Lista para Maria Clara
Lista para Maria Clara
Lista para Maria Clara
1) A torre Eiffel tem sua base em um piso plano e horizontal. De um ponto A desse piso, distante
108 3 m do centro da base, vê-se o ponto mais alto da torre sob um ângulo de 60° com o
2) Em certo instante, o capitão de um navio vê o topo de um iceberg sob um ângulo de 30º com
a superfície do mar. Navegando 100 m no sentido do iceberg, o capitão vê o topo sob um
ângulo de 45º com a superfície do mar. Calcule a altura da parte emersa do iceberg, em
relação ao nível do mar, desconsiderando a altura do navio. Considere √ 2=1,41 e
√ 3=1,73 .
4) Na figura abaixo alfa é uma medida em graus. Determine a medida x em centímetros, usando
se necessário os valores da tabela:
5) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica. Os centros das rodas estão a uma distância
Qual a medida aproximada do segmento DP? (se necessário, use os valores da tabela acima)
(A) 37,04 cm. (B) 17,24 cm. (C) 9,61 cm. (D) 5,78 cm. (E) 2,68 cm.
2) Patrik Onom Étrico, um jovem curioso, observa da janela do seu quarto (A) uma banca de revistas (R), bem em
frente ao seu prédio, segundo um ângulo de 60º com a vertical. Desejando avaliar a distância do prédio à banca,
Patrik sobe seis andares (aproximadamente 16 metros) até o apartamento de um amigo seu, e passa a avistar a
banca (do ponto B) segundo um ângulo de 30º com a vertical. Calculando a distância “d”, Patrik deve encontrar,
(A) 8,0 m (B) 11,2 m (C) 12,4 m (D) 13,6 m (E) 15,0 m
3) A Rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, se cruzam segundo um ângulo de 30º. O
posto de gasolina Estrela do Sul se encontra na Avenida Teófilo Silva a 4000 m do citado cruzamento. Portanto,
a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros, em quilômetros, é igual a:
(A) 4 (B) 12 (C) 2 (D) 5 (E) 8
4) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito
(instrumento para medir ângulos) a 200 m do edifício e mediu o ângulo de 30º, como indicado na figura a seguir:
Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, pode-se concluir que, dentre os valores a seguir, o que melhor
aproxima a altura do edifício, em metros, é:
(A) 112 (B) 115 (C) 117 (D) 120 (E) 124
5) A figura abaixo representa uma torre de altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos L1 e L2, fixados nos
pontos C e D, respectivamente.
Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a medição das distâncias entre esses pontos. Apenas com as
medidas dos ângulos C e D e a distância entre B e D, um engenheiro calculou a quantidade de cabo (L 1 + L2)
6) Ao se tentar fixar as extremidades de um pedaço de arame reto, de 30m de comprimento, entre os pontos M e P de
um plano, o arame, por ser maior do que o esperado entortou como mostra a figura. A partir desses dados,
calcule, em metros:
20
10
7) Na ilustração abaixo, temos dois retângulos congruentes com base medindo 12 cm, e altura 5 cm. Qual
o inteiro mais próximo da distância, em cm, do ponto A até a horizontal? Dado: use a aproximação
√ 3=1,73
8) Um observador, em posições diferentes, mede duas vezes o ângulo sob o qual ele observa o ponto mais alto de
um prédio, encontrando 30° e 60°. Entre uma medida e outra, ele caminha 20 metros em direção ao prédio. Com
relação à altura do prédio, desprezando a altura do observador, assinale a alternativa correta.
(A) Está entre 14 e 16 metros. (B) Está entre 15 e 18 metros. (C) É maior que 20 metros.
(D) É menor que 15 metros. (E) Está entre 10 e 12 metros.
9) Uma caixa-d’água está localizada num ponto P de um terreno plano, conforme representado abaixo. Ela é
avistada do ponto A sob um ângulo de 30º e do ponto B sob um ângulo de 45º. Sabendo-se que a medida do
ângulo APB é 90º e a distância entre os pontos A e B é 100 m, calcule, em metros, a altura da caixa-d’água.
10) Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 15º com a horizontal. A 2 km de B se encontra a
projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura, conforme figura.
Dados: cos 15º = 0,97 ; sen 15º = 0,26 ; tg 15º = 0,27
11) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A.
Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a
rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que
deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.
2) A figura mostra duas circunferências de raios 8 cm e 3 cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C e D são os
centros das circunferências.
(A) 150 (B) 180 (C) 270 (D) 300 (E) 310
√
4) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distantes 60 3 m uma da outra. Uma
terceira pessoa C, na outra margem do rio, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida
do ângulo ACB seja 60°. A largura do rio é:
5) Um teleférico deve unir os topos A e B de dois morros. Para calcular a quantidade de cabos de aço necessária
para unir A e B, um engenheiro mediu as alturas dos morros em relação a um mesmo plano horizontal, obtendo
108 m e 144 m. A seguir, mediu o ângulo que a reta AB forma com a horizontal, obtendo 32º.
a) Desenhe na figura abaixo um esquema que represente essa situação.
b) Calcule a distância entre os pontos A e B, sabendo que sen32º = 0,52, cos32º =0,84 e tg 32º =0,62
Respostas: 1) B 2) B 3) C 4) E 5) b)
Relações métricas na circunferência
1) Determine o raio das circunferências de centro O nos casos a seguir:
2) Na figura a seguir, o círculo de centro O’ possui raio r e está inscrito no setor circular AOB de raio OB = AO = R.
Assim, calcule o raio do círculo em função do raio R do setor.
3) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos
pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se
EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, calcule o comprimento do segmento GF.
7) (INSTITUTO MACHADO DE ASSIS - 2012) Numa praça circular há os seguintes prestadores de serviços: O
pipoqueiro que fica no ponto A, a 25 m da fonte de água (ponto E) O jornaleiro, que fica no ponto B, a 14 m da
fonte de água. O sorveteiro, que fica no ponto C, a 35 metros da fonte de água. Qual a distância do fotógrafo,
que está no ponto D, até a fonte de água?
8) (MOURA MELO - 2012) Por um ponto exterior a uma circunferência traçam-se dois segmentos: um de tangente
e outro de secante com 18 cm. Qual a medida do segmento da tangente, sabendo que a medida interna da
secante é 14 cm?
(A) 6 √ 2 cm (B) 2 √14 cm (C) 24 cm (D)
7 √ 3 cm
9) O raio de uma circunferência é 6 cm. De um ponto P externo, traçamos uma tangente e uma secante a essa
circunferência. A secante, que encontra a circunferência nos pontos A e B, passa pelo centro e é tal que o seu
segmento externo mede 8 cm. Determine a medida do segmento da tangente que foi traçada do ponto P.
8 √3
Respostas: 1) 2) r= √ 2−1 3) 4 cm 4) a) 10 b) 16 c) 8 d) 3 e) 10 f) 8 5) a) 3 b)
120º
Polígonos regulares
1) Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas condições, determine:
a) a medida do lado do quadrado:
b) a medida do apótema do quadrado:
c) o perímetro (P) do quadrado:
d) a área (S) do quadrado:
3) Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine a medida do lado e do apótema de cada
um dos seguintes polígonos regulares inscritos nessa circunferência:
a) quadrado
b) hexágono regular
c) triángulo equilátero
4) Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência. Determine o comprimento r do raio dessa
circunferência.
5) Sabendo que o apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio r mede 15 cm,
determine:
a) o comprimento do raio
b) a medida do lado do triângulo
9) No estudo da distribuição de torres em uma rede de telefonia celular, é comum se encontrar um modelo no qual
as torres de transmissão estão localizadas nos centros de hexágonos regulares, congruentes, justapostos e
inscritos em círculos, como na figura a seguir.
d
Supondo que, nessa figura, o raio de cada círculo seja igual a 1km, é correto afirmar que a distância 3,8 (entre
d d
as torres 3 e 8 ), a distância 3,5 (entre as torres 3 e 5 ) e a distância 5,8 (entre as torres 5 e 8 ) são,
respectivamente, em km, iguais à
3 3 3 3
d3,8 = 2 3, d3,5 = 3, d5,8 = 3 + 2 3. d3,8 = 4, d3,5 = 3, d5,8 = 5. d3,8 = 4, d3,5 = , d5,8 = 4 + .
(A) (B) (C) 2 2
3 3 9
d3,8 = 2 3, d3,5 = 3, d5,8 = 21. d3,8 = 4, d3,5 =
, d5,8 = .
(D) (E) 2 2
10) Um ciclista deu 100 voltas em uma pista que tinha a forma de um hexágono regular. Cada lado do hexágono
media 15 m. Quantos quilômetros ele percorreu?
(A) 9 (B) 90 (C) 900 (D) 9000
11) Um triângulo equilátero e um quadrado têm o mesmo perímetro. A medida do lado do quadrado é 90 cm.
Nessas condições, a medida do lado do triângulo equilátero é de...
(A) 90 cm. (B) 180 cm. (C) 120 cm. (D) 100 cm. (E) 150 cm.
12) Juliana recortou de uma tira de cartolina retangular seis triângulos retângulos idênticos, em que um dos catetos
mede 3 cm (figura 1). Com esses triângulos, fez uma composição que tem dois hexágonos regulares (figura 2).
14) Considere um quadrado com 3 2 cm de lado, inscrito em um círculo como mostra a figura.
( 3 3)
(A) 2. (B) 3. (C) 2 . (D) 3. (E) 2 3 .
15) Uma circunferência, inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 20 cm, possui comprimento, em cm, igual a
16) A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do
lado do triângulo é
(A) 5 3 (B) 6 3 (C) 7 3 (D) 8 3 (E) 9 3
17) O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual a 2 cm. O lado do hexágono regular inscrito nessa
mesma circunferência, em cm, é
30 √3cm
3) a) 40 √ 2cm e 20 √2cm b) 40 cm e 20 √3cm c) 40 √ 3cm e 20 cm 4) 8 √ 2cm 5) a) 30 cm
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Num triângulo ABC os lados medem AB = 9 cm, AC = 11 cm e BC = 15 cm, Um triângulo MNP, semelhante ao
triângulo ABC, tem 105 cm de perímetro. Determine as medidas dos lados do triângulo MNP.
2) Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele inscrito tem lados que medem 4cm
e 2cm.
O perímetro do triângulo MBN é
(A) 8 cm (B) 12 cm (C) (8 + Ë2) cm (D) (8 + 2 √2 ) cm (E) 4 (2 + √2 )
cm
3) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4cm e a altura relativa a essa base também mede 4cm. MNPQ é
um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro
desse retângulo, em cm, é
a) 15
b) x c) D
8 E
x
x 4 14
C A
a B 2a
17 10
A
2) Na figura abaixo, AD = 20, DB = 5, AC = 30 e BC = 45. Se DE é paralelo a BC, calcule o perímetro do trapézio BCDE.
D E
B C
3) O cateto AB do triângulo retângulo BAC é dividido em oito partes iguais. Sete linhas paralelas ao cateto AC são
traçadas até BC pelos pontos de divisão. Se AC = 10, então a soma dos sete segmentos será:
A
B C
(A) 33 (B) 34 (C) 35 (D) 45 (E) NRA
4) (UFG) Uma fonte luminosa a 25 m do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm
de diâmetro, conforme figura a seguir. Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância d do centro da esfera até a parede, em
cm, é:
5) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No momento, a seu lado, a sombra projetada de um
poste mede 2 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminui 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
(A) 30 cm (B) 45 cm (C) 50 cm (D) 80 cm (E) 90 cm
6) Na figura abaixo está representada a fachada de um prédio. Os segmentos de reta [AB] e [CD] são perpendiculares a
[BE] e os segmentos de recta [AB] e [CD] são paralelos.
(A) 144 (B) 180 (C) 210 (D) 225 (E) 240
9) (UNICAMP) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa,
conforme mostra a figura adiante. Dados: AB = 6 m; AC = 1,5 m; CD = 4 m.
10) (UFMG) Nesta figura, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e NA medem,
respectivamente, m e n :
(A)
√mn
mn
m+n (B) √ m 2 + n2
8 (C)
m+n
4 (D)
2
11) (ITA/SP) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BAC, mede 40°. Sobre o lado
AB, tome o ponto E tal que ACE = 15°. Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que DBC = 35°. Então, o ângulo EDB vale
(A) 35° (B) 45° (C) 55° (D) 75° (E) 85°
12) (UEL/PR) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados.
Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura adiante.
Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se
interceptam? Despreze a espessura das barras.
(A) 1,50 m (B) 1,75 m (C) 2,00 m (D) 2,25 m (E) 2,50 m
13) (UNIRIO) Observe os dois triângulos na seguir representados, onde os ângulos assinalados são congruentes. O
perímetro do menor triângulo é:
14) (FUVEST/SP) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4
cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O
perímetro desse retângulo, em cm, é:
15) (PUC-MG) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio 2 cm. AD é altura
do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em centímetros, é:
(A) 3,0 (B) 3,5 (C) 4,0 (D) 4,5 (E) 5,0
17) No triângulo ABC, AB = 20 cm, BC= 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango, de área 8
cm². A medida, em graus do ângulo BNP é:
19) (FUVEST/SP) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se
construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante.
a) Exprima y em função de x.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?
20) (UFRJ) Na figura a seguir, o círculo de raio 1 cm rola da posição I para a posição F, sempre tangenciando o cateto
AC do triângulo retângulo ABC.
Na posição I o círculo também tangencia AB e na posição F ele é tangente a BC. Os lados do triângulo valem AB = 6 cm,
AC = 8 cm e BC = 10 cm. Determine a distância percorrida pelo centro do círculo.
21) Na figura abaixo, consideremos os quadrados cujos lados medem x, 6 e 9. Nessas condições, determine o perímetro
do quadrado de lado x.
22) (UFPR) Em uma rua, um ônibus com 12 m de comprimento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância da base
de um semáforo, o qual está a 5 m do chão. Atrás do ônibus pára um carro, cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e
a 2 m da parte frontal do carro, conforme indica a figura abaixo. Determine a menor distância (d) que o carro pode ficar
do ônibus de modo que o motorista possa enxergar o semáforo inteiro.
(A) 13,5 m (B) 14,0 m (C) 14,5 m (D) 15,0 m (E) 15,5 m
23) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O
segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine, em cm, os comprimentos dos
segmentos AB', B'C' e C'D'.
24) (CEFET-PR) O jardineiro do Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são
todas paralelas à base AB do triângulo ABC, conforme figura.
26) (Unicamp) Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No
ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.
b) Calcular a área do triângulo ABC.
27) (FUVEST) Na figura abaixo, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e centro O. Se EP = 1, então a é:
√2 2 √2 2
(A) √2−1 (B) √3−1 (C) 2 (D) 2 (E) √2−1
28) Na figura, AB=12 , AC=16 , BC=20 e BL=9 . Se LM // NC e LN // MC , calcule o
perímetro do paralelogramo LMNC .
29) (UNIFESP) No triângulo ABC da figura, que não está desenhada em escala, temos: B A^ C=C B^ E ,
^ F=B D^ F ,
AD AC=27 , BC=9 , BE=8 , BD=15 e DE=9 .
30) (FEI) O triângulo ABC, da figura abaixo, é equilátero de lado medindo 20 cm. AH e HD são, respectivamente, as
alturas dos triângulos ABC e AHC. A medida de HD, em cm, é:
20 √3 12 √3
(A) 5 √3 (B) 10 √3 (C) 3 (D) 6 √3 (E) 5
31) (Olimpíada Australiana)
O é o centro de uma circunferência de diâmetro AB. ABC é um triângulo, retângulo em A, com ABC= 45°, DE é um
segmento paralelo ao lado AB deste triângulo que intercepta o lado BC em D, o lado AC em E, e a circunferência de
centro O, em M, de modo que DM = ME (conforme figura acima). Sabendo que o comprimento, em cm, do segmento AB
é 4, então o comprimento do segmento DE, em cm, é igual a:
3 16 8
(A) 5 (B) 5 (C) 3 (D) 5
5
(E) 3
Gabarito:
1) 2) 3) 4) A 5) B 6) a)
7) 8) D 9) a) 1,2 m b) 1468,8 litros 10) A 11) D 12) D
13) D 14) B 15) A 16) A 17) B 18) B 19) a) y = 2/3 (30 – x)
b) Para x = 15 m y = 10 m 20) 4 cm 21) 16 22) D 23) 2,6 ; 3,9 ; 6.5 24) B
2
25) A 26) a) 2,25 m b) 7,8125 √3m 27) 28)
29) a) AB = 24 e EC = 3 b) AD = 15 e FD = 9