9.

1

CAPTULO IX (2002)

9. PILARES DE PONTES (mesoestrutura)

9.1 Introduo
A funo dos pilares transmitir as cargas da superestrutura (carga mvel, peso prprio,
frenagem, vento, deformaes, etc.) para a infra-estrutura(fundaes) .
Aps a determinao dos esforos que atuam nos pilares(esforos no topo dos pilares e
cargas aplicadas diretamente em seu fuste), objeto desta parte do curso, o dimensionamento(dimenses,
armaduras) dos pilares feito da mesma forma que aquela utilizada nas disciplinas de concreto armado.

9.2 Tipos de Pilares
Em geral, os apoios das vigas principais so constitudos, transversalmente, por um conjunto
de pilares isolados, por um conjunto de pilares ligados por travessa(formando um prtico transversal), ou
por parede transversal.
Abaixo, so representados alguns tipos de apoio de pontes.


a) Prtico transversal
transversina
travessa
transversina
b) pilares isolados
travessa
c) Pilar parede d) prtico transversal

Figura 9.1 - Tipos de pilares

SEES TRANSVERSAIS DE PILARES:


macias
longitudinal transversal constante
Parede fina
costante ou
varivel

Figura 9.2 - Sees transversais de pilares
9.2


9.3 Processos construtivos

a) Formas convencionais, com andaimes.
Usuais at 10m
b) Formas saltantes (ver Pfeil)


estrutura de suporte
da forma
a) forma saltante
b) forma deslizante
barra para suporte
da forma
forma

Figura 9.3 - Tipos de formas

9.4 Esforos atuantes, direta ou indiretamente, sobre os pilares.
Os pilares so submetidos, alm das cargas verticais (peso da superestrutura, peso prprio,
cargas mveis), a esforos horizontais, tais como:

a) Esforos longitudinais atuantes no tabuleiro
- Frenagem e acelerao de veculos
- Empuxo de terra e sobrecarga na cortina
- Componente longitudinal do vento, calculadas da seguinte forma:
. vento na superestrutura = 25% do esforo de vento na direo transversal
. vento no veculo = 40% " " " " " " "
b) Esforos transversais atuantes no tabuleiro
- Vento
- Fora centrfuga (pontes em curva horizontal)
- Impacto lateral (pontes ferrovirias)
- Empuxo de terra nas cortinas ( pontes esconsas)
c) Esforos devidos a deformaes impostas
- Efeito da temperatura nas vigas principais
- " " retrao " " "
d) Esforos que atuam diretamente sobre os pilares
- Empuxo de terra
- Presso do vento
- Presso d'gua

9.5 Clculo dos esforos nos pilares

No caso de pontes em arco ou prtico, o clculo dos esforos no pode, em geral, ser
dividido em dois: superestrutura de um lado, meso e infra-estrutura de outro. Nestes casos a estrutura deve
ser calculada como um todo.
9.3

Nas pontes de vigas, lajes ou celulares, que constituem a grande maioria das obras
executadas, a separao acima referida pode ser feita, o que simplifica bastante o projeto. A superestrutura
assimilada a uma viga contnua articulada na superestrutura (pilares) atravs dos aparelhos de apoio.
Essas articulaes so admitidas mveis com exceo de uma, admitindo-se uma vinculao isosttica.
Esse modelo de clculo (Fig. 9.4) usado para os efeitos, M,N,V e reaes, das cargas
verticais sobre a superestrutura (tabuleiro, ou estrado).
Para efeito das cargas horizontais esse modelo no serve, devendo ser substitudo. Admite-
se (Fig. 9.5), usualmente, para esse caso, que a super seja representada por um bloco rgido sobre apoios
elsticos. Esses apoios elsticos correspondem ao conjunto: aparelho de apoio, pilar, fundao.
A seguir so representados os modelos de clculo:

a) Modelo de viga contnua, para clculo dos efeitos(esforos solicitantes e reaes) das cargas.
verticais sobre a superestrutura.


1 2
3
Figura 9.4 - Modelo para cargas verticais


b) Modelo de bloco rgido sobre apoios elsticos, para clculo dos efeitos das cargas horizontais.


Figura 9.5 - Modelo para cargas horizontais
F
E k
k k k
ap
enc 2L 3L
k = rigidez do apoio elstico
= apoio elstico
ap = aparelho de apoio
enc = encontro
horizontais longitudinais
a) Modelo para cargas
vento
k k k
1T 2T 3T
b) Modelo para cargas
horizontais transversais



9.5.1 Distribuio das aes horizontais longitudinais nos pilares e encontros
(tabuleiro contnuo)
Nos casos em que a superestrutura se apoia nos pilares e encontros atravs de aparelhos de
apoio, a distribuio dos esforos longitudinais entre os pilares , em geral, estaticamente
indeterminada(hiperesttica). Por exemplo, na estrutura da Fig. 9.6, h 4 reaes incgnitas e apenas 1
equao de equilbrio.

9.4


F
1
F
i
F
i+1
F
n
F
F
i
F
i
F
i
F
i
Pilar " i "
P
1
P
i
P
i+1
P
n

Figura 9.6 - Superestrutura sobre aparelhos de apoio

Utilizando-se o modelo para as cargas horizontais, onde os pilares e seus respectivos
aparelhos de apoio so considerados apoios elsticos, resulta que a superestrutura submetida a um esforo
horizontal longitudinal F , sofre um deslocamento e, conseqentemente, todos os topos dos pilares
tambm se deslocaro de (Fig. 9.7) . Com isso, a soluo do problema se torna simples, bastando para
tanto o clculo das rigezas dos apoios elsticos (formado pelo conjunto: pilar e aparelho de apoio)



F

corpo rgido
apoio elstico (pilar + aparelho de apoio)
aparelho de apoio de Neoprene
pilar
= deslocamento produzido pela fora F, atravs da deformao dos apoios elsticos.


Figura 9.7 -Modelo de clculo da distribuio de foras longitudinais entre os
apoios elsticos



9.5.1.1 Clculo das rigezas dos apoios elsticos

Por definio, rigidez o esforo que provoca deslocamento unitrio. Assim, como o topo
do apoio "i" sofre o deslocamento , a rigidez k
i
deste apoio dada por : k
i
= F
i
/




Fi

Neoprene
pilar
Rigidez do apoio elstico

ki =
Fi
=
apoio elstico o conjunto pilar + aparelho de apoio de Neoprene

Figura 9.8 - Rigidez do apoio elstico


9.5

a) Rigidez do pilar

Fi
pilar
d
pi
rigidez do pilar = k
pi
=
Fi
d
pi

Figura 9.9 -Rigidez do pilar

Da fig.9.9, tem-se:
k
pi
F
i
pi
=
=
=
=
= = =

mas
pi
F
i
l
pi
E
pi
I
pi
k
pi
E
pi
I
pi
l
pi
rigidez do
onde
l comprimento do pilar i
I momento de inrcia do pilar i
E mdulo de elasticidade do pilar i
pi
pi
pi
,
,
3
3
3
3
pilar (9.1)


b) Rigidez do aparelho de apoio

h
F
i
ai
ai
Figura 9.10 - Rigidez do aparelho de neoprene


k
ai
F
i
ai
mas pela lei de Ho ke,
G
ai
e
F
i
A
ai
F
i
G
ai
A
ai
pela Fig tem se h
ai
h
ai
k
ai
G
ai
A
ai
h
ai
ai ai
i
ai ai
F
G A
Por to
= = = =
=
= =
=

,
. . :
( . ) tan ,
O
rigidez do aparelho de apoio
710
9 2


c) Rigidez do apoio elstico (pilar + aparelho de apoio)

Da associao do pilar com o aparelho de apoio resulta (fig. 9.11),

k
i

pi ai

Figura 9.11 - Rigidez do apoio elstico ( pilar + aparelho de apoio )

9.6

= + = + = + = +
+
=
=
+
= +

ai pi
F
i
k
ai
F
i
k
pi
F
i
k
ai
k
pi
definindo se
k
i
k
ai
k
pi
tem se em cada conjunto pilar aparelho de apoio
F
i
k
i
k
i
k
ai
k
pi
rigidez do apoio elstico pilar aparelho de apoio i
( ) , : ) ,
,
( )
( )
1 1 1 1 1
1
1 1
(9.3)
onde,
(9.4)


9.5.1.2 - Fora absorvida pelo apoio elstico (pilar+aparelho de apoio) i

Por equilbrio, da superestrutura vem,
F (9.5)
substituindo - se (9.5) em (9.3), tem- se :
F (9.6)
onde,

= = = =

= +
=
=
F
i
k
i
k
i
ento
F
k
i
i
k
i
k
i
F
F
i
parcela de F absorvida pelo apoio elstico pilar aparelho de apoio i
F fora
rigidez do
, ,
( )
horizontal longitudinal aplicada no tabuleiro (ex. frenagem, vento, etc. )
k
i
apoio elstico, dada pela expresso (9.4)
Note - se que a distribui o da carga F, que atua no tabuleiro, para os apoios elsticos
ocorre na proporo de suas rigezas.

Deve-se tambm observar que, caso o apoio elstico seja constitudo por mais de um pilar,
na direo transversal, a carga absorvida por cada pilar ser igual a (F
i
/ n), onde n o nmero de pilares
naquele apoio elstico. Pois, na deduo da expresso (9.6) foi considerado, no equilbrio, que o apoio
elstico continha, na direo transversal, apenas um pilar (ver eq. (9.5)). Se, o apoio fosse constitudo por
"n" pilares, ele absorveria, considerando F
i
a fora absorvida por cada pilar do apoio, nF
i
,
conseqentemente, o equilbrio seria escrito da seguinte forma: F=###nF
i
. Portanto, a carga em cada pilar
seria:

F
n
k
k
F
F
n
F
i
i
i
i i
=
=
1
1

substituindo - se na expresso acima a eq.(9.6), tem- se:

...... c. q. d.


9.5.1.3 - Caso de deformaes impostas(retrao, temperatura, protenso).

Estes casos no se incluem no procedimento de clculo visto anteriormente, pois no h
fora resultante aplicada na superestrutura, apenas deformaes longitudinais impostas.
Para efeito de projeto, considera-se a variao de temperatura e a retrao reunida numa
nica variao de temperatura equivalente:

T f iao
eq
= ( var de temperatura, retrao)
9.7

Em geral, admite-se uma variao de temperatura T C
eq
o
= 25 , que engloba a variao de
temperatura e a retrao.

Sob a ao da retrao, o tabuleiro se encurta. Sob a ao da temperatura o tabuleiro encurta
ou se alonga, conforme a temperatura diminui ou aumenta. Dada a sua ligao com o tabuleiro, os pilares
so obrigados a acompanhar esses movimentos, resultando esforos aplicados nos topos dos pilares.
Se todos os apoios forem elsticos, os movimentos de alongamento ou de encurtamento do
tabuleiro se processam nos dois sentidos da direo longitudinal do tabuleiro, e h, evidentemente, um
plano vertical transversal, no qual o deslocamento nulo. Considerando-se esta propriedade, o
deslocamento
oi

em um apoio elstico "i" funo da sua distncia at o plano de deslocamento nulo.
Obtido o deslocamento
oi
, o esforo correspondente a esse deslocamento dado por : F
i
= k
i

oi
.

A soluo desse problema se obtm superpondo-se duas solues: uma em que se aplica
T
eq
superestrutura com uma extremidade fixa (deslocamento nulo, com isso, os deslocamentos e os
esforos correspondentes nos topos dos apoios elsticos so determinveis)e outra em que se devolve
superestrutura a reao do apoio (Fig. 9.12) .

Portanto, o problema resolvido da seguinte forma:

F
o
F
o
T
eq
T
eq
x
i
oi

on

o1

k
1
k
k
i
n
Fon
F
o1
F
oi

o1
oi
on = T
eq
x
i
Fi
F
1

F
n

apoio introduzido
r)
a) b)
estrutura real submetida a variao de temperatura T
eq
,
estrutura com apoio introduzido e com
T
eq
estrutura submetida fora F
o
F
i
F
n F
1


Figura 9.12 - Foras nos apoios elsticos devido a T
eq



a) Efeito de T
eq
, com extremidade fixa (Fig.9.12a)

Sendo o deslocamento da extremidade da superestrutura nulo, ento, o deslocamento
do topo do apoio "i" , devido variao de temperatura, dado por :


oi
T
eq
x
i
= . . (9.7)
onde,
= coeficiente de dilatao trmica , para o concreto, =

10
5 1 o
C ,
T
eq
= variao de temperatura equivalente retrao e temperatura,
x
i
= distncia da extremidade fixa at o apoio "i" .
A fora no topo do apoio "i" devido ao deslocamento
oi
, produzido por T
eq
,
dada por,
F k T x
oi i eq i
= . . . (9.8)
9.8


Por equilbrio, da estrutura da Fig.9.12a, tem-se:

F
o
=
oi
F

(9.9)

Substituindo-se (9.8) em (9.9), resulta,


i
x .
eq
T . .
i
k
o
F = (9.10)


b) Efeito da devoluo de Fo estrutura


A fora no apoio "i" , devido a Fo , dada por ,

F
k
k
F
k
k
k T x
k
k
T k x k T
k x
k
i
i
i
o
i
i
i eq i
i
i
eq i i i eq
i i
i
= = = = ( . . . ) . . . . . .
.
(9.11)


c) Superposio dos efeitos

F F F
i oi i
= + (9.12)

Substituindo-se (9.8) e (9.11) em (9.12) tem-se o esforo no apoio "i:


F k T x
k x
k
i i eq i
i i
i
= . . .(
.
)

(9.13)


onde,

F
i
= fora correspondente a cada aparelho de apoio , pois, nasce caso no foi utilizado a equao
de equilbrio, e s depende da deformao produzida pela variao de temperatura no
aparelho de apoio.
k
i
= a rigidez do conjunto (aparelho de apoio + pilar)
x
i
= a distncia da origem "o" , do sistema de coordenadas oxy, colocada na extremidade da
viga com deslocamento nulo, at o apoio "i".



9.5.2 - Distribuio de esforos horizontais transversais nos pilares
(tabuleiro contnuo)


Neste caso, tambm, pode ser considerada a superestrutura como rgida apoiada
sobre apoios elsticos (aparelho de apoio + pilar), devido grande rigidez das lajes no plano horizontal.

Nas Figs. 9.13a 9.13c representam-se tabuleiros solicitados por esforos horizontais
transversais.
9.9

a) Ponte reta(cortina perpendicular ao eixo)
F
c
E
E
w
w(vento)
(fora centrfuga)
(empuxo)
pilar
tabuleiro
b) Ponte curva horizontal
w
E
E
c) Ponte esconsa

x
i
x
i
P
i
d) Deslocamento do pilar P
i
provocado pela rotao
do tabuleiro em torno do ponto "o"
o


Figura 9.13 - Foras horizontais transversais

Essas ,aes referidas a um ponto "o"do plano horizontal, produzem os esforos
resultantes F
res
e M
res
, respectivamente, fora e momento fletor resultantes.
Considerando-se, inicialmente, apenas a ao do momento M
res
, o tabuleiro gira em
torno de um ponto "o",de um ngulo , provocando em cada pilar um deslocamento x
i
e,
conseqentemente, uma fora F
i
= k
i
..x
i
.
Do equilbrio do tabuleiro, sem considerar a fora F
res
, resulta:



F F k x k x
M F x k x k x M
i i i i i
i i i i i i res
= = = =
= = = =
0 0
0
2 2
. . .
. . .


(9.14)
(9.15)


As equaes (9.14) e (9.15) so idnticas quelas da flexo simples da Resistncia
dos Materiais, deduzidas a seguir (Fig.9.14):

LN
CG
dA
M

y
y

y
= c.y
onde,
c = coeficiente de
proporcionalidade
y
x

Figura 9.14 - flexo simples

Por equilbrio, tem-se:

9.10

(9.16)
(9.17)

F dA c y dA
M dA y c y dA M c
M
y dA
M
I
y
= = =
= = = = =



0 0
0
2
2

. .
. . .
.

Das eqs. (9.16) e (9.17) resultam, respectivamente:
y dA . =

0 momento esttico nulo ( origem "o" do sistema de eixos oxy em que o momento
esttico nulo corresponde ao centro de gravidade (CG) da seo transversal);

y
M
I
y = . onde, I = momento de inrcia em relao ao CG da seo.
y = distncia do CG da seo at o ponto onde se quer a tenso.

Portanto, pode-se estabelecer uma analogia entre os dois problemas:

Analogia

Problema de flexo simples da resistncia dos
materiais
Problema de cargas transversais horizontais
de pontes
dA = rea elementar da seo k
i
= rigidez de cada apoio(pilar+ aparelho de
apoio)
y = distncia do CG at a rea elementar x
i
= distncia do centro de gravidade das
rigezas k
i

at a rigidez k
i
do apoio "i"
CG = centro de gravidade das reas
elementares
da seo
CG
r
= centro de gravidade das rigezas dos
apoios

Do exposto, pode-se escrever:

A k
I k x
i
i i
=
=

.
2
(9.18)

onde,
A = somatrio das rigezas dos apoios(pilar + aparelho de apoio)
I = momento de inrcia das rigezas k
i


Se, no ponto CG
r
(centro de gravidade das rigezas) for aplicado a fora F
res
, o sistema
sofrer uma translao. Nessas condies, se todas as cargas transversais horizontais aplicadas forem
referidas ao CG
r
das rigezas dos pilares, resulta um problema anlogo ao de flexo composta da
resistncia dos materiais, cuja expresso da tenso
i
em um ponto "i" , dada por :

(9.19)

M e = excentricidade de F em rela o ao CG
distncia do CG ao apoio " i"

res r
r

i
res res
i
res res
i
F
A
M
I
x
onde
F e :
x
=
=
=
.
,
.
_
_


Como a rea elementar anloga rigidez k
i
de cada apoio "i" , do problema de pontes,
ento, considerando-se (9.18) e (9.19) ,a fora correspondente ao apoio "i" dada por :

9.11


F k
x
i i
i
= . = (9.20) k (
F
A
M
I
. x ) = k . F . (
1
A
e. x
k
)
i
res res
i i res
i
i

.
2



OBS. a) F
i
a fora recebida pelo conjunto de "n" pilares (prtico transversal) do apoio elstico "i" , se
houver mais de um pilar nesse apoio na direo transversal, ento, a fora recebida por cada pilar do
apoio ser F
i
/n . Pois, na deduo da expresso (9.20), foi considerada aplicada na estrutura total a
fora resultante F
res
. Para que a fora F
i
representasse a carga recebida por cada pilar do apoio
elstico "i", a fora F
res
teria que ser dividida pelo nmero "n" de linhas longitudinais de
pilares.
b) A parcela, da eq. (9.20), devido ao momento, pode ter direo diferente daquela devido fora,
por isso o sinal vetorial.
c) De forma anloga ao que feito com reas, pode-se calcular o centro de gravidade das rigezas,
da seguinte forma:


x (9.21)
CG
i i
i
r
k x
k
=

.



d) usual se adotar para estruturas contnuas, o critrio simplificado de distribuio de esforos
utilizados em estruturas isostticas, o qual consiste em distribuir a carga transversal horizontal,
para cada apoio, proporcionalmente ao comprimento de influncia do mesmo.Esse comprimento
igual, para cada apoio, soma das metades dos vo adjacentes ao apoio(ver Fig.9.15). Os
resultados obtidos, s vezes, so muito diferentes dos reais.


a 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2
P
1
P
2
P
3
P
4
juntas de
dilatao
ELEVAO
PLANTA
w(vento)


Figura 9.15 - Comprimentos de influncias dos apoios

Segundo a fig. 9.15, os comprimentos de influncia de cada apoio so dados por:

9.12


apoio l
a
apoio l
a b
l a b c
apoio l
b c
apoio l
c
i
1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
3
4
=
=
+
= + +
=
+
=
;

e, a fora absorvida por cada apoio F
i
, da resultante F
w
, devido presso do vento w, dada por
:
F
l
l
F
i
i
i
w
=

.

9.5.3 - Foras aplicadas diretamente nos pilares

9.5.3.1 - Pilares com apoio mvel no topo

Os aparelhos mveis podem ser de rolo, de deslizamento(camada de teflon) ou de
pndulo. Neste caso as cargas so resistidas pelo prprio pilar, no havendo "ajuda"de outros pilares, figura
(9.16).


E
P P
P
1 2
3
E
P
1
O apoio superior do pilar P
1
no oferece resistncia ao deslocamento Obs.:


Figura 9.16 - Cargas em pilares com apoio mvel no topo



9.5.3.2 - Pilares com apoio elstico no topo

Neste caso (figura 9.17) , a carga aplicada no pilar provoca no apoio superior uma
reao horizontal R
11
, devido resistncia ao movimento do apoio de concreto ou elstico.


E
P
P
P
1
2
3
apoio de concreto apoio de neoprene apoio de concreto
R
11


Figura 9.17 - Cargas em pilares com apoio elstico no topo

O problema resolvido com o auxlio do artifcio de separar a
deslocabilidade(fig.9.18):
9.13

a) Inicialmente, coloca-se um apoio para impedir o deslocamento na direo horizontal. Obtm-
se assim, uma reao R
11
no topo do pilar carregado(pilar P
1
) , figura (9.18a).
b) Aplica-se na estrutura real , apenas a fora (- R
11
), do item anterior, obtendo-se no pilar P
1
a
reao R
21
, figura (9.18b)
c) Por superposio dos efeitos, tem-se:

R R R
11 11 21
= (9.22)

E
E
apoio introduzido
R
11
R
11
P
1
P
2
P
3
P
3 P
3
P
1
P
2
P
1
P
2
E
R
11
R
21
P
1
P
1
b) estrutura submetida a
R
11 a) estrutura fixada submetida a
E
r) estrutura real


Figura 9.18 - Procedimento para a soluo de problemas com cargas
aplicadas diretamente em pilar com apoio elstico no topo.

A) Clculo da reao R
11
(figura 9.18a)

A reao R
11
obtida atravs das tabelas de momentos de engastamento perfeito,
para as seguintes vinculaes:

E
R
11 R
11
E
a) apoio superior = Freyssinet b) apoio superior contnuo = engaste
E
R
11 R
11
E
A
B
A
B
M
A
M
A
M
B
M
A
= momento de engastamento perfeito , M
B
= momentos de engastamentos perfeitos
M
A

Figura 9.19 - clculo da reao R
11


OBS. : Os esforos nos outros apoios do problema da Figura (9.18a) , so nulos, pois esses apoios
no sofrem deslocamentos e os pilares correspondentes esto descarregados. Chamando-se
esses esforos de R
i 1
, tem-se que para i 1 , R
i 1
= 0 .


B) - Clculo da reao R
21
(figura 9.18b)

No problema da Figura 9.18b , o apoio "i" absorve uma parcela de R
11
, como visto na eq.
(9.6), dada por:
9.14


R
k
k
R
i
i
i
2 11
=

. (9.23)
particularmente, o apoio 1 (P
1
), absorve :

R
k
k
R
i
21
1
11
=

. (9.24)

Por superposio dos efeitos (eq. 9.22), tem-se, para o apoio 1:

R R R R
k
k
i
para o pilar carregado diretamente cujo aparelho
de apoio do tipo Freyssinet ou contnuo
11 11 21 11
1
1 1 = = ( ) ; ,
.

(9.25)

Para os demais apoios (exceto aquele que suporta carregamento direto, que no caso o
apoio 1 , (P
1
) )

R R R
k
k
R
k
k
R para i
i i i
i
i
i
i
1 1 2 11 11
0 1 = = =

; (9.26)

Se no topo do pilar carregado diretamente (pilar P
1
) existir ,um aparelho de apoio de
Neoprene, a reao R
11
ser menor que nos casos de aparelho de Freyssinet ou de aparelho contnuo,
devido deformao do Neoprene.

R
11
E
R
11
E
.(
k
a1
k
a1
+ k
p1
)
a) Reao sem a deslocabilidade do
aparelho de apoio
b) Reao com a deslocabilidade do
aparelho de apoio de Neoprene
Neoprene


Figura 9.20 - Reao no aparelho de apoio de Neoprene

A figura 9.20a representa a reao R
11
obtida sem a deslocabilidade do aparelho de
apoio ( idntico reao do problema da figura 9.19a). Como o aparelho de apoio de Neoprene se deforma,
ento, a reao absorvida pelo Neoprene ser proporcional sua rigidez, figura 9.20b, e dada por:


Neoprene de for apoio de aparelho o uando q
9.18a, figura da problema do carregado apoio no reao ;
k k
k
. R R
1 p 1 a
1 a
11 11
+
=
(9.27)

Conseqentemente, a expresso (9.25) ser alterada para,

R R
k
k
i
R
k
a
k
a
k
p
k
k
i
para o pilar carregado diretamente cujo
aparelho de apoio de Neoprene
11 11
1
1
11
1
1 1
1
1
1 = =
+
( ) . . ( ) ; ,
.
(9.28)

onde,
9.15


k
a
k
p 1 1
, so, respectivamente, a rigidez do aparelho de Neoprene e a rigidez do pilar
correspondentes ao apoio carregado diretamente (apoio P
1
da figura 9.18a)

9.5.3.3 - Presses de vento e gua aplicadas diretamente nos pilares

Estes problemas podem ser resolvidos de forma anloga aos itens 9.5.3.1 e 9.5.3.2.
Porm, comum, para esses carregamentos, dimensionar os prticos transversais(pilares ligados por
travessas) como sendo independentes do tabuleiro (ver fig. 9.21).


w (vento)
p (presso d'gua)
travessa aparelho de Neoprene


Figura 9.21 - Prtico transversal independente do tabuleiro, submetido a presses
do vento e d'gua.


9.5.4 - Consideraes adicionais

a) Em geral, o conjunto de pilares na direo transversal, por apoio, constituem um
prtico transversal (pilares ligados por travessas). Este prtico comporta-se como engastado na base
(fundao) e no topo, elasticamente ligado superestrutura atravs de aparelhos de apoio. Os itens
anteriores permitem o clculo das reaes no topo dos prticos transversais, para cargas horizontais
atuando diretamente sobre os mesmos ou indiretamente quando as cargas atuam na superestrutura.

b) Quanto ao modelo de se adotar engastamento dos pilares na fundao deve ser
feita de acordo com a situao real. Por exemplo, se a fundao for de tubulo parcial ou totalmente
enterrado, a considerao, para o clculo de esforos solicitantes nos pilares, de engaste na interface entre o
pilar e o tubulo uma simplificao grosseira. Neste caso, se possvel, deve-se considerar o engaste no
na interface e sim em uma seo do tubulo distante acima de 3,0 metros (ou determinada mais
realisticamente pela mecnica dos solos) desta interface, sem levar em conta as reaes do solo (fig.9.22a).
Entretanto, para o clculo dos esforos no tubulo, as reaes laterais do solo devem ser consideradas (fig.
9.22b).


9.16


pilar
tubulo
travessa
reaes da superestrutura
vento
rigidez do solo
esforos transmitidos pelo pilar
b) modelo para o clculo dos esforos
a)
modelo para o clculo dos esforos
solicitantes nos pilares
solicitantes nos tubules


Figura 9.22 - Modelos de clculos para pilares e tubules

c) Os esforos longitudinais horizontais, provenientes do tabuleiro, aplicam-se no
topo do pilar. Os momentos fletores associados com a transferncia desses esforos, da pista de rolamento
ou do eixo da viga principal para o nvel do topo dos pilares, so, em geral, de importncia secundria,
alterando muito pouco as reaes nos apoios (fig. 9.23).


F
M
F
h
M = F.h
ELEVAO
Momento fletor transferido para o nvel
do topo dos pilare :


Figura 9.23 - Transferncia de esforos longitudinais

d) Os esforos transversais, provenientes do tabuleiro tal como a fora centrfuga ou
do centro de gravidade da rea que obstrui o vento, so tambm transferidos para o nvel do topo dos
pilares, produzindo-se um momento que equilibrado por reaes dos pilares.

H1
H2
H1
H2
M M
H1+H2 H1+H2 h2
h1
b)prtico transversal - transferncia de esforos a) Pilar parede- transferncia de esforos
M = H1.h1 +H2.h2
Rp . b = M
b
Rp Rp
M = H1.h1 +H2.h2
Obs. O momento M solicita o pilar parede
de forma constante


9.17

Figura 9.24 - Transferncia de esforos transversais
9.5.5 Exemplo de clculo dos esforos no topo dos pilares, devido s cargas
horizontais (Pfeil - vol. 1 - pg 87 e vol. 2- pg. 247).

Calcular para a ponte de classe 45 da fig.9.25, de tabuleiro contnuo, os esforos nos
topos dos pilares.

neoprene Freyssinet neoprene
5,0m
0,80
2,25
8,0m
2,0m
P1 P2 P3
P4
5,0 20,0m 25,0m 20,0m 5,0
( = 1,0m) ( = 1,0m)
( = 1,0m)
( = 1,0m)
0,10m
0,80m
2,25m
6,40m 6,40m
6,0m
0,40m
defensa
viga
VISTA
LONGITUDINAL
CORTE TRANSVERSAL
0,40 0,40m


Figura 9.25 - Ponte com tabuleiro contnuo ( Ponte classe 45)


9.5.5.1 - Caractersticas dos pilares e dos aparelhos de apoio

a) Pilares

Ep = 2.100kN/cm2 = 2,1x10
7 2
kN m /

d=1m
A
d
m I
d
x m
p p
= = = =


2
2
4
2 4
4
0 785
64
4 91 10 , ; ,


-Rigezas dos pilares

Considerando-se a expresso (9.1) da rigidez do pilar "i, tem-se:
Pilar P
1
= P
3
: m / kN 10 x 42 , 60
8
10 x 91 , 4 x 10 x 1 , 2 x 3
k k
2
3
2 7
3 p 1 p
= = =

Pilar P
2
:

m / kN 10 x 93 , 30
10
10 x 91 , 4 x 10 x 1 , 2 x 3
k
2
3
2 7
2 p
= =

(9.29)
9.18


Pilar P
4 :
m / kN 10 x 46 , 247
5
10 x 91 , 4 x 10 x 1 , 2 x 3
k
2
3
2 7
4 p
= =

b) Aparelho fretado de Neoprene (Pilares P
1
e P
4
)


900mm
250mm
3mm
3mm
3mm
2mm
12mm
3mm
12mm
2mm
3mm
37mm
chapa de ao neoprene

Figura 9.26 - Aparelho fretado de Neoprene

O aparelho de neoprene fretado, em geral, revestido com uma camada protetora de
neoprene, que no exemplo de 3mm. A dimenso til a serem consideradas nos clculos no leva em conta
a camada protetora, resultando com isto:

rea til de apoio A x cm x m
Altura til h x mm m
Mdulo de elasticidade transversal do Neoprene G kN m
a
a
a
= == = = == = = == = = == =
= == = = == = = == = = == =
= == = = == =

24 4 89 4 2181 36 2181 4 10
2 12 24 0 024
1000
2 4 2
2
, , , ,
,
/


-Rigezas dos aparelhos de apoio de Neoprene

Considerando-se a expresso (9.2) da rigidez do aparelho de apoio de Neoprene, tem-se:

Apoio de Neoprene de P
1
=P
4
: k k
x x
kN m
a a 1 4
4 3
2181 4 10 10
0 024
9089 17 = == = = == = = == =

,
,
, / (9.30)

c) Aparelho de apoio de Freyssinet (pilares P
2
e P
3
)

-Rigezas dos apoios Freyssinet

Este aparelho no deforma na direo horizontal, portanto, a rigidez infinita:

Apoio de Freyssinet de P
2
=P
3
: k k
a a 2 3
= = (9.31)

-Rigezas dos apoios elsticos (pilar +aparelho de apoio)

Considerando-se a expresso (9.4) da rigidez do apoio elstico P
i
, tem-se :
Apoio P
1
: k
x
kN m
1
2
1
1
9089 17
1
60 42 10
3629 38 =
+
=
,
,
, /
Apoio P
2
: m / kN 30 , 3093 k
10 x 93 , 30
1 1
1
k
2 p
8
2
= =
+

=
9.19

Apoio P
3 :
m / kN 60 , 6041 k
10 x 42 , 60
1 1
1
k
3 p
8
3
= =
+

= (9.32)
Apoio P
4
: k
x
kN m
4
2
1
1
9089 17
1
247 46 10
6647 54 =
+
=
,
,
, /
9.5.5.2 - Clculo dos esforos horizontais

a) Frenagem ou acelerao de veculos
Ponte classe 45: peso do veculo = 450 kN ; q = 5 kN/m2

Nas pontes rodovirias considera-se o maior valor entre:
- 5% da carga mvel total = 0,05[(75x12,80-3x6)5+450]=258,0kN
- 30% do peso do veculo-tipo = 0,30x450 = 135kN
Ento, a fora de frenagem F
f
, vale,

F
f
= 258,0 kN (9.33)

b) Fora horizontal transversal devido ao vento , F
v
t

b.1) Ponte descarregada F
v
td

- presso do vento, w = 1,5kN/m2
- altura do tabuleiro = 2,25 + 0,80 = 3,05m
- comprimento do tabuleiro = 75m
- rea de obstruo ao vento = 75x3,05=228,75m2
ento,
F
v
td
= 1,5x228,75 = 343,13 kN (9.34a)

b.2) Ponte carregada, F
v
tc

- presso do vento = w = 1,0 kN/m2
- altura da pista de rolamento = 2,25+0,10 = 2,35m
- altura do veculo (norma) = 2,00m
- altura total = 4,35m
- comprimento da ponte = 75m
- rea de obstruo ao vento = 4,35x75=326,25m2
ento,
F
v
tc
= 1,0x326,25 = 326,25kN (9.34b)
Portanto, a fora transversal do vento a considerar ser:

F
v
t
= 343,13kN (9.35)

c) Fora horizontal longitudinal devido ao vento, F
v
l

Segundo a norma americana AASHTO, considera-se atuando na ponte,
simultaneamente, fora transversal do vento, uma fora longitudinal composta pelas seguintes parcelas:
- vento na superestrutura = 25% da fora do vento transversal
- vento na carga mvel = 40% do vento transversal

c.1) Ponte descarregada
F
v
ld
= 0,25xF
v
td
= 0,25x343,13 = 85,78kN (9.36a)
9.20

c.2) Ponte carregada
F
v
lc
= w ( Atab x 0,25 + Aveic x 0,40) onde,
Atab = rea de obstruo ao vento correspondente ao tabuleiro;
Aveic = rea de obstruo ao vento correspondente ao veculo.

F
v
lc
= 1,0(2,35x75x0,25+2x75x0,40) = 104,06kN (9.36b)
Portanto,
F
v
l
= 104,06kN (9.37)

d) Empuxo de terra nas cortinas, E.

De acordo com a teoria de Rankine,
E p b h
mx
=
1
2
. . (9.38)
onde,
p
mx
= k
a
..h ; k
a
= coeficiente de empuxo ativo = tg
o 2
45
2
= ( )

em pontes considera-se,
peso especfico do solo = = 18
3
kN m / e,
ngulo de atrito do solo = = = 30 1 3
o
a
k / ,
ento,
E =
1
2
1
3
18 13 6 2 206 55
2
= , ,25 , kN (9.39)
OBS. Como a ponte contnua e possui cortinas idnticas em ambas as extremidades, os empuxos se auto
equilibram, no produzindo esforos nos pilares.

e) Empuxo de terra provocado pelas cargas mveis sobre o aterro, Eq.

Supondo-se que a pista de rolamento de acesso tenha largara m 6 , 13 l
p
= , tem-se(ver cap. II)
:

) 45 classe ( m / kN 5 a distribud mvel a arg c q
m / kN 25
6 3
450
veculo ao e equivalent a distribuid a arg c q , onde
l
) 0 , 3 l ( q 3 . q
q ; h . b . q . k E
2
2
v
p
p v
a q
= =
=

= =
+
= =
(9.40)
ento,
E x x kN
q
=
+
=
1
3
25 3 0 5 13 6 3
13 6
13 6 2 96 00
[ , ( , )]
,
, ,25 , (9.41)

9.5.5.3 - Clculo da distribuio das foras horizontais longitudinais entre os pilares

A) Foras de frenagem+empuxo de carga mvel e de vento

Considerando-se as rigezas dos apoios elsticos, eqs. (9.32), a eq. (9.6) que calcula a fora em
cada apoio elstico "i, e tambm que:

a.1) a ao simultnea da frenagem, eq.(9.33) e do empuxo da carga mvel, eq.(9.41):
9.21

kN 25 , 332 75 , 78 5 , 253 E F F
q f
fe
= + = + = , produzir no apoio elstico "i" , a fora

fe
i
F
a.2) a ao do vento na direo longitudinal, eq. (9.37):

l
v
F = 104,06kN , produzir no apoio elstico "i" , a fora
l v
i
F ,
pode-se construir a tabela 9.1 , que fornece as foras
fe
i
F e
l v
i
F em cada apoio elstico "i" .


Tabela 9.1 - Distribuio entre os apoios elsticos dos esforos
longitudinais de frenagem+empuxo e de vento

Distribuio das foras F
f e
e F
v
l
entre os apoios elsticos "i"

Apoio
elstico
k
i

(kN/m)

k
i
k
i

F
i
f e k
i
k
i
F
f e
=

.
(kN)
F
i
vl k
i
k
i
F
v
l
=

.
(kN)
1
2
3
4
3629,38
3093,00
6042,00
6647,54
0,19
0,16
0,31
0,34
67,26
56,64
109,74
120,36
19,88
16,74
32,43
35,56
19411,92 1,00 354,00 104,60
OBS. Os esforos das duas ltimas colunas atuam
longitudinalmente em cada apoio elstico "i" que, no exemplo,
composto de dois pilares. Portanto, para o dimensionamento
de cada fuste dos pilares, tomar-se- a metade do esforo (ver
item 9.5.1.2).


B) Foras devido variao de temperatura +retrao

A fora absorvida por cada apoio elstico dada pela expresso (9.13). Adotando-se a
extremidade esquerda da viga principal como a origem do sistema de coordenadas oxy, e considerando-se:

T C
C
eq
o
o
=
=

25
10
5 1
( efeito conjunto da temperatura e retrao )

,
pode-se construir a tabela 9.2 , que fornece a fora F
i
T
, em cada apoio elstico "i" .

Tabela 9.2 - Esforos nos pilares, devido a

T C
C
eq
o
o
=
=

25
10
5 1
( efeito conjunto da temperatura e retrao )

apoio
elstico
x
i
(m)
k
i
(kN/m)

F
i
T

(kN)
1
2
3
4
5
25
50
70
3629,38
3093,00
6042,00
6647,54
35,80
15,04
8,38
42,46
19411,92
Obs. A ltima coluna j fornece
a fora para o dimensionamento
de cada fuste de pilar


9.5.5.4 Clculo da distribuio das foras transversais horizontais entre os pilares
9.22


Na ponte em questo, a nica fora transversal horizontal a considerar a fora
relativa ao vento, kN 13 , 343 F
t
v
= , eq.(9.35). De acordo com o item 9.5.2, os efeitos dessa carga nos pilares
so calculados em relao ao centro de gravidade das rigezas dos mesmos, atravs das expresses (9.20) e
(9.21). Para isto, considere-se a fig. 9.27, onde a origem do sistema de coordenadas adotada no pilar P
1
.


O
x
k
1
k
2
k
3
k
4
P
1
P
2
P
3
P
4
20,0m 25,0m 20,0m

Figura 9.27 - Rigezas dos pilares para o clculo do centro de gravidade das
rigezas, CG
r



A partir da figura 9.27 e dos dados anteriores pode-se obter os valores da tabela 9.3,
que so representados na figura 9.28.

Tabela 9.3 -Clculo do centro de gravidade das rigezas, CG
r

Pilar k
i


(kN/m)
x
i
= distncia
das rigezas
origem do
sistema oxy


(m)
k
i
x
i


k x
i
i
2

x
i
= distncia
das rigezas ao
CG
r
(m)
1
2
3
4
3629,38
3093,00
6042,00
6647,54
0
20
45
65
0,0
61.860,0
271.890,0
432.090,0
0,0
1.237.200,0
12.235.050,0
28.085.857,0
- 39,45
- 19,45
5,55
25,55
19411,92 765.840,0 41.558.107,0

x
k x
k
m
CG
i i
i
r
= = =

765 840 0
19 92
39 45
. ,
.411,
, = distncia do CG
r
origem de oxy


O
x
k
1
k
2
k
3
k
4
P
1
P
2
P
3
P
4
20,0m 25,0m 20,0m
x
y
CG
r
y
e
F
t
v
12,5m 12,5m
19,45m 5,55m
39,45m 25,55m
25,0m 25,0m
x
CG
r
=
e = 12,5 - 5,55 = 6,95m = excentricidade da carga do
vento em relao ao CG
r


Figura 9.28 - Centro de gravidade das rigezas, CG
r
, e o ponto de aplicao
da fora correspondente ao vento, F
v
t
.
9.23



Para o clculo dos esforos em cada pilar, utiliza-se a expresso (9.20). De forma
anloga resistncias dos materiais, o momento de inrcia das rigezas, em relao ao CG
r
, dada por :


2
y y
d . A I I =
onde,

2
i i y
x k I = = momento de inrcia em relao ao sistema oxy

i
k A = = soma das rigezas
d = distncia entre os centros "o" e "CG
r
"
ento, a partir da tabela 9.3, tem-se:
0 , 047 . 347 . 11 45 , 39 x 71 , 411 . 19 0 , 540 . 557 . 41 I
2
y
= =
e, da expresso (9.20), repetida abaixo, resultam as cargas absorvidas pelos pilares:

(7.20) )
x . k
x e.
A
1
.( .F k = ) x .
I
M
A
F
( k = k . = F
2
i i
i
res i i
res res
i i i

(9.20)

apoio P
1
kN 24 , 94 )
047 , 347 . 11
45 , 39 x 95 , 6
71 , 411 . 19
1
( 24 , 629 . 3 x 13 , 343 F
vt
1
= + =
apoio P
2
kN 32 , 67 )
047 , 347 . 11
45 , 19 x 95 , 6
71 , 411 . 19
1
( 30 , 093 . 3 x 13 , 343 F
vt
2
= + = (9.42)
apoio P
3
kN 75 , 99 )
047 , 347 . 11
5 , 5 x 95 , 6
71 , 411 . 19
1
( 60 , 041 . 6 x 13 , 343 F
vt
3
= =
apoio P
4
kN 81 , 81 )
047 , 347 . 11
55 , 25 x 95 , 6
71 , 411 . 19
1
( 57 , 647 . 6 x 13 , 343 F
vt
4
= =

Como cada apoio constitudo por dois pilares, a fora recebida por cada um deles obtida
dividindo-se os resultados anteriores por 2, que so as foras para o dimensionamento dos pilares (ver item
9.5.2).



A ttulo de ilustrao, calculam-se as cargas anteriores (9.42) pelo critrio simplificado exposto no
item (9.5.2):
apoio P
1
kN 63 , 68 13 , 343 x
75
15
F
vt
1
= =

apoio P
2
kN 94 , 102 13 , 343 x
75
5 , 22
F
vt
2
= =
(procedimento simplificado) (9.43)
apoio P
3
kN 94 , 102 13 , 343 x
75
5 , 22
F
vt
3
= =

apoio P
4
kN 63 , 68 13 , 343 x
75
15
F
vt
4
= =

Observa-se que os valores obtidos para os pilares 1 e 4, pelo processo simplificado, so contra a
segurana.




9.24


9.5.4 Solicitaes nos pilares de pontes com tabuleiros descontnuos (juntas
deslocveis)

Quando as pontes so muito longas (> 100,0m) deve-se prov-las de juntas de dilatao, a
fim de aliviar os efeitos devidos retrao e variao de temperatura. Nas pontes pr-moldadas as juntas
so espaadas, naturalmente, com vos da ordem de 15 a 20m, por motivos estticos ou construtivos
(montagem, transporte, etc.).

9.5.4.1 Distribuio dos esforos transversais horizontais
Utiliza-se, em geral, neste caso o critrio simplificado exposto no item 9.5.2, que atribui a
cada apoio, o esforo transversal correspondente ao seu comprimento de influncia( comprimento
compreendido entre os pontos mdios dos tramos adjacentes ao apoio).

9.5.4.2 Distribuio dos esforos longitudinais horizontais
No caso de pontes com trechos hiperestticos, separados por juntas, usual distribuir os
esforos longitudinais, proporcionalmente aos seus comprimentos, figura 9.29. Cada trecho calculado
isoladamente (despreza-se a interferncia dos esforos nas juntas) da forma estabelecida para tabuleiros
contnuos no item 9.5.1

Neoprene
F
F1
F2
L1 L2
F = F1 + F2
F1 =
L1+L2
L1
F
F2 =
L1+L2
L2
F ; ;

Figura 9.29 - Tabuleiro com trechos hiperestticos

Nas pontes com tramos biapoiados (fig.9.30), pode-se tambm distribuir o esforo
longitudinal proporcionalmente aos seus comprimentos, e o esforo de cada tramo dividido, em partes
iguais, entre seus dois apoios.


F
F1 F2 F3
F3
2
F2
2
F1
2
F1
2
F2
2
F3
2
onde,
F = fora longitudinal total
Fi = parcela de F correspondente ao tramo i =
Li

Li
F
=
L1 L2
L3

Figura 9.30 - Tabuleiro com trechos isostticos

Existem formulaes mais rigorosas, para estes casos, como, por exemplo, aquela que leva
em conta a rigidez dos aparelhos de apoio (ver Pfeil, vol. 2, pg.258).