Apostila Gestao de Riscos

Bancoob
GESTO DE RISCOS DE
MERCADO POR MEIO DE
DERIVATIVOS
Murilo Castellano
APOSTILA
Sumrio
I. Introduo
I.1 Histrico e motivao para estudar derivativos

I.2 Sistema operacional para a negociao de Futuros e Futuro do ndice
IBOVESPA
I.3 Tipos de Riscos Financeiros
I.4 Mercados de Bolsa e de Balco
I.5 Os mercados e a liquidao Financeira das Operaes
II. Mercado Futuro e Mercado a Termo
II.1 Diferena entre mercado a futuro e mercado a termo

II.2 Operao a termo
II.3 Operao no mercado futuro
II.3 Participantes dos Mercados Futuros
II.4 Formao de Preos no Mercado Futuro
II.5 Estratgias com Futuros
III. Swaps
III.1 Introduo
III.2 Estrutura Geral de um Swap
III.3 Precificando um Swap
IV. Risco de Taxa de Juros
IV.1 Introduo
IV.2 Estrutura da Taxa de Juros
IV.3 Duration e Convexidade
IV.4 Value at Risk da Carteira de Renda Fixa
V. Mercado de Opes
V.1 Introduo
V.2 Estratgias Bsicas
V.3 Precificao: modelo de Black-Scholes
I. Introduo
I.1 Histrico e motivao para estudar derivativos
A histria dos mercados futuros remonta Idade Mdia. Eles foram

originalmente desenvolvidos para atender s necessidades de produtores e
comerciantes. Consideremos a posio de um produtor no ms de abril de certo ano,
que far a colheita em junho. Ele no tem certeza do preo que ir receber pelo
produto pois, em pocas de escassez, poder obter preos relativamente altos,
especialmente se no precisar vend-lo de imediato. Por outro lado, a mercadoria
poder ser vendida por preos bem menores em pocas de superabundncia. Nota-se
que o produtor e sua famlia alm da exposio ao risco climtico estaro expostos ao
risco de preo, no podendo quantificar com preciso, ex antes, se tero lucro ou
prejuzo no momento da venda.
Vejamos agora um comerciante que realmente precise de gros. Ele tambm
est exposto ao risco de preo j que, em perodos abundantes, este poder ser
favorvel ou, em pocas de escassez, exorbitante. Em face de tal situao, torna-se
evidente a necessidade tanto para o produtor quanto para o comerciante de fazer um
acordo em abril (ou mesmo antes) e firmar um preo para a produo esperada para o
ms de junho. Em outras palavras, fica clara a negociao de um tipo de contrato
futuro por ambas as partes capaz de eliminar o risco que correm pela variao dos
preos futuros da mercadoria. Um encontrar no outro a tranqilidade de ver o lucro
futuro travado, garantido. Pelo menos no que depende do preo. Isto o que
chamamos hedge. Um se hedeou no outro, ou seja, eliminou o risco de preo, travou
o preo futuro. E esta seria uma operao futura, ou melhor, uma operao a termo
como veremos com maior grau de detalhe frente.
A soma das necessidades de proteo contra o risco de produtores e
comerciantes como os citados acima promoveu as organizaes das bolsas de
derivativos. Um local onde, de forma organizada, sistemtica e garantida fossem
travados negcios como o do exemplo citado. Lozardo (5) cita que o primeiro
mercado organizado para a entrega futura de commodity data do sculo XVII no
Japo. Entretanto o primeiro mercado futuro organizado, j nos moldes do que temos
hoje, com apregoao de preos, garantias etc..surgiu com a criao da CBOT
Chicago Board of Trade, em 1848. Naquela poca os negcios previam a entrega
fsica do produto. Hoje sabemos que a maioria dos contratos futuros tem liquidao
apenas financeira. E segundo o mesmo autor esta idia de liquidao financeira futura
surgiu na dcada de 70. No Brasil, a nossa nica bolsa de futuros, BMF, realizou o seu
primeiro prego em 31 de janeiro de 1986, sendo hoje a maior bolsa da Amrica
Latina e a quarta bolsa do mundo.
Quem olha de forma superficial o mercado de derivativos deve pensar: isso
um grande cassino ! um jogo de figures do mercado de capitais ! uma brincadeira
de ricos ! Nada disso. O mercado de derivativos surgiu da necessidade prtica de
produtores, comerciantes e outros agentes de mercado de se protegerem do risco. John
Hull (2) cita a origem medieval. claro que estes mercados sofisticaram-se. Mais
frente iremos mostrar que na BOLSA DE MERCADORIA E FUTUROS de So Paulo
negocia-se Caf, Boi, Ouro, Dlar etc.. sem que ningum tenha que entregar
Professor: Murilo Castellano 3

fisicamente qualquer coisa. A liquidao de negcios , na sua grande maioria,
financeira e isto no diminui a funo e a importancia de tal mercado para a economia.
Imaginem um matuto mineiro, produtor de caf da melhor qualidade,
mascando o seu cigarro de palha e conversando com outro: Esse negcio de mercado
futuro de caf no tem nada a ver comigo, pois produzo apenas para a entrega na
prpria regio. Ledo engano do Produtor ! Mesmo que ele no negocie na BM&F,
no exporte caf, o que est rolando na BM&F vai afet-lo. Imaginem que na
BM&F esteja sendo negociado a saca de caf para daqui a seis meses, bem na poca
que o matuto ir comercializar o seu caf. Ora, milhes de reais (e dlares pois o caf
uma commodity e negociado nas principais bolsas de futuro do mundo) esto
rolando num jogo em que especialistas de mercado procuram sinalizar o preo futuro
do caf. Ser que essa gente toda que participa desse jogo mal informada, so
meros especuladores? Seria melhor o matuto pelo menos abrir o jornal e olhar
quanto as pessoas esto apostando nos preos futuros do caf. Mesmo que voc no
esteja interessado no produto CAF, as sinalizaes de preos futuros desta
mercadoria constituem a melhor previso futura para esta varivel pois feita em
ambiente organizado, controlado e onde esto os grandes Players deste mercado.
Outro caso: voc herdou um sagrado dinheirinho de famlia (R$ 200.000,00) e
resolve aplic-lo. Avesso ao risco, em renda varivel nem pensar. Voc procura um
grande banco que lhe aconselha a aplicar em renda fixa, ou melhor, num fundo de
renda fixa (aquele que compra basicamente papis do governo). No olhando para o
mercado futuro de juros, voc sonhava que renda fixa no tinha riscos. Dois meses
depois sua cota diminuiu ao invs de aumentar. O que aconteceu? Voc esqueceu que
estava correndo o risco de taxa de juros. A taxa de juros aumentou bruscamente no
mercado e os ttulos do fundo passaram a valer menos em mercado. Naturalmente,
seguindo as regras do rgo regulador, o fundo reduziu a sua cota. Quem sabe se voc
tivesse olhado para o mercado de DI-FUTURO (mercado futuro de juros na BM&F),
voc poderia ter percebido alguma coisa l, explcita ou implicitamente. Ou ainda,
voc poderia verificar nas normas de funcionamento do fundo se ele no praticava
nenhuma forma de hedge (proteo) contra os riscos de taxa de juros no mercado
futuro de juros da BM&F.
Imagine agora uma empresa brilhante no que diz respeito ao seu desempenho
operacional. Tm a melhor estratgia de produo, custos fixos minimizados frente
aos concorrentes, enfim, uma super empresa. Esta empresa descobre que seria melhor
importar os seus insumos bsicos de produo, pois os custos em dlar, transportados
para a nossa moeda taxa de cmbio atual, so menores. Entretanto, advindo uma
maxidesvalorizao da moeda, aquele custo continuar em dlar o que significa
maior desembolso na moeda local e a tal estratgia foi por gua abaixo. O que a
empresa poderia fazer? No mnimo olhar para os negcios futuros de dlar na BM&F
! L esto dizendo quanto vai valer a moeda daqui a alguns meses. A empresa pode
fazer mais, pode se "hedear" (fazer o hedge) no dlar futuro na BM&F (como iremos
detalhar mais frente, poderia comprar a futuro os seus dlares) e travar o seu
resultado)
Um outro exemplo. Imagine uma empresa exportadora de leo de soja com
contratos de exportao fechados para embarque em agosto/2008. Suponha que
estejamos em maio/2008 e faltam dois meses para o trmino da colheita. Os preos de
venda j foram fechados, independente do preo da soja bruta. Concluso: a empresa

est correndo um baita risco de preo. Se os preos da soja subirem, aquele baita lucro
previsto pode virar um baita prejuzo ! O que a empresa pode fazer ?! Comprar toda a
soja de que precisa (supondo que a soja colhida seja suficiente) e estocar at a poca
da produo. Isto levaria a empresa a arcar com enormes custos de estoques e at
mesmo lidar com o risco de perecimento do produto. A resposta : a empresa poderia
realizar alguma estratgia no mercado futuro, por exemplo, comprar a soja no
mercado futuro. Se o preo subir muito no mercado vista (na poca da produo),
ela perde no lado operacional, mas ganha com a operao financeira no mercado
futuro, quando desfaz a sua posio, vendendo mais caro no mercado futuro. Na
verdade ela estar hedeada. Vamos tomar o exemplo do quadro 1 onde a empresa
esmagadora de soja compra o contrato futuro de soja por R$ 48,00 num momento em
que a soja vista estava sendo negociada a R$ 46,00. A empresa poderia pagar um
mximo de R$ 52,00, pois este o seu ponto de equilbrio, ou seja, preo que
produziria lucro zero. E vamos ilustrar a situao no quadro 1 para uma nica saca de
soja
Esquematicamente teramos:
Cenrio 1: na data de Cenrio 2: na data de

vencimento (agosto de vencimento (agosto de
2008) o preo vista sobe 2008) o preo vista cai a
a 58,00 45,00
Resultado no mercado (58 48) = 10 (45 48) = -3
futuro
Aquisiao da soja no - 58 - 45
mercado fsico
Custo Lquido de aquisiao (-58 + 10) = - 48 (-45 3) = - 48
Lucro por saca (52 48) = 4 (52 48) = 4
Quadro 1: hedge no mercado futuro de soja
Note que a empresa esmagadora de soja consegui travar o preo de aquisio da soja
em 48/saca e o lucro de 4/saca. O exemplo meramente ilustrativo do ideal de hedge
pois a operao futura de soja, como veremos mais adiante, cotada em dlar e a
empresa ainda correria o chamado risco de base que detalharemos mais frente. Note,
entretanto, que aps realizado o hedge o empresrio poderia se concentrar na sua
atividade produtiva j que se livrou de grande parte do risco financeiro. Portanto, os
derivativos so instrumentos de gesto de riscos financeiros. Note tambm que no
momento zero a soja estava sendo negociada para o futuro com um gio (R$ 2,00) em
relao ao mercado vista. Isto bastante comum e explicvel. Isto ocorre para que
no haja arbitragens entre os mercados vista e futuro como demonstraremos mais
adiante.
Imaginem agora um grande banco com negcios de rede (captaes junto ao

pblico: CDB) e tesouraria (aplicaes em ttulos do governo e interbancrio). O
Banco examina sua carteira e identifica que o prazo mdio dos ativos trs vezes
maior que o prazo mdio dos vencimentos passivos, ou seja, existe um grande
descasamento. Olha o cenrio de taxa de juros (estrutura temporal evidenciada pelo

mercado de DI-FUTURO) e leva um susto: subindo as taxas de juros, ter que captar
fundos mais caros antes de poder renovar os contratos ativos pr-fixados. Isto
certamente comprometer as margens financeiras da instituio. O que pode ser feito?
Exigir dos poupadores que deixem o dinheiro por mais tempo no Banco? Convencer
os tomadores de crdito a diminurem os prazos de seus pleitos ou mesmo
encontrarem projetos industriais/comerciais que demandem menos prazo para a
maturao? Com certeza no. Um banco que se dispor a agir dessa forma perder o
cliente/negcio. O que precisa ser feito conviver com os riscos e aprender a
gerenci-lo. No presente caso, por exemplo, o Banco em questo poderia recorrer aos
instrumentos derivativos de taxa de juros para tentar hedear parte da carteira,
minimizando sua exposio total ao risco.
Enfim, listamos alguns exemplos que mostram que o mercado de derivativos
afeta a vida das pessoas e empresas de uma forma ou de outra. Na verdade tais
mercados so considerados hoje em dia como verdadeiros instrumentos para gerir
riscos financeiros. E voc deve ter notado que, no mundo atual, dada a alta
volatilidade de preos em geral (taxas de cmbio, taxas de juros e preos de
commodities), no basta entender bem do seu negcio. preciso tambm gerenciar os
riscos financeiros.
I.2 Sistema operacional para a negociao de Futuros e Futuro do ndice

IBOVESPA
na forma de organizao da bolsa e nas regras que ela cria para operar
futuros que percebemos a diferena entre operaes a termo e operao a futuro. De
uma maneira geral, negocia-se operaes a termo sem apregoao, sem garantias e
sem padronizao. Um exemplo de mercado a termo no Brasil so as operaes a
termo com o dlar comercial e as operao de troca de reservas entre os bancos, as
chamadas operaes de CDI Certificado de Depsito Interbancrio. Nelas os bancos
se organizam em torno de sistemas eletrnicos, negociam diretamente uns com os
outros por meio de um sistema informatizado e estabelecem os preos em negcios
customizados. Assim, existe o chamado DI FUTURO na BMF, que projeta quanto
ser a taxa de juros acumulada num determinado perodo temporal. Dois bancos que
operem no mercado futuro de DI no chegam nem a saber que so contrapartes do
mesmo negcio, ao contrrio de uma operao de CDI. A BMF a grande
intermediadora entre os dois e, alm disso, enquanto numa operao de CDI os bancos
podem escolher o valor exato do negcio e o prazo de vencimento, no contrato futuro
tudo isso padronizado pela BMF.
Vamos tomar um exemplo de negociao com o FUTURO DO IBOVESPA,
um dos contratos financeiros futuros mais negociado na BMF. Veja no site
WWW.BMF.COM.BR que existem contratos de derivativos financeiros (juros, dlar,
futuro de Ibovespa etc..) e derivativos agropecurios (soja, caf, boi gordo etc..). O
nosso objetivo no propriamente detalhar o CONTRATO FUTURO DE
IBOVESPA, isto pode ser visto no citado site. E note desde j quantas regras existem
no contrato. Vamos pegar este exemplo com futuro para demonstrar a mecnica de
funcionamento da BMF e das corretoras em torno de um negcio. Vamos supor uma
estratgia de hedge por parte de um fundo de investimento que estando posicionado

numa carteira de aes ampla e diversificada tal e qual a carteira terica do
IBOVESPA resolva se proteger contra a queda de preos. Vamos seguir o negcio
passo a passo:
Momento 1: a ordem de Venda da Posio em Futuro do Ibovespa
O fundo de investimento deseja se proteger quanto queda do ndice IBOVESPA e

portanto vende uma posio futura. Por ora, no interessa como que se chega
quantidade a ser vendida mas a idia geral por trs da operao. Vamos supor que o
fundo queira proteger uma carteira semelhante carteira terica IBOVESPA com
valor atual de R$ 50 milhoes de reais. Ento o fundo ordena sua corretora que venda
um valor equivalente de contratos futuros IBOVESPA. Aps o analista do fundo de
investimento conversar com o analista da Sede da corretora este passa a ordem para o
operador de prego, um representante da corretora que fica no pit de negociao do
FUTURO DE IBOVESPA. Vamos supor que no momento o contrato futuro estava
sendo negociado a 60.000 pontos com vencimento em cerca de 45 dias. Os
vencimentos dos contratos so padronizados. No caso de futuro do Ibovespa h
vencimentos nos meses pares e nas quartas-feiras mais prximas do dia 15. Ento a
primeira coisa a se notar que o fundo de investimento no consegue um negcio
perfeitamente customizado. Seja pelo prazo que no coincide, por exemplo, com a
data em que ele deseja se livrar da carteira de aes ou tambm pelo fato de no se ter
futuros negociados para cada uma das aes que ele tem em carteira. Seria possvel
mas a BMF no implementou por falta de liquidez. Voltando ao ponto, a ordem para
vender 50.000.000/60.000 = 834 contratos futuros vincendos no prximo ms que
um ms para. Alis, vamos supor que o fundo toma essa deciso em 2 de julho de
2.007 e vende contratos futuros vincendos em 15 de agosto de 2007 que o ms 8,
par, portanto. O operador fecha o negcio na hora atravs de um boleto que gravado
praticamente na hora.. Para que houvesse o negcio o operador de prego encontrou-
se com outro operador que representava um outro cliente que queria comprar o ndice
futuro. Logo, a partir deste momento o fundo de investimento em tela ficou vendido
no ndice futuro e o outro cliente que o fundo jamais saber o nome ficou comprado.
Vistas isoladamente as operaes, o nosso fundo de investimento aposta na queda do
IBOVESPA e a contraparte compradora aposta na alta do mesmo ativo financeiro.
Momento 2: a noite do dia 2 de julho
Vamos supor que a nica operao de venda de contrato futuro do fundo de

investimentos tenha sido esta, cuja ordem foi dada l pelas 11 horas da manha do dia
2 de julho. Logo, quando a BMF fecha o prego e os computadores da clearing de
compensao (setor que processa os documentos, faz os acertos, registra as margens,
os ganhos, perdas etc..de cada um e de todos) processam os registros eles percebem
que o fundo de investimento tinha uma posio vendida de manha mas que ter que
ser nivelada ao mercado nesta mesma noite. A idia fazer o ajuste dirio. Embora o
fundo de investimento no tenha feito outras operaes, outros clientes fizeram.
Ento, faltando poucos minutos para encerrar o prego, a BMF apura a mdia dos
ltimos negcios para calcular o preo de fechamento do dia. Vamos supor que no dia
2 de julho o preo de fechamento tenha sido de 59.000 pontos. Ora, ento o mercado

est apostando que o ndice a vista IBOVESPA valer 59 mil pontos no dia 15 de
agosto. E, mais importante, o fundo de investimento que estava vendido e apostando
na queda j est ganhando. Assim, feito o chamado ajuste dirio conforme abaixo:
Posio Vendida do Fundo de Investimento - 834 x 60.000 x 1 = 50.040.000,00

Valor de Fechamento para clculo do Ajuste -834 x 59.000 x 1 = -49.206.000,00
Valor do Ajuste do primeiro dia = 834.000,00
Note que o ajuste feito com sinal contrrio posio do fundo de investimento. A
posio vendida positiva e a posio comprada negativa. O ajuste feito sempre
com o sinal contrrio. Ento, para a posio vendida (positiva) de 50.040.000 reais
fez-se o ajuste por compra (negativo) correspondente ao preo de fechamento do dia.
Note tambm o terceiro fator das duas multiplicaes acima, o fator 1. Ele
representa o valor de um real por cada ponto negociado do ndice. Este valor varia de
acordo com os critrios da BMF. No presente momento este parmetro vale 1 mas
pode ser alterado por deciso unilateral da BMF para os novos contratos e sob aviso
com razovel antecedncia.
Continuando o exemplo, este valor de 834 mil creditado na conta do cliente (do
fundo de investimento) junto BMF (a BMF tem um banco).
Momento 3: manha do dia 3 de julho
Na manha do dia 3 o fundo de investimento amanhece com uma posio aberta e

vendida no futuro do Ibovespa. Ou seja, ele abriu no dia 02 de julho pela manha e no
fez mas nenhum negcio deste ento. Quem a contraparte do fundo de investimento
? Na prtica a BMF a contraparte de todos. Lembra-se o que ns dissemos que no
se revela o nome da contraparte ? Pois , o que interessa que a BMF tem garantias
para honrar a operao caso qualquer contraparte no o faa.
Eis que o fundo compra mais aes, mantendo as mesmas propores da carteira
inicial (que replica o IBOVESPA). Vamos supor que tenha adquirdo mais R$ 20
milhes de reais em aes e, portanto, d a ordem sua corretora para vender mais
uma quantidade equivalente em contratos futuros para continuar com o hedge total de
sua posio acionria pelos 44 dias restantes. A corretora passa a ordem para o
operador de prego que, logo pela manha, realiza o seguinte negcio:
Preo do futuro para vencimento em 15/08/2007: 59.500
Negcio Fechado 20.000.000/59.500 = 337 contratos vendidos para o mesmo

vrtice (data de vencimento, ou seja, 15 de agosto de 2007).

Momento 4: tarde do dia 3 de julho, antes do fechamento
L pelas 16 horas, antes do fechamento do negcio com futuro de Ibovespa a corretora

recebe a ordem para comprar 337 contratos de futuro do Ibovespa tambm para o
vencimento de 15 de agosto. Por que? Porque o fundo na verdade no consegui fechar
o negcio com os 20 milhes de reais em aes e, ento, quer ajustar o hedge. A
corretora transmite a ordem para o operador de prego que faz o seguinte negcio em
mercado:
Negcio Fechado 337 contratos comprados a 59.800 pontos.
Momento 5: ajuste dirio do dia 3 de julho
Ao final do dia 03 de julho o preo de fechamento de 59.600. Ento a clearing

processa o ajuste dirio para este dia:
Posiao Vendida do Cliente --- 834 x 59.000 x 1 = 49.206.000

Primeiro negcio do dia (venda) 337 x 59.500 x 1 = 20.051.500
Segundo negcio do ai (compra) -337 x 59.800 x 1 = -20.152.600
Valor para Ajustamento da posio -834 x 59.600 x 1 = -49.706.400
Valor do Ajuste Dirio no segundo dia de posio em aberto - 601.500,00
No segundo dia o fundo de investimento ter um ajuste negativo e este valor lhe ser
debitado em conta no dia seguinte.
E assim por diante. O fundo de investimento poder ordenar o encerramento de sua

posio simplesmente ordenando a compra da mesma quantidade de contratos (no
nosso exemplo o fundo mantm uma posio vendida em futuro de Ibovespa vincendo
em 15 de agosto de 2008 com 834 contratos) pela mesma corretora. A clearing
entender que o cliente deseja zerar a sua posio em futuro de IBOVESPA.
Agora, um detalhe importante. Note que, antes vencimento, as posies de

fechamento so apuradas a partir dos prprios negcios cursados no prego. No
vencimento, o valor de fechamento do contrato de ndice futuro de IBOVESPA o
valor do ndice vista. Isto faz com que haja uma convergncia entre os preos vista
e futuro.
Sim, falta falar tambm na margem inicial de garantia. No se opera sem depositar a
margem. Ento no exemplo colocado neste item faltou acrescentar o fato de que, antes
de qualquer coisa, a BMF exigir uma margem de garantia inicial para o cliente
operar. Esta margem calculada em funo da volatilidade histrica mas tambm
fruto de deliberao da diretoria da BMF. Caso a Diretoria entenda que a volatilidade
histrica dos preos negociados no reflete o que ir acontecer no futuro a diretoria
determina por cenrios o valor desta volatilidade.

I.3 Tipos de Riscos Financeiros
Na literatura no encontramos uma taxonomia nica para a questo do risco

financeiro. Entretanto, adotamos a mais comumente utilizada por um conjunto de
renomados autores, a saber:
Risco de crdito: probabilidade de que a contraparte em uma operao no venha

a honrar sua obrigao por ocasio do vencimento. H risco de
crdito nas operaes tradicionais de crdito dos Bancos, dos
financiamentos concedidos pelas indstrias, comrcio e demais
empresas. H, tambm, risco de crdito nas operaes efetuadas
em Bolsas (IBOVESPA e BM&F), neste caso, para a grande
maioria das operaes o risco de crdito pode ser entendido
como o "risco bolsa", dadas as garantias oferecidas pelas bolsas.
Risco de Mercado: probabilidade de variao de preos de mercadoria, taxa de

juros, taxas de cmbio que afetam as receitas, despesas ou o
resultado de uma empresa. Exemplos: os casos citados
anteriormente.
Risco de Liquidez: probabilidade de uma empresa no ter caixa para honrar os seus
compromissos financeiros nos prazos avenados ou ainda ter
que se desfazer de ativos realizando perdas para satisfazer os
compromissos.
Risco Operacional: probabilidade de ocorrerem falhas em sistemas ou fraudes que

venham comprometer os resultados das empresas.
Risco Legal: Probabilidade de que a empresa tenha o resultado afetado por

mudanas ou lacunas existentes na legislao vigente.
I.4 Mercados de Bolsa e de Balco
Os mercados de Bolsas so mercados institucionalizados e mais sujeitos

fiscalizao e regulao, com maior divulgao de informaes sobre as transaes
realizadas. No caso de ativos derivados, as operaes realizam-se normalmente em
Bolsas de Futuros, de Mercadorias e de Valores, conforme o tipo de contrato. Nestes
mercados as caractersticas principais recaem sobre a padronizao dos contratos que
permite maior negociabilidade das posies. As bolsas normalmente padronizam os
ativos sobre os quais podem ser realizados contratos derivados (futuros, opes, termo
etc..), tipos de contratos disponveis, as datas de vencimento dos contratos ou prazos
permitidos, o tamanho de cada contrato etc. Neste caso, cabe ao mercado estipular os
preos. Nestas operaes so pblicos os preos e volume negociados ficando em
sigilo os nomes dos participantes, o que faz com que os riscos de liquidao sejam
transferidos para a Bolsa, que se responsabiliza pelo cumprimento de todas as

obrigaes. No Brasil, as liquidaes das operaes realizadas em nossa nica Bolsa
(a Bolsa de Mercadorias & Futuros - BM&F) so feitas conforme a seguinte cadeia de
responsabilidades:
a) as garantias do devedor;;
b) sua corretora de mercadorias se responsabiliza por honr-la;
c) Fundos especiais depositados pelas corretoras membro de compensaao;
d) em ltima instncia, a Bolsa, atravs de seu Fundo de Garantia de Operaes,
cumpre o contrato.
Membro de compensao o nome dado corretora que tem ttulos de participao

societria na BMF. E nem todas as corretoras tem esta condio mas operam
vinculadas a uma corretora que seja membro de compensao.
Assim, o risco de crdito destas operaes o do sistema Bolsa, que deve ser
avaliado pelos participantes. No Brasil, temos dois mercados principais de Bolsas de
Valores, um em So Paulo e outro no Rio de Janeiro, onde negociam-se aes e
opes sobre aes com grande liquidez e contratos futuros e a termo, ambos de
aes, com fraca movimentao. Quanto a Bolsas de Futuros, a nica a BMF,
localizada em SP. Atualmente a BMF controladoria da Bolsa do Rio de Janeiro que
ficou com a funo de negociar os ttulos pblicos atravs do sistema SISBEX. A
BMF controla ainda a Bolsa Brasileira de Mercadorias onde se negocia as
commodities agrcolas no mercado vista.
As operaes realizadas fora das bolsas, fechadas diretamente entre as partes ou
com a intermediao de instituies financeiras, so ditas operaes de balco. Nestas,
s os participantes conhecem os termos do contrato, que pode ser completamente
adequado (customizado) s necessidades especficas de cada parte. So operaes
mais sigilosas, menos sujeitas fiscalizao e regulao e sem qualquer divulgao
para o mercado (a no ser que seja do interesse dos contratantes). As particularidades
prprias de cada contrato dificultam sua negociabilidade posterior, sendo comumente
posies que os participantes mantm em suas carteiras at o vencimento. No Brasil
temos um grande mercado de balco de ttulos pblicos (SISBEX) , de certificado de
depsitos interfinanceiros (CETIP), de moeda estrangeira (SISBACEN) e de outros
ttulos menos lquidos como debntures, certificados de privatizao, ttulos de dvida
pblica securitizada (CETIP). Quanto a ativos derivados, os principais contratos
negociados em balco so os termos de moeda estrangeira, os swaps e os termos de
ttulos pblicos. A prpria BMF mantm alguns balces de negociao, sendo o mais
interessante para ns, no contexto deste curso, o mercado de swaps (troca de
rentabilidades) que ser abordado mais frente.
I.5 Os mercados e a liquidao Financeira das Operaes
Quando se compra uma mercadoria vista, geralmente, entrega-se "cash" e

retira-se a mercadoria. Em alguns casos, entrega-se cheque para pagamento vista
contra a retirada da mercadoria. Neste caso, a liquidao dita liquidao ADM (via
compensao), cujo prazo para a efetiva liquidao em reserva depende do sistema de
compensao de cheques. Ainda assim classificamos tal operao como sendo "

vista". Numa tpica compra a prazo, leva-se o bem objeto da negociao e promete-se
o pagamento em data futura, podendo, inclusive ser feito com cheque pr-datado (o
famoso "bom para"). Em ambos os casos a entrega da mercadoria objeto da
negociao foi feita no ato da compra. Um outro tipo de operao a operao "a
termo", onde negocia-se na data da compra o preo futuro a ser pago contra a entrega
tambm futura da mercadoria. A liquidao financeira se dar na data futura pactuada.
Note que numa operao a termo no necessrio que o vendedor tenha a mercadoria
na data da negociao. Exemplo de operao a termo: consideremos o caso em que as
aes de uma empresa esto sendo negociadas a R$ 2,00 no mercado vista (Bolsa) e
que um investidor deseja compr-las a termo para entrega em 30 dias ao preo de R$
2,10. Supondo que a pessoa que vendeu o termo no tenha ainda as aes em mos,
dois cenrios bsicos precisam ser considerados. Cenrio 1: as aes valorizam,
subindo a R$ 2,50. Neste caso o vendedor compra-as vista e perde R$ 0,40 por ao.
Cenrio 2: as aes desvalorizam-se, caindo o preo a R$ 1,70. O Vendedor compra-
as vista e ganha R$ 0,40.
Imagine agora que no mesmo dia outros dois compradores e vendedores
negociaram uma operao a termo sobre as mesmas aes para 31 dias. O comprador
paga R$ 2,15 por ao daqui a trinta e um dias. Como comparar as duas operaes, ou
seja, a de 30 dias e a de 31 dias. Na verdade so incomparveis, pois vencem em datas
diferentes. Regra geral, a falta de padronizao das operaes a termo limita o
desenvolvimento deste mercado. Com o que j vimos e com o que ainda veremos
sobre futuros podemos assumir que esta a grande diferena para o mercado a futuro,
onde a bolsa padroniza o vencimento da operao e os agentes podem, portanto,
comparar as operaes.
Finalizando este tpico esclarecemos que a palavra "DERIVATIVOS" advm do
fato de que os preos de tais contratos sempre derivam dos preos de algum outro
ativo subjascente. Exemplo: o preo de uma opo de compra de uma ao deriva do
preo da ao.
II. Mercado Futuro e Mercado a Termo
II.1 Diferena entre mercado a futuro e mercado a termo
Como dissemos no captulo anterior, a falta de padronizao do mercado a

termo dificulta a cotao (formao dos preos dos contratos) e, portanto, a liquidez
do mercado a termo. O mercado a futuro, resolve este problema com a sua alta
padronizao, inclusive fixando as datas de vencimentos dos contratos.
II.2 Operao a termo
O aluno deve estar pensando porque juntamos aqui as operaes a termo com
as operaes a futuro se j citamos as suas principais diferenas. que elas so muito
parecidas do que diferentes. Na verdade, em termos conceituais, elas tem a mesma
natureza da operao a futuro. A diferena est na prtica, na operacionalizao. Uma
operao a termo regra geral cursada num mercado de balco, sem apregoao, as
contrapartes acertam o negcio diretamente e fazem os negcios de acordo com as
suas vontades sem se submeterem enorme padronizao tal e qual as operaes a

futuro. Vamos ilustrar alguns exemplos de operaes a termo com aes cursadas na
BOVESPA. Note, portanto, que tambm temos derivativos negociados na BOVESPA
em mercado de balco. At porque aes a especialidade da BOVESPA. No prego
eletrnico (a bolsa de So Paulo encerrou o prego presencial, que pena n? Era to
legal ver aqueles caras gritando uns com os outros.) se negociam aes vista. E ainda
temos o mercado a termo de aes e o mercado de opes. Este ltimo negocia uma
classe de derivativos que ser o nosso ltimo assunto, as OPES. No termo as
contrapartes negociam um determinado ativo (ao, no nosso caso aqui) por um certo
preo futuro, para liquidao futura numa data certa. Vamos mostrar alguns exemplos
de operaes a termo:
a) Compra da ao a Termo
Qual a motivao para se comprar o termo de uma ao. Ora, no se ter todo o
dinheiro no momento e acreditar na alta futura do preo da ao. Exemplo, o preo
da ao VALE5 no prego de 01 de fevereiro de 2.008 fechou a R$ 47,00. A voc
recebeu algumas informaes de natureza fundamentalista e acredita que o preo
de mercado no reflete corretamente o valor da empresa. Ento, acredita que no
prazo de um ms o mercado vai despertar para aquilo que ele j percebeu (no
fundo ele acredita que o mercado no to eficiente assim como preconiza a
moderna teoria financeira) e, portanto, resolve compr-la a termo. A BOVESPA
no perdoa, por questes relacionadas com o risco de crdito exige uma margem
de garantia inicial. O Conselho Diretor da bolsa estabeleceu a margem de 20%
sobre o preo do termo. Ento, o nosso agente percebe que o termo da ao
VALE5, com vencimento em 30 dias, est cotado a R$ 47,42. Depositando o valor
de R$ 9,48 o investidor no termo compra a ao com vencimento em 30 dias.
Abaixo apresentamos alguns cenrios possveis para o resultado deste investidor:
Preo vista 44,00 47,42 48,00 50,00

no vencimento
Pagamento da -9,48 -9,48 -9,48 -9,48
margem em
D0
Devoluo da 9,48 9,48 9,48 9,48
margem em
D30
Pagamento do - 47,42 -47,42 -47,42 -47,42
Termo em D30
Venda da ao 44,00 47,42 48,00 50,00
no mercado
vista
Investimento 9,48 9,48 9,48 9,48
Total em D0
Lucro - 3,42 0,00 0,58 2,58
Rentabilidade - 36,07 % 0,00% 8,43% 27,21%
mensal
Quadro 2: Fluxo de caixa resultante da operao de compra a termo

Ora, pelo Quadro 2 acima, notamos que a operao uma operao de risco. Os
resultados variam de acordo com o preo vista da ao no vencimento. Entretanto,
notamos que a operao produz uma alavancagem (tanto positiva quanto negativa)
maior do que uma operao vista. Note que se de fato o preo terminar em R$ 50,00,
o investidor na compra do termo de VALE5 teria um retorno de 27,21% bem maior do
que se ele investisse simplesmente na ao que neste caso produziria um retorno de
6,38% (50/47 1).
b) Operao Caixa arbitragem 1
A moderna teoria financeira iniciada por Harry Markowitz na dcada de 50, Ross (8),
definiu o conceito de arbitragem, um ganho certo sem que o agente corra risco. Para a
mesma teoria, num mercado teoricamente eficiente e em equilbrio no haveria
oportunidade para arbitragens. Entretanto, na prtica h fortes evidencias de que no
existem mercados completamente eficientes ou perfeitos, havendo aqui e ali, alguns
momentos de desequilbrio onde , de fato, possvel ganhar dinheiro com arbitragens.
Vamos mostrar um tipo de arbitragem famosa, onde o agente ganha dinheiro operando
o desequilbrio de e entre alguns mercados. Consideremos a mesma ao VALE5 do
exemplo anterior, com preo spot ( vista) de R$ 47,00 em primeiro de fevereiro de
2.008. Vamos supor que a taxa de juros de mercado, por exemplo, a taxa SELIC esteja
a 12,00% ao ano over, ou seja, uma taxa de 0,04498% ao dia til. Suponha que neste
mesmo dia o mercado a termo negocie o termo de VALE5 para da a 30 dias, a uma
taxa de 5,00% ao ano, ou seja, o termo est precificado a 47,19 (consideremos a taxa
de juros acumulada por 21 dias teis equivalentes aos 30 dias corridos). O agente faz
ento as seguintes operaes:
D0 D30
Vende a ao pelo preo 47,00
Spot
Paga a margem de garantia -9,40
da compra a termo
Aplica a juros no mercado -37,60
financeiro
Resgata a aplicaao 37,96
Resgata a margem de 9,40
garantia sem correo
Paga o Termo e resgata a -47,19
ao para coloc-la
novamente em carteira
Fluxo Lquido 0 0,17
Quadro 3: arbitragem - operao caixa
Note que o resultado de R$ 0,17 ao final dos trinta dias um resultado certo. No
depende do preo da ao. Isto uma arbitragem. Se o agente fizesse isso para 50.000
aes VALE5 ele teria um ganho de R$ 8,500,00 ao final de 30 dias sem correr risco.
um bom salrio mensal. Ou no ? Como diria o nosso grande filsofo Caetano

Veloso. Aqui no consideramos os custos operacionais como emolumentos de bolsa,
taxa de custdia, custo de corretagem, claro que isso influencia e poderia inclusive
anular o efeito positivo da arbitragem.
Esta operao, na vida real, poderia ser feita por fundo de penso que precisa carregar
determinado papel em carteira por exigncia estatutria. Mas o check do carregamento
feito s no balano e, portanto, ele poderia fazer uma estripulia dessas no meio do
caminho.
c) Operao Caixa com Aluguel arbitragem 2
Pessoal, a BOVESPA aceita operaes com aes alugadas. Sim, tudo normal, legal.
Nada de errado. Voc pode alugar uma ao e vend-la para depois recompr-la e
devolv-la ao verdadeiro dono acrescida do aluguel do perodo. Vamos tomar o
exemplo anterior e implementar algumas mudanas no cenrio que permitiram
realizar uma operao como essa e ainda ter um lucro certo e fcil sem qualquer risco.
Consideremos os seguintes dados:
Preo Spot da VALE5: 47,00;

Preo do Termo de VALE5 para 90 dias: 47,10;
Margem de Garantia do Termo: 10,00%
Taxa mensal de aluguel: 0,50% ao ms
Taxa de Juros de mercado: 15,00% ao ano ou 0,055476% ao dia til.
Emolumentos: por simplificao vamos considerar 0,80% da transao
No quadro 4 notamos os valores envolvidos na operao. Aqui colocamos alguns

custos operacionais s para chamar a ateno que os mesmos podem fazer a
diferena. Entretanto, mesmo com tais custos a arbitragem em tela produziu um lucro
certo sem risco. No colocamos todos os custos envolvidos, como por exemplo, o
imposto sobre aplicaes de renda fixa associados ao CDB de maneira a simplificar o
problema.
Veja os resultados no quadro 4 a seguir.

D0 D30
Aluga a ao VALE5
taxa de 0,50% ao ms
Vende a ao no mercado 47,00
vista
Paga os custos -0,38
operacionais da venda
vista
Compra VALE5 a termo
para 90 dias (63 dias teis)
Paga os custos -0,38
operacionais da operao a
termo (cobrados sobre o

valor de 47,10)
Deposita a margem de -4,71
garantia do termo
Aplica os recursos lquidos - 41,53
num CDB bancrio
Resgata a aplicao 43,00

financeira em CDB
Resgata a margem 4,71
depositada na operao a
termo
Paga o termo e retira a -47,10
ao
Devolve a ao para o -0,08
dono pagando aluguel
Resultado em D90 0,53
Quadro 4: operao caixa com aluguel arbitragem 2
Ento veja que o cidado que fez a operao no estava interessado no ativo em si,
no queria proteger nada ele ser somente um arbitrador, um tipo de investidor que se
aproveita do desequilbrio de preos de alguns mercados relacionados entre si. No
presente caso envolvemos o mercado a vista de aes, o mercado a termo e o mercado
de aplicaes bancrias. Mais frente veremos que o conceito arbitragem de
fundamental importncia tanto na teoria quanto na prtica. Muitos modelos de
precificao de ativos em finanas partem do princpio de que no h arbitragem no
mercado.
O leitor atento j deve ter percebido que a arbitragem do tipo caixa ocorre quando se
tem:
PT < PV (1 + r ) n + custos operacionais (1)
Onde PT o preo do termo, PV o preo do ativo no mercado vista, r a taxa de

juros por perodo e n o nmero de perodos at o vencimento. Se PT igual o mercado
encontra-se em equilbrio e no haver arbitragem. Muitos autores apresentam a
equao acima desprezando os custos operacionais, admitindo-se idealmente que
sejam nulos. Agora, se o Preo do Termo est caro, ou seja, maior do que o segundo
membro da inequao (1) retro mencionada.
d) Operao de financiamento
Aposto que o leitor j estava mentalizando o nosso prximo assunto. Claro, quando o
preo a termo est barato como na inequao (1) retro, se pode fazer a operao caixa.
Caso contrrio, quando se verifica a inequao (2) abaixo

PT > PV (1 + r ) n + custos operacionais (2)
teremos arbitragem do tipo FINANCIAMENTO. Neste caso o arbitrador toma

dinheiro emprestado no mercado, compra a ao no mercado vista e vende o termo.
Neste caso no h margem de garantia pois uma venda COBERTA e no uma venda
DESCOBERTA. O investidor tem o ativo para entregar ao final da operao.
II.3 Operao no Mercado Futuro
Tudo o que descrevemos para o mercado a termo vale para o mercado futuro.
Em termos tericos elas so iguais ou equivalentes. A diferena a forma de
implementao em termos prticos, em termos transacionais. J apresentamos uma
operao com o Futuro de Ibovespa no item I.2 retro. A questo do preo futuro (tanto
da operao a termo quando da operao no mercado futuro) segue a mesma lgica
descrita no item II.2. Na prtica uma operao no mercado futuro uma operao a
termo totalmente padronizada em termos de vencimento, tipo de contrato, quantidades
negociadas, tipo de ativo negociado. O mercado praticamente lida com os preos o
resto fica padronizado pela BMF. Regra geral, no vencimento de um futuro temos:
cotao do ativo no mercado futuro = cotao do ativo no mercado vista.
Assim, as operaes do mercado futuro podem ser liquidadas

indiscriminadamente mediante a reverso da posio assumida, chamada
costumeiramente de liquidao financeira ou por diferena, sem que haja a efetiva
transferncia dos ativos ou, por outro lado, a troca do ativo, denominada de liquidao
fsica. Na realidade, a maioria esmagadora dos contratos futuros liquidada
financeiramente.
Conforme citamos, as operaes a futuro so comumente realizadas em
mercados de bolsas, que especificam uma srie de atributos aos contratos de modo a
permitir uma completa padronizao dos ativos que so negociados. Isto inclui a
determinao de todas as particularidades do ativo objeto da negociao, as datas de
vencimento permitidas para os contratos, a quantidade de ativo contida em cada
contrato, as condies de entrega do ativo, as formas de liquidao financeira das
posies, os tipos de garantia exigidas etc.. Praticamente, s fica a cargo do mercado
estabelecer o preo futuro do ativo.

II.4 Participantes dos Mercados Futuros
Os participantes das operaes nos mercados futuros podem ser tanto pessoas
fsicas como pessoas jurdicas, atuantes nos mais diversos segmentos econmicos e
com diferentes objetivos a serem alcanados nestes mercados, o que as leva a
estruturar diferentes estratgias operacionais, conforme apresentaremos em captulos
especficos deste livro. comum classificarmos os participantes conforme os
objetivos de sua atuao, sendo genericamente divididos em hedgers, especuladores e
financiadores.
II.4.1 Hedgers
Podemos dizer que a justificativa econmica para a existncia dos mercados

futuros consiste em atender s necessidades deste participante. Os hedgers so agentes
econmicos que possuem interesse em algum ativo, seja por possu-los ou por
necessitarem adquiri-los no futuro, e que por isto ficam sujeitos s oscilaes de
preos dos mesmos. Ento, para eliminarem tal risco, eles realizam operaes nos
mercados futuros para garantir o preo futuro do ativo e assim isentar-se dos efeitos
das variaes no mesmo. Por objetivarem defender alguma posio assumida
antecipadamente, no esto preocupados com os lucros ou perdas das posies
assumidas nos mercados futuros, mas sim com o resultado de uma carteira mais
ampla, na qual os contratos futuros fazem parte. importante frisar que o interesse
principal do hedger no recai sobre os contratos futuros que ele opera, mas sobre os
ativos nos quais tem interesse.
Imaginemos um exportador que j tenha incorrido nos custos de produo e
que espera receber da a 30 dias o valor pela sua exportao. Como o seu custo foi
dado em moeda nacional, reais, o resultado da operao passa a depender da taxa de
cmbio futura. Imagine que os custos totais para produo de cada unidade exportada,
acrescida da margem de lucro mnima desejada, tenha sido de R$ 10.020,00. Supondo
que a taxa de cmbio corrente seja U$ 1 = R$ 1,80 e que o valor a ser recebido, certo,
daqui a trinta dias de U$ 6.000 (em dlares !). Se a moeda estrangeira valorizar-se a
empresa ganha, se desvalorizar-se frente moeda nacional, a empresa perde. O ponto
crtico para a empresa seria a taxa de R$ 1,67, que produziria a receita mnima de R$
10.020,00.. Imagine que o dlar esteja cotado no mercado futuro a R$ 1,70 para daqui
a trinta dias. A empresa, temendo uma desvalorizao ainda maior do dlar, vende U$
6.000 a futuro. Neste momento a empresa garantiu o seu hedge, travando o seu
resultado. Vejamos os cenrios possveis:
a) a taxa de cmbio desce a 1,50 no trigsimo dia. A empresa recebe os U$ 6.000
da exportao que, convertidos, equivalem a 6.000 x 1,50 = R$ 9.000,00.
Liquida sua posio no mercado futuro no trigsimo dia, comprando dlares a
R$ 1,50, recebendo 6.000 (1,70 1,50) = R$ 1.500,00. O resultado final da
empresa foi de R$ 10.500,00, superior ao mnimo desejado.
b) a taxa de cmbio sobe a R$ 1,90. A empresa recebe R$ 11.400,00 pela
exportao (j feito o cmbio) e liquida a sua posio vendida no mercado
futuro com uma perda igual a 6.000 x (1,70-1.90) = R$ 900,00. Seu resultado
final , tambm, igual a R$ 10.500,00. Note que a empresa travou o seu
resultado, no sendo beneficiada pela valorizao do dlar. O que interessava

empresa era justamente garantir o seu resultado operacional e no especular no
mercado futuro. Feito o isso o empresrio est livre do risco cambial e pode se
dedicar integralmente ao seu processo produtivo e industrial ou de prestao
de servios para exportao.
Mais frente mostraremos que o hedge contra a variao cambial pode ser feito tanto
no mercado a termo, com operaes de balco de compra e venda da moeda americana
a termo ou atravs de operaes com Futuro de Dlar Americano na BMF. Voc j
deve estar imaginando que a operao de Futuro de Dlar na BMF cheia de regras,
padronizao e isso mesmo.
II.4.2 Especuladores
So participantes que no possuem interesse direto no ativo relacionado ao

contrato futuro transacionado. O que os leva a operar exclusivamente a expectativa
de obter ganhos extraordinrios com as oscilaes de preo destes ativos. Assim,
enquanto os hedgers procuram imunizar-se contra o risco de flutuao de preos, os
especuladores so atrados exatamente por este risco. So participantes cujas atuaes
podem ser consideradas complementares. O hedger foge do risco, o especulador
procura o risco. Neste ponto podemos dizer que, mais do que negociar mercadorias,
taxas de juros, moedas ou quaisquer outros ativos, o que se transaciona nestes
mercados o risco. Existem elementos que querem se desfazer do seu risco e outros
que desejam assumir este risco. A atuao do especulador fundamental para a
dinmica do mercado na medida em que ele quem fornece a liquidez necessria para
que o mercado se desenvolva. Ao contrrio do hedger, normalmente os especuladores
operam pequenos volumes mas atuam com muita frequncia, realizando diversas
operaes ao longo do dia. Sua operao mais caracterstica a operao de "day-
trade", ou seja, a realizao de operaes de compra e venda num mesmo dia, obtendo
seus resultados a partir das variaes de preos que ocorrem ao longo de um nico dia
de negociao. Desta forma, os especuladores mantm suas posies por curtos
espaos de tempo, realizando um elevado giro de operaes. Como seu objetivo o de
auferir ganhos nas flutuaes das cotaes, uma vez assumida uma posio, na medida
em que os preos variem a seu favor at um nvel satisfatrio, no se justifica manter a
posio por mais tempo pois o resultado almejado j foi alcanado.
Os especuladores podem diferir conforme o conjunto de informaes que
utilizam para tomar a deciso de que operao realizar. Alguns realizam baixo gasto
com a aquisio de informaes, assumindo posio a partir de informaes de
terceiros ou mesmo sem qualquer informao, apenas a partir de palpites e regras
empricas de operao. Consideram os modelos de formao de preos "inadequados"
ao mercado real, no conhecem teoria de finanas e acreditam que o mercado regido
por grandes manipuladores, buscando sempre se posicionar de acordo com os
mesmos. Um outro grupo, mais profissional, realiza elevados gastos com a obteno
de informaes, conhecendo a fundo os mecanismos de mercado, os fundamentos que
afetam os preos dos ativos negociados a futuro, a teoria financeira e procuram se
valer de ineficincias de mercado para auferir seus ganhos. Procuram desenvolver

modelos sofisticados para previso de tendncias de preos e empregam pessoal
altamente qualificado.
II.4.3 Arbitradores
Os mercados de ativos derivados so muito utilizados para a realizao de

operaes cujos fluxos de caixa equivalem a contratos de renda fixa. Os arbitradores,
conforme mostrado no item II.2 aproveitam-se do desequilbrio de preos no mercado.
Algum pode argumentar que tal estratgia assemelha-se a um hedge, uma vez
que o investidor em questo possui a ao e protege-se contra flutuaes do preo da
mesma. Entretanto, o aspecto que difere ambas as estratgias diz respeito ao fato de
que no exemplo mostrado no item II.2 o investidor no tinha o ativo at decidir-se a
operar e assim como transacionou com aes poderia ter negociado com qualquer
ativo que lhe rendesse o lucro desejado. Seu interesse no proteger uma posio do
ativo mas sim obter um rendimento pr-fixado ao adquirir o mesmo. Podemos dizer
que o preo que interessa na realidade ao financiador a taxa de juros e no o preo
do ativo. Ademais, ainda h vantagens fiscais. Regra geral a renda fixa tributada a
20% sobre os rendimentos auferidos e a renda varivel tributada a 15,00%. Ento
um investidor que realiza um conjunto de operaes que na essncia uma arbitragem
ser tributado por cada uma das operaes que figuraro para o fisco como operaes
de renda varivel.
II.5 Formao de Preos no Mercado Futuro
Vimos nos itens anteriores que os mercados futuros podem ser utilizados, por
exemplo, para uma empresa que precisa comprar uma mercadoria no futuro e deseja
se garantir contra variaes indesejveis no preo de tal mercadoria. Este tipo de
operao , no jargo do mercado, denominado long position. Na verdade a
aplicao de tal estratgia aplica-se s seguintes situaes: a) compromisso de venda
no mercado fsico, sem que exista a mercadoria em estoque; b) previso de consumo
futuro da mercadoria (proteo contra a subida do preo).
Vamos nos concentrar na situao b, ou seja, uma empresa sabe que ir
consumir em futuro prximo um determinado tipo de mercadoria, teme a alta do preo
e, portanto, fica numa posio long no mercado futuro, ou ainda, comprada, para
vencimento na data prevista para a aquisio da mercadoria. a possibilidade de se
liquidar a posio comprada no mercado futuro atravs do recebimento da mercadoria
que garante a convergncia dos preos futuros e vista para um mesmo valor.
Entretanto, j dissemos, poucos negcios futuros so liquidados pela entrega dos bens
fisicamente (cerca de apenas 2 %). Assim, qualquer vendedor pode optar por receber
(ou entregar) fisicamente sua mercadoria negociada a futuro.
O preo futuro carrega um prmio em relao ao preo vista que inclui: a)
custo de armazenamento da commodity e de transporte; b) custo de seguro; c) custo de
financiamento dos estoques e d) componente aleatrio. De maneira que podemos
escrever:

PFt = PVt (1 + r ) n + cc . n + e (3)
onde
PFt preo futuro no momento t (para vencimento em t + n);

PVt preo vista no momento t;
r taxa de juros diria;
n nmero de dias a decorrer at a data do vencimento;
cc carrying charge (no includo os juros): custo dirio de estoques,
armazenagem.
e componente aleatrio.
Regra geral o preo futuro maior do que o preo vista. Isto se d normalmente
porque um arbitrador poderia tomar o dinheiro emprestado (pelo qual pagar juros) e
realizar arbitragens, ou seja, mais uma vez, ganhos fceis sem risco. Ento
interpretamos a frmula (3) como sendo: o preo futuro a soma do preo vista
mais os juros correspondentes ao perodo que vai do momento presente at o
vencimento do contrato futuro mais os custos de carregamento do perodo. Se o
derivativo refere-se a uma commodity agrcola falamos em custos de armazenamento,
se refere-se a financeiros, teremos custos de custdia e assim por diante.
O fato que os preos futuros vo declinando com o passar do tempo (at a data de
vencimento do contrato futuro) e, na data de vencimento, convergem para o preo
vista.
Entretanto, h momentos em que o mercado se torna um mercado invertido na qual

temos os preos vista maiores do que os preos futuros. Isto ocorre em geral com
commodities perecveis onde fica difcil estoc-la por um longo prazo. Logo, o
mercado atribui maior valor aos preos dos produtos negociados no mercado vista e
aos futuros com menor vencimento.
Os pequenos exemplos que demos at aqui, regra geral, preveem que no fechamento o
preo futuro convirga para o preo vista. Isso nem sempre acontece na prtica.
Temos o chamdo risco de base. A base a diferena entre o preo vista e o preo
futuro num determinado momento que vai do momento do negcio at o vencimento
do contrato futuro. O que se espera que no vencimento tenhamos o preo do futuro
igual ao preo no mercado vista. Mas caso isso no acontea isto colocar em risco o
hedge descrito nos exemplos que colocamos at aqui.
Exemplo: vamos ilustrar com um exemplo de hedge no preo do caf
Um produtor localizado em Manhua (MG) espera colher o seu caf arbica

em dois meses e teme a queda do preo. No mercado vista o preo est cotado em
R$ 200,00 e no mercado futuro em R$ 190,00 (na verdade o caf futuro negociado
em dlar mas vamos exemplificar neste momento em reais por simplificaao). O

produtor vende entao volume equivalente sua produao fsica no mercado futuro da
BMF e, em tese, garante a trava de preo no valor de R$ 190,00. Supondo que o
produtor tenha carregado a sua posiao vendida futura at o vencimento e tendo a
BMF liquidado automaticamente a sua posiao pelo preo de fechamento apurado
pela ESALC, vejamos o ocorrido. A ESALC apura o preo mdio de algumas praas
que so tradicionais negociadoras de caf (Varginha, Barreiras, Guaxup, etc...) e
informa BMF que liquida o contrato futuro. Vamos supor, portanto, que no
vencimento o preo mdio nestas praas tenha sido de R$ 175,00. Como o nosso
produtor est vendido a R$ 190,00, o resultado final de sua posiao derivativa :
(190,00 175,00) = 15,00. A BMF faz entao a liquidaao meramente financeira e
deposita R$ 15,00 na conta do produtor. O produtor desejaria pegar este valor e somar
ao preo da saca fsica real, R$ 175,00, e apurar os R$ 190,00 por saca que ele
acreditava ter travado. Entretanto, quando vai vender a produao fsica resolve faz-lo
em Manhua e o preo local da saca est cotado a R$ 172,00. Logo o produtor tem
uma receita de 172,00 mais 15,00 por saca, igual R$ 187,00 e no R$ 190,00. O que
atrapalhou a meta do produtor ? o risco de base. A base no valia zero no vencimento.

III. RISCO: a viso de Markowitz e a de Sharpe
III.1 A viso de Markowitz
Vamos interromper a sequncia que vnhamos fazendo com os dois primeiros

captulos sobre derivativos, bolsas, tipos de operaes e discorrer um pouco sobre
RISCO. A partir de agora estaremos falando em risco como sendo o grau de
variabilidade de retornos. Retornos de aes, ttulos do governo, da carteira de
mercado (IBOVESPA), retorno de debntures, enfim, variabilidade de retornos de
ativos financeiros. A maior parte dos autores (e ns tambm) adotaremos para mtrica
de risco de um ttulo o desvio-padro. Alguns autores usam tambm a varincia que
plenamente equivalente.
III.1.1 Exemplos
a) Dadas as sries de preos anuais (fim de ano) e dividendos pagos para as aes A e
B no quadro 5 a seguir, calcular o retorno mdio, a varincia e o desvio-padro para
cada uma das aes:
Ano Preo A Div A Preo B Div B ret. A ret. B

0 50,00 50
1 57,00 4,50 47 0 23,00% -6,00%
2 64,98 6,00 57 8 24,53% 38,30%
3 70,00 4,00 63 12 13,88% 31,58%
4 81,00 7,00 58 4 25,71% -1,59%
92,34 9,00 59 8 25,11% 15,52%
6 102,00 12,00 63 7 23,46% 18,64%
7 116,28 7,00 50 8 20,86% -7,94%
8 135,00 5,00 61 11 20,40% 44,00%
9 149,00 4,00 58 4 13,33% 1,64%
10 165,00 6,00 55 1 14,77% -3,45%
mdia 20,50% 13,07%
var 0,21% 3,40%
dp 4,56% 18,43%
covar 0,0005
correl 0,0579
Quadro 5 clculo de varincia, covarincia e desvio-padro de retornos
formulrio:
(r r
j m )2
j =1
2 = (4) varincia de uma populao com os dados individualizados.
n

n
(r r
j =1
j m )2
S2 = (5) varincia de amostra para dados individualizados;
n 1
2 = r j2 p(r j ) ( r j p(r j )) 2 (6) varincia para populao ou amostra

calculada a partir da distribuio de
probabilidades de retornos;
= 2 (7) desvio padro igual raiz da varincia. A frmula

para o desvio-padro de amostra anloga.
(r r
j =1
1
j
1
m ).(r j2 rm2 )
COV(r1 ,r2 ) = (8) covarincia entre os retornos dos ativos 1 e 2.
n
cov (r1 , r2 )
Correl (r1 , r2 ) = (9) a correlao entre dois retornos obtida dividindo-se
1 . 2
a covarincia entre eles pelo produto dos desvios
padres individuais.
Nas frmulas de (4) a (9) acima, rj representa o retorno do perodo j e p(rj) a

probabilidade de o retorno j acontecer.
b) No quadro 6 a seguir apresentamos uma Tabela retirada do livro do ROSS (8) :

Anlise de Sries histricas de retornos de ativos financeiros no mercado americano
entre 1926 e 1991:
Srie retorno mdio prmio por desvio-

risco padro
aes ordinrias 12,4% 8,5% 20,8%
aes de empresas menores 17,5% 14,6% 35,3%
obrigaes de empresas a 5,7% 8,5%
longo prazo
obrigaes do governo a 5,1% 1,2% 8,6%
longo prazo
obrigaes do governo a 5,3% 1,4% 5,6%
mdio prazo
letras do tesouro USA 3,9 % 3,4 %
Quadro 6: evidncias histricas

Examinando o quadro percebemos que quanto maior o desvio-padro (risco
individual do ativo financeiro) maior o prmio de risco histrico. O livro do ROSS (8)
apresenta ainda evidncias de que as sries so aproximadamente normais, ou sejam,
podem ser modeladas/ajustadas como sendo distribuies normais de probabilidade.
c) Ajustando preos de aes pelos dividendos: muito comum os provedores de

dados ajustarem os preos das aes pelos dividendos. No exemplo anterior, os preos
ajustados da ao A seriam: (50; 61,50; 70,98; 74; 88; 101,34; 114; 123,28; 140; 153;
171);
d) Apresentando sries de retorno de uma outra forma, ou seja, pela distribuio de

probabilidades dos retornos mensais:
A B C
RETORNO RETORNO PROBABILIDADE
AO 1 AO 2 CONJUNTA
-89,74% 1,00% 2%
-54% 9,00% 5%
1% 4,20% 10%
1,60% 3,78% 23%
22,00% 3,18% 45%
36,00% 1,23% 12%
98% -2,67% 3%
Quadro 7: distribuio conjunta de probabilidades de retorno
Aplicando as frmulas descritas podemos obter a mdia, varincia e desvio-

padro para cada um dos retornos. Alm disso, podemos calcular a covarincia e a
correlao entre os retornos das duas aes.
e) Suponha que voc misture as duas aes numa carteira com iguais propores
(50%). Calcule agora o retorno esperado da carteira, a varincia e o desvio-padro da
carteira. O que aconteceu com o desvio-padro da carteira? Tente explicar por que o
desvio-padro mudou e o que isso significa.
III.1.2 Carteira de ativos com risco
No importa o desvio-padro individual dos ativos. O importante ver o

efeito resultante na carteira quando esse ttulo nela introduzido. Supondo que o
mercado de capitais prov a todos em igualdade de condies a chance de montar uma
carteira, o que importa o risco final da carteira. O "mistrio" o da diversificao.
Matematicamente o que explica a diversificao a frmula da varincia para uma
combinao linear de variveis aleatrias dependentes (correlacionadas) onde
aparecem n termos de varincia e n.(n-1)/2 termos de covarincia:

c2 = p12 . 12 + ... + p n2 + 2. p1 . p 2 . cov(1,2) + ... + 2. p n 1 . p n . cov(n 1, n)
(10)
A frmula (10) expressa, portanto, a varincia de uma carteira com n aes

(ativos) distintos, cujos retornos so tidos como sendo variveis aleatrias. Entretanto
o retorno esperado da carteira simplesmente a mdia proporcional dos retornos
individuais esperados. Portanto, o retorno esperado da carteira, mostrado na frmula
(11). segue uma relao linear com os retornos esperados individuais (de cada um dos
ativos) e a varincia da carteira (para calcular o risco da carteira desvio-padro da
carteira basta extrair a raiz quadrada da varincia) segue uma relao quadrtica em
relao s varincias individuais e ainda depende muito de covarincias.
n
RC = j =1
p j. R j (11)
Onde
Rc retorno esperado da carteira;

Pj proporo do j-simo ativo na carteira
Rj retorno esperado invidividual do j-simo ativo
III.1.3 Fronteira eficiente de ativos com Risco
Tomemos o exemplo d do item III.2 retro. Se fossemos alterando as

propores das aes nas carteiras teramos a situao descrita no quadro 8.
Proporo da risco da retorno

ao 1 carteira Carteira
0,00% 1,86% 3,26%

0,50% 1,75% 3,31%
1,00% 1,65% 3,36%
1,50% 1,55% 3,41%
2,00% 1,46% 3,46%
5,00% 1,22% 3,75%
8,00% 1,55% 4,05%
9,50% 1,86% 4,20%
10,00% 1,97% 4,25%
30,00% 7,57% 6,22%
50,00% 13,45% 8,20%
70,00% 19,35% 10,17%
80,00% 22,31% 11,16%
100,00% 28,22% 13,13%
Quadro 8: risco x retorno da carteira em funo das propores dos ativos

Para alcanarmos os valores descritos no quadro utilizamos os seguintes parmetros
relativos s aes 1 e 2:
Ao 1 Ao 2
Retorno Esperado 13,30% 3,26%
Variancia 0,0797 0,0003
Desvio Padro 28,22% 1,86%
Covariancia (r1,r2) -0,00381

Correlao (r1,r2) -0,73
Quadro 9: parmetros resumidos para as aes a serem encarteiradas
Vamos traar o grfico Risco x Retorno correspondente ao Quadro 8:
Quadro 10: Grfico risco x retorno da carteira com dois ativos de risco
Ns plotamos os riscos na horizontal at o valor de 8,00% apenas para tornar o grfico

(quadro 10) mais ntido. Entretanto, sabemos que o risco vai at o valor de 28,22%
que corresponde ordenada (retorno esperado) de 13,13%. Gostaramos que o leitor
percebesse que a regio inicial do grfico, que vai dos pares (1,86%;3,26%) a
(1,46%;3,46%) uma regio onde a carteira ineficiente pois dominada por pontos
superiores que apresentam uma relao risco x retorno melhor. Ento a chamada

fronteira eficiente de Markowitz corresponde parte superior do grfico que um
semi-hiprbole. Ela a regio que deve ser aproveitada do grfico e tambm na
montagem real de carteiras. As carteiras da parte inferior so dominadas e no devem
ser levadas em conta. Mais frente apresentaremos a fronteira eficiente de Markowitz
em detalhes. Mais, desde j, chamamos a ateno do leitor para o fato de que a
correlao diferente de 1 (no caso, negativa e igual a -0,73) foi quem fez a diferena e
produziu tal situao. Perceba que um investidor muito avesso ao risco e
desconhecedor da teoria de Markowitz poderia ser trado pela sua intuio. Nota-se
que ativo 1, individualmente, produz muito risco, ou seja, tem um desvio-padro de
28,22%. Entretanto, a carteira que produziu o menor risco no quadro 8 no foi a
carteira que possui to somente o ativo 2. Outrossim, foi a carteira com 5% do ativo 1.
Esta a mgica da diversificao e o esprito da teoria de Markowitz.
III.1.4 A carteira de Ativos com Risco: o modelo de Markowitz
No item anterior apresentamos a verso da teoria das carteiras para duas

aes. Desenvolvemos o problema e percebemos que o risco individual dos dois
ativos no eram to relevantes isoladamente. O importante era o efeito final no risco
da carteira. A curva risco x retorno obtida tinha o formato de um ramo de hiprbole,
na verdade, um sub-ramo, pois a parte de baixo da figura no era interessante do ponto
de vista financeiro. Restando, portanto, a parte de cima a qual denominamos
FRONTEIRA EFICIENTE DE INVESTIMENTO EM ATIVOS COM RISCO. Os
pontos situados nessa curva satisfazem as seguintes propriedades:
a) dado um nvel de risco, o ponto sobre a fronteira eficiente (na mesma

vertical, ou seja, de mesmo nvel de risco) corresponder carteira de
mximo retorno; e
b) dado um nvel de retorno exigido, o ponto correspondente sobre a curva

(na mesma linha horizontal do retorno fixado) corresponder carteira de
risco mnimo. Identificar o ponto sobre a curva determinar as propores
com que os diversos ativos de risco participam na carteira.
O Modelo de Markowitz pode ser estendido para o caso de mais de duas

aes. A fronteira eficiente teria o mesmo formato, ou seja, hiperblico. Entretanto, a
determinao da equao da relao risco retorno no to simples como no caso de
duas aes. Uma demonstrao formal do caso genrico de carteira com trs ou mais
ativos pode ser vista em SECURATO (11).
Neste caso, no se trata de determinar uma nica proporo (p) como no caso
anterior. Trata-se de determinar n propores de ativos que vo corresponder aos
pontos da fronteira eficiente. Para tanto, podemos utilizar um software de otimizao
no-linear, como o SOLVER do Microsoft Excel. Modelamos as propores como

sendo as variveis de deciso. O objetivo maximizar o retorno mdio da carteira e
adicionamos as seguintes restries: i) propores no-negativas; ii) soma das
propores igual a 100%; iii) varincia (risco) menor ou igual a determinado valor
constante. Aps a otimizao o software fornecer as propores (timas) que
implicam em retorno mximo para um determinado nvel de risco. Variando o nvel
mximo de risco e otimizando novamente vamos obtendo os pontos da fronteira
eficiente para os n ativos com risco.
Obs.: pode-se demonstrar que a relao risco x retorno pode ser trabalhada
indistintamente com o desvio-padro ou varincia. Ao se trabalhar com a
varincia, o aspecto do grfico risco x retorno seria praticamente o mesmo.
Logo, em se tratando de utilizar o software para otimizao, basta trabalhar
com a varincia.
Vamos tomar um novo exemplo, cujos dados encontram-se resumidos no quadro 11,
para aplicar o modelo de Markowitz e encontrarmos a fronteira eficiente para os trs
ativos de risco (trs aes). O nosso objetivo encontrar alguns pontos singulares
como a carteira de mnima varincia de Markowitz e a carteira de que produz o
mximo retorno. Ademais vamos esboar novamente os pontos da fronteira eficiente e
somente desta, desprezando os pontos correspondentes carteiras ineficientes.
Ao 1 Ao 2 Ao 3
Retorno Mensal Esperado 1,60% 2,30% 3,50%
varincia 0,000361 0,000961 0,003136
dp 1,90% 3,10% 5,60%
Matriz de Correlaes Ao 1 Ao 2 Ao 3
Ao 1 1,00 0,40 0,30
Ao 2 1,00 0,20
Ao 3 1,00
Quadro 11: dados individuais e matriz de correlao para trs aes.
No quadro 12 abaixo apresentamos o modelo implementado em planilha Excel. A

primeira providencia construir a planilha principal com os dados de entrada,
parmetros, variveis endgenas e variveis de deciso. No presente caso, os retornos
esperados individuais dos trs ativos, os riscos individuais (desvios-padro), a
varincia individual dos ativos e a matriz de correlaes so os dados. Note que as
nossas variveis de deciso esto na faixa b6:d6, ou seja, so as propores de cada
uma das aes na nossa carteira. As variveis retorno esperado (clula b14), varincia
da carteira (b16) e risco da carteira (b18) so variveis endgenas, ou seja, sero
calculadas internamente no modelo aps ele ter escolhido as propores. E se voc
examinar tais clulas em detalhes voc vai perceber que nelas tem-se frmulas que
fazem a ligao com os dados e com as variveis de deciso, conforme abaixo:
Clula b14 tem a frmula: B6*B2+C6*C2+D6*D2

Clula b16 tem a enorme frmula de varincia da carteira:

=B6^2*B3+C6^2*C3+D6^2*D3+2*B6*C6*B4*C4*C9+2*B6*D6*B4*D4*D9+2*C
6*D6*C4*D4*D10
Quadro 12: imagem do modelo principal em planilha do Excel 2007
E, finalmente, na clula b18 tem: =RAIZ(B16)
Ora, note, que na linguagem do excel estas frmulas ligam as diferentes clulas. No
pense que o modelo s isso. E o que est contido na clula c14 ? um valor qualquer,
atribudo, a cada rodada, para o retorno desejado da carteira. Portanto, vamos atribuir
um valor para o retorno que desejamos e o excel atravs do seu add in SOLVER ir
tentar encontrar a carteira que atenda a esta condio e que tenha o menor retorno
possvel. O SOLVER utiliza tcnicas de programao matemtica para otimizao de
modelos. De incio, ns vamos atribuir o valor zero para esta clula, ou seja, vamos
pedir ao SOLVER que encontre uma carteira de risco mnimo e com retorno maior ou
igual a zero. De outro lado, precisamos cadastrar o nosso modelo no SOLVER. Para
isso, se voc est com o excel 2007 voc vai no menu DADOS e CLICA em
SOLVER para abrir a janela de impostao do modelo. Se voc estiver com verso
mais antiga do excel v no menu FERRAMENTAS e l escolha SOLVER. No quadro
13 apresentamos o nosso modelo cadastrado no SOLVER. Veja com ateno os
diferentes blocos. Veja que o nosso modelo procurar minimizar o contedo da clula

b16, onde est a varincia da carteira. O leitor deve estar se perguntando porque no
minimizar a clula b18 onde est o risco da carteira (desvio-padro). A resposta
simples e de natureza matemtica. O modelo chega ao mesmo resultado mas mais
fcil para ele minimizar um termo quadrtico como a varincia. Note que a funo
objetivo (varincia) foi denominada pelos criadores do excel (ou que verteram para o
portugus) de clula de destino, sabe-se l porque. O mais correto do ponto de vista
matemtico denominar funo objetivo. Mais embaixo um pouco notamos a opo
pela minimizao, onde marcamos clicamos com o mouse em min.
Quadro 13: o cadastramento do modelo no SOLVER
Mais abaixo vem as clulas variveis onde est a faixa que contm as nossas variveis
de deciso. Claro que fomos ns que impostamos esta faixa na caixa de dilogo do
SOLVER. O EXCEL facilita muito esta impostao pois admite que marquemos a
faixa na planilha e teclemos ENTER para concretizar a ao. No bloco de baixo esto
as restries do nosso modelo. Sim, porque o nosso modelo no um modelo de
otimizao irrestrita, ao contrrio, apresenta as seguintes restries:
a) B14 > = C14
Indica que o retorno esperado da carteira deve ser maior do que o retorno
contido na clula c14. J dissemos que este um parmetro, vamos alter-lo a
cada rodada e comeamos com o valor zero.
b) B6:D6 >= 0
Indica que a faixa de clulas (variveis de deciso, as propores das aes)

devem ser valores no negativos. Isto indica que queremos carteiras no
alavancadas. Mais frente interpretaremos o significado de propores
negativas.

c) E6 = 1
Aqui a restrio indica que a soma de todas as propores d 100% ou a
integralidade. Em outras palavras, todos os nossos recursos financeiros sero
aplicados nas trs aes.
Vamos zerar a faixa b6:d6, atribuindo zero na clula c14 e rodar o modelo clicando
em RESOLVER conforme aparece no quadro 13. A tela resultante ser exatamente
igual mostrada no quadro 12. O solver encontrou a carteira abaixo como sendo a
carteira com menor risco possvel e retorno maior ou igual a zero:
Ao 1 Ao 2 Ao 3
Propores 84,71% 14,62% 0,68%
Retorno Esperado da Carteira 1,72%
Varincia da Carteira 0,0003424
Risco da Carteira 1,85%
Note que o incauto poderia pensar que a estratgia de menor risco seria investir todo o
dinheiro no ativo 1 que o que produz o menor retorno e tambm possui o menor
risco, a saber 1,60% e 1,90% ao ms, respectivamente. Entretanto, o modelo de
Markowitz mostra que a carteira eficiente de menor risco (denominada carteira de
mnima varincia) tem retorno de 1,72% e risco de 1,85% ao ms e domina
completamente a carteira citada. Este o primeiro ponto da fronteira eficiente que j
sabemos ser uma semi hiprbole.
A seguir, vamos atribuir um novo valor para o parmetro RETORNO DESEJADO e

rodar o modelo novamente. Ora, se a carteira de mnima varincia j produz um
retorno de 1,72% ao ms o prximo valor (o primeiro foi zero) a ser atribudo clula
c14 ter que ser um valor superior a 1,72%. Escolhemos ento o valor de RETORNO
DESEJADO de 1,90%, rodamos o modelo e encontramos uma nova carteira eficiente
para este nvel de retorno conforme abaixo:
Ao 1 Ao 2 Ao 3
Propores 70,07% 22,39% 7,54%
Retorno Esperado da Carteira 1,90%

E assim vamos rodando o modelo at atingirmos o retorno mximo correspondente ao
ativo de maior retorno individual (e tambm maior risco) que o ativo 3, com retorno
de 3,50% ao ms. A partir desse ponto o modelo j comea a apresentar mensagem de
que no possvel encontrar uma soluo vivel.
Listamos abaixo a tabela com os valores calculados no quadro 14 e o grfico da
fronteira eficiente de Markowitz para os trs ativos de risco, ou seja, para as trs
aes.
Retorno da Carteira
Risco da Carteira Eficiente Eficiente
1,85% 1,72%
1,90% 1,90%
2,19% 2,20%
2,66% 2,50%
3,75% 3,00%
5,60% 3,50%
Quadro 14: resultado de seis rodadas do modelo SOLVER
Quadro 15: esboo da semi-hiprbole que representa a fronteira eficiente para trs
ativos de risco

III.1.5 As hipteses de Markowitz
1) Os investidores preocupam-se apenas com o valor esperado e com a

varincia (ou o desvio-padro) da taxa de retorno;
2) Os investidores tm preferncia por retorno maior e por risco menor;

3) Os investidores desejam ter carteiras eficientes: aquelas que do mximo
retorno esperado, dado o risco, ou mnimo risco, dado o retorno esperado;
4) Os investidores esto de acordo quanto s distribuies de probabilidades

das taxas de retorno dos ativos, o que assegura a existncia de um nico
conjunto de carteiras eficientes.
III.2 A viso de Sharpe para o RISCO
III.2.1 Risco Sistemtico e Risco especfico
No grfico abaixo podemos verificar o efeito do nmero de ttulos sobre o

risco final da carteira. Percebe-se que aumentando o nmero de ttulos o risco da
carteira diminui at um certo valor. A partir da no mais possvel reduzir o risco da
carteira. Vamos ilustrar a situao imaginando uma carteira com N ttulos, todos com
a mesma varincia (var) e cujas covarincias so todas iguais (cov). O risco de tal
carteira pode ser expresso pela frmula (12) :
1 1
2
c =
V A R + (1 ) COV (12)
N N
Na equao 1, percebe-se que aumentando o valor N (N infinito), a
varincia da carteira tende a COV, ou seja, no limite temos varincia da carteira =
COV, ou em outras palavras, para uma carteira muito diversificada o que interessa a
relao de cada um dos ativos para com os demais e no mais o risco individual. No
quadro 16 ilustramos o efeito da diversificao em funo do nmero de ttulos na
carteira conforme o raciocnio retro desenvolvido.

Risco Sistemtico
Quadro 16 o risco total diminui at um limite mnimo

Poderamos pensar, portanto, no risco total de um ttulo desmembrado em duas
parcelas conforme a relao abaixo:
Risco total de um ttulo = risco da carteira (cov) + risco especfico (var -

cov). Na quadro 16 fica claro que na medida em que se diversifica uma carteira ela vai
ficando to somente com o risco sistemtico e eliminando os riscos especficos.
Desta forma, a utilizao de carteiras consegue eliminar riscos especficos

mas no o risco sistemtico. Mais frente faremos uma abordagem mais qualitativa
do que consiste o risco sistemtico e o risco especfico. Ento, num mercado eficiente
(conforme as premissas de Markowitz) o investidor no deveria se preocupar com o
risco total do ttulo (desvio-padro) mas com o relacionamento do ttulo com a carteira
(covarincia do do retorno do ttulo com o retorno da carteira).
III.2.2 As idias de Sharpe: modelo CAPM
Vamos supor agora que o mercado trabalhe com um ativo sem risco e com
um determinado nvel de retorno mnimo, denominados, respectivamente, F e rF .
Imaginemos que combinemos uma carteira M formada por ativos com risco e com o
ativo sem Risco (F), nas propores p e (1-p), respectivamente, para formar uma nova
carteira C. Manipulando as equaes do retorno mdio da carteira e da varincia
concluimos facilmente que:
r rF
= rF + .
M
rC (13)
M
C

A equao (13) indica agora que o retorno da nova carteira formada varia
linearmente com o risco da carteira conforme o grfico abaixo:
RC
T
B
M
Rf
C
Quadro 17 A fronteira geral de Investimentos
No grfico acima, percebemos uma nova fronteira eficiente para os

investimentos no mercado, ou seja, a fronteira dada pelo trecho RFMT, denominada
FRONTEIRA EFICIENTE GERAL DE INVESTIMENTOS. O ponto M representa a
carteira de mercado. O trecho MT representa os casos de carteiras alavancadas, ou
seja, carteiras em que se tomou um percentual maior do que 100% da carteira de
mercado e um percentual negativo do ativo sem risco. Economicamente, isso significa
que algum tomou emprestado nas condies do ativo sem risco para aplicar na
carteira de mercado. Sendo a carteira M a carteira com todos os ativos de risco do
mercado, M estar presente em todas as carteiras timas passveis de serem formadas
(trecho RFMT da reta). A partir deste fato SHARPE percebeu que no era necessrio
ficar calculando covarincias entre todos os pares de ativos de risco, o que importava
era a correlao entre tais ativos e a carteira de mercado e formulou a equao bsica
do CAPM (CAPITAL ASSET PRICING MODEL):
RI = = RF + (RM - RF) . II , M ,
onde:
Ri Retorno do ativo i;
RF Retorno do ativos sem risco;
RM Retorno da carteira de mercado;
cov(R i,R m )
II , M beta do ativo i, igual a
v a r( R m )
BETA traduz o chamado risco sistemtico do ativo. O risco que importa

agora este. O mercado no premia o risco total de um ativo (desvio-padro), uma
vez que qualquer pessoa pode diversificar a sua carteira e eliminar os riscos

especficos. Na prtica aproximamos a carteira de mercado pela carteira de aes do
mercado, por exemplo, IBOVESPA. Segundo SHARPE, num mercado em equilbrio,
os ativos tem os seus preos fixados de modo que a taxa esperada de retorno esteja
linearmente relacionada com o seu grau de risco sistemtico.
O grfico a seguir representa o que denominamos LINHA DE TTULOS DO

MERCADO:
R
e
t
o
B
r
n
o A C
0 A B C betas
Quadro 18: Linha de Ttulos do Mercado SML
No grfico acima, marcamos inicialmente os pontos do ativo livre de risco e

da carteira de mercado. Ligamos os pontos formando a SML. O ativo A est em
equilbrio, situado sobre a SML. Seu retorno proporcional ao seu nvel de risco
sistemtico (beta). O ativo B est sendo sub-avaliado pelo mercado, seno vejamos.
Todas as pessoas desejariam adquirir um ativo como este. Seu retorno maior do que
o esperado pela SML. Logo, a procura aumentaria muito no mercado, forando a
subida dos preos. Da por diante os retornos se reduziriam, aproximando do retorno
esperado na SML. O ativo C est na posio contrria e dizemos que ele est super-
avaliado por razes anlogas. SHARPE acrescentou as seguintes hipteses ao modelo
de MARKOWITZ:
5) os ativos so perfeitamente divisveis;
6) h um ativo sem risco e os investidores podem compr-lo e vend-lo em

qualquer quantidade; e
7) no h custos de transao ou impostos, ou, alternativamente, eles so

idnticos para todos os indivduos.
A equao bsica do CAPM (RI = RF + (RM - RF) i ), mostra que o retorno

de um ttulo varia linearmente com o prmio pelo risco de mercado. Note que para o
ativo livre de risco temos =0 e que para a carteira de mercado =1. Assim, segundo
Sharpe, num mercado em equilbrio temos a ocorrncia da chamada SML, a reta de
ttulos do mercado. O BETA uma medida do risco sistemtico do ativo. E onde fica
aquela estria de o risco ser medido pelo desvio-padro? Fica da mesma forma. O

desvio-padro (ou varincia) a medida do risco total de um ativo, que o resultado
da soma do risco sistemtico e o risco especfico. O mais interessante notar que,
segundo Sharpe, o mercado precifica o ativo de acordo com o seu risco sistemtico e
no de acordo com o seu risco total. Em outras palavras, o risco especfico pode ser
neutralizado pela formao de carteiras diversificadas. Insistindo, olhando a equao
bsica do CAPM pode-se observar que a remunerao de um ativo feita por duas
parcelas:
a) RF, remunerao devida ao tempo, ou seja, diferimento do consumo em

condies de certeza;
b) (RM - RF) i , parcela devida ao risco. Note que o prmio de risco

comum a todos os ativos de mercado, independendo do ativo i. Note
tambm que o BETA j depende do comportamento do ativo i frente ao
mercado, portanto, especfico ao ativo. Mais uma vez: o BETA uma
medida do risco sistemtivo do ativo i.
III.2.3 Estimando o Beta
A frmula para o clculo do BETA, num mercado em equilbrio,

exatamente:
cov( Ri , Rm)
(14)
var( Rm)
Entretanto, podemos estimar o BETA do ativo pela regresso linear entre

amostras de sries de retornos do ativo e de retorno de mercado. Consideremos a
equao bsica da regresso:
RI = b . RM + a (15)
O "b", coeficiente angular da reta de regresso uma estimativa para o

BETA. Na prtica pode-se utilizar a frmula (14) considerando as amostras das sries
dos retornos, ou seja, a srie de retornos do ativo e a srie de retorno de mercado
(IBOVESPA). Extraindo-se a varincia de ambos os membros da equao (15) temos:
var(RI) = 2 var (RM) + var(eI) (16)
O ltimo termo em (3) representa o risco especfico que pode ser anulado
pela formao de carteiras diversificadas.

III.2.4 Beta de Carteiras
Bem, agora j sabemos o que nos interessa: O BETA. Supondo que o

investidor racional trabalhar sempre com carteiras diversificadas temos uma frmula
bem mais simples do que a anteriormente vista no enfoque de MARKOWITZ:
N
P = I =1
X I I (17)
onde:
p BETA da carteira: igual mdia ponderada dos betas dos ativos;
I BETA do i-simo ativo;
xi Proporo do i-simo ativo na carteira
Surge agora a pergunta inevitvel: possvel montar uma carteira de risco

sistemtico igual a zero? Teoricamente sim. Basta arranjar as propores de betas dos
ativos de maneira a zerar o beta da carteira. Alis, adiantamos aqui o nosso hedge de
carteira de aes via FUTURO DO IBOVESPA. Vamos fazer exatamente isso,
apostando nas correlaes entre o futuro de ibovespa e a noss carteira a hedear vamos
determinar uma quantidade tal de contratos de derivativos que deveria ser vendida
para proteger ou travar a rentabilidade da nossa carteira. Claro, que correremos um
certo risco de base (risco de correlao) dado que a correlaao histrica pode no se
repetir no futuro. Mas este um hedge conhecido e muito praticado no mercao.
Ademais o possvel pois a BMF no negocia futuros de uma determinada aao
isoladamente. Ressaltamos, inclusive, que ao hedear uma carteira tornando o seu risco
sistemtico nulo (pela agregaao de parcela de futuro de ibovespa) ainda sim no
eliminaremos o seu risco sistemtico, a no ser que ela seja suficientemente
diversificada para j trazer um risco especfico prximo de zero. Mas vamos deixar
este assunto para um outro captulo.
III.2.5 Risco, Retorno e Oramento de Capital
Bem, como dissemos anteriormente, o CAPM no uma tcnica exclusiva

para precificar aes ou mesmo avaliar o risco carteira de aes. No nos esqueamos
que MARKOWITZ e SHARPE ganharam o prmio NBEL de economia por seus
feitos. Agora, vamos ter a oportunidade de perceber o alcance dessa teoria. No incio
do curso dissemos que o mercado financeiro era o grande balizador para as decises
de investimento sem risco. Bastava descontar os fluxos de caixa do investimento
proposto pela taxa livre de risco e comparar com o investimento inicial para obtermos
o VPL e, portanto, decidir. Com o CAPM temos uma frmula para descobrir qual a
taxa justa de retorno de um determinado ativo financeiro com um certo nvel de risco
(beta). Mas e para avaliar um projeto empresarial? Ora, a empresa ser avaliada de
forma anloga a um ativo financeiro (ttulo, ao). Vamos encontrar um determinado
ttulo no mercado que tenha o mesmo nvel de risco da empresa e tomar a taxa de

retorno justa deste ttulo (calculada pelo CAPM) para servir como referncia de
avaliao dos fluxos de caixa da empresa (taxa de desconto). Por enquanto, vamos
trabalhar com empresas inteiramente financiadas com capital prprio. Neste caso tal
taxa denominada CUSTO DE CAPITAL PRPRIO DA EMPRESA.
Exemplo:
Uma empresa pretende expandir suas atividades mas no mesmo ramo de

negcios. Neste caso, considera-se que o novo projeto tem o mesmo nvel de risco da
empresa. Supondo que a empresa seja inteiramente financiada com capital prprio
(sem dvidas), tomamos o beta das aes da empresa como sendo o beta do novo
projeto. Vamos supor ainda que o projeto vai gerar um fluxo perptuo de caixa, anual,
igual a R$ 10.000.000,00. O investimento inicial foi de R$ 40.000.000,00. A taxa
livre de risco igual a 7% ao ano. O prmio pelo risco de mercado igual a 12% ao ano
e o beta das aes igual a 1,2. O projeto vivel ou no?
Soluo:
custo do capital prprio = 7% + 12% . 1,2 = 21,40% ao ano;
10.000.000
VPL = 40.000.000 + = 6.728.972
0,2140
Em sendo o VPL positivo, o projeto vivel. O que faria tal empresrio

desistir de tal projeto ? Voc molhar a mo dele com R$ 6.728.972,00 (essa a idia
do VPL).
E se a empresa do exemplo anterior fosse financiada por capital prprio e por

capital de terceiros, poderamos aplicar o custo de capital prprio encontrado? No. A
seguir veremos como tratar essa questo !
III.2.6 Fatores determinantes do Beta
At agora o BETA tem sido tratado de forma matemtica, numrica, fria.

No pense que os BETAS so percebidos desta maneira no mercado. Com a formao
matemtica do cidado mediano (e at de alguns analistas de mercado) a coisa estaria
complicada. Na verdade o beta influenciado por um conjunto grande de fatores dos
quais destacamos trs:
a) NATUREZA CCLICA DAS RECEITAS DA EMPRESA;

b) ALAVANCAGEM OPERACIONAL; e
c) ALAVANCAGEM FINANCEIRA.

A indstria da construo civil tem uma receita altamente cclica. O mercado
vai bem a construo civil vai bem. O mercado vai mal a construo civil vai mal. A
indstria de alimentos de primeira necessidade no depende tanto do mercado. As
pessoas comem mais pela fome e no pela condio do mercado. Assim, o BETA de
uma empresa da construo civil deve ser positivamente elevado (exemplo: 1,2). O
BETA de uma empresa do gnero alimentcio citado deve ter um beta baixo, por
exemplo, 0,6. Vale a pena ressaltar que natureza cclica de receita no a mesma
coisa que variabilidade. O ROSS (8) cita alguns exemplos, salientando que uma ao
com um elevado desvio-padro no necessariamente possui um elevado BETA.
Encontramos, portanto, uma grande utilizao para o CAPM, ou seja,

calcular as taxas que vo descontar fluxos de caixa com risco. Isto serve para
avaliar o valor de empresas, valor de ttulos do mercado de capitais, projetos,
enfim, qualquer coisa que envolva um fluxo de caixa com risco. Entretanto, at
agora, vamos nos limitar aos casos em que todo o fluxo de caixa pertence ao
acionista (capital prprio). Nos itens subsequentes iremos estudar a questo do
financiamento (endividamento) e o efeito sobre a taxa de desconto.
Quadro 19
III.2.7 Alavancagem Operacional
Algumas empresas trabalham com um custo fixo maior. Produzindo ou no

elas tm que saldar o seu compromisso. Uma empresa com um maior nvel de custo
fixo tm o que a teoria financeira denomina de maior alavancagem operacional. Os
grficos abaixo mostram duas empresas A e B. A tm maior alavancagem
operacional. Uma situao prtica que justificaria a diferena de alavancagem seria o
caso de a empresa A trabalhar com uma tecnologia mais rudimentar que significasse
maior nvel de custos variveis e menor nvel de custos fixos. Ao contrrio, a empresa
B, teria, por exemplo, uma tecnologia mais sofisticada (mquinas de manuteno mais
cara) que permitiriam um baixo nvel de custo varivel (gastaria menos para produzir
uma nica unidade do produto) mas com um elevado nvel de custo fixo, conforme
representado no grfico abaixo:
EMPRESA A EMPRESA B
Valor custos totais

Custos Totais
custos fixos
custos fixos
volume volume

Note que para uma mesma alterao de volume de vendas o resultado da
empresa B mais fortemente afetado do que o da empresa A .
III.2.8 Alavancagem financeira
Enquanto a alavancagem operacional reflete a sensibilidade do resultado em

relao aos custos fixos de produo a alavancagem financeira reflete a sensibilidade
do resultado ao custo do capital de terceiros. Entre duas empresas com o mesmo nvel
de alavancagem operacional, aquela mais endividada ter maior risco (na viso do
acionista, que recebe aps todas as contas serem pagas), pois exige um nvel maior de
vendas para fazer frente aos custos do endividamento.

III.3 V@R - Value at Risk de uma carteira de aes
O Banco JP Morgan divulgou mundialmente uma metodologia muito til

para se calcular o risco de carteiras. A grande vantagem a expresso do risco em
moeda corrente, por exemplo, reais. A idia bsica por trs do mtodo a mesma de
Markowitz, considera o desvio-padro como medida de risco e as correlaes entre os
diferentes pares de ativos (no caso o que interessa so as aes). O V@R pode ser
conceituado da seguinte maneira: a perda mxima possvel num determinado
intervalo de tempo com um determinado nvel de confiana. A expresso para o V@R
dirio individual de uma ao dada pela expresso:
V@R = POSIO x VOLATILIDADE x Z, onde Z valor na curva normal

correspondente ao nvel de confiana (z=1,65 para nvel de confiana de 95%). A
Volatilidade corresponde ao desvio-padro do retorno da ao apurado em funo das
taxas de retorno dirias.
Para uma carteira utilizamos frmula equivalente frmula para a carteira

(alis fcilmente dedutvel a partir daquela):
V@Rcarteira = RAIZ (VAR12 + VAR22 + ...+ VARN2 + 2.VAR1.VAR2.r12 +

...2.VARn-1VARn.rn-1n)
A frmula possui n termos de quadrados de VAR individuais (para n aes) e

n(n-1)/2 termos que utizam correlaes. Em tudo semelhante frmula para o desvio
padro da carteira de Markowitz.
Se pretendermos carregar a carteira por mais de um dia (holding period) o

V@R dirio da carteira sofre um ajuste:
VAR n = VAR d . n (18)
Onde
n - nmero de dias teis em que se carrega a carteira holding period;

VARn o VAR de n dias teis;
VARd o VAR dirio
Obs: aqui podemos estender tal equao considerando o d como sendo um perodo
qualquer e o n uma coleo de perodos.
Calculado o V@R, uma boa medida de performance a razo retorno/risco

denominada RAROC - Risk Adjust Returno on Capital) que expresso a razo entre o
retorno esperado de um ativo ou carteira pelo capital em risco. Esta medida no nos
deixa esquecer o papel importante do risco. muito comum bancos, por exemplo,

medirem retorno de produtos ou carteiras de crdito pelo seu valor contbil
desprezando o risco inerente. s vezes se supervaloriza clientes que tomam grandes
quantidades de emprstimos que ainda esto vincendos em detrimento de clientes que
no tem emprstimos. que a contabilidade, independentemente do fluxo de caixa,
realiza as receitas contbeis pelo simples andar do tempo e do clculo dos juros sem
contudo exigi-lo em termos de caixa.
Exemplo:
Vamos considerar a carteira com as trs aes apresentadas no ttulo III.1.4. Em

particular vamos nos concentrar na carteira de mnima varincia e calcular tudo o que
aprendemos at aqui para esta carteira. Vamos reproduzir os dados apresentados
anteriormente e vamos acrescentar os betas individuais dos ativos. Para que possamos
fazer um exemplo completo supondo que tenhamos aplicado $ 100 milhes na carteira
de mnima varincia de Markowitz. Vamos supor ainda que o ativo livre de risco (que
tem varincia e beta iguais a zero) tenha um retorno de 0,50% ao ms e que o risco e o
retorno de mercado dado pelo par ordenado (2,20%;1,90%).
Dados:
Ao 1 Ao 2 Ao 3
varincia 0,000361 0,000961 0,003136
dp 1,90% 3,10% 5,60%
beta individual 0,30 0,60 0,80

Propores 84,71% 14,62% 0,68%
Ao 1 1,00 0,40 0,30
Ao 2 1,00 0,20
Ao 3 1,00
Retorno Desejado
Retorno Esperado da
Carteira 1,72% 0,00%
Quadro 20 Carteria de mnima varincia para os trs ativos de risco

a) Clculo do VAR Value at Risk mensal individual dos ativos e da carteira
com 95% de confiana estatstica:
Vamos aproximar o Z correspondente a uma avaliao unicaudal com 95% de

confiana na curva normal aproximadamente 1,65.
Ao 1 Ao 2 Ao 3
Exposiao 84,71% x 100 mi = 14,62% x 100 mi = 0,68% x 100 mi =
Individual 84.705.276,73 14.616.847,51 677.875,76
(a)
Volatilidade 1,90% 3,10% 5,60%
mensal das taxas de
retorno
(b)
VAR mensal 2.655.510,43 747.651,75 62.635,72
individual
(a) x (b) x 1,65
Soma Linear dos 3.465.797,90

VAR
VAR da Carteira 3.053.111,43 Note a reduo do
(*) valor pelo efeito da
diversificao da
carteira.
Retorno Esperado 100 mi x 1,72% = Por simplificao,
da Carteira em 1.720.000 aqui estamos
desconsiderando
termos monetrios custos
administrativos para
gerenciar a carteira
RAROC mensal 1.720.000/3.053.111 Neste exemplo Normalmente este
= 56,18% ao ms didtico temos um retorno ajustado ao
retorno ajustado ao risco comparado
risco fantstico. com o custo de
capital do acionista.
Beta da carteira 0,35 Mdia ponderada
dos betas. Ou seja a
soma dos termos
que representam os
produtos da
propores pelos
betas inviduais.
Quadro 21
(*) clculo detalhado do VAR da carteira com as trs aes:

(2655510)2 + (747.651)2 + (62.635)2 + 2x(2.655.510)x(747.651)x0,40+ 2x(2.655.510)x(62.635)x0,30 + 2x(747.651)x(62.635)x0,2
Uma maneira alternativa e mais rpida de calcular o mesmo VAR da carteira tomar
toda a exposio de 100 milhes e considerar a volatilidade da carteira que igual a
1,85% ao ms. Ento, teremos:
VARC = 100.000.000 x 1,85% x 1,65 = 3.053.111,43
Vamos utilizar a equao (16) para estimar o percentual de risco sistemtico e o

percentual de risco especfico nesta carteira:
Varincia Total = 0,0003424

2 2
Varincia devida ao risco sistemtico = 0,35 x (2,20%) = 0,000059290
Risco especfico = 0,0003424 0,000059290 = 0,000283110
Logo, o percentual de risco especfico na carteira de 0,000283110 /0,0003424 = 82,60%

e, claro, o percentual de risco sistemtico o complemento em relao a 100%, ou 17,40%.
Note, portanto, que a nossa carteira de trs aes pouco diversificada. Parece, portanto,
que a mtrica de Markowitz, desvio-padro da carteira, a mais recomendada para medir o
seu risco.
Importante dizer que o VAR que apresentamos apenas uma das modalidades de
clculo de VAR, denominada delta normal. Atualmente h uma verdadeira famlia de
VAR que so calculados por diferentes processos.
III.4 Carteiras Alavancadas
No nosso modelo de otimizaao da carteira apresentado no item III.1.4 j

avisvemos que a varivel proporo que aparece no modelo pode ser negativa. Ento
vamos rodar o mesmo modelo do item III.1.4, para as trs aes, suprimndo a
restrio que exige no negatividade das propores. L aprendemos que a carteira
eficiente de maior retorno aquela composta por apenas o ativo de mais elevado
retorno e risco, no caso, a ao 3, com retorno de 3,50% ao ms e risco de 5,60%
tambm ao ms. Vamos supor agora que coloquemos na clula correspondente ao
RETORNO DESEJADO um valor superior a 3,50%, por exemplo, 5,00% ao ms.
Rodando o mesmo modelo sem a restriao citada teremos:
Ao 1 Ao 2 Ao 3
Propores -175,45% 152,79% 122,66%
Retorno
Desejado
Retorno Esperado da Carteira 5,00% 5,00%
Quadro 22 Carteira alavancada com venda a descoberto na Ao 1

Repare bem no resultado. A proporo da ao 1 negativa e as demais so superiores
a 100,00% . O aluno deve estar pensando que gerou erro no modelo. No, existe uma
interpretao econmica e das mais bonitas, seno vejamos: o sinal negativo na ao 1
indica que o investidor tomou recursos emprestados nas condies do ativo 1 que o
mesmo que a popular venda a descoberto. Ento considerando a mesma exposio de
100 milhoes do exemplo colocado no item III.1.4, aqui o investidor vendeu a
descoberto 175.450.000 reais de aao 1, em suma, ele pegou a grana e promete
entregar as aes daqui a um ms. Ele pegou esta grana somou aos 100 milhoes que
tinha e colocou 152.790.000 reais na ao 2 e 122.660.000 na ao 3. Note que agora
o retorno positivo da ao 1 vai na direao contrria do interesse do investidor. Se
aumentar o preo da ao 1, ao final de um ms, gastar mais dinheiro para adquirir
esta ao. Esta operaao a descoberto foi proibida no mercado, entretanto, se pode
alugar a ao e vend-la com a garantia da ao alugada em custdia. O risco fica para
quem alugou a ao e no para o sisbema bolsa. No deixe de notar tambm que o
risco aumentou sobre maneira. O novo VAR mensal da carteira de R$ 13.543.114 e
o novo RAROC de 36,92% ao ms.
III.5 Hedge de mnima variancia
Aps termos apresentado o conceito de carteira alavancada vamos ver agora uma
situaao em que uma posiao vendida numa ao pode diminiuir o risco da carteira at
que se possa vend-la sem prejuizo. Vamos partir do mesmo exemplo de trs aes
apresentado no item III.1.4 mas, de incio, vamos eliminar a terceira ao e trabalhar
apenas com as duas primeiras. Ento vamos supor que a opo de um investidor muito
avesso ao risco, no mundo das duas primeiras aes, fosse a de investir na carteira de
mnima variancia para estas duas aes conforme abaixo:
Ao 1 Ao 2 Ao 3
dp 1,90% 3,10% 5,60%
Propores 85,26% 14,74% 0,00%
Retorno Desejado
Retorno Esperado da Carteira 1,70% 0,00%
Quadro 23 Carteira de Mnima Varincia para dois ativos
Note que a proporo no ativo 3 zero. Claro, estamos supondo de incio que
podemos trabalhar apenas com as duas primeiras aes. E neste caso a carteira de
menor risco a carteira com retorno de 1,70% e risco de 1,85%. Suponha que o
agente ainda ache extremado tal risco, sobretudo para uma exposio de 100 milhes,
correspondendo a um VAR mensal de 3.052.500, para 95% de confiana estatstica.
Se o investidor teme a queda de preos dos ativos ele poderia vender a descoberto a
ao 3 (ou alugar e vender a termo, ficando coberto na bolsa) pelo mesmo perodo.

Neste caso vamos calcular o quanto ele deveria vender a descoberto, voltando a
terceira proporo (ao 3) para o modelo e exigindo que ela tenha valor negativo.
Agora, vamos retirar todas as tres restrioes do modelo e vamos trabalhar apenas
como uma varivel, a proporao da ao 3. Resolvendo teremos:
Ao 1 Ao 2 Ao 3
Propores 85,26% 14,74% -10,31%
VAR da carteira 2.901.290,62

Quadro 24 Hedge de mnima variancia
Note que a venda a descoberto da ao 3 reduziu o VAR de 3,051 milhes para 2,901
milhes. O retorno esperado desta carteira em termos percentuais de 1,34% e o
desvio-padro da carteira formada de 1,76% ao ms (menor do que os 1,85%). No
prximo captulo iremos mostrar o hedge de mnima varincia com o futuro do
ibovespa na BMF, bem mais prtico e lquido para negociao e para sair fora da
posio com rapidez, quando for necessrio. Note tambm que no h lanche grtis, o
retorno esperado da nova carteira formada diminuiu.

IV. Hedge da carteira de aes com o Futuro do Ibovespa
No incio deste texto j falamos no futuro do ibovespa, exemplificando um

pouco do seu funcionamento. Os detalhes do contrato podem ser visto no site da BMF
e lembramos que alguns parmetros podem ser alterados pela Diretoria da BMF
mediante aviso prvio. O que nos interessa agora colocar o derivativo como um
instrumento de gesto do risco de renda varivel e apresentar um modelo de hedge.
Isto interessa tipicamente ao investidor que tendo a carteira e no querendo ou
podendo se desfazer dela deseja proteger o seu valor por um certo perodo. A idia
vender futuro de ibovespa numa certa quantidade de maneira a imunizar a carteira
contra o risco de variaao dos preos dos ativos que a compe.
Vamos definir o modelo de hedge via o beta da carteira. Vamos procurar
vender uma certa quantidade de futuros de ibovespa que elimine o risco sistemtico da
mesma. Se ela j bastante diversificada, os riscos especficos sero praticamente
nulos segundo a teoria de Sharpe. Se ela no to diversificada assim vamos analisar
mais frente como se comporta o desvio-padro da mesma (na viso de Markowitz).
E o mais impressionante que demonstra-se facilmente que o modelo que zera o beta
da carteira determina tambm uma carteira de mnima variancia. Em suma, quem faz
um hedge de mnima variancia com futuro do Ibovespa conforme mostrado no item
III.5 (s que ao invs de utlizarmos a terceira ao utilizaramos o futuro do ibovespa
para ficar vendido). E, aqui, o ficar vendido no ndice futuro permitido desde que
se deposite a margem de garantia inicial e se sujeite aos ajustes dirios. No nosso
modelo por simplificao mas sem perda de generalidade e, sobretudo, preservando a
utilidade vamos desprezar esses detalhes de ajustes dirios.
Voltemos ao mesmo exemplo das trs aes apresentado no item III.1.4 e

vamos considerar a carteira de mnima variancia para estes trs ativos. Relembrando, a
carteira de mnima varincia a carteira abaixo:
Ao 1 Ao 2 Ao 3
dp 1,90% 3,10% 5,60%
beta individual 0,30 0,60 0,80

Propores 84,71% 14,62% 0,68%
Ao 1 1,00 0,40 0,30
Ao 2 1,00 0,20
Ao 3 1,00
Retorno Desejado
Retorno Esperado da
Carteira 1,72% 0,00%

Quadro 25: carteira de mnima varincia sem hedge

O beta desta carteira j foi calculado mas repetimos abaixo:
carteira= 0,8471x 0,30 + 0,1462x 0,60 + 0,0068x 0,80 = 0,35
Ento apresentamos s frmulas que determinam a quantidade de contratos que deve

ser vendido (19) bem como a rentabilidade travada pelo hedge com o beta (20).
.VC V
N = C
R = F 1 . C
V V V p VV
(19) (20)
Onde
Bc beta da carteira a ser hedeada;

Vc valor total da carteira a ser hedeada (em termos monetrios);
Vv valor do Ibovespa vista no momento do hedge (na BOVESPA);
Vp valor dos pontos (em unidades monetrias) do contrato futuro de Ibovespa na
BMF, atualmente est em R$ 1,00.
Vamos logo aplicar estas frmulas para irmos entendendo aos poucos. Para
determinarmos a quantidade de contratos temos Bc = 0,35, Vc igual a 100 milhes,
vamos supor que o Vv est em 60 mil pontos e que o Vp seja 1. Ento, a quantidade
de contratos a ser vendida igual a:
N = (0,35 x 100.000.000)/(60.000) = 583,33 contratos ou 583 contratos o que

corresponde a uma posio de 34.980.000.
Supondo que no momento do hedge o contrato futuro esteja sendo negociado a 60.500
pontos, calculemos a rentabilidade que fica travada pelo hedge:
R = (60.500/60.000 1) x 0,35 = 0,29%

Vamos apresentar um quadro demonstrativo dos resultados da carteira e do hedge para
facilitar o entendimento.
Cenrio para fechamento do ndice

58.000,00 60.000,00 60.500,00 62.000,00
variao no ndice -3,33% 0,00% 0,83% 3,33%

Valor da Carteira 98.833.333,33 100.000.000,00 100.291.666,67 101.166.666,67
Resultado carteira (1.166.666,67) - 291.666,67 1.166.666,67
Resultado Derivativo 1.458.333,33 291.666,67 - (875.000,00)
Resultado Global 291.666,66 291.666,67 291.666,67 291.666,67
Taxa de
rentabilidade 0,29% 0,29% 0,29% 0,29%
Quadro 26 resultados para uma carteira travada com futuro de ibovespa
Note que para uma variaao de 3,33% no ndice, a nossa carteira variar apenas de
0,35 x (-3,33%) = - 1,16%. Note tambm que quando o ndice sobe o resultado do
hedge negativo mas no final o resultado global permace contante e a taxa de
rentabilidade sempre igual a 0,29%.
O leitor j deve estar se perguntando: e se a correlao no ficar estvel no perodo?

Isso mesmo, a dvida muito procedente, se ela no ficar estvel o nosso modelo
terico sofrer danos e o hedge no ser assim tao poderoso como mostrado na teoria.
Entretanto, este um modelo de hedge muito utilizado na prtica pelos investidores
institucionais. Na prtica, o que se faz um hedge dinamico, todos os dias o agente
ou a tesouraria do fundo ou do banco podem manipular ambas as posies, a carteira
de aes e a posiao vendida no futuro de Ibovespa. Pode-se ainda no querer
imunizar completamente como foi mostrado aqui (considerando as correlaes
estveis) mas apenas uma parte da carteira. Neste caso poder-se-ia vender um pouco
menos de contratos futuros, deixando alguma chance para uma rentabilidade maior no
perodo.
Do ponto de vista terico algo que precisa ser falado que este hedge implica tambm
num hedge de mnima variancia. Ou seja, a carteira formada pelos tres ativos e a
posiao vendida de 34.980.000 a carteira que mais reduz o risco (variancia ou
desvio padrao) de uma nova carteira formada pelos tres ativos e a posiao derivativa.
Note que se dividirmos esta posiao vendida em futuro de ibovespa pelo total da
carteira que se deseja imunizar o nmero obtido exatamente o beta da carteira,
0,35% (aqui no foi exatamente igual por problemas de arredondamento). Vamos
rodar o modelo solver de forma anloga ao que fizemos no item III.5. L partimos da
carteira de variancia formada pelos dois primeiros ativos e vendemos a descoberto a
terceira ao. Aqui vamos partir da carteira de mnima varincia para as trs aes e
vamos rodar o solver para encontrar a proporo negativa de futuro de ibovespa a ser
aquirida pelo modelo. De posse dos betas inviduais dos ativos e dos desvios-padro
dos ativos vamos precisar calcular as correlaes entre cada uma das trs aes e o
IBOVESPA. Note que aqui estamos admitindo que a prpria correlaao entre o ndice
vista (IBOVESPA) e o futuro do ndice, negociado na BMF, igual a 1. Isto
razoavelmente tranquilo na prtica. Veja o resultado do clculo do hedge de mnima

variancia, segundo o modelo de Markowitz, e note como ele conduz carteira que
obtivemos acima atravs das frmulas (19) e (20).
ao 1 ao 2 ao 3 Futuro
Retorno Mensal Esperado 1,60% 2,30% 3,50% 1,90%
varincia 0,000361 0,000961 0,003136 0,00048

dp 1,90% 3,10% 5,60% 2,20%
beta 0,30 0,60 0,80 1,00

Propores 84,71% 14,62% 0,68% -34,72%
Matriz de Correlaes Ao 1 Ao 2 Ao 3 Futuro
Ao 1 1,00 0,40 0,30 0,35
Ao 2 1,00 0,20 0,43
Ao 3 1,00 0,31
Futuro 1,00
Retorno Desejado
Ret. Esp. Carteira 1,06% 0,00%

Quadro 27 o modelo de Markowitz fornece a posiao vendida em derivativo
Note no quadro 27 que a proporo calculada para a venda de futuro de ibovespa foi
realmente o beta com o sinal trocado e de valor identico ao que encontramos pelas
frmulas anteriores. Isto LINDO! Um modelo que atende a condio de SHARPE,
ou seja, o risco sistemtico nulo e o risco de Markowitz (desvio-padro da carteira)
mnimo.
Examine o site da BMF e perceba alguns parmetros e definies do contrato de

Futuro de Ibovespa. Listamos resumidamente algumas delas abaixo:
Negocia-se o futuro do ndice da carteira terica de aes da BOVESPA, o

IBOVESPA.
S existem vencimento em meses pares (fevereiro, maro, etc..);
apregoado os pontos que sero negociados. E a cada ponto a BMF associa
uma quantida em reais.
No existe quantidade fracionria de contratos.
Existe um limite mximo para oscilao diria, determinado pela BMF.
possvel manter posies em aberto para vrios vencimentos mas existe um
limite mximo de posies em aberto.
O ajuste no primeiro dia feito pela variaao entre o valor da operao e o
valor de fechamento em pontos. Nos dias seguintes feito em funo da
diferena entre o ltimo e o penltimo fechamento.

V. Risco de Taxa de Juros e Imunizao da carteira de renda fixa
V,1 Introduo
Quase todas as empresas, qualquer que seja o seu ramo de atuao, esto
sujeitas ao risco de taxa de juros. O fato de movimentar fundos financeiros (dinheiro),
operar com crdito, comprar a prazo acaba implicando em variaes no seu resultado
independente da qualidade de suas operaes industriais ou comerciais. O simples fato
de se vender a prazo, por uma taxa pr-fixada, pode comprometer o resultado de uma
empresa comercial dada uma variao brusca (ascendente) da taxa de juros.
Evidentemente as empresas financeiras (Bancos) so as maiores vtimas (e tambm
beneficiadas) pelo movimento das taxas de juros. Veremos aqui mtricas para
avaliao do risco de taxa de juros, para administrao do portflio de ativos e
passivos financeiros (ALM - ASSET LIABILITY MANAGMENT) e utilizao de
instrumentos derivativos no auxlio gesto do risco de taxa de juros.
V.2 Estrutura da Taxa de Juros
V.2.1 Motivao
Imagine que algum investidor tenha comprado (aplicado) em um ttulo pr-

fixado vincendo ao final de um ano pelo valor de R$ 100.000.000,00, quando a taxa
de juros estava a 22% ao ano, tendo pago, portanto, R$ 81.967.213,11 pelo ttulo. No
momento seguinte a taxa de juros aumenta de 1 bp (basis point), ou seja, 0,01%.
Quanto vale o ttulo a mercado? Vale 100.000.000/(1,2201) = 81.960.495,04. Em
segundos o investidor perdeu R$ 6.718,07. Se a taxa subisse 0,1% (10 bp) o valor de
mercado caria para R$ 81.900.081,90 e a perda seria de R$ 67.131,21. Quantos de
ns ganha facilmente R$ 67.000 no ano? Veja que pequenos movimentos na taxa de
juros podem fazer a alegria ou a tristeza de muita gente. Imagine bancos e empresas
que movimentam bilhes de reais. Faz-se necessrio gerir o risco de taxa de juros para
evitar surpresas desagradveis.
V.2.2 Os principais mercados de juros do Pas
Os mercados monetrios caracterizam-se por operaes de curto e curtssimos

prazos e apresentam grande liquidez. Os papis que so negociados nestes mercados
tm grande aceitao e portanto bastante liquidez. Os ttulos mais importantes do
mercado monetrio so: BBC - Bnus do Banco Central do Brasil, de curto prazo, por
exemplo, 28, 35, 42 e 49 dias corridos, por meio dos quais se estabelece a poltica
monetria. NTN - Notas do Tesouro Nacional: ttulos emitidos pelo tesouro com
finalidade oramentria. Tais ttulos so emitidos em diversas sries, com diferentes
indexadores atrelados. CDI: Certificado de Depsito Interbancrio: ttulos emitidos
pelos Bancos, negociados apenas entre instituies financeiras, com prazo de 1 a 30
dias, em geral. Muitos outros ttulos j foram emitidos pelo BACEN e pelo Tesouro e
foram extintos (ORTN). A maioria destes ttulos so escriturais, ou seja, no so

emitidos fisicamente e desde 1990 so nominativos. Desta forma temos dois
principais sistemas que fazem a custdia e liquidao de ttulos, o SELIC e o CETIP.
Recentemente, a BMF criou sistema prprio para a negociao de ttulos pblicos
denominado SISBEX.
Estes sistemas foram fundamentais para a organizao e a boa liquidao das
operaes de open market - compra e venda de ttulos de curto prazo - propiciando
facilidades na gerao de liquidez dos ttulos pblicos e privados. O SELIC consiste
de uma associao entre o Banco Central e a ANDIMA (Associao Nacional das
Instituies de Mercado Aberto), criado em 14/11/79. Tem por finalidade custodiar e
liquidar financeiramente os ttulos pblicos objetos da negociao entre compradores
e vendedores. O SELIC foi de grande importncia para o sistema financeiro pois
eliminou as fraudes com os ttulos pblicos. Os principais ttulos negociados aqui so
as BBC, NTN e LTN. O CETIP (Central de Ttulos Privados) entrou em
funcionamento em 1986 e mantida por um conjunto de associaes de entidades
financeiras das quais fazem parte: FEBRABAN, ANDIMA, ANBID, ACREFI e
ABECIP. O CETIP destinou-se, inicialmente, custdia e liquidao das operaes de
ttulos privados, tais como: CDI - Certificado de depsito Interbancrio, CDB -
Certificado de Depsito Bancrio, Notas Promissrias (tipo Commercial Papers),
Debntures. O maior volume de ttulos do CETIP formado pelos CDI's e CDB's
quase todos escriturais. Alm de fazer a custdia dos ttulos, quer fsica ou escritural,
o CETIP responsvel pela boa liquidao das operaes. Estes dois sistemas
movimentam cerca de U$ 70 bilhes por dia, praticamente todo o mercado monetrio
V.2.3 Taxa SELIC e Taxa CETIP
Dada a importncia dos dois mercados vamos estudar as caractersticas destas

taxas. No caso do SELIC h a negociao de ttulos pblicos. Assim possvel
comprar e vender ttulos diariamente, criando-se uma taxa overnight, que a taxa para
ficar com o ttulo por 1 dia til. Quando algum compra um papel do governo e vai ao
mercado em busca de dinheiro diz-se que o investidor est carregando o papel ou se
financiando custa do ttulo. obvio que o que se espera que a curva do papel
esteja acima da curva de carregamento, em outras palavras, imagine que algum
comprou um ttulo a 3,20% a . m.o e vai captar dinheiro no mercado a 3% a . m . o at
o vencimento. Para efeito de ilustrao vamos apurar o resultado de uma operao de
compra de ttulos no valor de R$ 500.000.000,00 a 3,20% ao ms over, por 20 dias
teis e o respectivo carregamento a 3% ao ms over: receitas com o ttulo =
500.000.000 - 500.000.000/(1+3,20/3000)20 = R$ 10.548.132. Custo de
carregamento= 489.451.867 [(1 + 3,00/3000)20 -1]= R$ 9.882.594. Resultado final =
R$ 665.538. Olha a mais uma vez como se ganha dinheiro no mercado monetrio e
note que a rigor quem fez tal operao acabou utilizando capital de terceiro.
Retomando a questo da taxa SELIC podemos dizer que ela a grande
balizadora do mercado para a formao das taxas de juros. Atualmente ela dada pela
taxa de negociao de 1 dia til dos BBC'S, representando o que se chama na
literatura de taxa livre de risco (?!), em termos de Brasil. importante ressaltar que as
operaes SELIC tm liquidao financeira no prprio dia.

V.2.4 Estrutura de Taxas de Juros em Relao a Doadores e Tomadores de Recursos
Quando pensamos na idia de estruturar as taxas de juros podemos faz-lo de

vrias formas, a saber: em termos dos doadores e tomadores de recursos; em termos
dos riscos que uma taxa de juros deve cobrir e em termos da estrutura temporal das
taxas de juros. Na realidade esta separao apenas de carter didtico, visto que
ocorrem ao mesmo tempo e devem estar quantificadas ao se definir uma taxa de juros.
Inicialmente vamos examinar as taxas praticadas por bancos e empresas. Na viso dos
Bancos, em termos de captao podemos considerar a seguinte hierarquia de taxas, da
menor para a maior:
Aumenta a taxa
Pessoa Fsica < Pequena Empresa < Mdia Empresa < Private Bank < Corporate Bank < outros Bancos.
Normalmente as operaes com pessoa fsica at Private Bank so feitas pelas

reas comerciais dos Bancos. As grandes corporaes e outros bancos negociam
diretamente com as tesourarias dos Bancos.
Em termos de aplicao dos recursos de um Banco podemos considerar a

seguinte hierarquia, tambm da menor taxa para a maior:
Aumenta a taxa
outro banco (CDI) < corporate < private < empresa mdia < pequena empresa < pessoa fsica
Neste caso, tambm, as grandes corporaes conseguem taxas prximas das do

CDI.
No caso das empresas, podemos hierarquizar as taxas de juros da captao e

aplicao, embora isto no seja uma questo to visvel. No grfico abaixo resumimos
tal hierarquia:
pgto impostos financiamento hot desconto capital factoring

de e taxas de money de de
pessoal fornecedores duplicatas giro
taxa taxas de captao

cdi da empresa
fundos de cdb fundos financiamento investimentos

curto prazo agressivos clientela na prpria empresa
Quadro 28

V.2.5 Estrutura das Taxas de Juros em relao cobertura de Riscos -
Formao do Spread
Quando vamos aplicar nossos recursos, desejamos que a taxa de juros nos
remunere em termos reais. Para tanto, a taxa efetiva i deve cobrir todos os riscos a que
estamos sujeitos e termos ainda uma remunerao real. Fisher props a seguinte
equao para a composio da taxa de juros:
(1+ I) = (1+ 1).(1+2). ....(1+r).(1+r) (21)
onde:
I taxa nominal da aplicao;

j taxas que representam os vrios tipos de risco a que estamos sujeitos
(i =1,...,n);
r: taxa real
Em termos das taxas j , que representam os tipos de riscos a que estamos

sujeitos, podemos classific-las em dois tipos: risco conjuntural e risco prprio. O
RISCO CONJUNTURAL (ou sistemtico) consiste no risco a que estamos sujeitos em
funo das variaes da conjuntura econmica, poltica e social. Este tipo de risco
atinge todos os ativos sujeitos a esta conjuntura, cada um deles reagindo com
caractersticas prprias em relao a estas variaes (lembra do beta?). Este tipo de
risco ocorrer independente de nossos desejos e atuao. A inflao um exemplo
deste tipo de risco. Em termos de Brasil, a taxa SELIC representa a taxa livre de
riscos. Nela j esto embutidos as previses conjunturais. Desta forma poderamos
examinar uma taxa de 2,10% ao ms selic e decomp-la da seguinte forma: 1,0210 =
(1 + inflao). (1+ poltica monetria e credibilidade). ( 1 + taxa real). Supondo que a
expectativa de inflao seja de 0,90% ao ms e que o ganho real seja de 0,5% ao ms
(poupana) teremos: taxa devido aos riscos de poltica monetria e credibilidade =
1,0210/(1,0090.1,005) -1 = 0,69% ao ms.
Isto significa que a economia brasileira, em funo da sua conjuntura, trabalha
com um peso de juros de 0,69% ao ms. comum no mercado financeiro brasileiro,
tratar o efeito dos juros reais e da poltica monetria de forma conjunta, apresentando
ambos como juros reais da economia. Nas condies do exemplo teramos
(1+0,0069).(1+0,05) - 1 equivalente a 1,19% ao ms.
No caso de Bancos as taxas do CDI so o grande referencial para as operaes
de captao e aplicao. Podemos representar (1+ CDI) = (1+ RISCOS
CONJUNTURAIS).(1+TAXA REAL). Dessa forma as taxas para aplicao dos
bancos seriam resumidas a (1+ IA) = (1+ CDI). (1 + risco prprio).
V.2.6 A estrutura temporal de taxa de juros
Vamos comear com um exemplo para o mercado americano. Suponha que o

mercado negocie papis do tesouro americano (zero cupons, ou seja, vencimento de

juros e capital ao final do prazo) e de empresas classificadas por risco (ratings). Na
tabela abaixo resumimos as taxas mdias observadas para os papis:
PRAZO PAPIS DO EMPRESAS AAA EMPRESAS BBB

TESOURO
1 ANO 5,50% 5,55% 5,60%
2 ANOS 6,50% 7,00% 7,50%
3 ANOS 6,80% 7,30% 7,80%
4 ANOS 6,95% 7,45% 7,95%
5 ANOS 7,00% 7,50% 8,00%
Quadro 29 Estruturas para a taxa de juros
A partir dos dados tabelados montamos as curvas de juros do mercado. Note

que o mercado no opera com a mesma taxa para os diferentes prazos (da o nome
curva). Estamos nos referindo a curvas no plano taxa x prazo. Aqui, aproveitamos,
para apresentar junto com a estrutura temporal as curvas que envolvem spreads de
risco de crdito, no caso para empresas rankeadas como AAA e BBB. Fixando-
nos agora na primeira coluna onde no h o risco de crdito, passamos a construir as
forward rates. Qual a taxa de juros esperada para o segundo ano? a taxa de juros que
implica em no arbitragem, ou seja: (1+0,065)2 = (1+0,055).(1+f2). Logo, f2 = 7,50%.
A taxa de juros para o terceiro ano assim determinada: (1+ 0,068)3 = (1+0,065)2 . (1
+ f3 ) e, portanto, f3 = 7,40%. E assim sucessivamente.
No mercado brasileiro possvel elaborar anlise semelhante a partir das taxas

do CDI e do SELIC. Entretanto os prazos so muito menores. No auge da inflao o
maior prazo para as operaes era de trinta dias. Atualmente, observa-se negcios de
at seis meses. Os mais lquidos entretantos so os negcios de at 60 dias.
Aproveitando o contexto vamos falar em algumas taxas de juros da economia

brasileira: TR - TBF - TJLP e TBC. A TR foi criada em 1991 e passou por algumas
alteraes metodolgicas ao longo do tempo. Atualmente a TR fixada diariamente a
partir das taxas e volumes da captao, por meio de CDB/RDB, dos trinta maiores
bancos em volume de captao. A TR calculada pela mdia mensal destes CDB
emitidos a taxas pr-fixadas, com prazos de 30 a 35 dias. So excludas as duas
intituies de menor e de maior taxa mdia. Para cada dia do ms o BACEN calcula e
divulga a TR, para o perodo de um ms, com incio no prprio dia de referncia e
trmino no seu correspondente no ms seguinte. A TR obtida deduzindo-se da taxa
os efeitos decorrentes da tributao e a taxa real de juros da economia. o que se
chama de redutor R. A TR s pode ser utilizada com prazo superior a 90 dias. A TBF
foi criada em 1995 e apurada de forma semelhante TR mas sem o redutor R.
Atualmente a TBF pode ser usada para operaes com prazo igual ou superior a
sessenta dias. A TBC a taxa bsica do Banco Central utilizada na colocao
peridica de ttulos. A TJLP foi instituda em 1996 e seu objetivo o de instituir uma
taxa de longo prazo na economia. A TJLP calculada a partir da rentabilidade
nominal mdia, em moeda nacional, da dvida pblica interna e externa. A proporo

de 75% da dvida interna e 25% da dvida externa. A taxa apurada com base nos
ltimos seis meses e vlida para os prximos trs meses.
V.3 Duration e Convexidade
V.3.1 Introduo
Segundo o professor Securato (11), quando examinamos as tesourarias das

empresas e dos bancos e procuramos nos aprofundar na procura do ponto central das
mesmas concluiremos que este consiste no ato de captar e aplicar recursos. A forma
de captar e aplicar estes recursos, as estratgias utilizadas daro origem a ganhos ou
perdas, implicaro nas necessidades de controles, de administrao de liquidez, de
procura e antecipao de informaes, enfim de todo um processo que denomina-se de
Administrao Financeira, cujo objetivo o de maximizar a riqueza dos acionistas. O
ato de captar e aplicar recursos sob as condies de mercado, acaba por nos levar, em
termos prticos, a descasamentos que podem ser de prazo, de moeda e de volume de
recursos. Se adotarmos uma postura extremamente conservadora de no permitir a
ocorrncia de descasamentos, isto nos levar, indubitavelmente, a perdas de
oportunidades e mesmo de mercados, que as empresas ou bancos no podem se dar ao
luxo de perder em um mundo moderno to competitivo.
Trataremos aqui fundamentalmente dos descasamentos de prazos e passaremos
pelos descasamentos de moedas. a liquidez (a falta) que acaba por quebrar uma
empresa ou banco. Se ao final do dia temos excesso de liquidez, na forma de caixa,
aplicamos estes recursos. Se nos falta liquidez, no temos caixa, captamos estes
recursos. E se no conseguirmos captar tais recursos? No caso das empresas, se em
um primeiro momento ocorre esta falta de caixa, teremos um abalo em nossas
condies de crdito e se o fato persistir a empresa ir a concordata ou falncia. No
caso dos bancos, se no conseguirmos captar, iremos a liquidao no dia seguinte,
pois no sistema bancrio no se admite a continuidade de um banco quando este no
cumpre seus compromissos.
Vamos considerar a situao de um Banco que compra ttulo do governo ou de
uma empresa que venda a prazo para um cliente. Em ambos os casos fica
caracterizado uma aplicao de recursos a uma taxa IA. Os recursos disponveis para
esta aplicao devem vir de algum lugar. Podero ser prprios ou obtidos no mercado
financeiro. Em qualquer das formas termos uma taxa de captao IC. Vamos
considerar, inicialmente, que captao e aplicao tiveram o mesmo prazo; nestas
condies, se IA > IC teremos um resultado positivo na operao. No caso dos bancos
este resultado chamado spread bancrio, onde a taxa de spread dada pela relao (1
+ IA) = (1 + IC).(1 + IS ). A partir do spread so abatidos os custos operacionais para
se obter os lucros operacionais dos bancos. No caso das empresas o fato de IA > IC
acaba por gerar um lucro financeiro que no o seu objetivo maior. Se considerarmos
que o financiamento facilita as vendas podemos admitir a igualdade das taxas de
aplicao e captao. Em alguns casos a empresa pode operar com IA < IC ,
significando que perdem parte do lucro operacional no financiamento a seus clientes.
Esta pode ser uma forma de sobrevivncia nos tempos modernos. Em qualquer dos

casos citados so muitas as estratgias que bancos e empresas podem utilizar em
relao a IA e IC. O mais importante, no entanto, que as tesourarias dos bancos e
empresas devero ter pleno controle de suas taxas de captao e aplicao. Devero
saber se esto ganhando ou perdendo e administrar este processo.
O fato que, na prtica, esta questo no to simples. Consideremos que
financiamos nosso cliente a uma taxa de 5% (IA) ao ms por 35 dias que o prazo
solicitado pelo cliente. Quando vamos ao banco captar os recursos vamos supor que
eles nos cobrem uma taxa de 4,5% ao ms (IC) com prazo de 30 dias. Nestas
condies estamos descasados por 5 dias e teremos que captar novamente ou utilizar
recursos prprios. E a que a "jurupoca pia"! Se as taxas subirem isto afetar o nosso
resultado. E, claro, antes disso, tem o risco de liquidez. E se no conseguirmos captar
novamente?! Dos exemplos apresentados esperamos ter convencido o aluno de que na
prtica os descasamentos so inevitveis e que tambm se torna inevitvel a
necessidade de previso das taxas de juros e, sobretudo, a gesto de todo este processo
que poderamos denominar gesto do risco de taxa de juros, gesto de descasamentos
de ativos e passivos ou simplesmente gesto financeira.
V.3.2 Carregamento de Ttulos
Consiste no processo de sucessivas captaes de recursos com a finalidade de

aplicarmos em um ttulo, ou ativo de forma geral, a ser resgatado em uma data futura.
Dizemos que estas sucessivas captaes carregam o ttulo para o resgate. Define-se
neste processo uma taxa ativa, ou seja, a taxa IA pactuada no momento da compra do
ativo (ttulo ou outro ativo objeto da aplicao) e a taxa de carregamento ou de
captao IC, resultante das diferentes taxas de captao at o vencimento da aplicao.
Define-se tambm neste processo o descasamento entre os prazos de captao e
aplicao. Em geral o prazo de captao menor do que o de aplicao, mas isto no
elimina a generalidade do problema.
Dado que a taxa de aplicao definida no instante da aplicao e as taxas de
carregamento ficaro definidas no futuro, faz sentido definirmos a curva de
carregamento do investimento (curva de carregamento do ttulo, do papel ou do ativo)
e a curva da aplicao (curva do ttulo, do papel). A comparao entre uma e outra
permite avaliar o ganho ou a perda com o negcio.
V.3.3 Conceito de Prazo Mdio
A crescente sofisticao do mercado financeiro traz s vezes conceitos j

conhecidos aplicados de forma mais precisa ou diferenciada. O termo DURATION
um destes conceitos j conhecidos (e h muitos anos, data de 1938) que podemos
utilizar como indicador para medida do descasamento de prazos entre ativos e
passivos nas tesourarias. Esta questo do prazo mdio de um fluxo de caixa de muita
importncia para quem trabalha em tesourarias. Temos interesse em saber coisas do
tipo: qual o prazo mdio de recebimento de duplicatas? Qual o prazo mdio do
endividamento em dlares? Veremos a seguir que o conhecimento do prazo mdio
permitir ter uma idia do efeito sobre o resultado em decorrncia de variaes da taxa
de juros. Vamos definio do prazo mdio de um fluxo de caixa:

Dado o fluxo de caixa F1, F2, ..., Fn com valor presente PV, definimos o prazo
mdio d por:
F1d 1 + F2 d 2 + ... Fn Dn
d= (22)
F1 + F2 + ...+ Fn
Do ponto de vista financeiro a frmula comete um pecado que o de somar

fluxos de caixa de datas diferentes sem levar em conta o valor do dinheiro no tempo.
Entretanto, para fluxos de caixa concentrados ao redor de uma data as diferenas no
so muito significativas.
Exemplo:
Consideremos o conjunto de duplicatas a serem descontadas pela empresa na

data de hoje:
VALOR DE FACE DA DUPLICATA NMERO DE DIAS PARA O

VENCIMENTO
100.000 28
150.000 32
200.000 36
250.000 30
70.000 37
FV = 770.000 d=?
Quadro 30 Ttulo sinttico equivalente
Calculamos d = (100.000 x 28 + 150.000 x 32 + 200.000 x 36 + 250.000 x

30 + 70.000 x 37)/(770.000) = 32,33. Com o prazo mdio e a taxa dos ttulos, no caso,
3,70% ao ms, calculamos o valor a ser descontado:
D = 770.000 x 0,037 x 32,33/30 = 30.702,72 e o valor a ser recebido igual a R$

739.297,27.
Calculamos tambm o custo efetivo da operao igual a:
1 1
FV d 770.000 32 ,33
i= 30 1 = 30 1 = 0,0385 ou 3,85% a. m.
PV 739.297,72

Se calculssemos os descontos para cada uma das duplicatas obteramos o
valor total do desconto de R$ 30.697,66 e PV exato seria de R$ 739.302,34,
correspondendo a uma diferena de 5,07. Aplicando a frmula da TIR para o fluxo de
caixa encontraramos 3,8486% ao ms. Veja que neste caso os erros so irrelevantes
mas existem. Monte fluxos de caixa com vencimentos esparsados entre si e veja o que
acontece com a utilizao do prazo mdio.
V.3.4 Duration
Consideremos o fluxo de caixa F1, F2, ..., Fn correspondente a recursos onde

conhecemos os respectivos prazos d1, d2, ..., dn at uma origem de tempos, que em
geral a data de hoje do problema, e as taxas de juros i1, i2, ..., in de cada fluxo em
relao a data origem de tempos. Definimos a duration D do fluxo de caixa como
sendo:
n Fj

J =1 (1 + i j )
dj x d j
D=
PV (23)
Note que a DURATION obtida por um prazo mdio ponderado pelos fluxos,
entretanto, os pesos no so os valores nominais dos fluxos mas sim os valores
presentes em relao data origem. Vale a pena citar que a frmula acima prev a
utilizao de diferentes taxas para os diversos fluxos (de acordo com os seus prazos e
a estrutura temporal dos juros). Entretanto, num caso mais simples em que a estrutura
de juros seja "flat" a frmula comportaria apenas uma taxa de juros, a taxa flat.
Aplicando a frmula da duration para o caso das duplicatas teremos:
Vamos considerar que a taxa para todos os fluxos (prazos) de 3,85% ao ms
conforme apurado no exemplo anterior, logo:
fluxo = 100.000 P1 = 100.000/(1 + 0,0385)28/30 = 96.535,55; d1 = 28 dias;

fluxo = 150.000 P2 = 150.000/(1 + 0,0385)32/30 = 144.075,78; d2 = 32 dias;
fluxo = 200.000 P3 = 200.000/(1 + 0,0385)36/30 = 191.135,87; d3 = 36 dias;
fluxo = 250.000 P4 = 250.000/(1 + 0,0385)30/30 = 240.731,82; d4 = 30 dias;.
Fluxo = 70.000 P5 = 70.000/(1 + 0,0385)37/30 = 66.813,37; d5 = 37 dias.
VP = 739.292,39
. , x 28 + 14407578
9653555 . , x 32 + 19113587
. , x 36 + 24073182
. , x 30 + 6681337
. , x 37
D= = 32,31
739292
. ,39
Veja que a diferena para o prazo mdio calculado anteriormente (32,33) e
muito pequena neste caso. Entretanto, no devemos nos esquecer que o clculo da
duration contempla o valor do dinheiro no tempo, algo sagrado em finanas.
Substituindo o fluxo pelo valor FT = 100.000 + 150.000 + 200.000 + 250.000 +
70.000 = 770.000 concentrado na data 32,31 teramos a seguinte taxa mdia:
[770.000/739.292,39]30/32,31 - 1= 3,85% ao ms, idntico ao apurado com o prazo
mdio.

V.3.5 Duration como medida de sensibilidade ao risco de taxa de juros
Inicialmente vamos considerar o problema dos ttulos tradicionais de renda

fixa passando viso de carteira e, finalmente, chegaremos anlise completa de um
balano com ativos e passivos de renda fixa. De incio, trataremos de problemas onde
supomos a taxa de juros flat para em seguida apresentarmos uma anlise mais
genrica para a estrutura temporal de taxa de juros.
Consideremos um ttulo negociado no mercado internacional (onde os prazos so

maiores e as taxas menores que no Brasil)
Seja
C C C + F
P= + + ... +
(1 + r ) (1 + r ) 2 (1 + r ) n
Onde:
P preo do ttulo
C cupon anual de juros
r taxa de juros de mercado
n nmero de perodos at o vencimento
F valor de face do ttulo
Pode-se demonstrar facilmente que a derivada de P em relao a r (dp/dr) :
dp 1
= [ P x D] (32), onde D a duration do ttulo.
dr 1+ R
Podemos reescrever a frmula acima para:
dp
P
= D (24), indicando que a duration mede a elasticidade do preo do
dR
(1 + R)
ttulo em relao taxa de juros, ou seja, mede o quando percentualmente varia o
preo do ttulo frente a uma pequena variao na taxa de juros. A frmula da duration
apresntada no item III.3.4 chamada frmula (ou duration) de Macauley. comum
tomar a frao D/(1+R) e design-la por duration modificada, DM, e a frmula (1)
seria reescrita para
dp
= P x D M (25)
dr
Note que o modelo de Macauley permite linearizar a relao entre a variao no valor
e a variao na taxa de juros. Isto acaba ajudando na hora de construir modelos de
hedge como veremos mais frente.

V.3.6 Convexidade
O modelo apresentado no item anterior apenas aproxima a variao da carteira

para pequenas variaes da taxa de juros. Na verdade comete-se um erro devida
convexidade da curva. Iremos tratar agora de minimizar este erro. A convexidade de
uma curva definida em funo da derivada segunda. Dado um fluxo de caixa F1, F2,
..., Fn e a taxa r de juros (aqui suposta flat) definimos a convexidade C( r ) por
F j j ( j + 1)
C (r ) = (26)
(1 + r ) j +2
A partir do clculo da convexidade conforme (26) aproximamos a variao do

valor da carteira pela seguinte frmula:
D. P 1
P = . r + . C (r ). r 2 (27)
(1 + r ) 2
O primeiro termo da frmula reflete o efeito de primeira ordem devida

duration. O segundo termo reflete o efeito de segunda ordem devida convexidade.
Veja o exemplo em anexo.
No grfico abaixo ilustramos o efeito da duration e da convexidade sobre o

valor presente de uma carteira de renda fixa.
A B
E D
r r + r taxa
Quando 30 aproximao da perda de valor pelo modelo de Macauley
No grfico apresentado no Quadro 30 acima ilustramos a variao real do

valor presente da carteira e a aproximao pela reta tangente (ou derivada primeira). O
segmento BC representa a variao real do valor da carteira (queda) frente variao
da taxa de juros, r, representada tambm pelo segmento ED. O segmento BD a

aproximao da variao real sugerida pela frmula da duration (variao de primeira
ordem), ou seja, o comprimento do segmento BD numericamente igual a
D
BD = P . P. r
1+ r (28)
Veja que a diferena entre os segmentos BD e BC devida convexidade.

Quanto mais convexa a curva da carteira maior o erro cometido pela aproximao de
primeira ordem. E BD numericamente igual ao calculado no primeiro termo da
frmula (27)
Finalmente, chamamos a ateno para o fato de que dadas duas carteiras com o
mesmo valor presente e mesma duration a carteira mais convexa vale mais. Isto se d
em funo de que, dada uma variao na taxa de juros, em qualquer direo, a carteira
mais convexa fica com maior valor em relao outra.
V.4 Valor em Risco (Value at Risk - VAR) da carteira de Renda Fixa
J vimos o conceito de VAR para uma carteira de aes. Dissemos que era
uma aplicao pura e simples da teoria das carteiras de Markowitz. Da mesma forma
estendemos o VAR para a carteira de renda fixa. Vimos que a variao do valor
presente pode ser estimada a partir do modelo de duration, frmula (29), ou seja:
D .P
P = . r
(1 + r )
Ora, num dado momento, uma vez calculados D, P e avaliada a taxa atual de
mercado fica faltando to somente estimar a possvel variao da taxa de juros.
Supondo que r seja uma varivel aleatria com distribuio normal, tomamos o
desvio-padro (volatilidade) como medida desta variao. Podemos ainda estimar um
nvel de confiana sob a curva normal.
VAR=P.( DM ). r .Z
(30)
Na frmula (30) colocamos a expresso da duration modificada [DM =

D/(1+r)]. Z corresponde ao nvel de confiana desejado, por exemplo, 1,65 para o
nvel de confiana de 95%. Quando temos fluxos de diferentes prazos, temos a viso

de carteira e aplicamos a frmula genrica para a carteira. Apresentamos a frmula
para o caso em que temos dois fluxos:
VAR = (var1
2
+ var22 + 2.var1 var2 r12 ) (31)
A frmula acima uma verso diferente da frmula de Markowitz que

apresentava o desenvolvimento em termos de varincias. Aqui obtemos o VAR
medido em unidades monetrias diretamente.
Cabe ainda ressaltar que o presente modelo apesar de trabalhar com uma curva
de juros (no exige que a estrutura seja flat) supe que o deslocamento na curva de
juros seja paralelo, ou seja, todas as taxas (para os diferentes prazos) movimentam-se
na mesma direo e com a mesma intensidade. Vamos a um exemplo:
Exemplo 1:
Um investidor tem uma carteira com fluxos de 50 milhes previstos para

retorno em 30 e 60 dias. As taxas de juros para os citados prazos so,
respectivamente, 1,6% e 1,7% ao ms. As volatilidades dirias destas taxas so 0,8% e
0,92%, respectivamente. A correlao entre os dois fatores de riscos de 0,65.
Calcular o valor em risco com 95% de confiana.
Soluo:
P1 = 50.000.000/(1+0,016) = 49,212,598
D1 = 1;
r1 = 1,6%
VAR1 = - 1/(1+0,016) . 49.212.598 . 0,008. 1,65 = - 639.376
P2 = 50.000.000/(1+0,017)2 = 48.342.388
D2 = 2;
r2= 1,7%
VAR2 = - 2/(1+1,017) . 48.342.388 . 0,0092 . 1,65 = - 1.443.141
VARC2 = (639.376)2 + (1.443.141)2 + 2.(639.376).(1.443.141).0,65
VARC = 1.921.192
Note que o VARC final menor do que a soma dos VAR individuais devido ao efeito
da correlao.

VI. DI futuro e a imunizao da Carteira de Renda Fixa
VI.1 Introduo
O DI futuro o mais negociado de todos os contratos. Ele projeta a taxa de juros, a

taxa de CDI, acumulada num determinado perodo futuro. O ativo subjacente a ele,
portanto, o certificado de depsito interbancrio. Tipicamente, os bancos so os
grandes players desse mercado uma vez que lidam com grandes descasamentos de
prazos e de taxas de juros no seu balano. Ademais, ao venderem proteo contra
risco de taxa de juros aos seus clientes acabam, por vezes, aumentando a sua prpria
exposio ao risco de taxa de juros.
O DI futuro foi implementado de uma forma ligeiramente diferente dos outros

contratos. A BMF criou um ttulo fictcio que vale 100.000 pontos no vencimento e
que negociado pelo seu PU, Pontos Unitrios, que nada mais do que o valor
presente do papel a cada momento. Os vencimentos so padronizados e acontecem
todos os meses no primeiro dia til.
Resumidamente a coisa funciona como no exemplo abaixo:
Consideremos o valor do PU negociado no dia 27 de agosto para o prximo

vencimento, ou seja, o vencimento em setembro, ou ainda, no primeiro dia til de
setembro, que no caso foi o dia 03 de setembro compreendendo 6 dias teis, sendo o
ltimo dia til do ms de agosto tambm o ultimo dia de negociao em prego na
BMF. Para o fechamento a BMF utiliza a taxa de CDI correspondente. A estria
parecida com o futuro co Ibovespa, no meio do caminho os fechamentos e ajustes so
feitos com base nas prprias negociaes, no vencimento com base no ndice vista e
aqui com base no CDI.
100 . 000
PU = 6
= 99 . 745 , 4220
(1 + 11 , 30 %) 252 (32)
At bem pouco tempo o que era apregoado era o PU. Dizia-se (e ainda se diz) comprar
o PU quando se queria vender a taxa de juros ou vender o PU quando se queria
comprar a taxa de juros. Atualmente as taxas so apregoadas. No caso acima o que
aparece na tela da BMF a taxa de 11,30% para setembro de 2007. Note que algum
que tema o aumento das taxas de juros deveria comprar a taxa ou vender o PU.
Podemos imaginar, s para efeito de clculo, que quem vende o PU fica numa
situao equivalente a quem emite um ttulo de dvida pr-fixada, no valor de 100 mil
unidades monetrias, para um certo vencimento. Hipoteticamente, ele pegaria tais
recursos e aplicaria a taxas over dirias crescentes formando um lucro. Vamos supor
que no exemplo acima, as prximas taxas negociadas foram todas iguais a 11,40% ao
ano e que o agente tenha vendido o PU ou comprado a taxa:

Resultado no vencimento = 99.745,4220 x (1,1140)6 - 100.000 = 11.116,40
Logo, o comprador de taxa ou vendedor de PU ganharia o valor acima em funo do
aumento da taxa de juros no perodo. E, claro, ele poderia fazer tal operao seja como
especulador, simplesmente apostando na alta ou se protegendo contra alguma
exposio a risco de taxa de juros, seja porque possua uma dvida ps-fixada, seja
porque possua uma carteira ativa pr-fixada e que se desvalorizar frente ao aumento
de juros.
Em suma, a operao descrita acima bem poderia ser uma operao de hedge de um
indivduo que tivesse tomado um hot Money , normalmente indexado ao CDI. Tal
pessoa estaria fazendo um hedge ao comprar a taxa (ou vender o PU).
De uma maneira geral, se h uma dvida ps-fixada ou uma carteira ativa pr pode-se
vender PU (ou comprar a taxa) para se proteger contra o aumento da taxa de juros. No
primeiro caso perde-se dinheiro com o pagamento de mais juros ao credor, no segundo
se perde oportunidade de investir o dinheiro a taxas maiores.
VI.2 Gap Duration
A frmula (28) mostrada no item IV.1 pode ser generalizada parra quando temos um
balano de renda fixa e no somente uma carteira ativa. Neste caso ambos os valores
presentes sero desvalorizados mas no podemos nos esquecer que ter um passivo de
renda fixa um valor e no uma perda. De uma maneira geral estendemos a frmula
de Macauley para um balano de renda fixa conforme a frmula (29) a seguir:
( D P .P D A . A )
R = . r
(1 + r ) (29)
Onde:
R variao no valor presente lquido do balano

r variao ou choque na taxa de juros
DP Duration do passivo
DA Duration do Ativo
P Valor presente do Passivo
A Valor presente do Ativo
Note que o smbolo P na seo anterior era utilizado para indicar o valor presente de
uma carteira nica e ativa. Agora, quando estivermos tratando de balano de renda
fixa, vamos utiliz-lo como o valor presente do passivo de renda fixa. Note que a
condio de imunizao ao risco de taxa de juros pela tica do modelo de Macauley
a de que

D P . p = D A .A
(30)
Esta frmula vai nos ser til para dimensionar hedge da carteira de renda fixa atravs
de DI FUTUROS e SWAPS como veremos mais adiante.
VI.3 Hedge da carteira ativa de renda fixa utilizando um nico vrtice de

vencimento de DI Futuro na BMF
Vamos considerar uma loja de departamentos que tenha financiado quatro

vendas de 40 milhes cada pelos prazos de 1 a 4 meses. Vamos supor que a empresa
financiou com capital de giro prprio que poderia estar aplicado em banco taxa
muito prxima do CDI. A loja utilizou a mesma taxa de CDI, na forma pr-fixada,
para financiar os seus clientes e aumentar as vendas. Vamos supor que a taxa de CDI
est flat e igual a 1,00% ao ms efetiva, ou seja, a mesma taxa para qualquer prazo. O
que queremos mostrar o efeito de um choque na taxa de juros, um choque
instantneo de 0,10% que eleva a taxa a 1,10% pelos quatro meses da operao.
Vamos mostrar tais efeitos a valor presente e a valor futuro. O que mais nos interessa
o valor presente pois aplicaremos o modelo de gap duration logo a seguir para
dimensionar um hedge com DI Futuro. Veja o quadro (31) a seguir:
Meses 0 1 2 3 4
Taxa flat de juros 1,00%
Cotaao do PU 99.009,90 98.029,60 97.059,01 96.098,03
Fluxo 40.400.000,00 40.804.000,00 41.212.040,00 41.624.160,40
Valores presentes 40.000.000,00 40.000.000,00 40.000.000,00 40.000.000,00
Valor Presente Total 160.000.000,00
Linha auxiliar para
duration 2,50 40.000.000,00 80.000.000,00 120.000.000,00 160.000.000,00
Choque na taxa 0,10%
Perda Aproximada (396.039,60)
Taxa de Juros Ps-
choque 1,10%
Valor Futuro sem

choque 166.496.641,60 41.624.160,40 41.624.160,40 41.624.160,40 41.624.160,40
Receita de Juros 6.496.641,60
Valor Futuro com
choque 167.157.014,18
Receita de Juros 7.157.014,18
Perda de Receita 660.372,58
Quadro 31 Perda aproximada pelo modelo de Macauley
Note que a perda aproximada em termos de valor presente para o choque de 10 bp

de 396 mil. Quando visto o problema em termos de juros futuros lquidos, perde-se
660 mil, ou melhor, deixa-se de ganhar. No quadro simulamos as reaplicaes dos
fluxos de caixa recebidos para a situao sem choque e simulamos tambm a situao
em que a loja aplicasse 160 milhoes (as quatro vendas nominais) pelo prazo de 4
meses. E a notamos a perda de receita. Como evitar tal prejuzo ? Podemos vender
PU, ou comprar a taxa, para ganhar alguma coisa na subida dos juros e de forma a
compensar o prejuzo (econmico) visto anteriormente. Vamos aplicar o modelo de

gap duration de Macaulay. Como ? o aluno deve estar perguntando. Vamos imaginar
que o PU vendido um passivo de renda fixa que tem valor de 100 mil no
vencimento. Vamos construir uma planilha e utilizar a ferramenta ATINGIR META
para determinar qual a quantidade de contratos que zera o gap duration e, por
conseguinte, zera a perda de valor presente lquido deste balano de renda fixa. Note
como introduzimos a varivel NUM.PU VENDIDO no Quadro (32) exatamente para
manipularmos esta varivel e conseguir encontrar um valor tal que zere o gap
duration.
Meses 0 1 2 3 4
Cotaao do PU 99.009,90 98.029,60 97.059,01 96.098,03

Fluxo Ativo 40.400.000,00 40.804.000,00 41.212.040,00 41.624.160,40
Valor Presente Ativo 160.000.000,00 40.000.000,00 40.000.000,00 40.000.000,00 40.000.000,00
Duration Ativo 2,50 40.000.000,00 80.000.000,00 120.000.000,00 160.000.000,00
Num.PU vendido 1,00

Fluxo Passivo Virtual - - - 100.000,00
Valor Presente Passivo 96.098,03 - - - 96.098,03
Duration Passivo 4,00 - - - 384.392,14
Gap Duration (395.659.017,69)

Quadro (32) Modelo de clculo de hedge via DI Futuro
De incio atribumos um valor qualquer para a varivel citada, no caso, pode-se ver
que atribumos o valor 1 o que implicou num gap duration muito negativo (cerca de
395,6 milhes e, portanto, uma grande sensibilidade ao risco de taxa de juros. No
Quadro (33) apresentamos a tela em que utilizamos a funo atingir meta para zerar o
gap duration e encontrar a quantidade terica de contratos de DI Futuro a ser vendida.
Quadro 33 Passos para o clculo do hedge via ferramenta ATINGIR META

E, rodando a ferramenta ATINGIR META encontramos o valor de 1.040,50 que
aproximamos para 1.040 contratos vendidos. Note que para quem utiliza o Excel 2007
acessa-se a ferramenta citada no menu DADOS\TESTE DE HIPOTESES. Para
verses anteriores acessa o menu FERRAMENTA.
Para resoluo analtica, a quantidade de contratos dada pela frmula (30):
DA . A
N contratos =
D p . PU (31)
No nosso caso, a Dp igual a 4 pois escolhemos operar no quarto vrtice. Ademais,

apresentamos os clculos com os prazos em meses e as taxas em termos de taxa
efetiva mensal. O mais comum trabalhar com dias teis. Mais a frmula no perde a
generalidade. Por fim, chamamos a ateno para o fato de que utilizamos um vrtice
para a venda de PU que cobre todo o fluxo de caixa ativo, 4 meses. Poderamos
escolher um vencimento menor, por exemplo, o terceiro vencimento ? Sim, mas
correramos o risco de a taxa ter um comportamento adverso aps termos liquidado a
nossa posio em derivativos.
VI.4 Modelo de Duration aplicado para dimensionar um hedge para uma carteira
ativa de renda fixa utilizando dois vrtices de vencimento de PU na BMF
Tomando o mesmo exemplo do item anterior vamos utilizar agora os dois

vrtices que compreendem a duration do ativo (2,50 meses), no caso os vrtices 2 e 3,
correspondendo, respectivamente, aos contratos com vencimento dentro de dois e trs
meses. Desde j esclarecemos uma dvida que j deve estar pintando: Por que utilizar
dois vrtices ? No resolvemos com o vrtice 4 no exemplo anterior ? A resposta : o
modelo de dois vrtices mais popular na prtica. Deixar todo o hedge para o ultimo
vencimento pode trazer problemas se a taxa no se comportar conforme as premissas
do modelo. O modelo de Macauley exige que a taxa de juros esteja flat e se desloque
de forma paralela frente a um choque de taxa de juros. Se as taxas de diferentes prazos
forem diferentes e, diante de um choque, se comportarem de forma muito diferente,
isto implicar em erro no nosso modelo de hedge. Entao, utilizando dois vrtices e
mais prximos do centro de gravidade (duration) do fluxo de caixa torna mais fcil
administrar dinamicamente as posies. No quadro (34) apresentamos a soluo para
o novo problema ou nova verso do mesmo problema. E mais, vamos zerar o gap
duration de uma maneira especial, vamos exigir que Duration do Ativo seja igual a
Duration do Passivo e que o Valor Presente do Ativo seja igual ao Valor Presente do
Passivo. Aqui vamos utilizar a ferramenta SOLVER para resolver o problema de
otimizao listado no Quadro (35). No Quadro (34) apresentamos as principais
variveis na planilha.

Quadro 34 hedge com DI Futuro em dois vencimentos
Quadro 35 Utilizando o solver para dimensionar o hedge
Note que no quadro 34 j aparece a soluo para o problema em tela, ou seja,

816 contratos vendidos no vrtice 2 e 824 para o vrtice 3. Rodamos o solver com os
valores iniciais iguais a um. No Quadro 35 fica claro que estamos minimizando o
nmero de contratos, as variveis de deciso (clulas variveis na linguagem dos
programadores da Microsoft) so as quantidades a serem vendidas em cada vrtice. A
primeira restrio indica que os valores presentes so iguais (ativo e passivo), a
segunda indica que as durations so iguais e a ultima estabelece a condio de no
negatividade das variveis que indicam as quantidades de contratos a serem vendidas.
Para soluo analtica calculamos os nmeros de contratos resolvendo o
ssitema de equaes simultneas:
N1.PU1 + N2PU2 = A
N1.PU1.DV1 + N2.PU2.DV2 = DA x (N1PU1+N2PU2)
(32)

Onde
N1 e N2 - nmero de contratos vendidos para os dois vrtices que compreendem a

duration do ativo. No exemplo acima, so os vrtices dois e trs.
PU1, PU2 PU dos vencimentos V1 e V2 que compreendem a duration do ativo;
DV1 e DV2 a duration ou prazo desde o momento presente at os dois

vencimentos correspondentes aos dois vrtices negociados. No caso trabalhamos com
prazo em termos de meses e, portanto, DV1 e DV2 correspondem a 2 e 3,
respectivamente.

VII. Swaps
VII.1 Introduo
Um outro instrumento efetivo para gerir o risco de taxa de juros a operao

de swap. Veremos adiante que o efeito muito semelhante ao efeito de uma operao
com futuro de DI utilizada anteriormente para a imunizao da carteira de renda fixa.
Podemos definir swap como um contrato derivativo por meio do qual dois agentes
trocam o fluxo financeiro de uma operao sem trocar o principal. Estes instrumentos
nasceram na dcada de 70 na Europa, quando os bancos necessitavam trocar fluxos
remunerados por taxas pr-fixadas para taxas flutuantes. O nome no ingls britnico
significa "troca". Os Swaps so negociados em balco (CETIP) e na BM&F.
Vamos ver um exemplo de um swap. Imagine que uma empresa tenha custos
operacionais de $1.000.000 e tenha que vender a prazo num momento em que a taxa
de juros est a 22% ao ano. A empresa no tem como financiar as vendas com
recursos prprios e recorre a emprstimo bancrio ps-fixado. Ora, j sabemos que o
resultado da empresa pode ser afetado em funo da volatilidade dos juros. Basta a
taxa subir alguns pontos para que o resultado fique comprometido. Suponha que o
financiamento ao cliente seja de trs meses e o emprstimo bancrio tenha o mesmo
prazo.
A empresa recorreu a um banco e fez a proposta de trocar uma taxa fixa por
uma taxa ps (cdi), ou seja, o banco receberia a taxa fixa e a empresa a taxa ps.
Vamos supor que a taxa fixa combinada foi de 23% ao ano, ou, 1,74% ao ms (5,31%
em trs meses). Na tabela abaixo ilustramos os resultados possveis do negcio:
cenrio 1 cenrio 2 cenrio 3

taxa ps 6,31% 4,31% 5,31%
acumulada
valor do principal 1.063.100 1.043.100 1.053.100
corrigido ps
valor do principal 1.053.100 1.053.100 1.053.100
corrigido pr
diferena pr/ps 10.000 - 10.000 0
resultado banco paga empresa paga no h fluxo

Quadro 36 Possveis resultados para o swap
Veja que a empresa fez uma operao de swap com o Banco em questo, no
caso um swap pr x DI. Neste caso note que o risco est todo na taxa ps (no caso
DI). Existem swaps que envolvem mais de uma taxa ps, como DI x DLAR
COMERCIAL, DI x TR como veremos mais adiante.

VII.2 Estrutura Geral de um SWAP
Requisitos bsicos que justificam uma operao de swap:
descasamento entre ativo e passivo das partes contratantes (as partes, cada
uma delas, tm algum tipo de exposio, por exemplo: captado em TR,
aplicado em dlar etc..);
prazo de vencimento das operaes que causam o descasamento (exemplo:
um determinado agente tm uma carteira de renda fixa com prazos de at
um ano para vencer);
caracterstica do descasamento (descasamento de prazo, taxas, moedas);
troca do fluxo, ou resultado financeiro, resultante do descasamento;
eliminao ou diminuio dos riscos existentes (o swap feito em torno de
um valor principal, NOTIONAL, que pode corresponder ao valor total ou
parte da exposio do agente)
Elementos fundamentais de uma operao de swap:
Ponta Ativa: taxa pr ou ps que corrigir o Notional e ser utilizada a

favor do titular. Num swap pr x di, se o agente toma a ponta ativa em di
ele est apostando na alta da taxa de juros. Se toma a ponta ativa em TR
mais um cupom contra qualquer ponta passiva est apostando na alta da
TR e assim por diante;
Ponta Passiva: taxa pr ou ps que corrigir o Notional at o vencimento
ou liquidao antecipada e utilizada em desfavor do titular do swap;
Notional: o valor de referencia do swap. sobre ele que se calcular os
valores futuros ou atuais das pontas ativa e passiva. O Notional no um
valor de caixa que trocado mas simplesmente um valor de referencia.
Assim, quando se diz que num determinado dia se negociou 1.000
contratos de swap pr x di cada um deles com notional de $ 100.000 num
volume total de 100 milhes isto no tem o mesmo sentido de
movimentao de caixa.
Prazo: todo swap tem um prazo definido ao final do qual ser feito o acerto
por diferena financeira, com o perdedor pagando o vencedor. As partes
podem combinar a liquidao antecipada mediante antecipao.
Regra geral, uma operao de swap feita sem garantia e registrada ou na CETIP ou
na BMF. Entretanto, a BMF tem a modalidade swap com garantia onde exige margem
de garantia inicial ou adicional das contrapartes.
VII.3 Precificando um Swap
Antes de mostrarmos a lgica de precificao de um swap vamos analisar mais

uma operao tpica de mercado: swaps de moeda. muito utilizado por empresas
multinacionais que queiram garantir rentabilidade sobre sua moeda local. Ilustrando:
vamos supor que uma firma americana resolva investir U$ 1.000.000 pelo prazo de

um ano em sua filial na alemanha. A taxa do negcio na Alemanha de 10% ao ano
(em DM). A taxa de cmbio atual de 1U$ = 1,4 DM. A empresa gostaria de garantir
uma rentabilidade mnima de 5% em dlares (que a taxa dos ttulos do tesouro
americano para o mesmo prazo). J sabemos que a rentabilidade final do negcio (em
dlares) vai depender da taxa de cmbio. Os 10% em DM no sero 10% sobre o
dlar caso a taxa de cmbio mude. A grande preocupao da firma, obviamente, a de
que o DM desvalorize-se em relao ao dlar. Suponha que o mercado esteja
negociando um swap de DM x DOLAR taxa de 1,4667 DM, ou seja, o mercado est
estimando que U$ 1 ser equivalente a DM 1,4667. Suponha que a empresa compre o
swap de um banco. Vejamos no quadro abaixo o que pode acontecer no final de um
ano:
cenrio 1 cenrio 2 cenrio 3

taxa de mercado no U$ = DM 1,4 U$ = DM 1,5 U$ = DM 1,4667
vencimento da
operao
valor obtido ao DM 1.540.000/1,4 DM 1.540.000/1,5 DM
cmbio de mercado = U$ 1.100.000 = U$ 1.026.667 1.540.000/1,4667
= U$ 1.049.976
resultado do swap DM DM 0
1.540.000/1,4667 1.540.000/1,4667
- DM 1.540.000/1,4 - DM 1.540.000/1,5
= - U$$ 50.024 = U$$ 23.309
RESULTADO empresa paga banco paga no h fluxo
Quadro 37
A operao em tudo semelhante ao que foi visto no exemplo do swap de taxa fixa e
flutuante. Entretanto, vamos colocar uma situao nova. Vamos admitir que ao final
de seis meses a empresa olhe para o mercado e a taxa de cmbio est no momento
igual a 1,42 DM. E mais, que o mercado esteja negociando swap por mais 6 meses
entre as moedas do exemplo taxa de 1,43 DM e que a taxa de juros esteja a 5% ao
ano (em dlar). Quanto vale o swap em questo? Quanto a empresa deveria pagar ao
Banco para desfazer a operao? Primeiramente, vamos lembrar que a operao foi
feita para liquidao em um ano. Se estamos na metade do percurso podemos apurar
uma posio parcial do swap conforme abaixo:
valor futuro esperado do contrato: (1.540.000/1,43)-(1.540.000/1,4667) = - U$ 26.947

valor atual do contrato: (26.947/1,050,5) = U$ 26.298
Obviamente o valor positivo para o Banco e negativo para a empresa. Veja

que a lgica parecida com a apresentada para o valor justo de um futuro de uma

commoditte ou dolar. O valor futuro justo igual ao valor a vista vezes o custo de
carregamento e se isto no acontecer j sabemos o que ocorre: arbitragem.
VII.4 Imunizao da Carteira de Renda Fixa via swap
Os mesmos modelos utilizados para dimensionar a quantidade de contratos de

DI FUTURO para um nico vencimento de forma a zerar o gap duration pode ser
utilizado aqui. No caso entendemos que o agente que teme a alta dos juros poderia
dimensionar um swap pr x di, tomando a ponta ativa em DI e passiva em taxa pr de
forma a se imunizar contra o risco de taxa de juros. Voltemos ao exemplo da loja de
departamentos que financiou as quatro vendas de 40 milhoes de reais, apresentado no
item VI.3. Ao invs de utilizarmos DI FUTURO vamos utilizar o swap para a
imunizao. Aqui, vai nos interessar a ponta passiva pr do swap. Ela quem vai se
desvalorizar em termos de valor presente, levando o gap duration do balano de renda
fixa formado para zero. Ou seja, teremos uma carteira real ativa e uma virtual
passival. Neste caso o virtual representado pelo derivativo. No quadro (38) aps
rodarmos a ferramenta ATINGIR META (meta de zerar o gap duration variando a
varivel notional do swap) chegamos ao valor de 100 milhes. Este o swap pr x di,
ponta ativa em di, que deve ser negociado para se imunizar esta carteira contra o risco
de taxa de juros. A loja de departamentos poderia faz-lo com o seu banco que tem
rea corporate preparada para tanto.
Meses 0 1 2 3 4
Cotaao do PU 99.009,90 98.029,60 97.059,01 96.098,03

Fluxo Ativo 40.400.000,00 40.804.000,00 41.212.040,00 41.624.160,40
Duration Ativo 2,50 40.000.000,00 80.000.000,00 120.000.000,00 160.000.000,00
Notional do swap 100.000.000,00

Fluxo Passivo Virtual - - - 104.060.401,00
Valor Presente Passivo 100.000.000,00 - - - 100.000.000,00
Duration Passivo 4,00 - - - 400.000.000,00

Gap Duration -
Quadro 38 Dimensionando o Notional do swap para hedge da carteira
Note que escolhemos o ms quatro para vencimento porque ele cobre todo o fluxo de
caixa a ser hedeada swap em questo trocou a taxa de 1,00% ao ms pela taxa ps-
fixada em CDI. Normalmente, utiliza-se a taxa over anual e se conta os prazos em dias
teis. Aqui, para simplificarmos os clculos, resolvemos adotar os prazos em meses e
a taxa mensal.

Do ponto de vista contbil, supondo que no haja qualquer choque na taxa de
juros teramos as seguintes receitas e despesas financeiras envolvidas listadas no
Quadro 39 onde fica claro que a loja de departamento contabilizar a receita financeira
de 6,49 milhes de reais ao final dos quatro meses. Entretanto, se houver um choque
instantneo que eleve a taxa de juros para 1,10% e permanea assim at o final do
prazo (quarto ms), listamos os resultados no Quadro 40 a seguir. Se a loja aplicasse
os 160 milhes por 4 meses taxa de 1,10% ao ms ela teria um montante final de
7,157 milhes. Com o swap feito (notional de 100 milhes) ela teria um resultado
global de 7,156 milhoes. Note que o hedge no foi matematicamente perfeito pois
sabemos que o modelo de Macauley um modelo aproximado.
Meses 0 1 2 3 4
Cotaao do PU 99.009,90 98.029,60 97.059,01 96.098,03

Fluxo Ativo 40.400.000,00 40.804.000,00 41.212.040,00 41.624.160,40
Valor Futuro Ativo 166.496.641,60 41.624.160,40 41.624.160,40 41.624.160,40 41.624.160,40
Resultado Carteira RF 6.496.641,60
Valor Futuro Ponta Ativa do Swap 104.060.401,00
Valor Futuro Ponta Passiva do Swap 104.060.401,00
Resultado do Swap -
Resultado Global 6.496.641,60
Quadro 39 Simulando o resultado futuro da carteira com hedge sem choque
Meses 0 1 2 3 4
Cotaao do PU 99.009,90 98.029,60 97.059,01 96.098,03

Fluxo Ativo 40.400.000,00 40.804.000,00 41.212.040,00 41.624.160,40
Valor Futuro Ativo 166.744.077,10 41.747.918,97 41.706.625,28 41.665.372,44 41.624.160,40
Resultado Carteira RF 6.744.077,10
Valor Futuro Ponta Ativa do Swap 104.473.133,86
Valor Futuro Ponta Passiva do Swap 104.060.401,00
Resultado do Swap 412.732,86
Resultado Global 7.156.809,96
Quadro 40 Simulando o resultado com o hedge e aps o choque
De qualquer maneira, no caso, a loja travou uma receita de 7,156 milhes para
qualquer choque na taxa de juros do tipo paralelo e instantneo. Para choques e
movimentos diferentes (toro na curva de juros) existem outros modelos mais
sofisticados mas que esto fora do escopo deste curso.

VII.5 Imunizao de um balano de renda fixa onde j existe um passivo natural
Vamos pegar o exemplo das quatro vendas nominais de 40 milhes e

increment-lo um pouco mais. Vamos admitir que a empresa tome capital de giro num
banco pagando a taxa pr igual previso para o CDI mensal. Entretanto, o banco
trabalha com um emprstimo padronizado com prazo de um ms mas que pode ser
renovado ou rolado at o final do quarto ms. No quadro (41) a seguir apresentamos
as principais informaes para que o leitor perceba o risco de taxa de juros. Inclusive
consideramos um choque na taxa de 0,10%. Ento devemos notar que j temos uma
espcie de hedge natural pois na medida em que a taxa aumenta o valor presente de
ambos os lados do balano diminui e isto contribui para o equilbrio. Mas vamos
aplicar o modelo de gap duration para verificar o que acontece em detalhes.
Meses 0 1 2 3 4
Fluxo Ativo 40.400.000,00 40.804.000,00 41.212.040,00 41.624.160,40
Duration Ativo 2,50 40.000.000,00 80.000.000,00 120.000.000,00 160.000.000,00

Emprstimo (passivo) 161.600.000,00
Valor Presente Passivo 160.000.000,00 160.000.000,00 - - -
Duration do Passivo 1,00
Gap Duration Modif. (237.623.762,38)

Choque na Taxa 0,10%
Perda Estimada (237.623,76)

Quadro 41 Hedge de um balano onde j se tem passivo natural
Note que a perda estimada pelo modelo de GAP DURATION (frente a um choque de
0,10%) de 237,62 mil. Claro que uma perda estimada menor do que a perda do
exemplo anterior onde o Banco financiava as vendas com o capital prprio. Pode
conferir, naquele caso a perda estimada pelo mesmo modelo de 396,04 mil. Claro,
aqui temos algum passivo pr, natural, que diante do choque positivo na taxa de juros
acaba gerando valor para o proprietrio do balano. Mas no suficiente para
imunizar o balano contra o risco de taxa de juros. Ora, voc j deve estar pensando,
vamos arrumar passivo virtual, no caso vamos dimensionar um swap pr x di, com
ponta passiva pr (trocando a taxa de 1,00% ao ms pela taxa ps CDI na ponta ativa).
Claro, vamos negociar um swap pelo prazo de quatro meses de forma a cobrir todo o
fluxo de caixa ativo. No Quadro 42 vamos apresentar o resultado de um fluxo de caixa
natural aumentado pelo fluxo de caixa virtual do swap. Ou seja, no nosso modelo
embora o swap tenha duas pernas, s aparece a ponta pr (passiva) do swap. A ponta
ativa no faz diferena pois indexada ao CDI e tem o seu valor presente sempre
constante quando das mudanas de taxa.

Meses 0 1 2 3 4
Fluxo Ativo 40.400.000,00 40.804.000,00 41.212.040,00 41.624.160,40
Duration Ativo 2,50 40.000.000,00 80.000.000,00 120.000.000,00 160.000.000,00

Emprstimo (passivo) 161.600.000,00
Notional do Swap 60.000.000,00

Fluxo Passivo do Swap - - - 62.436.240,60
Fluxo Passivo Consolidado 161.600.000,00 - - 62.436.240,60
Valor Presente Passivo Cons 220.000.000,00 160.000.000,00 - - 60.000.000,00
Duration do Passivo 1,82 160.000.000,00 - - 240.000.000,00

Gap Duration consol -
Quadro 42 resultado do hedge para o balano que j tem passivo natural
Note que no quadro 42 o GAP DURATION CONSOLIDADO j aparece zerado.

Utilizamos a funo ATINGIR META para fazer variar a clula correspondente ao
Notional do Swap com vencimento no quarto ms e para zerar o gap. Encontramos um
Notional de 60 milhes. Logo, a loja de departamentos precisa de um swap com
Notional menor do que a situao em que no tinha nenhum passivo natural, mas
financiava as suas vendas com capital prprio.
VII,6 Os swaps mais negociados nos balces da BMF e CETIP
Embora j tenhamos falado e usado o swap pr x di para imunizar a carteira de

renda fixa, vamos fazer um resumo das principais caractersticas destes swaps para
no haver dvidas de seu funcionamento. Ademais, vamos mostrar o funcionamento
dos dois swaps mais negociados no Brasil.
a) Swap pr x di
Um comerciante tomou um emprstimo de hot Money (indexado ao cdi) por 20 dias

teis. No mesmo momento que tomou um emprstimo tambm negociou um swap pr
x di ficando com a ponta ativa em di. A taxa pr do swap correspondia exatamente
previso para a taxa acumulada no perodo, ou seja, uma taxa de 12,00% ao ano. O
valor do emprstimo de 50 milhes de reais e o vencimento do swap coincidente
com o vencimento do emprstimo. Apresentamos os resultados financeiros do cliente
(o custo financeiro lquido) para o cenrio em que a taxa acumulada do CDI no
perodo (20 dias teis) equivalente a 15,00% ao ano. Considere que o Notional
tambm de 50 milhes de reais. Veja os resultados apresentados no quadro 43.

(20/252)
Valor Futuro Hot Money - 50.000.000 x (1 + 15%) = (50.557.698,22)
Juros Pagos ao Banco - 557.698,22
Valor Futuro Ponta Ativa do
(20/252)
Swap 50.000.000 x (1 + 15%) = 50.557.698,22
Valor Futuro Ponta Passiva - 50.000.000 x (1 + 12%) (20/252)
Swap = (50.451.745,54)
Custo Lquido do Hot Money - 451.745,54

Taxa de Juros no perodo 12,00%
Quadro 43: custo lquido de emprstimo com hedge
b) Swap Dlar x DI
Um importador tem que pagar uma importao de 10 milhes de dlares dentro de 14

dias teis e teme uma depreciao do real frente ao dlar. A cotao do dlar spot est
em R$ 1,80 e negocia-se swap dlar x di taxa de 10% ao ano. No mesmo momento
projeta-se a taxa do CDI para 14 dias teis em 12,00% ao ano. Demonstramos o
resultado global para o importador supondo que ele tenha adquirido um swap dlar x
di, taxa de 10% ao ano, Notional de 18 milhes de reais. Ademais estamos supondo
que o importador tenha aplicado em CDB ps-fixado o valor de 18 milhes de reais
taxa do CDI e que a variao cambial no perodo tenha sido de 2,30% e que a taxa
acumulada do CDI tenha sido de 12,00%. No quadro 44 apresentamos os resultados
parciais e global para o importador. Note que no final das contas o valor da
importao ficou aqum dos R$ 18 milhes de reais, mesmo com a variao cambial
adversa.
Valor da Dvida em dlar 10.000.000 x 1,80 x 1,023 (18.414.000,00)

(14/252)
Valor da Aplicao Financeira 18.000.000 x 1,12 18.113.686,20
Receita Financeira CDB 113.686,20
(14/252)
Valor Futuro da Ponta Ativa Swap 18.000.000 x (1,12) x 1,023 18.530.300,98
(14/252)
Valor Futuro da Ponta Passiva Swap - 18.000.000 x (1,12) (18.113.686,20)
Valor Lquido da Dvida - 17.883.699,02

Quadro 44 Hedge para o importador

VIII. Opes
VIII.1 Introduo
Nas operaes com futuros e termos vimos que o titular da operao tem
direitos e obrigaes. Quando se contrata um futuro h a obrigao de liquid-lo,
pode-se at antecipar tal obrigao mas no se pode fugir da mesma. E em muitos
casos de hedge apresentado at aqui, via futuro ou operao a termo, fica-se com um
gosto amargo na boca quando se faz o hedge mas o movimento que se tem no fator de
risco o contrrio do que espervamos e, pensamos instantaneamente: que pena que
eu fiz uma trava ! Se no tivesse uma trava eu poderia estar lucrando mais. Entretanto,
no nos esqueamos que tambm se evitou o risco ou perda potencial. Mas agora
iremos apresentar um derivativo em que se tem maior grau de liberdade com relao a
esta situao, ou seja, nas opes o titular s exerce o seu direito se ele quiser. Ele
paga por isso. relevante registrar desde j que a teoria de opes transcende a
simples aplicao em derivativos financeiros. Existem tambm opes reais e a teoria
ganha aplicaes sofisticadas seja para avaliar empresas, projetos ou mesmo risco de
crdito em bancos e outras instituies financeiras. S para ilustrar imagine as
seguintes opes reais:
O proprietrio de um bonita casa no Lago Norte lhe d a opo de pagar R$

650 mil reais por ela dentro de um ms. Voc entrega a ele um sinal de R$
2.500,00 para ter esse direito. Ao final do prazo, se desistir voc perde o sinal
mas no obrigado a comprar a casa. Pense que vantagens voc teve pelo que
voc pagou. Note que o proprietrio emitiu ou lanou a opo. Pense nos
riscos que ele corre. E ele fica com a obrigao legal de te vender se assim
voc quiser.
Uma empresa mineradora antes de instalar as mquinas e equipamentos e
comprar os direitos de explorao de uma grande mina paga por um estudo
prvio que apontar o teor de minrio, a profundidade onde se encontra e
outras caractersticas tcnicas. A empresa pagou um premio pela opo de
adiar a explorao por um certo tempo em que ela ter mais informaes sobre
o objeto de sua explorao. O dono da mina (o estado) lanou a opo e recebe
por isso. Entretanto, ao final do prazo avenado, ele tem a obrigao de
conceder a explorao para a mineradora.
Listamos, portanto, dois casos simples de opes reais embutidas em certos projetos.
H uma tendncia em se utilizar a teoria que iremos ver aqui neste captulo para se
precificar corretamente os projetos que contenham estas opes. Entretanto, aqui no
nosso curso de derivativos o que interessa so as opes sobre aes na BOVESPA, as
opes sobre ativos financeiros ou futuros financeiros na BMF ou sobre commodities.
Vamos procurar ilustrar essa introduo teoria de opes com exemplos com aes,
opes sobre aes, por ser este um dos mercados mais tradicionais e lquidos aqui e
no mundo afora.

VIII.2 Os modelos bsicos de CALL e PUT
VIII.2.1 CALL Direito de comprar um ativo
Tem o direito de comprar determinado ativo na data de vencimento pelo valor de

exerccio.
Tem a expectativa de que o preo suba para poder exercer a opo
Se o preo de mercado do ativo-objeto for maior do que o preo de exerccio a
opo ser exercida no vencimento: in the money
Se o preo de mercado do ativo-objeto for menor do que o preo de exerccio a
opo dita out-of-money;
Se o preo de mercado do ativo-objeto for igual ao preo de exerccio a opo
dita at-the-money;
Uma opo no exercida diz-se ter virado p.
Uma opo dita do tipo Europia se a possibilidade de exerccio se d no final
do prazo;
Uma opo dita do tipo americana se a possibilidade de exerccio se d desde a
aquisio at o vencimento;
Exemplo: compra de opes de compra (call) de aes do BB (do tipo Europia)

opo 1 opo 2
Ativo-Ojeto aes do BB aes do BB
data de emisso 1/4/2000 1/4/2000
preo vista (spot) 9,00 9,00
data de vencimento 1/6/2000 1/8/2000
srie "a"
preo de exerccio 11,00 11,00
Prmio 1,50 1,70
srie "b"
Prmio 1,10 1,30
Note que as sries acima, a e b, diferem pelo preo de exerccio. Para a opo 1, por
exemplo, paga-se R$ 1,50 para ter o direito de comprar a ao do BB daqui a dois
meses. Na srie b paga-se R$ 1,10. Claro, a opo s ter valor se ela superar o preo
de exerccio. Caso contrrio ele virar p. Ora, quem vai querer exercer um contrato
que lhe d o direito de comprar um ativo por R$ 9,00 se ele vale, por exemplo, R$
8,00 no mercado. Ningum. Pois , a opo chega no vencimento OUT OF MONEY

ou FORA DO DINHEIRO pois o preo vista menor do que o preo de exerccio.
Se a opo terminar o prazo com um valor superior ao preo de exerccio dizemos que
ela ficou IN THE MONEY ou DENTRO DO DINHEIRO. Se terminar exatamente
com o mesmo valor, dizemos que ela ficou AT THE MONEY ou NO DINHEIRO.
Resultados para o Titular de uma Call
Quadro 45 Resultado para o titular de uma call
No quadro 45 ilustramos os possveis resultados para o titular da call da sria a. Note

que a partir de 11,00 o titular j deve exercer para diminuir o prejuzo. A partir do
valor 12,50 (valor de exerccio + o premio) j comea a dar lucro. Note que o prejuzo
com uma call limitado e, teoricamente, os lucros so ilimitados. Logo, a posio do
titular de uma call uma posio confortvel.
Quadro 46 Resultado do lanador da call

Note no quadro 46 que o grfico do lanador o grfico do titular rebatido em torno
do eixo horizontal. Ou seja, o lanador fica numa posio de muito risco. Diz-se
tambm que lanador fica vendido na CALL. Sabe-se o MARKA tinha um posio
vendida em opes sobre dlar americano na BMF. Durante um bom perodo ganhava
o jogo pois o dlar subia muito pouco. Quando houve a maxi-desvalorizaao em
janeiro de 99 tudo se complicou. Note que a partir do valor 11,00 para o preo da ao
no vencimento, o lanador j comea a diminuir o seu lucro. A BOVESPA exige o
premio logo no inicio mas no o passa para o vendedor (lanador). Se o vendedor no
operar coberto ela retm todo ou parte do premio como garantia.
VII.2.2 PUT Direito de vender um ativo
O titular de uma PUT tem o direito de vender um certo ativo no vencimento por um
preo de exerccio previamente estipulado. O lanador da PUT tem a obrigao, caso
seja exercido, de comprar o ativo pelo preo de exerccio. completamente anlogo
ao caso e aos grficos da PUT, seno vejamos:
Exemplo: compra de opes de venda (put) de aes do BB

opo 1 opo 2
Ativo-Ojeto aes do BB aes do BB
data de emisso 1/4/2000 1/4/2000
preo vista (spot) 9,00 9,00
data de vencimento 1/6/2000 1/8/2000
srie "a"
prmio 0,60 0,80
srie "b"
prmio 0,50 0,70
Note tambm que as sries, da mesma forma, diferem pelo preo de exerccio e aqui
quem tem maior preo de exerccio vale mais, ao contrrio da CALL. Note tambm
que tanto aqui quanto no exemplo de CALL, o prazo para vencimento encarece o
valor do premio. A explicao a seguinte, aumentando o prazo, aumenta a
volatilidade do preo, ou seja, tem mais chance de o preo do ativo flutuar e como se
tem um piso para a perda do titular, isso provoca uma valorizao da opo.

VIII.3 Uma primeira avaliao do preo justo do premio
Mais frente apresentaremos um modelo para a precificao de

opes. Entretanto, vamos ver algumas propriedades para o valor do
prmio de uma call (c )
1. Na data do exerccio
c = PV - PE
onde
PV -> preo vista;
PE -> preo de exerccio (ou X)
Se no haveria arbitragem conforme exemplo abaixo:
valor da ao vista no vencimento 12,00
valor do preo de exerccio no vencimento 10,00
valor justo para o preo da opo no vencimento 2,00
Vamos supor que o valor da opo no vencimento

esteja sendo negociado a 4,00. Isto permitiria
a arbitragem abaixo:
Estratgia de arbitragem:
Toma dinheiro no Banco de manh 12,00
compra aes no mercado vista (12,00)
lanamento de opes de compra (recebe o premio) 4,00

exercido e recebe o valor (e recebe o preo de exerccio) 10,00
Aes
paga ao Banco tarde (12,00)
lucro fcil sem risco 2,00
Note que isso atrairia muitos investidores racionais que comeariam

a querer lanar grandes quantidades de opes de compra (call) e
isso provocaria uma queda no preo do premio, levando o mercado a

nova posio de equilbrio com preo do prmio igual a 2,00.
2. Anlise do valor do prmio de uma call (c) europia antes do

vencimento- opo europia
Valor de S em Relao a X Valor de C

Se S <= X c>0
(-rt)
Se S > X c > S - X.e
Demonstrao
caso a: S <= X --> c > 0
Se a opo fosse nula ou negativa estaramos dando a oportunidade

ao
investidor de realizar ganho no vencimento ou em qualquer data sem
investir um nico centavo. Voc daria um carto de loteria, antes do
sorteio, de graa porque a chance de ganhar pequena? Claro que
no, veja nas lotricas que o carto da MEGA-SENA custa R$ 1,50,
mesmo que a chance de ganhar seja de 1 em 50 milhes.
(-rt)
caso b: S > X --> C > S - X.e
Vamos para um exemplo numrico:
S 16,00
X 12,00
C 1,50
r 2,00%
t 4
(-rt)
c > S - X.e 4,92

cenrios para S
D0 1,00 5,00 10,00 12,00 14,00
Venda da ao 16,00
Compra da Call (1,50)
Aplicaao do Valor lquido 14,50
Resgate da aplicaao 15,71 15,71 15,71 15,71 15,71
adquire a ao em mercado (1,00) (5,00) (10,00) - -
exerce a opo - - - (12,00) (12,00)
Lucro 14,71 10,71 5,71 3,71 3,71
Quadro 47 Cenrios para ilustrao do preo justo de uma call
VIII.4 Algumas estratgias simples com opes
VIII.4.1 PUT sinttica (comprado no ativo + vendido na call)
Vamos analisar uma primeira estratgia simples:

lanamento de call com existncia do ativo.
(lanamento coberto)
O investidor compra o ativo e lana a opo de

compra sobre ele por um ms
Taxa de Juros da Economia 1,30% ao ms
Data Inicial
valor do ativo objeto 11,00
preo de exerccio 13,00
prmio (c) 1,10
investimento inicial 9,90
Data de Vencimento da Opo situao 1 situao 2
valor do ativo objeto 18,00 5,00

no h o
entrega ao 13,00 exerccio
resultado 3,10 (4,90)

rendimento 31,31%

Note que neste caso o investidor corre o risco de o preo do ativo cair, entretanto
uma estratgia que se utiliza quando se acredita na alta do preo mas se quer ganhar
como um valor mximo como se fosse uma renda fixa, tributada como renda varivel.
Que fique claro, entretanto, que h riscos e NO UMA OPERAAO DE
ARBITRAGEM OU TRAVA. Veja o grfico do Quadro 48. Note que o grfico
parecido com o grfico de resultado do lanador de uma PUT.
Quadro 48 Resultados com a estratgia PUT SINTTICA
VIII.4.2 CALL sinttica (comprado no ativo + comprado na PUT)
Exemplo:
Valor Inicial do ativo 11,00

Preo de exerccio da
PUT 9,00
Prmio da PUT 0,94
Investimento Lquido 11,94

Inicial

Esta estratgia bastante bvia.
Um investidor avesso ao risco
resolver estabelecer um valor
mximo para a sua perda. Claro
que ele acredita que o preo do
ativo ir subir no perodo da
operao. Mas como avesso
ao risco, resolve no investir
simplesmente no ativo
isoladamente. Claro que no
tem lanche grtis. A proteo
custa dinheiro.
Quadro 49 Call sinttica
VIII.4.3 Spread de alta
O investidor acredita que o ativo objeto ter uma ligeira alta no perodo, ento negocia
com duas sries da mesma opo que diferem entre si somente pelo preo de exerccio.
Vamos ao exemplo:
X Vencimento Prmio
call1 (comprada) 12,00 1 ms 0,90
call2 (vendida) 14,00 1 ms 0,80
Quadro 50 Grfico do Resultado da estratgia spread de alta

Note que se o preo vista no vencimento terminar cotado na regio 12-14 produzir
lucro para o estrategista. Note tambm que h um piso e um teto para o resultado.
Lembre-se que quando o preo cai aqum de R$ 12,00 as duas call viraro p e o
estrategista ter perdido valor equivalente entre o maior prmio (ele pagou) e o menor
(que ele recebeu), ou seja, R$ 0,10. Caso o ativo ultrapasse o valor de R$ 12,00 e fique
aqum do valor de R$ 14,00, o estrategista exercer a call 1 e no ser exercido na call
2 na qual est vendido. Claro que para valores do ativo superiores a 14,00 ele exercer
e ser exercido e o resultado ser constante e igual ao somatrio entre as diferenas de
preo de exerccio diminudo do premio lquido de R$ 0,10 que ele pagou.
VIII.4.4 Spread de baixa
O investidor acredita que o ativo objeto ter uma ligeira queda de preo no perodo,
ento negocia com duas sries da mesma opo que diferem entre si somente pelo
preo de exerccio. Vamos ao exemplo:
X Vencimento Prmio
call1 (vendido) 12,00 1 ms 0,90
call2 (comprado) 14,00 1 ms 0,80
Quadro 51 Resultados da estratgia Spread de Baixa

VIII.4.5 Stradlle de Compra
Quando o estrategista acredita em grande volatilidade no perodo e no sabe

precisar uma tendencia ele usa o straddle de compra. O estrategista aposta que o circo
pegar fogo mas no sabe se haver uma alta ou uma baixa. E veja que ele paga para
ver o circo pegando foco pois fica comprado na call e na put com o mesmo preo de
exerccio e para o mesmo vencimento. Claro que esta estratgia depende de a
BOVESPA (opes sobre aes) ou BMF (demais opes, sobre dlar, DI,
commodities agrcolas etc..) criarem as sries. Perceba no grfico apresentado no
Quadro 52 que o estrategista ganha quando preo fica ou aqum de R$ 10,10 ou alm
de R$ 11,80.
opo X Prmio
call1 (comprado) 11,00 0,90
put1 (comprado) 11,00 0,80
Quadro 52 Resultado da estratgia Straddle de Compra

VIII.4.6 Stradlle de Venda
Quando o estrategista acredita em pequena volatilidade no futuro prximo.

Praticamente uma situaao simtrica ao caso anterior, o straddle de compra.
Tomando as mesmas opes, veja os resultados no Quadro 53. O lucro mximo R$
1,70.
opo X Prmio
call1 (vendido) 11,00 0,90
put1 (vemdido) 11,00 0,80
Quadro 53: Resultados do Straddle de Venda
VIII.4.6 Put call Parity
Esta uma estratgia que alm de ter valor prtico tem um valor didtico muito
importante para ns. A precificao das opes, atravs do modelo binominal ou do
modelo de Black & Scholes (que valeu prmio Nobel em 1990) da condiao mostrada
nesta estratgia.
Vamos agora considerar a seguinte operao estruturada:
1. compra do ativo objeto;

2. compra de uma put (opo de venda);
3. lanamento de uma call (opo de compra)
obs: estamos considerando opes do tipo europia

preo de exerccio 12,00
preo vista do ativo 10,00
preo da call (c) 0,60
preo da put (p) 0,40
Cenrios para o Preo do Ativo Objeto no Vencimento
D0 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00
Adquire ativo objeto (10,00)
Paga premio put (0,40)

Recebe premio call 0,60
Investimento Lquido (9,80)

Exerce a put 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00 - -
exercido na call - - - - - 12,00 12,00
Fluxo Lquido 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00
Lucro 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20

Quadro 54: Resultados da estratgia put call parity
Observando os resultados da estratgia no Quadro 54 nota-se que a operao equivale

na verdade a uma operaao de renda fixa pois o resultado sempre o mesmo. Supondo
que o prazo de vencimento do negcio acima tenha sido de 6 meses e que a taxa livre
de risco da economia seja de 0,50% ao ms alguma coisa deve estar em desequilbiro
no cenrio acima. Note que receber remuneraao certa de R$ 2,20 uma aplicaao
lquida de 9,80 perceber uma taxa equivalente mensal de 3,43%, ora, isto uma baita
arbitragem e tudo aconteceu porque os preos da call e da put esto em desequilbrio.
A possibilidade de realizar esta estratgia no mercado sugere uma relaao entre o preo
da call e da put que no permita arbitragens como a mostrada no Quadro 54.
Para no haver arbitragem devemos ter
S + p c = X .e rt
(33)
Onde
S preo do ativo objeto

p valor do premio da put

c valor do premio da call
X preo de exerccio ou strike price
e nmero de euler, 2,718...
r taxa livre de risco da economia
t prazo para o vencimento das opes
Aplicando a frmula acima teramos que p = c + 1,65 e admitindo que o valor de c

esteja correto e igual a R$ 0,60, o preo justo para a put seria de 2,25 e no permitira a
arbitragem. Aquele lucro certo de R$ 2,20 se transforma agora em R$ 0.35 e exigiria
um investimento inicial de R$ 11,65 produzindo uma taxa de retorno igual 3,00% em
6 meses ou 0,50% ao ms que a taxa livre de risco. Pronto, num mercado eficiente e
equilibrado quando se faz operaes sem risco se merece ganhar a taxa livre de risco.
Esta a essncia da teoria utilizada para se precificar ativos e em particular opes.
Obs: na frmula (33) aparece o clculo envolvendo o nmero de Euler. Este um

clculo de juros contnuos. Se fossemos trabalhar com juros discretos, convencionais,
t
a expresso para o mesmo termos seria X/(1+r) .

VIII.5 Frmula de Black & Scholes
O modelo de Black&Sholes parte das seguintes premissas:
a) o preo do ativo objeto segue processo estocstico log-normal, o que

equivalente a dizer que o logartmo do preo tem distribuio normal;
b) a distribuio de retorno dos ativo objeto normal com mdia e volatilidade

constantes ao longo do tempo;
c) o mercado eficiente e no admite arbitragens;
d) existe uma nica taxa de juros para as operaes sem risco;
e) as opes s podem ser exercidas ao final (tipo europia)
Frmula de Black & Sholes
c = S. N(d1) X.ert . N(d2)

(34)
onde
S 2
Ln + (r + ). t d2 = d1 . t
d1 = X 2
. t
(35) (36)
rea da distribuio normal acumulada de - infinito at

N(d1) --> d1
rea da distribuio normal acumulada de - infinito at
N(d2) --> d2

Exemplo
Sabendo que a taxa de juros sem risco de 1,60% ao ms, calcule o preo justo
de uma call, faltando 2 meses
para o vencimento. Sabe-se, ainda que o preo vista est sendo negociado a
10,50 e que o preo de exerccio
de 11,00 e que a volatilidade histrica do retorno da ao de 4,50% ao ms.
Soluo
S 10,50
X 11,00
r 1,60% ao ms
sigma 4,50% ao ms
t 2 meses
clculo de d1, d2, N(d1) e N(d2):

N(d)
d1 -0,19634 0,4221719
d2 -0,25998 0,3974397
c igual a 0,20
No quadro 55 abaixo listamos o grfico c x S, ou seja os valores que c assume em

funo dos valores do ativo subjascente. Veja como a curva inclinada. O delta
(derivada primeira de c em relao a S) uma das chamadas letras gregas importantes
para se avaliar opes. O delta indica o quanto varia o premio para cada variao
unitria no preo do ativo.
Quadro 55: Grfico c x S

Note que na medida em que a opo vai ficando cada vez mais dentro do dinheiro o
delta vai aumentando cada vez mais.
possvel utilizar a frmula de B&S (Black & Scholes) para avaliar a relao entre
cada uma das variveis e o valor do prmio, isto d origem s outras gregas. No
Quadro 56 abaixo apresentamos o grfico da relao c x . A Derivada primeira de c
em relao a recebe o nome de vega ().
Quadro 56: Grfico da Relaao c x
Alm do delta e do vega temos a letra gama () que a derivada segunda do c em

relao a S equivalente derivada primeira do delta em relao ao preo spot S.
Graficamente o gama mede a concavidade da curva apresentada no Quadro 55. Por
fim, o Rho () a derivada primeira de c em relao taxa de juros. Por fim, ressalte-
se que o modelo analtico de B&S permite o clculo fcil destas derivadas. Por
exemplo, o delta numericamente ao N(d1) da frmula de B&S.
VIII.6 Volatilidade implcita
Examinando novamente a frmula (35) do modelo B&S nota-se que a

volatilidade () um parmetro utilizado pela frmula, ou seja, um valor que se
fornece ao modelo para que ele calcule o preo justo da call. Entretanto, possvel
fazer o contrrio, dado que temos um preo negociado no mercado podemos entrar
com este nmero no lugar de c e resolver a frmula de B&S de maneira inversa.
fcil fazer isso com a ferramenta atingir meta do excel. Por exemplo, no exemplo
dado no item anterior, para um volatilidade fornecida ao modelo de 4,50% ele
calculou o premio justo de 0,20. Se colocarmos a ferramenta ATINGIR META em
ao, numa planilha excel, exigindo que o preo do modelo seja igual ao preo de
mercado R$ 0,25 ele calcular a volatilidade que provoc a tal preo. Esta a
volatilidade implcita. No caso, teremos uma volatilidade implcita de 5,38%.

No tivemos a pretenso de esgotar todo o assunto sobre derivativos mas apenas
fornecer um guia para o estudo e pesquisa na internet e nas bibliotecas, notadamente
as da FGV. Em particular, informamos que esta apostila complementa-se com uma
srie de planilhas excel onde implementamos os modelos apresentados aqui e,
tambm, se vocs no se ope, a presena eventual deste seu criado nas classes.

IX. Bibliografia
Bessada, Octvio, O Mercado de Derivativos Financeiros,

Editora Record, 2.000.
Castellano, Murilo, Gesto de Riscos por meio de

Derivativos, Editora Atlas, 2008.
Fabozzi, Frank J., Interest Rate Risk. New Hope,

Pensylvania, 1996;
LOZARDO, Ernesto: Derivativos no Brasil. Fundamentos e

Prticas. So Paulo: BM&F, 1998;
Hull, John; Derivativos
Securato, Jos Roberto, Clculo Financeiro das Tesourarias -

Bancos e Empresas. Editora Saint Paul - Institute of Finance,
1999;
Sanvicente, Antonio Zoratto, Mercado de Capitais e

Estratgias de Investimentos. Editora Atlas, 1996;
Ross, Stephen A. e outros, Administrao Financeira -

Corporate Finance. Editora Atlas, 1995;
Neto, Lauro de Arajo Silva Neto, Derivativos, Editora Atlas,

1998;
Spinola, Noenio, O futuro do futuro. Editora Futura, 1997;
Marins, Andr, Mercados Derivativos e Anlise de Risco, A

M S Editora 2.004.

X. Curriculo Resumido do Autor
Engenheiro Civil, Mestre em Engenharia de Sistemas e

Computao (foco em otimizao) pela COPPE/UFRJ, Mestre
em Gesto de Empresas pelo ISCTE-Lisboa, especialista em
administrao financeira pela FGV-DF, MBA Risco pela
USP/FIPECAFI. Professor da FGV-DF desde 1999, Professor
da Universidade Catlica (ps-graduao) desde 2.000.
Funcionrio do Banco do Brasil por 25 anos onde exerceu os
cargos de Auditor, Gerente de Diviso em Controladoria,
Gerente de Auditoria, Gerente Executivo na rea de Crdito,
Gerente Geral da rea de Controles Internos e Diretor da rea
de Controles Internos. Foi membro do board of Directors da
BB Securities Londres e Conselheiro Fiscal da PREVI.

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Posio Vendida do Fundo de Investimento - 834 x 60.000 x 1 = 50.040.000,00

Valor do Ajuste do primeiro dia = 834.000,00

Momento 3: manha do dia 3 de julho

Na manha do dia 3 o fundo de investimento amanhece com uma posio aberta e

Preo do futuro para vencimento em 15/08/2007: 59.500

Negcio Fechado 20.000.000/59.500 = 337 contratos vendidos para o mesmo

Professor: Murilo Castellano 8

L pelas 16 horas, antes do fechamento do negcio com futuro de Ibovespa a corretora

Negcio Fechado 337 contratos comprados a 59.800 pontos.

Momento 5: ajuste dirio do dia 3 de julho

Ao final do dia 03 de julho o preo de fechamento de 59.600. Ento a clearing

Posiao Vendida do Cliente --- 834 x 59.000 x 1 = 49.206.000

Valor do Ajuste Dirio no segundo dia de posio em aberto - 601.500,00

E assim por diante. O fundo de investimento poder ordenar o encerramento de sua

Agora, um detalhe importante. Note que, antes vencimento, as posies de

Professor: Murilo Castellano 9

Na literatura no encontramos uma taxonomia nica para a questo do risco

Risco de crdito: probabilidade de que a contraparte em uma operao no venha

Risco de Mercado: probabilidade de variao de preos de mercadoria, taxa de

Risco Operacional: probabilidade de ocorrerem falhas em sistemas ou fraudes que

Risco Legal: Probabilidade de que a empresa tenha o resultado afetado por

I.4 Mercados de Bolsa e de Balco

Os mercados de Bolsas so mercados institucionalizados e mais sujeitos

Professor: Murilo Castellano 10

Membro de compensao o nome dado corretora que tem ttulos de participao

I.5 Os mercados e a liquidao Financeira das Operaes

Quando se compra uma mercadoria vista, geralmente, entrega-se "cash" e

Professor: Murilo Castellano 11

II. Mercado Futuro e Mercado a Termo

II.1 Diferena entre mercado a futuro e mercado a termo

Como dissemos no captulo anterior, a falta de padronizao do mercado a

II.2 Operao a termo

Professor: Murilo Castellano 12

Preo vista 44,00 47,42 48,00 50,00

Professor: Murilo Castellano 13

b) Operao Caixa arbitragem 1

Professor: Murilo Castellano 14

c) Operao Caixa com Aluguel arbitragem 2

Preo Spot da VALE5: 47,00;

No quadro 4 notamos os valores envolvidos na operao. Aqui colocamos alguns

Clula b14 tem a frmula: B6B2+C6C2+D6*D2