão, vamos julgar cada alternativa separadamente.
A) A alternativa está incorreta, pois a orientação a linha de fluxo elétrico é orientada conforme o campo
elétrico e não magnético.
B) A alternativa está correta, pois temos um dipolo elétrico quando duas cargas pontuais de igual
magnitude e sinais opostos estão separadas por uma pequena distância.
D) A alternativa está incorreta. Conforme estudamos na aula, um condutor perfeito não pode conter
um campo elétrico em seu interior. Ele também é caracterizado por ser um corpo equipotencial. Ou
seja, em qualquer ponto, o potencial é o mesmo.
Portanto,
28. (Perito Criminal ITEP-RN- Instituto AOCP – 2018) Sobre os materiais condutores e isolantes,
assinale a alternativa correta.
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A) Os materiais condutores possuem elétrons livres em sua formação denominados “elétrons de condução”.
B) Os átomos de materiais isolantes são classificados por possuírem apenas 1 elétron em sua camada de
valência, sendo então muito ligados ao núcleo e, portanto, mal condutores de eletricidade.
C) Os materiais condutores possuem em sua natureza atômica 8 elétrons na camada de valência, podendo
assim conduzir muito bem a eletricidade.
D) Os materiais isolantes mais comuns encontrados são a borracha e o vidro, que possuem em sua estrutura
atômica uma característica em comum: apenas 1 elétron em sua camada de valência.
E) Em um condutor de cobre, os prótons possuem o triplo da carga dos elétrons e, por esse motivo, os
elétrons se movimentam e os prótons ficam agrupados no núcleo do átomo, pois são mais pesados.
Resolução e comentários:
A questão solicita que você julgue as alternativas acerca das características gerais materiais condutores
e isolantes. Vamos analisar cada alternativa separadamente.
A) A alternativa está correta. Os materiais condutores são caracterizados por possuírem elétrons livres
em sua camada de valência, possibilitando assim a condução de corrente elétrica.
B) A alternativa está incorreta. Os materiais isolantes são caracterizados por não possuírem elétrons
livres em sua camada de valência.
C) A alternativa está incorreta. Os materiais condutores possuem elétrons livres, logo não completam
8 átomos em sua camada de valência para se tornarem estáveis.
D) A alternativa está incorreta. Essa não pode ser descrita como uma característica comum entre a
borracha e o vidro. Lembrando sempre que elétrons livres na camada de valência é uma característica
dos materiais condutores.
E) A alternativa está incorreta. Afirmação sem pé nem cabeça. O motivo apresentado não é a
justificativa correta relacionada à movimentação dos elétrons no átomo. Além do mais, os prótons e
o elétrons possuem valores iguais em módulo apesar de terem sinais opostos
Portanto,
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Resolução e comentários:
A questão solicita que você calcule a capacitância de um capacitor de placas paralelas que possui
um dielétrico (cerâmica) entre as placas do capacitor.
O procedimento para resolver essa questão consiste em aplicar a fórmula para o cálculo da
capacitância. Estudamos nessa aula que a capacitância C de um capacitor de placas paralelas
preenchido com um dielétrico de constante dielétrica 𝜖𝑟 será dada por:
𝐴
𝐶 = 𝜖𝑑
Onde,
𝜖
𝜖𝑟 = 𝜖
0
𝐴
𝐶 = 𝜖𝑟 𝜖0 𝑑
(20𝑥20)∙10−4
𝐶 = 7500 ∙ 8,854 ∙ 10−12 5∙10−3
𝐶 = 5,3124 ∙ 10−7 𝐹
𝐶 = 531,24 ∙ 10−9 𝐹
Portanto,
Lembre-se sempre de tomar cuidado com as unidades de medida e as devidas conversões! A área
foi dada em cm2 e a distância em mm. Logo, tivemos que converter as unidades, respectivamente,
para m2 e m.
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A) Os materiais isolantes possuem majoritariamente átomos com 3 elétrons em sua camada de valência.
B) O alumínio pode ser utilizado para substituir o cobre como condutor de eletricidade, porém o alumínio
apresenta apenas 61% da capacidade de condução do condutor fabricado de cobre.
D) A relutância magnética é a medida da capacidade que determinado material apresenta em conduzir fluxo
magnético e é medida em Wb/mm².
Resolução e comentários:
A questão solicita que você julgue as alternativas sobre materiais elétricos. Para ficar mais clara a
análise da questão, vamos julgar cada alternativa separadamente. Outros aspectos de materiais
magnéticos são cobrados nessa questão, mas vamos manter o foco justamente nas propriedade dos
materiais condutores e isolantes.
A) A alternativa está incorreta, pois não podemos fazer essa afirmação. Os materiais isolantes
(dielétricos) são caracterizados justamente por uma camada de valência quase completa (quase
completando 8 elétrons pela regra do octeto). Nesta situação, a força de ligação dos elétrons com o
núcleo é grande, ou seja, os elétrons não estão livres como nos materiais condutores.
B) A alternativa está correta. Conforme foi comentado nesta aula, o alumínio possui uma resistividade
elétrica aproximadamente 65% maior do que a do cobre. Ou seja, é menos condutivo que o cobre, já
que a condutividade e resistividade se relacionam de forma inversa.
𝜌𝐴𝑙 0,0290
= 0,0175 = 1,65
𝜌𝐶𝑢
𝜎𝐶𝑢 1 0,0175
= 0,0290 ∙ ≅ 0,61
𝜎𝐴𝑙 1
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Portanto,
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TIPLER. PAUL ALLEN. Física para cientistas e engenheiros, volume 2: Eletricidade e magnetismo: Rio de
Janeiro: Gen, 2012.
DA SILVA, CLAUDIO ELIAS. Eletromagnetismo: fundamentos e simulações. São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 2014.
YOUNG, HUGH D. Física III: eletromagnetismo. São Paulo: Pearson Education do Brasil., 2009.
MACHADO, KLEBER DAUM. Teoria do eletromagnetismo. 2.ed. Vol I e II Ponta Grossa: Editora UEPG, 2005.
FEYNMAN, RICHARD P. The Feynman Lectures on Physics: The Definitive and Extended Edition, 2nd Edition.
Porto Alegre: Artmed Editora S.A, 2008.
SADIKU, M.O; ALEXANDER, C. K. Fundamentos de circuitos elétricos. 3a Edição. México: McGraw-Hill, 2006.
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11. GABARITO
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