Calculo Avançado Roci Cipolatti PDF
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Calculo Avançado Roci Cipolatti PDF
Rolci Cipolatti
2002
Segunda Edição Revista e Ampliada
Cipolatti, Rolci
C577c Cálculo avançado I/ Rolci Cipolatti. - 2 ed. rev. e
aum - Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2002.
174p.
Inlui Bibliografia
ISBN: 85-87674-08-0
CDD 515
Caiu a primeira gota na terra seca
Solitária, corajosa, suicida,
Pra que molhe o chão, a planta cresça
Pra que brote o verde, a nova vida
RC
Exórdio
Rolci Cipolatti
Sumário
Capı́tulo 1:
Conjuntos e Funções . . . . . . . . . . . 1
Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . 2
Funções . . . . . . . . . . . . . . . 4
Composição de Funções . . . . . . . . . . . 6
Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . 7
Capı́tulo 2:
Métricas e Normas . . . . . . . . . . . 9
Normas em Rn . . . . . . . . . . . . . 11
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . 15
Capı́tulo 3:
Abertos, Fechados, Compactos . . . . . . . 17
Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . 20
Compactos de Rn . . . . . . . . . . . . 22
Seqüências em Espaços Vetoriais . . . . . . . . 25
Seqüências de Cauchy . . . . . . . . . . . 27
Seqüências em Rn . . . . . . . . . . . . 28
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . 29
ii Cálculo Avançado I
Capı́tulo 4:
Limites e Continuidade . . . . . . . . . . 31
Funções Contı́nuas . . . . . . . . . . . . 33
Funções Contı́nuas e Compactos . . . . . . . . 35
Funções Contı́nuas e Conjuntos Conexos . . . . . . 37
Conjuntos Convexos e Funções Convexas . . . . . 37
Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . 40
Espaços Vetoriais de Dimensão Finita . . . . . . 41
O Espaço Vetorial das Transformações Lineares . . . 42
O Teorema do Ponto Fixo de Banach . . . . . . 43
Semicontinuidade . . . . . . . . . . . . 44
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . 48
Capı́tulo 5:
Funções Diferenciáveis . . . . . . . . . . 55
Derivadas Direcionais . . . . . . . . . . . 55
Funções Diferenciáveis . . . . . . . . . . . 56
O Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . 60
Regras Básicas de Derivação . . . . . . . . . 61
O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . 62
A Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . 64
A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . 64
O Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . 66
Derivadas Parciais ( o caso geral ) . . . . . . . 66
Condições Suficientes para a Diferenciabilidade . . . . 68
A Função Diferencial – Funções de Classe C 1 . . . . 70
A Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . 72
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . 73
Capı́tulo 6:
Curvas em Rn . . . . . . . . . . . . . 77
Curvas Retificáveis . . . . . . . . . . . . 79
Sumário iii
Curvas Diferenciáveis . . . . . . . . . . . 79
Integrais de Linha e Campo Gradiente . . . . . . 82
Conservação da Energia . . . . . . . . . . 87
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . 87
Capı́tulo 7:
Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . 91
A matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . 95
Máximos e Mı́nimos . . . . . . . . . . . . 96
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . 102
Capı́tulo 8:
O Teorema da Função Inversa . . . . . . 105
O Teorema da Função Inversa . . . . . . . . 106
Aplicação: o Método das Caracterı́sticas . . . . 111
O Teorema da Função Inversa (bis) . . . . . . 113
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . 116
Capı́tulo 9:
O Teorema da Função Implı́cita . . . . . . 119
O Teorema da Função Implı́cita . . . . . . . 122
Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . 123
Aplicações . . . . . . . . . . . . . . 125
Multiplicadores de Lagrange (bis) . . . . . . 127
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . 129
Capı́tulo 10:
Seqüências de Funções . . . . . . . . . 133
Convergência Uniforme . . . . . . . . . . 135
Convergência Uniforme e Derivadas . . . . . . 139
Série de Funções e Convergência Uniforme . . . . 141
Série de Potências . . . . . . . . . . . 142
A Matriz Exponencial . . . . . . . . . . 144
iv Cálculo Avançado I
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . 145
Capı́tulo 11:
O Espaço C(K;Rm ) . . . . . . . . . . 149
Aplicação 1: o Teorema de Picard . . . . . . 150
O Teorema de Arzelà-Ascoli . . . . . . . . 152
Aplicação 2: o Teorema de Cauchy-Peano . . . . 156
O Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . 159
Funcionais Contı́nuos e Diferenciáveis . . . . . 161
Aplicação 3: Fluxos . . . . . . . . . . . 162
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . 167
Referências . . . . . . . . . . . . . . 171
“Até onde as leis da matemática se
refiram à realidade, elas estão longe de
constituir algo certo; e, na medida em
que constituem algo certo, não se refe-
rem à realidade.”
(Albert Einstein)
1
Conjuntos e Funções
x∈
/ X.
\ k
\
Aλ = Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak .
λ∈Λ i=1
• Diferença e Complementar:
Dados dois conjuntos A e B, definimos
A \ B = x ; x ∈ A e x 6∈ B .
Quando A ⊃ B, dizemos que A\B é o complementar de B em relação
a A e denotamos B c = A \ B.
A notação de complementar traz ambigüidade, posto que o sı́mbolo
B c não indica em relação a quem se está tomando o complementar.
Por exemplo, se C ⊂ B ⊂ A, então quem é C c ?
Portanto, restringimos a notação de complementar somente aos casos
em que os conjuntos que consideramos são todos subconjuntos de uma
dado universo U. Isto é, denotamos por C c = U \ C.
– Propriedades Básicas:
◦ (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C);
◦ (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C);
◦ (A ∪ B)c = Ac ∩ B c ;
◦ (A ∩ B)c = Ac ∪ B c ;
◦ A \ B = A ∩ Bc.
• Produto Cartesiano:
Dados dois subconjuntos A e B, definimos
A × B = (x, y) ; x ∈ A e y ∈ B .
Podemos observar que A × B = ∅ se e somente se A = ∅ ou B = ∅.
De um modo geral, se A1 , A2 , . . . , Ak é uma famı́lia finita de conjun-
tos, então definimos
k
Y
Ai = A1 × · · · × Ak = (x1 , . . . , xk ) ; xi ∈ Ai , i = 1, . . . , k .
i=1
4 Cálculo Avançado I
∞
Y
Ai = A1 × A2 × · · · = (x1 , x2 , x3 , . . .) ; xi ∈ Ai , i = 1, 2, 3, . . . .
i=1
Funções
f : A → B.
A B
Figura 1.1
Composição de Funções
A B C
g◦f
Seqüências
Exercı́cios
onde Λ = [0, 1[ e
Aλ = (x, y) ∈ R2 ; (x − λ)2 + y 2 ≤ λ2 /2 ,
Bλ = (x, y) ∈ R2 ; (x − λ)2 + y 2 = λ2 /2 .
Então d é métrica em X.
No caso em que X é um espaço vetorial, podemos medir distâncias
por intermédio de normas, que são funções que permitem “medir
comprimentos”.
Definição 2.2: Seja X um espaço vetorial. Uma norma em X é
qualquer função k k: X → R que satisfaça as seguintes propriedades:
i) kxk ≥ 0, ∀x ∈ X;
ii) kxk = 0 ⇐⇒ x = 0;
iii) kλxk = |λ|kxk, ∀λ ∈ R e ∀x ∈ X;
iv) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X.
A desigualdade em iv) é denominada desigualdade triangular.
Observação: É fácil ver das definições acima que toda norma num
espaço vetorial induz uma métrica nesse espaço. De fato, se k k é
uma norma num espaço vetorial X, então d(x, y) = kx − yk é uma
métrica em X. Por outro lado, nem toda métrica induz uma norma
(dê um exemplo!).
Lema 2.3: Se k k é uma norma em X, então para todo x, y ∈ X
temos
kxk − kyk ≤ kx + yk e kxk − kyk ≤ kx − yk.
Normas em Rn
Mais geralmente,
Teorema 2.5: Se 1 ≤ p < +∞, então
1/p
kxkp = |x1 |p + |x2 |p + · · · + |xn |p
é uma norma em Rn .
A demonstração deste resultado faz uso da Desigualdade de Young,
que enunciamos e demonstramos a seguir.
Lema 2.6: Sejam p e q tais que 1 < p, q < +∞ e 1/p + 1/q = 1.
Então, para todo x, y ∈ R, vale a desigualdade
|x|p |y|q
|xy| ≤ + .
p q
1 1 1 1
ln α + β ≥ ln α + ln β = ln α1/p β 1/q ,
p q p q
λp−1 1
ϕ(λ) = kxkpp + kykqq .
p λq
Portanto, decorre de (2.4) que hx; yi ≤ minλ>0 ϕ(λ). Calculando o
valor mı́nimo de ϕ(λ) (veja exercı́cio), obtemos o resultado.
Métricas e Normas 13
n
X n
X n
X
kx + ykpp = |xi + yi |p ≤ |xi ||xi + yi |p−1 + |yi ||xi + yi |p−1 .
i=1 i=1 i=1
Considerando os vetores
Observando que
obtemos
n
!1/p
X
p
kP kp = |ai | p ∈ [1, +∞[,
.
i=0
kP k∞ = max |ai | ; i = 0, . . . , n
Exercı́cios
Figura 3.1
O conceito de bola aberta nos permite intruduzir diversas definições—
os alicerces para a construção da Análise. Iniciemos com os seguintes
conceitos: ponto interior e ponto de acumulação.
Definição 3.1: Seja A um subconjunto de V e x0 ∈ V .
a) Dizemos que x0 é ponto interior de A se existe r > 0 tal que
Br (x0 ) ⊂ A.
18 Cálculo Avançado I
Tk
Por outro lado, se x ∈ i=i Ai , então x ∈ Ai para todo i. Como cada
Ai é aberto, existe ri > 0 tal que Bri (x) ⊂ Ai .
Abertos, Fechados, Compactos 19
T
é um conjunto aberto. Portanto λ Fλ é conjunto fechado.
Analogamente, como a interseção finita de conjuntos abertos é um
conjunto aberto, segue que
k
!c k
[ \
Fi = Fic
i=1 i=1
Sk
é um conjunto fechado. Portanto i=1 Fi é conjunto fechado.
′
Definição 3.7: A = A ∪ A é denominado aderência ou fecho de A.
Proposição 3.8: A é fechado se e somente se A = A.
Prova: Veja exercı́cios.
20 Cálculo Avançado I
Conjuntos Compactos
K ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλk .
Seja r̄: = min{rx1 , rx2 , . . . , rxm } > 0. Afirmo que Br̄ (x0 ) ⊂ K c . De
fato, pela definição de r̄ temos
m
\
Br̄ (x0 ) = Brxi (x0 ).
i=1
Compactos de Rn
a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ ak ≤ . . . ≤ b k ≤ . . . ≤ b 2 ≤ b 1 .
Q
Prova: Pk = ni=1 [ai,k , bi,k ]. Como P1 ⊃ P2 ⊃ . . ., segue que
Ii,k = [ai,k , bi,k ] satisfaz Ii,1 ⊃ IT
i,2 ⊃ . . . para todo i = 1, . . . , n.
∞
Logo,
T∞ decorre do Lema 3.13 que k=1 Ii,k 6= ∅ e conseqüentemente
k=1 Pk 6= ∅.
Teorema 3.16: (Bolzano-Weierstrass) Seja A ⊂ Rn limitado con-
tendo uma infinidade de pontos. Então A′ 6= ∅.
Prova: A sendo limitado, existe r > 0 tal que Br (0) ⊃ A, onde Br
denota a bola aberta relativa à norma k k∞ . Seja P0 = Br (0). Então
P0 ⊃ A e
Yn
P0 = Ii,0 , onde Ii,0 = [−r, r].
i=1
P1 ⊃ P2 ⊃ P3 ⊃ . . .
T
Pelo Lema 3.15, existe x̄ ∈ k Pk . Provemos que x̄ ∈ A′ .
Dado δ > 0, seja k0 ∈ N tal que r/2k0 < δ/2. Como x̄ ∈ Pk para
todo k, temos Pk0 ⊂ Bδ (x̄). Como Pk0 contém infinitos pontos de A,
segue que
Bδ (x̄) ∩ A \ {x̄} 6= ∅.
seu diâmetro.
Suponhamos que {Gα }α∈Λ seja uma cobertura aberta de P que não
admite subcobertura finita.
Os pontos médios ci = (ai + bi )/2 dos intervalos que compõem P
dividem P em 2n paralelepı́pedos de diâmetro δ/2. Algum desses
2n paralelepı́pedos não pode ser coberto por um número finito de
abertos de {Gα }. Seja P1 tal paralelepı́pedo.
Repetindo-se o argumento acima ad infinitum, construimos uma fa-
mı́lia {Pk }k∈N de paralelepı́pedos, cada Pk com diâmetro δ/2k , tais
que P1 ⊃ P2 ⊃ . . .
T∞
Pelo Lema 3.15, ∃x̄ ∈ k=1 Pk ⊂ P . Portanto, ∃α0 ∈ Λ tal que
x̄ ∈ Gα0 . Como Gα0 é aberto, ∃r > 0 tal que Br (x̄) ⊂ Gα0 .
Escolhendo k ∈ N tal que δ/2k < r/2 tem-se Pk ⊂ Br (x̄) ⊂ Gα0 ,
o que é uma contradição, pois Pk não pode ser coberto por uma
quantidade finita de abertos.
Teorema 3.18: Se K é fechado e limitado de Rn , então K é com-
pacto.
Prova: Se K limitado, então existe P paralelepı́pedo tal que K ⊂ P .
Pelo teorema anterior, P é compacto. Como K é fechado e K ⊂ P ,
segue que K é compacto. .
Os resultados seguintes fornecem uma generalização aos Lemas 3.13
e 3.15.
Teorema 3.19: Seja {Kα }α∈Λ uma famı́lia de compactos de Rn com
a propriedade da interseção finita, isto é, “toda subfamı́lia finita tem
interseção não vazia”. Então
\
Kα 6= ∅.
α∈Λ
T
Prova: Suponhamos que α∈Λ Kα = ∅ e fixe α0 ∈ Λ. Afirmo que
{Kαc }α∈Λ é cobertura aberta de Kα0 . Com efeito, se x ∈ Kα0 , segue
Abertos, Fechados, Compactos 25
T
de α∈Λ Kα = ∅ que
\ c [
x∈ Kα = Kαc .
α∈Λ α∈Λ
lim xk = x0 ou xk −→ x0 .
n→∞
26 Cálculo Avançado I
Seqüências de Cauchy
Definição 3.25: Uma seqüência {xk } de V é dita seqüência de Cau-
chy se
∀ε > 0 ∃k0 ∈ N tal que k, l ≥ k0 ⇒ kxk − xl kV < ε.
Lema 3.26: Se {xk }k é uma seqüência de Cauchy em V , então {xk }k
é limitada em V .
Prova: Seja ε = 1. Então existe k0 ∈ N tal que se k ≥ k0 , então
kxk − xk0 kV < 1. Em particular, kxk kV < 1 + kxk0 kV , para todo
k ≥ k0 . Assim, se M = 1 + max{kx1 kV , . . . , kxk0 −1 kV , kxk0 kV },
então kxk kV ≤ M para todo k ∈ N.
Como decorrência imediata da desigualdade triangular, toda seqüên-
cia convergente de um espaço vetorial normado é seqüência de Cau-
chy. Mas a recı́proca nem sempre se verifica. Os espaços vetoriais
normados para os quais todas as seqüências de Cauchy são cover-
gentes são denominados Espaços de Banach e são fundamentais para
a Análise, pois neles ficam assegurados os processos de limite.
28 Cálculo Avançado I
Seqüências em Rn
Exercı́cios
Exercı́cio 3.1. Sejam A e B subconjuntos de um espaço vetorial
normado V . Demonstre as afirmativas abaixo.
a) A é fechado ⇐⇒ A ⊃ A′ . Dê exemplo de A fechado tal que
A′ 6= A.
b) A′ é conjunto fechado.
c) A ⊂ B =⇒ A′ ⊂ B ′ .
d) (A ∪ B)′ = A′ ∪ B ′ .
e) A é conjunto fechado.
f) A é fechado ⇐⇒ A = A.
Exercı́cio 3.2. Sejam k k∗ e k k∗∗ duas normas equivalentes de um
espaço vetorial V .
a) Mostre que x0 é ponto de acumulação de A com relação a uma
das normas se e somente se é ponto de acumulação com relação
à outra.
b) Mostre que se A é um conjunto aberto em V em relação a k k∗ ,
se e somente se A é aberto em relação a k k∗∗ . Mostre que o
mesmo vale para conjuntos fechados e compactos.
Exercı́cio 3.3. Sejam A e B subconjuntos de um espaço vetorial
normado V .
◦ ◦
a) Se A ⊂ B, mostre que A⊂B e A ⊂ B.
◦ ◦
b) Defina α(A) =A e β(B) = B. Mostre
i. A aberto ⇒ A ⊂ α(A).
ii. B fechado ⇒ B ⊃ β(B).
◦
iii. Dê exemplo de conjunto A tal que A, A, A, α(A) e β(A)
sejam todos distintos.
Exercı́cio 3.4. Seja A = f ∈ C [0, 1]; R ; kf k∞ < 1 e f0 ≡ 0.
30 Cálculo Avançado I
Prova: Exercı́cio.
Teorema 4.4: Sejam f, g: A ⊂ Rn → R e x0 ∈ A′ . Se
então
lim (f ± g)(x) = b ± c
x→x0
lim (f g)(x) = bc
x→x0
Prova: Exercı́cio.
Corolário 4.5: Sejam f, g: A ⊂ Rn → Rm e x0 ∈ A′ . Se
então
lim f (x); g(x) = hb; ci.
x→x0
Limites e Continuidade 33
f : A ⊂ Rn → Rm , x0 ∈ A′ e g: B ⊂ Rm → Rk , y0 ∈ B ′
então
lim (g ◦ f )(x) = z0 .
x→ x0
Funções Contı́nuas
ou ainda
∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que f A ∩ Bδ (x0 ) ⊂ Bε f (x0 ) .
então
lim (g ◦ f )(x) = g(y0 ).
x→x0
e conseqüentemente
k
! k
X X
f λi xi ≤ λi f (xi ).
i=1 i=1
Pela convexidade,
−x
0 = f (0) ≤ λf + (1 − λ)f (x) ≤ λa + (1 − λ)f (x)
δ
e concluı́mos que
f (x) ≥ −δa > −ε. (4.3)
De (4.2) e (4.3) concluı́mos
Etapa 3: Se f (0) 6= 0.
Neste caso, g(x) = f (x) − f (0) é função convexa que se anula em
x = 0. Pelas etapas anteriores, g é contı́nua em x = 0, o mesmo
valendo para f .
Etapa 4: O caso geral.
Seja x0 ∈ Rn . Então g(x) = f (x + x0 ) é função convexa. Portanto,
etapas anteriores, g é contı́nua em x = 0. Segue que f é contı́nua em
x = x0 .
40 Cálculo Avançado I
Continuidade Uniforme
k
[
K⊂ Bδxi /2 (xi ). (4.4)
i=1
Seja δ = min{δx1 /2, δx2 /2, . . . , δxk /2} Então, se x, y ∈ K são tais
que kx − yk < δ, segue de (4.4) que x ∈ Bδxi /2 (xi ), para algum i.
Portanto,
f
V −−−−−−→ W
x x
T y T −1 S −1 y S
g
Rn −−−−−−→ Rm
αl0
kx1 − x0 kV < ε,
1−α
Semicontinuidade
Prova: Suponhamos lim inf x→x0 f (x) = lim supx→x0 f (x) = l e se-
jam
l(r) = inf f A ∩ Br (x0 ) \ {x0 }
(4.6)
L(r) = sup f A ∩ Br (x0 ) \ {x0 }
e concluı́mos que
Reciprocamente,
se f (x) ≥
f (x0 ) − ε ∀x ∈ A ∩ Bδ (x0 ), então l(r) =
inf f (x) ; x ∈ A ∩ Br (x0 ) ≥ f (x0 ) − ε, ∀r < δ.
Como l(r) é função decrescente, segue que
n
→ R é funçãon scs se e somente se para todo
Corolário 4.36: f : R
−1
α ∈ R, f ] − ∞, α[ é aberto em R .
O resultado a seguir generaliza o Corolário 4.12.
Teorema 4.37: Seja f : Rn → R função sci e K ⊂ Rn conjunto
compacto. Então existe x0 ∈ K tal que f (x0 ) = min f (K).
Prova: Faremos a prova em duas etapas:
Etapa 1: Provemos que inf f (K) > −∞.
48 Cálculo Avançado I
Exercı́cios
Exercı́cio 4.8.
a) Mostre que se A ⊂ Rn é um conjunto aberto e convexo e f : A →
R é uma função convexa, então f é contı́nua. Mostre que o
resultado é falso se A não for aberto.
b) Seja f : [a, b] → R função convexa. Mostre que f é semicontı́nua
superiormente em [a, b].
c) Dê um exemplo de uma função convexa definida na bola B =
{x ∈ R2 ; kxk2 ≤ 1} que não seja semicontı́nua superiormente
em B.
Exercı́cio 4.9. Prove que o conjunto Nr = {x ∈ Rn | f (x) ≤ r} é
convexo se f é função convexa.
Exercı́cio 4.10. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto e convexo. Uma
função f : Ω → ]0, ∞[ é dita log-côncava em Ω se a função log f (x)
é côncava em Ω.
a) Prove que toda função log-côncava é contı́nua.
b) Prove que f é log-côncava ⇔ f λx + (1 − λ)y ≥ f (x)λ f (y)(1−λ) ,
∀x, y ∈ Rn , ∀λ ∈ [0, 1].
c) Prove que o conjunto Nr = {x ∈ Rn | f (x) ≥ r} é convexo se f
é log-côncava.
d) Toda função log-côncava é côncava? Toda função côncava é log-
côncava?
Exercı́cio 4.11. Seja f : Rn → R uma função estritamente convexa,
isto é, f tx1 +(1−t)x2 < tf (x1 )+(1−t)f (x2 ), para todo x1 , x2 ∈ Rn
e para todo t ∈ ]0, 1[. Mostre que se f é coerciva (veja (4.9)), então
existe um único x0 ∈ Rn tal que f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn .
Exercı́cio 4.12. Seja C ⊂ Rn conjunto convexo e fechado.
a) Mostre que ∀x ∈ Rn , existe um único y ∈ C tal que kx − yk2 ≤
kz − xk2 , ∀z ∈ C.
(y = PC (x) é denominado a projeção ortogonal de x sobre C.
Temos assim definida a aplicação
PC : Rn → Rn
(4.10)
x 7 → PC (x)
kAk = MA , (4.11)
Derivadas Direcionais
Figura 5.1
Se u = (u1 , u2 ) é um vetor unitário qualquer, então
( 2
∂f f (λu) − f (0) u2
(0, 0) = lim = u1 se u1 6= 0,
∂u λ→0 λ
0 senão.
Entretanto, f não é contı́nua em (0, 0). De fato, f (t2 , t) = 1/2,
∀t 6= 0.
Funções Diferenciáveis
|εx0 (h)|
lim = 0. (5.2)
h→0 khk
Se εx0 (h) satisfaz (5.2), dizemos que εx0 é função o(khk). Para sim-
plificar a notação, escreveremos simplesmente ε(h), deixando de ex-
plicitar a dependência de ε em x0 .
Se f é função diferenciável em x0 , então a transformação linear L é
denominada diferencial de f em x0 (ou a derivada de Fréchet de f
em x0 ) e denotamos f ′ (x0 ).
Exemplos 1: Consideremos f (x, y) = xy. Se h = (h1 , h2 ), então
f (x0 + h1 , y0 + h2 ) = x0 y0 + y0 h1 + x0 h2 + h1 h2 .
|ε(h)|/khk ≤ khk/2 → 0 se h → 0,
1
f ′ (x0 , y0 )h = (y0 h1 − x0 h2 ).
y02
a identidade (5.1) fica satisfeita com L(h) = f (h), o que nos leva a
concluir que f é diferenciável em x0 e f ′ (x0 ) ≡ f .
Exemplo 4: Consideremos f : Rn → R definida por f (x) = kxk22 .
Então
|ε(h)|
= khk2 → 0 se h → 0,
khk2
Figura 5.2
Figura 5.3
|ε(h)|
< 1.
khk
O Vetor Gradiente
n
! n
X X
L(h) = L hi e i = hi bi = hb; hi.
i=1 i=1
Notação: O vetor de Rn
∂f ∂f
∇f (x0 ) = (x0 ), . . . (x0 )
∂x1 ∂xn
é denominado vetor gradiente de f em x0 e é tal que se f é função
diferenciável em x0 , então
f ′ (x0 )(h) = ∇f (x0 ); h , ∀h ∈ Rn .
1
(f /g)′ (x0 ) = 2
g(x0 )f ′ (x0 ) − f (x0 )g ′ (x0 ) .
g(x0 )
Prova: Faremos a demonstração de (b); os outros itens são deixados
como exercı́cio para o leitor.
Por hipótese temos;
f (x0 + h) = f (x0 ) + L(h) + ε1 (h),
g(x0 + h) = g(x0 ) + G(h) + ε2 (h),
62 Cálculo Avançado I
onde
E(h) = f (x0 ) + L(h) ε2 (h) + g(x0 ) + G(h) ε1 (h) +
+ L(h)G(h) + ε1 (h)ε2 (h).
O Caso Geral
kεx0 (h)k
lim = 0. (5.5)
h→0 khk
|εi (h)|
lim = 0.
h→0 khk
temos o resultado.
64 Cálculo Avançado I
A Matriz Jacobiana
Observação: Se Jf (x0 ) 6= 0, então a matriz f ′ (x0 ) é inversı́vel.
Como f ′ (x0 ) aproxima f (x) − f (x0 ) na vizinhança de x0 , seria ra-
zoável esperar que f também fosse inversı́vel nas proximidades de
x0 . De fato é quase isso, como veremos mais à frente no estudo do
Teorema da Função Inversa. O Jacobiano e o Divergente também
desempenham papel importante na integração de funções de várias
variáveis.
A Regra da Cadeia
Em particular
(g ◦ f )′ (x0 ) = g ′ (y0 ) f ′ (x0 ) .
∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂f1
(x ) · · · (x0 )
∂y1 0 ∂yk ∂z1 (x0 ) · · · ∂zl
(x0 )
.. .. .. , .. .. ..
. .
∂fm. . . .
∂fm ∂fm ∂fm
(x0 ) · · · (x0 ) (x0 ) · · · (x0 )
∂y1 ∂yk ∂z1 ∂zl
∂f ∂f
f ′ (x0 )h = (x0 )h1 + (x0 )h2 .
∂y ∂z
′ ∂f ∂ϕ ∂f ∂ψ
g (u0 , v0 ) = (x0 , y0 ) (u0 ) + (x0 , y0 ) (v0 ) .
∂x ∂u ∂y ∂v
68 Cálculo Avançado I
Pelo que vimos até agora, só dispomos da definição para verificar se
uma dada função é diferenciável. O Teorema a seguir fornece uma
condição suficiente para a diferenciabilidade de uma dada função.
Teorema 5.12: Seja Ω ⊂ Rn aberto e f : Ω → R uma função cujas
derivadas parciais existem em Ω e são contı́nuas em um ponto x0 de
Ω. Então f é diferenciável em x0 .
Prova: À guisa de simplicidade, faremos a demonstração no caso
n = 2; o caso geral segue por argumento análogo.
Seja h = (h1 , h2 ) = h1 e1 + h2 e2 , tal que x0 + h ∈ Ω, onde {e1 , e2 } é
a base canônica de R2 . Então
∂f
f (x0 + h1 e1 + h2 e2 ) − f (x0 + h1 e1 ) = (x0 + h1 e1 + ξ2 h2 e2 )h2 .
∂x2
Analogamente, a função g1 (t) = f (x0 + th1 e1 ) é derivável em ]0, 1[.
Logo, existe ξ1 ∈ ]0, 1[ tal que
∂f
f (x0 + h1 e1 ) − f (x0 ) = (x0 + ξ1 h1 e1 )h1 .
∂x1
Portanto,
∂f ∂f
f (x0 + h) − f (x0 ) = (x0 + ξ1 h1 e1 )h1 + (x0 + h1 e1 + ξ2 h2 e2 )h2 .
∂x1 ∂x2
Denotando por
∂f ∂f
ε(h) = (x0 + ξ1 h1 e1 ) − (x0 ) h1
∂x1 ∂x1
(5.7)
∂f ∂f
+ (x0 + h1 e1 + ξ2 h2 e2 ) − (x0 ) h2 ,
∂x2 ∂x2
Funções Diferenciáveis 69
temos
f (x0 + h) = f (x0 ) + ∇f (x0 ); h + ε(h).
∂f ∂f
| (x) − (x0 )| < ε, i = 1, 2.
∂xi ∂xi
e conseqüentemente,
|ε(h)|
<ǫ
khk1
e o resultado segue da equivalência das normas em Rn .
Observação: Vale observar que o Teorema 5.12 dá somente condição
suficiente para a diferenciabilidade. De fato, uma função pode ser
diferenciável num ponto x0 , mesmo tendo suas derivadas parciais
descontı́nuas em x0 . Por exemplo, consideremos f : R2 → R definida
por
2 1
f (x, y) = x sen x se x 6= 0,
0 se x = 0.
Então, calculando diretamente
∂f 1 − cos 1
2x sen x se x 6= 0,
(x, y) = x
∂x 0 se x = 0,
verifica-se que ∂f∂x (x, y) é descontı́nua nos pontos (0, y) para todo y ∈
R. Por outro lado, é fácil ver (verifique!) que f é função diferenciável
em (0, 0) e f ′ (0, 0) = (0, 0).
70 Cálculo Avançado I
f ′ : Ω →L(Rn , Rm ),
x 7→f ′ (x),
A Projeção Ortogonal
onde
1 1
ε(h) = kPC (x0 )k22 − kPC (x0 +h)k22 + x0 +h; PC (x0 +h)−PC (x0 ) .
2 2
Como g(x) = 21 kxk22 é diferenciável com g ′ (x) = x para todo x ∈ Rn ,
temos do Teorema do Valor Médio,
1 1
kPC (x0 )k22 − kPC (x0 + h)k22 =
2
2
(1 − θ)PC (x0 ) + θPC (x0 + h); PC (x0 ) − PC (x0 + h) ,
Exercı́cios
lim ϕ(s) = 0.
s→±∞
Exercı́cio 5.2.
a) Considere f : Rn → R dada por f (x) = 12 kxk22 . Mostre que f é
diferenciável e que f ′ : Rn → Rn é a matriz identidade I.
b) Seja f : Rn → R dada por f (x) = p1 kxkpp , com 1 < p < ∞. Mostre
que f é diferenciável. Mostre que kf ′ (x)kqq = kxkpp , ∀x ∈ Rn e
1/p + 1/q = 1.
n n
Sejam f,g: R → R funções diferenciáveis e con-
Exercı́cio 5.3.
sidere F (x) = f (x); g(x) , onde h ; i denota o produto escalar usual
em Rn . Mostre que F é diferenciável e calcule F ′ (x).
Exercı́cio 5.4. Seja A matriz n × n, g: Rn → R função diferenciável
e defina F (x) = g(Ax). Mostre que F ′ (x) = AT g ′ (Ax), ∀x, onde AT
é a transposta de A.
Observe que, em particular, se F (x) = 21 kAxk22 , então F ′ : Rn → Rn
é dada por F ′ = AT A.
Exercı́cio 5.5. Seja F (x) = hAx; xi, ∀x ∈ Rn . Mostre que F ′ =
AT + A. Calcule G′ para G(x) = hAx; Bxi, A e B matrizes n × n.
Exercı́cio 5.6. Diz-se que uma função f : Rn → R é p-homogênea
se f (λx) = λp f (x), ∀λ > 0. Mostre
que toda função p-homogênea e
diferenciável
satisfaz a relação x; ∇f (x) = pf (x). Reciprocamente,
se x; ∇f (x) = pf (x), ∀x ∈ Rn , então f é p-homogênea. Dê exemplo
de função p-homogênea. Existe função p-homogênea descontı́nua?
Exercı́cio 5.7. Sabemos que o TVM é válido para funções diferen-
ciáveis de Rn em R, isto é; se x1 , x0 ∈ Rn , então existe t ∈ ]0, 1[ tal
que
f (x1 ) − f (x0 ) = f ′ (xt )(x1 − x0 ) = ∇f (xt ); x1 − x0 ,
onde xt = x0 + t(x1 − x0 ).
a) Verifique que o TVM não vale para funções de Rn em Rm se
m > 1.
b) Mostre que vale a Desigualdade do Valor Médio: se f : Rn → Rn ,
então
kf (x1 ) − f (x0 )k2 ≤ kf ′ (xt )(x1 − x0 )k2 .
Em particular, vale a desigualdade
kf (x1 ) − f (x0 )k2 ≤ kf ′ (xt )kk(x1 − x0 )k2 ,
Funções Diferenciáveis 75
Exercı́cio 5.14. Calcule PC (x) e f (x) definida por (5.12) para cada
um dos seguintes convexos:
(a) C = [0, +∞[;
(b) C = [0, 1];
(c) C = [0, +∞[ ×[0, +∞[
(d) C = BR (0) a bola de raio R e centro em zero de RN .
Descreva o operador de projeção PC nos três primeiros casos acima
usando a notação
x + |x|
x+ = max{x, 0} = .
2
Exercı́cio 5.15. Seja f : U ⊂ Rn → R função Lipschitz, U aberto e
x0 ∈ U . Suponha que, para todo h ∈ Rn , existe o limite
f (x0 + λh) − f (x0 )
g(h) = lim (5.17)
λ→0 λkhk
e que a aplicação g: RN → R definida por (5.17) é linear em h. Mostre
que f é diferenciável em x0 .
6
Curvas em Rn
onde cada γi (t) é uma função real da variável real t, com t percorrendo
um dado intervalo I ⊂ R.
A trajetória da partı́cula é uma curva em R3 e (6.1) são denomi-
nadas equações paramétricas da curva (ou da trajetória), sendo t o
parâmetro.
Se denotarmos por γ: I → R3 a função dada por
γ(t) = γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t) ,
Curvas Retificáveis
onde P = {t0 < t1 < · · · < tm−1 < tm } é uma partição de I, isto
é, um conjunto finito de pontos de I. Além disso, segue da desigual-
dade triangular que as somas em (6.2) aumentam se a partição P for
refinada. Portanto, é razoável que o comprimento de γ seja dado pelo
supremo das somas em (6.2) para todas as possı́veis partições de I.
Para formalizar estas idéias, denotemos por P a coleção de todas as
partições do intervalo I.
Definição 6.2: Uma curva γ: I → Rn é retificável se existe M > 0
tal que
Xm
kγ(ti ) − γ(ti−1 )k ≤ M,
i=1
é denominado o comprimento de γ.
Curvas Diferenciáveis
′
Pmsegue′ da continuidade de t 7→ kγ (t)k que as somas
Por outro lado,
de Riemann i=1 kγ (ti−1 )k∆ti convergem para a integral, isto é,
existe δ1 > 0 tal que se ∆ti < δ1 então
Z m
b X ε
′ ′
kγ (t)k dt − kγ (ti−1 )k∆ti < .
a 2
i=1
γ2 (t) = γ1 (t),
γ3 (s) = γ1 (s + 1) = x + sh.
f (x+h) = f (x)+ g γ3 (s) ; γ3′ (s) ds = f (x)+ g γ3 (s) ; h ds.
0 0
(6.6)
Podemos ainda reescrever (6.6) na forma f (x+h) = f (x)+ g(x); h +
ǫ(h), onde
Z 1
ǫ(h) = g γ3 (s) − g(x); h ds. (6.7)
0
Como g é contı́nua em Ω, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se ky−xk <
δ, então kg(y) − g(x)k < ε. Portanto, se khk < δ, temos de (6.7)
|ǫ(h)|
≤ kg(γ3 (s)) − g(x)k < ε.
khk
′
d d
g γs (t) γs (t); γs′ (t) dt = g ′ γs (t) γs′ (t); γs (t) dt.
0 ds 0 ds
d
g γs (t) ; γ1 (t) − γ0 (t) = g ′ γs (t) γs′ (t); γ1 (t) − γ0 (t)
dt
+ g γs (t) ; γ1′ (t) − γ0′ (t) ,
86 Cálculo Avançado I
podemos escrever
Z 1
′ d
Φ (s) = g γs (t) ; γ1 (t) − γ0 (t) dt = 0.
0 dt
Portanto Φ(s) é função constante e concluı́mos
Z Z
g · dγ = Φ(1) = Φ(0) = g · dγ
γ1 γ0
e temos a conclusão pelo Teorema 6.8.
Observação: A hipótese sobre a convexidade de Ω no Teorema 6.9
não é necessária, mas o resultado não pode ser estendido a todos os
abertos conexos, como se pode ver pelo seguinte exemplo.
Exemplo: Seja Ω = (x1 , x2 ) ∈ R2 ; 1/4 < x21 + x22 < 4 . Seja
g: Ω → R2 a função definida por
−x2 x1
g(x1 , x2 ) = , .
x21 + x22 x21 + x22
É fácil ver que g é de classe C 1 em Ω e que g ′ (x1 , x2 ) é matriz
simétrica para todo (x1 , x2 ) ∈ Ω. No entanto, g não é campo con-
servativo em Ω. De fato, considerando γ1 , γ2 : [0, 1] → Ω as curvas
definidas por
γ1 (t) = (cos πt, sen πt) e γ2 (t) = (cos πt, − sen πt),
então γ1 e γ2 ligam (1, 0) a (−1, 0) e
Z Z
π= g · dγ 6= g · dγ = −π.
γ1 γ2
Portanto, não existe f : Ω → R diferenciável tal que f ′ (x) = g(x) para
todo x ∈ Ω.
Por outro lado, g é de classe C 1 no convexo Ω1 = (x1 , x2 ) ∈
R2 ; x1 > 0 e g ′ (x1 , x2 ) é simétrica para todo (x1 , x2 ) ∈ Ω1 . Pelo
Teorema 6.9 existe f : Ω1 → R um potencial de g em Ω1 . De fato, um
cálculo simples mostra que f (x1 , x2 ) = arctan(x2 /x1 ) é potencial de
g em Ω1 .
f (x1 , x2 ) = − arctan(x
Analogamente, 1 /x2 ) é potencial de g no con-
vexo Ω2 = (x1 , x2 ) ∈ R2 ; x2 > 0 .
Uma generalização do Teorema 6.9 pode ser obtida fazendo-se uso do
Teorema de Stokes.
n
Curvas em R 87
Conservação da Energia
d
E(t) = m γ ′ (t); γ ′′ (t) − ∇f γ(t) ; γ ′ (t)
dt
= mγ ′′ (t) − g γ(t) ; γ ′ (t) = 0.
Exercı́cios
onde Ω = (x, y) ∈ R2 ; y > −x . Mostre que g é campo gradiente
em Ω e determine o potencial f : Ω → R tal que ∇f = g.
7
Derivadas de Ordem Superior
1
f ′ (x0 +th); h dt = f ′ (x0 ); h + f ′′ (x0 )h; h + E(th); h dt.
0 2 0
Como Z 1
f ′ (x0 + th); h dt = f (x0 + h) − f (x0 ),
0
temos a identidade
Z 1
1
f (x0 + h) − f (x0 ) = f ′ (x0 ); h + f ′′ (x0 )h; h + E(th); h dt.
2 0
Como E é o(khk), dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se kξk < δ, então
kE(ξ)k < εkξk. Em particular, se khk < δ, então kE(th)k < εkhk,
para todo t ∈ [0, 1] e concluı́mos a prova.
Sabemos do Cálculo Diferencial que se f : R → R é duas vezes de-
rivável e convexa, então f ′ é função monótona crescente e f ′′ é função
positiva. Estes fatos podem ser generalizados para funções f : Rn → R
se consideradas as extensões apropriadas dos conceitos de crescente
e positiva respectivamente para vetores e matrizes.
Derivadas de Ordem Superior 93
ǫ(ξ)
f (x1 ) − f (x0 ) ≥ f ′ (x0 ); x1 − x0 + kx1 − x0 k.
kξk
Fazendo t → 0, concluı́mos
f (x1 ) − f (x0 ) ≥ f ′ (x0 ); x1 − x0 .
94 Cálculo Avançado I
Mutatis mutandis,
f (x0 ) − f (x1 ) ≥ f ′ (x1 ); x0 − x1
e temos a conclusão.
Provemos a implicação contrária “⇐”. Sabemos da Análise Real que
se ϕ: R → R é derivável e ϕ′ é crescente, então ϕ é convexa.
Sejam
x1 , x0 ∈ Rn e consideremos ϕ(t) = f x0 + t(x1 − x0 ) . Como f é
ϕ′ (t1 ) − ϕ′ (t0 ) = f ′ x0 + t1 (x1 − x0 ) − f ′ x0 + t0 (x1 − x0 ) ; x1 − x0 .
Como x0 + t1 (x1 − x0 ) − x0 + t0 (x1 − x0 ) = (t1 − t0 )(x1 − x0 ),
podemos escrever
(t1 − t0 ) ϕ′ (t1 ) − ϕ′ (t0 ) = f ′ (xt1 ) − f ′ (xt0 ); xt1 − xt0 ,
′ kǫ(λu)k
g (x0 )u; u ≥ − .
kλuk
A Matriz Hessiana
f ′′ : Ω → L(Rn , Rn ).
∂2f ∂2f ∂2f
(x ) (x ) ... (x0 )
∂ 2 x1 0 ∂x2 ∂x1 0 ∂xn ∂x1
′′
f (x0 ) = .. .. .. ..
.
∂2f. . .
2 2
∂ f ∂ f
(x ) (x ) ... (x0 )
∂x1 ∂xn 0 ∂x2 ∂xn 0 2
∂ xn
Máximos e Mı́nimos
′ ε(λu)
f (x0 ); u + ≥ 0.
λ
1
f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 ); h + f ′′ (x0 )h; h + ǫ(h).
2
1
′′ ǫ(λu)
f (x0 )u; u + ≥0
2 λ2
para todo vetor unitário u e para todo λ ∈ ]0, r[. Obtemos o resultado
no limite quando λ → 0.
Teorema 7.8: Seja Ω ⊂ Rn aberto e f : Ω → R uma função duas
vezes diferenciável em x0 ∈ Ω. Se f ′ (x0 ) = 0 e f ′′ (x0 ) é matriz
positiva definida, então x0 é ponto de mı́nimo local de f .
Prova: Pelo Lema 7.1, temos
1
′′
f (x0 + h) = f (x0 ) + f (x0 )h; h + ǫ(h), (7.5)
2
para todo h suficientemente pequeno, onde ǫ(h) é função o khk2 .
′′
Seja µ = min{ f (x0 )u; u ; kuk = 1}. Como f ′′ (x0 ) é positiva
definida, segue que µ > 0 e vale a desigualdade
′′
f (x0 )h; h ≥ µkhk2 , ∀h ∈ Rn . (7.6)
ε
g(x) = f (x) + kxk22 .
2
ε
max f (x) ≤ max g(x) = max g(x) = max f (x) + r2 .
kxk≤r kxk≤r kxk=r kxk=r 2
ε
max f (x) ≤ max f (x) + r2 .
kxk≤r kxk=r 2
∂2g ∂2g
(0, 0) = (0, 0).
∂t∂s ∂s∂t
Prova: Seja Φ(s, t) = g(s, t) − g(s, 0) − g(0, t) + g(0, 0). Para t
fixado, consideremos a função ϕ(s) = g(s, t) − g(s, 0) que é derivável
na variável s. O Teorema do Valor Médio garante a existência de
0 < θ1 < 1 tal que
′ ∂g ∂g
Φ(s, t) = ϕ(s) − ϕ(0) = sϕ (θ1 s) = s (θ1 s, t) − (θ1 s, 0) .
∂s ∂s
(7.7)
Aplicando novamente o TVM (com relação à variável t) no termo da
direita de (7.7), obtemos para algum 0 < θ2 < 1
∂2g
Φ(s, t) = st θ1 s, θ2 t . (7.8)
∂t∂s
Para s fixado, consideremos a função ψ(t) = g(s, t) − g(0, t) que
é derivável na variável t. De modo análogo ao anterior, existem
0 < θ3 , θ4 < 1 tais que
Φ(s, t) = ψ(t) − ψ(0) = tψ ′ (θ3 t)
∂g ∂g
=t (s, θ3 t) − (0, θ3 t) (7.9)
∂t ∂t
2
∂ g
= st θ4 s, θ3 t .
∂s∂t
102 Cálculo Avançado I
∂2g ∂2g
st θ1 s, θ2 t = st θ4 s, θ3 t , ∀s, t.
∂t∂s ∂s∂t
A conclusão da prova segue da passagem ao limite para (s, t) → (0, 0)
e da continuidade em (0, 0) das derivadas parciais de segunda ordem
de g.
Sintetizando os resultados anteriores, temos o seguinte critério:
Corolário 7.15: Seja Ω ⊂ Rn aberto e f : Ω → R uma função de
classe C 2 . Se ∆f (x0 ) > 0 então existe R > 0 tal que para todo r ≤ R
o máximo de f sobre a aderência da bola Br (x0 ) é atingido sobre a
fronteira kx − x0 k = r. Em particular, se f ′ (x0 ) = 0, então x0 não é
máximo local de f em Ω.
Exercı́cios
Exercı́cio 7.1. Seja f : Rn → Rm linear. Mostre que f ′ (x) = f ,
∀x ∈ Rn , isto é, f ′ (x)h = f (h), ∀x, h ∈ Rn . Observe também que f ′
é constante e, portanto, f ′′ ≡ 0.
Exercı́cio 7.2. Seja ϕ: Rn → Rn função diferenciável tal que
kϕ′ (x)kL(Rn ) ≤ α, ∀x ∈ Rn .
é função convexa.
Exercı́cio 7.4. Calcule f ′′ (x) para cada uma das funções f : Rn → R.
Observe que em todos os casos f ′ é linear e portanto f ′′ : Rn → Mn×n
é constante.
1 1
f (x) = kxk22 , f (x) = kAxk22 ,
2 2
f (x) = hAx; xi, f (x) = hAx; Bxi.
g ′ (x) = AT f ′ (Ax)
g ′′ (x) = AT f ′′ (Ax)A
1
Jf (x) 6= 0 ∀x ∈ D e kf (x) − xk2 ≤ ∀x ∈ D.
3
Exercı́cio 7.9.
a) Seja A matriz n × n semipositiva definida, isto é hAx; xi ≥ 0
∀x ∈ Rn e defina a função g(x) = Ax. Mostre que g é monótona
positiva. Seja Fλ (x) = x + λAx, com λ > 0. Mostre que Fλ é
bijetora em Rn .
b) Seja f monótona positiva e considere Fλ (x) = x + λf (x), com
λ > 0. Mostre que Fλ é injetora. Se Fλ0 é sobrejetora para
algum λ0 , mostre que Fλ é sobrejetora para todo λ > 0.
Sugestão: Dado y ∈ Rn , considere a função
λ0 λ − λ0
Φλ (x) = Fλ−1 y+ x .
0
λ λ
Em particular,
Z 1
kf (x + h) − f (x) − Ahk ≤ kf ′ (x + th) − Akkhk dt.
0
m: = inf{u(x) ; x ∈ K} = u(x∗ ).
Portanto,
T
f ′ (x̄) f (x̄) − ȳ = 0.
T
Como det f ′ (x̄) = det f ′ (x̄) = Jf (x̄) 6= 0, segue que f (x̄) = ȳ, e
a afirmativa esta provada.
Etapa 3: Se U = Bδ2 (x0 ) e V = f (U ), então f −1 : V → U é diferen-
ciável.
Seja y ∈ V e tome r > 0 tal que y + k ∈ V ∀k tal que kkk < r e
h = f −1 (y + k)− f −1 (y) = f −1 (y + k)− x. Então k = f (x+ h)− f (x).
O Teorema da Função Inversa 109
kBef (h)k
lim =0 (8.4)
k→0 kkk
Como na Etapa 1,
1
kkk = kf (x + h) − f (x)k ≥ kAhk
2
Como khk ≤ kA−1 kkAhk, temos
1
kAhk ≥ khk.
kA−1 k
Portanto,
1
kkk ≥ khk
2kA−1 k
e
kBef (h)k kBkkef (h)k kef (h)k
0≤ ≤ 1 = 2kA−1 kkBk
kkk 2kA−1 k khk khk
Etapa 4: f −1 : V → U é de classe C 1 .
Vamos denotar A = f ′ (x1 ) e B = f ′ (x2 ). Visto que B −1 − A−1 =
B −1 (A − B)A−1 , obtemos
∂ϕ ∂ϕ
x +y = xy (8.9)
∂x ∂y
e obtemos
1
kf −1 (y1 ) − f −1 (y2 )k ≤ ky1 − y2 k.
1−α
é homeomorfismo.
Etapa 2: Existe δ2 > 0 tal que f : Bδ2 (x0 ) → f Bδ2 (x0 ) é difeomor-
fismo.
116 Cálculo Avançado I
Exercı́cios
Exercı́cio 8.1. Seja f : R2 → R2 definida por
f (x, y) = (ex cos y, ex sen y).
Qual a imagem de f ? Mostre que o Jacobiano de f não é nulo em
nenhum ponto de R2 . Pelo teorema da função inversa, todo ponto
de R2 tem uma vizinhança onde f é biunı́voca. Entretanto f não é
injetora em R2 . Quais são as imagens por f das retas paralelas aos
eixos coordenados?
Exercı́cio 8.2. Para cada uma das funções abaixo determinar: (1)
quais são sobrejetivas; (2) quais são injetivas; (3) o Jacobiano; (4) os
pontos de R2 onde não se aplica o Teorema da Função Inversa.
a) f : R2 → R2 dada por f (x, y) = (ax + by, cx + dy)
p
b) f : ]0, ∞[×R → R2 dada por f (x, y) = ( x2 + y 2 , arc tan y/x);
c) f : R2 → R2 dada por f (x, y) = (xy 2 , x2 y);
d) f : R2 → R2 dada por f (x, y) = (x3 − y, y 3 + x).
Exercı́cio 8.3. Seja f : R3 \ P → R3 , f = (f1 , f2 , f3 ) definida por
fi (x1 , x2 , x3 ) = xi /(1 + x1 + x2 + x3 ), onde
P = {(x1 , x2 , x3 ) | 1 + x1 + x2 + x3 = 0}.
Calcule o Jacobiano Jf ((x1 , x2 , x3 ). Mostre que f é injetora e calcule
f −1 .
O Teorema da Função Inversa 117
eξ + e−ξ eξ − e−ξ
cosh ξ = , senh ξ = .
2 2
Mais precisamente, se ϕ:
√ √[−1, 1] → R é a função definida por ϕ(x) =
1 − x2 (ou ϕ(x) = − 1 − x2 ), então ϕ está implı́cita na equação
da circunferência.
De modo análogo, a equação 5x2 + 5y 2 − 6xy − 8 = 0 descreve uma
elipse centrada em (0, 0).
1.6
1.4
1.2
1
y0.8
0.6
0.4
0.2
–1.6 –1.2 –1 –0.8 –0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
–0.2 x
–0.4
–0.6
–0.8
–1
–1.2
–1.4
–1.6
Figura 9.1
120 Cálculo Avançado I
Bx + Cy = 0 ⇒ y = −C −1 Bx.
Portanto,
Como
′ ∂f
JF (z0 ) = det F (z0 ) = det (z0 ) 6= 0,
∂y
O Teorema da Função Implı́cita 123
f (x, y) = 0 ⇐⇒ y = g(x, 0)
Multiplicadores de Lagrange
Então f ′ (x0 ) e g ′ (x0 ) são linearmente dependentes, isto é, existe (mul-
tiplicador de Lagrange) λ ∈ R tal que ∇f (x0 ) = λ∇g(x0 ).
Prova: Se g ′ (x0 ) 6= 0, podemos supor sem perder a generalidade que
∂g
∂xn (x0 ) 6= 0. Seja λ ∈ R tal que
∂f ∂g
(x0 ) = λ (x0 ).
∂xn ∂xn
Para concluir a prova, basta mostrar que
∂f ∂g
(x0 ) = λ (x0 )
∂xi ∂xi
se verifica para i = 1, . . . , n − 1.
Se denotarmos x = (x̃, y) ∈ Rn−1 × R, x0 = (x̃0 , y0 ), então g é de
classe C 1 , g(x̃0 , y0 ) = 0 e
∂g ∂g
(x0 ) = (x̃0 , y0 ) 6= 0,
∂xn ∂y
segue do Teorema da Função Implı́cita que existe uma vizinhança
aberta Ω ⊂ Rn−1 de x̃0 e uma função ϕ: Ω → R de classe C 1 tais que
ϕ(x̃0 ) = y0 e
g x̃, ϕ(x̃) = 0, ∀x̃ ∈ Ω. (9.3)
Além disso, como
f x̃0 , ϕ(x̃0 ) ≤ f x̃, ϕ(x̃) , ∀x̃ ∈ Ω,
verificamos que x̃0 ∈ Ωé ponto de mı́nimo para a função diferenciável
x̃ 7→ ψ(x̃) = f x̃, ϕ(x̃) . Portanto, ψ ′ (x̃0 ) = 0 e temos da Regra da
Cadeia,
∂f ∂f
[ψ ′ (x̃0 )] = (x0 ) + (x0 ) [ϕ′ (x̃0 )] = 0. (9.4)
∂ x̃ ∂y
Derivando a equação (9.3) em relação a x̃, obtemos
∂g ∂g
(x0 ) + (x0 ) [ϕ′ (x̃0 )] = 0. (9.5)
∂ x̃ ∂y
Multiplicando a equação (9.5) por λ e subtraindo de (9.4), obtemos
a conclusão
∂f ∂g
(x0 ) = λ (x0 ) .
∂ x̃ ∂ x̃
O Teorema da Função Implı́cita 125
Aplicações
para todo x ∈ Rn .
Seja S = x ∈ Rn ; g(x) = 0 . O conjunto S é a esfera unitária para
a norma k kp . Como S é compacto, existe x ∈ S ponto de máximo
de f sobre S, isto é,
f (x) ≥ f (x), ∀x ∈ S.
n
X
∇g(x); x = p |xi |p−1 > 0.
i=1
Pelo Teorema 9.2, existe λ ∈ R tal que ∇f (x) = λ∇g(x), isto é,
Somando em i = 1, . . . , n, obtemos
|x|p |y|q
|xy| ≤ + .
p q
Prova: Consideremos as funções f, g: Ω+ → R definidas por
1 p 1 q
f (x, y) = |x| + |y| , e g(x, y) = xy − 1,
p q
onde Ω+ = (x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0 . A função f é de classe C 1
pois p, q > 1 e ∇f (x, y) = |x|p−2 x, |y|q−2 y para todo (x, y) ∈ R2 .
O Teorema da Função Implı́cita 127
1 p 1 q
|x| + |y| ≥ xy.
p q
∂g
onde a submatriz (x0 ) é inversı́vel.
∂z
Como g é de classe C 1 e g(y0 , z0 ) = 0, segue do Teorema da Função
Implı́cita que existe U ⊂ Rk vizinhança aberta de y0 e ϕ: U → Rm
de classe C 1 tal que ϕ(y0 ) = z0 e
g y, ϕ(y) = 0, ∀y ∈ U. (9.10)
O Teorema da Função Implı́cita 129
Exercı́cios
em termos de B e C.
d) Se B é inversı́vel e kCk < 1/kB −1 k, mostre que a equação
φ(x, y) = 0 pode ser resolvida com x em função de y numa
vizinhança de 0 ∈ Rn .
Exercı́cio 9.7. Seja f : R → R contı́nua tal que f (x) > 0 se x > 0,
satisfazendo Z 1
f (t) dt = 2.
0
f (x1 , . . . , xn ) = (x1 x2 · · · xn )2
Convergência Uniforme
Segue a conclusão.
A convergência uniforme preserva as “boas” propriedades. De fato,
Teorema 10.6: Seja x0 ∈ A ∩ A′ e {fk } seqüência de função contı́-
u
nuas em x0 . Se fk −→ f em A, então f é contı́nua em x0 .
Prova: Seja x ∈ A. Então
Dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que se k ≥ k0 , kfk (x) − f (x)k < ε/3,
∀x ∈ A. Portanto, fixando k = k0 em (10.2), temos
2ε
kf (x) − f (x0 )k < + kfk0 (x) − fk0 (x0 )k.
3
Seqüências de Funções 137
u
Prova: Se fk −→ f em A, então {fk } é uniformemente de Cauchy.
Assim, dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que
Além disso, como limx→x0 fk1 (x) = µk1 , existe δ > 0 tal que se
0 < kx − x0 k < δ, então kfk1 (x) − µk1 k < ε/3 e concluı́mos a prova.
Teorema 10.8: Seja {fk }k uma seqüência de funções de F [a, b]; R
u
tal que cada fk é função Riemann-integrável em [a, b]. Se fk −→ f
em [a, b], então f é integrável em [a, b] e
Z b Z b
lim fk (x) dx = f (x) dx.
k→∞ a a
Prova: Seja P = a = x0 < x1 < · · · < xm = b uma partição de
[a, b] e consideremos
Mik = sup fk (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ] , Mi = sup f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ] ,
mki = inf fk (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ] , mi = inf f (x) ; x ∈ [xi−1 , xi ] .
Consideremos também
m
X m
X
U (fk , P ) = Mik ∆xi e L(fk , P ) = mki ∆xi ,
i=1 i=1
Prova: Seja ϕ(x) = fk (x) − fl (x), x ∈ [a, b]. Então, pelo Teorema
do Valor Médio, ϕ(x) − ϕ(y) = ϕ′ (ξ)(x − y), para algum ξ entre x e
y. Portanto, para y = x0 ,
fk (x) − fl (x) − fk (x0 ) + fl (x0 ) = fk′ (ξ) − fl′ (ξ) (x − x0 ). (10.5)
Como fk é derivável, vemos que limt→x Φk (t) = fk′ (x). Por outro
lado, é fácil ver que Φk converge pontualmente em [a, b] \ {x} para a
função
f (t) − f (x)
Φ(t) = , t ∈ [a, b] \ {x}.
t−x
140 Cálculo Avançado I
u
Se provarmos que Φk −→ Φ em [a, b] \ {x}, podemos usar o Teorema
10.7 para concluir a demonstração.
Com efeito, pelo Teorema do Valor Médio,
Logo,
|fk (x) − f (x)| ≤ |fk (x0 ) − f (x0 )| +
Z 1
+ kfk′ γx (t) − g γx (t)) kkγx′ (t)k dt ≤ Mk med(γx ).
0
e concluı́mos a prova.
142 Cálculo Avançado I
k
X
Φk (x) = fi (x).
i=1
Séries de Potências
Como α < R, p
k
lim sup |ak |α < 1.
k→∞
144 Cálculo Avançado I
P∞
Logo a série numérica k=1 ak αk é convergente e concluı́mos a con-
vergência uniforme da série de potências pelo Teorema 10.12.
Observação: As funções definidas por séries de potências são infini-
tamente deriváveis no intervalo de convergência e suas derivadas são
obtidas derivando-se a série termo a termo. De fato, seja
k
X
ϕk (x) = aj (x − x0 )j , x ∈ IR =]x0 − R, x0 + R[,
j=0
p P∞
onde R = 1/ lim supk→∞ k |ak | e ϕ a série de potências j=1 aj (x −
x0 )j (ϕ é o limite pontual de ϕk em IR ). Como ϕk é derivável,
P
ϕ′k (x) = kj=0 jaj (x − x0 )j−1 e
p
k
p
lim sup (k + 1)|ak+1 | = lim sup k |ak | = 1/R,
k→∞ k→∞
p
segue do Teorema 10.13 que existe ψ: IR → R tal que ϕ′k −→ ψ em
u
IR e ϕ′k −→ ψ em todo intervalo I tal que I seja contido em IR .
Portanto, pelo Teorema 10.9, ϕ é derivável em IR e ϕ′ = ψ. Como
podemos repetir este argumento ao infinito, temos a conclusão.
A Matriz Exponencial
podemos perguntar:
Problema: Para quais X ∈ M temos a convergência pon-
tual da seqüência {Φk }k ? Onde ocorre a convergência uni-
forme?
Com argumentos análogos aos anteriores podemos mostrar que existe
p
Φ: BR (X0 ) → M tal que Φk −→ Φ em BR (X0 ) = X ∈ M ; kX −
X0 k < R , com R definido por (10.7).
Φ é denominada
P∞ Série de Potências em torno de X0 , que denotamos
por k=1 ak (X − X0 )k e, por analogia, BR (X0 ) o seu intervalo de
convergência.
Com argumentos análogos aos anteriores (veja Teorema 10.13), pode-
mos provar o seguinte resultado sobre a convergência uniforme de
séries de potências em M.
P∞
Teorema 10.13 (bis): Seja k=1 ak (X − X0 )k uma série de potên-
cias em torno de X0 em M = Mn×n e S um subconjunto de BR (X0 )
tal que S ⊂ BR (X0 ), onde R é definido por (10.7). Então a série
converge uniformemente em S.
Exemplo: (A Matriz Exponencial) Seja Φk : M → M definida por
1 1
Φk (X) = I + X + X 2 + · · · + X k .
2 k!
p p
Como limk→∞ k 1/k! = 0, existe Φ: M → M tal que Φk −→ Φ
em M e uniformemente em qualquer conjunto limitado de M. Φ é
denominada a Matrix Exponencial de X que denotamos por eX ou
exp(X), isto é
∞
X 1 k
exp(X) = X . (10.8)
k!
k=0
146 Cálculo Avançado I
Exercı́cios
Mostre que
n
fk (x) = 1 se x ∈ {1/k!, 2/k!, . . . , 1},
0 senão
e que fk converge pontualmente em [0, 1] para a função
n
1 se x é racional,
f (x) =
0 se x é irracional.
u
kfk − f k∞ → 0 ⇐⇒ fk −→ f em K.
L k tk
kΨk (γ1 )(t) − Ψk (γ2 )(t)k ≤ kγ1 − γ2 k∞ , ∀t ∈ [0, T ]. (11.4)
k!
Passando ao supremo em t ∈ [0, T ] na desigualdade (11.4), temos
Lk T k
kΨk (γ1 ) − Ψk (γ2 )k∞ ≤ kγ1 − γ2 k∞ .
k!
152 Cálculo Avançado I
O Teorema de Arzelà-Ascoli
Uma das diferenças marcantes entre o Rn (ou mais geralmente entre
um espaço de dimensão finita) e C(K; Rm ) é sobre a caracterização
dos conjuntos compactos. Por exemplo, os fechados e limitados de
C(K; Rm ) não são necessariamente compactos.
De fato, mostremos que a bola fechada
B = f ∈ C [0, 1]; R ; kf k∞ ≤ 1
não é compacto em C([0, 1], R). Seja
x2
fk (x) = , x ∈ [0, 1].
x2 + (1 − kx)2
p
É fácil ver que kfk k∞ ≤ 1 e que fk −→ 0 em [0, 1]. Se B fosse
compacto, a seqüência {fk } admitiria uma subseqüência convergente
(necessariamente a zero), o que é impossı́vel, pois
kfk k∞ = |fk (1/k)| = 1.
1.2
0.8
y
0.6
0.4
0.2
Figura 11.1
m
O Espaço C(K;R ) 153
Bε (f ) = {g ∈ C(K, Rm ) ; kg − f k∞ < ε}
Mas kfi0 (x) − fi0 (y)k < ε pois kx − yk < δ ≤ δi0 e kf − fi0 k∞ < ε
pois f ∈ Bε (fi0 ).
Portanto kf (x) − f (y)k < 3ε, o que implica X equicontı́nuo.
154 Cálculo Avançado I
Prova:
(a) A implicação “⇐” é óbvia. Provemos então “⇒”.
Se X é equicontı́nuo, dado ε > 0, ∃ δ > 0 tal que se kx − yk < δ,
então kf (x) − f (y)k < ε/3 ∀f ∈ X . Seja f ∈ X e considere fk ∈
X com fk −→ f uniformemente em K. Então ∃ k0 ∈ N tal que
kfk (x) − f (x)k < ε/3 se k ≥ k0 . Portanto,
Como kx′ − xj0 k < δ, segue de (11.7) que kfk (x′ ) − fk (xj0 )k < ε.
Além disso, se k, k ′ ≥ k0 segue de (11.8) que kfk (xj0 )− fk′ (xj0 )k < ε.
Como k0 não depende de x′ , concluı́mos que fk converge uniforme-
mente para algum f ∈ C(K, Rm ). Assim f ∈ X e ξ = f (x) ∈ X (x).
≤ εr
e concluı́mos que Φn converge uniformemente para Φ.
Por outro lado, como
Z x
Φn (x) − ψn (x) = f (s, ψn (s)) − ψn′ (s) ds,
x0
podemos escrever
n Z
X xi
|Φn (x) − ψn (x)| ≤ |f (s, ψn (s)) − ψn′ (s)| ds
i=1 xi−1
n Z
X xi
≤ |f (s, ψn (s)) − f (xi−1 , ani−1 )| ds
i=1 xi−1
≤ εr
m
O Espaço C(K;R ) 159
O Teorema de Weierstrass
Como foi mencionado anteriormente, o espaço C(K; Rn ) é um espaço
de Banach quando munido da norma do máximo. Portanto, no que se
refere aos processos de limite, ele apresenta semelhanças com R. Uma
propriedade importante de R, denominada separabilidade, é que R
possui um subconjunto enumerável e denso, a saber, o conjunto dos
números racionais Q.
O resultado que se segue, denominado Teorema de Weierstrass, mos-
tra que C([a, b]; R) também possui esta propriedade, sendo portanto
um espaço separável. A prova que aqui apresentamos é devida a
H. Lebesgue.
Teorema 11.8: Se f ∈ C [a, b]; R , então existe uma seqüência de
polinômios {Pk }k tal que Pk → f uniformemente em [a, b].
Prova: Faremos a prova em duas etapas.
Etapa 1: Consideremos inicialmente a = 0, b = 1 e suponhamos que
f (0) = 0. Como f é uniformemente contı́nua em [0, 1], dado ε > 0
existe δ > 0 tal que
|x − x′ | < δ ⇒ |f (x) − f (x′ )| < ε/2. (11.13)
Seja n ∈ N tal que 1/n ≤ δ e considere a partição P = {x0 , . . . , xn }
de [0, 1] definida por
xi = i/n, i = 0, 1, . . . , n.
Para cada i = 0, 1, . . . , n−1, considere a função ϕi : [0, 1] → R definida
por
ϕ1 (x) = (x − xi )+ .
É fácil ver que {ϕi }i é uma base para o espaço das poligonais ψ que
têm vértices nos pontos de P e que satisfazem ψ(0) = 0. Seja
n−1
X
ψ(x) = αi ϕi (x),
i=0
160 Cálculo Avançado I
1
ϕi (x) = |x − xi | + x − xi ,
2
se provarmos que as funções x 7→ |x − xi |, i = 1, 2, . . . , n − 1, podem
ser aproximadas uniformemente por polinômios em [0, 1], teremos
concluı́do a demostração desta etapa. De fato, suponhamos que exista
um polinômio Qi (x) tal que
|x − xi | − Qi (x) < ε
, ∀x ∈ [0, 1], i = 0, . . . , n − 1,
nM
onde M = max{|α0 |, . . . , |αn−1 |}. Então, considerando
n−1
X 1
P (x) = αi Pi (x), onde Pi (x) = Qi (x) + x − xi ,
i=0
2
temos
kf − P k∞ ≤ kf − ψk∞ + kψ − P k∞ < ε.
Provemos, então, que x 7→ |x − xi |, i = 0, . . . , n − 1, pode ser aproxi-
mada uniformemente por polinômios em [0, 1].
√
A série de Taylor de φ(ξ) = 1 − ξ em torno de ξ = 0 é
∞
1 X (2ν − 3)!
1− ξ+ (−1)ν ν(ν−1)
ξν ,
2 ν=2
ν! (ν − 1)! 2
Aplicação 3: Fluxos
Além disso, se f (t, x) = A(t)x, onde A(t) = [aij (t)] é uma matriz
n × n cujos coeficientes são funções contı́nuas de t, então é fácil ver
que o fluxo gerado por f é dado pela matriz exponencial exp(B(t)),
Rt
onde B(t) = 0 A(s) ds.
O teorema a seguir é um resultado básico da Teoria das Equações
Diferenciais, conhecido como dependência contı́nua das soluções com
relação aos dados iniciais. Ele afirma que se os dados iniciais x0 e x̃0
do problema de valor inicial (11.1) estão próximos, então as respec-
tivas curvas soluções permanecem próximas. Mais precisamente,
Teorema 11.11: Seja f : [0, T ] × Rn → Rn uma função satisfazendo
(11.2). Então o fluxo gerado
por f é uma função Lipschitz-contı́nua
de Rn em C [0, T ], Rn .
A prova é conseqüência imediata da desigualdade de Gronwall.
Lema 11.12: (Gronwall) Sejam α, β ≥ 0 e ϕ: [0, T ] → R uma função
contı́nua e positiva tal que
Z t
ϕ(t) ≤ α + β ϕ(s) ds, ∀t ∈ [0, T ].
0
d −βt
e ψ(t) ≤ 0,
dt
Logo,
Exercı́cios
Determine a função T ∗ : R → R.
Referências