Logica Contemporânea PDF
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Introduo
Lgica Contempornea
Lgica I e II - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - UNESP/Marlia 2013
PREFCIO
Este livro o resultado de um projeto de elaborao de material didtico para as disci
plinas de Lgica do Curso de Graduao em Filosofia da UNESP, que comeou em 2003 e
continua at hoje. Durante esses anos, muitos textos foram inseridos, retirados, ou modifi
cados, de forma a, por um lado, ser acessvel a um aluno de Graduao (dedicado) e, por ou
tro lado, tratar de temas necessrios a uma reflexo filosfica sobre o papel da Lgica na
contemporaneidade. Dentre esses temas esto:
1. O papel da Lgica como cincia do raciocnio correto;
2. O papel da Lgica em relao s teorias cientficas (antigas e contemporneas); em
especial, em relao fundamentao das Cincias Formais, Naturais e Humanas (como, por
exemplo, Matemtica, Computao, Fsica, Biologia, Psicologia, Lingustica, etc.), em particu
lar, a fundamentao da Matemtica a partir de uma teoria de conjuntos, mais especifica
mente, a partir da Teoria ZFC;
3. O uso de linguagens artificiais para a Lgica melhor desempenhar seus objetivos;
4. Linhas gerais que nortearam o desenvolvimento histrico da Lgica, principalmente,
relativa ao seu carter simblico contemporneo e ao uso das estruturas matemticas;
5. As noes de correo e de completude de uma teoria (formal);
6. A considerao de fragmentos da linguagem para a Lgica melhor desempenhar seus
objetivos;
7. Os limites do conhecimento por teorias formais, em especial, resultados decorrentes
do PrimeiroTeorema da Incompletude de Gdel
8. Como algumas propostas e ideias de certos filsofos contriburam ou contribuem para
o desenvolvimento da Lgica;
9. A desvinculao histrica da Lgica em relao a correntes metafsicas ou ontolgi
cas particulares que contriburam para o seu desenvolvimento (de forma a termos uma mes
ma lgica servindo a diversas correntes metafsicas ou ontolgicas), estabelecendo certa
autonomia Lgica;
10. A existncia de diversas lgicas e a possibilidade de se considerar a unidade da L
gica frente a essa diversidade;
11. A reflexo crtica sobre o que e como a forma do pensar humano;
12. O fornecimento de elementos pela Lgica a disciplinas cientficas (e.g. Lingustica,
Psicologia, Computao, etc.) e filosficas (e.g., Filosofia da Matemtica, Filosofia das Cin
cias Naturais, Filosofia das Cincias Humanas, Filosofia da Linguagem, Filosofia da Mente,
etc., bem como para a prpria Filosofia da Lgica);
Hoje, a Lgica uma vasta rea do conhecimento, extremamente complexa e profunda,
e o presente curso visa apenas introduzir alguns elementos e instrumentos bsicos da Lgi
ca contempornea, com o mnimo necessrio de notao simblica, com o propsito de intro
duzir o estudante sua utilizao, sua reflexo, e abordagem de textos sobre Lgica.
Tambm, na medida do possvel, introduzimos alguns temas de Filosofia da Lgica. Esta obra
se apoia em uma viso operacional da Lgica e no em uma viso metafsica ou ontolgica
particular, da talvez, seu carater abstrato e o desafio ao estudante de Filosofia, na medida
em que ele deve correlacionar esse contedo abstrato com a materialidade histrica.
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Observemos que signos so termos utilizados para representar algo. Em especial, os te-
mos agua, water, Wassere H20 so signos que designam a agua. Existe, ento, uma
diferena importante entre uso e meno de um signo. Por exemplo, eu uso o termo agua
quando afirmo que a agua ferve a 100C; mas eu menciono o termo agua quando digo agua
tem 4 letras (notemos que no a substncia agua que tem 4 letras mas o signo que eu uso
para designa-la). Notemos que as aspas so utilizadas para distinguir o uso e a meno do
signo (o uso sem aspas; a meno vem entre aspas). E no precisamos nos limitar a apenas
uma palavra. Nesse sentido, por exemplo, a sequncia de palavras a agua ferve a 100C
um signo que pode ser usado para dizer que a agua ferve a 100C. Aqui ento se insere uma
distino importante entre sentenas e proposies: sentenas so signos usados para de-
signar proposies, por exemplo, a sentena a agua ferve a 100C um signo que usada
para designar a proposio a agua ferve a 100C. nesse sentido que iremos operar sobre
sentenas (signos) para representar operaes sobre proposies (no nosso objetivo aqui
discutir o que vem a ser uma proposio ou a sua natureza; essas questes so tratadas, por
exemplo, na filosofia da linguagem ou na teoria do conhecimento).
Veremos ento que essa busca da expresso de raciocnios corretos por uma linguagem
instrumental leva a explicitar a possibilidade de uma infinidade de raciocnios, levando a
possibilidade de mais de uma lgica.
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a partir de tal estudo das linguagens artificiais para expresso dos raciocnios corre-
tos que AVALIAREMOS, RETROATIVAMENTE, O PAPEL DA LGICA EM SEU DESEN-
VOLVIMENTO HISTRICO E NA ATUALIDADE.
Verificaremos, tambm, a importncia da Lgica Simblica para a Filosofia segundo as
diversas funes que desempenha:
1. Como ja mencionado, a criao de linguagens simblicas precisas, que denominaremos
aqui de conceitografias, seguindo a denominao dada inicialmente por Gottlob Frege (1848-
1925), tal que suas regras sintaticas garantam a validade inferencial (como sera definida
aqui posteriormente) de um argumento, ou ainda, tal que, como nos diz Frege (1893, respec-
tivamente pp. 190 e 189), a obedincia gramatica ja garantissem a correo formal do
curso do pensamento, criando ... um meio de evitar mal-entendidos e, ao mesmo tempo, er -
ros no prprio pensamento;
2. A fundamentao de diversas areas do saber humano, em especial, das Cincias For-
mais, Naturais e Humanas (como, por exemplo, Matematica, Computao, Fsica, Biologia,
Psicologia, Lingustica, etc.).
3. A proviso de elementos a disciplinas cientficas (e.g. Lingustica, Psicologia, Compu-
tao, etc.) e filosficas (e.g., Filosofia da Matematica, Filosofia das Cincias Naturais, Fi -
losofia das Cincias Humanas, Filosofia da Linguagem, Filosofia da Mente, etc., bem como
para a prpria Filosofia da Lgica, claro);
4. A reflexo crtica sobre o que e como a forma do pensar humano;
5. A analise de argumentos, alias, condio necessa aos itens acima.
O curso tem como base as referncias bibliografias apresentadas nestas notas e sera
ministrado a partir de pequenos excertos inseridos pelo professor no decorrer do curso que
se encontraro em sua pagina na internet: www.marilia.unesp.br/ricardotassinari.
AVALIAES:
Sero realizados Exerccios com Nota ao final de cada aula que, em geral, constaro
de uma parte relativa matria dada na aula anterior e uma parte relativa matria dada
desde o incio do curso.
Os alunos que no realizarem pelo menos 75% dos Exerccios com Nota,
ficaro com conceito final zero.
Caso o aluno realize pelo menos 75% dos Exerccios com Nota, o conceito final sera
dada por:
Nota final= M + A,
na qual:
A uma avaliao final, feita em sala de aula, com valor maximo de 4 pontos, cuja data
de realizao sera marcada no decorrer do curso e informada em aula, cabendo ao aluno se
manter informado sobre sua realizao, caso no esteja na sala de aula, no momento do avi -
so;
M a mdia de 75% dos Exerccios com Nota, retirado um quarto dos Exerccios com
Nota, as com as piores notas (inclusive as com notas zero devido ao no comparecimento do
aluno). Notemos que a mdia M dos Exerccios com Nota constituira 60% da nota final, isto
, 6,0 pontos.
No haver avaliaes substitutivas, a menos que sejam requeridas formalmente
atravs da Seo de Graduao, com as necessrias justificativas.
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TASSINARI, R. P. Lgica como Calculo Raciocinador Texto produzido para a Redefor Filosofia, 2011
(veja link no site www.marilia.unesp.br/ricardotassinari).
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ARGUMENTOS E LGICA1
ARGUMENTOS
Uso: Argumentos so usados para
- Convencer
- Ser convencido
- Justificar
- Explicar [em especial, na Cincia, este um de seus usos principais]
- Demonstrar
Exemplo de argumento:
Se a gua est fervendo, ento a gua est 100C.
Ora, a gua est fervendo.
Logo, a gua est 100C.
Definio:
Em homenagem a Aristteles, e apenas para iniciar nossa conversa, vamos propor a se-
guinte definio de argumento:
Discurso no interior do qual se extrai uma concluso.
Em Aristteles, encontramos: "O silogismo um discurso argumentativo no qual, uma
vez formuladas certas coisas [as premissas], alguma coisa distinta destas coisas [a conclu-
so] resulta necessariamente atravs delas pura e simplesmente Tpicos I.1.100a 25, Ana -
lticos Anteriores I.1.24b, Refutaes Sofsticas 1.165a.1
LGICA E RETRICA
Em geral, diferenciamos dois tipos de argumento: aqueles em que as concluses seguem
necessariamente das premissas (estudaremos eles logo abaixo), estes so estudados na L -
gica; e aqueles em que se tenta persuadir a aceitar a concluso a partir das premissas (mas
sem que a concluso siga necessariamente das premissas), estes so estudados na Retrica
(bem como a melhor forma de se dizer algo para se persuadir algum). Assim, temos:
1
Parte da discusso feita aqui, pode ser encontrada em PINTO, 2001, Cap. 1, e em NOLT, 1991, Cap. 1 e 2.
2
Inspirado nos Penses de Blaise Pascal.
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INDICADORES DE INFERNCIA
VERDADE E VALIDADE
Existem vrios tipos de frases: declarativa [ou apofntica] (que podem vir a ser verda -
deiras); interrogativa (que expressam perguntas); exclamativa (que expressam uma excla-
mao); imperativa (que expressa uma ordem); e optativa (que expressa uma opo). Trata-
remos aqui apenas das frases declarativas que assumiremos ser verdadeiras (e usamos o
signo V para designar que uma proposio se verdadeira) ou falsas (e usamos o signo F para
designar que uma proposio falsa). Assim, temos:
verdadeira (V)
Sentena Declarativa Proposio ou
falsa (F)
ARGUMENTO VLIDO
3
P1 e P2 indicam as premissas do argumento e C sua concluso.
4
Abaixo indicamos a forma do argumento ao lado com o uso dos signos A e B que representam quaisquer
sentenas possveis.
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ANTIGAMENTE
Antigamente se fazia uma diviso da lgica em estudo da deduo ou da induo. No es -
tudo da deduo, estudvamos os casos em que deduzamos casos particulares a partir de
consideraes gerais (por exemplo: desde que todo cisne branco; resulta que os cisnes
do zoolgico so brancos); e no estudo da induo, estudvamos casos em que se passava
de casos particulares para consideraes gerais (por exemplo: como todos os cisnes que se
viu at hoje so brancos; segue-se que todo cisne branco). Assim, tnhamos:
Estudo da Deduo (Geral Particular)
Diviso da Lgica
Estudo da Induo (Particular Geral)
nem sempre valida
Faremos sobre essa diviso apenas duas observaes.
(1) Nem sempre, na induo, a verdade da concluso segue das verdades das premissas,
i.e., nem sempre a induo vlida. Por exemplo, considere o argumento: dado que durante
a minha vida toda, no aprendi matemtica; podemos concluir que nunca vou aprender
matemtica. Esse argumento no valido, pois, algum pode no ter aprendido matemtica
at ento, mas a partir de certo momento (por exemplo, tendo um bom professor) vir a
aprender.
(2) Atualmente, uma das reas do estudo da inferncia a Teoria da Inferncia Esta-
tstica, que se usa o conceito de probabilidade. Mas, a Estatstica e a Probabilidade so, em
grande parte, teorias que usam da deduo (cf. NOLT, 1991, Captulos 9 e 10).
OS SISTEMAS FORMAIS
Notemos ento que, na deduo acima, a regra foi aplicada duas vezes: Hiptese e ao
Axioma 1, resultando a Concluso parcial; e ao Axioma 2 e Concluso parcial, resultando na
concluso final da deduo.
Em uma teoria axiomtica, temos ainda que, uma demonstrao de uma assero , por
definio, uma deduo, dessa mesma assero, a partir apenas dos axiomas.
Podemos ento considerar a seguinte demonstrao em nossa teoria axiomtica bem
simples (notemos que no existem hipteses):
Axioma 1: Se o objeto considerado tem vida, ento o objeto considerado um organismo.
Axioma 2: Se o objeto considerado um organismo, ento o objeto considerado complexo.
Concluso: Se o objeto considerado tem vida, ento o objeto considerado complexo.
A regra de inferncia aplicada na deduo acima chamada de Silogismo Hipottico e,
se X, Y e Z so trs sentenas, ela tem a forma:
Se X, ento Y.
Se Y, ento Z.
Logo, se X, ento Z.
Asseres que so axiomas ou para as quais existe uma demonstrao so chamadas, por
definio, de teoremas.
Assim, a concluso "Se o objeto considerado tem vida, ento o objeto considerado
complexo ento um teorema de nossa teoria, j que existe uma demostrao para ela.
Se usarmos o signo " para representar a noo de implicao e se usarmos letras " A,
"B e "C para representar as sentenas conforme abaixo,
A "O objeto considerado tem vida;
B "O objeto considerado um organismo;
C "O objeto considerado complexo;
podemos ento, representar as sentenas abaixo como segue.
Se o objeto considerado tem vida, ento o objeto considerado um organismo: "A B.
Se o objeto considerado um organismo, ento o objeto considerado complexo: "B C.
Se o objeto considerado tem vida, ento o objeto considerado complexo: "A C.
Chamamos as sequncias de signos "A, "B, "C, "A B, "B C e "A C de frmulas,
analogamente s sentenas expressas por signos matemticos.
de regras de inferncia.
Em termos de frmulas, temos o seguinte diagrama da aplicao das regras de infern -
cia para essa deduo:
A
A B
B
B C
C
Notemos que ambas aplicaes tem a forma:
X
X Y
Y
Ora, essa exatamente a formalizao da regra de inferncia Modus Ponens:
X
Se X, ento Y.
Y
Notemos ento que as regras de inferncia, como a Modus Ponens, podem ser vistas
como operaes sobre signos, no sentido de que, por exemplo, a aplicao da regra s fr -
mulas "A e "A B resulta a frmula "B e que a aplicao da regra s frmulas B e "B
C resulta a frmula "C.
Assim, como se uma deduo resultasse de operaes sobre signos (frmulas) que po-
demos fazer para, a partir das hipteses e axiomas, chegar concluso.
De posse das frmulas, dos axiomas e das regras de inferncia de nosso sistema formal
BS podemos agora introduzir as noes de deduo, demonstrao e teorema em um siste-
ma formal. o que faremos na prxima seo. Em especial, veremos como uma teoria formal
ou sistema formal torna mais preciso os signos sobre os quais podemos fazer as operaes
(frmulas) e as operaes que podem ser realizadas sobre eles (regras de inferncia).
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Definio. Em um sistema formal, uma deduo de uma frmula X a partir de certas hi-
pteses, uma sequncia de frmulas tal que:
(1) X a ltima frmula da sequncia e
(2) cada uma das frmulas da sequncia:
(a) ou uma hiptese;
(b) ou um axioma;
(c) ou inferida por regra de inferncia a partir das anteriores.
Por exemplo, na Teoria BS, podemos ento realizar a seguinte deduo, j feita anteri-
ormente (notemos que as frmulas da deduo so enumeradas e depois delas se escreve
sua justificativa, ou seja, se ela uma hiptese, um axioma, ou inferida das anteriores por
regra de inferncia, neste ltimo caso, se insere a abreviao da regra de inferncias e os
nmeros atribudos s premissas da regra utilizada, MP a abreviao utilizada para a re-
gra Modus Ponens):
1. A - hiptese [O objeto considerado tem vida.]
2. A B - Axioma 1 [Se o objeto considerado tem vida, ento o objeto considerado um organismo.]
3. B - MP 1,2 [O objeto considerado um organismo.]
4. B C - Axioma 2 [Se o objeto considerado um organismo, ento o objeto considerado complexo.]
5. C - MP 3,4 [O objeto considerado complexo.]
Podemos ver que, da mesma forma que anteriormente, a deduo pode ser vista como o
resultado de operaes sobre signos (frmulas) que podemos fazer para, a partir das hip -
teses e axiomas, chegar at a concluso, e como uma teoria formal ou sistema formal torna
mais preciso os signos sobre os quais podemos fazer as operaes (frmulas) e as opera -
es que podem ser realizadas sobre eles (regras de inferncia).
1. A B - Axioma 1 [Se o objeto considerado tem vida, ento o objeto considerado um organismo.]
2. B C - Axioma 2 [Se o objeto considerado um organismo, ento o objeto considerado complexo.]
3. A C - SH 1,2 [Se o objeto considerado tem vida, ento o objeto considerado complexo.]
Frmulas que so axiomas ou para as quais existe uma demonstrao so chamadas, por
definio, de teoremas.
Notemos assim que, como existe uma demonstrao da frmula " A C na Teoria BS, a
frmula "A C uma teorema da Teoria BS.
Podemos ver que, da mesma forma que a deduo no tpico anterior, a demonstrao
tambm pode ser vista como o resultado de operaes (regras de inferncia) sobre signos
(frmulas) que podemos fazer para, a partir dos axiomas, chegar at a concluso, e como,
devido a isso, uma teoria formal ou sistema formal torna mais preciso o sentido das noes
de deduo, demonstrao e de teorema.
Teoremas Verdades
2
Essas questes nos levam ento as noes de correo e completude de um sistema for-
mal. Ficamos ento com as seguintes definies.
Definio. Uma teoria correta se todos os seus teoremas so verdades.
Definio. Uma teoria completa se todas as verdades so teoremas.
Temos ento que, na representao grfica acima, a Seta 1 indica a correo do sistema
formal e a Seta 2 indica a completude do sistema formal, como representado abaixo.
Correo
Verdades Teoremas
Completude
Completude Inferencial
Dedues Inferncias
na Teoria Formal Vlidas
Completude Inferencial
S I N T A X E*
Teoria Formal ou Sistema Formal **
(4) Regras de
(1) Alfabeto (2) Frmulas (3) Axiomas S E M N T I C A*
Inferncia
Correo
Regras de
Demonstrao Axiomas (Demais) Teoremas Verdades
Inferncia
Completude
Correo
Inferencial
Regras de
Premissas
Deduo Concluso Inferncia Vlida
(+ Axiomas)
Inferncia
Completude
Inferencial
Regras de Inferncia
X Y
XY XY X Y
Y X
X Y XY XY
XY XY
Condicional para
Dupla Negao (DN) Silogismo Disjuntivo (SD)
Bicondicional (CB)
XY XY XY
~~X X
~X ~Y YX
X ~~X
Y X XY
XY XY XY
XY XY
X ~Y X YZ
X Y YX
~X Y XZ
Resumos - Lgica - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - Unesp/Marlia 2012
~A
AB
BC
C
1. ~A Premissa
2. A B Premissa
3. B C Premissa
4. B SD 1,2
5. C MP 3,4
Argumento:
No noite
noite ou dia
Se dia, ento o Sol est no Cu
Logo, o Sol est no Cu
Deduo:
1. No noite - Premissa
2. noite ou dia - Premissa
3. Se dia, ento o Sol est no Cu - Premissa
4. dia - SD 1,2
5. O Sol est no Cu - MP 3,4
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Resoluo.
4. B C MP 1,3
5. C MP 2,4
6. A C DC 3-5
3. B SD 1,2
4. ~A B DC 2-3
Notemos por fim que podemos usar quantas hipteses quisermos, desde que mantenha-
mos a ordem correta em relao s premissas. Como no seguinte exemplo de deduo para o
argumento abaixo.
A (B C)
B (A C)
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1. A (B C) Premissa
2. B Hiptese
4. B C MP 1,3
5. C MP 2,4
6. A C DC 3-5
7. B (A C) DC 2-6
1. A Hiptese 1. A Hiptese
2. ABA1 2. B Hiptese
3. A (A B) DC 1-2 3. A B C 1,2
4. B (A B) DC 2-3
5. A (B (A B)) DC 1-4
CONECTIVOS E TABELAS-VERDADE
Nas aulas anteriores, inserimos os conectivos lgicos e os sentidos a eles atribudos
(conforme a tabela abaixo) e, a partir destes, introduzimos regras de inferncia que nos
permitiram fazer dedues e demonstraes.
Conectivo Frmula Sentido
Conjuno AB Ocorre A e ocorre B
Disjuno AB Ocorre A ou ocorre B ou ocorre ambos
Negao ~A No ocorre A
Bicondicional AB Ocorre A se, e somente se, ocorre B
Condicional AB Se ocorre A, ento ocorre B
Ou seja:
(1) A alma imortal e o pensamento poderoso
(2) A alma imortal e o pensamento no poderoso
(3) A alma no imortal e o pensamento poderoso
(4) A alma no imortal e o pensamento no poderoso
Considere ento:
A B A alma imortal e o pensamento poderoso
A B A alma imortal ou o pensamento poderoso
Exerccio. Preencha com V ou F as seguintes tabelas.
A B AB A B AB
V V V V
V F V F
F V F V
F F F F
Notemos que:
(1) A conjuno s verdadeira quando ambas so verdadeiras.
(2) Basta que uma seja falsa para a conjuno ser falsa.
E que:
(1) A disjuno s falsa quando ambas so falsas.
(2) Basta que uma seja verdadeira para a disjuno ser verdadeira.
Definio. Os valores V e F atribudos as proposies so chamados de valores-verdade
e as tabelas que expressam o sentido das frmulas em termos de valores-verdade so cha-
madas tabelas-verdade.
Notemos ento que podemos fazer a tabela-verdade de uma frmula complexa, a partir
do resultado de cada um dos conectivos, definido pelas tabelas-verdades acima, como no
exerccio abaixo.
Exerccio. Complete a tabela-verdade:
A B A B ~(A B) ~A ~A B
V V
V F
F V
F F
Vimos que os sentidos da negao, da conjuno e da disjuno podem ser expresso em
termos de tabela-verdade. Podemos ento nos perguntar: Ser que podemos propor um sen -
tido para a implicao apenas em termos da tabela-verdade?
A resposta : Sim!
Vejamos como.
A idia geral de A B : se temos A, temos necessariamente B.
Ou de outra forma: no possvel ocorrer A e no ocorrer B.
Tornar preciso essa noo de necessariamente ou de possvel complicado. Assim,
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V V V F V V V F F V V V V V V V V V V V V V V V
F F V V F F F F V F V F V V V V F V F V V F V V
1 4 3 2 1 4 3 2 F V F V F V V F V F V V F F
F F F V F F F F F F F F V F
1 5 2 4 3 1 4 3 5 2
Tautologia Contradio Tautologia Contingncia
Exerccio. Classifique as frmulas abaixo em tautologia, contradio e contingncia.
(1) A ~A (2) ~(A~A) (3) A A (4) ~A A
(5) (AB) A (6) (A (AB)) B (7) ((AB) ~B) ~A (8)((AB)~A) B
Resumos - Lgica - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - Unesp/Marlia 2012
CONECTIVOS (RESUMO)
Conectivo Smbolo Exemplo Sentido
Negao ~ ~A No ocorre A
Conjuno AB Ocorre A e ocorre B
Disjuno Inclusiva AB Ocorre A ou ocorre B ou ocorre ambos
Disjuno Exclusiva A B Ocorre A ou ocorre B, porm no ocorre ambos
Condicional AB No ocorre A ou ocorre B
Bicondicional AB Ou ocorre A e ocorre B, ou no ocorre A e no ocorre B
Para indicar que um entre dois objetos, e.g., A e B, est presente (podendo estar A B AB
ambos presentes), usamos o signo e escrevemos AB. Assim, o signo designa a Presente Presente Presente
operao disjuno inclusiva que tal que (1) AB est presente se, e somente Presente Ausente Presente
se, pelo menos um dos dois, A ou B, est presente; ou ainda, equivalentemente, Ausente Presente Presente
(2) AB est ausente se, e somente se, A e B esto ambos ausentes, o que nos d Ausente Ausente Ausente
a tabela ao lado.
Para indicar que, se um objeto, e.g., A, est presente, ento um objeto, e.g., B, A B AB
est presente, usamos o signo e escrevemos AB. Assim, o signo designa a Presente Presente Presente
operao condicional que tal que (1) AB est presente se, e somente se, am- Presente Ausente Ausente
bos, A e B, esto presentes ou A est ausente; (2) ou ainda, equivalentemente, Ausente Presente Presente
AB est ausente se A est presente e B est ausente, o que nos d a tabela ao Ausente Ausente Presente
lado.
Vemos ento que esse ltimo conectivo capta um tipo de relao de implicao, chamada de implicao material. Com efei-
to, vale para ela as regras Modus Ponens (se AB est presente e A est presente, ento necessariamente B est pre-
sente) e Silogismo Hipottico (se AB est presente e BC est presente, ento necessariamente AC est presente).
Para indicar que um objeto, e.g., A est presente se, e somente se, um objeto, A B AB
e.g., B, est presente, usamos o signo e escrevemos AB. Assim, o signo Presente Presente Presente
designa a operao bicondicional que tal que (1) AB est presente se, e so- Presente Ausente Ausente
mente se, os dois, A e B, esto presente, ou se, os dois, A e B, esto ausentes; Ausente Presente Ausente
(2) ou ainda, equivalentemente, AB est presente se, e somente se ambos tem Ausente Ausente Presente
o mesmo estado, o que nos d a tabela ao lado.
Por fim, para indicar que um entre dois objetos, e.g., A e B, est presente (no A B AB
podendo estar ambos presentes), usamos o signo e escrevemos AB. Assim, o Presente Presente Ausente
signo designa a operao disjuno exclusiva que tal que (1) AB est pre- Presente Ausente Presente
sente se, e somente se, um dos dois, A ou B, est presente, mas no ambos, o que Ausente Presente Presente
nos d a tabela ao lado. Ausente Ausente Ausente
Notemos ento que as tautologias esto sempre presentes, as contradies nunca esto presentes e as contingncias s
vezes esto presentes s vezes esto ausentes. Podemos dizer que a eterna presena das tautologias indica a correo da
Lgica Proposicional Clssica enquanto base de todo o pensar. Ou como nos diz Granger (Idem, p.61): Podemos dizer que
ele [o objeto qualquer definidos apenas pelas operaes dos conectivos da Lgica Proposicional Clssica] desenha ento
uma possibilidade do objeto mais que um objeto mesmo, e que nesse sentido a lgica formal tem um porte transcendental
(...) , e, ainda, que O lgico, regra a priori de toda expresso da experincia, no conhecido por abstrao a partir
dessa experincia, exceto no sentido de que a precede; contudo ele necessariamente forma de um mundo e no apenas
forma de uma linguagem, ou mais exatamente, nesse caso, a forma de uma linguagem s pode ser que forma de um mundo.
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XY
~Y
~X
Exemplo:
Se chove, a rua est molhada.
A rua no est molhada.
Logo, no chove.
AB
~A
~B
:
Casos possveis Premissas Concluso
A B AB ~A ~B
[1] V V V F F
[2] V F F F V
*[3] F V V V F
[4] F F V V V
Proposio. O argumento
X1
X2
Xn
Y
vlido se, e somente se, sua condicional associada (X 1 X2 ... Xn) Y uma tautolo-
gia.
A proposio acima motiva o seguinte mtodo.
Definio. O Mtodo da Condicional Associada o mtodo que consiste em:
(1) construir a condicional associada ao argumento;
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A B ((A B) ~ B) ~ A
V V V V V V V V V F V
V F V F F F F F V F V
F V F V V V V V V V F
F F F V F F F F V V F
A condicional associada uma tautologia, portanto, o argumento vlido.
A B ((A B) ~ A) ~ B
V V V V V F F V F F V
V F V F F F F V V V F
F V F V V V V F V F V
F F F V F V V F V V F
A condicional associada no uma tautologia, portanto, o argumento no vlido.
Observao. Para entendermos os resultados acima, observemos que, em um argumento
vlido, as premissas implicam a concluso, o que motiva a definio a acima, pois a condicio -
nal associada ao argumento expressa, em apenas uma nica frmula de nossa linguagem arti-
ficial, que a conjuno das premissas do argumento implica a sua concluso. Segundo a pro-
posio acima, temos que um argumento vlido se, e somente se, a condicional associada
sempre verdadeira (tautologia), isto , se as premissas sempre implicam a concluso.
Exerccio. Usando o Mtodo da Condicional Associada, mostre que so vlidas as regras
de inferncia: Adio, Reduo ao Absurdo, Bicondicional para o Condicional, Condicional
para o Bicondicional.
Notemos que os exerccios finais da lio passada mostram, pelo Mtodo da Condicional
Associada, que as regras de inferncia Simplificao, Modus Ponens, Modus Tollens e Silo-
gismo Disjuntivo so vlidas, j que mostramos que as condicionais associadas a essas re-
gras so tautologias.
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Definio. Dada uma frmula para ser determinado se ela ou no uma tautologia, o
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Assim, se h um ramo aberto (isto , que no tem uma frmula e sua negao), a frmula
no uma tautologia.
REGRAS DE DESDOBRAMENTOS
~~A A B A B A B A B
A A
B A B ~A B A ~A
B ~B
Notemos que o signo indica que devemos considerar duas possibilidades, gerando
uma bifurcao na sequncia de frmulas a ser considerada, o que faz com que o Mtodo
das Ramificao gere uma forma de rvore de cabea para baixo: chamamos de raiz for -
mula negada inicial e de ramo uma sequncia de frmulas que parte da raiz at uma lti-
ma frmula da sequncia de desdobramentos. No exemplo acima, temos uma rvore com
apenas um ramo constitudo pela sequncia de frmulas de (1) a (6) e a ~(A (B ~A)) a
frmula raiz; o ramo fechado pois tem a contradio A e ~A (frmulas (2) e (6)). Vejamos
abaixo um exemplo de ramificao com dois ramos.
Exemplo. Determinar se a frmula (~A ~B) ~(A B) uma tautologia.
(1) ~((~A ~B) ~(A B))
(2) ~A ~B (1~)
(3) ~~(A B) (1~)
(4) ~A (2)
(5) ~B (2)
(6) A B (3~~)
(7) A (6) (8) B (6)
x x
Notemos que a direita das frmulas acima indicamos didaticamente, entre parnteses, a
frmula e a regra de desdobramento que a originou, mas, em geral no precisamos fazer
isso. Notemos tambm a presena do sinal aps uma frmula para indicar que foi aplica-
da uma regra de desdobramento frmula.
Notemos por fim que, na ramificao acima, temos dois ramos:
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~((A B) A)
AB
~A
A B
x
O ramo a esquerda fechado, pois contm as frmulas A e ~A. Mas a frmula no uma
tautologia, pois nem todos os ramos so fechados, j que o ramo da direita abaerto, pois
no tem uma frmula e a negao dela. Temos, no ramo da direita, apenas as frmulas B e
~A para as quais no h regras de desdobramento. Frmulas desse tipo so importantes,
pois indicam quando a frmula que foi testada falsa (e por isso no uma tautologia), ou
seja, no caso acima, quando B verdadeira e A falsa.
Assim, o Mtodo da Ramificao permite determinar se uma frmula ou no tautologia
e, mais ainda, caso a frmula no seja tautologia, o Mtodo permite determinar quais valo -
res-verdades das frmulas componentes a tornam falsa.
Vemos ento que a equivalncia lgica permite expressar uma igualdade entre os senti-
dos das frmulas.
Existe ento vrios aspectos interessantes que podem ser da derivados.
Por exemplo, o exerccio anterior mostra que afirmar XY equivalente a afirmar
~(~X~Y) e, nesse sentido, podemos expressar o conectivo apenas com os conectivos e
~.
Vamos ento investigar, agora, a possibilidade de definir conectivos uns pelos outros.
Podemos nos perguntar:
Ser que tambm podemos expressar o conectivo apenas com os conectivos e ~?
O exerccio a seguir mostra que sim.
Exerccio. Mostre que X Y = ~(X ~Y).
Por fim, tambm podemos expressar o conectivo em termos de e ~, conforme o
exerccio a seguir.
Exerccio. Mostre que X Y = (X Y) (Y X). Conclua, a partir deste resultado e
dos resultados dos exerccios anteriores, que os conectivos , e podem ser expressos
em termos apenas dos conectivos e ~ e que, assim, podemos reduzir os conectivos de nos-
sa linguagem artificial uma linguagem apenas com os conectivos e ~ sem perder poder
expressivo.
O exerccio anterior mostra que podemos assumir a conjuno e a negao como noes
primitivas e, a partir da, derivar delas todas as outras noes relativas a disjuno, impli -
cao e bicondicional. Em uma interpretao mais livre, podemos dizer, que da noo de si-
multaneidade e de negao, podemos derivar todas as outras noes lgicas (de alternativa,
de implicao, etc.).
Notemos, por fim, que caracterstica expressa no exerccio anterior no apenas rela -
tiva a e ~, como podemos constatar pelos exerccios abaixo.
Exerccio. Mostre que X Y = ~(~X ~Y) e X Y = ~X Y e que, assim, podemos tam-
bm reduzir os conectivos de nossa linguagem artificial uma linguagem apenas com os co -
nectivos e ~ sem perder poder expressivo. Note, em especial, que X Y = ~X Y a de-
finio que adotamos para a implicao na lio Conectivos e Tabelas-Verdade.
Exerccio. Mostre que X Y = ~X Y e que X Y = ~(X ~Y). Conclua que podemos
reduzir os conectivos de nossa linguagem artificial uma linguagem apenas com os conecti-
vos e ~ sem perder poder expressivo.
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Leis da Idempotncia
XX= XX=
Leis da Complementariedade
X ~X = X ~X = ~~X = ~V = ~F =
Notemos que, nas equaes consideradas, X pode ser vista como uma varivel (ou seja,
X pode vir a se substituda tanto por V quanto por F), como mostra o exerccio abaixo.
Exerccio. Substitui X por V e por F nas equaes acima e verifique que elas se reduzem
as equaes mais acima.
Temos ainda as seguintes leis.
Leis da Comutatividade
XY=YX XY=YX
Leis da Associatividade
X (YZ) = (XY) Z X (YZ) = (XY) Z
Leis da Distributividade
X (YZ) = (XY) (XZ) X (YZ) = (XY) (XZ)
Leis de De Morgan
~(XY) = ~X~Y ~(XY) = ~X~Y
A partir das equivalncias lgicas acima, podemos ver os conectivos , e ~ como opera-
dores matemticos sobre os valores-verdade V e F e as letras X, Y e Z acima como vari -
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veis (que podem ser substitudas por V ou F ou, ainda, por outras frmulas com conectivos
, e ~), ou seja, podemos estabelecer uma lgebra das Proposies.
Com efeito, para as equivalncias lgicas vale a seguinte proposio.
Proposio (Regra da Substituio por Equivalentes).
Se X = Y e se, em uma frmula Z, substitumos X por Y obtendo Z, ento: Z = Z.
Exemplos.
(1) Como AA = A, temos que (AA)B = AB, pois podemos substituir AA por A.
(2) Considerando as equivalncias VA = V; BF = B; e VB = B; temos que (VA) (BF)
= V B = B.
Exerccio. Calcule o valor das seguintes expresses.
(1) ~(A F) (2) ~(A F) ~(A V) (3) A (~A B)
(4) Compare o resultado de (3) com a regra do Silogismo Hipottico.
Notemos, por fim, que as mesmas leis formais acima se aplicam a conjuntos, se inter -
pretarmos o conectivo como a operao de interseo , o conectivo como a unio , ~
como a complementar , F como o conjunto vazio e V como o conjunto universo U, como
abaixo.
= = = =
= = = =
= =
Leis da Idempotncia
XX=X XX=X
Leis da Complementariedade
X X = X X = X = X = =
Leis da Comutatividade
XY=YX XY=YX
Leis da Associatividade
X (YZ) = (XY) Z X (YZ) = (XY) Z
Leis da Distributividade
X (YZ) = (XY) (XZ) X (YZ) = (XY) (XZ)
Leis de De Morgan
(XY) = XY (XY) = XY
As leis acima definem ento uma estrutura que comum tanto lgebra das Proposi-
es como lgebra de Conjuntos; mais ainda: definem uma lgebra abstrata, que vale para
diversos contedos, chamada atualmente de lgebra de Boole, em homenagem ao filsofo,
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A ~A A B AB A B AB
1 0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0
Exerccio. (1) Determine, em relao aos dois primeiros circuitos, qual corresponde ao
e qual corresponde ao . (2) Escreva a frmula associada ao ltimo circuito.
A A B
A B
B C
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X Y :=def. (X Y) (Y X)
(notar que j est definido logo acima)
(3) Regras de Inferncia de S.
Modus Ponens (MP) Reduo ao Absurdo (RA) Demonstrao Condicional (DC)
X
XY XY
X X ~Y
Y
Y ~X
XY
Dados os elementos constituintes de nosso sistema S, podemos agora definir deduo e
demonstrao em S.
Definio. Uma deduo no sistema S de uma frmula Z a partir das premissas X 1,
X2, ..., Xn uma sequncia de frmulas Y1, Y2, , Ym tal que:
(1) a ltima frmula Ym Z; e
(2) cada frmula Yi da sequncia:
(2.a) ou uma da premissa Xj;
(2.b) ou uma hiptese (usada na aplicao da regra de inferncia DC);
(2.c) ou a repetio de uma frmula anterior da sequncia*;
(2.d) ou o resultado da aplicao de umas das regras de inferncia MP, RA ou DC**.
Notao. Vamos indicar que existe uma deduo, no sistema S, da concluso Z a partir
das premissas X1, X2, ..., Xn por***:
X1, X2, ..., Xn Z
*
S podemos repetir uma frmula se ela no est sob uma hiptese j utilizada em uma regra DC.
**
S podemos aplicar essas regras a uma frmula se ela no est sob uma hiptese j utilizada em uma
regra DC.
***
Em geral, usa-se o signo S, no sinal de deduo, i.e., X 1, X2, ..., X n S Z, para indicar que se trata de uma
deduo em S; entretanto, para simplificar, vamos aqui dispensar o uso do signo S.
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mos que SH pode ser derivada, podemos us-la como uma regra de nosso sistema: a ideia, ao
us-la, que estamos subentendendo que poderamos repetir essa deduo de SH.
Analogamente, toda forma de deduo no sistema S pode ser vista como estabele -
cendo uma regra de inferncia (derivada). Assim, Y X Y estabelece tambm uma re-
gra de inferncia, chamada de Prefixao e abreviada por Pf; Pf diz que, de Y, podemos
concluir X Y, ou seja, podemos colocar o prefixo X antes de Y (da seu nome).
Vamos agora definir uma demonstrao em S. Cabe observar (ausncia do item 2.a aci-
ma na definio abaixo) que: uma demonstrao apenas uma deduo sem premissas.
Definio. Uma demonstrao no sistema S de uma frmula Z uma sequncia de fr-
mulas Y1, Y2, , Ym tal que:
(1) a ltima frmula Ym Z; e
(2) cada frmula da Yi sequncia:
(2.a) ou uma hiptese (usada na aplicao da regra de inferncia DC)
(2.b) ou a repetio de uma frmula anterior da sequncia*;
(2.c) ou o resultado da aplicao de umas das regras de inferncia MP, RA ou DC**.
Definio. Um frmula Z um teorema de S se existe uma demonstrao para Z.
Notao. Vamos indicar que existe uma demonstrao da frmula Z no sistema S, ou
ainda, que Z um teorema de S, por***:
Z
Exemplo. Mostre que: (1) X X e (2) ~~X X.
XX ~~X X
1. X Hiptese 1. ~~X Hiptese
2. X Repetio 1 2. ~X ~~X Pf 1
3. X X DC 1-2 3. ~X ~X PI
4. X RA 2,3
5. ~~X X DC 1-4
Notemos que a frmula X X chamada de Princpio da Identidade e abreviada por
PI e que ~~X X chamado de Princpio da Dupla Negao.
Notemos que, na demonstrao de ~~X X, usamos tanto a regra de Prefixao (na li-
nha 2) quanto o Princpio da Identidade (na linha 3). Assim, podemos no s usar uma regra
derivada nas novas demonstraes (como no caso de Pf), como tambm os teoremas, ou seja
as frmulas j demonstradas (como no caso de PI). Novamente, a ideia, de podermos usar
um teorema (em uma deduo ou demonstrao) e que no lugar dele poderamos colocar toda
a sua demonstrao, assim, no lugar da frmula 3 (PI), poderamos colocar sua demonstra-
o, feita acima.
*
S podemos repetir uma frmula se ela no est sob uma hiptese j utilizada em uma regra DC.
**
S podemos aplicar essas regras a uma frmula se ela no est sob uma hiptese j utilizada em uma
regra DC.
***
Tambm aqui, em geral, usa-se o signo S, no sinal de demostrao, i.e., S Z, para indicar que se trata
de uma demonstrao em S; e, tambm, para simplificar, vamos dispensar o uso do signo S.
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S tem o mesmo poder dedutivo e demonstrativo que o sistema de deduo natural anterior.
A CORREO INFERENCIAL DE S
Vamos, nesta lio, mostrar que o sistema de deduo natural S, definido na lio O Sis-
tema S de Deduo Natural para a Lgica Proposicional Clssica, inferencialmente correto
(cf. a lio As Noes de Correo e Completude de um Sistema Formal), ou seja, vamos
mostrar a proposio CI abaixo.
Com efeito, em uma deduo com zero (nenhuma) regra de inferncia, a concluso Z
uma premissa; e se as premissas so verdadeiras, Z verdadeira.
Vamos mostrar agora que:
mostraremos que:
Se CI vale para dedues com menos de n regras de inferncia,
ento CI vale para uma deduo com n regras de inferncia.
Observao. Essa hiptese, de que CI vale para os casos anteriores, para, a partir da,
mostrar que vale para os casos seguintes, chamada de hiptese de induo e essa forma
de demonstrar uma proposio chamada de demonstrao por induo".
Temos, ento, trs casos para analisar, segundo a regra de inferncia pela qual Z foi ob-
tida: (1) MP, (2) RA e (2) DC.
(1) No caso em que Z foi obtida por MP, Z s pode ter sido obtida de frmulas do tipo X
e X Z; ora, se X V e X Z V, ento Z V, pois, como vimos, a regra MP um argu-
mento vlido.
(2) No caso em que Z foi obtida por RA, Z s pode ter sido obtida de frmulas do tipo Z
X e ~Z ~X; ora, como Z X V e ~Z ~X V, ento Z V, pois, como vimos, a re-
gra RA um argumento vlido.
(3) No caso em que Z foi obtida por DC, Z da forma X Y; no qual Y foi obtida de X
por uma deduo com menos de n regras de inferncia, logo, por hiptese de induo, se X
V, ento Y V, e, neste caso X Y no pode ser F, ou seja V; logo, Z V.
Como analisamos os trs casos possveis e, para todos eles, se as premissas so verda-
deiras, a concluso Z verdadeira, temos que CI vale para todas as dedues do sistema S.
Notao. Em geral, denota-se que, se X 1, X2, ..., Xn so verdadeiras, ento Z verdadei-
ra, por:
X1, X2, ..., Xn Z
CI nos garante ento que podemos usar o sistema S para fazer dedues, no sentido
que, toda deduo em S, que parte de premissas X1, X2, ..., Xn e chega a uma concluso Z,
expressa uma argumento vlido de premissas X 1, X2, ..., Xn e concluso Z. Com isso, chega-
mos a elaborar uma conceitografia para a Lgica Proposicional Clssica, ou seja, uma lingua-
gem tal que, apenas seguindo suas regras sintticas (isto , de manipulao de signos), te -
mos garantida a correo de nossos argumentos.
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A CORREO DE S
Vamos, nesta lio, mostrar que o sistema de deduo natural S, definido na lio O Sis-
tema S de Deduo Natural para a Lgica Proposicional Clssica, correto (cf. Tambm a li-
o As Noes de Correo e Completude de um Sistema Formal). Ou seja, vamos mostrar a
proposio Co abaixo.
Vamos mostrar Co por induo, isto , vamos mostrar que Co vale para para demonstra -
es com uma regra de inferncia e, depois, mostrar que: se Co vale para demonstraes
com menos que n regras de inferncias, ento Co vale para demonstraes com n regras de
inferncia. Assim, mostraremos que Co vale para todas as demonstraes de S.
Vejamos que: Co vale para demonstraes com uma apenas uma regra de inferncia.
Notemos que uma demonstrao no tem premissas (diferente de uma deduo) e assim,
em uma demonstrao com apenas uma regra de inferncia, essa regra no pode ser MP ou
RA, pois estas regras partem de premissas.
Assim, em uma demonstrao com apenas uma regra de inferncia, essa regra s pode
ser DC (a partir de uma hiptese); seja ento X essa hiptese; logo, a nica demonstrao
possvel com uma regra de inferncia da forma:
1. X Hiptese
2. X Repetio 1
3. X X DC 1-2
Como X X uma tautologia, temos que: Co vale para demonstraes com uma apenas
uma regra de inferncia.
Vejamos que: se Co vale para demonstraes com menos que n regras de inferncias, en-
to Co vale para demonstraes com n regras de inferncia.
Seja ento uma demonstrao da concluso Z com n aplicao de regras de inferncia.
Temos ento trs possibilidades, conforme a ltima regra aplicada foi: (1) MP, ou (2)
RA, ou (3) DC.
Analisemos as trs possibilidades.
(1) Se a ltima regra aplicada foi MP, ela foi aplicada a frmulas do tipo X e X Z para
as quais existem demonstraes com menos de n regras de inferncia. Por hiptese de indu -
o, X e X Z so tautologia, isto , sempre verdadeiras; logo, como X e X Z so sem-
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pre verdadeiras, temos que Z sempre verdadeira (pois MP um argumento vlido), isto ,
Z uma tautologia.
(2) Se a ltima regra aplicada foi RA, ela foi aplicada a frmulas do tipo Z X e ~Z
~X para as quais existem demonstraes com menos de n regras de inferncia. Por hiptese
de induo Z X e ~Z ~X so tautologia, isto sempre verdadeiras; logo, como Z X
e ~Z ~X so sempre verdadeiras, temos que Z sempre verdadeira (pois RA um argu-
mento vlido), isto , Z uma tautologia.
(3) Se a ltima regra aplicada foi CD, Z da forma X Y, no qual Y foi obtida de X por
uma deduo com menos de n regras de inferncia; logo, por CI, se X verdadeira, ento Y
verdadeira, ou seja, o argumento com premissa X e concluso Y vlido, e sua condicional
associada X Y tautologia; como Z X Y, temos que Z uma tautologia.
Como analisamos os trs casos possveis e, para todos eles, Z tautologia, temos que: se
Co vale para demonstraes com menos que n regras de inferncias, ento Co vale para de-
monstraes com n regras de inferncia.
Assim, temos que Co vale para para demonstraes com uma regra de inferncia e que,
se Co vale para demonstraes com menos que n regras de inferncias, ento Co vale para
demonstraes com n regras de inferncia; com isso temos que Co vale para todas as de -
monstraes de S.
Notao. Em geral, denota-se que Z uma tautologia, por:
Z
Z Z
A COMPLETUDE DE S
Vamos, nesta lio, mostrar que o sistema de deduo natural S definido anteriormente
completo (cf. a lio As Noes de Correo e Completude de um Sistema Formal).
Antes, precisamos mostrar a seguinte proposio que nos ajudar a mostrar a completu-
de e a completude inferencial.
Proposio (Deduo da linha da tabela-verdade). Dada uma linha da tabela-verdade
de uma frmula Z, com letras sentenciais X1, X2, , Xn temos que:
(b) Z F.
Analisando os quatros subcasos possveis, temos o seguinte.
(1.a) Z = ~Y e Z V.
X1*, X2*, , Xn* Y* (por hiptese de induo, pois Y tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, , Xn* ~Y (Y* = ~Y, pois Y F, j que Z V e Z = ~Y)
X1*, X2*, , Xn* Z (Z = ~Y)
X1*, X2*, , Xn* Z* (Z* = Z, pois Z V)
(1.b) Z = ~Y e Z F.
X1*, X2*, , Xn* Y* (por hiptese de induo, pois Y tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, , Xn* Y (Y* = Y, pois Y V, j que Z F e Z = ~Y)
X1*, X2*, , Xn* ~~Y (Pela regra DN aplicada a Y)
X1*, X2*, , Xn* ~Z (Z = ~Y)
X1*, X2*, , Xn* Z* (Z* = ~Z, pois Z F)
(2.a) Z = Y W e Z V. Se Z V e Z = Y W, ento (i) Y F ou (ii) W V.
(i) X1*, X2*, , Xn* Y* (por hiptese de induo, pois Y tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, , Xn* ~Y (Y* = ~Y, pois Y F, neste caso(i))
X1*, X2*, , Xn* Y W (Pela regra DS aplicada a ~Y)
X1*, X2*, , Xn* Z (Z = Y W)
X1*, X2*, , Xn* Z* (Z* = Z, pois Z V)
(ii) X1*, X2*, , Xn* W*(por hiptese de induo, pois W tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, , Xn* W (W* = W, pois W V, neste caso(ii))
X1*, X2*, , Xn* Y W (Pela regra P aplicada a W)
X1*, X2*, , Xn* Z (Z = Y W)
X1*, X2*, , Xn* Z* (Z* = Z, pois Z V)
(2.b) Z = Y W e Z F. Neste caso, como Z F e Z = Y W, Y V e W F.
X1*, X2*, , Xn* W*(por hiptese de induo, pois W tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, , Xn* ~W (W* = ~W, pois W F)
X1*, X2*, , Xn* Y* (por hiptese de induo, pois Y tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, , Xn* Y (Y* = Y, pois Y V)
X1*, X2*, , Xn* ~(Y W) (Pela regra NC aplicada a Y e ~W acima)
X1*, X2*, , Xn* ~Z (Z = Y W)
X1*, X2*, , Xn* Z* (Z* = ~Z, pois Z F)
Ou seja, em todos os casos possveis, temos que, se X 1*, X2*, , Xn* Z* vale para fr-
mulas Z com menos que n conectivos, ento X 1*, X2*, , Xn* Z* vale para uma frmula Z
com n conectivos. Com isso, e com o resultado anterior de que X 1*, X2*, , Xn* Z* vale
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quando Z tem zero conectivos, mostramos que X1*, X2*, , Xn* Z* vale para todas as fr-
mulas.
Podemos agora mostrar o resultado central desta lio.
Completude.
Se a frmula Z uma tautologia, ento Z teorema de S, ou seja,
se a frmula Z uma tautologia, ento existe uma demonstrao de Z em S.
Com efeito, seja Z uma tautologia e X1, X2, , Xn as letras sentenciais de Z. Neste caso:
X1*, X2*, , Xn* Z (Z* = Z, pois Z sempre V).
Quando Xn V, temos
X1*, X2*, , Xn Z
e pela Demonstrao Condicional (veja a lio O Sistema S e a Regra de Demonstrao
Condicional) temos
X1*, X2*, , Xn-1* Xn Z.
E quando Xn F, temos
X1*, X2*, , ~Xn Z
e pela Demonstrao Condicional (idem acima) temos
X1*, X2*, , Xn-1 ~Xn Z.
Assim, a partir das premissas X 1*, X2*, , Xn-1* temos uma deduo de Xn Z e uma
deduo de ~Xn Z e (juntado as duas dedues, que so uma sequncia de frmulas, em
uma nica uma sequncia de frmulas), temos uma deduo de X n Z e ~ Xn Z , e, pela
regra Segue do Terceiro Excludo (veja a lio Alguns Esquemas de Deduo do Sistema S),
temos que existe uma deduo de Z a partir das premissas X1*, X2*, , Xn-1*, ou seja,
X1*, X2*, , Xn-1* Z
Se repetirmos o procedimento n-1 vezes para cada uma das premissas chegamos :
Z.
Ou seja, Z teorema de S.
Temos ento, que se Z uma tautologia, ento Z teorema de S, ou seja, se Z uma
tautologia, ento existe uma demonstrao de Z em S.
Uma das formas que se abrevia a Completude na literatura especializada :
Z Z
E com a Correo mostrada na lio A Correo de S, temos:
Z Z
Chegamos ento a um importante resultado de que, na nossa conceitografia (o sistema
S), toda frmula que demonstramos sempre verdadeira (tautologia), mais ainda, demons-
tramos toda frmula que sempre verdadeira (tautologia).
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A COMPLETUDE INFERENCIAL DE S
Vamos, nesta lio, mostrar que o sistema de deduo natural S definido anteriormente
inferencialmente completo (cf. a lio As Noes de Correo e Completude de um Siste-
ma Formal).
Com efeito, vimos, na lio O Mtodo da Condicional Associada, que se o argumento com
premissas X1, X2, , Xn e concluso Y vlido, ento sua condicional associada (X 1 X2 ...
Xn) Y uma tautologia. Se (X1 X2 ... Xn) Y tautologia, ento, devido a Completu-
de de S, existe uma demonstrao de Y em S. Considere ento uma deduo que com pre -
missas X1, X2, , Xn:
1. X1 Premissa
2. X2 Premissa
3. X3 Premissa
,
n. Xn Premissa
n+1. (X1 X2) C 1,2
n+2. ((X1 X2) X3) C n+1, 3
n+3. (((X1 X2) X3) X4) C n+2, 4
n+n-1. (...((X1 X2) X3)... Xn) C n+n-2, n
(aqui entra a demonstrao, com m linhas, da tautologia abaixo, que existe, devido a Completude
de S)
n+n-1+m. (X1 X2 ... Xn) Y
n+n+m. Y MP n+n-1, n+n-1+m
Logo, se o argumento com premissas X1, X2, , Xn e concluso Y vlido, ento X1, X2, ,
Xn Y (existe deduo em S de Y a partir das premissas X1, X2, , Xn).
Na literatura especializada, uma das formas de escrever a completude inferencial :
OUTRAS LGICAS
LGICAS NO-CLSSICAS
[Geralmente divididas em:]
- Complementares ou Ampliadas ou Estendidas
- Operadores intensionais vs operadores extensionais
(operadores intensionais no so verofuncionais)
- Alternativas ou Heterodoxas
LGICAS POLIVALENTES
ukasiewicz
Princpio da Bivalncia -> Um evento futuro verdadeiro ou sua negao o .
Mas o futuro no contingente? Como pode j considerarmos determinado?
Problema dos Futuros Contingntes.
Terceiro valor-verdade: Indeterminado -> I
~
V F V V V V V
I I V I V I I
F V V F V F F
I V V F V
I I I I V*
I F I F I
F V V F V
F I I F V
F F F F V
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3
- Axiomas:
() (() ())
(~~) ()
((~) )
- Regra de Inferncias: Modus Ponens
~
V F V V V V V
I I V I V I I
F V V F V F F
I V V F V
I I I I I*
I F I F I
F V V F V
F I I F V
F F F F V
LGICAS ESTENDIDAS
(por operadores intensionais, i.e., no verofuncionais)
Operadores Exemplo
Lgicas Temporais F: No futuro ser o caso que F: Ocorrer
P: No passado foi o caso que P: Ocorreu
H: Foi sempre o caso que H: Foi sempre o caso que
G: Ser sempre o caso que G: Ser sempre o caso que
Lgicas Alticas : necessrio que : necessrio que
[de ] : possvel que : possvel que
Lgicas Epistmicas K: Sabe-se que K: Sabe-se que
B: Acredita-se que B: Acredita-se que
Lgicas Denticas O: obrigatrio O: obrigatrio
[de Deontologia] P: permitido P: permitido
Exemplos:
Teoremas: G F , ;HP
Regra de Inferncia: |- FP
Dualidade:
~ ~
~ ~
Lgica temporal tambm pode usar essa semntica: relao de acessibilidade transitiva
Axiomas?
LP: (no qual uma toutologia)
Def: =def. ~ ~
K: () ()
T:
4:
5:
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Regra de necessitao:
|-
____
|-
Sistemas:
KD = K + D
T=K+T
B=T+B=K+T+B
S4 = T + 4 = K + T + 4
S5 = T + 5
Lgica Relevante
Paradoxo da Implicao Material -> Lgicas Modais Alticas
Lewis (1918) ->LPC Marcus (1946) -> 1 ordem
Exemplos ( ) ( )
A NALISE INTRA-SENTENCIAL
Para entendermos a necessidade da anlise intra-sentencial, consideremos o argumento:
Todo homem mortal.
Ora, Scrates homem.
Logo, Scrates mortal.
O argumento acima sem dvida um argumento vlido, pois, se suas premissas so
admitidas como verdadeiras, ento sua concluso tem que ser admitida como verdadeira.
Mais ainda, isso se d devido a sua forma:
Todo H M.
Ora, a H.
Logo, a M.
Notemos, porm, que o argumento vlido devido forma de composio dos termos e
no devido a forma de composio de sentenas, pois, se fizermos a anlise do argumento
acima com o que estudamos at agora, como todas as sentenas que compe o argumento
so sentenas simples e diferentes entre si, obtemos:
A
B
C
Scrates homem
Podemos, por exemplo, usar o signo a para designar Scrates e o signo H para
designar mortal. Assim, a sentena acima fica:
aH
x homem
designando uma funo que leva objetos proposies, ou ainda, aos valores-verdades V ou
F.
DIGRESSO: O CONCEITO
Compreenso: aquilo que permite distinguir entre aplicao e no aplicao do conceito
Conceito - Conceito Imagem
(designado por - Conhecimento Conceitual "Conhecimento Imagtico
um predicado) - Conhecimento Conceitual Mito
Extenso: conjunto-verdade
De uma forma bem geral, notar que se estabelecssemos a compreenso dos predicados x
belo ou x bom, teramos resolvido, por exemplo, os principais problemas da esttica
ou da tica.
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PREDICADOS N-RIOS
Notemos que as relaes tambm podem receber o mesmo tratamento que fizemos
anteriormente.
Considere a sentena:
Scrates mestre de Plato.
Da mesma forma que antes, podemos substituir Scrates e Plato por variveis
individuais obtendo:
x mestre de y
Notemos que essa expresso tambm no nem verdadeira nem falsa, mas ser
verdadeira ou falsa ao substituirmos x e y por constantes:
a mestre de b = Scrates mestre de Plato = V
x mestre de y b mestre de a = Plato mestre de Scrates = F
a mestre de c = Scrates mestre de Zeus = F
etc.
Assim, tambm o termo mestre pode ser visto como uma funo: s que, diferente dos
predicados anteriormente analisados, mestre leva pares de indivduos proposies, ou
ainda, aos valores-verdades V ou F.
Notao. Em correlao com a notao matemtica, vamos escrever
M(x,y) ou xMy
para denotar
x mestre de Y.
Assim, temos que
M(x,y) = xMy = x mestre de y
M (a, b) = aMb = a mestre de b = Scrates mestre de Plato = V
M (b, a) = bMa = b mestre de a = Plato mestre de Scrates = F
M (a, c) = aMc = a mestre de b = Scrates mestre de Zeus = F
etc.
Notemos que a relao mestre acima pode ser vista como um predicado definidos para
dois elementos; por isso relaes entre dois elementos so chamados predicados binrios.
Da mesma forma, relaes entre trs elementos, como, por exemplo, x ensinou y a z, so
chamadas predicados ternrios. Podemos continuar, considerando n elementos, como
abaixo.
Definio. Um signo usado para designar uma relao entre n elementos chamado de
predicado n-rio.
Notao. Como para predicados unrios, vamos usar como predicados n-rios as letras
maisculas: A, B, C, , Z.
Exemplos. M(x,y) = x mestre de y; E(x,y,z) = x ensinou y a z; F(x) = x filsofo.
Notemos, ento que se X um predicado n-rio e t1,,tn so termos (isto , constantes
individuais ou variveis individuais), ento X(t1,,tn) uma frmula.
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QUANTIFICADORES
Vimos, nas lies anteriores, elementos que constituem nossa linguagem artificial:
constantes individuais, variveis individuais, predicados n-rios. j vimos, na Parte 1 de
nosso Curso, os conectivos. O ltimo tipo de elemento que falta so os quantificadores. Com
os quantificadores poderemos asserir, em termos de nenhum, algum ou todos, quantos
indivduos de determinado domnio de discurso, por exemplo, tem certo predicado.
O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Consideremos a frmula atmica F(x) a que atribuiremos o significado: x filsofo.
(Lembremos que, como vimos anteriormente, essa expresso no verdadeira, nem falsa).
Como asserir, em nossa linguagem, a partir de F(x), a proposio:
Algum filsofo.
Uma das formas seria F(a), significando que o indivduo a filsofo. Mas nesse caso,
saberamos quem filsofo (o indivduo a), enquanto a assero Algum mortal no nos
especifica quem filsofo. A notao abaixo soluciona essa questo.
Notao. Escrevemos
x F(x)
O QUANTIFICADOR UNIVERSAL
Da mesma forma, podemos asserir, em nossa linguagem, a partir de F(x), a proposio:
Todos so filsofos.
Para isso usamos a expresso abaixo.
Notao. Escrevemos
x F(x)
SINTAXE
Definio. Um alfabeto de uma linguagem de 1 ordem se constitui de:
(1) Constantes Individuais: a, b, c, etc. (se necessrio a1, a2, etc.)
(2) Variveis Individuais: w, x, y, z. ( se necessrio x1, x2, x3, etc.)
(3) Predicados n-rios: A, B, ..., Z
(4) Conectivos Lgicos: ~, , , .
(5) Quantificadores Existencial e Universal: e .
(6) Smbolos auxiliares: ( ) , (isto , parnteses e vrgula)
Definio. Uma expresso de uma linguagem de 1 ordem qualquer seqncia finita de
smbolos de seu alfabeto.
Definio. Um termo individual uma constante individual ou uma varivel individual.
Definio. Uma frmula atmica uma expresso com um predicado n-rio seguido de n
termos individuais entre parnteses e separados por vrgula; ou seja, se X um predicado
n-rio e t1,,tn so termos individuais, ento X(t1,,tn) uma frmula atmica.
Definio. Uma frmula qualquer expresso definida pelas regras de composio
abaixo.
1) Uma frmula atmica uma frmula.
2) Se X uma frmula, ento ~X uma frmula.
3) Se X e Y so frmulas, ento (X Y) uma frmula.
4) Se X e Y so frmulas, ento (X Y) uma frmula.
6) Se X e Y so frmulas, ento (X Y) uma frmula.
8) Se Y uma frmula e x uma varivel, ento xY uma frmula.
9) Se Y uma frmula e x uma varivel, ento xY uma frmula.
Definio. O conectivo principal de uma frmula ltimo conectivo usado na sua
formao.
Introduzida a parte sinttica de uma linguagem de 1 ordem, podemos agora introduzir
a semntica dessa linguagem. Para isso precisamos discutir alguns aspectos em relao a
extenso de predicados n-rios.
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SEMNTICA
Para definir interpretao, frmula verdadeira em uma interpretao e frmula vlida,
precisamos de algumas definies preliminares.
Definio. Em uma frmula xY, a parte Y chamada de escopo do quantificador x, e
em uma frmula xY, a parte Y chamada de escopo do quantificador x.
Definio. A ocorrncia da varivel x livre se no ocorre logo aps um quantificador
(como nas expresses "x ou "x) ou no est no escopo de um quantificador x ou x.
Definio. Uma sentena uma frmula que no tem varivel com ocorrncia livre
Definio: Uma interpretao I para uma linguagem de primeira ordem consiste de:
1) Um conjunto no-vazio D, chamado de domnio da interpretao;
2) Para cada constante individual a, uma atribuio I(a) de algum elemento de D.
3) Para cada letra predicativa A uma atribuio a I(A) de algum conjunto de seqncia
de n elementos de D.
Exemplos.
Seja L a linguagem com as constantes a, b e c, e as letras predicativas E, F (de aridade
1) e M (de aridade 2).
(1) Uma interpretao para L
D = {Scrates, Plato, Aristteles},
I(a) = Scrates, I(b) = Plato, I(c) = Aristteles,
I(E) = {Plato, Aristteles}, I(F) = {Scrates, Plato, Aristteles}, e
I(M) = {(Scrates, Plato), (Plato, Aristteles)}.
Notemos que, nesta interpretao, podemos ver as classes definidas por E, F e M como
significando, respectivamente: escritor, filsofo, mestre de.
(2) Outra interpretao para L
D = {1, 2, 3, 4},
I(a) = 1, I(b) = 2, I(c) = 4,
I(E) = {1, 2,3}, I(F) = {1, 3} e
I(M) = {(1,2), (2,4)}.
Vamos agora definir quando uma sentena S verdadeira em uma interpretao I; para
simplificar a exposio da definio, vamos introduzir a definio e a notao abaixo.
Definio. Dada uma interpretao I de domnio D de para uma linguagem de primeira
ordem L, denotamos por L(D) a linguagem que alm dos smbolos de L tem, para cada
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Afirmativa Negativa
(A e I de "A f I r m o) (E e O de "n E g O)
A E
Universal Todo A B Nenhum A B
x (A(x) B(x)) x (A(x) ~B(x))
I O
Particular Algum A B Algum A no B
x (A(x) B(x)) x (A(x) ~B(x))
xY xY
a (Em geral) uma constante que j ocorreu
I.e., basta apagar x
anteriormente na deduo ou demonstrao.
Y(x/a) Y
Exemplo: Exemplo:
x(A(x) B(x)) x(A(x) B(x))
A(a) B(a) A(x) B(x)
Y A(x) B(x)
I.e., basta adicionar x na frente
xY x(A(x) B(x))
Y A(a) B(a)
xY(a/x) x(A(x) B(x))
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Com essas novas regras de inferncia, podemos fazer dedues, com anteriormente.
Exerccio. Faa a deduo dos argumentos abaixo
(1) (2) (3)
x(M(x) P(x)) x(M(x) P(x)) x(M(x) ~P(x))
x(M(x) S(x)) x(S(x) M(x)) x(S(x) M(x))
x(S(x) P(x)) x(S(x) M(x)) x(S(x) P(x))
~x Y ~x Y x ~Y x ~Y
x ~Y x ~Y ~x Y ~x Y
SILOGISMOS:
Podemos agora estudar, como fez Aristteles, a possibilidade de inferncia de uma sen-
tena categrica a partir de duas outras sentenas categricas (notemos que a inferncia
de uma sentena categrica a partir de apenas uma sentena categrica so as inferncias
imediatas estudadas na lio Formalizao do Quadrado Aristotlico das Oposies).
Nesse sentido, vamos ento supor que:
Os silogismos tm duas premissas e uma concluso.
A palavra silogismo em grego sinnimo de raciocnio (como vimos na definio aristo-
tlica, na lio Argumentos e Lgica), no entanto aqui vamos estudar (como fez o prprio
Aristteles) os raciocnios com duas premissas e uma concluso (notemos que raciocnios
mais complexos podem ser formados compondo-se os silogismos com duas premissas).
Feita essa restrio, vamos estudar os elementos dos silogismos categricos e seus ti -
pos. A figura abaixo ajuda a exemplificar os elementos dos silogismos categricos.
TERMOS:
Notemos que para inferir uma sentena categrica de duas outras, o sujeito da conclu-
so tem que aparecer em uma premissa, o predicado da concluso tem que contar na outra
premissa e tem que haver um termo comum as duas premissas (como na figura acima), o que
motiva as definies abaixo.
S: termo menor (sujeito da concluso)
P: termo maior (predicado da concluso)
M: termo mdio (ausente da concluso e presente em ambas premissas)
PREMISSAS:
A partir da definio acima dos termos, podemos fazer a seguinte classificao das
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FIGURAS DO SILOGISMO:
Notemos que os termos menor, mdio e maior, podem ocupar diferentes posies (sujei-
to e predicado) das premissas. Para simplificar a classificao dos silogismo, vamos conside-
rar que a primeira premissa a maior, sem perda de generalidade (caso no seja, basta in-
verter as premissas). Temos ento 4 figuras para os silogismos, conforme a posio do ter-
mo mdio nas premissas:
1
Apoio FAPESP.
153
Gonzalez, M. E. Q.; Broens, M. C.; Martins, C. Ap.(Org.)
154
Informao, conhecimento e ao tica
3
Ao leitor mais especializado na rea, observamos que o termo operao, neste trabalho, designa uma funo
matemtica parcial; i.e., uma funo f que associa, a cada elemento (ou lista de elementos) de um domnio D,
para o qual f est definida, um elemento de D, podendo no estar definida para todo elemento (ou lista de
elementos) de D.
4
Cf. Bocheski (1966, p. 299, 306-307).
5
Cf. Kneale, W. e Kneale, M. (1962, p. 697) e Bocheski (1966, p. 299).
6
Distinguem-se, relativamente parte sinttica de um signo, tipo e ocorrncia (em Ingls, type e token). Por
exemplo, para um mesmo tipo u podemos ter vrias ocorrncias, como no caso da palavra Curupira.
Podemos ento operar sobre os tipos operando sobre as ocorrncias.
7
Cf. Frege (1983) e Shoenfield (1967, p.2).
155
Gonzalez, M. E. Q.; Broens, M. C.; Martins, C. Ap.(Org.)
156
Informao, conhecimento e ao tica
S
B
157
Gonzalez, M. E. Q.; Broens, M. C.; Martins, C. Ap.(Org.)
12
Notemos que, como as regras de inferncia so operaes sobre signos (confira Nota 6 acima), a demonstrao
e a deduo podem ser consideradas ainda operaes sobre signos (que partem das premissas e dos axiomas e
resultam, respectivamente, em teoremas e consequncias sintticas); o signo S, usado nos trs casos acima,
denota ento a possibilidade de realizao dessas operaes.
158
Informao, conhecimento e ao tica
13
Ambos so considerados, na Filosofia da Lgica e da Matemtica, representantes da corrente logicista,
justamente por acreditar que conhecimentos matemticos fundamentais (e.g. da Aritmtica) poderiam ser
deduzidos das sistematizaes da Lgica propostas por eles.
14
Podemos encontrar razes dessa concepo na lingua characteristica universalis e no calculus ratiocinator de
Leibniz. (Cf. Granger (1955), Blanch (1985), Kneale, W. e Kneale, M. (1962)).
15
Cf. Aristteles (2005, p. 254-255).
16
A traduo da carta em que Russell comunica a Frege sua descoberta pode ser encontrada em Carta... (2012).
17
Cf. Kneale, W. e Kneale, M. (1962, p. 659-660).
159
Gonzalez, M. E. Q.; Broens, M. C.; Martins, C. Ap.(Org.)
160
Informao, conhecimento e ao tica
161
Gonzalez, M. E. Q.; Broens, M. C.; Martins, C. Ap.(Org.)
162
Informao, conhecimento e ao tica
163
Gonzalez, M. E. Q.; Broens, M. C.; Martins, C. Ap.(Org.)
23
Com efeito, nesse caso, a autodeterminao de um sistema lgico pelo e para o pensamento um caso
particular da auto-instaurao da realidade por um conhecimento filosfico tal como exposto em Tassinari,
2007, p. 240-242.
24
Cf. Granger (1989, p. 264, 275) e Tassinari (2007, p. 242).
164
Informao, conhecimento e ao tica
CONCLUSO
Em resumo, podemos ento considerar a Lgica como o estudo
das diversas formas de expresso das leis do pensamento, enquanto livre
pensamento, i.e., daquele que pode dar as suas regras e torn-las efetivas.
Ou ainda, na medida em que essa liberdade se estabelece pelo pensamento
que se pensa a si prprio, enquanto meta-reflexo, a Lgica o estudo das
prprias formas do (auto)pensamento livre.
25
Em termos mais tcnicos o termo sistema axiomtico indica sistema formal recursivamente axiomatizvel.
26
Cf. Mendelson, 1997, p. 376.
165
Gonzalez, M. E. Q.; Broens, M. C.; Martins, C. Ap.(Org.)
27
Para introduzir aqui as definies de correo e completude, podemos dizer, de forma bem geral e abstrata,
que estabelecer uma semntica para um sistema formal S significa definir uma propriedade P para as frmulas
de S. Denotaremos, nesse caso, essa semntica por SP. Por exemplo, no caso da Lgica Proposicional Clssica, a
propriedade P ser uma tautologia, i.e., ser verdadeira em todos os casos possveis de veracidade e falsidade das
proposies atmicas que compe a frmula e, no caso da Lgica de Primeira Ordem, a propriedade ser vlida.
Temos, ento, as seguintes definies. Definio. Um sistema formal S correto, em relao a uma semntica SP,
se todo e qualquer teorema de S tem a propriedade P. Definio. Um sistema formal S completo, em relao a
uma semntica SP, se toda e qualquer frmula de S que tem a propriedade P teorema de S.
28
Podemos aqui identificar diferentes tipos de processos auto-organizados, porm reservamos para outros
trabalhos a discusso mais detalhada desse tpico. Para uma discusso sobre Lgica e Auto-Organizao, cf.
Tassinari (2003).
166
Informao, conhecimento e ao tica
REFERNCIAS
ARISTTELES. rganon: categorias, da interpretao, analticos anteriores, analticos
posteriores, tpicos, refutaes sofsticas. Traduo, textos adicionais e notas de Edson
Bini. Bauru: Edipro, 2005.
BLANCH, R. Histria da lgica de Aristteles a Bertrand Russell. Trad. de Antnio J. P.
Ribeiro. Lisboa: Edies 70, 1985.
BLANCH R.; DUBUCS, J. Histria da Lgica. Lisboa: Edies 70, 1996.
BOCHESKI, I. M. Historia de la lgica formal. Trad. de Milln Bravo Lozano. Madri:
Gredos, 1966.
CARTA de Frege para Russell. Disponvel em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/
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DA COSTA, N. C. A. Ensaio sobre os fundamentos da lgica. 2. ed. So Paulo: Hucitec,
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DOTTAVIANO, I. M. L.; FEITOSA, H. de A. Sobre a histria da lgica, a lgica clssica
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EVES, H. Introduo histria da matemtica. Trad. de Higyno H. Domingues Campinas:
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FREGE, G. Sobre a justificao cientfica de uma conceitografia. In: PEIRCE, C. S.;
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177-276
______. Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschiftlich abgeleitet. Iena: Pohle, 1903. v.2.
______. Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschiftlich abgeleitet. Iena: Pohle, 1893. v.1.
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GRANGER, G.-G. Por um conhecimento filosfico. Trad. de Constana Marcondes Cesar
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Fundao Calouste Gulbenkian, 1962.
MENDELSON, E. Introduction to mathematical logic. 4. ed. London: Chapman & Hall,
1997.
HAACK, S. Filosofia das lgicas. Trad. de Cezar Augusto Mortari e Luiz Henrique Arajo
Dutra. So Paulo: Ed. da Unesp, 2002.
167
Gonzalez, M. E. Q.; Broens, M. C.; Martins, C. Ap.(Org.)
168
Algumas Lgicas
Ricardo Pereira Tassinari Departamento de Filosofia Unesp/Marlia - 2005
Para se ter uma noo da diversidade e da fecundidade dos estudos sobre
sistemas formais em Lgica (cf. A Lgica e as Lgicas: A Noo de Sistema Formal),
apresenta-se, abaixo, um ndice de alguns tpicos; em especial, apresenta-se uma lista
de lgicas no-clssicas. Os links so para pginas da Enciclopdia da Universidade
de Stanford/CA, em Ingls, indicada pela sigla SEP, feita com a colaborao de
pesquisadores do mundo todo, e para a Wikipedia, a enciclopdia livre (i.e., com
colaborao aberta), em Portugus, indicada pela sigla WikiPt, e em Ingls, indicada
pela sigla WikiEn, que tm contedos diversos, uma da outra.
Lgica (Geral)
Lgica (WikiPt) (WikiEn)
Lgica Lista dos artigos relacionados (WikiPt) (WikiEn)
Lgica Clssica
Lgica Clssica (SEP) (WikiPt)
Lgica Proposicional (WikiEn)
Lgica de Primeira Ordem (WikiEn)
Lgica de Segunda Ordem (WikiEn)
Lgica de Ordem Superior (WikiEn)
Algumas Lgicas No-Clssicas
Lgica Modal (Modal Logic) (SEP) (WikiEn)
Lgica Dentica (Deontic Logic) (SEP) (WikiEn)
Lgica Temporal (Temporal Logic) (SEP) (WikiEn)
Lgica Epistmica (Epistemic Logic) (SEP) (WikiEn)
Lgica da Demonstrabilidade (Provability Logic)
(SEP) (WikiEn)
Lgica Polivalente ou Multivalente (Many-Valued or Multi-Valued Logic)
(SEP) (WikiEn)
Lgica Difusa (Fuzzy Logic) (SEP) (WikiEn)
Lgica Parcial (Partial Logic)
Lgica Sub-Estrutural (Substructural Logic) (SEP) (WikiEn)
Lgica Intuicionista (Intuitionistic Logic) (SEP) (WikiEn)
Lgica da Relevncia (Relevance Logic) (SEP) (WikiEn)
Lgica Paraconsistente (Paraconsistent Logic) (SEP)
(WikiEn)
Lgica Infinitria (Infinitary Logic) (SEP) (WikiEn)
Lgica Livre (Free Logic) (WikiEn)
Lgica No-Monotnica (Non-Monotonic Logic) (SEP)
(WikiEn)
Lgica Default (Default Logic) (WikiEn)
Lgica de Concluses Mltiplas (Multiple-conclusion logic)
(WikiEn)
Lgica No-Comutativa (Noncommutative Logic) (WikiEn)
Logica da Computabilidade (Computability Logic) (WikiEn)
Lgica Quntica (Quantum Logic) (WikiEn)
Lgica Dialgica (Dialogical Logic)
Lgica Intermediria (Intermediate Logic) (WikiEn)
Lgica das Questes (Logic of Questions)
Lgica Indutiva (Inductive Logic) ( SEP)
Lgica da Ao (Action Logic)
Lgica Conexiva (Connexive Logic) (SEP)
Lgica da Reviso de Crenas (Logic of Belief Revision)
Lgica Combinante (Combining Logic)
Lgica Condicional (Conditionals Logic)
Lgica Dinmica (Dynamic Logic) (WikiEn)
Lgica Hbrida (Hybrid Logic) (WikiEn)
Lgica Intensional (Intensional Logic)
Lgica Linear (Linear Logic) (WikiEn)
Lgica Temporal Linear (Linear Temporal Logic) (WikiEn)
Lgica da Expresso de Massa (Logic of Mass Expressions)
Lgica da Independncia Amigvel (Independence Friendly
Logic) (WikiEn)
Lgica Categorial (Categorical Logic) (WikiEn)
Lgica de Hoares (Hoare logic) (WikiEn)
Defeasible Logic (WikiEn)
Bunched Logic (WikiEn)
Affine Logic (WikiEn)
Alguns Temas Relacionados:
Lgica e Jogos (SEP)
Lgica Informal (SEP) (WikiEn)
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Conseqncia Lgica (SEP) (WikiEn)
Constantes Lgicas (SEP)
Construes Lgicas (SEP)
Forma Lgica (SEP) (WikiEn)
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Lgica, Teorema e Fundamentos da Aritmtica em Frege
(SEP)
Lgica Quntica e Teoria da Probabilidade (SEP)