Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Engenharia Elétrica

Física Experimental 1

Profº: Ivo Aparecido Goulart

Disciplina: EL21B Turma: E22

Atividade 09 – Propagação de Erros e Densidade

Nome − João Pedro Horácio da Silva RA: 2101580

− Jonas Bonoto Estevam RA:2100576
− Lucas Rosalin Chaves de Sousa RA:2051958
− Fernando Landgraf Egea Pereira RA:1915967

Cornélio Procópio
2019
1. TÍTULO DO EXPERIMENTO
Propagação de erros e densidade.
2. OBJETIVO
Familiarizar com a teoria de propagação de erros.
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1 ERROS
O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação
envolve erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo
de medida etc.). Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se
realizar apenas uma ou várias medidas repetidas, dependendo das condições
experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao experimento.
Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como
melhor na representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual
deve estar compreendido o valor real.
3.1.1 TIPOS DE ERROS
Erros grosseiros: são erros que resultam de uma desatenção do
experimentador.
Erros sistemáticos: são erros oriundos de causas constantes e que afetam as
medidas de um modo uniforme, deslocando o melhor valor sempre de uma
constante.
Erro estatístico: mede de alguma forma a dispersão dos dados ao redor da
média.
Erro absoluto: Diferença entre o valor exato de um número x e o seu valor
aproximado x’.
Erro relativo: como dependendo das grandezas envolvidas o erro absoluto
pode não ser muito significativo, portanto empregamos o erro relativo que é o
erro absoluto dividido pelo valor aproximado x’.
3.2 INCERTEZAS
Quando a medição de uma grandeza R de interesse é feita de maneira
indireta, sendo esta grandeza obtida a partir de medidas de n grandezas
primárias {a1, a2, a3, ..., ak, ..., an}, o cálculo de R é feito a partir de uma função
conhecida das grandezas primárias.
Estas grandezas são também denominadas grandezas de entrada, enquanto
a grandeza R é denominada grandeza de saída.
Fazendo um desenvolvimento matemático apropriado, temos uma expressão
para o cálculo da incerteza padrão da grandeza de saída.

2
RELATÓRIO – FISÍCA EXPERIMENTAL 1
 𝜕𝑅 2 2 𝜕𝑅 2 2 𝜕𝑅 2 2
𝜎𝑅 = √( ) ∗ (𝜎𝑎1 ) + ( ) ∗ (𝜎𝑎2 ) + ⋯ + ( ) ∗ (𝜎𝑎𝑛 )
𝜕𝑎1 𝜕𝑎2 𝜕𝑎𝑛
Equação 1: Cálculo da incerteza.

Esta expressão para a incerteza padrão da grandeza de saída, também

chamada de incerteza padrão combinada, é utilizada quando as grandezas de
entrada { a1, a2, a3 , ..., ak , ..., an } são medidas repetidas vezes, gerando valores
médios e desvios padrão das médios ak e desvios padrão das médias 𝜎ak .
4. MATERIAIS E MÉTODOS
4.1 EQUIPAMENTOS
Régua, paquímetro, balança eletrônica e corpo de prova (disco).
4.2 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Utilizando uma régua milimétrica, foi medido a espessura e o diâmetro do
disco e aferido a massa (Tabela 1).
Sabendo que para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar π por
3,141593, foi calculado o volume do disco utilizando os dados obtidos com a
régua.
π ∗ D2 ∗ E
𝑉=
4
Equação 2. Equação para obtenção do volume do disco.

Após a obtenção do volume foi calculado a incerteza propagada.

σV 2 σV 2
σV = √ ( 2
) ∗ σD + ( ) ∗ σE²
σD σE

2 2
π ∗ D2 ∗ E π ∗ D2
σV = √ ( ) ∗ σD2 + ( ) ∗ σE²
2 4
Equação 3 – Calculo da Incerteza Propagada

Em seguida, foi determinado o valor da densidade (ρ) a partir da seguinte

equação:
𝑚
ρ= 𝑣
Equação 4. Equação da densidade.

Com o valor da densidade encontrado foi calculado o valor do desvio da

densidade pela seguinte equação:

−𝑚 2 1 2
σρ = √( ) ∗ σV 2 + ( ) ∗ σM 2
𝑣2 𝑉

3
RELATÓRIO – FISÍCA EXPERIMENTAL 1
 𝑚 −1 2 1 2
σρ = ∗ √( ) ∗ σV² + ( ) ∗ σM²
𝑣 𝑣 𝑀

−σV 2 σM 2
σρ = ρ ∗ √( ) + ( )
𝑣 𝑀
Equação 5. Equação para obtenção do desvio da densidade.

Da mesma forma que foi calculado o volume, desvio do volume, densidade e

desvio da densidade com a régua foi feito com o paquímetro obedecendo a
mesma sequência acima
5. RESULTADOS
5.1 RÉGUA
Os valores mostrados abaixo foram medidos a partir do uso da régua.
Espessura: E = (1,69 ± 0,05) cm
Diâmetro: D = (11,92 ± 0,05) cm
Massa: M = (1509,22 ± 0,01) g
Tabela 1 – valores da Espessura, Diâmetro e Massa com a régua.

Substituindo os valores encontrados com as medidas feitas pela régua na

Equação 2 obteve-se:
π ∗ (11,92)2 ∗ (1,69)
𝑉=
4
Encontrou-se o valor de V = 188,594532 cm³.
Com o valor do volume e através da equação 3 obteve que a incerteza foi de:

π ∗ 11,922 ∗ 1,69 2 2 1 2
σV = √
∗ ( ) ∗ 0,05² + ( ) ∗ 0,05²
4 11,92 1,69

Após feitos os cálculos, o valor encontrado para o desvio do volume foi de:
σV = 188,60580 cm³.
Assim temos que a variação do volume foi igual a:
VOLUME = (189 ± 6) cm³.
A partir da equação 4 temos que a densidade do corpo de prova foi de:
1509,22
ρ = 188,594532
𝑔
O valor da densidade encontrado foi de ρ = 8,00245 𝑐𝑚³.

Substituindo os valores encontrado durante todo o experimento na

equação 5, chegou-se então na seguinte equação:

2
−6 0,01 2
√
σρ = 8,00245 ∗ ( ) + ( )
188,594532 1509,22

4
RELATÓRIO – FISÍCA EXPERIMENTAL 1
 𝑔
O valor obtido do desvio da densidade foi de σρ = 0,25459 .
𝑐𝑚³

Assim temos que a variação da densidade foi igual a:

𝑔
DENSIDADE = (8,0 ± 0,3) 𝑐𝑚³.

5.2 PAQUÍMETRO
Os valores mostrados abaixo foram medidos a partir do uso do
paquímetro.
Espessura: E = (1,72 ± 0,005) cm
Diâmetro: D = (12,20 ± 0,005) cm
Massa: M = (1509,22 ± 0,01) g

Substituindo os valores encontrados com as medidas feitas pelo

paquímetro na Equação 2 obteve-se:
π ∗ (12,20)2 ∗ (1,72)
𝑉=
4
Equação 1. Equação com os dados substituídos.

Encontrou-se o valor de V = 201,065699 cm³.

Com o valor do volume e através da equação 3 obteve que a incerteza
foi de:

π ∗ (12,20)2 ∗ 1,72 2 2 1 2
σV = √
∗ ( ) ∗ 0,005² + ( ) ∗ 0,005²
4 12,20 1,72

Após feitos os cálculos, o valor encontrado para o desvio do volume foi de:
σV = 0,607 cm³.
Assim temos que a variação do volume foi igual a:
VOLUME = (201,1 ± 0,6) cm³.
A partir da equação 4 temos que a densidade do corpo de prova foi de:
1509,22
ρ = 201,065699
𝑔
O valor da densidade encontrado foi de ρ = 7,50610 .
𝑐𝑚³

Substituindo os valores encontrado durante todo o experimento na

equação 5, chegou-se então na seguinte equação:

−0,6 2 0,01 2
√
σρ = 7,50610 ∗ ( ) + ( )
201,065 1509,22
𝑔
O valor obtido do desvio da densidade foi de σρ = 0,02239 .
𝑐𝑚³

Assim temos que a variação da densidade foi igual a:

5
RELATÓRIO – FISÍCA EXPERIMENTAL 1
 𝑔
DENSIDADE = (7,51 ± 0,02) 𝑐𝑚³.

6. DISCUSSÕES E CONCLUSÕES
Nesta aula prática aplicamos a teoria da propagação de erros para calcular o
valor mais provável e a incerteza propagada. Apesar de se parecer simples, o
ato de medir envolver diversas condições, podendo ser observado que a
qualidade do instrumento utilizado influi muito no resultado da experiência. O
método científico empregado nesse experimento é bem claro e relativamente
simples, mas não pode ser ignorado, pois traz maior precisão na coleta dos
valores.
Conclui-se novamente neste experimento, que o paquímetro é um
instrumento para realizar medições com um grau de precisão maior do que a
régua milimétrica por aferir mais casas decimais. A régua milimetrada mostrou-
se eficaz para realizar a medida a ela atribuída, mas quando se tratar de medição
que exija um maior grau de precisão, ela não deve ser utilizada. Verificou-se com
a teoria da propagação de erros uma margem muito menor quando usadas as
medidas obtidas com o paquímetro no lugar das medidas obtidas com a régua.
7. BIBLIOGRAFIA
JURAITIS, K. R.; DOMICIANO, J. B. Introdução ao Laboratório de Física
Experimental: métodos de obtenção, registro e análise de dados experimentais.
EDUEL, 2009.
VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erros. 2. ed. São Paulo: Blucher,
1996.

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RELATÓRIO – FISÍCA EXPERIMENTAL 1