Aula 14 - Operações Com Potências PDF
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A UU
L AL A
A
14
Operaes com
potncias
Q
14
Introduo
a a = a
Se um nmero multiplicado por ele mesmo vrias vezes, temos uma
potncia.
potncia
a a a = a
3 fatores
a a a a = a4
(a elevado a 3 ou a ao cubo)
(a elevado a 4)
4 fatores
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A U aula
L A
Nossa
{{
14
4 fatores 3 fatores
7 fatores
EXEMPLO 1
Certa estrela est a 1,2 milhes de anos-luz do sol. Sabendo que 1 ano-luz
igual a 9,5 trilhes de quilmetros, determine, em quilmetros, a distncia entre
essa estrela e o sol. Pense um pouco antes de ver a soluo. Procure exprimir os
nmeros dados usando potncias de 10.
Vamos exprimir os nmeros dados usando nmeros decimais e potncias de 10.
Observe que:
mil
milho
bilho
trilho
=
=
=
=
1.000 = 103
1.000.000 = 106
1.000.000.000 = 109
1.000.000.000.000 = 1012
Ento,
1,2 milhes = 1,2 106
9,5 trilhes = 9,5 1012
Para calcular a distncia entre o sol e a outra estrela, devemos multiplicar
esses dois nmeros. Observe que vamos multiplicar os nmeros decimais e as
potncias de 10. Veja:
1,2 106 9,5 1012 = 1,2 9,5 106 1012 = 11,4 106 + 12 =
= 11,4 1018 km
Quando representamos um nmero por um decimal seguido de uma potncia de 10, estamos usando o que se chama de notao cientfica
cientfica. assim que os
cientistas representam nmeros muito grandes. Entretanto, eles tambm combinaram o seguinte: para que todos escrevam da mesma forma nunca escrevero
mais de um dgito na parte inteira do nmero decimal. Assim, um verdadeiro
cientista no escreveria a distncia 11,4 1018 km
km. Ele faria assim:
11, 4 . 1018 =
11, 4
10 1018 = 1,14 1019 km
10
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{
{
a6 a.a.a.a.a.a
=
= a6 -2 = a4
2
a
a.a
2 fatores
Cada fator do denominador cancelado com um fator do numerador. Ento
o nmero de fatores do resultado a diferena entre o nmero de fatores do
numerador e o nmero de fatores do denominador. Conclumos ento que, para
dividir potncias de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os
expoentes. Esse resultado, escrito de forma geral fica assim:
am
an
=a
m-n
Observao: Nesta identidade existe uma restrio para a letra a : ela pode
zero. Isso acontece porque impossvel
representar qualquer nmero, exceto o zero
a diviso por zero.
a 3 = a a a = a a a = a3
b b b b b b b b3
Estes resultados podem ser generalizados para um expoente qualquer
(ab)n = an . bn
a n = an
b bn
b0
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(a3) 4 = a3 a 3 a3 a 3 = a3 + 3 + 3 + 3 = a3 4 = a12
claro que a letra a apareceu como fator 12 vezes, que o produto dos
expoentes. Concluimos ento que quando uma potncia est elevada a algum
expoente, devemos manter a base e multiplicar os expoentes.
(am) n = a mn
Observao: O que acontece se o expoente for zero? Essa uma pergunta
freqente, e a resposta a seguinte. Quando definimos a n, o expoente n o
nmero de vezes que a letra a aparece como fator. Ento, n pode ser 1, 2, 3, 4 etc,
e o caso n = 0 no est includo na nossa definio. Portanto, a expresso a 0
precisa ser definida, ou seja, precisamos dar um significado para ela.
Definimos, ento:
a0 = 1
para todo a 0
Por que isso? Porque, com essa definio, as propriedades anteriores continuam vlidas. Observe.
1=
a a1
=
= a1-1 = a0
a a1
O expoente negativo
Devemos definir potncias de expoentes negativos, de forma que as propriedades anteriores permaneam vlidas. A definio conveniente a seguinte:
1
1
a- n = = n
a a
n
Observe que, com essa definio, as propriedades que vimos continuam a ser
usadas. Veja:
1
a0
=
= a0 - n = a - n
n
n
a
a
a3
= a3-5 = a-2
a5
a3
a a a
1
=
= 2
5
a
a a a a a a
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Observe:
0, 1 =
= 10
10
1
0, 01 =
100
1
0, 001 =
= 10
1000
1
0, 0001 =
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-1
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-2
= 10
-3
= 10
10000
-4
Ento, para representar, por exemplo, o nmero 0,0003 na nossa j conhecida notao cientfica, fazemos assim:
0, 0003 =
0, 0003 10
10
3
10
= 3 10
-4
EXEMPLO 2
Para tratar a gua consumida pela populao e diminuir a incidncia de
cries dentrias, muitos pases acrescentam flor gua que ser distribuida. A
proporo recomendada de 700g de flor para 1 milho de litros de gua.
Calcular:
a) a quantidade de flor em cada litro de gua;
b) se voc tem uma cisterna com 12.000 litros de gua no tratada, que
quantidade de flor voc deve acrescentar?
Pense um pouco antes de ver a soluo.
Este problema se resolve com regra de trs mas, conveniente escrever os
nmeros usando potncias de 10. Isso vai facilitar os clculos.
Soluo:
a) Sabemos que 1 milho igual a 106. Se x a quantidade de flor contida
em um litro de gua, temos a regra de trs abaixo:
700g
xg
Portanto, x =
106 litros
1 litro
1.700 7.102
=
= 7.102 -6 = 7.10-4
106
106
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Exerccios
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Exerccio 1
Escreva cada uma das expresses a seguir na forma de uma nica potncia
de base 2.
a) 25 23
b)
29
23
c) (23)5
d)
2 2 5
29
Exerccio 2
Escreva os nmeros a seguir utilizando um nmero decimal (ou inteiro)
multiplicado por uma potncia de 10.
a) 23.000
b)
c)
d)
b)2.000.000
c)0,04
d)0,000.015
Exerccio 3
2 3 4 5
Simplifique
86
Ateno: observe que 4 = 22 e 8 = 23
Exerccio 4
Simplifique 1005 10007 (1002)-4 10000-3
Exerccio 5
Escreva cada uma das expresses a seguir usando uma nica potncia de
base 3.
a)
a)3-2 3-5
b)
36
3 -4
c)
-2 5
5
d) 3 9
27 6
Exerccio 6
Calcule 2,4 10-6 5 10-3
Exerccio 7
O planeta Pluto, o mais afastado do sistema solar, est a 5900 milhes de
quilmetros de distncia do Sol. Escreva essa distncia:
a) em quilmetros usando um nmero decimal com 1 dgito na parte inteira
e uma potncia de 10;
b) em anos-luz.
Exerccio 8
Muitas fbricas lanam na atmosfera uma substncia chamada dixido de
enxofre. A Organizao Mundial de Sade estabeleceu que a quantidade
mxima dessa substncia no ar que respiramos deve ser de 4 10-5 gramas em
cada metro cbico de ar. Acima desse valor o ar considerado poludo. Certo
dia, em uma amostra de 2,5m3 de ar de Sorocaba (SP) havia 0,135 10-3 gramas
de dixido de enxofre. O ar de Sorocaba estava poludo ou no?