Eng 115 - Pontes - Edição2 - r00

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUO E ESTRUTURAS
2011.1
ENG 115 Pontes
Prof.DanieldeSouzaMachado
NOTASDEAULA
UniversidadeFederaldaBahiaENG115PontesProf.DanieldeSouzaMachado,MSc
SUMRIO
PREFCIO......................................................................................................................................................4
1INTRODUO.............................................................................................................................................5
1.1.1Elementosconstituintesdaspontes......................................................................................................6
1.1.2Tiposdepontes.....................................................................................................................................7
1.1.3Seestransversais.............................................................................................................................10
2CARREGAMENTOS....................................................................................................................................13
2.1CARREGAMENTOSESOLICITAESNASPONTES.....................................................................................................13
2.1.1Solicitaesprovocadaspelopesoprpriodaestrutura....................................................................13
2.1.2Solicitaesprovocadaspelascargasteis.........................................................................................13
2.1.3Solicitaesproduzidaspeloselementosnaturais..............................................................................13
2.1.4Esforosproduzidospordeformaesinternas..................................................................................14
2.2CARGASPERMANENTES.....................................................................................................................................16
2.2.1Pesoprpriodoselementosestruturais..............................................................................................16
2.2.2Pavimentao.....................................................................................................................................16
2.2.3Lastrodetrilhos..................................................................................................................................16
2.3CARGASMVEIS..............................................................................................................................................17
2.3.1Rodoviria...........................................................................................................................................17
2.3.2Ferroviria...........................................................................................................................................20
2.3.3Aeroviria............................................................................................................................................22
2.3.4Cargasrodoviriasnousuais............................................................................................................23
2.3.5Consideraodeimpactodevidoscargasmveis............................................................................24
2.4FORASHORIZONTAISEMPONTES......................................................................................................................25
2.4.1CarregamentoLongitudinal................................................................................................................25
2.4.1.1FrenagemeAcelerao.................................................................................................................................25
2.4.1.2EmpuxodeTerra...........................................................................................................................................26
2.4.1.3Temperatura..................................................................................................................................................28
2.4.1.4Determinaodarigidezdosapoios.............................................................................................................29
2.4.1.5Retrao........................................................................................................................................................32
2.4.1.6Protenso......................................................................................................................................................32
2.4.2Carregamentotransversal..................................................................................................................32
2.4.2.1ForaCentrfuga............................................................................................................................................32
2.4.2.2Empuxodegua............................................................................................................................................34
2.4.2.3PressodoVento..........................................................................................................................................34
3PILARES....................................................................................................................................................36
3.1EFEITOSDEPRIMEIRAORDEM.............................................................................................................................36
3.2EFEITOSDESEGUNDAORDEM.............................................................................................................................37
3.3DISPENSADAANLISEDESEGUNDAORDEM..........................................................................................................38
3.4MTODODOPILARPADROCOMCURVATURAAPROXIMADA...................................................................................39
4LINHASDEINFLUNCIA.............................................................................................................................40
4.1VIGASISOSTTICAS...........................................................................................................................................41
4.1.1LIdereaes.......................................................................................................................................41
4.1.2LIdeesforoscortantes......................................................................................................................42
4.1.3LIdemomentosfletores......................................................................................................................43
4.2VIGASCONTNUAS............................................................................................................................................44
4.3REGRADOSTRAPZIOS(COMPOSTA)....................................................................................................................45
5VIGAS.......................................................................................................................................................46
5.1FLEXO..........................................................................................................................................................46
5.1.1Estadolimiteltimo............................................................................................................................46
5.1.2Determinaodareadeaolongitudinal.........................................................................................46
UniversidadeFederaldaBahiaENG115Pontes
5.1.3Larguracolaborante...........................................................................................................................48
5.1.4Fadiga.................................................................................................................................................49
5.1.4.1Histriadafalhaporfadiga...........................................................................................................................49
5.1.4.2Mecanismosdafadiga...................................................................................................................................54
5.1.5VerificaosegundoaNBR6118(EstadoLimitedeFadiga)...............................................................54
5.1.5.1Verificaodafadiganoconcreto.................................................................................................................55
5.1.5.2Verificaodafadiganaarmadura................................................................................................................57
5.1.6Verificaodafissurao....................................................................................................................58
5.1.6.1Estadolimitedeaberturadefissuras(ELSW)...............................................................................................60
5.2ESFOROCORTANTE.........................................................................................................................................64
5.2.1ModelodeclculoI.............................................................................................................................64
6LAJES........................................................................................................................................................66
6.1SUPERFCIESDEINFLUNCIA...............................................................................................................................67
6.2TABELASDERSCH...........................................................................................................................................69
6.3COMPATIBILIZAODEMOMENTOSFLETORES........................................................................................................73
7PONTESCAIXO.......................................................................................................................................74
7.1TOROEMSEESCAIXO...............................................................................................................................75
7.1.1Tubosdeparedesfinascomseotransversalfechada.....................................................................76
7.1.2Hiptesesdecarregamento................................................................................................................79
7.2DIMENSIONAMENTOSEGUNDOANBR6118(2003).............................................................................................81
7.2.1Determinaodaseoresistentedocaixo(seocheia)................................................................81
7.2.2Determinaodaseoresistentedocaixo(seovazada).............................................................81
7.2.3Verificaodacompressodiagonaldoconcreto..............................................................................82
7.2.4Clculodasarmadurasdetoro.......................................................................................................83
7.2.5Toroeflexo....................................................................................................................................83
7.2.6Toroeforacortante.......................................................................................................................84
BIBLIOGRAFIARECOMENDADA...................................................................................................................85
ANEXOALINHASDEINFLUNCIADEMOMENTOSFLETORESPARARELAODEVOS1:1,2:1(INRCIA
CONSTANTE)...............................................................................................................................................87
ANEXOBLINHASDEINFLUNCIAESFOROSCORTANTESPARARELAODEVOS1:1,2:1(INRCIA
CONSTANTE)...............................................................................................................................................92
ANEXOCLINHASDEINFLUNCIADEMOMENTOSFLETORESPARARELAODEVOS1:1,25:1(INRCIA
CONSTANTE)...............................................................................................................................................96
ANEXODLINHASDEINFLUNCIADEESFOROSCORTANTESPARARELAODEVOS1:1,25:1(INRCIA
CONSTANTE)...............................................................................................................................................99
ANEXOEDIAGRAMASDEMOMENTOFLETORESEESFOROSCORTANTESPARARELAODEVOS1:1,2:1
(INRCIACONSTANTE)CARGASPERMANENTES......................................................................................103
CARGADISTRIBUDA.............................................................................................................................................103
CARGASCONCENTRADAS.......................................................................................................................................104
ANEXOFDIAGRAMASDEMOMENTOFLETORESEESFOROSCORTANTESPARARELAODEVOS1:1,25:1
(INRCIACONSTANTE)CARGASPERMANENTES.......................................................................................106
CARGADISTRIBUDA.............................................................................................................................................106
CARGASCONCENTRADAS.......................................................................................................................................107
ANEXOGTABELASDERSCH.................................................................................................................109
ANEXOHTABELASDEZELLERERPARAVIGASCONTNUAS(1:1,2:1E1:1,25:1).........................................113
PREFCIO
Este material apresenta conceitos bsicos necessrios para a iniciao do aluno ou
profissional no projeto de pontes. Baseia-se em bibliografias mais utilizadas para o
tema Pontes e principalmente em recomendaes das normas brasileiras da ABNT
(Associao Brasileira de Normas Tcnicas) e normas internacionais. O material traz
apenas a teoria, sendo os exerccios relativos a cada captulo resolvidos em sala de
aula na disciplina de ENG 115 Pontes da Universidade Federal da Bahia ministrada
pelo Professor Daniel Machado. O Professor da disciplina tem mestrado e
doutorando na rea de Aerodinmica de Pontes Estaiadas pela Universidade Federal
do Rio Grande do Sul. Trabalha atualmente no projeto estrutural de Obras de Artes
Especiais.
O presente material encontra-se ainda em reviso (ltima reviso:05/01/11)
1 INTRODUO
Pontes so classificadas como Obras de Arte Especiais destinadas a transposio de
obstculos sejam eles rios ou vias. Quando a Ponte transpe uma via ou obstculos
no constituintes de gua chamado de Viaduto. Em alguns casos como mostra a
Figura 1.1, a estrutura pode ser constituda de dois trechos: estrutura principal
(ponte) e viadutos de acesso.
Figura 1.1 - Estrutura principal e viadutos de acesso (Pfeil, 1987).
Chamam-se ainda de pontilhes as pontes de pequenos vos. Acima de 5 metros,

alguns profissionais j a chamam de pontes. Tanto as pontes quanto os pontilhes se
subordinam aos mesmos procedimentos de projeto.
As pontes podem ser classificadas de acordo com o material estrutural, sendo de
concreto armado ou protendido, metlicas ou mistas. Quanto finalidade podem ser
rodovirias, ferrovirias ou aerovirias. Quando destinadas ao trfego de pedestres
chamada de passarelas.
Quanto ao sistema estrutural podem ser isostticas ou hiperestticas.
Conforme o desenvolvimento dos eixos das pontes pode ser de eixo retilneo ou
curvo. possvel ainda classific-las como retas ou esconsas. Nas primeiras, o
cruzamento do curso de gua ou vale, pela ponte ser normal aos mesmos e, no
segundo caso, em ngulos diferentes de 90o .
Bueiros diferente das pontes e pontilhes, so obras construdas sob o terrapleno
de vias, transversalmente ao eixo da estrada e so destinados a passagem de guas
pluviais. Os bueiros podem ter sees variveis conforme necessidade da passagem.
Tambm projetado usando os procedimentos utilizados em pontes com algumas
alteraes dependendo da camada de solo sobre o bueiro.
(a)
(b)
Figura 1.2 - Bueiros: (a) de manilhas e (b) feito com quadros rgidos de
concreto armado.
1.1.1 Elementos constituintes das pontes

As pontes podem ser divididas em trs partes: superestrutura, mesoestrutura e
infraestrutura.
A infraestrutura constituda das fundaes. Pela infraestrutura que so transmitidas
as cargas ao terreno. Fazem parte da infraestrutura, os blocos, estacas, sapatas,
tubules, etc. assim como qualquer pea de ligao destes elementos.
A mesoestrutura constituda pelos pilares e aparelhos de apoio alm dos
encontros. Os pilares transmitem as cargas da superestrutura s fundaes.
Transferem esforo infraestrutura como vento, frenagem/ acelerao, corrente de
gua, etc.
A superestrutura composta pelas lajes e vigas, o elemento de suporte imediato
do estrado, que constitui a parte til da obra.
Os encontros ainda podem ser considerados por alguns engenheiros como
mesoestrutura e por outros como infraestrutura. Alm de receber cargas da
superestrutura resistem ao empuxo dos aterros de acesso e evitam a transmisso
para os demais elementos da ponte. A Figura 1.3 mostra uma ponte construda
utilizando a soluo de encontros.
Os encontros podem ser dispensados em algumas pontes, nestes casos, o estrado
apresenta extremos em balano e, geralmente, os pilares extremos ficam sujeitos a
empuxo dos aterros de acesso (Figura 1.4) (Pfeil, 1987).
Figura 1.3 - Vista geral de uma ponte, mostrando os principais elementos

constituintes (Pfeil, 1987).
Figura 1.4 - Viaduto sem encontros, com extremo em balano (Pfeil, 1987).
1.1.2 Tipos de pontes

A Figura 1.5 Figura 1.15 mostram alguns tipos de pontes classificadas quanto a
finalidade, material utilizado, tipo estrutural, tipo de carregamento e especiais. Para
mais detalhes consultar a bibliografia indicada.
Figura 1.5 - Ponte em laje (Pfeil, 1987).
Figura 1.6 - Ponte em viga reta de alma cheia (Pfeil, 1987).
Figura 1.7 - Ponte em viga reta de trelia (Pfeil, 1987).
Figura 1.8 - Ponte em quadro rgido (Pfeil, 1987).
Figura 1.9 Ponte em abbada (arco inferior) (Pfeil, 1987).
Figura 1.10 - Ponte em arco superior (Pfeil, 1987).
Figura 1.11 - Ponte pnsil (Pfeil, 1987).
http://blogs.ua.pt
http://3.bp.blogspot.com
Figura 1.12 - Pontes levadias (a) So Petersburgo e (b) Porto Alegre.
http://img171.imageshack.us.com
(a)
http://img171.imageshack.us.com
(b)
Figura 1.13 - Pontes para carregamento aerovirio: Aeroporto de Funchal, na ilha de Madeira-Portugal.
(a)
http://www.sinaldetransito.com.br.com
http://3.bp.blogspot.com
(b)
Figura 1.14 - (a) Ponte-tnel, liga Dinamarca e Sucia e (b) Ponte-canal na Alemanha sobre o Rio
Elba, prxima a Magdeburgo.
http://www.mollyn.com.br
http://images04.olx.com.br
(a)
(b)
Figura 1.15 - Pontes rolantes para elevao e transporte de cargas: (a) tipo ponte; (b) tipo prtico.
1.1.3 Sees transversais

A seo transversal de pontes deve ser fixada conforme gabarito que indicam
dimenses horizontais e verticais necessrias para a passagem do automvel ou
embarcao sobre/sob a ponte. A largura da seo transversal depender, portanto
da largura e quantidade de faixas de rolamento projetada para o trfego,
acostamentos e passeios. Para mais detalhes sobre o tema pode-se recorrer ao
Manual de projeto de obras-de-arte especiais do DNER (1996).
A Figura 1.16 a Figura 1.21 apresentam alguns tipos de sees transversais usuais:
10
Figura 1.16 - Ponte em vigas retas.
Figura 1.17 - Ponte em vigas pr moldadas.
11
Figura 1.18 - Ponte caixo simples.
Figura 1.19 - Ponte caixo duplo.
Figura 1.20 - Ponte caixo triplo.
Figura 1.21 - Ponte treliada (seo de uma ponte pnsil).
12
2 CARREGAMENTOS
2.1 CARREGAMENTOS E SOLICITAES NAS PONTES
Para o dimensionamento das pontes em concreto armado e protendido, devem ser
considerados os carregamentos e efeitos diversos que determinam os esforos
solicitantes em seus elementos. As solicitaes podem ser agrupadas em
determinados grupos tais como:
2.1.1 Solicitaes provocadas pelo peso prprio da estrutura

As estruturas das pontes, como quaisquer outras, tm que suportar, alm das cargas
externas, o seu peso prprio. A importncia relativa do peso prprio, no total de
solicitaes, depende do material empregado e do vo livre da ponte.
2.1.2 Solicitaes provocadas pelas cargas teis

As pontes ou viadutos so feitos coma finalidade de permitir aos veculos a
transposio de obstculos (rios, vales, estradas etc.).
Os pesos dos veculos so denominados cargas teis. O movimento dos veculos e
as irregularidades das pistas produzem acrscimos nos pesos atuantes; esses
acrscimos so denominados efeitos de impacto vertical.
Os veculos fazem atuar nas pontes esforos horizontais longitudinais, devidos
frenagem e acelerao. Nas obras em curva, o deslocamento dos veculos produz
esforos horizontais transversais, devidos fora centrfuga.
Nas pontes ferrovirias, as folgas entre os trilhos e as abas laterais das rodas
produzem um esforo horizontal transversal denominado impacto lateral.
2.1.3 Solicitaes produzidas pelos elementos naturais

Os elementos naturais em contato com a ponte (ar, gua, terra) exercem presses
sobre a estrutura, originando solicitaes que devem ser levadas em conta no
dimensionamento da obra.
13
Em pontes com pilares de grande altura (por exemplo, 50m a 100m), as solicitaes
provocadas pelo vento tm grande importncia no dimensionamento dos pilares.
Em pontes com pilares em rios sujeitos a grandes enchentes, a presso da gua gera
solicitaes considerveis nos pilares, freqentemente agravadas pelo impacto de
troncos de rvore trazidos por enxurradas.
Os empuxos de terra so produzidos pelos aterros de acesso obra, dando origem
a esforos horizontais absorvidos pelos encontros ou pilares da ponte. Os
deslocamentos das fundaes, provocados por deformao do terreno, podem
produzir solicitaes nas obras com estrutura estaticamente indeterminada.
2.1.4 Esforos produzidos por deformaes internas

As deformaes internas dos materiais estruturais, produzidos por variaes de
temperatura, retrao ou fluncia do concreto, originam solicitaes parasitrias por
vezes importantes, cuja considerao exigida na anlise de estabilidade das obras.
Na moderna conceituao de segurana das estruturas, procura-se definir os
parmetros em jogo por critrios estatsticos. No foi possvel, entretanto, at o
momento, aplicar os conceitos estatsticos s solicitaes atuantes, pela
complexidade das mesmas e pela falta de medidas experimentais em grande nmero.
As solicitaes so, ento, fixadas arbitrariamente nas normas, com fundamento em
valores tericos e experimentais. As normas brasileiras fornecem os valores das
solicitaes a adotar no projeto, bem como as cargas mveis de clculo tanto para
pontes rodovirias quanto para ferrovirias. Alm das cargas gerais de clculo,
vlidas para todos os elementos da estrutura, as normas fixam ainda cargas especiais
para certos elementos da estrutura, como por exemplo:
a) Carga horizontal sobre guarda-corpos;
b) Carga horizontal sobre guarda-rodas ou barreiras de proteo;
c) Carga horizontal sobre pilares de viadutos, sujeitos a choques
acidentais de veculos.
De acordo com a NBR8681/2003 - AES E SEGURANA NAS ESTRUTURAS,
aes so as causas que provocam o aparecimento de esforos ou deformaes nas
estruturas. Estas podem ser classificadas em:
a) Aes permanentes: diretas e indiretas;
b) Aes variveis: normais e especiais;
c) Aes excepcionais.
Considerando a norma NBR7187/2003 - PROJETO E EXECUO DE PONTES DE
CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, as aes nas pontes podem ser agrupadas da
seguinte forma:
14
d) Aes permanentes: Aes cujas intensidades podem ser consideradas

como constantes ao longo da vida til da construo. Tambm so
consideradas permanentes as que crescem no tempo, tendendo a um
valor limite constante. As aes permanentes compreendem, entre
outras:
As cargas provenientes do peso prprio dos elementos estruturais;
As cargas provenientes do peso da pavimentao, dos trilhos, dos

dormentes, dos lastros, dos revestimentos, das barreiras, dos
guarda-rodas, dos guarda-corpos e de dispositivos de sinalizao;
Os empuxos de terra e de lquidos;
As foras de protenso;
As deformaes impostas, isto , provocadas por fluncia e

retrao do concreto, por variaes de temperatura e por
deslocamentos de apoios.
b) Aes variveis: Aes de carter transitrio que compreendem, entre

outras:
As cargas mveis;
As cargas de construo;
As cargas de vento;
O empuxo de terra provocado por cargas mveis;
A presso da gua em movimento;
O efeito dinmico do movimento das guas;
As variaes de temperatura.
d) Aes
excepcionais:
So
aquelas
cuja
ocorrncia
se
em
circunstncias anormais. Compreendem os choques de objetos mveis,

as exploses, os fenmenos naturais pouco freqentes, como ventos
ou enchentes catastrficos e sismos, entre outros:
15
Choques de objetos mveis;
Outras aes excepcionais.
2.2 CARGAS PERMANENTES

Aes estas consideradas como constantes ao longo da vida til da obra.
Constituem-se cargas permanentes em pontes: peso prprio dos elementos
estruturais, da pavimentao, dos trilhos, dos dormentes, dos lastros, dos
revestimentos, das barreiras, dos guarda-corpos, empuxos de terra e de lquidos,
foras de protenso, deformaes impostas (fluncia e retrao), variaes de
temperatura e deslocamentos de apoio (NBR 7187, 1987).
2.2.1 Peso prprio dos elementos estruturais

O peso especfico a ser tomado para a determinao do peso dos elementos
estruturais de no mnimo 24kN/m para o concreto simples e de 25kN/m para o
concreto armado ou protendido.
2.2.2 Pavimentao
Para pavimentao o peso especfico mnimo deve ser adotado 24kN/m, prevendose uma carga adicional de 2kN/m para atender a um eventual recapeamento. O
proprietrio da obra pode dispensar esta carga de 2kN/m no caso de obras de
grandes vos.
2.2.3 Lastro de trilhos

Para lastros de ferrovias deve ser considerado um peso especfico aparente de
18kN/m. Deve supor que o lastro atinja o nvel superior dos dormentes e preencha
completamente o espao limitado pelos guarda-lastros, at o seu bordo superior,
mesmo se na seo transversal do projeto no for indicado desta forma. Na ausncia
de indicaes precisas, a carga referente aos dormentes, trilhos e acessrios deve
ser considerada, no mnimo, igual a 8kN/m por via. Para valores detalhados pode-se
fazer referncia a Tabela 2.1.
16
Tabela 2.1 Massas especficas (Pfeil, 1980).

Materiais
Massa especfica [kN/m]
Ao estrutural de trilhos
78,5
Dormentes de madeira
12,5
Dormentes de concreto
24,0
Lastro de pedra
17,0
2.3 CARGAS MVEIS

A norma que orienta o projetista na determinao de cargas mveis para pontes e
passarelas de pedestres a NBR 7188/1984 CARGA MVEL EM PONTE
RODOVIRIA E PASSARELA DE PEDESTRES.
Carga mvel o sistema de cargas que representa valores caractersticos de
carregamentos provenientes do trfego e que a estrutura est sujeita em servio
NBR 7188 (1984). Refere-se tambm carga mvel de uma ponte como TREMTIPO.
2.3.1 Rodoviria
As cargas podem ser classificadas em classes:
a) Classe 45: Representada por um veculo tipo de 450kN de peso
total;
b) Classe 30: Representada por um veculo tipo de 300kN de peso
total;
c) Classe 12: Representada por um veculo tipo de 120kN de peso
total;
A determinao da utilizao do trem tipo fica a critrio dos rgos de jurisdio
sobre as mesmas.
17
A rea ocupada pelo veculo suposta ocupar uma rea retangular de dimenses ( 3 x
6 )m. A Figura 2.1 e a Tabela 2.2 apresentam as dimenses dos Trens-Tipo e
carregamentos. As cargas distribudas no devem se sobrepor as cargas do TremTipo.
Figura 2.1 - Elevao e planta de um trem tipo tpico.

Tabela 2.2 Carregamentos da NBR 7188 (1984).
Tabela 2.3 Caractersticas bidimensionais dos Trens-Tipos, dimenses em

[m], NBR 7188 (1984).
A Figura 2.2 e Tabela 2.3 apresentam as dimenses caractersticas dos Trens-Tipos.
18
19
Figura 2.2 - Elevao e planta dos Trens-Tipo, dimenses em [m], NBR 7188
(1984).
O veculo deve ser orientado sempre na direo do trfego e posicionado de forma

que provoque a maior solicitao na seo de estudo.
Os passeios devem ser carregados em toda sua rea pela carga p.
A carga distribuda de intensidade p deve ser aplicada em toda a pista de rolamento,
nesta includas as faixas de trfego, acostamentos. Desconta-se apenas a posio
onde se localiza o veculo (NBR 7188, 1984).
Mais a frente ser visto que permitido avanar com as cargas distribudas de
multido sobre o Trem-Tipo desde que se faa uma deduo desta carga sobre as
cargas do Trem-Tipo. Esta simplificao torna mais fcil os clculos de solicitaes
atravs de linhas de influncia de vigas contnuas.
Os guarda-rodas devem ser verificados para uma carga aplicada em seu extremo de p
= 60kN sem a considerao de coeficientes de impacto.
Para mais informaes sobre carregamentos em pontes sugere-se ler a NBR
7188/1984.
2.3.2 Ferroviria
Para obras rodovirias as condies de projeto so fixadas pela norma NBR
7189/1985 CARGAS MVEIS PARA PROJETO ESTRUTURAL DE OBRAS
FERROVIRIAS.
Da mesma forma que para obras rodovirias, nas obras ferrovirias temos os trenstipo brasileiros (TB) classificados como segue:
a) TB-360: para ferrovias sujeitas a transporte de minrio de ferro ou
outros carregamentos equivalentes;
b) TB-270: para ferrovias sujeitas a transporte de carga geral;
c) TB-240: para ser adotado somente na verificao de estabilidade e
projeto de reforo de obras existentes;
d) TB-170: para vias sujeitas exclusivamente ao transporte de passageiros
em regies metropolitanas ou suburbanas.
A Figura 2.3 e a Figura 2.4 mostram um esquema de TB para
carregamentos mveis para obras ferrovirias e a Tabela 2.4 apresenta
estes valores.
20
Figura 2.3 - Esquema de um trem com representao de cargas de eixo para

os respectivos vages.
Figura 2.4 - Caractersticas de geometria para definio das cargas dos TBs
(NBR 7189, 1985).

TB
360
270
240
170
Q [kN]
360
270
240
170
Q [kN/m]
120
90
80
25
q [kN/m]
20
15
15
15
a [cm]
1,00
1,00
1,00
11,00
b [cm]
2,00
2,00
2,00
2,50
c [cm]
2,00
2,00
2,00
5,00
Para o caso em quem temos que analisar projetos em que iro passar trs ou mais
vias, necessrio que sejam consideradas a pior das duas hipteses exemplificadas a
seguir:
a) Duas vias devem ser carregadas com o TB em posio crtica e demais
vias devem estar descarregadas;
b) Todas as vias devem ser carregadas, no entanto devem-se utilizar
fatores de reduo, , conforme o nmero de vias, n, (Tabela 2.5).
21
n
3
4
51
0,73
0,66
0,59
Para obras existentes a NBR 7189 (1985) sugere que sejam adotadas as seguintes
condies de carregamentos:
a) na verificao da estabilidade de obras existentes, quando justificada, a
entidade responsvel pela via pode optar pela utilizao de seu trempadro operacional como base para determinao das solicitaes na
estrutura;
b) no projeto de reforo de obras existentes, ainda que oriundo de
verificao da estabilidade efetuada conforme deve ser considerado no
mnimo um dos trens-tipo definido anteriormente;
c) no caso de obra situada em ramal, ptio ou terminal privados, o tremtipo a ser adotado no projeto estrutural pode ser diferente dos
especificados nesta Norma, a critrio de seus proprietrios, mas nunca
inferior ao trem-tipo da via de acesso correspondente;
d) no caso de obra situada dentro de rea de processo industrial, o trem-
tipo a ser adotado deve ser especificado pelos proprietrios das

indstrias.
2.3.3 Aeroviria
Viadutos usados para passagem de aeronaves devem ser dimensionados para cargas
pesadas modernas. Um Boeing 747 (Jumbo), por exemplo, tem as seguintes
caractersticas apresentadas na Tabela 2.6:
Nunca tomar n maior que 5.
22
Tabela 2.6 Caractersticas de um trem tipo de Boeing 747 (Pfeil, 1980).

Peso total
Comprimento
Largura
Carga por trem de aterrissagem
Carga por pneu
3235kN
70,5m
59,7m
755kN
189kN
A Figura 2.5 mostra um trem-tipo de Boeing 747 (a) e uma aeronave sobre uma
provvel pista de pouso sobre ponte. Neste caso deve-se fazer avaliao especial
uma vez que temos cargas adicionais de impacto.
(a)
(b)
Figura 2.5 - (a) Trem-tipo aerovirio para um Boeing 747 (Pfeil, 1980) e (b)
Boeing em pouso sobre uma pista sobre ponte.
2.3.4 Cargas rodovirias no usuais

Cargas no usuais como o prprio nome j diz so cargas excepcionais que podem ou
no ser consideradas em projeto. Carretas extraordinrias e de grandes
comprimentos s vezes so necessrias para se transportar transformadores
pesados ou outro tipo de carregamento pesado (Figura 2.6). A Figura 2.6 tambm
apresenta um caminho especial fora de estrada utilizado em obras de minerao e
terraplanagem. A passagem de veculo deste porte sobre pontes s deve ser feita
aps a anlise das solicitaes na estrutura.
23
(a)
http://www.locamaq.com
(b)
http://lh4.ggpht.com
Figura 2.6 - Cargas excepcionais: (a) reboque especial e (b) caminho fora
de estrada.
2.3.5 Considerao de impacto devido s cargas mveis

O efeito dinmico devido s cargas mveis pode ser gerado por diversos fatores:
imperfeies da pista ou trilho, vibrao causada pelo prprio automotor,
deslocamento das cargas, inclinao varivel da locomotiva, etc.
A anlise dinmica para estes casos citados torna-se complexa e deve ser analisada
levando-se em conta a teoria da dinmica das estruturas. A NBR 7187 (2003)
permite, portanto que sejam feitas simplificaes para considerar um efeito dinmico
na estrutura atravs de coeficientes de ponderao das cargas mveis:
a) Para os elementos de pontes rodovirias:
1, 4 0,007 L 1
(2.1)
b) Para os elementos de pontes ferrovirias:
0,001 1600 60 L 2, 25 L 1, 2
(2.2)
Para pontes suspensas ou outras pontes flexveis sugere-se fazer uma anlise
dinmica mais apurada nvel de vibraes causadas pela ao dinmica de veculos,
vento entre outras.
Pra obras ferrovirias devem ainda ser considerados os choques laterais causados
por irregularidades nos trilhos e rodas ou inclinao lateral da locomotiva. Para este
24
caso a NBR 7187 (2003) sugere a aplicao de uma fora horizontal mvel de valor
20% da carga do eixo mais pesado. Em pontes em curva em planta, no se deve
somar o efeito do choque com a fora centrfuga causada pela curva. Em pontes com
mais de uma linha considera-se apenas a ao do choque em ma delas.
2.4 FORAS HORIZONTAIS EM PONTES.

Dentre todas as solicitaes e carregamentos que as pontes sofrem, os que
provocam esforos horizontais nas mesmas so:
Longitudinais:
a) frenagem ou acelerao da carga mvel sobre o tabuleiro;
b) empuxo de terra e sobrecarga nas cortinas;
c) componente longitudinal do vento incidindo na superestrutura;
d) variao de temperatura;
e) retrao;
f) protenso.
Transversais:
a) vento incidindo na superestrutura;
b) fora centrfuga (pontes em curva horizontal);
c) componente Horizontal de empuxo de terra nas cortinas.
2.4.1 Carregamento Longitudinal
2.4.1.1 Frenagem e Acelerao

As foras de frenagem ou acelerao sobre as pontes devem ser tomados com uma
frao das cargas mveis, consideradas sem impacto (NBR 7187, 2003). Para
pontes rodovirias, devem ser aplicadas no topo da superfcie de rolamento e igual
ou maior que os seguintes valores:
25
a) 5% das cargas de multido no tabuleiro (excluindo passeios):
FA 0 ,05 5 kN / m A
(2.3)
Onde A a rea do tabuleiro onde est disposto o carregamento de multido.

b) 30% do peso do veculo:
FA 0 ,3 TT
(2.4)
2.4.1.2 Empuxo de Terra

O empuxo de terra deve ser determinado conforme princpios da mecnica dos solos.
Algumas simplificaes para determinao do carregamento em pontes podem ser
feitas de acordo com o que ser explicado a seguir.
Supes-se que o solo no tenha coeso e que no haja atrito entre o terreno e a
estrutura, desde que as solicitaes assim determinadas estejam a favor da
segurana. O Peso especfico do solo mido deve ser considerado 18kN/m e o
ngulo de atrito interno, no mximo igual a 30o. Quando a superestrutura funcione
como arrimo dos aterros de acesso, a ao do empuxo de terra proveniente desses
aterros deve ser levada em conta apenas em uma das extremidades do tabuleiro. Em
caso de tabuleiros de pontes esconsos ou em curva deve ser feita tambm a anlise
em ambos os acessos. Para pilares implantados em taludes de aterros, deve ser
adotada, para o clculo do empuxo de terra, uma largura fictcia igual a trs vezes a
largura do pilar, devendo este valor no ser maior que a largura da plataforma do
aterro (NBR 7187, 1987).
A presso do solo sobre o elemento estrutural se tivssemos uma coluna de um
lquido seria determinado pela frmula:
P h
(2.5)
Onde:
a massa especfica da gua;

h a distncia da superfcie dgua at a profundidade onde se deseja determinar a
presso hidrosttica.
Para se levar em conta, no caso de solo, o atrito entre partculas, a rugosidade do

muro e a inclinao do terreno em relao a horizontal, introduz-se um coeficiente k:
26
Psolo kh
(2.6)
Onde:
k designado coeficiente de empuxo ou de Coulomb.
Para o caso de cortinas sujeitas ao empuxo de terra como mostra a Figura 2.7, o
coeficiente de Coulomb se torna:
k a tg 2 45 o
2
(2.7)
Conforme a NBR 7187 (2003) o peso especfico do solo mido deve ser
considerado 18kN/m e o ngulo de atrito interno, no mximo igual a 30o, neste caso
a Equao (2.7) se torna:
30 o
0 , 3
k a tg 2 45 o
2
(2.8)
A Presso do solo, portanto (Equao (2.6)), torna-se
Psolo 18 0, 3 h 6 h
(2.9)
Calcula-se a presso ao nvel do topo da cortina e ao nvel inferior. Nota-se na Figura

2.7 que Psolo1 deve ser determinado considerando uma altura equivalente de solo de
50cm que representa uma sobrecarga devido a cargas mveis em aproximao da
ponte.
O Empuxo devido o solo determinado pela rea do diagrama de presses incidente
na cortina.
E h Psolo 1 Psolo 2
27
hcortina
2
(2.10)
Figura 2.7 - Esquema de distribuio de presses sobre uma cortina e a

resultante Eh.
2.4.1.3 Temperatura
Para o clculo da dilatao linear devido a temperatura utiliza-se um coeficiente de
dilatao trmica de 10-5 e uma variao de temperatura de 15 C (NBR 7187,
2003).
T d
(2.11)
Onde:
a deformao linear (alongamento ou encurtamento);

T a variao de temperatura que ocorre no local da obra;
d a distncia do centro elstico da pea linear ao ponto em que se deseja calcular
o deslocamento.
O deslocamento das vigas causar esforos nos pilares que sero quantificados
conforme a rigidez de cada um deles.
Figura 2.8 Distribuio de esforos longitudinais aplicados a estrutura.
28
2.4.1.4 Determinao da rigidez dos apoios

A determinao da distribuio dos esforos em cada um dos pilares da ponte
depender da rigidez de cada um deles.
Quando o sistema estrutural formado por vigas contnuas, a superestrutura sofre
um deslocamento horizontal e o topo dos pilares sofre o mesmo deslocamento por
estarem ligados superestrutura.
O esforo aplicado ao topo de cada pilar igual ao produto do deslocamento pela
rigidez do pilar (K). Se todos os pilares sofrem o mesmo deslocamento, o esforo
transmitido a cada pilar proporcional sua rigidez. O esforo Fi, num pilar genrico,
dado por:
Fi
Ki
F
K
(2.12)
Onde:
F o carregamento total a ser distribudo conforme rigidez de cada pilar;

K i a rigidez de cada do apoio em que se deseja determinar a parcela de fora
atuante;
K o somatrio das rigidezes dos apoios.

Quando cada linha de apoio possuir mais de um pilar, o esforo horizontal transmitido
pela superestrutura, que dividido pelos pilares proporcionalmente sua rigidez,
deve tambm ser dividido pelo nmero de pilares que constituem cada apoio. Como
mostra a Figura 2.8.
A rigidez (K) desse mesmo pilar o esforo que produz um deslocamento unitrio no
topo como mostra a Figura 2.9. A rigidez e a flexibilidade de uma estrutura so
relacionadas entre si por K = 1/ , conhecida a flexibilidade de uma estrutura, sua
rigidez obtida pelo inverso da flexibilidade.
Quando a transmisso dos esforos da superestrutura para os pilares feita atravs
de aparelhos de apoio de borracha (neoprene), a rigidez dos pilares sofre uma
modificao devido contribuio da flexibilidade do neoprene no deslocamento total
do topo do pilar. Seja um pilar engastado na base e livre no topo no qual existe um
aparelho de apoio, e sejam L e hn as alturas do pilar e do aparelho de apoio,
respectivamente conforme Figura 2.10.
29
Figura 2.9 Conceito de flexibilidade e rigidez de uma pilar.
Figura 2.10 Deformao de uma pilar com apoio de neoprene.

Se ao topo da placa de neoprene for aplicada uma fora horizontal unitria (F = 1),
esta provocar na placa um deslocamento horizontal n . Como o aparelho de apoio
est ligado ao pilar, a fora horizontal tambm solicita o topo do pilar, deslocando-o
de p . Desse modo, o conjunto aparelho de apoio + pilar ( K pn ) sofre um
deslocamento horizontal total de n + p , e a rigidez desse conjunto, definida
como o inverso da flexibilidade, vale:
K pn
pn
1
p n
(2.13)
Aps algumas dedues chegamos a uma equao direta para determinao da

rigidez do conjunto K pn :
30
K pn
K pKn
(2.14)
K p Kn
Para um pilar engastado-livre:
Kp
3 EI
L
(2.15)
A rigidez do neoprene ser dada aps algumas dedues por:
Kn
GA n
hn
(2.16)
Onde:
G o mdulo de elasticidade transversal da borracha (neoprene) que vale em torno
de 1MPa;
An a rea da seo transversal do neoprene.

Quando o pilar bi-engastado, o procedimento anlogo, podendo a rigidez ser
calculada como o inverso da flexibilidade (processo dos esforos) ou obtida
diretamente de tabelas. Para o caso particular de pilar bi-engastado de inrcia
constante sua rigidez vale:
Kp
12 EI
L
A Figura 2.11 mostra a rigidez de um pilar bi-engastado.
31
Figura 2.11 Deformao em um pilar bi-engastado.
(2.17)
Sob a ao dos esforos horizontais provocados pela presso do vento e da gua,

cada conjunto de pilares, geralmente constituindo um prtico transversal por apoio,
comporta-se como engastado na fundao e elasticamente apoiado na
superestrutura, provocando, portanto, reaes em seus topos.
2.4.1.5 Retrao
Para o clculo da dilatao linear devido a retrao utiliza-se um coeficiente de
dilatao trmica de 10-5 e uma equivalncia a uma variao de temperatura de 25
C.
2.4.1.6 Protenso
Para o clculo da dilatao linear devido a protenso utiliza-se um coeficiente de
dilatao trmica de 10-5 e uma equivalncia a uma variao de temperatura de 70
C.
2.4.2 Carregamento transversal
2.4.2.1 Fora Centrfuga

Aplicada a pontes rodovirias em curva, a fora centrfuga tem direo perpendicular
ao eixo da pista e atua na superfcie de rolamento. Determina-se como sendo uma
frao C do peso do veculo j incluso o efeito dinmico das cargas mveis.
r 300 m ; C 0, 25
r 300 m ; C
75
R
(2.18)
(2.19)
Sendo R o raio de curvatura horizontal da ponte.

Para pontes ferrovirias, a fora centrfuga deve ser aplicada a uma altura de 1,60
metros acima da superfcie definida pelo topo dos trilhos (Figura 2.12).
32
Figura 2.12 Fora centrfuga em ferrovias.

O fator C definido como segue:
Para linhas de bitola larga (1,6m no Brasil):
R 1200 m ; C 0,15
(2.20)
180
R
(2.21)
R 1200 m ; C
Para linhas de bitola estreita (1,0m no Brasil):
R 750 m ; C 0,10
R 750 m ; C
33
75
R
(2.22)
(2.23)
2.4.2.2 Empuxo de gua

Devem-se ter informaes sobre nveis mximo e mnimo dos cursos dgua para se
determinar o carregamento hidrodinmico em pilares. Em caso de muros de arrimo
deve-se prever sistema de drenagem para evitar a atuao de presses
hidrostticas.
A presso da corrente de gua sobre pilares e elementos das fundaes pode ser
determinada atravs da expresso (NBR 7187, 2003):
P[ kN / m ] k v 2
(2.24)
Onde:
P a presso esttica equivalente em [kN/m];

v a velocidade da gua em [m/s];
k um coeficiente adimensional, cujo valor varia conforme forma da seo transversal

do elemento incidente e ngulo de incidncia da corrente dgua. A Figura 2.13
apresenta os coeficientes k para trs formas de seo transversal diferentes.
Figura 2.13 - Valores de coeficientes k obtidos experimentalmente (NBR

7187, 2003).
Para formas diferentes das apresentadas na Figura 2.13 devem ser realizados
ensaios experimentais para determinao do coeficiente k.
2.4.2.3 Presso do Vento

A presso do vento deve ser determinada utilizando a NBR 6123 Foras devidas
ao vento em edificaes de 1988. Pfeil (1980) sugere para pequenas pontes uma
simplificao:
a) Para ponte descarregada considerar uma presso de 1,5kN/m;
34
b) Para ponte carregada considerar uma presso de 1,0kN/m;

So consideradas as superfcies de incidncia do vento como mostra a Figura 2.14
Figura 2.17:
Figura 2.14 Presso do vento sobre pontes rodovirias carregadas.
Figura 2.15 Presso do vento sobre pontes rodovirias descarregadas.
35
Figura 2.16 Presso do vento sobre pontes ferrovirias carregadas.
Figura 2.17 Presso do vento sobre pontes ferrovirias descarregadas.
3 PILARES
Apresenta-se aqui um procedimento da NBR 6118/2003 para considerao dos
efeitos de segunda ordem e dimensionamento de pilares circulares para pontes.
Os passos seguintes consistiro na verificao das dimenses dos pilares quanto
capacidade resistente do concreto de forma que satisfaam as solicitaes da
superestrutura transferida ao pilar. Devero ser ainda determinadas as reas de ao
longitudinais e transversais do pilar. O detalhamento dever ainda atender as
necessidades construtivas.
Como visto em aula anterior os pilares esto solicitados a esforos verticais e
horizontais. Os esforos sero resumidos em esforo normal e momento fletor na
base do pilar para dimensionamento do mesmo a flexo composta obliqua. Far-se-
necessria a utilizao de bacos de dimensionamento de pilar circular devido
complexidade da soluo manual.
Faremos ao final do captulo um exemplo de dimensionamento de pilar de concreto
armado circular levando-se em conta a combinao ltima de cargas (Estado Limite
ltimo).
3.1 EFEITOS DE PRIMEIRA ORDEM

A Figura 3.1 apresenta diversas formas de representar excentricidades de carga em
pilares devido ao efeito de primeira ordem.
36
Figura 3.1 Diferentes formas de representar excentricidades de carga em pilares.

A NBR 6118 (2003) considera a formulao a seguir para levar em considerao os
efeitos de imperfeies locais (construtivas) atravs de uma excentricidade acidental:
ea 0,015 0,03h
(3.1)
h a altura total da seo na direo a serem considerados os esforos.
3.2 EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM

O clculo dos esforos finais no pilar leva em considerao agora a estrutura
deformada.
e1
e2
Figura 3.2 Efeito de segunda ordem em um pilar.
37
3.3 DISPENSA DA ANLISE DE SEGUNDA ORDEM

Para elementos isolados estes efeitos de segunda ordem podem ser dispensados
quando o ndice de esbeltez for menor que o limite estabelecido 1. Os pilares devem
ter ndice de esbeltez menor ou igual a 200 ( 200). Apenas no caso de postes
com fora normal menor que 0,10 fcd. Ac, o ndice de esbeltez pode ser maior que
200.
Para o calculo do ndice de esbeltez, temos:
le
; i
i
(3.2)
I
A
Onde: le o comprimento equivalente de flambagem do pilar que depender das

condies de contorno deste; i o raio de giro da seo transversal do pilar; I e A
so a inrcia e a rea da seo, respectivamente. A Figura 3.3 mostra algumas
condies de contorno e a Tabela 3.1 apresenta os comprimentos de flambagem a
serem considerados.
Figura 3.3 Comprimento de flambagem de barras para diferentes condies de contorno

(www.mspc.eng.br).
Tabela 3.1 Comprimento de flambagem para barras com diferentes
condies de contorno.
Tipo
Le(terico)
Le(prtico)
(a)
0,5L
0,65L
Fonte: (www.mspc.eng.br).
(b)
0,7L
(c)
1,0L
(d)
1,0L
(e)
2,0L
(f)
2,0L
0,8L
1,2L
1,0L
2,1L
2,0L
38
O ndice de esbeltez limite dado pela equao:
e1
h ; 35 90
1
(3.3)
M meio
; 1,0 b 0,85
M base
(3.4)
25 12,5
Para pilares em balano, temos:
b 0,8 0,2
3.4 MTODO DO PILAR-PADRO COM CURVATURA APROXIMADA

Empregado apenas no clculo de pilares com ndice de esbeltez menor ou igual a 90,
seo constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo. O Momento
total mximo, portanto deve ser calculado pela expresso a seguir:
M d ,tot b M 1d , A N d e2
(3.5)
le 2 1
e2
10 r
(3.6)
1
0,005
0,005
r 0,5 h
h
(3.7)
Onde:
e2 o esforo de segunda ordem e 1/r o raio de curvatura. A fora normal

reduzida, , o momento reduzido, , e a taxa , so dados respectivamente por:
39
Nd
Acf cd
(3.8)
Md
Acf cd h
(3.9)
As f yd
Ac f cd
(3.10)
A rea de ao ser distribuda no permetro da seo do pilar considerando

cobrimentos, espessura de estribos e metade do dimetro da barra utilizado no
detalhamento.
As
Acf cd
(3.11)
f yd
4 LINHAS DE INFLUNCIA
Denomina-se linha de influncia de uma solicitao ou esforo Sm num ponto m, uma
linha cujas ordenadas fornecem os valores de Sm para diversas posies de uma
carga unitria (Figura 4.1). A figura mostra uma viga contnua contendo dois vos. As
linhas de influncia mostram para a seo m as ordenadas que representam os
esforos na seo para vrias posies de uma carga unitria.
40
Figura 4.1 Conceito de linhas de influncia de um esforo Sm (Pfeil, 1987).

Conforme conceito de linhas de influncia, para se determinar o esforo na seo a
partir das cargas concentradas e distribudas aplicadas a estrutura temos a seguinte
formulao:
b
S m Q1 y1 Q2 y 2 Q2 y2 q. ydx ;
(4.1)
S m Qi yi qA
Em conseqncia do princpio da superposio, para vrias cargas distribudas

aplicadas na viga o esforo pode ser determinado pelo somatrio do produto das
cargas uniformemente distribudas pelas respectivas reas de incidncia destas
cargas.
4.1 VIGAS ISOSTTICAS
4.1.1 LI de reaes
41
O processo mais simples pra se traar linhas de influncia para certa viga desenhar
os diagramas das solicitaes desejadas para diversas posies de uma carga
unitria sobre a viga. Na Figura 4.2a vemos que para uma carga concentrada Q
aplicada no apoio A, a reao em A vale Q (ordenada da LIRA igual a 1 no ponto A);
para a carga aplicada em B, a reao em A nula (ordenada da LIRA nula no ponto B).
Para a carga Q aplicada a uma distncia x do apoio A, a reao em A vale Q(L-x)/L.
Verificamos que a linha de influncia uma reta. Como a reta definida por dois
pontos, podemos traar a linha de influncia de RA na Figura 4.2b. A linha de
influncia de reao RB anloga de RA, representada na Figura 4.2c. (Pfeil,
1987).
Figura 4.2 Linhas de influncia de reao de apoio de uma viga simples AB: (a) esquema da viga,
com uma carga Q na posio genrica; (b) LI de reao RA; (c) LI de reao RB (Pfeil, 1987).
4.1.2 LI de esforos cortantes

Na Figura 4.3 podemos ver a evoluo dos esforos cortantes numa seo (m), para
diversas posies de uma carga Q, ao longo da viga. Na Figura 4.3a, admitimos a
fora Q aplicada num ponto genrico esquerda da seo m, obtendo o diagrama da
seo (Figura 4.3b). Na Figura 4.3c, a carga Q foi suposta aplicada numa seo
corrente, direita da seo (m), obtendo-se o diagrama da Figura 4.3c. As
Expresses de Vm nos diagramas das Figura 4.3b e Figura 4.3d mostram que o
esforo cortante em (m) cairia linearmente com a posio da carga. Por transposio
das ordenadas dos diagramas das Figura 4.3b e Figura 4.3d, obtemos a linha de
influncia desenhada na Figura 4.3e (Pfeil, 1987).
42
Figura 4.3 Linha de influncia de esforo cortante numa seo (m) de uma viga simplesmente
apoiada: (a) esquema de uma viga mostrando a seo (m) e a carga concentrada Q numa posio
genrica, esquerda da seo m (x<a); (b) diagrama dos esforos cortantes V para a posio da carga
indicada em (a); (c) esquema da viga para uma posio da carga Q direita da seo m (x>a); (d)
diagrama dos esforos cortantes V para a posio da carga indicada em (c); (e) linha de influncia do
esforo cortante na seo (m); (f) conveno de sinal para o esforo cortante (g) esforos cortantes
esquerda e direita do ponto de aplicao da carga Q (Pfeil, 1987).
4.1.3 LI de momentos fletores
43
Na Figura 4.4 estudamos a variao do momento fletor em uma seo (m) da viga AB.
Para uma carga Q, situada num ponto corrente esquerda de m (x<a), obtemos o
diagrama de momentos da Figura 4.4b. Observamos que o momento M varia
linearmente com a abscissa da carga Q, atingindo um valor mximo Qa(L-a)/L, quando a
carga atua na prpria seo (m). Assim, a linha de influncia esquerda da seo (m)
uma linha reta, definida pela ordenada zero no ponto A e pela ordenada a(L-a)L no
ponto (m). Para a carga atuando direita da seo (m), chegaremos a concluses
anlogas, resultando a Linha de influncia representada na Figura 4.4c (Pfeil, 1987).
Figura 4.4 Linha de influncia do momento fletor numa seo (m): (a) esquema da viga AB,
mostrando a seo (m) e a carga Q numa posio genrica; (b) diagrama de momento fletor para a
posio da carga indicada em (a); (c) linha de influncia do momento fletor; (d) conveno de sinal
para momentos (momento positivo produz trao na fibra inferior) (Pfeil, 1987).
Para sistemas mais complexos, o emprego do processo acima, apresenta
inconvenientes prticos, sendo necessrio traar um grande nmero de diagramas
para obter as linhas de influncia.
4.2 VIGAS CONTNUAS

Para a determinao de linhas de influncia para estruturas hiperesttica como, por
exemplo, as vigas contnuas que so utilizadas em pontes em viga reta utilizaremos
tabelas alems desenvolvidas com o objetivo de agilizar a determinao de
solicitaes pelo projetista. Em sala de aula utilizaremos tambm programas
computacionais para determinao de LI para diversos tipos de vigas contnuas. No
anexo so encontradas as tabelas com ordenadas das linhas de influncia para 30
sees igualmente espaadas para vigas contnuas com relao de vos (1:1,2:1) e
(1:1,25:1), para momentos, cortantes e reaes. Encontram-se tambm estas linhas
de influncia plotadas com ajuda do programa computacional Ftool 2.12 (Programa
Grfico-Interativo para Ensino de Comportamento de Estruturas). No Ftool 2.12
ainda pode-se traar linhas de influncia para relaes quaisquer de vos de vigas de
pontes.
44
4.3 REGRA DOS TRAPZIOS (COMPOSTA)

A regra dos trapzios ser utilizada aqui com o objetivo de calcular reas sob as
curvas de linhas de influncia onde incidem cargas distribudas conforme j visto em
seo anterior. No entanto anteriormente o clculo das reas das linhas de influncia
era mais simples devido terem carter linear e serem facilmente calculadas a partir de
aproximaes a figuras conhecidas como tringulos e trapzios. A seguir deduzida
de forma simples a regra do trapzio composta para a funo qualquer que ser
utilizada para calcular reas de linhas de influncia para vigas contnuas que por sua
vez possuem formas curvas.
Figura 4.5 - Funo curva aproximada por trapzios de altura h e bases y.

Para simplificar, consideramos que o tamanho desses subintervalos constante = h.
(sendo h a distncia entre as sees de anlise da ponte) e yn so as ordenadas
obtidas nas linhas de influncias. Calculando as reas independentes de cada trapzio
e somando-as posteriormente, temos:
y 0 y1 h y 1 y 2 h y 2 y n h

2 2
2 2
2
2
(4.2)
h
y 0 2 y1 2 y 2 y n
2
A frmula dos trapzios utilizada para calcular reas sobre as curvas de linhas de
influncia de pontes ser dada, portanto pela equao:
ALI
45
Onde:
h
y 0 2 y INTERMEDI RIAS y n
2
(4.3)
h a distncia entre as sees de clculo da linha de influncia;
y 0 a ordenada da seo inicial em que incide uma carga distribuda;

y INTERMEDIRIAS so as ordenadas das sees intermedirias em que incide uma carga
distribuda;
yn a ordenada da ltima seo em que incide uma carga distribuda.
5 VIGAS
5.1 FLEXO
5.1.1 Estado limite ltimo

A combinao sugerida pela NBR 8681 (2003) :
m
n
Fd gi Fgik q Fq1k 0 j Fqjk

i 1
j 2
(5.1)
a) Para peso prprio de pontes em geral: q = 1,35;

b) Protenso: q = 1,2;
c) Veculo: q = 1,5;
d) Temperatura: q = 1,2; 1 = 0,6;
e) Vento: q = 1,4;1 = 0,6;
5.1.2 Determinao da rea de ao longitudinal

A seguir sero relembradas de forma expedita as formulaes necessrias para se
determinar a rea de ao para vigas retas de pontes.
46
Para o clculo de tenses permite fazer substituies do diagrama parbola-retngulo

pelo simplesmente retangular. A Figura 5.1ilustra os dois diagramas e as tenses no
concreto para diversas formas de sees transversais.
Figura 5.1 Diagramas de tenses e alguns tipos de sees e respectivas tenses para diagrama
retangular (Pinheiro, 2003).
O dimensionamento no domnio 3 ideal para projeto, pois ocorre aproveitamento
dos dois materiais (concreto e ao) e a runa dctil, pois ocorre com aviso, o ao
est em escoamento e ocorrem fissuras aparentes e flechas significativas. A linha
neutra varia entre 0,259d e 0,628d. Segue as formulaes para se determinar o
valor de x e y (para garantia da forma de ruptura) e a rea de ao necessria para a
viga.
47
Rcc 0,85 f cd ybcomp
(5.2)
Rst f yd A
(5.3)
Rcc Rst
(5.4)
M Rd Rcc z Md
(5.5)
Combinando as equaes (5.2) e (5.5), temos:
Md 0,85 f cd ybcomp d 0,5 y ;
y d 0,5 y
0,5 y 2 yd
(5.6)
Md
;
0,85 f cd ybcomp
Md
0;
0,85 f cd ybcomp
Resolvendo a equao de segundo grau e expressando em termos de x (posio da

linha neutra), temos que:
2 Md
x 1,25 d d 2
0,85 f cd bcomp
(5.7)
A condio para garantir aviso na ruptura que 0,259d < x < 0,628d.
Para se determinar a rea de ao da seo basta combinar as equaes (5.3) a
(5.5), temos:
As
Md
f yd d 0,4 x
(5.8)
5.1.3 Largura colaborante

Para o caso de pontes apoiadas em vigas podemos no dimensionamento levar em
considerao uma viga T, para isto deve-se definir qual a largura colaborante da mesa
que efetivamente contribui para absorver os esforos de compresso. De acordo
com a NBR 6118, a largura colaborante bf ser dada pela largura da viga bw
acrescida de no mximo 10% da distncia a entre pontos de momento fletor nulo,
para cada lado da viga em que houver laje colaborante (Figura 5.2).
48
a) viga simplesmente apoiada ............................................a = 1,00 L

b) tramo com momento em uma s extremidade ....................a = 0,75 L
c) tramo com momentos nas duas extremidades.....................a = 0,60 L
d) tramo em balano.........................................................a = 2,00 L
O calculo de a ainda pode ser feito de forma mais precisa se determinando no

diagrama o comprimento exato entre momentos nulos.
Figura 5.2 Largura colaborante.
5.1.4 Fadiga
5.1.4.1 Histria da falha por fadiga

O fenmeno da fadiga foi observado pela primeira vez por volta de 1800, quando os
eixos de um vago ferrovirio comearam a falhar aps um pequeno perodo em
servio. Apesar de serem feitos de ao dctil, os mesmos exibiam caractersticas de
fraturas frgeis e repentinas. Rankine publicou um artigo em 1843, As Causas da
Ruptura Inesperada de Munhes de Eixos Ferrovirios, no qual dizia que o material
havia cristalizado e se tornado frgil devido s tenses flutuantes. Os eixos haviam
sido projetados com toda a percia e engenharia disponvel na poca, as quais se
baseavam em experincias decorrentes de estudos com estruturas carregadas
estaticamente. Cargas dinmicas eram, portanto, um fenmeno novo, resultantes da
introduo das mquinas movidas a vapor. Esses eixos estavam fixos s rodas e
giravam em conjunto com as mesmas. Desse modo, a tenso de flexo em qualquer
ponto da superfcie do eixo variava ciclicamente entre valores positivos e negativos,
como mostra a Figura 5.3a (Abraho, 2008). Pode se ainda se encontrar
carregamentos do tipo alternado (Figura 5.3b) ou aleatrio (Figura 5.3c).
49
Figura 5.3 Tenses variantes: (a) alternada, (b) flutuante e (c) aleatria.
O engenheiro alemo, August Whler (1819-1914), realizou a primeira investigao
cientfica (durante um perodo de 12 anos) sobre o que estava sendo chamado de
falha por fadiga, testando, em laboratrio, eixos at a falha sob carregamento
alternado. Ele publicou suas descobertas em 1870, as quais identificavam o nmero
de ciclos de tenso variando no tempo como os causadores do colapso e a
descoberta da existncia de uma tenso limite de resistncia fadiga para aos, isto
, um nvel de tenso que toleraria milhes ciclos de uma tenso alternada. O
diagrama S-N ou Curva de Whler, mostrado na Figura 5.4, tornou-se a forma-padro
50
para caracterizar o comportamento dos materiais submetidos a solicitaes

alternadas e ainda utilizado atualmente, apesar de outras medidas sobre a
resistncia dos materiais, sob cargas dinmicas, estarem disponveis.
Figura 5.4 Diagrama Stress-Number of cycles ou Curvas de Whler.

A tenso que um material pode suportar ciclicamente muito menor que a suportvel
em condies estticas. A fim de aumentar o nmero de ciclos de tenso possveis
numa certo material, necessrio reduzir-se a tenso nos seus componentes. Cada
metal ter um Limite de Fadiga correspondente a uma variao de tenso abaixo da
qual suporta um nmero de ciclos infinito, sem romper.
O termo fadiga foi aplicado pela primeira vez por Poncelet em 1839. O mecanismo
de falha ainda no compreendida e a aparncia de uma fratura frgil na superfcie de
um material dctil geraram especulaes de que o material, de alguma maneira,
apresentou cansao e fragilizou-se devido s oscilaes da carga aplicada. Whler,
mais tarde, constatou que cada metade dos eixos quebrados quando submetido a
ensaios de trao continuava com a mesma resistncia. De qualquer maneira, o termo
falha por fadiga permaneceu e ainda usado para descrever qualquer as falhas
provenientes de cargas variantes no tempo. A Figura 5.1 resume o desenvolvimento
histrico da fadiga.
Tabela 5.1 Histrico do desenvolvimento da fadiga.
51
Data
Pesquisador
Pesquisa
1829
Albert (Alemanha)
Falha devido a carregamentos cclicos foi documentada
1839
Poncelet (Frana)
Introduo do termo fadiga
1849
IEM (Frana)
Rebatida a teoria da cristalizao por fadiga em metais
1864
Fairbain
Primeiros experimentos de carregamentos cclicos
1871
Whler
Investigao do comportamento em fadiga de eixos

ferrovirios, ensaios de flexo rotativa, curvas S-N,
conceito de limite de fadiga
1886
Bauschinger
Observaes da mudana do limite elstico devido a

carregamentos cclicos, curvas de histerese em tensodeformao.
1903
Ewing e Humfrey
Estudo microscpico desaprova a teoria da cristalizao;

toma lugar a deformao em fadiga por escorregamento,
similar deformao monotnica.
1910
Bairstow
Conceitos de amolecimento e endurecimento cclicos.
1929
Haigh
Diferena no comportamento cclico devido a entalhes,

conceitos de anlise de deformaes em entalhes e
tenses prprias.
1955
Coffin e Manson
(trabalhando independentemente)-ciclagem trmica,

fadiga de baixo ciclo, consideraes sobre deformao
plstica.
1963
Paris e Erdogran
Taxa de crescimento de trinca por fadiga descrita

usando o fator de intensidade de tenso.
Os aos especiais (barras de ao nervuradas de alta resistncia) comearam a ser

usadas no Brasil, em pontes de concreto armado, a partir de aproximadamente
1960.
A seguir apresenta-se uma relao de normas brasileiras relacionadas a fadiga e como
tratavam o assunto em cada poca (Schffer, 2002).
a) NB-2/1950: nesta norma de pontes s era admitido o uso de barras
de ao lisas (sem nervuras), das categorias 37-CA e 50-CA que
correspondem s atuais categorias CA-25 e CA-32. Nestes aos, com
as tenses com as tenses de servio usuais, no se manifesta o
fenmeno da fadiga. Aos especiais no eram admitidos em pontes.
52
b) NB-1/1950 (reviso de 1960): nesta norma passou a ser admitido o

uso de aos estruturais das categorias CA-T40 e CA-T50 (atuais
CA40-B e CA-50B) em obras de concreto armado comuns (edifcios).
Esta, no entanto, no uma norma de pontes.
c) NB2-1950 (reviso de 1961): esta norma passou a admitir o uso de
aos especiais das categorias CA-T40 e CA-T50 em pontes. Era
omissa em relao fadiga.
d) EB-3/1965: esta especificao, no anexo II, modifica dispositivos da
NB-1 e da NB-2 e estabelece um limite para a variao da tenso em
aos especiais (categorias CA-40, CA-50 e CA-60), de 220MPa (item
16, letra a), na armadura reta de vigas fletidas. Como na poca era
usual multiplicar previamente as cargas mveis por 1,2, a variao de
tenso realmente admitida pela EB-3/1965 era de 220/1,2 igual a
aproximadamente 180MPa.
e) EB-3/1967: o anexo da EB-3/1967 repete o disposto no anexo II da
EB-3/1965, em relao fadiga da armadura de flexo.
f) NBR 6118/1978 (Antiga NB-1): refere-se fadiga apenas no item
3.1.1.7 onde dispem: havendo possibilidade de fadiga dever esta
ser considerada no clculo das peas.
g) NBR 7187/1987 (Antiga NB-2): na ausncia de resultados de ensaios
esta norma fixa, no item 8.1.3.1, a resistncia caracterstica
fadiga, f sk , para barras de alta aderncia (aos especiais), em
150MPa. O item 10.11.1.2 limita a mxima variao da tenso no ao
ao valor de f sk dividido por um coeficiente de segurana fadiga igual
a 1,5, isto , ao valor de 150/1,5 = 100MPa. Este resultado est
muito abaixo dos valores usuais (aproximadamente 180MPa)
o que
sugere a existncia de um engano da norma nesta questo da fadiga.

h) NBR 6118/2003: ser exemplifica em item posterior neste trabalho.
53
5.1.4.2 Mecanismos da fadiga

De forma bem resumida, existem trs estgios na falha por fadiga:
a) incio
da
trinca
(pequena
durao
caso
material
apresente
concentrador de tenso);
b) propagao da trinca (maior tempo de vida da pea);
c) ruptura repentina devido ao crescimento instvel da trinca (instantneo,
sem aviso prvio).
A Figura 5.5 apresenta fases e aspecto macroscpico da superfcie de fratura por
fadiga. Geralmente a ruptura indicada por uma srie de anis em torno da fissura
inicial.
(a)
(b)
Figura 5.5 Fases e aspecto macroscpico da superfcie de fratura por fadiga: (a) esquema da srie de
anis em torno da fissura inicial e (b) fotografia semelhante.
5.1.5 Verificao segundo a NBR 6118 (Estado Limite de Fadiga)

A NBR 6118 (2003) sugere que a verificao para o estado limite de fadiga seja
feita pela Combinao Freqente das Aes.
As aes de fadiga de mdia e baixa intensidade e nmero de repeties at
2.000.000 de ciclos so consideradas na NR 6118.
54
i 1
j 2
Fd ,ser Fgik 1 Fq1k 2 j Fqjk
(5.9)
Para pontes rodovirias a verificao da fadiga os coeficientes da combinao so

apresentados como sendo:
a) 1 = 0,5 para verificao das vigas;
b) 1 = 0,7 para verificao das transversinas;
c) 1 = 0,8 para verificao do tabuleiro.
Para pontes ferrovirias:
d) 1 = 1,0.
A carga Fq1k considerada na NBR como carga varivel principal que o caso das
cargas mveis.
5.1.5.1 Verificao da fadiga no concreto

Nenhuma exigncia de verificao do concreto fadiga era feita pelas normas
brasileiras anteriores ao NBR 6118/2003. Esta nova norma, no entanto, exige tal
verificao (Schffer, 2002).
O Manual do Concreto da ACI (1991) apresenta as principais caractersticas do
concreto, fadiga:
a) A resistncia fadiga o concreto como uma frao da resistncia
esttica que pode ser suportada repetitivamente para um dado nmero
de ciclos. A resistncia fadiga influenciada pela amplitude da
variao das tenses e pela excentricidade da carga (gradiente de
tenses) entre outras causas (ACI 215R, 1991 item 2.1.1).
b) A resistncia fadiga do concreto diminui com o aumento do nmero de
ciclos (assim como no ao). O concreto no apresenta um limite de
resistncia fadiga at 10 milhes de ciclos. Isto significa que no
55
existe um limite a tenso abaixo da qual o concreto suporta um nmero
infinito de ciclos sem se romper. A resistncia do concreto fadiga

diminui com o aumento da amplitude de variao das tenses,
podendo-se considerar uma relao linear (diagrama de Goodman) (ACI
215R, 1991, item 2.1.2).
c) Gradientes de tenses influenciam a resistncia fadiga do concreto.
Para simular a zona comprimida de vigas, corpos de prova foram
submetidos a ensaios de durao com foras de compresso
excnctricas foi de 15 a 18% mais alta que a resistncia fadiga
obtida para tenses uniformemente distribudas (ACI 125R, 1991,
item 2.1.6) Quando a resistncia do concreto fadiga comparada
no com a resistncia esttica compresso excntrica, com a mesma
excentricidade do ensaio de durao, verifica-se que a resistncia
fadiga do concreto praticamente no varia. Portanto, as resistncias
do concreto esttica e fadiga so afetadas pela excentricidade na
mesma proporo (Boletim de Informao n 188, 1988, item 3.14,
p.123).
Essa verificao para o concreto em compresso satisfeita se:
c c ,max f cd , fad
(5.10)
f cd , fad 0,45 f cd
(5.11)
1
c1
1,5 0,5
c2
(5.12)
Onde:
c um fator que considera o gradiente de tenses de compresso no concreto;

c1 o menor valor, em mdulo, da tenso de compresso a uma distncia no
maior que 300 mm da face sob a combinao relevante de cargas;
56
c1 o maior valor, em mdulo, da tenso de compresso a uma distncia no maior

que 300 mm da face sob a combinao de carga usada para clculo de c1 .
Figura 5.6 Definio das tenses para clculo de fadiga no concreto (NBR 6118, 2003).
5.1.5.2 Verificao da fadiga na armadura

Essa verificao satisfeita se a mxima variao de tenso calculada, S s, para a
combinao freqente de cargas satisfaz:
S f sd , fad
(5.13)
Os valores de f sd , fad ,min podem ser tomados para 2x106 ciclos como:
a) Barras longitudinais com = 10mm a 16mm: 190MPa;
b) Barras longitudinais com = 20mm: 185MPa;
c) Barras longitudinais com = 25mm: 175MPa;
d) Barras longitudinais com = 32mm: 165MPa;
e) Estribos: 85MPa.
57
Para se determinar as tenses na armadura da viga deve-se levar em considerao a

teoria usada na resistncia dos materiais para vigas compostas. Para este caso devese aplicar o Mtodo da Seo Transformada. Em resumo, se for aplicado um
momento fletor numa viga composta, permanecendo a lei de Hook, a deformao vai
variar linearmente na seo, portanto, se tivermos valores de E diferentes, a tenso
ser maior para materiais com E maiores (mais rgido, ex.: ao) e menor para materiais
com E menores (menos rgido, ex.: concreto). A forma mais simplificada de determinar
a posio da linha neutra transforma a viga de forma que se torne de um nico
material. Como temos materiais com elasticidades diferentes podemos alterar a rea
de um dos materiais de forma que a deformao permanea a mesma.
Com a viga agora homognea pode-se determinar por formas convencionais a posio
da linha neutra e aplicar a frmula da flexo para se determinar as tenses na
armadura e no concreto como segue:
M
y
I
(5.14)
y a distncia da linha neutra da seo homogeneizada ao ponto onde se deseja

calcula a tenso.
Aps algumas dedues chega-se ao fator que relacionam os mdulos de
E
elasticidades dos materiais chamado aqui de s , onde Es o mdulo de
Ec
elasticidade do ao e Ec o mdulo de elasticidade do concreto.
A anlise deve ser feita no Estdio II, desprezando a resistncia do concreto a
trao e considerando um coeficiente de equivalncia =10.
Exemplificando, se uma viga de concreto armado for homogeneizada de forma que o
material empregado aps a transformao for apenas o concreto, a rea onde
continha o ao deve ser aumentada de alfa ou de 10 vezes para compensar o mdulo
de elasticidade baixo do concreto.
5.1.6 Verificao da fissurao

Transcreve-se a seguir o texto retirado do artigo (Silva et al., 2005).
Pode-se dizer que a fissurao em elementos estruturais de concreto armado
inevitvel, devido grande variabilidade e baixa resistncia do concreto trao;
para impedir este fenmeno, seria necessrio adotar sees transversais de
dimenses exageradas, o que se torna economicamente invivel. Entretanto, as
fissuras no devem se apresentar com aberturas muito grandes. Quando excessiva, a
fissurao pode comprometer significativamente a esttica, a funcionalidade ou a
durabilidade de uma pea de concreto armado. Alm disso, deve-se ter em conta o
desconforto psicolgico que fissuras com aberturas exageradas pode gerar aos
usurios. Embora no seja a nica causa, ou condio necessria, quando da
ocorrncia de fissuras com aberturas exageradas, pode-se dizer que h grande risco
de haver uma degradao rpida do concreto superficial e da armadura. Vale salientar
que outros fatores, tais como porosidade do concreto, cobrimento insuficiente da
armadura, presena de produtos qumicos, agentes agressivos etc., contribuem ou
podem ser determinantes na durabilidade da estrutura. Examinados esses fatores,
58
visando obter bom desempenho relacionado proteo das armaduras quanto

corroso e aceitabilidade sensorial dos usurios, necessrio que o projetista de
estruturas busque controlar a abertura das fissuras, evitando que a pea sofra
fissurao excessiva, devida flexo, detalhando adequadamente a armadura na seo
transversal e, se for o caso, aumentando-a. Nesse caso, trata-se de uma verificao
de estado limite de servio, ou seja, interessa saber a fissurao que ocorrer na
pea quando esta estiver em servio (utilizao) e no prxima a atingir o colapso.
Convm lembrar que a fissurao, ainda, influenciada pela retrao e pela
compacidade do concreto. Desse modo, importante o controle da fabricao do
concreto com relao utilizao do menor fator gua/cimento possvel, como
tambm o controle das operaes de lanamento e adensamento do concreto e da
sua cura. Portanto, diversas so as circunstncias que podem acarretar a formao
de fissuras em peas de concreto. Pode-se distinguir as fissuras produzidas por
solicitaes devidas ao carregamento, que so causadas por aes diretas de
trao, flexo ou cisalhamento e que ocorrem nas regies tracionadas, e as fissuras
no produzidas por carregamento, que so causadas por deformaes impostas, tais
como retrao, variao de temperatura e recalques diferenciais. Conforme
mencionado, so dois os estados-limites referentes fissurao que devem ser
analisados para o caso de peas de concreto fletidas: estado limite de formao de
fissuras (ELS-F), e estado limite de abertura das fissuras (ELS-W), onde:
a) Estado limite de formao de fissuras (ELS-F): estado em que se inicia a
formao de fissuras;
b) Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W): estado em que as
fissuras se apresentam com aberturas caractersticas (wk ) iguais aos
mximos especificados;
No estdio I a tenso de trao no concreto no ultrapassa sua resistncia
caracterstica trao ( fctk ), e no h fissuras de flexo visveis. No estdio II, este
caracterizado pela presena de fissuras nas zonas de trao e, portanto, o
concreto situado nessas regies desprezado
A separao entre estes dois estdios (I e II) de comportamento definida pelo
momento de fissurao (Mr), o qual define-se como sendo o momento fletor capaz de
provocar a primeira fissura na pea.
Se o momento fletor atuante numa dada seo da pea for menor do que o momento
de fissurao, isto significa que esta seo no est fissurada e, portanto, encontrase no estdio I, caso contrrio, se o momento fletor atuante for maior do que o de
fissurao, a seo encontra-se fissurada e, portanto, no estdio II.
Conforme a NBR 6118/2003 o momento em que aparece a primeira fissura na pea
dado pela seguinte equao aproximada:
59
Mr
f ct I c
(5.15)
Onde:
= 1,2 para sees T ou duplo T;

= 1,5 para sees retangulares.
Onde:
o fator que correlaciona aproximadamente a resistncia trao na flexo com a

resistncia trao direta;
y a distncia do centro de gravidade da seo fibra mais tracionada;
I c o momentos de inrcia da seo bruta de concreto;
f ct a resistncia trao direta do concreto, dada pela equao:
f ct 0,21 f ck
(5.16)
2/3
Para determinao do carregamento para o ELS-F ou ELS-W deve utilizar a

Combinao Freqente (CF) j transcrita na Equao (5.9).
5.1.6.1 Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W)
O estado limite de formao das fissuras caracterizado pela situao em que as

fissuras se apresentam com aberturas caractersticas (wk) iguais aos mximos
especificados. Na tabela 1 indicam-se estes limites, dados pela NBR 6118:2003 em
funo das classes de agressividade ambiental.
Os limites apresentados na Tabela 5.2 so critrios de projeto para garantia da
proteo da armadura do concreto contra a corroso. Fissuras reais podem
eventualmente ultrapassa os limites indicados na tabela.
Tabela 5.2 Abertura mxima das fissuras caractersticas (wk), para

elementos de concreto armado em funo da classe de agressividade
ambiental.
Classe de agressividade
Abertura mxima de
Combinao a utilizar
60
ambiental
fissuras caractersticas
wk < 0,4mm
Freqente
II
wk < 0,3mm
Freqente
III
wk < 0,3mm
Freqente
Iv
wk < 0,2mm
Freqente
Para cada elemento ou grupo de elemenos das armaduras passiva e ativa aderente,
que controla a fissurao do elemento estrutura, deve ser considerada uma rea Acr
do concreto de envolvimento, constituda por um retngulo cujos lados no distam
mais de 7,5 do eixo da barra da armadura (Figura 5.7).
Figura 5.7 Concreto de envolvimento da armadura (NBR 6118, 2003).

O valor caracterstico da abertura de fissuras, wk , determinado para cada parte da
regio de envolvimento, o menor entre os obtidos pelas expresses que seguem:
wk
wk
s 3 s
12,51 E s f ctm
s 4
45
12,51 E s r
Onde:
s , , E s , r so definidos para cada rea de envolvimento em exame;
61
(5.17)
Acr a rea da regio de envolvimento protegida pela barra ;
(5.18)
E s o mdulo de elasticidade do ao da barra considerada, de dimetro ;
o dimetro da barra que protege a regio de envolvimento considerada;

r a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que no esteja dentro de bainha)
em relao rea da regio de envolvimento (Acr);
s a tenso de trao no centro de gravidade da armadura considerada, calculada

no estdio II.
Nos elementos estruturais com protenso, s o acrscimo de tenso, no centro
de gravidade da armadura, entre o estado limite de descompresso e o
carregamento considerado. Deve ser calculado no estdio II, considerando toda a
armadura ativa, inclusive aquela dentro de bainhas.
O clculo no estdio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a
resistncia trao do concreto) pode ser feito considerando a relao entre os
mdulos de elasticidade do ao e do concreto igual a 15.
1 o coeficiente de conformao superficial da armadura considerada, considerado

2,25 para barras com nervuras.
Nas vigas usuais, com altura menor que 1,2 m (caso geralmente aplicado para vigas
de pontes), pode-se considerar atendida a condio de abertura de fissuras em toda
a pele tracionada, se a abertura de fissuras calculada na regio das barras mais
tracionadas for verificada e se existir uma armadura lateral (armadura de pele) que
deve ser 0,10% Ac, alma em cada face da alma da viga composta por barras de alta
aderncia (nervuradas) com espaamento no maior que 20 cm.
Para dispensar a avaliao precisa da grandeza de abertura de fissuras a NBR 6118
(2003) a NBR limita as tenses conforme Tabela 5.32 de forma que limite a abertura
mxima de fissuras a 0,3mm. A fissurao depender, portanto da tenso aplicada,
dimetro utilizado e espaamento entre as barras.
A anlise deve ser feita no Estdio II, desprezando a resistncia do concreto a
trao e considerando um coeficiente de equivalncia =15.
Tabela 5.3 Valores mximos de dimetro e espaamento, com barras de

alta aderncia.
Tenso na
barra
S MPa
2
Valores mximos
Concreto sem armaduras ativas
max mm
Smax cm
Concreto com armaduras ativas
max mm
Smax cm
62
Tabela corrigida Segundo Emenda ABNT 6118:2003/Emd.1:2007. No prefcio da Emenda, a ABNT esclarece
que essa emenda, em conjunto com a ABNT NBR 6118:2003, equivale ABNT NBR 6118:2007.
160
32
30
25
20
200
25
25
16
15
240
20
20
12,5
10
280
16
15
8
5
320
12,5
10
6
360
10
5
400
8
Para uma anlise mais precisa das tenses nas armaduras pode-se lanar mo de uma
analise mais apurada do momento de inrcia fissurado analisando as fissuras em toda
a viga como segue. Para tal caso deve-se aplicar nas formulaes de tenso o
momento de inrcia efetivo ou equivalente ao invs ao invs da aplicao direta do
momento de inrcia da seo para o Estdio II. Este tipo de anlise conduz a
estimativas mais realistas da fissurao.
Em vigas submetidas flexo ocorre variao do valor do momento fletor entre
sees adjacentes ao longo do vo, originando tambm variao na altura da linha
neutra e, conseqentemente, na profundidade das fissuras.
Antes da publicao da nova verso da NBR 6118 era usual a aplicao do momento
de inrcia no Estdio II puro, que no considera esta variao do momento fletor,
baseando seu clculo na seo mais crtica, desprezando a menor solicitao sobre
as demais sees. H tambm uma parcela no considerada, que se refere
contribuio da resistncia trao das sees de concreto ainda ntegro entre
fissuras.
O objetivo da utilizao do momento de inrcia efetivo ( I e ), conforme calculado pela
Frmula de Branson, incluir estas parcelas e conduzir a estimativas mais precisas do
comportamento dos deslocamentos e fissuras conseqentes do carregamento. A
Figura 5.8 apresenta o comportamento descrito anteriormente.
Figura 5.8 Viga apresentando dimenses das fissuras e posio da linha neutra variando com a
intensidade dos momentos fletores numa viga biapoiada (http://www.lmc.ep.usp.br).
Para a verificao, portanto no ELS a NBR 6118/2003 recomenda a aplicao do
momento de inrcia efetivo ( I e ), calculado pela expresso que segue, conhecida
como Frmula de Branson:
63
Mr
I e
M mx
3
M
r
I c 1
M
mx
I II I c
(5.19)
Onde:
M r o momento de fissurao transcrito anteriormente na Equao (5.15);
M max o momento fletor mximo atuante no vo, dependente das condies de apoio
e dos carregamentos;
I c o momento de inrcia da seo bruta de concreto;
I II o momento de inrcia da seo no estdio II;
O valor da inrcia equivalente proporcionar valores mais precisos de tenses nas

armaduras e conseqentemente valores de abertura de fissuras mais precisos.
Obs.: Mr deve ser reduzido metade quando a armadura de trao composta por
barras lisas, ou seja, CA-25.
5.2 ESFORO CORTANTE

Conforme a NR 6118 (2003) sero apresentadas formulaes para dimensionamento
de vigas ao esforo cortante.
5.2.1 Modelo de clculo I

O modelo I admite diagonais de compresso inclinadas de = 45 em relao ao
eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar
Vc tenha valor constante, independente de VSd.
a) Verificao da compresso da diagonal do concreto:
VRd 2 0,27 V 2 f cd bw d
(5.20)
Onde:
64
V 2 1
f ck
250
(5.21)
b) Clculo da armadura transversal:
VRd 3 Vc Vsw
(5.22)
A resistncia numa determinada seo deve ser considerada satisfatria quando as

seguintes verificadas simultaneamente as seguintes condies:
VSd VRd 2
(5.23)
VSd VRd 3 Vc Vsw
Para a determinao da parcela resistida pelo ao, temos:
Asw
Vsw
0,9df ywd sen cos
s
(5.24)
Vc Vc 0 0,6 f ctd bw d
(5.25)
f ctd
65
f ctk ,inf
(5.26)
f ctk ,inf 0,7 f ct ,m
(5.27)
f ct ,m 0,3 f ck
(5.28)
2/3
A rea de ao para estribos verticais ser, portanto:
Asw Vsd Vc
s 0,9df ywd
(5.29)
Onde:
bw a largura da seo da viga;
d a altura til da seo da viga;
s o espaamento entre elementos da armadura transversal medido segundo o eixo
longitudinal do elemento;
fywd a tenso na armadura transversal;
Para se determinar as tenses nos estribos verticais:
sw,max
sw,min
sd , max
0,5Vc s
(5.30)
0,9dAsw
sd ,min
0,5Vc s
(5.31)
0,9dAsw
6 LAJES
Para pontes apoiadas sobre vigas veremos que a laje se liga s vigas de diversas
formas. A Figura 6.1 abaixo uma ponte constituda de lajes sobre duas longarinas e
respectivas convenes que sero adotadas daqui para frente. As lajes podem ser
apoiadas, engastamento parcial ou em balano.
66
Figura 6.1 Diferentes formas de representar excentricidades de carga em pilares (Mason, 1977).
O dimensionamento deste tipo de lajes pode ser realizado utilizando mtodos da
teoria da elasticidade ou mtodos baseados nas linhas de ruptura, conhecido como
mtodos das charneiras plsticas. Atualmente softwares so desenvolvidos para fazer
anlises utilizando mtodos numricos aproximados com, por exemplo, o Mtodo dos
Elementos Finitos (MEF) o qual apresenta uma anlise mais apurada da distribuio
dos esforos em cada uma das lajes que constituem o tabuleiro.
6.1 SUPERFCIES DE INFLUNCIA

Bem como se faz a anlise unidimensional atravs de linhas de influncia em vigas,
para lajes utilizam-se superfcies de influncia 2D. A Figura 6.2 apresenta uma
superfcie de influncia de momentos fletores em uma laje quadrada e apoiada nos
quatro lados para uma seo no meio do vo.
67
Figura 6.2 Superfcie de influncia do momentos fletores na seo do meio do vo de uma laje
retangular apoiada nos quatro lados (Mason, 1977).
O emprego, portanto de superfcies de influncia semelhante ao das linhas de
influncia. H a necessidade, no entanto de calcular volumes interceptados por
cargas bidimensionais incidentes nas superfcies de influncia.
Da mesma forma que aprendemos em linhas de influncia, nas superfcies valem os
mesmos procedimentos para determinao dos esforos sejam eles quais as
superfcies de influncia esto representando.
E Pi yi pi Ai qiVi
(6.1)
Onde:
E o esforo representado pela linha de influncia;
P a carga concentrada incidente em um ponto;
p a carga linear distribuda;
q a carga bidimensional distribuda;
y a ordenada em que incide as cargas concentradas P;
A a rea que incidem as cargas lineares p;
V o volume em que incidem as cargas q;
A Figura 6.3 apresenta os tipos de carregamento sobre a superfcie de influncia.
68
Figura 6.3 Superfcie de influncia do momentos fletores na seo do meio do vo de uma laje
retangular apoiada nos quatro lados (Mason, 1977).
6.2 TABELAS DE RSCH

As tabelas de Rsch so as mais utilizadas para determinao de solicitaes em lajes
utilizando superfcies de influncia. A tabela foi desenvolvida para trens-tipos
presentes na norma alem DIN-1072 (1960). Como as normas brasileiras adotaram
carregamentos com geometria semelhante aos da norma alem o emprego das
tabelas de Rsch puderam ser aplicadas no dimensionamento de lajes. Alm da
determinao da solicitao devida trens-tipos a tabela ainda as determina para
carregamento distribudo mvel ou permanente para diversas condies de contorno
da laje.
A Tabela 6.1 apresenta uma transcrio da tabela original para uma placa apoiada nos
quatro lados (ly/lx = 1) para trens-tipos alem de 30t a 60t. Observe na Figura 6.4
que a distribuio de carga a mesma na norma brasileira.
No anexo encontram-se as tabelas de Rsch originais.
69
Tabela 6.1 Tabela de Rsch para momentos fletores em laje apoiada com
trfego na direo y (ly/lx = 1) (Arajo, 1999).
Figura 6.4 Carga mvel da norma DIN-1072 (classe 30t a 60t) (Arajo, 1999).
A tabela fornece os momentos, Mxm e Mym, no meio do vo da laje devido aos
efeitos das rodas do veculo (P = 1t) e da carga uniformemente distribuda em volta
do veculo (p = p = 1t/m) para a direo do trfego admitida na tabela sendo a
direo y. A solicitao final ser, portanto:
M PM L pM p p' M p '
Onde:
(6.2)
70
ML, Mp e Mp so os momentos fletores para P = 1t e p = 1t/m, respectivamente,

obtidos da tabelas de Rsch;
P o peso real de cada roda do veculo;
p e p so a sobrecarga de multido em volta do veculo fornecidos pela norma
brasileira NBR 7188 dependendo da classe da ponte;
o coeficiente de impacto vertical no incluso nos valores da tabela.

Para obter os valores de ML, Mp e Mp necessrio entrar na tabela com as
seguintes relaes
a) lx/a = relao entre o vo lx e a a distncia entre as rodas do veculo
na direo transversal;
b) t/a = relao entre a largura de distribuio de presso da roda e a a
distncia entre as rodas do veculo na direo transversal;
Os parmetros de entrada so ilustrados na Figura 6.5.
Figura 6.5 Parmetros para entrada na tabela de Rsch (Arajo, 1999).

O valor de lx diferencia-se se vamos calcular o vo central ou vo em balano. O vo
lx determinado para vo central ser a distncia entre eixos das vigas de apoios da
laje. J para o balano tomas a distncia lx entre eixo da viga extrema e extremo do
balano. A Figura 6.6 mostra os vos lx e lx e conveno utilizada nas tabelas de
Rsch para as condies de contorno.
71
Figura 6.6 Definio do comprimento reduzido lx, lx e condies de contorno..

Nas tabelas de Rsch os momentos em alguns pontos importantes so determinados.
A seguir apresenta a identificao das siglas para determinao dos momentos:
a) + Mxmc = momento positivo transversal no meio do vo central;
b) + Mymc = momento positivo longitudinal no meio do vo central;
c) - Mxec = momento negativo transversal sobre o apoio calculado para o
vo;
d) - Mxeb = momento negativo transversal sobre o apoio calculado para o
balano;
e) + Mxmb = momento positivo transversal no meio do vo em balano;
f) + Mymb = momento positivo longitudinal no meio do vo em balano;
g) - Mxmb = momento negativo transversal no meio do vo em balano;
h) - Myrb = momento positivo longitudinal no meio do vo em balano;
Na Figura 6.7 podemos ver as siglas e o diagrama de envoltria de momentos
fletores transversais a ponte. Os momentos longitudinais no aparecem na figura.
72
Figura 6.7 Envoltria de momentos fletores obtida atravs das tabelas de Rsch Nr27 e Nr98
encontradas no anexo deste material.
Os momentos fletores podem ser compensados conforme explica a seo seguinte.
6.3 COMPATIBILIZAO DE MOMENTOS FLETORES

Aps a determinao dos momentos fletores nas lajes das pontes pode-se
compatibilizar estes momentos uma vez que as lajes adjacentes diferem nas
condies de apoio, nos vos tericos ou nos carregamentos, resultando, no apoio
comum, dois valores diferentes para o momento negativo. Na realidade a laje
apresenta continuidade sendo realizadas as simplificaes de clculo apresentadas
acima.
Na compatibilizao dos momentos negativos, o critrio usual consiste em adotar o
maior valor entre a mdia dos dois momentos e 80% do maior. Esse critrio
apresenta razovel aproximao quando os dois momentos so da mesma ordem de
grandeza (Figura 6.8) (Pinheiro, 2003).
73
Figura 6.8 Compatibilizao de momentos fletores (Pinheiro, 2003).

Pode acontecer de a compatibilizao acarretar diminuio do momento positivo, de
um lado, e acrscimo, do outro. Neste caso, ignora-se a diminuio e considera-se
somente o acrscimo, como no caso da laje L3.
Deve-se proceder para o clculo de fadiga e fissurao da mesma forma vista nas
mesmas sees apresentadas para vigas.
7 PONTES CAIXO
Em pontes de concreto armado e protendido de maiores vos ou que apresentam
curvatura horizontal usualmente so constitudas de estruturas celulares comumente
chamadas de pontes em viga caixo. No caso de tabuleiros estreitos, emprega-se a
seo celular simples. Para grandes larguras de tabuleiros podem ser empregadas
sees mltiplas. A grande vantagem deste tipo de seo que o caixo trabalha em
conjunto com o tabuleiro conferindo estrutura grande rigidez toro. Estas
74
vantagens que tornam este tipo de seo ideal para as pontes em curva horizontal ou
que tenham grandes solicitaes do tipo toro.
O processo de dimensionamento das pontes caixo consiste em idealizar a estrutura
como uma haste de seo constante ou varivel, determinando os diagramas de
esforos cortantes, momentos fletores e torsores. de interesse particular o
dimensionamento de sees celulares, determinar as tenses de cisalhamento para o
efeito de corte e toro. Neste material abordaremos apenas o dimensionamento de
sees unicelulares.
7.1 TORO EM SEES CAIXO

Conforme teoria da toro, as barras submetidas a tal efeito desenvolvem tenses
de cisalhamento tanto no plano da seo transversal da barra (ou seo caixo de
ponte) com nos planos perpendiculares ao transversal.
A Figura 7.1 mostra como variam a tenso de cisalhamento ao longo da seo e na
longitudinal.
Figura 7.1 Distribuio de tenses de cisalhamento devido a toro em um tubo (Hibeller, 2004).
Observe que as tenses de cisalhamento aumentam a medida que se aproxima da
superfcie do elemento e que desenvolvem valores de tenses iguais tanto na
transversal quanto na longitudinal o que indica que devemos armar as estruturas
submetidas a toro tanto com armadura vertical como longitudinal. As armaduras de
toro, portanto devem ser combinadas na vertical com a armadura de cortante e na
longitudinal com a armadura de flexo. A seguir apresentam-se conceitos de toro
75
em tubos de paredes finas com sees transversais fechadas retirados do Hibeller

(2004).
7.1.1 Tubos de paredes finas com seo transversal fechada

O tubo da Figura 7.2a apresenta um tubo de seo transversal constante, porm
com uma forma arbitrria e espessura t varivel. Como a espessura considerada fina
podemos considerar tambm que a tenso de cisalhamento distribuda e
uniformemente ao longo da espessura do tubo, portanto sero determinadas tenses
mdias.
Para conceituarmos fluxo de cisalhamento vamos considerar um pequeno elemento do
tubo com comprimento finito s e largura infinitesimal dx como mostrado na Figura
7.2a e Figura 7.2b. Em um dos extremos o elemento tem espessura t A e na outra a
espessura t B . Devido ao torque aplicado T, surge tenso de cisalhamento na face
dianteira do elemento. Especificamente, na extremidade A tenso de cisalhamento
A e na extremidade B B . As duas podem ser relacionadas observando-se que as
tenses de cisalhamento equivalentes A e B tambm devem atuar nos lados
longitudinais do elemento, que aparecem sombreados na Figura 7.2b. Como esses
lados tm espessuras constantes t A e t B , as foras que atuam sobre eles so
dFA A t A dx e dFB B t B dx . A fora de equilbrio requer que essas foras sejam
de intensidades iguais, mas de sentido oposto, de modo que:
At A B t B
(7.1)
O resultado afirma que o produto da tenso de cisalhamento longitudinal mdia

multiplicada pela espessura do tubo o mesmo em cada ponto da rea da seo
transversal. Esse produto chamado de fluxo de cisalhamento, q , e em termos
gerais expresso como:
q med t
(7.2)
Como q constante na seo transversal, a maior tenso de cisalhamento ocorre

onde a espessura do tubo menor.
Se um elemento infinitesimal com espessura t , comprimento ds e largura dx for
isolado de um tubo (Figura 7.2c), veremos que a rea sobre a qual a tenso de
cisalhamento mdia atua dA tds . Ento, dF med tds qds , ou q dF / ds . Em
outras palavras, o fluxo de cisalhamento, que constante na rea da seo
transversal, mede a fora por unidade de comprimento ao longo da rea da seo
transversal do tubo.
76
importante observar que os componentes de cisalhamento-tenso mostrados na

Figura 7.2c so os nicos que atuam sobre o tubo. Componentes atuando em outra
direo no podem existir como mostrado na Figura 7.2d, porque as faces superior
e inferior do elemento so as paredes interna e externa do tubo, e esses limites no
devem ter tenso. Em vez disso, como j observado, o torque faz com que o fluxo de
cisalhamento e a tenso mdia sempre se direcionem tangencialmente parede do
tubo, de tal maneira que contribui para o torque resultante T.
A tenso de cisalhamento mdia med , que atua sobre a rea sombreada dA tds do
elemento infinitesimal mostrado na Figura 7.2c, relacionada ao torque T
considerando-se o torque produzido pela tenso de cisalhamento em torno de um
ponto selecionado O no limite do tubo (Figura 7.2e). Como mostrado, a tenso de
cisalhamento desenvolve uma fora dF med dA med tds sobre o elemento. Essa
fora atua tangencialmente linha de centro da parede do tubo e, como o brao de
momento h, o torque :
dT hdF h med tds
(7.3)
Requer-se para toda a seo transversal que:
T h med tds
(7.4)
A integral de linha cima indica que a integrao processada em torno de todo o

limite de rea. Como o fluxo de cisalhamento q med t constante, esses termos
podem ser fatorados para fora da integral, de modo que:
T med t hds
(7.5)
Pode-se fazer uma simplificao grfica para avaliar a integral observando-se que a
rea mdia, mostrada pelo tringulo escuro da Figura 7.2e, dAm 1 / 2hds . Assim:
T 2 med t dAm 2 med tAm
(7.6)
Resolvendo, temos que a tenso mdia que atua sobre a espessura do tubo :
med
77
T
2tAm
(7.7)
Onde:
t a espessura onde deve ser determinada a tenso mdia;

Am a rea mdia compreendida pelo limite da linha de centro da espessura do
tubo.
Figura 7.2 Toro em tubos de paredes finas (Hibeller, 2004).
78
7.1.2 Hipteses de carregamento

A armadura longitudinal, como ser visto em seo posterior, depender das
solicitaes geradas pelos esforos de toro e esforos de flexo. Para a
determinao da armadura longitudinal, portanto devero ser feitas duas hipteses a
fim de se determinar a combinao que corresponder maior rea de ao na flexo
+ toro. A Figura 7.3 apresenta a hiptese de carregamento que gera maior toro
na seo combinada com flexo concomitante e a Figura 7.4 apresenta a hiptese
que geram maior flexo na seo combinada com a toro concomitante. P nas figuras
representam a carga concentrada devido cada roda do trem tipo com respectivas
excentricidades, e1 e e2, em relao ao centro de gravidade da seo transversal, q
a carga de multido posicionada de forma a provocar toro mxima na seo
transversal (Figura 7.3). Na Figura 7.4 a carga q no provoca toro na seo
transversal.
Figura 7.3 Hiptese de toro mxima na seo.
79
Figura 7.4 Hiptese de flexo mxima na seo.
Para cada uma das hipteses devemos construir comboios de flexo e toro de
forma que determinemos os esforos de flexo e de toro na seo desejada da
ponte. A Figura 7.5 mostra os comboios de flexo e toro que devem ser definidos
para as hipteses de toro mxima e flexo mxima resultando em quatro comboios.
(a)
(b)
Figura 7.5 (a) Comboio de flexo e (b) comboio de toro.

Para cada hiptese, temos:
a) Comboio de flexo (Figura 7.3 ou Figura 7.4):
RP 2 P
(7.8)
R p qc
(7.9)
Onde:
q a carga de multido de valor 5kN/m;
o coeficiente de impacto;
c a distncia em que a carga q incide transversalmente (na seo transversal da
ponte).
b) Comboio de toro (Figura 7.3 ou Figura 7.4):

RT Pe1 e2
Rt q
c2
(7.10)
(7.11)
80
A equao (7.11) s pode ser utilizada para a hiptese de toro mxima, pois para
a hiptese de flexo mxima a carga distribuda no provoca esforos de toro,
portanto Rt 0 .
Com os comboios representados de forma unidimensional podemos agora determinar
os esforos de flexo, toro e cortantes em qualquer seo da ponte.
7.2 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118 (2003)
7.2.1 Determinao da seo resistente do caixo (seo cheia)

A seo vazada equivalente se define a partir da seo cheia com espessura da
parede equivalente he dada por:
he
A
; he 2c1
u
(7.12)
Onde:
A a rea da seo cheia;

u o permetro da seo cheia;
c1 a distncia entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do

elemento estrutural.
7.2.2 Determinao da seo resistente do caixo (seo vazada)

Deve ser considerada a menor espessura de parede entre:
a) a espessura real da parede;
b) a espessura equivalente calculada supondo a seo cheia de mesmo
contorno externo da seo vazada.
81
7.2.3 Verificao da compresso diagonal do concreto

A resistncia decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida
por:
TRd 2 0,5 V 2 f cd Ae he sen2
(7.13)
Onde:
V 2 1
f ck
250
(7.14)
Onde:
o ngulo de inclinao das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo

30 o 45o ;
Ae a rea limitada pela linha mdia da parede da seo vazada, real ou equivalente,
incluindo a parte vazada;
he a espessura equivalente da parede da seo vazada, real ou equivalente, no
ponto considerado.
A Figura 7.6 mostra a rea Ae definida para uma seo caixo de pontes. Observe
que no se considera as abas da ponte no clculo devido a sua baixa resistncia a
toro.
Figura 7.6 Seo caixo com rea efetiva (Ae) definida e o permetro de Ae .
82
7.2.4 Clculo das armaduras de toro

Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na rea correspondente
parede equivalente, quando:
a) a resistncia decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento
estrutural atende expresso:
A
TRd 3 90 f ywd 2 Ae cot g
s
(7.15)
Onde:
f ywd o valor de clculo da resistncia ao escoamento do ao da armadura passiva,

limitada a 435MPa;
b) a resistncia decorrente das armaduras longitudinais atende
expresso:
A
TRd 4 sl
ue
f ywd 2 Ae tg
(7.16)
Onde:
Asl a soma das reas das sees das barras longitudinais;

ue o permetro de Ae .
7.2.5 Toro e flexo

Para armadura longitudinal, na Zona tracionada pela flexo, a armadura de toro deve
ser acrescentada armadura necessria para solicitaes normais, considerando-se
em cada seo os esforos que agem concomitantemente.
No banzo comprimido pela flexo, a armadura longitudinal de toro pode ser reduzida
em funo dos esforos de compresso que atuam na espessura efetiva h.
83
7.2.6 Toro e fora cortante

Na combinao de toro e fora cortante deve-se verificar a resistncia
compresso diagonal do concreto atendendo a expresso:
VSd
T
Sd 1
VRd 2 TRd 2
(7.17)
Onde:
VSd e TSd so os esforos de clculo que agem concomitantemente na seo.

A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas
separadamente para VSd e TSd .
A rea de ao para toro definida por:
TSd
AswT
s 2 Ae f ywd
(7.18)
84
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
ABRAHO, R., R., R., BITTENCOURT, C., TSURUTA, K., M., RADE, R., S., L. (2008) Fadiga de
materiais Uma reviso bibliogrfica. VIII Encontro interno: XII Seminrio de Iniciao
Cientfica, Universidade Federal de Uberlndia, 10p.
ARAJO, L., D. (1999) Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas. Goinia,
Universidade Federal de Gois, 154p.
ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS - ABNT (2003). Projeto e execuo de
estruturas de concreto armado (NBR-6118). Rio de Janeiro.
ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS - ABNT (1985). Cargas mveis para projeto
estrutural de obras ferrovirias (NBR-7189). Rio de Janeiro.
ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS - ABNT (1984). Aes e segurana nas
estruturas (NBR-8681). Rio de Janeiro.
ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS - ABNT (1984). Carga mvel em ponte
rodoviria e passarela de pedestre (NBR-7188). Rio de Janeiro.
ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS - ABNT (1986). Projeto e execuo de pontes
de concreto armado e protendido (NBR-7187). Rio de Janeiro.
DNER. (1996). Manual de projeto de obras-de-arte especiais, 225p.
EL DEBS, M. K., TAKEYA, T. (1992). Comportamento fadiga do concreto armado e protendido.
So Carlos, EESC-USP. (Notas de aula)
EL DEBS, M. K.,TAKEYA, T. (1995). Pontes de concreto. So Carlos, EESC-USP. (Notas de aula)
FILHO, J. A. G. (2003). Fundaes de Pontes.
HIBELLER, R., C. (2004). Resistncia dos Materiais. Prentice Hill, So Paulo.
LEONHARDT, F. (1979). Construes de concreto: princpios bsicos da construo de pontes
de concreto. V.6, Editora Intercincia, Rio de Janeiro.
LEONHARDT, F.(1979). Construes de Concreto, vol.6, 241p.
MASON, J. (1977). Pontes em concreto armado e protendido. Livros Tcnicos e Cientficos Editora
S.A., Rio de Janeiro.
85
MASON, J. (1977). Pontes em concreto armado e protendido. 320p.
MOLITERNO, A. (1927). Caderno de muros de arrimo. Editora Edgard Blcher. Ltda, Ed. 2. So
Paulo.
OCONNOR, C. (1975). Pontes superestruturas, 2 vols, 281p.
PFEIL, W. (1990). Pontes em concreto armado: elementos de projeto, solicitaes,
superestrutura. V.1, 4o edio, Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A., Rio de Janeiro.
PFEIL, W. (1988). Pontes em concreto armado: mesoestrutura, infraestrutura, apoio. V.2, 4o
edio, Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A., Rio de Janeiro.
PINHEIRO M. L., MUZARDO C. D., SANTOS, S. P. (2007). Fundamentos do concreto e projeto de
edifcios. Escola de Engenharia de So Carlos, So Paulo (Notas de Aula).
RSCH, H. (1965). Berechnungstafeln fr rechtwinklige Fahrbahnplatten von Strassenbrcken.
SCHFFER, A. (2002). Verificao de sees de concreto armado solicitadas por flexo
composta fadiga. Porto Alegre, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 129p.
SSSEKIND, J.C. (1980). Curso de anlise estrutural, vol.1.
SILVA, M. A. F., FILHO, J. R. F., CARVALHO, R. C., FERREIRA, M., A. (2005) Controle de
fissurao em vigas de concreto armado de acordo com as recomendaes da NBR6118:2003. 47 Congresso Brasileiro do Concreto CBC2005, Pernabuco, 15p.
VASCONCELOS, A.C.(1992). Pontes brasileiras.
ZELLERER (1976). Durchrlaufttrger Einflusslinien und Momentenlinien.
86
ANEXO A LINHAS DE INFLUNCIA DE

MOMENTOS FLETORES PARA RELAO DE
VOS 1:1,2:1 (INRCIA CONSTANTE)
LIM1
LIM2
LIM3
LIM4
87
LIM5
LIM6
LIM7
LIM8
LIM9
LIM10
88
LIM11
LIM12
LIM13
LIM14
LIM15
89
LIM16
LIM17
LIM18
LIM19
LIM20
90
LIM21
LIM22
91
ANEXO
LINHAS
DE
INFLUNCIA
ESFOROS CORTANTES PARA RELAO DE

LIV0
LIV1
LIV2
LIV3
92
LIV4
LIV5
LIV6
LIV7
LIV8
93
LIV9
LIV10 ESQUERDA
LIV10 DIREITA
LIV11
LIV12
LIV13
94
LIV14
LIV15
LIV16
95
ANEXO C LINHAS DE INFLUNCIA DE

MOMENTOS FLETORES PARA RELAO DE
LIM1
LIM2
LIM3
LIM4
LIM5
96
LIM6
LIM7
LIM8
LIM9
LIM10
LIM11
97
LIM12
LIM13
LIM14
LIM15
LIM16
98
ANEXO D LINHAS DE INFLUNCIA DE

ESFOROS CORTANTES PARA RELAO DE
LIV0
LIV1
LIV2
LIV3
LIV4
99
LIV5
LIV6
LIV7
LIV8
LIV9
LIV10 ESQUERDA
100
LIV10 DIREITA
LIV11
LIV12
LIV13
LIV14
LIV15
101
LIV16
102
ANEXO E DIAGRAMAS DE MOMENTO

FLETORES E ESFOROS CORTANTES PARA
RELAO
DE
VOS
1:1,2:1
(INRCIA
CONSTANTE) CARGAS PERMANENTES

CARGA DISTRIBUDA
M m q L2
R rq L
Onde m e r so o momento devido a carga unitria e a reao devido a carga unitria
respectivamente.
103
V vq L
Onde v o cortante devido a carga unitria.
CARGAS CONCENTRADAS
M m p L
R r p
respectivamente.
V v p
104
105
ANEXO F DIAGRAMAS DE MOMENTO

FLETORES E ESFOROS CORTANTES PARA
RELAO
DE
VOS
1:1,25:1
(INRCIA
CONSTANTE) - CARGAS PERMANENTES

CARGA DISTRIBUDA
M m q L2
R rq L
respectivamente.
V vq L
106
CARGAS CONCENTRADAS
M m p L
R r p
respectivamente.
V v p
107
108
ANEXO G TABELAS DE RSCH
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112
ANEXO H tABELAS DE ZELLERER PARA VIGAS CONTNUAS (1:1,2:1 E 1:1,25:1)
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ANEXO I - BACO PARA DIMENSIONAMENTO

DE PILAR DE SEO TRANSVERSAL
CIRCULAR.
120

Eng 115 - Pontes - Edição2 - r00

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

ENG 115 Pontes

Figura 1.1 - Estrutura principal e viadutos de acesso (Pfeil, 1987).

Chamam-se ainda de pontilhes as pontes de pequenos vos. Acima de 5 metros,

1.1.1 Elementos constituintes das pontes

Figura 1.3 - Vista geral de uma ponte, mostrando os principais elementos

1.1.2 Tipos de pontes

Figura 1.5 - Ponte em laje (Pfeil, 1987).

Figura 1.6 - Ponte em viga reta de alma cheia (Pfeil, 1987).

Figura 1.7 - Ponte em viga reta de trelia (Pfeil, 1987).

Figura 1.8 - Ponte em quadro rgido (Pfeil, 1987).

Figura 1.9 Ponte em abbada (arco inferior) (Pfeil, 1987).

Figura 1.10 - Ponte em arco superior (Pfeil, 1987).

Figura 1.11 - Ponte pnsil (Pfeil, 1987).

Figura 1.12 - Pontes levadias (a) So Petersburgo e (b) Porto Alegre.

1.1.3 Sees transversais

Figura 1.16 - Ponte em vigas retas.

Figura 1.17 - Ponte em vigas pr moldadas.

Figura 1.18 - Ponte caixo simples.

Figura 1.19 - Ponte caixo duplo.

Figura 1.20 - Ponte caixo triplo.

Figura 1.21 - Ponte treliada (seo de uma ponte pnsil).

2.1.1 Solicitaes provocadas pelo peso prprio da estrutura

2.1.2 Solicitaes provocadas pelas cargas teis

2.1.3 Solicitaes produzidas pelos elementos naturais

2.1.4 Esforos produzidos por deformaes internas

d) Aes permanentes: Aes cujas intensidades podem ser consideradas

As cargas provenientes do peso prprio dos elementos estruturais;

As cargas provenientes do peso da pavimentao, dos trilhos, dos

Os empuxos de terra e de lquidos;

As deformaes impostas, isto , provocadas por fluncia e

b) Aes variveis: Aes de carter transitrio que compreendem, entre

O empuxo de terra provocado por cargas mveis;

A presso da gua em movimento;

O efeito dinmico do movimento das guas;

circunstncias anormais. Compreendem os choques de objetos mveis,

Choques de objetos mveis;

Outras aes excepcionais.

2.2 CARGAS PERMANENTES

2.2.1 Peso prprio dos elementos estruturais

2.2.3 Lastro de trilhos

Tabela 2.1 Massas especficas (Pfeil, 1980).

Massa especfica [kN/m]

2.3 CARGAS MVEIS

carregamentos. As cargas distribudas no devem se sobrepor as cargas do TremTipo.

Figura 2.1 - Elevao e planta de um trem tipo tpico.

Tabela 2.3 Caractersticas bidimensionais dos Trens-Tipos, dimenses em

O veculo deve ser orientado sempre na direo do trfego e posicionado de forma

Figura 2.3 - Esquema de um trem com representao de cargas de eixo para

Tabela 2.4 Carregamentos da NBR 7188 (1984).

Tabela 2.5 Carregamentos da NBR 7188 (1984).

tipo a ser adotado deve ser especificado pelos proprietrios das

Nunca tomar n maior que 5.

Tabela 2.6 Caractersticas de um trem tipo de Boeing 747 (Pfeil, 1980).

2.3.4 Cargas rodovirias no usuais

2.3.5 Considerao de impacto devido s cargas mveis

b) Para os elementos de pontes ferrovirias:

2.4 FORAS HORIZONTAIS EM PONTES.