Matematica Financeira
Matematica Financeira
Matematica Financeira
MATEMTICA FINANCEIRA
Professor
Roberto Bayestorff
atendimento.ecp@gmail.com
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MATEMTICA FINANCEIRA
Juros simples
Conceitos bsicos
A Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de
bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemticos para simplificar a operao financeira a um Fluxo
de Caixa.
Capital
O Capital o valor aplicado atravs de alguma operao financeira. Tambm conhecido como: Principal, Valor
Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em ingls usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas
calculadoras financeiras).
Juros
Juros representam a remunerao do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser
capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre calculado sobre o capital inicial
emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do saldo no incio de
correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo incorporado ao capital inicial e
passa a render juros tambm.
O juro a remunerao pelo emprstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo
imediato, e est disposta a pagar um preo por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar at possuir a quantia
suficiente para adquirir seu desejo, e neste nterim estiver disposta a emprestar esta quantia a algum, menos paciente,
deve ser recompensado por esta abstinncia na proporo do tempo e risco, que a operao envolver. O tempo, o risco
e a quantidade de dinheiro disponvel no mercado para emprstimos definem qual dever ser a remunerao, mais
conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operaes envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Esto includas: compras a mdio e longo prazo,
compras com carto de crdito, emprstimos bancrios, as aplicaes financeiras usuais como Caderneta de Poupana
e aplicaes em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: o caso das
operaes de curtssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remunerao ser paga ao dinheiro emprestado, para um determinado perodo. Ela vem
normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificao do perodo de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
2
____________
Outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual a taxa percentual dividida por 100, sem o
smbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao ms).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
24.3 Clculo dos juros simples e do montante
Juros a remunerao paga pela aplicao de um capital.
Montante , por definio, a soma do capital com os juros.
Chamamos de regime de juros simples aquele onde se admite que os juros so diretamente
proporcionais ao tempo e a taxa da operao indicada. Neste regime, s o capital rende juros.
J= C . i . t
100
M=C+J
Pra que possamos usar as frmulas acima, devemos nos lembrar que a taxa e o tempo sempre devem ser
expressos na mesma unidade de tempo.
Assim, se temos a taxa expressa ao ms, por exemplo, devemos exprimir o tempo em meses, tambm, e vice-versa.
Taxas proporcionais
Dizemos que duas taxas so proporcionais quando seus valores formam uma proporo direta com os respectivos
tempos, considerados numa mesma unidade. Desta forma, 60% a. e 5 a.m. so taxas proporcionais. Pois
60 % = 5 % aplicando o princpio fundamental das propores e considerando
12
o ano = 12 meses, teremos uma identidade
Taxas equivalentes
Dizemos que duas taxas so equivalentes quando produzem os mesmos juros, desde que sejam aplicadas ao mesmo
capital e ao mesmo perodo de tempo.
Convm lembrar que no regime de juros simples as taxas equivalentes sempre sero proporcionais.
Prazo mdio
Dado um conjunto com duas ou mais aplicaes a juros simples, cada qual com seus prprios valores de capital, taxa e
tempo, dizemos que prazo mdio um prazo nico tal que, substituindo os prazos de cada uma das aplicaes dadas,
produzir o mesmo total de juros das aplicaes originais.
Ex. Trs capitais de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados s taxas de juros simples de 2%, 3% e 4%
ao ms durante 3 meses, 2 meses e 1 ms, respectivamente. Qual o prazo mdio para estas trs aplicaes ?
PRAZOS
(meses)
CAPITAIS (R$)
TAXAS (%)
PRODUTOS
PESOS
3
____________
Morgado
3
2
1
1000
2000
3000
2
3
4
3 . 1000 . 2 = 6000
2 . 2000 . 3 = 12000
1 . 3000 . 4 = 12000
1000 . 2 = 2000
2000 . 3 = 6000
3000 . 4 = 12000
Taxa mdia
Taxa mdia uma nica taxa tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicaes dadas, produzir o mesmo juro
total das aplicaes originais.
Utilizando os dados do exemplo anterior, temos:
TAXAS (%)
CAPITAIS (R$)
3
2
1
1000
2000
3000
PRAZOS
(MESES)
2
3
4
PRODUTOS
3 . 1000 . 2 = 6000
2 . 2000 . 3 = 12000
1 . 3000 . 4 = 12000
PESOS
1000 . 2 = 2000
2000 . 3 = 6000
3000 . 4 = 12000
- Qual a taxa anual que um capital de R$ 1.440,00 rende R$ 33,00 de juros em 2 meses e 15 dias ? R. 11 % a. a.
- Para que taxa um capital produz 1/5 do seu valor em 2 anos ? R. 10% a. a.
- Calcule o tempo para que uma quantia depositada a 12% a.a. triplique. R. 16 a e 8 m
- Depositei certa importncia a 5% a. a. . No fim do primeiro ano, somei os juros ao capital e depositei a soma a 6%
a. a., recebendo no fim do ano o juro de R$ 1.260,00. Que quantia foi inicialmente depositada ? R. R$ 20.000,00
- Um capital de R$ 100,00 rendeu juros de R$ 10,80 em 90 dias. Quanto renderia em 12 meses, a uma taxa mensal
0,1% maior do que a primeira ? (Banco do Brasil)
a) R$ 26,40 b) R$ 42,00 *c) R$ 44,40 d) R$ 55,20 e) R$ 79,20
- Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante ser de R$ 63.000,00. Caso a aplicao
durasse 13 meses, seu montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada ? (Banco do Brasil)
a) 4% *b) 5% c) 6% d) 7% e) 8%
R. R$ 360,00
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10 - Um capital foi aplicado durante 5 meses taxa de 8% a. m. . Seu montante foi retirado e aplicado a 10% a. m.
durante 3 meses. Qual a taxa nica, na forma unitria, que poderia ser aplicado esse capital, durante o prazo total
para que no final desse prazo o montante fosse o mesmo?
a) 0,105 *b) 0,1025 c) 0,10 d) 0,0092 e) 0,087
11 - Uma pessoa coloca 2/3 dos seus haveres a 6% a. a. e o resto a 5% a. a., recebendo um juro anual de R$ 340,00.
Calcule o capital aplicado. R. R$ 6.000,00
12 - Um investidor aplicou 1/4 do seu capital a 36% a. a.; 2/3 do mesmo a 48% a. a. e o restante a 60% a.a. Aps 1 ano
e 8 meses recebeu R$ 618.930,00 de juros. O capital inicial era: ( Fiscal de Tributos SC )
a) R$ 897.000,00 b) R$ 742.716,00 c) 742.776,50 *d) 807.300,00 e) 807.300,50
13 - Eu tinha certo capital para investir. Apliquei 2/3 dele a 9% a. m. durante 1 trimestre; 1/5 dele a 8% a.m. durante dois
bimestres e o restante 10% a. m. durante um certo prazo. Que prazo foi esse se o juro total obtido foi igual a 30% do
capital que eu tinha para investir ? ( C.E.F. )
a) 6 m b) 5 m 3 d
c) 4,5 m * d) 4 m 6 d e) 4 m2 d
14 - Arno, Carlos, Dcio e Evaldo investiram um total de R$ 23.540,00 durante 1 ano, 1 ms e 10 dias, taxa de 54% a.
a. . Ao receberem os juros, Carlos recebeu R$ 1.240,00 a mais que Arno; Dcio recebeu R$ 620,00 a menos que
Carlos e Evaldo, R$ 440,0 a menos que Dcio. Assinale a alternativa correta: ( Fiscal de Tributos SC )
a) Arno investiu R$ 7.101,00 b) Arno investiu R$ 5.035,00
*c) Arno investiu R$ 5.335,00 d) Arno investiu R$ 3.021,00
e) Arno investiu R$ 7.335,00
15 - Um capital colocada, parte a 4% a. a. e parte a 5,5% a. a., d um juro anual de R$ 2.475,00. Se a parte colocada a
4% a. a. fosse colocada a 5,5% a. a. e vice-versa, o juro seria de R$ 2.370,00. Calcule o capital total investido. R. R$
51.000,00
16 - Um capital aplicado a juros simples no dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24 %
ao ano. Nessas condies calcule o juro simples exato ao fim do perodo, como percentagem do capital inicial,
desprezando as casas decimais superiores segunda. (Auditor de Tributos Municipais Fortaleza -CE)
a) 4,70 % b) 4,75 % *c) 4,80 % d) 4,88 % e) 4,93 %
17 - Se no houvesse inflao e se a capitalizao dos rendimentos da caderneta de poupana fosse simples, a taxa de
juros seria ento de 5 % ao ms. Admitindo isso, o tempo t, em anos, necessrio para que um depsito em caderneta
de poupana, aplicado taxa mensal de 0,5 %, produza juros simples iguais a 150 % de seu valor, satisfaz
condio (Ministrio Publico da Unio )
a) t < 10 b) 10 = t < 20 c) t = 20 *d) 20 < t < 30
e) t = 30
18 - Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem
efetuados, juros mais principal, $ 1.400,00. As condies contratuais prevem que o pagamento deste
financiamento ser efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos
pagamentos, ser paga ao final do quarto ms, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos
pagamentos, ser paga no final do dcimo primeiro ms. O valor que mais se aproxima do valor financiado :
a) $ 816,55 * b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00
19 - Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado.
Este financiamento foi contratado h 30 dias, a uma taxa de juros simples de
2% ao ms. A instituio financeira no cobra custas nem taxas para fazer
estas alteraes. A taxa de juros no sofrer alteraes.Condies pactuadas
inicialmente: Pagamento de duas prestaes iguais e sucessivas de $
11.924,00, a serem pagas em 60 e 90 dias.
Condies desejadas: O pagamento em trs prestaes iguais - a primeira no
final do10 ms; a segunda ao final do 30 ms; a terceira ao final do 70 ms.
Caso sejam aprovadas as alteraes, o valor que mais se aproxima do valor
unitrio de cada uma das novas prestaes :
a)
$ 8.200,00
b) $ 9.333,33
c)
$ 10.752,31
* d)
$ 11.200,00 e)
12.933,60
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19 - Uma pessoa deposita uma determinada importncia numa instituio financeira. No final de trs meses, ao encerrar
sua conta, verificou que o valor inicialmente depositado, acrescido dos juros creditados, totalizava R$ 11.500,00.
Esse valor , ento, integralmente depositado, em outra instituio financeira por um prazo de cinco meses. No final
desse perodo o montante acumulado na segunda instituio financeira totalizava R$ 14.375,00. Sabendo-se que
ambas as instituies remuneram seus depsitos a juros simples e a uma mesma taxa, determinar o valor do
depsito inicial na primeira instituio e a taxa de juro das duas instituies.R.: 5% e 10.000
20 Um investidor aplicou 5/6 do seu capital a juros simples comerciais, de 36 % a. a. , durante 4 meses e o restante do
capital tambm aplicou a juros simples comerciais, taxa de 72 % a. a., durante 8 meses. Qual o valor do capital
inicial total se a soma dos montantes recebidos das duas aplicaes totalizou R$ 212.400,00 ? ( AFTN )
a) R$ 160.000,00 b) R$ 192.000,00 c) R$ 168.000,00
*d) R$ 180.000,00 e) R$ 200.000,00
21 - Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juro simples, em 4 anos, qual a taxa unitria
aplicada ?
a) 0,12
b) 0,15 * c) 0,125 d) 0,128 e)N.R.A.
22 - Trs capitais so colocados a juro simples, o primeiro a 25% aa, durante 4 anos; o segundo a 24% a.a, durante 42
meses e o terceiro a 20% aa durante 2 anos e 4 meses, perfazendo um rendimento total de R$ 27.591,80 . Sabendo
que o segundo capital o dobro do primeiro e que o terceiro o triplo do segundo, calcule o valor do terceiro capital.
R. R$ 30.210,00
23 - H cinco meses passados, um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado taxa de 7% ao ms. Se aplicarmos hoje um
capital de R$ 1.800,00 taxa de 10% ao ms, daqui a quantos meses os dois capitais tero produzido juros iguais ?
R.: 7
24 - Um capital aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples
ordinrio de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condies, calcule o capital aplicado,
desprezando os centavos. (AFTN 98)
a) R$ 4.067,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.996,00 *d)R$ 3.986,00 e) R$ 3.941,00
25 - A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente
ano. Calcule os juros obtidos, taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.(AFTN 98)
*a) R$ 720,00 b) R$ 725,00 c) R$ 705,00 d) R$ 715,00 e) R$ 735,00
27- Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros
simples de 6% ao ms, 4% ao ms e 3,25% ao ms, respectivamente. Calcule a taxa mdia de aplicao desses capitais. (AFTN 2002)
a) 4,83% a.m. b) 3,206% a.m. c) 4,4167% a.m. * d) 4% a.m. e) 4,859% a.m.
28 - Durante o ms de abril, um capital de R$ 20.000,00 foi colocado no open market (sistema de juros simples) pelo
prazo de 24 dias, tendo produzido um montante de
R$ 24.800,00. A taxa anual de juros simples a que esse capital
esteve aplicado foi de: (TCI PI/2000)
a) 30% b) 80% c) 120% *d) 360% e) 720%
29 - Um aplicador investiu R$ 12.000,00 numa instituio financeira, no perodo de 6 meses, taxa de juros simples de
24 % ao ano. O montante recebido foi de (Ass. Adm. BRDES 2001)
a) R$ 12.640,00 *b) R$ 13.440,00 c) R$ 16.800,00 d) R$ 25.440,00 e) R$ 29.280,00
30 - Uma pessoa aplicou o valor de R$ 3.000,00 no mercado financeiro e, aps 12 dias, recebeu juros de R$ 72,00. A
taxa de juros simples dessa aplicao foi de: (Ass. Adm BRDES 2001 )
a) 0,06% ao ms. b) 0,06% ao dia. c) 0,6% ao ms. d) 0,6% ao dia. *e) 6 % ao ms.
31 - Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados mesma taxa de juros simples mensal
durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo mdio de aplicao desses capitais. (AFTN 98)
a) Dois meses e meio b) Trs meses e dez dias * c) Dois meses e vinte e um dias
d) Trs meses e nove dias e) Trs meses
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32- (AFPS-2002) Uma pessoa fsica recebeu um emprstimo de um banco comercial no valor de R$ 10.000,00 por um
prazo de trs meses para pagar de volta este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa s
pode usar em proveito prprio 75% do emprstimo, porque, por fora do contrato, usou o restante para fazer uma
aplicao no prprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos trs meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga
pela pessoa fsica sobre a parte do emprstimo que utilizou em proveito prprio.
a) 12% ao trimestre
b) 14% ao trimestre
c) 15% ao trimestre
d) 16% ao trimestre
e) 18% ao trimestre X
Desconto simples
Desconto o abatimento que uma dvida sofre quando ela paga antes do vencimento.
O documento que atesta uma dvida chamado genericamente de ttulo de crdito.
So exemplos de ttulos de crdito as notas promissrias, duplicatas e as letras de cmbio.
Valor nominal o valor do ttulo de crdito, ou seja, o seu valor de face.
Valor atual o valor pelo qual o ttulo acabou de ser negociado. De outra forma, o valor pago.
Quando tomamos como referncia o valor nominal, temos o desconto comercial ou por fora.
Caso a referncia seja o valor lquido, temos o desconto racional ou por dentro.
Quando no se menciona o tipo de desconto, adota-se o comercial.
Temos, ento
D=V.i.t
100
d= V. i . t
100 + i t
i = taxa t = tempo
Exerccios
1 - A que taxa anual uma letra de R$ 250,00, paga 25 dias do vencimento, foi descontada se o desconto obtido foi de
R$ 5,00 ? R. 28,8 % a.a.
2 - Calcule o valor atual de uma letra de R$ 17.400,00 descontada a 6 7/8 % a.a. , 1 ano 2 meses e 4 dias antes do
vencimento. R. R$ 15.991,09
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3 - Calcule o desconto racional de uma letra de R$ 250.000, a 6% a. a., que paga a 7 de agosto, sendo a sua data
de vencimento no dia 18 de outubro mesmo ano.
4 - Um ttulo de R$ 182.700,00 descontado a 9% a. a., 60 dias antes do vencimento. Calcule a diferena entre os
descontos comercial e racional. R. R$ 40,50
5 - Calcule o tempo que foi antecipado o pagamento de um ttulo de R$ 25.600,00, a uma taxa de 6% a. a., sendo que
foi pago R$ 23.722,70. R. 1a 2m 20 d
6 - Uma duplicata de R$ 180.900,00, a 6% a. a., foi paga um ms antes do vencimento. Calcule o desconto racional. R.
R$ 900,00
7 - Calcule a diferena entre os descontos comercial e racional, a 8% a. a., sobre um ttulo de R$ 12.000,00 pago 50
dias antes do vencimento. R. R$ 1,46
8 - Uma letra sofre um desconto racional a 9% a. a. , de R$ 3.600,00, com vencimento para 60 dias. Calcule o
desconto comercial. R. R$ 3.654,00
9 - Uma letra de R$ 1.200,00, com vencimento para 15 de agosto, foi paga em 6 de julho, com desconto comercial de 9
% a. a. Calcule o valor pago. R. R $ 1.187,33
10 - Voc desconta em um banco uma letra de R$ 90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a 3 % a. a. e paga ao
banco 1 1/8% sobre o valor nominal de comisses. Qual o valor lquido produzido pelo ttulo ?
11 - Uma Nota Promissria no valor de R$ 5.300,00 foi comprada, numa financeira, por R$ 5.000,00. Se a taxa de juros
simples exigida pelo comprador foi de 18% ao ano, sob o critrio do desconto racional, ento o vencimento dessa Nota
Promissria era de (Ass. Adm BRDES 2001)
a)
12 -Uma empresa devedora, em um banco, de dois ttulos de crdito, um no valor de R$ 1.000,00 vencvel em 2 meses
e outro no valor de R$ 3.000,00 vencvel em 6 meses. O banco, cuja taxa de juros de 12 % ao ano, aceita a liquidao
da dvida em um pagamento nico vencvel em 8 meses. Adotando o critrio do desconto comercial simples, o valor
desse pagamento (Ass. Adm BRDES 2001)
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a)
e) R$ 5.000,00
13 - a promissria de R$240.000,00 descontada em um banco 60 dias antes do vencimento pelo desconto comercial
simples, aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Se a operao resulta em uma taxa linear efetiva de desconto
de 12,5% ao ms, a taxa mensal de desconto comercial simples praticada pelo banco de (TCI RJ 1999)
a) 15,0 % b) 10,0 % c) 9,5 % d) 8,5 % e) 6,5 %
14 - O desconto comercial simples de um ttulo quatro meses antes do seu vencimento de R$ 600,00. Considerando
uma taxa de 5% ao ms, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. (AFTN 1998)
a) R$ 400,00
b) R$ 600,00
c) R$ 800,00
d) R$ 700,00
e) R$ 500,00
15 - O desconto racional simples de uma nota promissria, cinco meses antes do vencimento, de R$800,00, a uma taxa
de 4% ao ms. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto , considerando o mesmo ttulo, a mesma taxa
e o mesmo prazo.(AFTN 2002)
a) R$ 960,00 b) R$ 666,67 c) R$ 973,32 d) R$ 640,00 e) R$ 800,00
b) 10,44%
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JUROS COMPOSTOS
Chamamos de regime de juros compostos aquele onde os juros de cada perodo so calculados sobre o
montante do perodo anterior.
n
S=P(1+i)
12
360
( 1 + i a) = ( 1 + i s) = ( 1 + i q) = ( 1 + i t) = ( 1 + i b) = ( 1 + i m) = ( 1 + id)
ia = taxa anual is = taxa semestral iq = taxa quadrimestral it = taxa trimestral
ib = taxa bimestral im = taxa mensal id = taxa diria
Exerccios
1 ) Calcule o montante produzido por um capital de UM$ 1.000,00 aplicado a 2 % a.m. capitalizado mensalmente,
durante 10 meses. R.: UM$ 1.218,99
2) Calcule o montante produzido por um capital de UM $ 5.000,00 aplicado a 36 % a.a., capitalizado mensalmente,
durante um semestre. R.: UM $ 5.970,26
10
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3) No final de 2 anos, uma pessoa dever efetuar um pagamento de UM $ 200.000,00 referente ao valor de um
emprstimo contrado hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% a.m., capitalizados
mensalmente. Calcule o valor do emprstimo. R.: UM $ 78.024,29
4) Um capital de UM $ 300.000,00 foi aplicado a 3 % a.m., capitalizado mensalmente, produzindo um montante de UM $
427.728,26. Qual o tempo em que esteve aplicado?
R.: 1 ano
5 ) Um capital de UM $ 100.000,00 foi aplicado a 5 % a.m., capitalizado mensalmente, produzindo um montante de UM $
322.509,44. Qual o tempo em que esteve aplicado? R.: 2 anos
6 ) O montante de UM $ 296.048,85 foi obtido atravs da aplicao de um capital de UM $ 200.000,00 durante 10
meses. Qual foi a taxa mensal de aplicao ?
R.: 4 % a.m.
7 ) Um capital de UM $ 100.000,00 aplicado durante 1 ano produziu um montante de UM $ 179.585,93. A que taxa
mensal esteve aplicado ? R.: 5 % a.m.
8) Calcule o montante obtido atravs da aplicao UM $ 4.000,00, a juros compostos de 6,3 % a. a., ao final de 4 anos.
9) Calcule o montante obtido, pela aplicao de UM $ 1.000.000,00, aplicado a 1,8 % a. m. , capitalizados
mensalmente, durante 2 anos.
10) Calcule o montante produzido pela aplicao de um capital de UM $ 5.000,00 durante 2 anos, a uma taxa de 2,5 %
a.b., capitalizados bimestralmente.
11) Calcule o montante obtido atravs da aplicao de UM $ 2.000,00, a 5% a.a. , a juros compostos, durante 5 a 8 m.
12) Calcule o capital aplicado a 5 % a. a., a juros compostos, sendo que o montante obtido no fim de 4 a 2 m 20 d foi de
UM $ 4.000,00.
13) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 3.000,00, a juros compostos semestralmente a 6% a.a., durante
12 anos. R. R$ 6.098,37
14) Qual a taxa anual equivalente a 2,956 % semestrais?
15) Calcule as taxas semestrais equivalente e proporcional a 6 % a. a.
16) Coloquei a metade de certo capital a 5 % a. a., capitalizados semestralmente, durante 4 anos.Emprestei a outra
metade a juros simples durante o mesmo perodo a 6 % a. a..
Podemos afirmar que:
a) O melhor negcio foi o emprstimo a juros compostos.
b) O emprstimo a juros simples rendeu 10 % a mais que o feito a juros compostos.
c) O melhor negcio foi no emprstimo a juros simples.*
d) O emprstimo a juros compostos gerou 50 % dos juros obtidos pela aplicao do total do capital.
17) No trmino de 9 anos, retirei um montante de R$ 270.000,00 resultante da aplicao de R$ 150.000,00 Calcule a
taxa.
18) Uma pessoa aplicou um capital de R$ 20.000,00 durante 4 anos taxa nominal de 14% ao ano
capitalizada
semestralmente. Ao trmino desse perodo, somente os juros ganhos, foram reaplicados por 15 meses taxa nominal de
12% ao trimestre capitalizada mensalmente. Qual o rendimento dessa ltima aplicao? (TCI RJ 1999)
a) R$ 10.308,29 b) R$ 11.504,53 c) R$ 12.718,97
d ) R$ 12.856,78 e) R$ 13.082,56
19) Dois capitais foram aplicados pelo prazo fixo de 2 anos. O primeiro taxa nominal de 20% ao ano capitalizada
semestralmente e o segundo, a 16% ao semestre capitalizada trimestralmente. Sabendo-se que ao trmino do prazo os
juros ganhos pelos dois capitais totalizaram R$ 2.042,14, e que o primeiro capital R$ 1.000,00 maior do que o segundo,
o valor de cada capital ,respectivamente, (TCI RJ 1999)
a) R$ 2.000,00 e R$ 1.000,00 b) R$ 2.180,00 e R$ 1.180,00
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c) 25%
d) 26,906%
e) 27,05% X
30 - (AFPS-2002) Calcule o montante obtido ao fim de dezoito meses por um capital unitrio aplicado a uma taxa de juros
nominal de 36% ao ano com capitalizao mensal.
a) 1,54
b) 1,7024 X
c) 2,7024
d) 54%
e) 70,24%
FLUXO DE CAIXA
Fluxo de caixa um objeto matemtico que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e
os efeitos da anlise de uma certa aplicao, que pode ser um investimento, emprstimo, financiamento, etc.
Normalmente, um fluxo de caixa contm Entradas e Sadas de capital, indicadas em uma linha de tempo com incio no
instante t=0.
Um tpico exemplo o grfico:
...
n-1
S1
S2
S3
...
Sn-1
Sn
que representa um emprstimo bancrio realizado por uma pessoa de forma que ela restituir este emprstimo em n
parcelas iguais nos meses seguintes. Observamos que Eo o valor que entrou no caixa da pessoa (o caixa ficou
positivo) e S1, S2, ..., Sn sero os valores das parcelas que sairo do caixa da pessoa (negativas).
No Fluxo de Caixa do banco, as setas tm os sentidos mudados em relao ao sentidos das setas do Fluxo de Caixa
da Pessoa. Assim:
E1
...
n-1
En
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So
O fato de cada seta indicar para cima (positivo) ou para baixo (negativo), assumido por conveno, e o Fluxo de
Caixa depender de quem recebe ou paga o Capital num certo instante, sendo que:
1. t=0 indica o dia atual;
2. Ek indica a Entrada de capital num momento k;
3. Sk indica a Sada de capital num momento k.
Observao: Neste trabalho, o ponto principal a construo de Fluxos de Caixa na forma grfica e pouca ateno
dada resoluo dos problemas. Caso voc tenha algum Fluxo de Caixa interessante que valha a pena ser tratado,
envie a sua sugesto.
Exemplos importantes
Na sequncia, iremos apresentar uma coleo de situaes e construiremos os Fluxos de Caixa das mesmas (do
ponto de vista da pessoa).
Tais situaes so muito comuns nas operaes financeiras.
1. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar R$11.000,00 daqui h um ms.
Fluxo de Caixa 01
10.000
11.000
2. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar em duas parcelas iguais e seguidas de R$6.000,00 a partir
do prximo ms.
Fluxo de Caixa 02
10.000
6.000
6.000
3. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar R$ 5.500,00 em 30 dias e R$6.500,00 em 60 dias.
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Fluxo de Caixa 03
10.000
5.500
6.500
4. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagar R$ 1.000,00 em 15 parcelas iguais a partir do ms
seguinte.
Fluxo de Caixa 04
10.000
...
14
15
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
5. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagar em 24 parcelas de R$ 876,54 a partir do ms
seguinte.
Fluxo de Caixa 05
16.000
...
23
24
876,54
876,54
876,54
876,54
876,54
6. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagar o mesmo em 24 parcelas de R$ 840,00 a partir
de hoje.
Fluxo de Caixa 06
16.000
...
23
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840,00
840,00
840,00
840,00
840,00
7. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagar em 20 parcelas variveis que comeam com R$
500,00 e vo aumentando R$100,00 a cada ms, sendo a primeira parcela paga a partir do ms seguinte.
Fluxo de Caixa 07
12.000
...
19
20
500
600
...
2.300
2.400
8. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagar em 20 parcelas variveis que comeam com R$
500,00 e vo aumentando R$100,00 a cada ms, sendo a primeira parcela paga j no momento inicial.
Fluxo de Caixa 08
12.000
...
18
19
500
600
700
...
2.300
2.400
S=R
n
(1+i)1
i
onde
n
(1+i)
i
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onde
i
n
(1+i)1
i
n
(1+i)1
n
i(1+i)
n
(1 + 1) 1
onde
P=R
onde
n
1+i)-1
n
i(1+i)
Exerccios
1 ) Um emprstimo de R$ 30.000,00 concedido por uma instituio financeira para ser liquidado em 12 prestaes
iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros de 3% a.m., capitalizado mensalmente, calcular o valor
das prestaes. R. R$ 3013,80
2 ) Determinar a que taxa foi firmada uma operao de emprstimo de R$ 100.000,00 para ser quitado em 12 prestaes
mensais, iguais e consecutivas de R$ 12.270,87 cada uma.
3 ) Uma pessoa depositou, anualmente, R$ 500,00, num Fundo de Renda Fixa , em nome do filho, que paga juros de
6% a.a. O primeiro depsito foi feito no dia em que o filho completou 1 ano, e o ltimo, por ocasio do 18 aniversrio. O
dinheiro ficou depositado at o dia em que o filho completou 21 anos, ocasio em que o montante foi sacado. Calcule o
valor do saque. R. R$ 18.404,56
4 ) Calcule o valor atual do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de desconto de 3% a.m. R. R$ 7.667,60
R = 1000
R = 1000
10
5 ) Calcule o valor atual do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de desconto de 5% a.m. R. R$ 11.267,67
R = 2000
R = 1000
10
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6 ) Calcule o valor atual do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de desconto de 4% a.m. R. R$ 13.384,65
R = 2000
3000
R = 1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7) Uma determinada instituio realiza operaes financeiras com uma taxa efetiva de 3% a.m. O financiamento pode ser
pago de duas maneiras:
a) Em prestaes mensais iguais R. R$ 1.004,6
b) Em prestaes trimestrais iguais. R. R$ 3.105,2
Determinar o valor dessas prestaes para um financiamento de R$ 10.000,00.
8 ) Um indivduo deseja vender um terreno de sua propriedade por R$ 400.000,00 vista, porm concorda em financiar
50% do valor em um ano, taxa de 1% a.m., atravs de um dos seguintes planos:
a) Doze prestaes mensais de R$ 10.000,00 e mais duas parcelas semestrais iguais, a serem determinadas. R. R$
47.799,66
b) Duas parcelas semestrais de R$ 80.000,00, mais doze prestaes mensais iguais, a serem determinadas.
Calcular os valores desconhecidos em ambos os planos.
9) Mrcio e Daniela ficaram noivos e pretendem casar dentro de 20 meses. Como acham mais aconselhvel adquirir
vista todos os mveis necessrios, pretendem fazer aplicaes mensais, cujo montante dever ser sacado 3 meses
antes do casamento para a devida compra. Sabendo-se que:
a) Essa aplicao rende 3% a.m.
b) O montante desejado de R$ 80.000,00 ( valor que os mesmos estimam para os mveis daqui a 17 meses).
c) O casal aplicou, hoje, R$ 10.000,00.
Qual ser o valor de cada uma das 17 prestaes mensais, iguais e consecutivas, necessrias para totalizar um
montante de R$ 80.000,00 no final de 17 meses?
10) A aplicao de R$ 3.700,00 por ms gerou, no final de 14 meses, um montante de R$ 51.700,00. Determinar a taxa
de rendimento da operao.
11) Quantas prestaes mensais, iguais e consecutivas de R$ 4.500,00 deverei aplicar para ter um montante de R$
100.000,00, taxa de 2% a.m.? O montante poder ser atingido atravs de uma srie uniforme?
A tabela abaixo contm nmeros elevados a potncias especficas que podero ser usados para facilitar seus clculos na
resoluo desta prova. Alguns resultados podem apresentar diferenas de + ou - 0,01, posto que valores em moeda
corrente devem ter apenas 2 casas decimais. (Use essa tabela para as questes 12 16 Questes do concurso para
AFTN)
(1,04) = 1,0816 (1,04) = 1,1248 (1,04) = 1,1698 (1,04) = 1,2166 (1,04) = 1,2653 (1,04) = 1,3159 (1,04) = 1,3685 (1,04) = 1,4233
10
(1,04) = 1,4802
2
(1,09) = 1,5386 ( 1,09) = 1,6771 (1,09) = 1,8280 (1,09) = 1,9925 (1,09) = 2,1718
10
(1,09) = 2,3673
2
(1,10) = 1,6105
10
(1,10) = 2,5937
2
(1,20) = 2,4883
10
(1,20) = 6,1917
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12) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento e paga mais 4 prestaes
mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituio financiadora cobra uma taxa de juros de 120%
a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informaes podemos afirmar que o valor que mais
se aproxima do valor vista do equipamento adquirido :
a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95,23
13) Uma pessoa tomou um emprstimo taxa de 4% a.m., com juros capitalizados mensalmente.este emprstimo deve
ser pago em duas parcelas mensais e iguais de $ 1.000,00, daqui a 13 e 14 meses, respectivamente. O valor que mais
se aproxima do valor de um nico pagamento no dcimo quinto ms, que substitui estes dois pagamentos :
a) $ 2.012,00 b) $ 2.121,00 c) $ 2.333,33 d) $ 2.484,84 e) $ 2.516,16
14) Um emprstimo de $ 20.900,00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e
dever ser liquidado atravs de 2 prestaes trimestrais, iguais e consecutivas ( primeiro vencimento ao final do
primeiro trimestre, segundo vencimento no final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitrio
de cada prestao :
a) $ 10.350,00 b) $ 10.800,00 c) $ 11.881,00 d) $ 12.433,33 e) $ 12.600,00
15) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000,00 taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros
compostos) A empresa pagou $ 6.000,00 ao final do primeiro ms e $ 3.000, ao final do segundo ms. O valor que
dever ser pago no final do terceiro ms para liquidar o financiamento (juros + principal) :
a) $ 3.250,00 b) $ 3.100,00 c) $ 3.050,00 d) $ 2.975,00 e) $ 2.750,00
16) Uma empresa contraiu um emprstimo no regime de juros compostos, taxa de 2,5 % a.m. , para ser liquidado em
dois pagamentos. O primeiro pagamento ser de R$ 400.000,00 e dever ocorrer no final do sexto ms. O segundo
pagamento ser de R$ 800.000,00 e dever ocorrer no final do dcimo ms. Esse emprstimo poderia, entretanto,
ser liquidado em um nico pagamento de R$ 1.404.667,20. Determinar em que ms deveria ser efetuado esse
pagamento, para que a taxa de 2,5 % a. m. fosse mantida.
17) Uma pessoa deseja fazer uma aplicao financeira, a juros compostos de 2% ao ms, de forma que possa retirar de
R$ 10.000,00 no final do sexto ms e R$ 20.000,00 no final do dcimo segundo ms. Qual o valor da aplicao que
permite a retirada desses valores nos meses indicados. R. R$ 24.649,61
18) Uma empresa tem uma dvida com um Banco de Investimentos que dever ser liquidada em dois pagamentos, sendo
o primeiro de R$ 150.000,00 no final do dcimo segundo ms e o segundo de R$ 250.000,00 no final do dcimo
oitavo ms Sabendo-se que nesses dois valores j foram computados juros compostos a uma taxa de 4% ao ms,
determinar:
a) o valor que deve ser pago ao banco para a quitao imediata da dvida;
b) os valores de dois pagamentos iguais, no final do nono e do dcimo oitavo meses, que poderiam ser aceitos pelo
Banco como uma reformulao da dvida, mesma taxa de juros.
19) Uma empresa contraiu um emprstimo no regime de juros compostos, taxa de 2,5% ao ms, para ser liquidado em
dois pagamentos. O primeiro pagamento ser de Cr$ 400.000,00 e dever ocorrer no final do sexto ms. O segundo
pagamento ser de Cr$ 800.000,00 e dever ocorrer no final do dcimo ms. Esse emprstimo poderia, entretanto,
ser liquidado com um nico pagamento de Cr$ 1.404.677,20. Determinar em que ms deveria ser efetuado esse
pagamento, para que a taxa de 2,5% ao ms fosse mantida.
20) Um Banco de Investimento deseja realizar um emprstimo para uma determinada empresa, que dever liquid-lo no
final do nono ms pelo valor de R$ 1.304.773,18. Determinar o valor que deve ser abatido no ato da contrao, uma
vez que a empresa deseja limitar esse pagamento final em R$ 1.200.000,00, sabendo que o banco opera no regime
de juros compostos, taxa de 5% ao ms.
21) Uma pessoa deseja obter um emprstimo para adquirir um automvel, cujo valor, a vista, de R$ 300.000,00. Para
diminuir o valor das prestaes poder dar uma entrada de R$ 100.000,00 por ocasio da compra. Determinar o valor
das 24 prestaes mensais, iguais e sucessivas, para a parte financiada, sabendo-se que a Agncia de Automvel
cobra uma taxa de 60% ao ano, capitalizados mensalmente.
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22) Uma pessoa dispe mensalmente de R$ 15.000,00, para pagar as doze prestaes mensais, iguais e sucessivas,
relativas a um financiamento de um bem, cujo valor vista, de R$ 200.000. Calcular o valor que deve ser dado de
entrada, para que o financiamento seja contratado a uma taxa de 36 % ao ano, capitalizados mensalmente.
23) Uma pessoa pretende ter disponvel um capital de R$ 15.000,00 para a compra de um carro, ao final de 10 meses.
Para tanto ela far 11 depsitos mensais em uma conta que rende 2% de juros ao ms. Dessas 11 aplicaes mensais,
10 sero de mesmo valor e consecutivas, sendo a primeira realizada no final do primeiro ms e as demais no final de
cada ms subseqente. Porm uma das 11 aplicaes igual a R$ 2.000,00 ser realizada no final do oitavo ms
rendendo juros durante 2 meses. Considerando que o fator de formao de capital (FFC) para 10 meses e taxa de juros
de 2% ao ms : FFC(2%,10) = 0,09133, quanto dever ser o valor de cada uma das 10 aplicaes mensais para que a
pessoa tenha disponveis os R$ 15.000,00 ao final do dcimo ms? (Analista de projetos BRDES 2001)
a) R$ 1.179,91 b) R$ 1.190,30 c) R$ 1.291,92 d) R$ 1.300,00 e) R$ 1.369,95
24) Uma pessoa deve pagar 3 prestaes de R$ 3.500,00 cada uma, a vencer daqui a 1 ms, 2 meses e 3 meses,
respectivamente. Se resolvesse pagar a dvida por meio de um nico pagamento daqui a 60 dias, qual seria o valor
desse pagamento, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 5% ao ms? (TCI RJ )
a) R$ 9.890,00 b) R$ 10.240,60 c) R$ 10.500,00 d) R$ 11.080,70 e) R$ 11.500,40
25) Em uma financeira foi concedido um crdito direto no valor de R$ 8.662,30 que dever ser pago em 10 prestaes
mensais consecutivas de R$ 1.000,00 cada. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada ? (TCI RJ 1999)
a) 2,3 % b) 2,5 % c) 2,6 % d) 2,7 % e) 2,9 %
26) Um eletrodomstico ser pago por meio de uma entrada e 12 prestaes mensais iguais e consecutivas. Se cada
prestao for igual a 10% do valor vista, sendo a primeira paga ao trmino de um perodo de 4 meses, considerando-se
uma taxa de juros efetiva composta de 4% ao ms, qual o percentual sobre o valor vista que dever ser pago como
entrada? (TCI RJ 1999)
a) 11,8765 % b) 15,2314 % c) 16,2340% d) 16,5670 % e) 19,3456%
27) Um financiamento ser pago em 15 prestaes mensais consecutivas, com incio ao trmino de um perodo de 6
meses. As primeiras cinco prestaes sero de R$ 12.000,00, as cinco seguintes de R$ 14.000,00, e as cinco ltimas de
R$ 17.000,00. Se esse esquema de pagamentos for trocado por outro em que o muturio pague 15 prestaes mensais
iguais, tambm com incio aps um perodo de 6 meses, o valor unitrio dessas prestaes, considerando-se uma taxa
de juros efetiva composta de 3% ao ms, ser igual a ( TCI RJ )
a) R$ 12.718,97b) R$ 13.182,56 c) R$ 14.089,11 d) R$ 15.308,29 e) R$ 17.856,78
28) Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compem o seguinte fluxo de valores: um
desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$
1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos o
ms e que a taxa de juros compostos de 3% ao ms. Usar ainda a conveno de despesa negativa e receita positiva, e
desprezar os centavos. (AFRF)
a) R$ 2.646,00 b) R$ 0,00 c) R$ 2.511,00 d) R$ 3.617,00 e) R$ 2.873,00
29) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em
doze prestaes mensais iguais, vencendo a primeira prestao ao fim de um ms, a uma taxa de 4% ao ms.
Considerando que este sistema de amortizao corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da
anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem s prestaes, calcule a prestao
mensal, desprezando os centavos. (AFRF)
a) R$ 900,00 b) R$ 986,00 c) R$ 923,00 d) R$ 852,00 e) R$ 1.065,00
30) Um indivduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto ms,
R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo ms, R$3.000,00 mensalmente do nono ao dcimo segundo ms. Considerando que as aplicaes so feitas ao fim de cada ms, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando
uma taxa de juros compostos de 2% ao ms (despreze os centavos). (AFRF)
a) R$ 21.708,00 b) R$ 29.760,00 c) R$ 35.520,00 d) R$ 22.663,00e) R$ 26.116,00
20
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Morgado
31) Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestaes mensais e iguais de R$210,00. Obtenha o valor
financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao ms, considerando que o financiamento
equivale a uma anuidade e que a primeira prestao vence um ms depois de efetuada a compra. (AFRF)
a) R$ 3.155,00 b) R$ 2.048,00 c) R$ 1.970,00 d) R$ 2.530,00 e) R$ 2.423,00
32) Uma loja vende um aparelho de televiso por R$500,00 vista ou ento a prazo com 20% de entrada mais uma
parcela de R$440,00 dois meses aps a compra. A taxa mensal de juros compostos do financiamento, na forma decimal,
dada por: (ICMS-MS)
33) Um investimento consiste na realizao de 12 depsitos mensais de R$ 100,00,
sendo o primeiro deles feito um ms aps o incio da transao. O montante ser
resgatado um ms depois do ltimo depsito. Se a taxa de remunerao do
investimento de 2% ao ms, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em
reais, ser: (C.E.F.)
a) 1 200,00
b) 1 224,00
c) 1 241,21
d) 1 368,03 X
e) 2 128,81
34 - Jlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita taxa de juros de 2% ao ms sobre o saldo devedor. No ato da compra,
fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente,
30 e 60 dias depois de contrada a dvida. Se quiser quitar a dvida 90 dias depois da compra, quanto dever pagar, em
reais? (C.E.F.)
a) 110,00
b) 108,00
c) 106,00
d) 104,00
e) 102,00 X
35- (AFPS-2002) Um consumidor compra um bem de consumo durvel no valor de R$ 15.000,00 financiado totalmente
em dezoito prestaes mensais de R$ 1.184,90, vencendo a primeira prestao ao fim do primeiro ms. Junto com o
pagamento da dcima segunda prestao o consumidor acerta com o financiador o refinanciamento do saldo devedor em
doze prestaes mensais mesma taxa de juros, vencendo a primeira prestao ao fim do primeiro ms seguinte.
Calcule o valor mais prximo da nova prestao mensal.
a) R$ 504,00
b) R$ 561,00
c) R$ 625,00
d) R$ 662,00 X
e) R$ 796,00
36- (AFPS-2002) Obtenha o valor mais prximo da quantia que deve ser depositada ao fim de cada ms, considerando
uma taxa de rendimento de 2% ao ms, juros compostos, com o objetivo de se obter R$ 50.000,00 ao fim de dez meses.
a) R$ 5.825,00
b) R$ 5.000,00
c) R$ 4.782,00
d) R$ 4.566,00 X
e) R$ 3.727,00
SISTEMAS DE AMORTIZAES
Introduo amortizao
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Morgado
Amortizao um processo de extino de uma dvida atravs de pagamentos peridicos, que so realizados em
funo de um planejamento, de modo que cada prestao corresponde soma do reembolso do Capital ou do
pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que
Em todas as nossas anlises, utilizaremos um financiamento hipottico de R$300.000,00 que ser pago ao final de 5
meses taxa mensal de 4%.
Na sequncia, ser essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informaes
essenciais sobre o sistema de amortizao. Em todas as anlises, utilizaremos a mesma tabela bsica que est
indicada abaixo, com os elementos indicados:
n
0
1
2
3
4
5
Totais
22
Sistema de Amortizao
Amortizao do
Juros
Pagamento Saldo devedor
Saldo devedor
300.000,00
0
300.000,00
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Uso comum: Letras de cmbio, Ttulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.
Sistema de Pagamento nico
Amortizao do
n
Juros
Pagamento Saldo devedor
Saldo devedor
0
0
0
0
300.000,00
1
12.000,00
312.000,00
2
12.480,00
324.480,00
3
12.979,20
337.459,20
4
13.498,37
350.957,57
5
14.038,30
300.000,00
364.995,87
0
Totais 64.995,87
300.000,00
364.995,87
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Morgado
Juros
0
0
1 12.000,00
2 12.000,00
3 12.000,00
4 12.000,00
5 12.000,00
Totais 60.000,00
Sistema Americano
Amortizao do
Pagamento Saldo devedor
Saldo devedor
0
0
300.000,00
12.000,00
300.000,00
12.000,00
300.000,00
12.000,00
300.000,00
12.000,00
300.000,00
300.000,00
312.000,00
0
300.000,00
360.000,00
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Clculo: O clculo da prestao R o produto do valor financiado P=300.000,00 pelo coeficiente dado pela frmula
R=P
n
i( 1 + i ) onde
n
(1+i)-1
n
i(1 + i )
n
(1+i)-1
PSAC
72.000,00
69.600,00
67.200,00
64.800,00
62.400,00
PPrice
67.388,13
67.388,13
67.388,13
67.388,13
67.388,13
PSAM
69.694,06
68.494,07
67.294,07
66.094,07
64.894,07
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Morgado
P = (300.0000,04)[1-(1-0,04) ]=64.995,80
4
A1 = 64.995,80 (1-0,04) = 55.203,96
A2 = 55.203,96 (1-0,04) = 57.504,13
A3 = 57.504,13 (1-0,04) = 59.900,13
A4 = 59.900,13 (1-0,04) = 62.395,97
A5 = 62.395,97 (1-0,04) = 64.995,80
Juros
0 12.000,00
1
9.791,84
2
7.491,68
3
5.095,67
4
2.599,83
5
Totais 36.979,02
Sistema Alemo
Amortizao do
Pagamento Saldo devedor
Saldo devedor
0
12.000,00
300.000,00
55.203,96
64.995,80
244.796,04
57.504,13
64.995,80
187.291,91
59.900,13
64.995,80
127.391,78
62.395,97
64.995,80
64.995,80
64.995,80
64.995,80
0
300.000,00
336.979,02
SISTEMA PRICE
Essa modalidade de pagamento comumente conhecida como Price. Sua utilizao bastante difundida, cabendo
ressaltar as aplicaes em :
- Financiamentos imobilirios (Sistemas de Habitao)
- Crdito direto ao consumidor, por exemplo, financiamento de eletrodomsticos, automveis, etc.
Podemos representar o sistema de acordo com o grfico abaixo
Por este sistema o muturio obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestaes iguais entre si. A dvida fica
completamente saldada na ltima prestao.
Prestao
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Juros
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Morgado
Saldo Devedor
Prestao
Amortizao
Juros
n
SD
29.2.1 Conveno
J = parcela de juros referentes ao perodo de ordem t (1, 2, 3, ...n)
t
A = parcela de amortizao referente ao perodo de ordem t (1, 2, 3, ...n)
t
P = saldo devedor referente ao perodo de ordem t (1, 2, 3, ...n-1)
t
RELAES TEIS
1 - Valor da prestao:
R = P . FRC ( i, n )
0
P = R . FVA ( i, n - t )
t
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Morgado
t-1
6 - Valor da parcela de amortizao de ordem t : A = A ( 1 + i )
t
1
7 - Valor das amortizaes acumuladas at o perodo de ordem t ( a partir da primeira )
t
A = R { FVA ( i, n ) - FVA ( i, n - t )}
h=1 h
8 - Valor das amortizaes acumuladas entre os perodos de ordem t e t + k
t+k
A = R { FVA ( i, n - t ) - FVA ( i, n - t - k ) }
h=t+1 h
9 - Valor dos juros acumulados at o perodo de ordem t ( a partir da primeira )
t
t
j = R.t -
A = R . { FVA ( i, n ) - FVA ( i, n - t )}
h=1 h
h=1 h
t
J = R { t - FVA ( i, n ) + FVA ( i, n - t )}
h=1 h
10- Valor dos juros acumulados entre os perodos de ordem t e t + k
t+k
J = R { k - FVA ( i, n - t ) + FVA ( i, n - t - k )}
h=t+1 h
n
FVA = ( 1 + i ) 1
n
i(1+i)
n
FRC = i ( 1 + i ) .
n
(1+i)1
Exerccios
1 ) Uma pessoa compra um imvel por R$ 200.000,00 e resolve pag-lo atravs do sistema Price de amortizao em 1
ano. Sabendo-se que a financeira cobra 2 % a.m., calcular:
a) O valor da prestao
b) Os juros da primeira prestao
c) O valor da primeira amortizao
2 ) Montar a planilha financeira para um financiamento de R$ 1.000,00, a 36 % a.a. nominais, com prazo de 4 meses,
amortizvel em 4 prestaes mensais.
.
3) Calcular os valores das parcelas de juros e amortizao referentes a um emprstimo de R$ 8.530,20, taxa de 2 %
a.m., para ser liquidado em 10 prestaes iguais.
4) Com os dados do problema anterior, calcular o saldo devedor no final do 6 perodo ( aps o pagamento da 6
prestao )
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Morgado
Taxa: 3 % ao ms
Principal: R$ 1.000,00
Pede-se:
a)
b)
c)
R.
R$ 142,60
Construir a tabela
R. R$ 652,43
6) O fator de recuperao do capital (FRC) para uma taxa de juros de 1% ao ms e um perodo de 12 meses
FRC(1%,12) = 0,08885. Assim, quais so os valores da prestao e dos juros includos na segunda prestao, referentes
ao pagamento de um emprstimo de R$ 12.000,00 tomado taxa de juros de 1% ao ms para ser liquidado em 12
prestaes mensais iguais e sucessivas, calculadas pela tabela Price ou Sistema Francs de Amortizao? (Anal.
Projetos BRDES/2001)
a) R$ 1.000,00 e R$ 120,00
b) R$ 1.066,20 e R$ 60,00
c) R$ 1.066,20 e R$ 110,54
d) R$ 1.066,20 e R$ 946,20
R$ 1.120,00 e R$ 11,20
Este sistema foi popularizado pelo Sistema Financeiro de Habitao (SFH), que o adotou nos financiamentos de compra
da casa prpria. Atualmente ele muito utilizado para financiamentos de longo prazo.
Dada a equao Prestao = Amortizao + Juros, no caso do SAC, a parcela de amortizao ser sempre constante.
A parcela de juros decresce linearmente. De uma forma grfica, teramos
Juros
Prestao
Amortizao
0
n
Tempo
Trata-se de um sistema simples pois todo ele linear e se comporta como uma Progresso Aritmtica.
Para facilitar e visualizar o clculo, utilizamos a tabela como mostrado a seguir.
N de perodos
Saldo Devedor
Prestao
Amortizao
Juros
n
SD
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Inicialmente, calcula-se o valor da parcela de amortizao, dividindo-se o Principal pelo nmero de perodos.
Como as amortizaes so constantes, o seu valor obtido dividindo o principal P pelo nmero de prestaes n.
Temos, ento que A = P , onde A = Amortizao, P = Principal a ser amortizado e n = Nmero de
nmero de perodos
n=
A seguir, calcula-se a parcela de juros correspondentes a cada prestao. Os juros so sempre calculados sobre o saldo
devedor.
Assim os juros da primeira prestao ser igual ao produto do Principal pela taxa aplicada, considerando-se um perodo
de tempo.
Logo J = i.P
Prestao = Amortizao + Juros
A primeira prestao igual a :
p = P + iP
1 n
A segunda prestao igual a : p = P + [ i( P - A )] A = amortizao
2 n
O saldo devedor diminui linearmente e se obtm subtraindo do principal o valor
da amortizao vezes o nmero de prestaes pagas:
SD = P - A.k
k
Relaes teis
Desenvolvendo-se perodo por perodo, chega-se ao quadro abaixo
Perodo
k
0
1
2
k
n
Prestao
Amortizao
P
A
k
k
---P + iP
P/n
n
P + iP -iP
P/n
n
n
P + iP - (k - 1)iP P/n
n
n
P + iP - (n - 1) iP
n
n
P/n
Juros
J
k
--iP
Saldo devedor
SD
k
P
P-P
n
iP - iP
P - 2P
n
n
iP - (k - 1)iP
P - kP
n
n
iP - (n-1)iP
n
P - nP = 0
n
Exerccios
1 - Considere um plano de pagamentos com base no SAC, correspondente a um emprstimo de R$ 100.000,00, taxa
de 3% ao ms, a ser liquidado em 10 prestaes mensais. Elaborar o plano de pagamentos ( Construa a tabela)
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5 - Com relao ao Sistema de Amortizao Constante (SAC) e ao Sistema Price (SP), podemos afirmar que: (ICMS
MS/2000)
a)
b)
c)
d)
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Morgado
Como os dois planos j foram discutidos anteriormente, passaremos formulao das parcelas
correspondentes. Assim, temos
Prestao = Amortizao + Juros
R M = (R P + R S)/2
A M = (A P + A S )/2
J M = (J P + J S )/2
EXERCCIOS
1 - Seja um financiamento de R$ 12.000,00 a ser liquidado em 12 prestaes mensais, iniciando o pagamento ao final do
1 ms, sujeito a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizada mensalmente. Calcular:
a) O valor da 10 prestao.
1.097,36
b) Calcular o valor da parcela de amortizao correspondente 4 prestao. 974,74
c) Determinar a parcela de juros referente 6 prestao. 143,44
2 - Sabendo-se que o valor da 1 prestao de um plano de pagamentos calculado de acordo com o SAM de R$
41.982,51, que o valor da amortizao constante, de acordo com o SAC, de R$ 11.904,76, que a taxa de juros de
3,5% a.m. e que o emprstimo dever ser liquidado em prestaes mensais durante 7 anos, pede-se determinar, com
base no SAM, os seguintes valores:
a) O valor da 13 prestao. 39.482,50
b) O valor acumulado das prestaes compreendidas entre a 57 (exclusive) e a 73 (inclusive)
456.719,47
1.126,16
a)
|----------|----------|----------|----------|----------|---------|------->
0
1
2
3
4
5
6
meses
R = 178,53
b)
|----------|----------|-----------|-----------|----------|-----------|-------->
0
1
2
3
4
5
6
meses
R = 262,62
c)
32
|-----------|---------|----------|---------|----------|----------|------->
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meses
1000
d)
|----------|----------|----------|----------|----------|----------|------->
0
1
2
3
4
5
6
meses
|----------|----------|----------|----------|--------|-----------|------->
0
1
2
3
4
5
6
meses
Z
b)
|----------|----------|----------|----------|----------|----------|------->
0
1
2
3
4
5
6
meses
200
VP = - 1.000,00 - (P/R, i, 6)
(P/R, i, n) = 1.000 = 5
200
0
1000
Exemplo 2
Qual a taxa interna de retorno para o fluxo de caixa abaixo
2.000
600
600
600
0
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____________
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2000 1000
1a tentativa => i = 4 % VP = 283,28
2a tentativa => i = 7 % VP = -37,09
3a tentativa => i = 6 % VP = 64,09
Interpola-se entre 6 e 7 %
1 % ________ 101,18
x ________ 37,09 x = 0,366
S = 112.626,24
100.000
Clculo do valor do ttulo
S
0
S = 112.626,24
P = 102.024,76
EXERCCIOS
1 - Paulo possue UM$ 100.000,00 aplicados em um fundo de investimentos que lhe rende 5% a.m.. Um corretor oferece
a Paulo dois ttulos: um deve ser resgatado em 9 meses por UM$ 55.000,00, e o outro deve ser resgatado em 12 meses
por UM$ 85.000,00. O que Paulo deve fazer ? R.: Continuar com o dinheiro no fundo de investimentos.
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R = 2000
R = 1000
P = 11.267,68
10
R. 5%
3 -. A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o
valor de P, em milhares de reais, deve ser (C.E.F.)
Perodo (anos)
Valor (milhares de reais)
0
- 410
1
P
2
P
a) 216,5
b) 217,5
c) 218,5
d) 219,5
e) 220,5 X
4 - A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.
Perodo (anos)
Valor (milhares de reais)
0
- 50
1
35
2
22
Elementos gerais
Em uma operao financeira de Investimento ou Financiamento, existem vrias situaes que interferem na nossa
deciso sobre a escolha de uma dentre as vrias possveis alternativas. Em geral, temos o conhecimento da Taxa de
Mercado, tambm conhecida como a Taxa de Atratividade do Mercado e desejamos saber a taxa real de juros da
operao, para poder tomar uma deciso.
H dois importantes objetos matemticos que so utilizados na anlise da operao financeira de Investimento ou
Financiamento:
Valor Presente Lquido (VPL)
O Valor Presente Lquido de um fluxo de caixa de uma operao o somatrio de todos os valores atuais calculados
no instante t=0 para cada elemento isolado da operao.
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VPL
Igual a 0
Positivo
Negativo
TIR do Investimento
Igual Taxa de mercado
Maior que a Taxa de mercado
Menor que a Taxa de mercado
TIR do Financiamento
Igual Taxa de mercado
Menor que a Taxa de mercado
Maior que a Taxa de mercado
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Entre os mtodos mais conhecidos destacam-se o do valor presente lquido (VPL ) e o da taxa interna de retorno ( TIR ),
largamente utilizados nas anlises de aplicaes financeiras e de projetos de investimentos. Esses mtodos consistem
em se comparar a soma algbrica dos valores presentes de cada um dos fluxos de caixa inicial (recebimento ou
pagamento) ocorridohoje, onde esses valores presentes so calculados de acordo com o regime de capitalizao
composta e com base em dada taxa de juros. Devido ao fato de que a TIR requer mtodo interativo ou o uso de
calculadoras, trataremos apenas do mtodo do valor presente.
Para obter o Valor Presente Lquido, devemos construir o Fluxo de Caixa da operao e levar em considerao
algumas possibilidades:
Operao com parcelas iguais (Begin)
Operao com parcelas iguais (End)
Operao com parcelas diferentes
Operao com parcelas iguais (Begin): Seja uma operao de Investimento ou Financiamento durante n perodos,
com uma renda R em cada perodo, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa aparece na
tabela:
t
Renda
0
R
1
R
2
R
3
R
4
R
...
R
n-1
R
n
0
n-1
n-1
VPL = R [u - 1][i u ]
Exemplo: Qual o Valor Presente Lquido (VPL) de um Investimento mensal de R=100,00, durante n=24 meses,
taxa de mercado i=1,5%, iniciando a aplicao no instante t=0?
Neste caso (Begin): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a frmula acima, teremos:
24
23
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Morgado
Operao com parcelas iguais (End): Seja uma operao de Investimento ou Financiamento durante N perodos,
com uma renda r em cada perodo, a partir do instante t=1 a uma Taxa de mercado I. O fluxo de caixa aparece na
tabela:
t
Renda
0
0
1
R
2
R
3
R
4
R
...
R
n-1
R
n
R
24
24
Operao com parcelas diferentes: Tomemos a situao que um indivduo invista durante algum tempo parcelas
distintas, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa dessa situao pode ser visto na tabela:
t
Renda
0
R0
1
R1
2
R2
3
R3
4
R4
...
...
n-1
Rn-1
n-1
Exemplo: Qual ser o Valor Presente Lquido (VPL) de alguns Investimentos de acordo com a tabela abaixo, taxa de
mercado i=1,25% ao ms.
Tempo
Renda
0
0
1
1.000
2
2.000
3
1.500
4
2.500
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Se o valor presente das receitas, deduzido o valor de compra do equipamento, resultasse um valor positivo, o empresrio
faria o investimento, visto que, neste caso, a taxa efetiva de retorno seria seguramente maior que a taxa mnima de
retorno fixada. Se a diferena fosse negativa, o equipamento no seria adquirido.
Exemplo
Uma empresa transportadora est analisando a convenincia de compra de um caminho no valor de R$ 103.000,00.
Segundo os tcnicos dessa empresa, a utilizao desse veculo nos prximos 5 anos dever gerar receitas lquidas
estimadas de R$ 30, R$ 35, R$ 32, R$ 28 e R$ 20 mil respectivamente. Sabendo-se qu ao final do 5 ano se espera
vender esse caminho por R$ 17.000,00, verificar qual a deciso da empresa para taxas de retorno fixadas em 15% e
18%.
Montando o fluxo de caixa temos
30
35
32
28
37
103
Trazendo todas as receitas para a data zero, a 15% a.a. e comparando com o valor pago encontramos que o VPL = R$
5.010,00
Efetuando o mesmo clculo para uma taxa de 18% a.a., encontramos VPL = - R$ 2.350,00
Conclumos, ento, que o investimento a 15% deve ser feito enquanto que a 18% levaria a prejuzo.
Exerccios
A 8% : Indiferente
A 10%: A prazo
3 Uma empresa industrial est analisando a convenincia de adquirir equipamentos para a montagem de mais uma
unidade de produo. O valor desse equipamento de R$ 500.000,00, com vida til prevista para 10 anos e valor de
revenda estimado em R$ 25.000,00 no final desse prazo. As receitas lquidas anuais (no considerando as depreciaes)
geradas por esse investimento adicional so estimadas, em valores no inflacionados, em R$ 200.000,00 por ano,
durante os primeiros dois anos; R$ 210.000,00 por ano, nos trs anos seguintes; R$ 95.000,00, no 6 ano; R$
195.000,00, para os trs anos seguintes e R$ 180.000 para o dcimo. No final do 6 ano de uso est prevista uma
reforma geral no equipamento no valor de R$ 105.000,00, despesa essa no considerada na receita lquida estimada
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para esse ano. Sabendo-se que a empresa s far esse investimento se a taxa de retorno for no mnimo de 30% a.a.,
Analisar se a compra desses equipamentos ou no aconselhvel. Sim
4 - Uma empresa de participaes dispe de UM$ 150.000,00, e conta com duas
oportunidades para investir alm de deixar os seus recursos aplicados em debntures. As debntures esto rendendo
10% a.m. e a empresa considera essa a sua TMA. As duas oportunidades de investimentos so lotes disponveis de
diversos ttulos bancrios que devero apresentar um rendimento mdio da seguinte
forma:
Corretora A
73
0
73
73
UM mil
150
Corretora B
0
52
52
52
UM mil
130
O que a empresa deve fazer ?
Escolher a alternativa A
5 - Uma empresa tem programada a compra de 30 t de sua matria-prima princiipal para daqui a um ms. O preo a vista
de UM$ 500,00/t. O fornecedor oferece a opo de pagamento em 60 dias, a partir da data de compra, com um
acrscimo de 5%. Esse fornecedor, no entanto, por estar com seus estoques muito elevados, est fazendo uma oferta
especial vlida para compras efetivadas at a data de hoje pela qual a empresa tem um desconto de 4% se pagar a vista.
A empresa tem que tomar a deciso hoje. O que deve fazer se a sua TMA de 2% a.m. ?
6- (AFPS-2002) Uma empresa possui uma taxa de atratividade mnima de 12% ao ano e est considerando uma
proposta de investir hoje R$ 20.000.000,00 para obter receitas previstas de R$ 3.000.000,00 ao fim de cada um dos
prximos dez anos. Obtenha a deciso da empresa baseada no critrio do valor atual do fluxo de caixa previsto da
empresa.
a) A empresa no vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa negativo.X
b) A empresa vai investir porque o valor atua hoje do fluxo de caixa negativo.
c) A empresa vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa positivo.
d) A empresa no vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa positivo.
e) A empresa no se decide porque o valor atual hoje do fluxo de caixa zero.
APNDICE
Tabelas Financeiras
TABELA I
an = (1 + i)n
n
1
2
3
4
5
i 1%
1,010000
1,020100
1,030301
1,040604
1,051010
2%
1,020000
1,040400
1,061208
1,082432
1,104081
3%
1,030000
1,060900
1,092727
1,125508
1,159274
4%
1,040000
1,081600
1,124864
1,169858
1,216652
5%
1,050000
1,102500
1,157625
1,215506
1,276281
6%
1,060000
1,123600
1,191016
1,262476
1,338225
7%
1,070000
1,144900
1,225043
1,310796
1,402552
8%
1,080000
1,166400
1,259712
1,360488
1,469329
9%
1,090000
1,188100
1,295029
1,411581
1,538624
10%
1,100000
1,210000
1,331000
1,464100
1,610510
12%
1,120000
1,254400
1,404928
1,573519
1,762341
15%
1,150000
1,322500
1,520875
1,749006
2,011357
18%
1,180000
1,392400
1,643032
1,938777
2,287758
6
7
8
9
10
1,061520
1,072135
1,082856
1,093685
1,104622
1,126162
1,148685
1,171659
1,195092
1,218994
1,194052
1,229873
1,266770
1,304773
1,343916
1,265319
1,315931
1,368569
1,423311
1,480244
1,340095
1,407100
1,477455
1,551328
1,628894
1,418519
1,503630
1,593848
1,689478
1,790847
1,500730
1,605781
1,718186
1,838459
1,967151
1,586874
1,713824
1,850930
1,999004
2,158925
1,677100
1,828039
1,992562
2,171893
2,367363
1,771561
1,948717
2,143588
2,357947
2,593742
1,973822
2,210681
2,475963
2,773078
3,105848
2,313061
2,660020
3,059023
3,517876
4,045558
2,699554
3,185474
3,758859
4,435454
5,233835
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1,115668
1,126825
1,138093
1,149474
1,160969
11
12
13
14
15
1,243374
1,268242
1,293606
1,319479
1,345868
1,384233
1,425760
1,468533
1,512589
1,557967
1,539454
1,601032
1,665073
1,731676
1,800943
1,710339
1,795856
1,885649
1,979931
2,078928
1,898298
2,012196
2,132928
2,260903
2,396558
2,104852
2,252191
2,409845
2,578534
2,759031
2,331639
2,518170
2,719623
2,937193
3,172169
2,580426
2,812665
3,065804
3,341727
3,642482
2,853116
3,138428
3,452271
3,797498
4,177248
3,478549
3,895975
4,363493
4,887112
5,473565
4,652391
5,350250
6,152787
7,075706
8,137061
6,175926
7,287592
8,599359
10,147244
11,973748
16 1,172578 1,372786 1,604706 1,872981 2,182874 2,540351 2,952164 3,425942 3,970306 4,594972 6,130393 9,357621 14,129022
17 1,184304 1,400241 1,652847 1,947900 2,292018 2,692772 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470 6,866040 10,761264 16,672246
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 7,689966 12,375453 19,673251
TABELA II
a n i =
(1 + i) n 1
i.(1 + i) n
i 1%
0,990099
1,970395
2,940985
3,091965
4,853431
2%
0,980392
1,941561
2,883883
3,807728
4,713459
3%
0,970874
1,913469
2,828611
3,717098
4,579707
4%
0,961538
1,886094
2,775091
3,629895
4,451822
5%
0,952381
1,859410
2,723248
3,545951
4,329476
6%
0,943396
1,833393
2,673012
3,465105
4,212364
7%
0,934579
1,808018
2,624316
3,387211
4,100197
8%
0,925926
1,783265
2,577097
3,312127
3,992710
9%
0,917431
1,759111
2,531295
3,239720
3,889651
10%
0,909091
1,735537
2,486852
3,169865
3,790787
12%
0,892857
1,690051
2,401831
3,037349
3,604776
15%
0,869565
1,625709
2,283225
2,854978
3,352155
18%
0,847457
1,565642
2,174273
2,690062
3,127171
6
7
8
9
10
5,795476
6,728194
7,651678
8,566017
9,471304
5,601431
6,471991
7,325481
8,162237
8,982585
5,417191
6,230283
7,019692
7,786109
8,530203
5,242137
6,002054
6,732745
7,435331
8,110896
5,075692
5,786373
6,463213
7,107821
7,721735
4,917324
5,582381
6,209794
6,801692
7,360087
4,766539
5,389289
5,971298
6,515232
7,023581
4,622879
5,206370
5,746639
6,246888
6,710081
4,485918
5,032953
5,534819
5,995247
6,417657
4,355261
4,868419
5,334926
5,759024
6,144567
4,111407
4,563756
4,967640
5,328250
5,650223
3,784482
4,160420
4,487321
4,771584
5,018768
3,497602
3,811527
4,077566
4,303022
4,494086
11
12
13
14
15
10,367628
11,255077
12,133740
13,003703
13,865052
9,786848
10,575341
11,348374
12,106249
12,849263
9,252624
9,954004
10,634955
11,296073
11,937935
8,760477
9,385074
9,985648
10,563123
11,118387
8,306414
8,863251
9,393573
9,898641
10,379658
7,886874
8,383844
8,852683
9,294984
9,712249
7,498674
7,942686
8,357650
8,745468
9,107914
7,138964
7,536078
7,903776
8,244237
8,559478
6,805190
7,160725
7,486904
7,786150
8,060688
6,495061
6,813692
7,103356
7,366687
7,606079
5,937699
6,194374
6,423548
6,628168
6,810864
5,233712
5,420619
5,583147
5,724475
5,847370
4,656005
4,793225
4,909512
5,008061
5,091577
1n
2
3
4
5
16 14,717874 13,577709 12,561102 11,652295 10,837769 10,105895 9,446648 8,851369 8,312558 7,823708 6,973986 5,954235 5,162354
17 15,562251 14,291872 13,166118 12,165669 11,274066 10,477259 9,763223 9,121638 8,543631 8,021553 7,119630 6,047161 5,222334
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 7,249670 6,127966 5,273164
TABELA III
s n i =
(1 + i ) n 1
i
i 1%
1,000000
2,010000
3,030100
4,060401
5,101005
2%
1,000000
2,020000
3,060400
4,121608
5,204040
3%
1,000000
2,030000
3,090900
4,183627
5,309136
4%
1,000000
2,040000
3,121600
4,246464
5,416322
5%
1,000000
2,050000
3,152500
4,310125
5,525631
6%
1,000000
2,060000
3,183600
4,374616
5,637093
7%
1,000000
2,070000
3,214900
4,439943
5,750739
8%
1,000000
2,080000
3,246400
4,506112
5,866601
9%
1,000000
2,090000
3,278100
4,573129
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