Resumo de Funções Exponenciais

FUNÇÃO EXPONENCIAL
Professor Marcelo Ricardo Sestrem
Observação: Sugiro que revisem potenciação e radi- 2.1.1. Esquematizando a situação

ciação pois são pré requisito para esse capı́tulo. Observando a tabela, temos:
1. Revisão de Potência
Se a é um número real qualquer e n um número inteiro

positivo, ou seja, n ≥ 1, o produto de a por ele mesmo
n vezes é a n -ésima potência de a e é denotado an . Se
n
a 6= 0 , definimos a0 = 1 e an = a1 .
Observação: A potência a0 é definida somente quando

a 6= 0 . A partir das definições e das propriedades lis-
tadas acima, as igualdades seguintes podem ser verificadas,
∀ m, n ∈ Z, ∀ a, b ∈ R∗ .
Logo, após 2 horas e 40 minutos, haverá 256 bactérias.

1.a−n = a1n
Após x perı́odos de 20 minutos, o número de bactérias será
2.am · an = am+n dado por 2x .
n m
3.(am ) = (an ) = am·n
n
4.an · bn = (a · b) 2.2. Definição
a n an

5. b = bn Dado um número real asendo (a > 0ea 6= 1) denomina-
a −n
n n
= ab = ab n se função exponencial de base a uma função f : R → R∗+

6. b
definida por f (x) = ax ou y = ax , para todo x ∈ R.
1.0.1. Exemplos Exemplos:

1. 5−3 = 513 = 125
1
1 x

2. 23 · 24 = 23+4 = 27 = 128 a) f (x) = 2x b) g(x) = (0, 4)x c) y = 3
3 2
3. 42 = 43 = 43·2 = 46 = 4 · 4 · 4 · 4 = 256
2 Observação
4. 52 · 72 = (5 · 7) = 352 = 1225
2 2
5. 34 = 342 = 16 9
Além da função exponencial, existem funções que po-
−2 n 2
6. 34 = 34 = 432 = 16 dem ser obtidas a partir dela. Por exemplo:

9
a) 32x+1 b) g(x) = 5 · 4x c) 2x –1
2. Funções Exponenciais
2.1. Contextualizando
2.3. GRÁFICO DA FUNÇÃO
Microbiologia. Em condições ideais o número de bacté-
Seja a função f (x) = ax , ela será crescente, quando
rias de uma colônia dobra sempre no mesmo perı́odo de
sua base for um número maior que 1, ou seja, a > 1.
tempo. A colônia gerada mantém as mesmas caracterı́sticas
da original e também duplica em número no mesmo perı́odo
de tempo. Sabendo que determinada colônia, iniciada por
uma única bactéria, dobra a cada 20 minutos, quantas
bactérias existirão depois de 2 horas e 40 minutos?
E.E.M. Celso Ramos - Matemática October 7, 2020

2.5. Crescimento e decrescimento da função exponencial
Seja a função f (x) = ax . ela será decrescente, quando

sua base for um número maior que 0 e menor que 1, ou
seja, 0 < a < 1.
2.6. Equação Exponencial

Equações exponenciais são aquelas em que, a incógnita
a ser determinada, aparece no expoente do número. Equações
como 3x = 27 e 2x+1 = 128 são denominadas equações ex-
ponenciais. Vejamos duas maneiras para resolvermos esse
tipo de equação:
2.6.1. Redução a Mesma Base

8x = 128
(23 )x = 27 podemos reescrever 8 = 23 e 128 = 27
3x 7
2 = 2 cortamos as bases iguais e igualamos
3x = 7 os expoentes
x = 37
2.6.2. Uso de Variável Auxiliar

4x –5.2x + 4 = 0
(22 )x–5.2x + 4 = 0 reescrevemos 4 = 22
x 2 x
(2 ) –5.2 + 4 = 0 substituı́mos 2x = y
2.4. Caracterı́sticas da função exponencial 2
y –5y + 4 = 0 resolvemos a função do 2º grau
• Para qualquer função exponencial f (x) = ax , temos: yI = 1 ou yII = 4 encontramos as raı́zes 1 e 4
e substituı́mos para encontrar
Domı́nio: D(f ) = R os valores de x (xI e xII )
2x = y
Imagem: Im(f ) = R∗+ 2x = 1 2x = 4
x 0
2 = 2 2x = 22
xI = 0 xII = 2
• O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e
não cruza nem encosta no eixo x.
2
2.6.3. Resolução de equações usando artifı́cios
2.6.4. Sistema de equações exponenciais
2.6.5. Inequação exponencial
2.7. Exercı́cios Propostos

1. Represente graficamente as funções:
a) y = 5x
1 x

b) y = 3
c) y = ( 43 )x
d) y = −2.3x
3
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS: a) é positiva para x > 0.
chama-se equação exponencial toda equação que contém b) nunca tem zeros.
variáveis no expoente. c) tem pelo menos um zero.
d) tem um único zero.
1º Caso (Testes de Vestibular) e) tem no máximo um zero.
1 x

2. 8 = 128 6. (PUC-RS/2013) A desintegração de uma substância
radioativa é um fenômeno quı́mico modelado pela
2
a) 3 fórmula q = 10.2kt , onde q representa a quantidade
de substância radioativa (em gramas) existente no
b) - 43 instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a
3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o
c) - 37 valor da constante k é
d) 13 a) − 35
5
5
e) 3 b) – 33
10
1 5
3. 125 = 625x c) – 33
a) − 34 d) – 10
33
b) 2
3
e) – 100
33
1
c) 9 7. (UCPEL/2010)A solução da equação 4x –6.2x –16 = 0
é
d) − 48 a) 3/5 b) 2 c) 9 d) 0,5 e) 3
7
e) 3 8. (PM-RS/2009) Assinale a alternativa correta. O(s)
valor(es) de x real(is) que satisfaz(em) a equação
4. (ACAFE MED/2014) O crescimento exponencial é 22x + 2.2x –8 = 0 pertence(m) ao intervalo
caracterı́stico de certos fenômenos naturais. Uma
função exponencial pode ser enunciada pela lei N (t) = a) ] –4, 0[
N0 .akt , onde N0 é o número inicial, N é o número no b) ] –5, 12 [
instante t, e K é a taxa de crescimento ou decresci- c) ] − 12 , 54 [
mento do fenômeno em estudo. d) [2, +∞)
Analise as proposições abaixo e classifique-as em V e) ( –∞, 45 ]
– verdadeiras – ou F – falsas.
( ) Para que a função N (t) represente um “decai- 9. (PEIES)A solução da equação exponencial 5x (5x –1) =
mento” é necessário que K seja um número negativo. 20
( ) A lei que representa o crescimento do número de
pessoas infectadas pelo vı́rus da gripe em uma grande a) pertence ao intervalo (–∞, –3[
cidade é dada por N (t) = 600.20,8t , com t em horas. b) pertence ao intervalo ] 4, +∞)
Então, após 6h25min a cidade está com 19200 pes- c) pertence ao intervalo ]0, 2[
soas infectadas. d) é um número par
( ) A população de certa região do paı́s é dada pela e) é um número irracional
função P (t) = P 0.2−0,25t , onde t é o tempo em anos.
Então, após 4 anos, a população dessa região está re-
duzida à metade da população inicial.
A sequência correta, de cima para baixo, é:
a) F - V - F b) V - F - V c) V - V - V d) V - F - F
5. (UPF/2013) Sendo h(x) = 3x + c , em que c é um

número real qualquer, podemos afirmar que h:

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Se a é um número real qualquer e n um número inteiro

Observação: A potência a0 é definida somente quando

Logo, após 2 horas e 40 minutos, haverá 256 bactérias.

1.0.1. Exemplos Exemplos:

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Seja a função f (x) = ax . ela será decrescente, quando

2.6. Equação Exponencial

2.6.1. Redução a Mesma Base

2.6.2. Uso de Variável Auxiliar

2.6.4. Sistema de equações exponenciais

2.6.5. Inequação exponencial

2.7. Exercı́cios Propostos

5. (UPF/2013) Sendo h(x) = 3x + c , em que c é um

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