1510066249raciocnio Lgico - MPU - AP 2017
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Questões de Concursos.............................................................................................10
Questões de Concursos.............................................................................................39
PROBABILIDADE,,,,,,,,,,,...........................................................................................64
Questões de Concursos.............................................................................................77
Questões de Concursos.............................................................................................89
CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208. 2222
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CURSO PRIME CENTRO – Av. do Imperador, 1068 – Centro – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2220
RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS
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DIAGRAMAS LÓGICOS
QUANTIFICADORES
TIPOS DE QUANTIFICADORES
a) Quantificador existencial:
É o quantificador que indica a necessidade de “existir pelo menos um” elemento satisfazendo a
proposição dada para que esta seja considerada verdadeira.
É indicado pelo símbolo “”, que se lê “existe”, “existe um” ou “existe pelo menos um”.
Exemplo:
(p) xR / x 3
(q) Existe dia em que não chove.
b) Quantificador universal:
É o quantificador que indica a necessidade de termos “todos” os elementos satisfazendo a proposição
dada para que esta seja considerada verdadeira.
É indicado pelo símbolo “”, que se lê “para todo” ou “qualquer que seja”.
Exemplo:
(m) xR x 5 (Lê-se: “para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5”)
(n) Qualquer que seja o dia, não choverá.
NENHUM (~)
Não existe interseção entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que “nenhum A é B”, garante-se que não existe
um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, “nenhum B é A”.
Ex.:
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ALGUM ()
Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas não necessariamente todos. Por exemplo,
ao dizer que “algum A é B”, garante-se que existe pelo menos um elemento de A que também esteja em B. Sendo
a recíproca verdadeira, ou seja, “algum B é A”.
Ex.:
TODO ()
Um dos conjuntos é subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que “todo A é B”, garante-se que se um elemento
está em A, então ele também está em B, mas não necessariamente se está em B também estará em A.
Ex.:
C: “Todo advogado é bancário”
EXEMPLOS
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SOLUÇÃO:
GULOSO
COMILÃO
GORDINHO
Portanto, podemos concluir que pode existir gordinho que não seja guloso.
02. (IPAD) Supondo que “todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são”, podemos
logicamente concluir que:
a) não pode haver cientista filósofo.
b) algum filósofo é cientista.
c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo.
d) alguns cientistas não são filósofos.
e) nenhum filósofo é objetivo.
SOLUÇÃO:
Dadas as premissas:
A: “todos os cientistas são objetivos”
B: “alguns filósofos são objetivos”
Sejam
O – Objetivos
C – Cientistas
F – Filósofos
Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possíveis:
o o o
1 F C 2 F C 3 F C
O O O
Dessa forma, temos que “se algum filósofo é cientista” ele fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama, o que implica
necessariamente que “esse filósofo será objetivo”, pois “todo cientista é objetivo”.
Resposta: C
03. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas, podemos concluir
logicamente que:
a) nenhum cronópio é fama.
b) não existe cronópio que seja fama.
c) todos os cronópios são famas.
d) nenhum fama é cronópio.
e) algum cronópio não é fama.
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SOLUÇÃO:
Dada a premissa:
A: “Nem todos os cronópios são famas”
Sejam
C – Cronópios
F – Famas
Podemos concluir que “Se nem todo cronópio é fama, então necessariamente existe pelo menos um cronópio que
não é fama”.
Resposta: E
04. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que:
a) Alguns A não é G.
b) Algum A é G.
c) Nenhum A é G.
d) Algum G é A.
e) Nenhum G é A.
SOLUÇÃO:
Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R, então existem alguns A que
nunca serão G.
Resposta: A
OBS.:
Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de como for o diagrama. Mas
como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não, nada se pode afirmar.
05. Através de uma pesquisa, descobriu-se que “nenhum politico é honesto” e que “alguns advogados são
honestos”. Dessa forma, aponte o único item errado.
a) É possível que alguns politicos sejam advogados.
b) Alguns advogados não são politicos.
c) É impossível que algum advogado seja político.
d) Há possibilidade de que nenhum politico seja advogado.
e) Pode ou não haver advogado político.
SOLUÇÃO:
Do enunciado temos os possíveis diagramas, que satisfazem as condições impostas:
o P H o P H
1 2
A A
Cuidado! Não podemos afirmar que “existe A que é P”, nem tão pouco dizer que “não existe A que é P”. O fato é
que pode ou não existir A que seja P, ou seja, podemos até afirmar que “é possível existir um A que seja P”, ou
ainda, “é possível que não exista A que seja P”. Então, será errado dizer que “é impossível que um A seja P”.
Resposta: C
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INVESTIGANDO
As questões de estrutura lógica, também chamadas de investigações, estão presentes na maioria das
provas de raciocínio lógico, mas cada edital descreve esse tipo de questão de maneira diferente. Podemos dizer
que essas questões tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares,
objetos ou eventos fictícios, deduzindo novas informações a partir de relações fornecidas e avaliação das
condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.
Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar
novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pré-existente. A investigação, no sentido de
pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um
conhecimento.
As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, são dadas
pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas,
sem precisar supor. O primeiro passo então, é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa, ou seja, se
todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informações forem verdadeiras, não
haverá necessidade de hipóteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer
suposisções para chegarmos as conclusões.
Para resolver questões de investigação, devemos inicialmente identificar o caso (ordenação, associação
ou suposição) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles.
Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas, objetos,
datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O fato de colocar
os dados fornecidos na ordem desejada permitirá identificar o item correto a ser marcado.
Exemplo:
Em um prédio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor, cada um em um andar diferente. Sabe-se que
Heitor não mora no 1º andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor,
Determine quem mora no 2º andar.
a) Heitor
a) Erick
d) Fred
e) Giles
SOLUÇÃO:
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Como todas as informações dadas são verdadeiras, o que será importante é saber organizar as informações em
uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informações ou características e as linhas
tratam das pessoas. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das
pessoas, iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras.
Exemplo:
(FCC) Em 2015, três Técnicos Judiciários, Alfredo, Benício e Carlos, viajaram em suas férias, cada um para um
local diferente. Sabe-se que:
seus destinos foram: uma praia, uma região montanhosa e uma cidade do interior do Estado;
as acomodações por ele utilizadas foram: uma pousada, um pequeno hotel e uma casa alugada;
o técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada;
Carlos foi a uma cidade do interior;
Alfredo não foi à praia;
Quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos.
SOLUÇÃO:
1) Quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos
Destinos Acomodações
praia montanha interior pousada hotel casa alugada
Alfredo
Benício
Carlos -
Destinos Acomodações
praia montanha interior pousada hotel casa alugada
Alfredo -
Benício
Carlos -
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Destinos Acomodações
praia montanha interior pousada hotel casa alugada
Alfredo - ok -
Benício ok - -
Carlos - - ok -
Destinos Acomodações
praia montanha interior pousada hotel casa alugada
Alfredo - ok - - ok -
Benício ok - - ok - -
Carlos - - ok - - ok
Então:
Resposta: A
Esse último caso requer maior atenção, pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e através da
análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões. Por exemplo, quando um “delegado” procurar descobrir
quem é o verdadeiro culpado entre cinco suspeitos, ele lança mão de hipóteses, ou seja, ele vai supondo que
cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui, a fim de confirmar ou
rejeitar a hipótese.
Exemplo:
(ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um
funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:
Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar
foi:
a) Mário
b) Marcos
c) Mara
d) Manuel
e) Maria
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SOLUÇÃO:
Dados da questão:
Suspeitos
Declarações
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Então:
Resposta: C
QUESTÕES DE CONCURSOS
Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a
desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens.
Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a
condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de
famílias com renda per capila de até um quarto do saIário mínimo, afirma a pesquisa.
Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a
principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não
significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens
de classe média.
Internet < "http/amaivos,uol.combr> (com adaptações)
01. (CESPE) Considerando que Jorge não seja pobre, mas pratique atos violentos, é correto afirmar que Jorge é
um contraexemplo para a afirmação: “Todo indivíduo pobre pratica atos violentos”.
02. (CESPE) A negação da proposição "Toda pessoa pobre é violenta" é equivalente a "Existe alguma pessoa
pobre que não é violenta".
Paulo, Mauro e Arnaldo estão embarcando em um voo para Londres. Sabe-se que:
03. (CESPE) Se a soma das idades dos três passageiros for 75 anos, então as idades de Paulo, Mauro e Arnaldo
serão, respectivamente, 35, 22 e 18 anos
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04. (CESPE) Se a soma das idades dos três passageiros for igual a 100 anos, então a poltrona de numero C4
pertencerá a Mauro, que terá 35 anos.
Três candidatos - Paulo, Sérgio e Renato - se conheceram em Vitória durante o período que antecede a
aplicação das provas de certo concurso. Cada um deles é de uma cidade diferente - Recife, Cuiabá e
Salvador -, e utilizou um meio de transporte diferente para chegar até Vitória - avião, carro e ônibus. Além
disso, sabe-se que Paulo viajou de carro, Sérgio mora em Recife e o candidato que mora em Salvador
viajou de ônibus. Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
07. (CESPE) Certo dia, três seguranças – Antero, Bernardino e Catulo – fiscalizaram áreas distintas de uma
unidade do Tribunal Regional do Trabalho. Sabe-se que, nessa ocasião,
Nessas condições, é correto afirmar que Catulo exerceu a fiscalização em salas de audiência e Bernardino
tinha 6 anos de serviço no Tribunal.
08. (CESPE) Dizer que “todas as senhas são números ímpares” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer
que “pelo menos uma das senhas não é um número ímpar”.
Duas pessoas carregam fichas nas cores branca ou preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha
branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por
outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando
carrega a ficha preta, fala somente verdades.
Se a primeira pessoa diz “nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “nossas fichas
são da mesma cor”, então com base no texto, julgue os itens a seguir.
10. (CESPE) Pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.
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11. (CESPE) Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual
estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que,
no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos.
Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que
Carlos e José mentiram.
Esse diagrama é uma prova de que o argumento a seguir é válido, ou seja, as proposições I e II são
premissas e a proposição III é uma conclusão, pois é verdadeira por consequência das premissas.
Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses
indivíduos fizeram as seguintes declarações.
Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em
suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.
A lógica sentencial, ou proposicional, trata do raciocínio expresso por sentenças, ou proposições, que
podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsa (F), mas que não admitem os julgamentos V e F
simultaneamente. A lógica de primeira ordem também trata do raciocínio expresso por sentenças, ou
proposições, que são julgadas como V ou F dependendo do conjunto, ou domínio, ao qual pertencem os
objetos referenciados nas sentenças e das propriedades, ou predicados, associadas a esses objetos. Na
lógica de primeira ordem, os objetos de um domínio são quantificados por todos, alguns, nenhum etc. As
deduções da lógica proposicional ou da lógica de primeira ordem têm uma estrutura cuja análise permite
decidir se o raciocínio expresso está correto ou não, isto é, se a conclusão é uma consequência
verdadeira das proposições que são colocadas como premissas, sempre consideradas verdadeiras.
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15. (CESPE) Considerando como premissas as proposições “Nenhum universitário é analista judiciário” e “Todo
analista judiciário faz curso de informática”, e como conclusão a proposição “Nenhum universitário faz curso
de informática”, então o raciocínio formado por essas proposições é correto.
16. (CESPE) A dedução expressa por “Todos os dinossauros são animais extintos; existem mamíferos que são
animais extintos; portanto, existem mamíferos que são dinossauros” é um raciocínio correto.
17. (CESPE) Considere que a sequência de proposições a seguir constituam três premissas e a conclusão,
nessa ordem: “Todas as mulheres são pessoas vaidosas”; “Todas as pessoas vaidosas são caprichosas”;
“Existem pessoas tímidas que são mulheres”; “Existem pessoas tímidas que são caprichosas”. Nesse caso,
tem-se uma dedução que expressa um raciocínio correto.
18. (CESPE) Em uma avenida comercial, sabe-se que três lojas consecutivas têm proprietários, cores e produtos
distintos. Sabe-se que o proprietário da loja à direita é Roberto e que Fábio não vende pães e sua loja não é
vermelha. A loja central é verde e a loja de Gustavo não é azul nem vende cigarros. A loja azul não vende
motos e não fica à direita. Se a loja que vende pães está à esquerda da loja que vende motos, então:
a) Fábio vende motos.
b) a loja de Roberto é azul.
c) a loja de Fábio é azul.
d) Roberto vende cigarros.
e) Gustavo vende motos.
19. (CESPE) Em uma investigação, um detetive recolheu de uma lixeira alguns pedaços de papéis
semidestruídos com o nome de três pessoas: Alex, Paulo e Sérgio. Ele conseguiu descobrir que um deles
tem 60 anos de idade e é pai dos outros dois, cujas idades são: 36 e 28 anos. Descobriu, ainda, que Sérgio
era advogado, Alex era mais velho que Paulo, com diferença de idade inferior a 30 anos, e descobriu também
que o de 28 anos de idade era médico e o outro, professor. Com base nessas informações, assinale a opção
correta.
a) Alex tem 60 anos de idade, Paulo tem 36 anos de idade e Sérgio tem 28 anos de idade.
b) Alex tem 60 anos de idade, Paulo tem 28 anos de idade e Sérgio tem 36 anos de idade.
c) Alex não tem 28 anos de idade e Paulo não é médico.
d) Alex tem 36 anos de idade e Paulo é médico.
e) Alex não é médico, e Sérgio e Paulo são irmãos.
Com base nas assertivas que fazem parte do argumento apresentado acima, julgue os itens subsequentes.
Trata-se de exemplo de argumento válido.
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22. (CESPE) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.
Sabendo que, em cada um desses 4 dias, dos presentes, 1 era analista de contabilidade e 3, de
arquivologia; que cada um dos analistas de contabilidade esteve presente em apenas 2 dias; e que
Fernando é analista de arquivologia, julgue os itens seguintes.
Uma empresa incentiva o viver saudável de seus funcionários. Para isso, dispensa mais cedo, duas vezes
por semana, aqueles envolvidos em alguma prática esportiva. Aproveitando a oportunidade, Ana, Bia,
Clara e Diana decidiram se associar a uma academia de ginástica, sendo que escolheram atividades
diferentes, quais sejam, musculação, ioga, natação e ginástica aeróbica. O intuito é manter a forma e, se
possível, perder peso. No momento, o peso de cada funcionária assume um dos seguintes valores: 50 kg,
54 kg, 56 kg ou 60 kg. O que também se sabe é que:
Quatro casais divertem-se em uma casa noturna. São eles: Isabel, Joana, Maria, Ana, Henrique, Pedro,
Luís e Rogério. Em determinado momento, está ocorrendo o seguinte:
a esposa de Henrique não dança com o seu marido, mas com o marido de Isabel;
Ana e Rogério conversam sentados à beira do bar;
Pedro toca piano acompanhando Maria que canta sentada ao seu lado;
Maria não é a esposa de Pedro.
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Quatro casais vão jogar uma partida de buraco, formando quatro duplas. As regras para formação de
duplas exigem que não sejam de marido com esposa. A respeito das duplas formadas, sabe-se que:
30. (CESPE) Carolina não é esposa de Breno, nem de Lucas, nem de Pedro.
31. (CESPE) Amanda não é esposa de Lucas, nem de Rafael, nem de Pedro.
32. (CESPE) A negação da proposição “Todo ser humano é responsável pelo bem que não faz”, é logicamente
equivalente a “Algum ser humano não é responsável pelo bem que faz”.
33. (CESPE) A proposição equivalente a “Todas as mesas são para quatro pessoas” é corretamente enunciada
por “Nenhuma mesa não é para quatro pessoas”:
Nesse caso, se A e B são as premissas de um argumento e C é a conclusão, então esse argumento é válido.
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35. (CESPE) A negação da proposição “Alguns juízes são honestos ou nenhum acusado é culpado” pode ser
expressa por “Nenhum juiz é honesto e todo acusado é culpado”.
36. (CESPE) A negação da proposição “Todo ator sabe cantar e dançar” é equivalente a “Existe ator que não
sabe cantar ou que não sabe dançar”.
Um eleitor deverá escolher um entre os candidatos A, B, C e D. Ele recebeu, de seus amigos, as quatro
seguintes mensagens a respeito desses candidatos:
• Os candidatos A e B são empresários.
• Exatamente dois entre os candidatos A, B e C são empresários.
• O candidato A é empresário.
• O candidato C é empresário.
Com base nas informações apresentadas, julgue os próximos itens, considerando que o eleitor sabe que
exatamente uma das mensagens é falsa e que exatamente um dos candidatos não é empresário.
37. (CESPE) As informações são suficientes para se concluir que o candidato D é empresário.
Mara, Júlia e Lina são assessoras em um tribunal. Uma delas ocupa a função de cerimonialista, outra, de
assessora de assuntos internacionais e a outra, de analista processual. Uma dessas assessoras ocupa a
sua função há exatos 11 anos, outra, há exatos 13 anos, e a outra, há exatos 20 anos. Sabe-se, ainda, que:
Mara não é a cerimonialista e não é a assessora que exerce a função há exatos 11 anos;
a analista processual ocupa a função há exatos 20 anos;
Júlia não é a assessora de assuntos internacionais nem é a assessora que ocupa a função há exatos 13
anos;
Lina ocupa a função há exatos 13 anos.
40. (CESPE) Mara é a assessora que ocupa essa função há mais tempo.
GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
E C C E C E E C C C C E C C E E C C D C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C E E C C C E C E C E E C E E C E C E C
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Trata-se, tão somente, de uma sentença – algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos –
e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso.
Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição, cujo valor lógico é
verdadeiro.
Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos dois possíveis
juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).
Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc.). São outros
exemplos de proposições, as seguintes:
p: Pedro é médico.
q: 5 < 8
r: Luíza foi ao cinema ontem à noite.
Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que
não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de se
entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes:
Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade);
Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não-Contradição);
Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído).
Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos
diante de uma proposição composta. Exemplos:
Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos lógicos – que
poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de
nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas.
Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas
coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de conectivo que as une.
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Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções. Simbolicamente,
esse conectivo pode ser representado por “”. Então, se temos a sentença:
Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjunção só
será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras.
Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta
proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é
estudante.
Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e
a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as
proposições componentes forem falsas.
Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma pequena tabela.
Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento.
Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e Maria é
estudante) será também verdadeira. Teremos:
Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos:
Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos:
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Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora disso não há!
Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma
proposição composta com a presença do conectivo “e”.
Teremos:
TABELA VERDADE
p q pq
V V V
V F F
F V F
F F F
Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo
ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “”. Portanto, se temos a sentença:
Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro! Basta nos
lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola ou te darei uma bicicleta.”
Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta!
Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e
resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que
cumprida. Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o
presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção.
Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas
falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis situações:
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p q pq
V V V
Ou:
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p q pq
V F V
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Ou:
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p q pq
F V V
Ou, finalmente:
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p q pq
F F F
TABELA VERDADE
p q pq
V V V
V F V
F V V
F F F
Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos que ver, mas
com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:
A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a
primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta)
também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será
dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será
dada a bola.
Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas
uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa.
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Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo,
falsas.
Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos dois
conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente
falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva.
E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua
exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra
falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.
O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “”. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte:
TABELA VERDADE
p q pq
V V F
V F V
F V V
F F F
Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. Convém, para facilitar
nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença.
Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua
cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado.
Por exemplo:
Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há um jeito de
essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.
Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense.
Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou cearense, então
este conjunto estará todo falso.
Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) para que se torne
um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras: suficiente e necessário.
Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”,
então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional.
Teremos:
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
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Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro
seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma:
“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o formato da
proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos.
Não podemos, pois esquecer disso:
Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Pensaremos aqui pela
via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição suficiente, mas o resultado necessário
não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a
condicional será verdadeira.
Teremos:
TABELA VERDADE
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas sentenças
simples.
Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser:
“Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre”.
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Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a bicondicional será falsa
somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. Em suma: haverá
duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e consequente forem ambos
verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa.
Sabendo que a frase “p se e somente se q” é representada por “p ↔ q”, então nossa tabela-verdade será
a seguinte:
TABELA VERDADE
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição composta: “se p
então q e se q então p”, ou seja,
No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da
sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos:
Reparemos que, caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não), então para negar
a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim:
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O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), antecedendo a
frase. (Adotaremos o til). Assim, a tabela-verdade da negação é mais simplificada que as demais já vistas.
Teremos:
p ~p
V F
F V
O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. Já sabemos negar
uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura
em que se encontra essa proposição.
Veremos, pois, uma a uma:
E só!
Daí, a questão dirá: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”, e pedirá que encontremos,
entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta fornecida.
Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é verdade que...” é nada
mais nada menos que negar o que vem em seguida.
E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção!
Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma explicada acima:
~(p q) = ~p ~q
TABELA VERDADE
p q pq ~(p q) ~p ~q ~p ~q
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
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Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não
é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”.
Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue está sendo
negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima,
faremos:
~(p q) = ~p ~q
TABELA VERDADE
p q pq ~(p q) ~p ~q ~p ~q
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é
que se nega uma condicional? Da seguinte forma:
Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”?
1º - Mantendo a primeira parte: “Chove” e
2º - Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.
Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.
Na linguagem lógica, teremos que:
~(p → q) = p ~q
TABELA VERDADE (1)
p q p→q ~(p → q)
V V V F
V F F V
F V V F
F F V F
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Observando as últimas colunas das tabelas verdades (1) e (2), percebemos que elas são iguais, ou seja,
ambas apresentam a sequência F V F F, o que significa que ~(p → q) = p ~q .
Na sequência, apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até este
momento.
Vejamos:
Estrutura
É verdade quando É falso quando
lógica
pq p e q são ambos, verdade um dos dois for falso
pq um dos dois for verdade p e q, ambos, são falsos
p→q nos demais casos p é verdade e q é falso
p↔q p e q tiverem valores lógicos iguais p e q tiverem valores lógicos diferentes
~p p é falso p é verdade
negação de (p e q) é ~p ou ~q
negação de (p ou q) é ~p e ~q
negação de (p → q) é p e ~q
negação de (p ↔ q) é [(p e ~q) ou (q e ~p)]
TAUTOLOGIAS E CONTRADIÇÕES
TAUTOLOGIA
Vamos construir a TABELA VERDADE da proposição s considerando-se o que já foi visto até aqui,
teremos:
p q pq pq (p q) → (p q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição
composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.
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s: "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta
plano" é uma proposição logicamente verdadeira.
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição
composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.
CONTRADIÇÃO
Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que
ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.
Exemplo:
A proposição composta t: p ~p é uma contradição, senão vejamos:
p ~p P ~p
V F F
F V F
CONTINGÊNCIA
Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando ela pode ter o valor lógico
verdadeiro ou falso.
p q r (p q) (p q) r
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F F F
F V V F V
F V F F F
F F V F V
F F F F F
NOTA:
n
Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2 linhas.
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não
e
ou
→ se ... então
↔ se e somente se
tal que
Implica
Equivalente
Existe
existe um e somente um
qualquer que seja
O MODIFICADOR NEGAÇÃO
Exemplo 1:
q: “Thiago Pacífico é magro”
~q: “Thiago Pacífico não é magro”
~q: “Não é verdade que Thiago Pacífico é magro”
Exemplo 2:
s: “Fernando Castelo Branco é honesto”
¬s: “Fernando Castelo Branco não é honesto”
¬s: “Não é verdade que Fernando Castelo Branco é honesto”
¬s: “Fernando Castelo Branco é desonesto”
OBS.:
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos , , → e ↔, dando origem
ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos
então formar as seguintes proposições compostas: p q, p q, p → q, p ↔ q.
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir:
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CONJUNÇÃO (E)
A:”Irei à praia”
B:”Irei ao cinema”
TABELA VERDADE
A B AB
V V V
V F F
F V F
F F F
Conclusão:
EXEMPLO:
A:”Irei à praia”
B:”Irei ao cinema”
TABELA VERDADE
A B AB
V V V
V F V
F V V
F F F
Conclusão:
PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: São aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o
“ou” significa dizer que pelo menos uma das premissas deverá ser verdadeira.
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EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Este final de semana Renata ou vai à praia, ou vai ao cinema”.
TABELA VERDADE
A B AB
V V F
V F V
F V V
F F F
Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo. Então, a
afirmação só será verdadeira, se exatamente um das duas premissas for verdadeira.
Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são
excludentes ou não excludentes.
Conclusão:
PREMISSAS EXCLUDENTES: São aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o
“ou” significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado “ou...ou”,
devemos entender que se trata de disjunção excludente.
EXEMPLO:
Analise a afirmação: “Se nasci em Fortaleza, então sou cearense.”
A:”Nasci em Fortaleza”
B:”Sou Cearense”
TABELA VERDADE
A B AB
V V V
V F F
F V V
F F V
Conclusão:
Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente
verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja
verdadeira.
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Observação:
A é condição suficiente para que B ocorra
B é condição necessária para que A ocorra
~B é condição suficiente para que ~A ocorra
~A é condição necessária para que ~B ocorra
CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer)
CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre)
RESUMINDO:
Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito.
Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo.
EXEMPLO:
Atenção:
É o mesmo que:
“Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre”
Ou ainda, dito de outra forma:
“Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre”
TABELA VERDADE
A B AB
V V V
V F F
F V F
F F V
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Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico.
Conclusão:
Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser.
Fica ainda implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da
premissa A também ser.
Observação:
TABELA VERDADE
Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por (0) ou (F) quando falsa
e (1) ou (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada:
TABELA VERDADE
p q pq pq pq p→q p↔q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
TABELAS-VERDADE:
Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições
compostas.
Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente
um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais
proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso?
Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado
por:
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TAUTOLOGIA:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se
ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.
CONTRADIÇÃO:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma contradição se
ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.
CONTINGÊNCIA:
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma
contradição.
A B ¬A ¬B AB ¬B ¬A ¬A B A ¬B
V V F F V V V F
V F F V F F F V
F V V F V V V F
F F V V V V V F
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QUESTÕES RESOLVIDAS
01. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬P) (¬Q) também é verdadeira.
Solução:
P Q ¬P ¬Q (¬P) (¬Q)
V V F F F
Resposta: ERRADO
Solução:
T R ¬T R → (¬T)
V F F V
Resposta: ERRADO
Solução:
P Q R ¬Q PR (P R) → (¬Q)
V V F F F V
Resposta: CERTO
Solução:
n 3
n = 3 (Q, ¬R, P) , então 2 =2 =8<9
Resposta: CERTO
(CESPE) Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS:
Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados no
território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.
Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva
acima.
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05. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da exploração
de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.
Solução:
Se não atingiu a produção de 100 mil barris/dia então não foi instituído.
Resposta: CERTO
06. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados,
então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.
Solução:
Se não instituiu então pode ou não ter atingido a produção de 100 mil barris/dia.
Resposta: ERRADO
07. Se João é rico, , Maria é bonita. Se Maria é bonita, José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro.
Logo:
a) Maria é bonita
b) João é rico
c) José é rico
d) João não é rico
e) Maria é rica
Solução:
Então:
João não é rico
Maria não é bonita
José não é carpinteiro
Resposta: D
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08. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretaria. Se Ana é advogada, então Paula não é professora.
Ora, Paula é professora, portanto:
a) Ana é advogada
b) Sandra é secretária
c) Ana é advogada ou Paula não é professora
d) Ana é advogada e Paula é professora
e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária.
Solução:
Então:
Ana não é advogada
Sandra é secretaria
Paula é professora
Resposta: B
09. Receber dinheiro é condição suficiente para eu viajar. Viajar é condição suficiente para eu ficar feliz.
Fazer uma boa ação é condição necessária para eu ficar feliz. Sabendo que eu recebi dinheiro, então:
a) Estou feliz e fiz uma boa ação.
b) Estou feliz, mas não fiz uma boa ação.
c) Não estou feliz, mas fiz uma boa ação.
d) Não estou feliz e não fiz uma boa ação.
Solução:
Então:
Recebi dinheiro
Eu viajei
Fiz boa ação
Eu estou feliz
Resposta: A
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10. (CESPE/UNB) Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição
falsa, a proposição (p r) → (q s) será:
a) verdadeira, somente se p for verdadeira
b) verdadeira, somente se q for verdadeira
c) verdadeira, para qualquer valores lógicos de p e q
d) falsa, se p for verdadeira e q falsa
e) falsa, se p e q forem ambas falsas
Solução:
p q r s pr qs (p r) → (q s)
V V V F V V V
V F V F V F F
F V V F F V V
F F V F F F V
Resposta: D
11. (FCC) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional “se eu ganhar na loteria,
então comprarei uma casa”, necessariamente será verdadeira a proposição:
a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa.
b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria.
c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria;
d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria.
e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa.
Solução:
Resposta: B
P Q ?
V V F
V F V
F V F
F F F
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é
a) P Q
b) P → Q
c) (P → Q)
d) P ↔ Q
e) (P Q)
Solução:
Resposta: C
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13. Dizer que: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
Solução:
Logo
~(~(A → B)) = ~(A ~B)
Ou ainda,
A → B = ~A v B
Dado
AA ~BB: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro"
TABELA VERDADE
AA ~BB AA ~BB
V V V
V F V
F V V
F F F
tem os mesmos valores lógicos de AA v ~BB. Onde ~BB é a negação de BB, logo eles terão valores lógicos
contrários.
TABELA VERDADE
AA BB BB → AA
V F V
V V V
F F V
F V F
Resposta: D
14. Aponte o item abaixo que mostra a negação de “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”.
a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa
b) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casa
c) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa
d) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa
e) Rosélia não viajará para Londres e comprará uma casa
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Solução:
~(A B) = ~A ~B
Portanto, as possíveis negações para “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”, são
~(A B): “Não é verdade que Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”
Ou então
~A ~B: “Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa”
Resposta: C
15. Sabendo que “Chover em Guaramiranga é condição suficiente para fazer frio”, podemos logicamente
concluir que a única afirmação falsa é:
a) Se chover em Guaramiranga então fará frio.
b) Se não fizer frio em Guaramiranga é porquê não choveu.
c) choveu em Guaramiranga e não fez frio.
d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio.
e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover.
Solução:
Ou ainda
~(A → B): “Não é verdade que se chover em Guaramiranga então faz frio”
Resposta: C
QUESTÕES DE CONCURSOS
Em uma via, cada um dos 4 semáforos A, B, C e D possuem 3 lâmpadas: uma na cor verde, uma na cor
amarela e uma na cor vermelha, que, quando acesas, correspondem aos comandos de tráfego siga em
frente, atenção e pare, respectivamente. Um semáforo em funcionamento pode exibir, em cada momento,
apenas uma das lâmpadas acesas. Nessas condições, julgue o item a seguir.
01. (CESPE) A negação da proposição “Todos os semáforos estão ligados ou o semáforo B está no vermelho” é
“Nenhum semáforo está ligado e o semáforo B não está no vermelho”.
02. (CESPE) A negação da proposição “A ginástica te transforma e o futebol te dá alegria” está assim
corretamente enunciada: “A ginástica não te transforma nem o futebol te dá alegria”.
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03. (CESPE) Considere a seguinte sentença aberta: “x é um número real e x > 5”. Nesse caso, se x = 2, então a
proposição será F, mas, se x = –3, então a proposição será V.
Uma proposição é uma declaração que pode ser julgada como verdadeira — V —, ou falsa — F —, mas não
como V e F simultaneamente. As proposições são, frequentemente, simbolizadas por letras maiúsculas: A,
B, C, D etc.
As proposições compostas são expressões construídas a partir de outras proposições, usando-se
símbolos lógicos, como nos casos a seguir.
A B, lida como “se A, então B”, tem valor lógico F quando A for V e B for F; nos demais casos,
será V;
A B, lida como “A ou B”, tem valor lógico F quando A e B forem F; nos demais casos, será V;
A B, lida como “A e B”, tem valor lógico V quando A e B forem V; nos demais casos, será F;
¬A é a negação de A: tem valor lógico F quando A for V, e V, quando A for F.
Uma sequência de proposições A1, A2, ..., Ak é uma dedução correta se a última proposição, Ak,
denominada conclusão, é uma consequência das anteriores, consideradas V e denominadas premissas.
Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para todos os possíveis
valores lógicos das proposições que as compõem.
A regra da contradição estabelece que, se, ao supor verdadeira uma proposição P, for obtido que a
proposição P (¬P) é verdadeira, então P não pode ser verdadeira; P tem de ser falsa.
05. (CESPE) As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não
será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-
sucedida” são equivalentes.
Se p implica em q, então o fato de não ser possível provar que + 1 = é condição suficiente para que os
computadores não sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados.
08. (CESPE) A negação da sentença “A Terra é chata e a Lua é um planeta.” é equivalente a proposição “Se a
Terra é chata, então a Lua não é um planeta”.
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Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os
policiais conforme o esquema a seguir:
09. (PF – CESPE) Se P e Q representam, respectivamente, as proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou
usuário”, então a premissa 1 estará corretamente representada por P Q.
10. (PF – CESPE) A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a “Como eu
não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi”.
11. (PF – CESPE) Se a proposição “Eu não sou traficante” for verdadeira, então a premissa 2 será uma
proposição verdadeira, independente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem.
Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar
por desonesto.
A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições:
— Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio
em benefício próprio. (P1)
— Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de
desonesto. (P2)
— Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P 3)
12. (CESPE) A negação da proposição “O síndico troca de carro ou reforma seu apartamento” pode ser
corretamente expressa por “O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento”.
13. (CESPE) Se a proposição “Dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio” for falsa,
então, independentemente do valor lógico da proposição “O síndico fica com fama de desonesto”, a premissa
P2 será verdadeira.
14. (CESPE) A proposição P3 é equivalente a “Se você quiser ser síndico, não queira manter sua fama de
honesto”.
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Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez as
seguintes afirmações:
15. (CESPE) A proposição P1 é logicamente equivalente a “Se o serviço for barato, não será bom nem será
rápido”.
16. (CESPE) A proposição P2 é logicamente equivalente a “Ou o serviço é bom e barato, ou é rápido”.
17. (CESPE) Se P3 for falsa, então o serviço prestado é bom, é rápido e é barato.
20. (CESPE) Toda proposição da forma (P Q) v (Q P) é uma tautologia, isto é, tem somente a valoração
V.
Supondo que cada profissão esteja associada a uma única pessoa citada, então está correto concluir que a
proposição “João é contador” é verdadeira
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Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou
falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não
são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições
são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma proposição da
forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se
A for V e B for F, caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma
sequência de proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre que as proposições
anteriores na sequência forem verdadeiras. Considerando as informações contidas no texto acima, julgue
os itens subsequentes.
25. (CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.
Maria é alta.
26. (CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes:
A lógica sentencial, ou proposicional, trata do raciocínio expresso por sentenças, ou proposições, que
podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsa (F), mas que não admitem os julgamentos V e F
simultaneamente. A lógica de primeira ordem também trata do raciocínio expresso por sentenças, ou
proposições, que são julgadas como V ou F dependendo do conjunto, ou domínio, ao qual pertencem os
objetos referenciados nas sentenças e das propriedades, ou predicados, associadas a esses objetos. Na
lógica de primeira ordem, os objetos de um domínio são quantificados por todos, alguns, nenhum etc. As
deduções da lógica proposicional ou da lógica de primeira ordem têm uma estrutura cuja análise permite
decidir se o raciocínio expresso está correto ou não, isto é, se a conclusão é uma consequência
verdadeira das proposições que são colocadas como premissas, sempre consideradas verdadeiras.
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27. (CESPE) Se A e B são proposições simples, completando a tabela-verdade, se necessário, conclui-se que a
proposição ¬(A B) (¬A ¬B) é uma tautologia.
28. (CESPE) Se A e B são proposições simples, então completando a tabela-verdade, conclui-se que a
proposição composta a seguir é uma contingência A (B A).
29. (CESPE) Ao investigar um assalto, a polícia levantou três proposições acerca das características dos
possíveis responsáveis pelo delito: os envolvidos conheciam a vítima (p), os envolvidos já tinham passagem
pela polícia (q) e os envolvidos tinham conhecimento de que a vítima transportava valores no dia do crime (r).
A partir dessas proposições e avançando nas investigações, a polícia chegou a quatro suspeitos e aos
seguintes argumentos (o símbolo lógico ¬ indica negação):
Considerando que, em determinada noite, Márcia não foi ao cinema, é correto afirmar que, nessa noite,
a) não fez frio, Paulo não foi ao cinema e choveu.
b) fez frio, Paulo foi ao cinema e choveu.
c) fez frio, Paulo não foi ao cinema e choveu.
d) fez frio, Paulo não foi ao cinema e não choveu.
e) não fez frio, Paulo foi ao cinema e não choveu.
31. (CESPE) Considere que o seguinte enunciado é verdadeiro: “Se uma mulher está grávida, então a substância
gonadotrofina coriônica está presente na sua urina”. Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e
constatou-se que a substância gonadotrofina coriônica está presente na urina de Fátima e não está presente
na urina de Mariana.
Utilizando a proposição enunciada, os resultados dos exames e o raciocínio lógico dedutivo garante-se que:
Mariana não está grávida e não se pode garantir que Fátima está grávida.
32. (CESPE) Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição falsa, a
proposição (p r) → (q s) será falsa apenas, se p for verdadeira e q falsa.
33. (CESPE) A negação da sentença “A inflação não é controlada e não há projetos de desenvolvimento.” É
equivalente a proposição “Se a inflação não é controlada, então há projetos de desenvolvimento”.
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Para cumprir as determinações do parágrafo único do artigo 3.º do Decreto n.º 4.553/2002 — que
estabelece que toda autoridade responsável pelo trato de dados ou informações sigilosos, no âmbito da
administração pública federal, deve providenciar para que o pessoal sob suas ordens conheça
integralmente as medidas de segurança estabelecidas, zelando pelo seu fiel cumprimento —, o chefe de
uma repartição que trabalha com material sigiloso fixou no mural de avisos a seguinte determinação: “no
fim do expediente, cada servidor deve triturar todos os papéis usados como rascunho ou que não tenham
mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos que esteja realizando ou que tenha realizado”.
Considerando as regras da lógica sentencial, julgue os itens a seguir, a partir da proposição contida na
determinação do chefe citado na situação apresentada acima.
34. (CESPE) A negação da proposição “estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o
desenvolvimento dos trabalhos” é equivalente a “estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o
desenvolvimento dos trabalhos”.
35. (CESPE) A proposição “um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos
trabalhos” é equivalente a “se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então é um
rascunho”.
Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a
desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens.
Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a
condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de
famílias com renda per capila de até um quarto do saIário mínimo, afirma a pesquisa.
Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a
principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não
significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens
de classe média.
Internet < "http/amaivos,uol.combr> (com adaptações)
36. (CESPE) Das proposições "Se há corrupção, aumenta-se a concentração de renda:', "Se aumenta a
concentração de renda, acentuam-se as desigualdades sociais" e "Se se acentuam as desigualdades, os
níveis de violência crescem" é correto inferir que "Se há corrupção, os níveis de violência crescem".
37. (CESPE) A negação da proposição "Se houver corrupção, os níveis de violência crescerão" é equivalente a
"Se não houver corrupção. os níveis de violência não crescerão".
38. (CESPE) Se a proposição "João é pobre" for falsa e se a proposição "João pratica atos violentos" for
verdadeira, então a proposição "João não é pobre, mas pratica atos violentos" será falsa.
Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar”,
julgue os itens a seguir.
39. (CESPE/2015) A proposição “João não se esforça o bastante ou João conseguirá o que desejar” é
logicamente equivalente à proposição P.
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40. (CESPE/2015) A proposição “Se João não conseguiu o que desejava, então João não se esforçou o
bastante” é logicamente equivalente à proposição P.
41. (CESPE/2015) Se a proposição “João desejava ir à Lua, mas não conseguiu” for verdadeira, então a
proposição P será necessariamente falsa.
42. (CESPE/2015) A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não se esforçou o
bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava”.
43. (CESPE) Caso o ministro da Fazenda permaneça no cargo e a cotação do dólar mantenha sua trajetória de
alta, a proposição do jornalista será verdadeira.
44. (CESPE) A negação da colocação do jornalista é equivalente a “Cai o ministro da Fazenda se, e somente se,
cai o dólar”.
45. (CESPE) A proposição do jornalista é equivalente a “Se não cai o ministro da Fazenda, então cai o dólar”.
46. (PF – CESPE/2014) A partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a proposição
P Q R P Q é uma tautologia.
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47. (INSS – CESPE/2016) A sentença “Bruna, acesse a internet e verifique a data da aposentadoria do Sr.
Carlos!” é uma proposição composta que pode ser escrita na forma p q.
48. (INSS – CESPE/2016) Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos quaisquer, a condicional
p (q p) será, sempre, uma tautologia.
49. (INSS – CESPE/2016) Caso a proposição simples “Aposentados são idosos” tenha valor lógico falso, então o
valor lógico da proposição “Aposentados são idosos, logo eles devem repousar” será falso.
50. (INSS – CESPE/2016) Dadas as proposições simples p: “Sou aposentado” e q: ”Nunca faltei ao trabalho”, a
proposição composta “Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou aposentado” deverá ser
escrita na forma (p q) ~p, usando-se os conectivos lógicos.
GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
E E C C E E C C C E C C C C E E C C C E
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E E C E C E C E A C C C C C C C E E C C
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
E E E C E C E C E C
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“Eu odiava cada minuto dos treinos, mas dizia para mim mesmo: Não desista! Sofra
agora e viva o resto de sua vida como um campeão.”
MUHAMMAD ALI
FATORIAL
ATENÇÃO:
0! = 1 e 1! = 1
Também é importante perceber que o desenvolvimento de um fatorial pode ser "truncado" em qualquer
fator, colocando-se após esse fator o símbolo que representa o fatorial de um número (!).
Por exemplo:
10! 10.9.8!
a) 10.9 90
8! 8!
7!.9! 7.6.5!.9.8!
b) 7.6.9 378
8!.5! 8!.5!
(n 1)! (n 1)! 1 1
d) 2
(n 1)! (n 1).n.(n 1)! (n 1).n n n
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RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS
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Em inúmeras situações do cotidiano, nos deparamos com problemas de contagem. Por exemplo:
Ao preencher volante de jogo da mega sena, de quantas maneiras diferentes é possível escolher 6
números?
Ao escolher 6 algarismos para compor uma senha de um cartão magnético, de quantas maneiras
diferentes podemos fazê-lo?
No último campeonato estadual de futebol, ficaram 4 equipes para disputar a etapa final. Se cada uma
jogou com todas as demais uma única vez, quantas partidas ocorreram nessa fase?
As placas dos veículos nacionais atualmente são compostas de 3 letras seguidas de 4 algarismos.
Quantas placas diferentes tal sistema comporta?
Como a contagem direta desses eventos é, em geral, impraticável, a Matemática recorre a técnicas
indiretas de contagem.
Esse conjunto de técnicas é chamado análise combinatória e iniciaremos seu estudo apresentando o
princípio fundamental de contagem.
Exemplo 1: “Um rapaz quer se vestir usando uma calça e uma camisa. Sabendo que ele possui 3 calças (1
branca, 1 azul e 1 preta) e 2 camisas (1 vermelha e 1 amarela), de quantas maneiras diferentes ele
poderá se vestir?”
Solução:
Ou seja, 2 3 = 6 possibilidades
Exemplo 2: Para viajar de uma cidade A para uma cidade C, por uma rodovia, deve-se passar necessariamente
por uma cidade B. Se há 3 rodovias ligando A a B e 4 rodovias ligando B a C, quantas opções
diferentes há para se ir de A até C ?
Solução:
Ou seja, 3 4 = 12 possibilidades
Os dois exemplos vistos ilustram o que chamamos princípio fundamental da contagem, também conhecido
com princípio multiplicativo, que pode ser enunciado assim:
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“Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e se, para cada uma dessas m maneiras, um outro
evento B pode ocorrer de n modos diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do
evento B é m.n.”
Vamos agora apresentar duas situações que ocorrem frequentemente quando resolvemos problemas de
contagem: os arranjos simples e as combinações simples. Vamos introduzi-los a partir de um problema.
Seja o conjunto E = {a, b, c}. Com os elementos de E vamos obter os seguintes agrupamentos:
(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)
Observe que esses dois tipos de agrupamentos diferem num aspecto básico.
No caso dos subconjuntos, não é levada em conta a ordem em que os elementos são escritos, isto é,
alterando-se a ordem dos elementos de um subconjunto, este não se altera.
Porém, no caso das sequências, a mudança da ordem dos elementos gera uma outra seqüência.
o
Os agrupamentos do 1 tipo, os subconjuntos, são chamados combinações simples, enquanto que os
o
dos 2 tipo, as sequências, são chamados arranjos simples. Nos dois casos, a palavra simples se refere ao fato
de que os agrupamentos são formados por elementos distintos.
Observação:
p n!
Cn
p ! . (n p)!
Lê-se: combinação de n elementos distintos tomados p a p.
p n!
An
(n p)!
Lê-se: arranjo de n elementos distintos tomados p a p.
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p
An p! . Cn
p
PERMUTAÇÃO SIMPLES
n
Pn A n Pn n!
Outras Notações:
n
C pn C n,p A pn A n,p
p
É o número de permutações de n objetos onde há a repetição de um ou mais elementos. Para ser mais
objetivo, o primeiro elemento repete-se 1 vezes, o segundo elemento repete-se 2 vezes, ..., o k-ésimo elemento
repete-se k vezes.
α , α 2, . . . , α k n!
Pn 1
α1! . α 2 ! . . . . .α k !
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
É o caso em que deseja colocar elementos em torno de objetos circulares. È dado por:
P(n – 1) = (n – 1)!
Exemplo: De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem sentar–se em uma mesa redonda?
Solução:
Imagine se todos mudassem para cadeira ao seu lado! Você não teria nenhuma mudança, afinal todos
continuariam vizinhos as mesmas pessoas. Então, nesse caso fixa–se uma das pessoas e permuta–se as
outras 5, logo, P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades.
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QUESTÕES RESOLVIDAS
01. (FUNRIO) Quantos números inteiros positivos menores que 1000 (com algarismos distintos) podemos
formar?
a) 504
b) 645
c) 648
d) 738
e) 845
Solução:
Logo:
9 + 81 + 648 = 738
Resposta: D
02. (ESAF) Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem parte Lúcia e José, o número de comissões
distintas que se podem formar com 5 membros, incluindo, necessariamente, Lúcia e José, é:
a) 3003
b) 792
c) 455
d) 286
e) 348
Solução:
Resposta: D
03. (FCC) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos.
Dentre eles, quantos serão divisíveis por 5:
a) 20 números
b) 30 números
c) 60 números
d) 120 números
e) 180 números
Solução:
Resposta: C
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04. O número de triângulos que podemos obter à partir dos 8 pontos distintos distribuídos pela
circunferência abaixo, é igual a:
a) 56
b) 28
c) 14
d) 24
e) 48
Solução:
8! 8 .7 .6 .5 !
C8,3 = 56
3 !. 5 ! 3.2.1.5 !
Resposta: A
05. (ESAF) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s, paralela a r. Quantos
triângulos distintos existem com vértices em 3 desses pontos?
a) 220
b) 230
c) 274
d) 286
e) 294
Solução:
Resposta: A
Então, apenas:
a) afirmação I é verdadeira.
b) afirmação II é verdadeira.
c) afirmação III é verdadeira.
d) as afirmações I e II são verdadeira.
e) as afirmações I e III são verdadeira
Solução:
I. P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 (V)
Resposta: E
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07. Quantos anagramas distintos da palavra ROTAS são possíveis obter, se as letras R e T devem
permanecer juntas?
a) 120
b) 60
c) 48
d) 24
e) 10
Solução:
Resposta: C
08. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem
ser formados de modo que o algarismo das unidades seja par e o algarismo das milhares seja ímpar?
a) 27
b) 54
c) 108
d) 216
e) 432
Solução:
Resposta: C
09. (ESAF) De quantas maneiras Amanda, Bruno, Caio, Débora, Érica e Felipe, podem se organizar lado a
lado para tirar uma foto, sabendo que Caio e Débora namoram e ficarão necessariamente juntos?
a) 120
b) 240
c) 360
d) 720
e) 1440
Solução:
Resposta: B
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10. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco,
lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos
de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:
a) 16
b) 24
c) 32
d) 46
e) 48
Solução:
Resposta: E
11. Em uma festa existem 12 homens e 20 mulheres, será escolhido o casal mais simpático da festa (não
necessariamente namorados). De quantas maneiras diferentes poderá ser escolhidos esse casal?
a) 12
b) 20
c) 32
d) 120
e) 240
Solução:
Resposta: E
(n – 6)! = 5! n – 6 = 5 n = 11
Resposta: B
13. (ESAF) Quantos números naturais de seis algarismos distintos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5 e
7 de modo que os algarismos pares nunca fiquem juntos?
a) 720
b) 480
c) 240
d) 120
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Solução:
Resposta: B
14. Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B,
havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e
duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C,
passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mais em qualquer ordem, é:
a) 9
b) 10
c) 12
d) 15
Solução:
3x2=6
2x2=4
Logo: 6 + 4 = 10
Resposta: B
15. Desenho representa seis quarteirões retangulares e um dos possíveis percursos de A até B. O
número total de percursos mínimos distintos, de A até B, ao longo das ruas, é:
a) 5
b) 6
c) 8
d) 10
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Solução:
Observe que ele anda 2 vezes para leste (L) e 3 vezes para o norte (N), veja que na figura a sequência
LNNLN
Resposta: D
QUESTÕES DE CONCURSOS
Responda:
a) quantos são no total?
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03. Numa reunião de 8 países (EUA, Canadá, Inglaterra, Alemanha, Japão, Rússia, Itália e França), deseja-se
acomodar os 8 representantes de governo em torno de uma mesa em forma de octógono regular (figura
abaixo). De quantos modos posso dispô-los se os representantes dos EUA, Canadá e Inglaterra devem
sentar-se sempre juntos?
a) 720
b) 120
c) 4320
d) 5040
04. Quando Ribamar vai de casa (esquina 1) até a academia (esquina 2), ele percorre 2
exatos 9 quarteirões. Na figura ao lado está representa apenas uma das várias
possibilidades de caminhos que ele pode escolher. Determine Quantos caminhos
diferentes, sem voltar, ele pode escolher para ir de casa até a academia.
a) 20
b) 81
c) 63
d) 256
e) 126 1
05. (ESAF) Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são
moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número
de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é
igual a:
a) 1287
b) 252
c) 284
d) 90
e) 84
Para formar-se um anagrama, permitam-se as letras de uma palavra, obtendo-se ou não uma outra palavra
conhecida.
08. (CESPE) O número de anagramas distintos que começam e terminam com vogal é superior a 15.
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09. (CESPE) O número de anagramas distintos que começam com vogal e terminam com consoante é superior a
44.
Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm nível médio e 2
são de nível fundamental.
Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa.
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equipe.
10. (CESPE) Se essa equipe for formada somente com empregados de nível médio e fundamental, então essa
equipe poderá ser formada de mais de 60 maneiras distintas.
11. (CESPE) Se essa equipe incluir todos os empregados de nível fundamental, então essa equipe poderá ser
formada de mais de 40 maneiras distintas.
12. (CESPE) Formando-se a equipe com dois empregados de nível médio e dois de nível superior, então essa
equipe poderá ser formada de, no máximo, 40 maneiras distintas.
13. Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do
desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente
quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise.
Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser
formadas é igual a 420.
14. (CESPE) Se, no departamento de recursos humanos de uma empresa em que trabalhem 5 homens e 4
mulheres, for preciso formar, com essa equipe, comissões de 4 pessoas com pelo menos 2 homens, a
quantidade de comissões diferentes que poderão ser formadas será superior ou igual a 110 e inferior a 140.
A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de
armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai.
Internet: <www.estadao.com.br> (com adaptações).
15. (CESPE) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas
da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá
mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha.
16. (CESPE) Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, deverá ser formada uma equipe com 5
desses pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores só
aceitam participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso contrário, não participam. Nessa situação, há
menos de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe.
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17. A construtora Alfa possui 8 engenheiros e 6 arquitetos, dos quais serão escolhidos 3 engenheiros e 3
arquitetos para projetar o empreendimento Beta. O número de equipes diferentes que poderão ser formadas
para esse empreendimento é igual a 76.
18. De um grupo de 8 candidatos serão escolhido 3 para ser o gerente, o caixa e o vendedor de uma loja. A
quantidade de maneiras que pode ser feita essa escolha é um número menor que 326.
Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu
crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas
por ele, conhecidas como Os doze travalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o
leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéria e capturar o javali de Erimanto.
Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze
trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso,
considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis
listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subsequentes.
19. (CESPE) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10! .
20. (CESPE) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na
primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x 6 .
21. (CESPE) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e
“capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! X 8! .
22. (CESPE) O Airbus A330 da Air France fazia a rota Rio de Janeiro - Paris quando, no final da noite do dia 31
de maio, desapareceu no Oceano Atlântico. No voo, estavam 228 pessoas a bordo, das quais 216
passageiros e 12 tripulantes. Destroços estão sendo retirados do mar aos poucos. Até hoje (10/06/09), 41
corpos de vítimas do acidente foram resgatados.
Segundo o diretor do IML de Maceió, José Kleber da Rocha Farias Santana, além dos três legistas que
seguiram para a capital pernambucana, outros dois - um perito-médico-legal e odonto-médico-legal - estão de
sobreaviso, esperando a confirmação do dia em que deverão viajar para integrar a força-tarefa criada para
identificar as vítimas do acidente.
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Em um concurso público promovido pela prefeitura de uma capital brasileira, foram aprovados 11
candidatos, dos quais 5 são naturais do Espírito Santo, 4 de Minas Gerais e 2 de São Paulo. Entre estes,
três serão relacionados para atendimento exclusivo ao prefeito e seu secretariado.
Acerca da situação hipotética acima, é correto afirmar que o número de maneiras distintas de selecionar
os três servidores que irão atender ao prefeito e a seu secretariado de forma que
23. (CESPE) Os dois servidores paulistas estejam entre eles é igual a 11.
26. (CESPE) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponíveis para
viagens — um deles para coordenar a equipe, um para redigir o relatório de missão e um para fazer os
levantamentos de informações —, o número de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas
é inferior a 200.
27. (CESPE) Em uma expedição de reconhecimento de uma região onde será construída uma hidrelétrica, seis
pessoas levarão três barracas, sendo que, em cada uma, dormirão duas pessoas. Com base nessas
informações, o número de maneiras distintas que essas pessoas poderão se distribuir nas barracas é igual a
90.
Um terreno foi dividido em 30 quadrados de lado 1 metro, conforme figura seguinte. Uma pessoa encontra-
se no ponto A e pretende se deslocar até B, além disso somente é permitido a essa pessoa se deslocar
sobre os lados dos quadrados ou pelas suas diagonais. A respeito da situação hipotética acima julgue os
itens a seguir.
28. (CESPE) A quantidade de trajetos mínimos é 462, se ela não andou por nenhuma diagonal.
29. (CESPE) A quantidade de trajetos mínimos é 105, se ela não andou por nenhuma diagonal e passou por C.
30. (CESPE) A quantidade de trajetos mínimos é 210, se ela andou pelas diagonais de 4, e somente 4,
quadrados de lado 1 metro.
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Dez policiais federais dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes foram
designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à
superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes, Para tanto, exige-se que cada uma seja
composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
32. (PF – CESPE) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a
quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares
motorista e mais quatro passageiros será superior a 100.
Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos.
Esses crimes incluem o tráfico de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianças para
exploração sexual e a pornografia infantil envolvimento de menores de 18 anos de idade em
atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins
sexuais.
Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se
constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30
não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia
apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas
100 denúncias analisadas.
33. (PF – CESPE) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas.
34. (PF – CESPE) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil.
Considerando que, dos 100 candidatos aprovados em um concurso, 30 sejam mulheres, sendo que apenas
20% delas têm idade acima de 30 anos; e, entre os homens, 40% têm idade acima de 30 anos, julgue os
itens que se seguem.
35. (CESPE) Selecionando-se, entre os referidos candidatos, somente homens com idade acima de 30 anos, é
possível formar mais de 20.000 grupos, não ordenáveis, de quatro candidatos.
36. (CESPE) Se forem separadas somente as mulheres acima de 30 anos e 10% dos homens, então será
possível formar 525 grupos diferentes de 5 pessoas, compostos por 3 homens e 2 mulheres.
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Considerando que um grupamento de 60 policiais militares em que haja 15 mulheres e 45 homens seja
dividido em 10 equipes de 6 militares para monitorar determinada área, julgue os itens subsequentes.
37. (CESPE) O número de maneiras distintas de escolher 6 militares para formarem a primeira equipe é superior
3
a 55 .
38. (CESPE) Se as 2 primeiras equipes formadas forem constituídas apenas por mulheres, então o número de
maneiras distintas de escolher os membros dessas equipes será igual a 15 ! .
6! x 6! x 3!
39. (CESPE) O número de maneiras distintas de escolher 6 militares para formarem a primeira equipe, de tal
forma que essa equipe tenha exatamente cinco mulheres, é inferior a 4 x 15 ! .
9! x 5!
40. (CESPE) Se, entre onze servidores previamente selecionados, forem escolhidos: sete para compor
determinada divisão, um para chefiar essa divisão, um para a chefia da coordenação correspondente, um
para a diretoria e um para a secretaria, haverá menos de 8.000 maneiras distintas de se fazer essas
escolhas.
GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
* ** A E A E C E E C E E C E E C E E C E
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C C E C C E C C E E E C C E C C C C E C
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PROBABILIDADE
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Chama-se de experimento aleatório todo experimento cujo resultado é imprevisível, ou seja, mesmo que
realizado em condições semelhantes, pode apresentar resultados diferentes.
Exemplo: Lançar um dado e observar o número mostrado na face superior.
Observação
Um experimento aleatório, embora imprevisível, deve apresentar resultados com uma certa regularidade.
Assim, ao lançarmos uma moeda um certo número de vezes, espera-se que os resultados cara ou coroa ocorram
aproximadamente o mesmo número de vezes.
ESPAÇO AMOSTRAL
Representamos o espaço amostral pela letra e n() o número de elementos do espaço amostral.
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} n() = 6
Observação
Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de
ocorrer.
Observação
O conjunto vazio é um evento impossível.
() = 0
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PROBABILIDADE DE UM EVENTO
n E
E
n Ω
Onde:
(E) probabilidade de ocorrer o evento E.
n(E) número de casos possíveis do evento E.
n() número de elementos do espaço amostral.
Exemplo 1: Qual a probabilidade de que ao jogarmos um dado não-viciado, a face superior dê um número primo?
Solução:
n(PRIMO) = 3 e n() = 6
3 1
℘(PRIMO) 50%
6 2
Solução:
b) Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2 ou
P(A) = 50%.
c) Agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3.
d) Temos o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.
f) Nesse caso o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.
g) Observe que neste caso, o espaço amostral E é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no
dado 1 e j = número no dado 2. É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i,j) onde i = 1,
2, 3, 4, 5 ou 6, o mesmo ocorrendo com j. As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6) , (3,5) , (4,4) ,
(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será
igual a p(A) = 5/36.
Exemplo 3: Um tenista participa de um torneio em que lhe restam ainda no máximo 4 partidas: com X, com Y,
com X e novamente com Y, nessa ordem. Os resultados dos jogos são independentes; a
probabilidade de ele ganhar de X é igual a 1/3, e a probabilidade de ganhar de Y é 1/4. Se vencer
consecutivamente três dessas partidas, será considerado campeão. Determine a probabilidade de
que isso aconteça.
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Solução:
Observe que em relação a X temos P(Ganhar) = 1/3 e P(Perder) = 2/3, já em relação a Y temos
P(Ganhar) = 1/4 e P(Perder) = 3/4. Existem 3 possibilidade:
o
1 Ganhar todas as partidas P(GGGG) = 1/3.1/4.1/3.1/4 = 1/144
o
2 Perder só a primeira (PGGG) = 2/3.1/4.1/3.1/4 = 2/144
o
3 Perder só a última (GGGP) = 1/3.1/4.1/3.3/4 = 3/144
n ( A B)
( A B)
n ( )
Exemplo: Uma urna possui 10 bolas numeradas de 1 a 10. Qual a probabilidade de que ao tirarmos
aleatoriamente uma bola, ela seja par ou maior que 7?
Solução:
(par ou >7) = (par) + (>7) – (par e >7) (par ou >7) = 5/10 + 3/10 – 2/10 = 6/10 = 60%
Observação
Se n(A B) = , dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos ou mutuamente excludentes.
Observação
Podemos generalizar para o caso de n eventos independentes:
℘(A1 A2 ... An) = ℘(A1) . ℘(A2) . ... . ℘(An)
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Exemplo: Um dado é jogado duas vezes. Qual a probabilidade de nas duas vezes dar um número par?
Solução:
1 1 1
(par e par) . 25%
2 2 4
Dica
OU somar
E multiplicar
n( E ) = n() – n(E)
( E ) = 1 - (E)
Observação
Exemplo: Uma urna possui 100 bolas numeradas de 1 até 100. Qual a probabilidade de que ao tirarmos uma bola
aleatoriamente, o número escrito não termine em zero?
Solução:
(não terminar em zero) = 1 – (terminar em zero) (não terminar em zero) = 1 – 1/10 = 9/10 = 90%
PROBABILIDADE CONDICIONAL
A situação a seguir ajuda a compreender o conceito de probabilidade condicional que, como o nome
sugere, é a probabilidade de ocorrer um evento condicionado à ocorrência de outro evento.
Em um grupo de consórcio, cada um dos 10 consorciados recebeu uma ficha com um dos números inteiros
de 1 a 10. Será contemplado aquele que possuir a ficha com o mesmo número da bolinha sorteada entre 10
bolinhas numeradas de 1 a 10.
No momento do sorteio, a representante do consórcio declarou, após sortear a bolinha, que o número
sorteado era par.
Qual é a probabilidade de que o número sorteado seja maior que 4?
Para responder à questão, vamos observar que, antes do sorteio da bolinha, todos os consorciados tinham
esperança de ser contemplados, pois o espaço amostral era:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Porém, quando a representante afirmou que o número sorteado era par, o espaço amostral ficou reduzido a:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
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Vamos esquematizar a situação no diagrama a seguir, em que B é o evento formado pelos números maiores
que 4 do espaço amostral E.
A garantia de que o número sorteado é par reduz o espaço amostral ao evento A, logo, um elemento de B
[um número maior que 4] só pode ocorrer na interseção de A e B. Assim, a probabilidade P de ocorrer B, dado
que já ocorreu A, é:
n ( A B) 3
P
n (A) 5
n ( A B)
n ( A B) n (E ) P ( A B)
P(B / A ) P(B / A )
n (A) n (A) P (A)
n (E )
Podemos usar qualquer uma dessas duas fórmulas para o cálculo de P(B/A).
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QUESTÕES RESOLVIDAS
01. (ESAF) Uma moeda é lançada 3 vezes. Observando-se as possíveis sequências de resultados obtidos,
qual a probabilidade de sair cara no máximo 2 vezes?
a) 3/8
b) 4/8
c) 5/8
d) 6/8
e) 7/8
Solução:
1
P(3caras) =
8
1 7
Então: 1
8 8
Resposta: E
02. (ESAF) Qual a probabilidade de um casal ter 5 filhos e desses, 3 serem homens?
a) 3/5
b) 66,66%
c) 5/16
d) 5/8
e) 75%
Solução:
1 5
Então: Prob. = x 10
32 16
Resposta: C
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03. (FUNRIO) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se duas balas forem
sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de que sejam de mesmo sabor é:
18
a)
65
19
b)
66
20
c)
67
21
d)
68
22
e)
69
Solução:
4 3 12
(I) H e H x
12 11 132
5 4 20
(II) M e M x
12 11 132
3 2 6
(III) A e A x
12 11 132
12 20 6 38 19
Então: (I) ou (II) ou (III) =
132 132 132 132 66
Resposta: B
04. (ESAF) Dois jogadores, A e B, vão lançar um par de dados. Eles combinam que se a soma dos
números for 5, A ganha e, se a soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A
não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?
10
a)
36
5
b)
32
5
c)
36
5
d)
35
Solução:
SOMA 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 - 6 7
2 3 4 - 6 7 8
3 4 - 6 7 8 9
4 - 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
5
Prob.=
32
Resposta: B
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05. Um saco contém 12 bolas verdes e 8 bolas amarelas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas no
2
saco, de modo que a probabilidade de retirarmos do mesmo, aleatoriamente, uma bola azul seja ?
3
a) 5
b) 10
c) 20
d) 30
e) 40
Solução:
2
P (azul) =
3
x 2
Prob.= 3x = 40 + 2x x = 40
20 x 3
Resposta: E
06. (ESAF) Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade do bilhete sorteado ser um
número maior que 40 ou número par é:
a) 60%
b) 70%
c) 80%
d) 90%
e) 50%
Solução:
60 50 30 80
P (>40 ou par) = P (>40) + P (par) – P (>40 e par) 80%
100 100 100 100
Resposta: C
07. Em um campeonato de tiro ao alvo, dois finalistas atiram num alvo com probabilidade de 60% e 70%,
respectivamente, de acertar. Nessas condições, a probabilidade de ambos errarem o alvo é:
a) 30 %
b) 42 %
c) 50 %
d) 12 %
e) 25 %
Solução:
40 30
P(~A) x P(~B) x 12%
100 100
Resposta: D
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08. Em um grupo de pessoas 40% são mulheres, 30% das pessoas votaram a favor da pena de morte e o
restante votou contra. Qual a probabilidade de escolhermos uma pessoa desse grupo e ela ser um
homem que votou contra a pena de morte?
a) 12%
b) 28%
c) 42%
d) 21%
e) 32%
Solução:
a
1 . Solução:
Resposta: D
Observe a tabela a seguir, que representa o número de alunos de uma sala em relação à faixa etária, para
responder as próximas questões.
MENOS DE 20 8 14
DE 20 A 30 12 10
MAIS DE 30 3 3
09. Qual a probabilidade de sortear um aluno dessa turma e ele ser um homem com menos de 20 anos?
a) 10%
b) 18%
c) 16%
d) 14%
Solução:
8 16
Prob. 16%
50 100
Resposta: C
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10. Determine a probabilidade de sortear um aluno dessa turma e ele ter menos de 20 anos ou ser um
homem.
a) 37%
b) 64%
c) 74%
d) 87%
Solução:
8 14 12 3 37
Prob. 74%
50 50
Resposta: C
11. Qual a probabilidade de sortear um aluno(a) dessa turma e ele(a) ter 20 anos ou mais?
a) 28%
b) 36%
c) 56%
d) 72%
Solução:
12 10 3 3 28
Prob. 56%
50 50
Resposta: C
12. Sorteando um aluno, qual a probabilidade de ser um homem, dado que ele tem menos de 20 anos?
a) 4/ 7
b) 4/11
c) 7/25
d) 7/11
Solução:
8 8 4
P (Homem / Menos de 20 anos)
8 14 22 11
Resposta: B
13. Qual a probabilidade de sortear um aluno com menos de 20 anos, dado que ele é um homem?
a) 4/11
b) 8/23
c) 4/25
d) 8/11
Solução:
8 8
P (Menos de 20 anos / Homem)
8 12 3 23
Resposta: B
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14. Jogando ao mesmo tempo dois dados honestos, qual a probabilidade de o produto ser 12?
1
a)
3
1
b)
6
1
c)
9
1
d)
12
1
e)
15
Solução:
1 1 1
(I) 2 x 6 x
6 6 36
1 1 1
(II) 6 x 2 x
6 6 36
1 1 1
(III) 3 x 4 x
6 6 36
1 1 1
(IV) 4 x 3 x
6 6 36
1 4 1
Prob. 4 x
36 36 9
Resposta: C
15. Gira-se o ponteiro (veja figura) e anota-se o número que ele aponta ao parar. Repete-se a operação.
Qual a probabilidade de que a soma dos dois números obtidos seja 5?
5
a)
36
8
b)
36
12
c)
36
24
d)
36
35
e)
36
Solução:
(I) n o 2 e n o 3 2 x 3 6
6 6 36
(II) n o 3 e n o 2 3 x 2 6
6 6 36
Logo:
6 12
Prob. 2 x
36 36
Resposta: C
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1
16. (CESPE) Em uma competição de arco e flecha, a probabilidade de o competidor A acertar o alvo é e
3
3
a probabilidade de o competidor B acertar o alvo é . Nessa condições, sabendo-se que os eventos
4
“o competidor A acerta o alvo” e “o competidor B acerta o alvo” são independentes, é correto
5
concluir que a probabilidade de ao menos um desses competidores acertar o alvo é igual a .
6
Solução:
3 1 6 10 5
Prob. = (A x B) ou (A x ~B) ou (~A x B) =
12 12 12 12 6
Resposta: CERTO
Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus, espadas, copas e ouros. Em
cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete,
respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.
17. (CESPE) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de baralho e ela conter uma das
3
figuras citadas no texto é igual a .
13
Solução:
12 3
Prob.
52 13
Resposta: CERTO
18. (CESPE) Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a
1
probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a .
52
Solução:
1
São eventos complementares Prob. de ser ás de ouro
52
51
Prob. de não ser ás de ouro
52
Resposta: ERRADO
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19. (CESPE) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é
11
igual a .
26
Solução:
12
P(figura)
52
13
P(paus)
52
3
P(figura paus)
52
12 13 3 22 11 6
P(figura) + P(paus) – P(figura paus) 6
30
52 52 52 52 26 1 5
Resposta: CERTO
20. Na Tabela 1 temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade em
dado ano.
Sabendo que a universidade fez um sorteio de uma bolsa de estudos entre os estudantes nela
matriculado e constatou que o aluno sorteado foi do curso de Estatística, logo esse fato foi divulgado
pelos corredores daquela instituição de ensino, sem poder evitar, os alunos começaram a especular o
resultado. Sabendo de todos os fatos citados, qual a probabilidade de que seja uma mulher a
vencedora da bolsa de estudo?
a) 1/5
b) 3/20
c) 2/3
d) 11/20
e) 17/40
Solução:
Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado no curso de Estatística, a probabilidade de que
seja mulher é 20/30 = 2/3. Isso porque, do total de 30 alunos que estudam Estatística, 20 são mulheres.
Escrevemos
P(mulher/Estatística) = 2/3
Resposta: C
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QUESTÕES DE CONCURSOS
01. (CESPE) Em um concurso público, 25% dos candidatos tiraram nota baixa na prova de matemática, 15%
tiraram nota baixa na prova de língua portuguesa e 10% tiraram nota baixa em ambas as provas. Nessa
situação, escolhendo-se ao acaso um candidato, a probabilidade de ele ter tirado nota baixa nas provas de
matemática ou de língua portuguesa é igual a 0,3.
Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm o nível médio e 2
são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar
um trabalho de pesquisa.
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equipe.
02. (CESPE) Se a equipe for formada escolhendo-se as pessoas de maneira aleatória, então a probabilidade de
que essa equipe contenha todos os empregados de nível superior será inferior a 0,03.
03. (CESPE) Se a equipe for formada escolhendo-se as pessoas de maneira aleatória, então a probabilidade de
que essa equipe contenha pelo menos uma pessoa de nível fundamental será inferior a 0,55.
Em um concurso público, registrou-se a inscrição de 100 candidatos. Sabe-se que 30 desses candidatos
inscreveram-se para o cargo de escriturário, 20, para o cargo de auxiliar administrativo, e apenas 10
candidatos se inscreveram para os dois cargos. Os demais candidatos inscreveram-se em outros cargos.
Julgue os itens a seguir, considerando que um candidato seja escolhido aleatoriamente nesse conjunto de
100 pessoas.
04. (CESPE) A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de auxiliar administrativo é
superior a 1/4.
05. (CESPE) A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de escriturário ou ao cargo de
auxiliar administrativo é igual a 1/2.
06. (CESPE) Considere-se que, das 82 varas do trabalho relacionadas no sítio do TRT da 9.ª Região, 20 ficam
em Curitiba, 6 em Londrina e 2 em Jacarezinho. Considere-se, ainda, que, para o presente concurso, haja
vagas em todas as varas, e um candidato aprovado tenha igual chance de ser alocado em qualquer uma
delas. Nessas condições, a probabilidade de um candidato aprovado no concurso ser alocado em uma das
varas de Curitiba, ou de Londrina, ou de Jacarezinho é superior a 1 .
3
Considere que uma pesquisa de campo será efetuada entre os habitantes de determinada cidade. Sabe-se
que, nessa cidade, 45% dos habitantes são homens, metade dos homens têm o primeiro grau completo e
20% das mulheres têm o primeiro grau completo. Com referência a essa situação hipotética, julgue o item
a seguir.
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07. (CESPE) Se um habitante dessa cidade for selecionado ao acaso, a probabilidade de ele ter o primeiro grau
completo é superior a 0,34.
08. (CESPE) Uma empresa fornecedora de armas possui 6 modelos adequados para operações policiais e 2
modelos inadequados. Nesse caso, se a pessoa encarregada da compra de armas para uma unidade da
polícia ignorar essa adequação e solicitar ao acaso a compra de uma das armas, então a probabilidade de
ser adquirida uma arma inadequada é inferior a 1 .
2
09. (CESPE) Considere que, em um jogo em que se utilizam dois dados não-viciados, o jogador A pontuará se,
ao lançar os dados, obtiver a soma 4 ou 5, e o jogador B pontuará se obtiver a soma 6 ou 7. Nessa situação,
é correto afirmar que o jogador B tem maior probabilidade de obter os pontos esperados.
10. (CESPE) Ao se lançar dois dados não-viciados, a probabilidade de se obter pelo menos um número ímpar é
superior a 5 .
6
Considerando que Ana e Carlos candidataram-se a empregos em uma empresa e sabendo que a
probabilidade de Ana ser contratada é igual a 2 e que a probabilidade de ambos serem contratados é 1 ,
3 6
julgue os itens subsequentes.
11. (CESPE) A probabilidade de Ana ser contratada e de Carlos não ser contratado é igual a 1 .
2
12. (CESPE) Se um dos dois for contratado, a probabilidade de que seja Carlos será igual a 1 .
2
Por meio de convênios com um plano de saúde e com escolas de nível fundamental e médio, uma empresa
oferece a seus 3.000 empregados a possibilidade de adesão. Sabe-se que 300 empregados aderiram aos
dois convênios, 1.700 aderiram ao convênio com as escolas e 500 não aderiram a nenhum desses
convênios.
Em relação a essa situação, julgue os itens seguintes.
13. (CESPE) Escolhendo-se ao acaso um dos empregados dessa empresa, a probabilidade de ele ter aderido a
algum dos convênios é igual a 2 .
3
14. (CESPE) A probabilidade de que um empregado escolhido ao acaso tenha aderido apenas ao convênio do
plano de saúde é igual a 1 .
4
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Em uma cidade, uma emissora de televisão inaugurou os programas A e B. Posteriormente, para avaliar a
aceitação desses programas, a emissora encomendou uma pesquisa, cujo resultado mostrou que, das
1.200 pessoas entrevistadas, 770 pretendem assistir ao programa A; 370 pretendem assistir apenas ao
programa B e 590 não pretendem assistir ao programa B.
Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, julgue os próximos itens, com base no resultado
da pesquisa.
15. (CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir aos dois programas é superior a 1 .
4
16. (CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir a apenas um dos programas é igual a 3 .
4
Célia e Melissa são candidatas ao cargo de presidente de uma empresa. A escolha será decidida na
assembleia de acionistas e cada acionista poderá votar nas duas candidatas, em apenas uma ou em
nenhuma delas. Uma pesquisa entre os 100 acionistas da empresa revelou a seguinte tendência:
Em uma cidade, 1.000 habitantes foram entrevistados a respeito de suas relações com os bancos A e B.
Dos entrevistados, 450 eram correntistas apenas do banco A, 480 eram correntistas do banco B, 720 eram
correntistas de apenas um desses bancos e o restante não era correntista de nenhum desses 2 bancos.
A respeito dessa pesquisa, é correto afirmar que a probabilidade de um dos entrevistados
21. (CESPE) Não ser correntista de nenhum dos bancos é igual a 0,08.
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A distribuição de probabilidades dada abaixo refere-se aos atributos idade e violação das leis de trânsito.
Represente por E1 e E2 os eventos elementares associados à idade e por F 1, F2 e F3 os eventos
elementares associados à violação das leis de trânsito.
24. (CESPE/ADAPT) A probabilidade de que um motorista escolhido ao acaso não tenha cometido nenhuma
violação de trânsito nos últimos 12 meses dado que o mesmo tenha mais de 21 anos é 0,75.
25. (CESPE/ADAPT) A probabilidade de uma pessoa ter idade menor ou igual a 21 anos, dado que ela cometeu
pelo menos uma infração é inferior a 0,5.
26. (CESPE/ADAPT) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de
forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40%
das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em
5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao
experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José
é igual a 20%.
27. (CESPE/ADAPT) Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A
ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se
atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana escolher
os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a
probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a 7/16.
28. (CESPE/ADAPT) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita
a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes,
então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a 0,216.
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29. (CESPE/ADAPT) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação
genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, a probabilidade de exatamente
uma pessoa examinada possuir esta variação genética é 2,94%.
1
30. (CESPE/ADAPT) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é . Então, supondo que o
4
9
casal venha a ter três filhos, a probabilidade de serem exatamente dois do mesmo sexo é
16
31. (CESPE) A probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0,005.
32. (CESPE) As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de professor é superior a
80%.
33. (CESPE) Saul e Fred poderão ser contratados por uma empresa. A probabilidade de Fred não ser contratado
é igual a 0,75; a probabilidade de Saul ser contratado é igual a 0,5; e a probabilidade de os dois serem
contratados é igual a 0,2. Nesse caso, é correto afirmar que a probabilidade de pelo menos um dos dois ser
contratado é igual a 0,75.
Em uma pesquisa de opinião, foram entrevistados 2.400 eleitores de determinado estado da Federação,
acerca dos candidatos A, ao Senado Federal, e B, à Câmara dos Deputados, nas próximas eleições. Das
pessoas entrevistadas, 800 votariam no candidato A e não votariam em B, 600 votariam em B e não
votariam em A e 600 não votariam em nenhum desses dois candidatos.
Com base nessa pesquisa, a probabilidade de um eleitor desse estado, escolhido ao acaso,
36. (CESPE) Votar em apenas um desses dois candidatos será igual a 0,5.
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Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a
desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens.
Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a
condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de
famílias com renda per capila de até um quarto do saIário mínimo, afirma a pesquisa.
Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a
principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não
significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens
de classe média.
Internet < "http/amaivos,uol.combr> (com adaptações)
37. (CESPE) Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade de ambos serem atingidos pela
condição de extrema pobreza será inferior a 1,5%.
Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos.
Esses crimes incluem o tráfico de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianças para
exploração sexual e a pornografia infantil envolvimento de menores de 18 anos de idade em
atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins
sexuais.
Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se
constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30
não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia
apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas
100 denúncias analisadas.
38. (CESPE) A probabilidade de escolher uma denúncia classificada como crime de tráfico de pessoas ou
pornografia infantil é superior a 67%.
39. (CESPE) Admita que, na UNIVERSIDADE “X”, há uma turma de 40 alunos de Logística, sendo 18 rapazes; e
uma turma de 36 alunos de Análise de Sistemas, sendo 24 moças. Para participar de um debate serão
escolhidos aleatoriamente dois alunos, um de cada turma. Nessas condições, a probabilidade de que sejam
29
escolhidos uma moça e um rapaz é .
60
40. (CESPE) Em uma competição há sete candidatos, dois do sexo masculino e cinco do sexo feminino. Para
definir os dois primeiros candidatos que irão iniciar a competição, efetuam-se dois sorteios seguidos, sem
reposição, a partir de uma urna contendo fichas com os nomes de todos os candidatos.
10
Nesta situação, a probabilidade de os dois nomes sorteados serem do sexo feminino é de .
21
GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C C E E E C E C C E C C E E E C C E C C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E E C C E C C E C C C C E C E E C C C C
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Propriedades
Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional.
Todo número inteiro é um número racional.
Todo número decimal exato é um número racional.
Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional.
p
Q Ι x/x ; p, q Z com q 0
q
R Q Q
Naturais e Inteiros
Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas.
Exemplos:
2 10 6 30 0 0 9 18
2 6 0 81 9
1 5 1 5 1 8 1 2
Decimais
Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de
tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula.
Exemplos:
4 12 8125 225 15
0,4 0,12 8,125 2,25
10 100 1000 100 10
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da parte periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se
repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula.
Exemplos:
245 24 221 5384 53 5331
2,45 2,4555... 5,384 5,3848484...
90 90 990 990
5384 538 4846 2205 220 1985
5,384 5,38444... 2,205 2,20555...
900 900 900 900
812 8 804 5384 5 5379
0,812 0,8121212... 5, 384 5,384384384...
990 990 999 999
REPRESENTAÇÃO NA RETA
[a, b] = x R / a x b
]a, b[ = x R / a x b
[a, b[ = x R / a x b
]a, b] = x R / a x b
[a, + [ = x R / x a
] –, a] = x R / x a
] –, + [ = R
Observação
Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p).
Quando um número não é primo dizemos que ele é composto.
Existem infinitos números primos.
Importante
Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC
(a, b) = 1.
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OPERAÇÕES E PROBLEMAS
Um conjunto é formado por elementos. Dados um conjunto A e um elemento qualquer a (que pode até
mesmo ser um outro conjunto) a única pergunta cabível em relação à eles é: a é ou não um elemento do conjunto
A ? No caso afirmativo, diz-se a pertence ao conjunto A e escreve-se a A. Caso contrário, põe-se a A e diz-se
que a não pertence ao conjunto A. Observem que os símbolos e são usados apenas de elemento para
conjunto.
1. Exemplos de Conjuntos
2. Conjuntos Iguais
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B, reciprocamente, todo elemento
de B pertence a A. Em símbolos:
3. Subconjuntos
a) {a, b} {a, b, c}
b) {5} {5, 6}
c) { } {1, ,}
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião (ou união) de A e B o conjunto formado pelos elementos
que pertencem a A ou a B. Em símbolos:
x A e x B
ou
Se x A B x A e x B
ou
x A e x B
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5. Interseção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que
pertencem a A e B. Em símbolos:
b) {a, b} {c, d} =
6. Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A
que não pertencem a B. Em símbolos:
A – B = {x / x A e x B}
7. Complementar de B em relação a A
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CBA A B B A
A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a
somente um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B.
QUESTÕES DE CONCURSOS
A respeito das auditorias realizadas pelos auditores A1, A2 e A3 de um tribunal de contas, concluiu-se
que:
A1 realizou 70 auditorias;
• A3 realizou 75 auditorias;
• A1 e A3 realizaram, juntos, 55 auditorias;
• A2 e A3 realizaram, juntos, 30 auditorias;
• A1 e A2 realizaram, juntos, 20 auditorias;
• das auditorias que não foram realizadas por A1, somente 18 foram realizadas por A2;
• A1, A2 e A3 realizaram, juntos, 15 auditorias.
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Uma pesquisa na qual os 40 alunos de uma disciplina deveriam responder SIM ou NÃO às perguntas P1 e
P2 apresentadas a eles, mostrou o seguinte resultado:
10. (CESPE) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas
têm sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator Rh
negativo. O número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo é
superior a 90.
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Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 técnicos do MPU a respeito da atividade I – planejamento
estratégico institucional – e da atividade II – realizar estudos, pesquisas e levantamento de dados –
revelou que 29 gostam da atividade I e 28 gostam da atividade II. Com base nessas informações, julgue os
itens que se seguem.
11. (CESPE) Se 4 técnicos desse grupo não gostam de nenhuma das atividades citadas, então mais de 25
técnicos gostam das duas atividades.
12. (CESPE) Infere-se dos dados que a quantidade mínima de técnicos desse grupo que gostam das duas
atividades é superior a 20.
As cidades Alfa e Beta estão com suas contas de obras sob análise. Sabe-se que algumas dessas obras
são de responsabilidade mútua das duas cidades e que a quantidade total de obras cujas contas estão sob
análise é 28. Por outro lado, somando-se a quantidade total de obras sob a responsabilidade da cidade
Alfa com a quantidade total de obras sob a responsabilidade da cidade Beta - incluindo-se nessas
quantidades as obras que estão sob responsabilidade mútua -, obtém-se um total de 37 obras.
13. (CESPE) É verdadeira a seguinte afirmação: A quantidade de obras de responsabilidade mútua cujas contas
estão sob análise é superior a 10.
14. (CESPE) É falsa a seguinte proposição: Se a cidade Alfa tem 17 obras sob sua responsabilidade cujas contas
estão sob análise, então a quantidade de obras de responsabilidade exclusiva da cidade Beta cujas contas
estão sob análise é inferior a 12.
De acordo com as informações, o número de pessoas do grupo que só foi vacinado contra ambas as doenças
B e C é superior a 10.
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Um treinamento relativo às técnicas científicas de investigação está sendo preparado para um grupo de
720 policiais pré-selecionados. Para um melhor aproveitamento desse treinamento por parte dos policiais,
foi realizada uma avaliação para identificar as suas deficiências em conhecimentos básicos de
matemática, física e química, a fim de que sejam ministrados cursos de nivelamento antes do treinamento.
Todos os policiais que apresentaram deficiências deverão frequentar os cursos de nivelamento nas
respectivas áreas. A tabela acima mostra as frações dos 720 policiais que apresentaram deficiências em
uma ou mais dessas áreas básicas.
16. (CESPE) Exatamente 128 policiais pré-selecionados para o treinamento possuem deficiência tanto em
matemática quanto em química, devendo por consequência frequentar os respectivos cursos de nivelamento.
17. (CESPE) O número de policiais que deverão frequentar os cursos de nivelamento de exatamente duas das
áreas básicas mencionadas acima é inferior a 210.
18. (CESPE) O número de policiais pré-selecionados para o treinamento que terão de frequentar os três cursos
de nivelamento referentes às áreas de matemática, física e química é superior a 43.
19. (CESPE) Dos policiais que cursarão matemática, menos de 85 deles cursarão também química mas não
cursarão física.
20. (CESPE) Mais de 170 policiais cursarão apenas uma das disciplinas.
21. (CESPE) Uma pesquisa realizada com 1000 universitários revelou que 280, 400 e 600 desses universitários
são alunos de cursos das áreas de tecnologia, saúde e humanidades, respectivamente. Ela mostrou também
que nenhum dos entrevistados é discente de cursos das três áreas e que vários deles fazem cursos em duas
áreas. Sabendo que a quantidade de estudantes que fazem cursos das áreas de humanidades e saúde é
igual ao dobro da quantidade dos que realizam cursos das áreas de humanidades e tecnologia que, por sua
vez, é igual ao dobro dos que fazem cursos das áreas de tecnologia e saúde, a quantidade de entrevistados
que fazem apenas cursos da área de tecnologia é superior a 170.
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Secretaria da Fazenda (SEFAZ/ES) realiza campanha educativa sobre a importância da nota fiscal
Em 2009, o Programa de Educação Fiscal da SEFAZ realizou 48 eventos, entre reuniões, seminários,
palestras, capacitações de professores e treinamento de servidores. A atuação abrangeu 27 municípios
capixabas.
Internet: <www.sefaz.es.gov.br> (com adaptações).
Suponha que todos os eventos mencionados no texto acima atraíram público e que, entre os participantes,
2 mil pessoas compareceram às palestras, 1.500 pessoas, aos seminários e 500 pessoas, aos demais
eventos. Considere também que 500 pessoas participaram de palestras e seminários, 800 pessoas
participaram apenas de seminários, 200 pessoas não participaram de palestras ou seminários e 25
pessoas participaram de todos os tipos de eventos.
De acordo com essa situação hipotética e com o texto acima, julgue os itens a seguir.
23. (CESPE) Mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais tipos de eventos.
Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos.
Esses crimes incluem o tráfico de pessoas − aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração
sexual − e a pornografia infantil − envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais
explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais.
Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se
constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30
não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia
apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes,
acerca dessas 100 denúncias analisadas.
24. (CESPE) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas.
25. (CESPE) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil.
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Em uma pesquisa, 200 entrevistados foram questionados a respeito do meio de transporte que usualmente
utilizam para ir ao trabalho. Os 200 entrevistados responderam a indagação e, do conjunto dessas
repostas, foram obtidos os seguintes dados:
ninguém afirmou usar transporte coletivo, automóvel e bicicleta; e o número de pessoas que usam
bicicleta é igual ao número de pessoas que usam automóvel próprio.
26. (CESPE) O número de pessoas que só usam bicicleta é inferior ao número de pessoas que só usam
automóvel próprio.
27. (CESPE) O número de pessoas que usam apenas transporte coletivo para ir ao trabalho é igual a 35.
28. (CESPE) O número de pessoas que usam transporte coletivo é o triplo do número de pessoas que vão a pé.
29. (CESPE) O número de pessoas que somente usam automóvel próprio é superior ao número de pessoas que
só vão ao trabalho a pé.
30. (CESPE) Considere que em um canil estejam abrigados 48 cães, dos quais:
24 são pretos;
12 têm rabos curtos;
30 têm pelos longos;
4 são pretos, têm rabos curtos e não têm pelos longos;
4 têm rabos curtos e pelos longos e não são pretos;
2 são pretos, têm rabos curtos e pelos longos.
Então, nesse canil, o número de cães abrigados que são pretos, têm pelos longos mas não têm rabos curtos
é superior a 3 e inferior a 8.
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No item subsequentes é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada.
31. (CESPE) Uma empresa possui 13 postos de trabalho para técnicos em contabilidade, 10 para técnicos em
sistemas operacionais e 12 para técnicos em eletrônica. Alguns técnicos ocupam mais de um posto de
trabalho, isto é, 4 são técnicos em contabilidade e em sistemas operacionais, 5 são técnicos em sistemas
operacionais e em eletrônica e 3 possuem todas as três especialidades. Nessas condições, se há 22 técnicos
nessa empresa, então 7 deles são técnicos em contabilidade e em eletrônica.
Depois de uma campanha publicitária para melhorar o nível de conhecimento e de informação das
pessoas, os 31 empregados de uma empresa passaram a assinar os jornais CT, FT e JT, da seguinte
forma:
Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado
concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso usando
esses livros revelou que:
35. (CESPE) Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M.
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36. (CESPE) Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros.
37. (CESPE) Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros.
38. (CESPE) O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105.
Na zona rural de um município, 50% dos agricultores cultivam soja; 30%, arroz; 40%, milho; e 10% não
cultivam nenhum desses grãos. Os agricultores que produzem milho não cultivam arroz e 15% deles
cultivam milho e soja.
40. (DPU – CESPE/2016) Em exatamente 30% das propriedades, cultiva-se apenas milho.
GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
E E C C C C E E C E C C E E C C E C C C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E E C C E C C C E C C C E E E C C E E E
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o
Nos termos da Lei n. 8.666/1993, “É dispensável a realização de nova licitação quando não aparecerem
interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração”.
Considerando apenas os aspectos desse mandamento atinentes à lógica e que ele seja cumprido se, e
somente se, a proposição nele contida, proposição P for verdadeira, julgue os itens seguintes.
01. (MPU - CESPE/2013) Supondo-se que a proposição P e as proposições “A licitação anterior não pode ser
repetida sem prejuízo para a administração” e “É dispensável a realização de nova licitação” sejam
verdadeiras, é correto concluir que também será verdadeira a proposição “Não apareceram interessados em
licitação anterior”.
02. (MPU - CESPE/2013) O gestor que dispensar a realização de nova licitação pelo simples fato de não ter
aparecido interessado em licitação anterior descumprirá a referida lei.
03. (MPU - CESPE/2013) A negação da proposição “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para
a administração” está corretamente expressa por “A licitação anterior somente poderá ser repetida com
prejuízo para a administração”.
04. (MPU - CESPE/2013) A negação da proposição “Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não
pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “Apareceram
interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração”.
05. (MPU - CESPE/2013) A proposição P é equivalente a “Se não apareceram interessados em licitação anterior
e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração, então é dispensável a realização de nova
licitação”.
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Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser
prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que
envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando
P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades
influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, C P(X) = processos de P que não
estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 2 são de A e 3 são de B, julgue os itens a
3 5
seguir.
07. (MPU - CESPE/2013) O conjunto CP(A) CP(B) corresponde aos processos da unidade que não são
prioritários para análise.
08. (MPU - CESPE/2013) A quantidade de processos com prioridade de análise por envolverem,
simultaneamente, autoridades influentes e desvios de altos valores é inferior à de processos que não são
prioritários para análise.
GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08
E E E C C C E E
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36. Simbolizando a proposição P por A B, então a proposição Q: “Mário pratica natação mas não pratica
judô” é corretamente simbolizada por A (¬B).
Comentário e solução:
Enunciado Q: A (¬B)
Correto Q: A (¬B)
37. A negação da proposição P é a proposição R: “Mário não pratica natação nem judô”, cuja tabela-
verdade é a apresentada ao lado.
A B R
V V F
V F F
F V F
F F V
Comentário e solução:
Negação da proposição P é:
Considerando a proposição “Nesse processo, três réus foram absolvidos e os outros dois
prestarão serviços à comunidade”, simbolizada na forma A B, em que A é a proposição “Nesse
processo, três réus foram absolvidos” e B é a proposição “Nesse processo, dois réus prestarão serviços à
comunidade”, julgue os itens que se seguem.
38. A proposição (¬A) A pode ser assim traduzida: Se, nesse processo, três réus foram condenados,
então três réus foram absolvidos.
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Comentário e solução:
A tradução de ( ¬ A ) ( A ) é:
Enunciado Se, nesse processo, três réus foram condenados, então três réus foram absolvidos.
Correto Se, nesse processo, pelo menos um réu não foi absorvido, então três réus foram absolvidos.
39. Se as proposições A e B forem valoradas como F, então a proposição “Nesse processo, três réus
foram absolvidos, se e somente se dois réus prestarão serviços à comunidade” é valorada como V.
Comentário e solução:
“Nesse processo, três réus foram absolvidos, se e somente se dois réus prestarão serviços à comunidade”
Temos:
40. É correto inferir, após o preenchimento da tabela abaixo, se necessário, que a tabela-verdade da
proposição “Nesse processo, três réus foram absolvidos, mas pelos menos um dos outros dois não
prestará serviços à comunidade” coincide com a tabela-verdade da proposição simbolizada por
¬(A B).
Comentário e solução:
“Nesse processo, três réus foram absolvidos, mas pelos menos um dos outros dois não prestará serviços
à comunidade” A ¬B
Temos:
A B ¬B A B ¬ (A B) A ¬ B
V V F V F F
V F V F V V
F V F V F F
F F V V F F
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Comentário e solução:
TAUTOLOGIA:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se
ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.
42. Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição x x y y x y x é
valorada como V.
Comentário e solução:
Para todo “x” pertencente aos reais, existe “y” pertencente aos reais, tal que “x + y = x”.
Conclusão: “Essa declaração é verdadeira, pois o “y” pode ser zero, e como sabemos o zero é um
elemento neutro da adição”
Comentário e solução:
N° de proposições simples
Nº de linhas da tabela verdade = 2
Então,
4
N° de linhas da tabela verdade = 2 = 16
Superior a 15
44. A proposição “Se 2 for ímpar, então 13 será divisível por 2” é valorada como F.
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Comentário e solução:
A: 2 for ímpar ( F )
Logo:
A B
(F) (F)
(V)
Gabarito confere com o oficial: ( E )
Comentário e solução:
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"A satisfação está no esforço feito para alcançar o objetivo, e não em tê-lo alcançado. "
GHANDI
Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os
policiais conforme o esquema a seguir:
Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido;
Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.
50. (PF – CESPE/2012) Se P e Q representam, respectivamente, as proposições “Eu não sou traficante” e “Eu
sou usuário”, então a premissa 1 estará corretamente representada por P Q.
(Q P) = (P Q)
ITEM: CERTO
T: traficante
D: grande quantidade de droga
E: escondido
A proposição composta dada é: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e
a teria escondido T (D E)
Negação: T ¬(D E) T (¬D ¬E) (“Eu sou traficante e não estou levando uma grande quantidade
de droga ou não a escondi”).
ITEM: ERRADO
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52. (PF – CESPE/2012) Se a proposição “Eu não sou traficante” for verdadeira, então a premissa 2 será uma
proposição verdadeira, independente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem.
ITEM: CERTO
53. (PF – CESPE/2012) Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida.
Então:
Premissa 1: verdadeira
Premissa 2: verdadeira
Premissa 3: verdadeira
Conclusão: falsa (Portanto um argumento inválido, pois temos premissas verdadeiras e
conclusão falsa).
ITEM: ERRADO
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Dez policiais federais dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes foram
designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à
superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes, Para tanto, exige-se que cada uma seja
composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
2 x 2 x 2 x C4, 2 x 1 x 1 x 1 x C2, 2
4! 2!
8. .1.
2!.2! 1!.2!
4.3.2!
8. .1.1
2.1.2!
8 . 6 . 1 .1
48
ITEM: ERRADO
55. (PF – CESPE/2012) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente
dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial
será superior a 20%.
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Logo:
48
Pr ob. 0,19 19%
252
ITEM: ERRADO
56. (PF – CESPE/2012) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as
equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco
lugares motorista e mais quatro passageiros será superior a 100.
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 maneiras
ITEM: CERTO
Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos.
Esses crimes incluem o tráfico de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianças para
exploração sexual e a pornografia infantil envolvimento de menores de 18 anos de idade em
atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins
sexuais.
Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se
constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30
não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia
apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas
100 denúncias analisadas.
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57. (PF – CESPE/2012) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas.
ITEM: CERTO
58. (PF – CESPE/2012) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil.
Tráfico = 10 + 30 = 40
Pornografia = 30 + 30 = 60
Logo:
ITEM: ERRADO
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