Analise Real
Analise Real
Analise Real
= 0 , , ; q Z q p
q
p
Q .
Voc conheceu tambm o conjunto dos nmeros irracionais, chegando, desse modo, ao
conjunto dos nmeros reais, que a unio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto
dos nmeros irracionais e que neste texto ser denotado por . R
No ensino fundamental voc conheceu a raiz quadrada de alguns nmeros, por
exemplo: , 5 , 3 , 2 ... etc. Em outras palavras, admitia-se a existncia das razes quadradas
de nmeros reais no-negativos sem maiores justificativas. Mas voc j pensou na
justificativa da existncia dessas razes? Voc conhece algum processo para calcular valores
aproximados para essas razes?
Nesta disciplina, alm de refletirmos sobre essas perguntas, retomaremos, para tratarmos de
modo mais preciso, vrios conceitos estudados no clculo diferencial e integral, que
certamente voc j cursou.
Os contedos que abordaremos nesta disciplina so distribudos em oito Unidades. As
Unidades 1 e 4 tm apenas uma aula; as Unidades 3 e 8 duas aulas; as Unidades 2, 6 e 7
trs, aulas; e a Unidade 5, quatro aulas. Embora o nmero de aulas em cada Unidade no
seja o mesmo, voc ter uma semana (7 dias) para concluir cada Unidade, j includo nesse
tempo a entrega das tarefas.
6
O tempo que voc ter para cursar esta disciplina ser 60 dias e voc dever estudar os
seguintes tpicos:
Resultados preliminares relacionados ao conjunto dos nmeros reais.
Sequncia de nmeros reais.
Sries numricas ou sries infinitas.
Noes de topologia na reta.
Limite e continuidade de funes reais de varivel real.
Derivadas de funes reais de varivel real.
Integrais de funes reais de varivel real.
Sequncias e sries de funes reais de varivel real.
Para a elaborao deste texto, as principais referncias bibliogrficas utilizadas foram vila
(1999), Bartle (1983), Lima (2007) e Figueiredo (1974).
Ateno! Organize-se e procure se dedicar da melhor forma possvel ao estudo desta
disciplina. muito importante, em cada Unidade, voc realizar as tarefas no tempo
estipulado para isso. Se voc tiver dificuldade para tal, procure trocar ideias com colegas que
esto cursando a disciplina, com o tutor presencial, com o tutor a distncia ou com o
professor da disciplina.
7
Certamente, ao cursar esta disciplina, voc ir enriquecer seus conhecimentos na rea de
Matemtica, de modo que estar mais capacitado para desenvolver suas atividades
profissionais com mais autoconfiana, alm de uma melhor base para continuar seus estudos
em Matemtica.
8
Unidade 1
RESULTADOS PRELIMINARES RELACIONADOS AO CONJUNTO DOS
NMEROS REAIS
Objetivos
Ao final desta Unidade, voc ser capaz de:
usar a definio de valor absoluto de nmeros reais, para demonstrar propriedades
relacionadas a esse conceito.
Conhecer as principais propriedades relacionadas ao conceito de valor absoluto.
Usar propriedades do valor absoluto, para demonstrar outras propriedades.
Familiarizar-se com as notaes e com as propriedades do valor absoluto.
9
.
10
Introduo
Nesta Unidade, inicialmente voc recordar alguns conceitos, relacionados ao conjunto dos
nmeros reais, e ao final ver a definio de valor absoluto e suas principais propriedades. Os
conhecimentos revisados nesta Unidade sero utilizados nas Unidades posteriores.
Embora esta Unidade no esteja dividida em aulas, voc dever dedicar-se a ela os 7
primeiros dias de estudo desta disciplina, j includa a entrega das tarefas, a fim de que revise
e se familiarize com esses conceitos.
Nesta Unidade voc revisar:
1. o significado de o conjunto dos nmeros reais ser um corpo.
2. A definio de um subconjunto dos nmeros reais ser limitado (superior e
inferiormente).
3. As definies de supremo e de nfimo de um subconjunto dos nmeros reais e suas
principais propriedades.
4. O significado de o conjunto dos nmeros reais ser um corpo ordenado e de ser um
corpo ordenado completo.
Alm da reviso mencionada, voc ver tambm a definio de valor absoluto de um nmero
real e suas principais propriedades, que sero apresentadas por meio dos exerccios, no final
desta Unidade.
11
Admitiremos o conjunto dos nmeros reais, denotado por R, e introduziremos algumas
definies e propriedades, nesse conjunto, de modo resumido. Para maiores detalhes,
inclusive para as demonstraes, consulte Lima (2007). Assumiremos o conjunto dos
nmeros reais R como um corpo, ou seja, um conjunto no qual so definidas duas operaes,
chamadas adio, denotada por +, e multiplicao, denotada por ., que satisfazem certos
axiomas. Geralmente, omitimos o ponto ao escrevermos a multiplicao. Em outras palavras,
consideraremos as operaes:
y x y x
R R R
+
+
) , (
:
e
y x y x
R R R
. ) , (
: "."
e admitiremos que elas satisfaam os seguintes axiomas:
1.1) Associatividade: R z y x yz x z xy e z y x z y x = + + = + + , , ), ( ) ( ) ( ) ( .
1.2) Comutatividade: R y x yx xy e x y y x = + = + , , .
1.3) Elementos neutros: existem dois elementos distintos em R, 0 e 1, tais que
R x x x e x x = = + , 1 . 0 .
1.4) Inversos: dado , R x existe , R x tal que 0 ) ( = + x x . E se 0 x , existe
tambm R x
1
tal que 1 .
1
=
<
=
0 ,
0 ,
a se a
a se a
a . (1.1)
18
Em outras palavras, { } a a a = , max , isto , o maior dos nmeros reais . a e a
Dados R b a , , geometricamente, o valor absoluto b a a distncia, na reta real, do ponto
a at o ponto b .
Exerccios 1.6
Dados R x c b a , , , , , demonstre que:
a) b a b a = , (1.2)
b) b a b a + + (desigualdade triangular) (1.3)
c) b a b a (1.4)
d) b a b a (1.5)
e) + < < < a x a a x (1.6)
f) c b b a c a + (1.7)
g) + < < b a b a (1.8)
19
Observao 1.7
O significado da desigualdade do exerccio 1.6, item (e), que o intervalo ) , ( + a a
formado pelos pontos cuja distncia at o ponto a menor do que .
20
Unidade 2
SEQUNCIA DE NMEROS REAIS
Objetivos
Ao estudar esta Unidade, voc ser capaz de:
usar a definio de sequncia de nmeros reais e efetuar operaes com os termos
dessa sequncia.
Usar a definio de limite de sequncia, para demonstrar que determinadas sequncias
convergem.
Usar a definio de subsequncia de nmeros reais e reconhecer a relao entre
convergncia ou divergncia de uma sequncia, com convergncia ou divergncia de
suas subsequncias.
Calcular limites de sequncias usando as propriedades desses limites.
Operar com os termos de uma sequncia, visando usar um mtodo, para calcular
aproximaes da raiz quadrada de um nmero real positivo.
Calcular os limites inferior e superior de sequncias e relacionar os resultados desses
limites com a convergncia da sequncia.
21
.
22
Introduo
Certamente, voc conhece do Clculo o conceito de sequncia de nmeros reais e alguns
resultados a ele relacionados. Nesta Unidade, voc vai retomar esses conhecimentos e estudar
outros, que provavelmente voc ainda no viu. Os resultados vistos nesta Unidade sero
utilizados posteriormente, principalmente na prxima Unidade.
Nesta Unidade, alm de vila (1999), Bartle (1983), Lima (2007) e Figueiredo (1974),
trabalhamos com Guidorizzi (2002) e Swokowski (1994). Esta Unidade est dividida em 3
aulas, que devero ser estudadas em 7 dias, j includa a entrega das tarefas, e versar sobre
os seguintes contedos:
Aula 1: definio de sequncia e limite de uma sequncia.
Aula 2: subsequncia, sequncia limitada e operaes com limites.
Aula 3: sequncia montona, limite superior e limite inferior, critrio de Cauchy.
Na aula 1, voc estudar: a definio de sequncia de nmeros reais e exemplos, incluindo
as progresses aritmticas e as progresses geomtricas abordadas no ensino mdio, alm da
sequncia de Fibonacci. Tambm ser visto nesta aula o conceito de convergncia de
sequncia.
Na aula 2, voc estudar: a definio de subsequncia e exemplos; o conceito de sequncia
limitada e sua relao com a convergncia; alm das principais propriedades de limites de
sequncias, incluindo tambm, algumas desigualdades importantes, usadas para demonstrar
que certas sequncias convergem ou divergem.
23
Na aula 3, voc estudar: o conceito de sequncia montona, incluindo exemplos; a relao
entre sequncia montona e convergncia dessa sequncia; os conceitos de limite inferior e
de limite superior de uma sequncia, inclusive a relao entre esses limites e a convergncia
da sequncia; e, por ltimo, o critrio de Cauchy para convergncia de sequncia.
No decorrer de cada aula, voc encontrar alguns exerccios para fixao e avaliao da
aprendizagem.
Aula 1 - Sequncia e limite de uma sequncia
Objetivos
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
usar a definio de sequncia de nmeros reais e efetuar operaes com os termos
dessa sequncia;
usar a definio de limite de sequncia, para demonstrar que determinadas sequncias
convergem.
Uma sequncia, como diz Aurlio em seu dicionrio, uma sucesso. Por exemplo, uma
sucesso de fatos ou acontecimentos. Em outras palavras, so acontecimentos que ocorrem
em uma determinada ordem. Uma sequncia de nmeros reais um conjunto ordenado de
nmeros reais, isto , voc tem o primeiro elemento, o segundo elemento, o terceiro elemento
etc.
24
A seguir, apresentaremos alguns exemplos de sequncias de nmeros reais.
Exemplo 2.1 Copas do Mundo
As copas do mundo de futebol so realizadas de quatro em quatro anos. Essa competio foi
criada pelo francs Jules Rimet, em 1928, e a primeira edio foi realizada no Uruguai em
1930. Como essa competio ocorre de quatro em quatro anos, temos a seguinte sequncia de
anos em que ocorreram e ocorrero copas do mundo:
1930, 1934, ..., 1994, 1998, 2002, 2006, ...
Exemplo 2.2 Anos bissextos
Como as copas do mundo, os anos bissextos, por exemplo, a partir de 2004, tambm formam
a seguinte sequncia:
2004, 2008, 2012, ....
Usando o formalismo matemtico, dizemos que uma sequncia ou sucesso de nmeros
reais uma funo , : R N f que associa a cada nmero natural n , a partir de 1, um
nmero real ) (n f .
O valor da sequncia f no nmero natural n denominado simo n termo da sequncia,
ou termo geral da sequncia f e geralmente denotado por . , , , etc y x b a
n n n n
Neste texto,
adotaremos tambm essas notaes. Referiremo-nos ao termo geral
n
a como a sequncia
f , tal que
n
a n f = ) ( .
Observao 2.3
Uma sequncia pode ser representada pelo seu termo geral ou explicitando seus elementos.
No exemplo 2.1, a sequncia pode ser representada em termos do termo geral por
25
), 1 ( 4 1930 + = n a
n
para L , 3 , 2 , 1 = n .
Analogamente, no exemplo 2.2, a sequncia pode ser representada, usando o termo geral,
por:
), 1 ( 4 2004 + = n a
n
para L , 3 , 2 , 1 = n .
Outras notaes, tambm bastante utilizadas para representar uma sequncia cujo termo geral
n
a , so: ) , , (
3 2 1
L a a a e ) (
n
a .
Outros exemplos de sequncias.
Exemplo 2.4
As sequncias dos exemplos 2.1 e 2.2 so casos particulares de uma sequncia popularmente
conhecida com o nome de Progresso Aritmtica, que voc j estudou no ensino mdio e
que geralmente denotada por P.A.
Uma P.A. uma sequncia de nmeros reais em que a diferena entre um termo qualquer, a
partir do 2, e o termo antecedente sempre a mesma constante. Essa constante chamada
razo da P.A. e geralmente denotada por r . Desse modo, o termo geral
n
a de uma P. A. de
razo r , dado por r n a a
n
) 1 (
1
+ = .
Exemplo 2.5
Uma sequncia muito conhecida que voc tambm estudou no ensino mdio foi a
Progresso Geomtrica, que geralmente denotada por P.G.
Uma P.G. uma sequncia de nmeros reais, no-nulos, em que o quociente entre um termo
qualquer, a partir do 2, e o termo antecedente sempre a mesma constante. Essa constante
26
chamada razo da P.G. e geralmente denotada por q . Com essas notaes, o termo geral
n
a de uma P.G. de razo q dado por
1
1
=
n
n
q a a .
Exemplo 2.6
No sculo XIII, o matemtico Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, props a
sequncia de nmeros reais ) (
n
a : (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...). Essa sequncia
definida pela seguinte lei de recorrncia:
1 2 1 0
1
+ = = =
n n n
a a a e a a . Ela ficou conhecida
como sequncia de Fibonacci e tem diversas aplicaes em fenmenos naturais.
Exemplo 2.7
A sequncia ) (
n
S das somas parciais (
n
S a soma dos n primeiros termos) da P.A. ) (
n
a de
razo r , dada por:
2
) (
1 n
n
a a n
S
+
= .
De fato, como r n a a
n
) 1 (
1
+ = , a sequncia ) (
n
S das somas parciais de ) (
n
a definida da
seguinte forma:
n n
a a a S a a a S a a S a S + + + = + + = + = = L L
2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1
, , , ,
Somando as equaes
n n
a a a S + + + = L
2 1
e
1 1
a a a S
n n n
+ + + =
L
obteremos
) ( ) ( ) ( 2
1 1 2 1
a a a a a a S
n n n n
+ + + + + + =
L .
No lado direito dessa equao, temos n parcelas todas iguais a
n
a a +
1
, ento:
) ( 2
1 n n
a a n S + =
27
Logo
2
) (
1 n
n
a a n
S
+
= .
Exerccio 2.8
Demonstre que a sequncia ) (
n
S das somas parciais (
n
S a soma dos n primeiros termos)
da P.G. ) (
n
a de razo 1 q , dada por
q
q a
S
n
n
=
1
) 1 (
1
.
Exemplos 2.9
Mais exemplos de sequncia de nmeros reais:
a) |
\
| +
n
n 1
b) |
\
|
n
1
c) ( )
n
a , onde o termo geral dado por:
) 1 (
1
4 . 3
1
3 . 2
1
2 . 1
1
+
+ + + + =
n n
a
n
L
d) ( )
n
a , onde
=
mpar n se
par n se
a
n
, 1
, 1
28
Observao 2.10
Voc no pode confundir a sequncia ) (
n
a com o conjunto formado pelos termos da
sequncia
{ } L , , ,
3 2 1
a a a . Por exemplo, a sequncia ) , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ( L , tal que
1 =
n
a para n mpar e 1 =
n
a para n par, diferente do conjunto { } 1 , 1 .
A seguir, introduziremos a ideia de limite de uma sequncia.
Considerando a sequncia ) (
n
a , cujo termo geral dado por
n
n
a
n
1 +
= , e calculando os
termos dessa sequncia para . 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 etc n = , teremos os seguintes valores para
n
a :
. 66 . 1 , 2 . 1 , 25 . 1 , 5 . 1 , 5 . 1 , 2
6 5 4 3 2 1
etc a a a a a a L = = = = = =
Se continuarmos considerando cada vez mais valores para n , veremos que, quanto maior for
o valor de n , mais prximo de 1 estaro os valores de
n
a . Nesse caso, dizemos que a
sequncia
n
n
a
n
1 +
= converge para 1.
A representao grfica da sequncia anterior, para alguns valores de n , encontra-se a seguir.
29
claro que no podemos afirmar um resultado em matemtica baseado apenas em uma
intuio. necessrio demonstrar a afirmao, utilizando o procedimento lgico dedutivo.
A seguir, introduziremos de modo formal a definio de limite de uma sequncia de nmeros
reais.
Dizemos que uma sequncia ) (
n
a converge para R a e denotaremos por a a
n
,
quando, dado 0 > existir um nmero N n
0
, tal que, para todo
0
n n > , tivermos
< a a
n
.
Uma outra notao para a convergncia da sequncia ) (
n
a para a a a
n
n
=
+
lim , ou
simplesmente a a
n
= lim .
Observao 2.11
Dizer que a a
n
n
=
+
lim significa dizer que, para valores muito grandes de n, os termos
n
a
tornam-se e se mantm to prximos de a quanto desejarmos. Significa dizer ainda que dado
um intervalo com centro no ponto a e raio 0 > , (isto , dado o intervalo ) , ( + a a ),
possvel encontrar um nmero N n
0
, tal que, para todo
0
n n > , os termos
n
a da sequncia
pertencem ao intervalo ) , ( + a a .
A figura a seguir apresenta uma interpretao geomtrica do limite da sequncia
n
n
a
n
1 +
= .
Observe que, para o 0 > considerado, o valor de N n
0
deve ser maior ou igual a 3.
30
Quando uma sequncia ) (
n
a converge para R a , dizemos que ela convergente. Caso
contrrio, dizemos que ela divergente.
Dizemos que + =
+
n
n
a lim e denotaremos por +
n
a , quando, dado 0 > M existir um
nmero N n
0
, tal que, para todo
0
n n > , tivermos M a
n
> . Analogamente, dizemos que
=
+
n
n
a lim e denotaremos por
n
a , quando, dado 0 < M existir um nmero N n
0
,
tal que, para todo
0
n n > , tivermos M a
n
< .
Demonstraremos agora (usando a definio) que 1
1
lim =
+
+
n
n
n
,
Seguindo a definio, inicialmente, estabelecemos um intervalo centrado em a e com raio
0 > , ou seja, ) 1 , 1 ( + , e queremos encontrar N n
0
, tal que, para todo
0
n n > os
termos
n
a da sequncia pertencem ao intervalo ) 1 , 1 ( + .
31
Dizer que ) 1 , 1 ( +
n
a equivalente a dizer, pela desigualdade (1.6), que < 1
n
a ,
ou seja, <
+
1
1
n
n
ainda equivalente a <
n
1
, ou seja,
1
> n Ento, considere N n
0
,
tal que,
1
0
n . Logo, para todo
0
n n > , os termos
n
n
a
n
1 +
= da sequncia pertencem ao
intervalo ) 1 , 1 ( + . Portanto, 1
1
lim =
+
+
n
n
n
.
Curiosidade
A partir da sequncia de Fibonacci, definida no exemplo 2.6:
1 2 1 0
1
+ = = =
n n n
a a a e a a ,
podemos definir a sequncia ) (
n
x , cujo termo geral dado por
1 +
=
n
n
n
a
a
x . Essa sequncia
converge para o nmero
2
1 5
= , que conhecido como a razo urea, que aparece em
diversas reas do conhecimento, como na Arte, na Arquitetura e na Biologia.
Exerccios 2.12
1) Dada a sequncia ) (
n
a , cujo termo geral
1 +
=
n
n
a
n
e 05 . 0 = , encontre N n
0
, tal
que, para todo
0
n n > , os termos
n
a da sequncia pertencem ao intervalo ) 1 , 1 ( + .
2) Demonstre que
3
2
2 3
1 2
lim =
+
+
n
n
n
.
32
3) Se a um numero real, tal que 1 < a , demonstre que 0 lim =
+
n
n
a .
4) Demonstre que, se ) (
n
a converge para a , ento
n
a converge para a . Sugesto: use a
desigualdade (1.5).
Observao 2.13
Uma sequncia pode divergir sem que seus termos se tornem arbitrariamente grandes. No
exemplo 2.9 (d), temos uma sequncia nessas condies. A divergncia, nesse caso, devida
ao fato de que seus termos se acumulam junto a dois pontos distintos 1 e +1.
Aula 2 - Subsequncia, sequncia limitada e operaes com limites
Objetivos
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
usar a definio de subsequncia de nmeros reais e perceber a relao entre
convergncia ou divergncia de uma sequncia a partir da convergncia ou
divergncia de suas subseqncias;
calcular limites de sequncias usando as propriedades desses limites;
operar com os termos de uma sequncia, visando usar um mtodo, para calcular
aproximaes da raiz quadrada de um nmero real positivo.
33
A seguir, apresentaremos a definio de subsequncia de nmeros reais, que ser utilizada
nesta Unidade e nas Unidades seguintes.
Seja R N f : uma funo que define a sequncia ) (
n
a . E considere { } L < < =
2 1
n n A um
subconjunto infinito dos nmeros naturais N . A restrio da funo f ao conjunto A
chamada subsequncia de ) (
n
a . Denotaremos essa subsequncia por ) (
k
n
a , de modo que
k
n k
a n f = ) ( .
Exemplo 2.14
Usando a sequncia do exemplo 2.9 (d), podemos observar dois exemplos de subsequncias:
O primeiro, considerando o conjunto { } L , 5 , 3 , 1 = A . Neste caso, temos a subsequncia
) (
k
n
a , cujo termo geral pode ser dado por 1 ) 1 ( ) 1 (
1 2
= = =
k n
n
k
k
a , pois
L L , 1 2 , , 5 , 3 , 1
3 2 1
= = = = k n n n n
k
.
O segundo, considerando o conjunto { } L , 6 , 4 , 2 = A . Neste caso, temos a subsequncia
) (
k
n
a , cujo termo geral pode ser dado por 1 ) 1 ( ) 1 (
2
= = =
k n
n
k
k
a , j que
L L , 2 , , 6 , 4 , 2
3 2 1
k n n n n
k
= = = = .
Exerccio 2.15
Demonstre a seguinte afirmao: Se ) (
n
a converge para um nmero a, ento toda
subsequncia ) (
k
n
a de ) (
n
a converge tambm para o mesmo valor a.
34
Uma sequncia ) (
n
a diz-se limitada superiormente (respectivamente inferiormente)
quando existe uma constante real k , tal que N n k a
n
, (respectivamente
N n k a
n
, ). Diz-se que uma sequncia limitada quando ela limitada inferior e
superiormente. Isso equivalente a afirmar que existe uma constante c , tal que , c a
n
para
todo N n .
Teorema 2.16
Se ) (
n
a uma sequncia convergente, ento ela limitada.
Demonstrao
Como ) (
n
a converge, digamos que converge para a . Ento, dado 0 > , existe um nmero
N n
0
, tal que, para todo
0
n n > , temos que < a a
n
. Pela desigualdade (1.4), segue
que a a a a
n n
. Portanto, para todo
0
n n > , a a
n
+ < . Considere
{ } a a a a k
n
+ = , , , , max
0
2 1
L . Ento, N n k a
n
, , logo ) (
n
a limitada.
Observao 2.17
Pelo teorema 2.16, toda sequncia convergente limitada. Entretanto, a recproca dessa
afirmao no verdadeira; por exemplo, dada ( )
n
a , definida por:
=
mpar n se
par n se
a
n
, 1
, 1
Essa sequncia limitada, pois 1
n
a ; no entanto, como vimos na observao 2.13, esta
sequncia diverge.
35
Teorema 2.18
Se ) (
n
a converge para zero e ) (
n
b limitada, ento ) (
n n
b a converge para 0 (zero).
Demonstrao
Como ) (
n
b limitada, ento existe 0 > k , tal que N n k b
n
< , . Da convergncia de ) (
n
a
para zero, segue que, dado 0 > , existe um nmero N n
0
, tal que, para todo
0
n n > ,
temos
k
a
n
< . Portanto,
0
, , n n N n k a b a b a
n n n n n
> < = .
Exerccio 2.19
Calcule n
n
n
cos
1
lim
+
.
A seguir, veremos como se comportam os limites de sequncias com relao s operaes de
soma, produto, diviso e outras propriedades. Essas propriedades so utilizadas para calcular
limites de sequncias.
Teorema 2.20 (Principais propriedades de limite de sequncias)
1) Se a a
n
n
=
+
lim e b b
n
n
=
+
lim , ento:
A) b a b a
n n
n
=
+
) ( lim ;
B) b a b a
n n
n
. ) . ( lim =
+
;
C)
b
a
b
a
n
n
n
=
+
lim , se 0 b .
36
2) Se
n n
b a para todo
1
n n ento
n
n
n
n
b a
+ +
lim lim .
3) Se
n n
b a para todo
1
n n e + =
+
n
n
a lim , ento + =
+
n
n
b lim .
Demonstrao
Exerccio
Observao 2.21
Seja N n
1
. No teorema 2.20 (2), mesmo quando
n n
b a < para todo
1
n n , no
podemos garantir que
n
n
n
n
b a
+ +
< lim lim . Por exemplo, quando n a
n
= , 0 e
n
b
n
1
= ,
temos que
n n
b a < e 0 lim lim = =
+ +
n
n
n
n
b a .
A seguir, apresentamos uma ferramenta para o clculo do limite de uma sequncia ) (
n
c ,
quando voc conhece o valor dos limites de duas outras sequncia, ) (
n
a e ) (
n
b , tais que,
para todo
1
n n tivermos .
n n n
b c a
Teorema 2.22 (Teorema do confronto)
Se existir um nmero natural
1
n tal que, para todo
n n n
b c a n n ,
1
e
L b a
n
n
n
n
= =
+ +
lim lim , ento existe
n
n
c
+
lim e L c
n
n
=
+
lim .
37
Demonstrao
Como L b a
n
n
n
n
= =
+ +
lim lim , ento, dado 0 > existem nmeros N n n
3 2
, , tais que,
para todo
2
n n > temos que < L a
n
e, para todo
3
n n > temos que < L b
n
. Pela
desigualdade (1.6), temos que < L a
n
equivalente a + < < L a L
n
,
analogamente, < L b
n
, equivalente a + < < L b L
n
. Considere
{ }
3 2 1 0
, , max n n n n = . Ento, para todo
0
, n n N n > , temos que
+ < < L b c a L
n n n
.
Portanto, L c
n
n
=
+
lim .
Exerccio 2.23
Calcule
n
n
a
+
lim , sabendo que R a e para todo ) 1 ( n N n ,
n
a a
n
1
< .
IMPORTANTES DESIGUALDADES
Nesta seo, apresentaremos duas desigualdades que sero usadas para calcular limites
de algumas sequncias.
A) Se r um nmero real, tal que 1 r , ento:
N n r nr
n
+ + , ) 1 ( 1 . (2.1)
Essa desigualdade conhecida como desigualdade de Bernoulli e pode ser demonstrada
usando induo matemtica.
B) Se r um nmero real, tal que 0 r , ento:
38
N n
r
n n nr r
n
+ + + ,
2
) 1 ( 1 ) 1 (
2
(2.2)
Essa desigualdade tambm pode ser demonstrada por induo.
Exemplo 2.24
Dada a sequncia ) (
n
a cujo termo geral dado por
n
n
a a = , R a , usaremos a
desigualdade de Bernoulli para calcular
n
n
a
+
lim . Observe que para 0 a essa uma
P.G. de razo a .
Consideraremos vrios casos, de acordo com os valores da a .
Caso 1. 1 > a . Considerando 0 , 1 > + = r r a e aplicando a desigualdade de Bernoulli,
obtemos N n nr r a
n n
+ + = , 1 ) 1 ( . Como + + nr 1 , pela propriedade (3) do
teorema 2.20, segue que + =
+
n
n
a lim .
Caso 2. 1 < a . Nesse caso, os termos dessa sequncia alternam de sinal, de acordo com
o valor de n , e tendem em valor absoluto para + ; portanto, a sequncia diverge
tambm nesse caso.
Caso 3. 1 = a . Nesse caso, temos a sequncia
n
n
a ) 1 ( = , que sabemos da observao
2.13, que divergente.
Caso 4. 1 = a . Nesse caso, temos a sequncia constante N n a
n
= , 1 , logo, 1 lim =
+
n
n
a ;
portanto, a sequncia converge para 1.
Caso 5. 1 < a . Nesse caso, a sequncia
n
n
a a = converge para zero, pelo exerccio
2.12(3).
39
Em resumo, temos o seguinte:
<
=
> +
=
+
1 , 0
1 , 1
1 ,
1 ,
lim
a se
a se
a se diverge
a se
a
n
n
.
Exemplo 2.25
Calcular
n
n
a
+
lim , onde a um nmero real positivo.
Como no exemplo anterior, consideraremos tambm vrios casos, de acordo com o valor
de a .
Caso 1. 1 > a . Nesse caso, 1 >
n
a . Consideremos
n
n
b a + =1 , onde 0 >
n
b . Pela
desigualdade de Bernoulli, segue que
n
n
n
nb b a + + = 1 ) 1 ( . Ento,
n
a
b
n
1
0
< .
Passando o limite e usando o teorema 2.22, segue que 0 lim =
+
n
n
b . Portanto, 1 lim =
+
n
n
a .
Caso 2. 1 0 < < a . Nesse caso, 1 <
n
a e escrevemos
n
n
c
a
+
=
1
1
, onde 0 >
n
c . Pela
desigualdade de Bernoulli, segue que
n
n
n
nc c
a
+
+
=
1
1
) 1 (
1
. Ento,
na
a
c
n
<
1
0 .
Passando o limite e usando o teorema 2.22, segue que 0 lim =
+
n
n
c e, portanto,
1 lim =
+
n
n
a .
40
Exerccios 2.26
1) Use a desigualdade (2.2) para calcular
n
n
n
+
lim .
2) Use os exerccios 2.8 e 2.12(3) para demonstrar que
x
x x x x
n
n
= + + + + +
+
1
1
) 1 ( lim
3 2
L , se 1 < x .
Aula 3 - Sequncia montona, limite superior e limite inferior, critrio de
Cauchy
Objetivos
Ao final da presente aula, voc ser capaz de:
encontrar uma aproximao para o nmero irracional e , que a base dos
logaritmos naturais;
calcular o limite inferior e o limite superior de sequncias e relacionar os
resultados desses limites com a convergncia da sequncia.
Uma sequncia ) (
n
a chamada no-decrescente se N n a a
n n
+
,
1
(isto ,
L
2 1
a a ). E chamada no-crescente se N n a a
n n
+
,
1
(isto , L
2 1
a a ).
Quando as desigualdades so estritas, dizemos que a sequncia crescente e
decrescente respectivamente. Se uma sequncia crescente, no-crescente, decrescente
ou no-decrescente, ela chamada montona.
41
Exemplo 2.27
1) Dada uma progresso aritmtica ou geomtrica de razo positiva ) (
n
a , a sequncia
das somas parciais ) (
n
S dessas sequncias uma sequncia crescente.
2) Seja ) (
n
a cujo termo geral dado por
n
n
a a = . Se 1 > a , a sequncia ) (
n
a
crescente.
3) Seja ) (
n
a a sequncia cujo termo geral
n
a
n
1
= ; ento, ) (
n
a decrescente.
4) Seja ) (
n
a cujo termo geral dado por
n
n
a a = . Se 1 0 < < a , a sequncia ) (
n
a
decrescente.
O resultado a seguir estabelece condies suficientes para que uma sequncia seja
convergente.
Teorema 2.28
Se ) (
n
a uma sequncia montona limitada, ento ela convergente.
Demonstrao
Suponhamos que ) (
n
a seja uma sequncia no-decrescente. Seja { }
L , 3 2 1
, , a a a X = , o
subconjunto dos nmeros reais formado pelos termos dessa sequncia. Como ) (
n
a
limitada, ento X um conjunto limitado e, assim, limitado superiormente. Pelo axioma
do supremo visto na Unidade 1, existe X S sup = ; ento, pela observao 1.2, dado
0 > , existe N n
0
, tal que ) , (
0
S S a
n
. Como ) (
n
a no-decrescente, ento
42
0
,
0
n n a a
n n
e, por outro lado, , , n S a
n
em particular,
0
n n . Portanto, dado
0 > existe N n
0
tal que ). , ( ,
0
+ S S a n n
n
Logo, ) (
n
a converge para . S
Para os outros casos de monotonicidade da sequncia ) (
n
a , a demonstrao anloga.
Observao 2.29
O teorema 2.28 no determina explicitamente o valor do limite, de modo que ele pode
ser usado quando no necessitamos do resultado do limite, como no exemplo a seguir.
Exemplo 2.30
Considere a sequncia cujo termo geral dado por
!
1
! 3
1
! 2
1
1 1
n
a
n
L + + + + = . (2.3)
O que podemos dizer sobre a convergncia ou divergncia desta sequncia? ) (
n
a
evidentemente crescente e, alm disso,
3
2
1
2
1
2
1
1 1
!
1
! 3
1
! 2
1
1 1 2
1 2
< + + + + + + + + +
n
n
L L ,
onde a ltima desigualdade segue de
2
2
1
2
1
2
1
1
1 2
< + + + +
n
L ,
que uma consequncia do exerccio 2.26(2).
Portanto, ) (
n
a uma sequncia montona limitada. Pelo teorema 2.28, ela
convergente.
43
Curiosidade
O limite da sequncia ) (
n
a , do exemplo 2.30, o nmero irracional e
(demonstraremos esse fato na Unidade 8). O nmero e a base dos logaritmos
naturais, que voc conheceu quando estudou logaritmo no ensino mdio. Essa uma das
constantes mais importantes da Anlise Matemtica.
Exerccio 2.31
1) J vimos que 3 2 < e , sendo essa ltima desigualdade uma consequncia do teorema
2.20(2). Utilize a equao (2.3) e sua calculadora para calcular o valor de e com 4 casas
decimais exatas.
2) Uma aplicao interessante do teorema 2.28 um mtodo que os babilnios usavam
para o clculo da raiz quadrada de um nmero real positivo a , com data de 18 sculos
antes de Cristo, a saber:
Sejam
1
a e a nmeros reais positivos dados com a a >
1
Considere uma sequncia
) (
n
a definida por
) (
2
1
1
n
n n
a
a
a a + =
+
,
Demonstre que:
I) a a
n
2
;
II)
n
n
a a
a
a
< < , N n (observe que
1 + n
a a mdia aritmtica entre
n
a e
n
a
a
);
III)
n n
a a
+1
.
IV) Justifique a existncia do
n
n
a
+
lim e calcule o valor desse limite.
44
3) Use o mtodo dos babilnios para calcular um valor aproximado para 2 , com 5
casas decimais, considerando 1
1
= a .
4) Se N n a
n
> , 0 e 1 lim
1
< =
+
+
d
a
a
n
n
n
, ento 0 lim =
+
n
n
a . Sugesto: use o teorema
2.28.
5) Calcule os seguintes limites:
n
k
n
a
n
+
lim ,
!
lim
n
a
n
n +
e
n
n
n
n!
lim
+
. Sugesto: use o exerccio
4.
A seguir, apresentaremos um resultado que relaciona os conceitos de sequncia limitada
e subsequncia convergente.
Teorema 2.32 (Bolzano Weierstrass)
Se ) (
n
a uma sequncia limitada de nmeros reais, ento ela possui uma subsequncia
convergente.
Neste texto, no demonstraremos esse teorema. O leitor interessado na demonstrao
deve consultar vila (1999) ou Lima (2007).
A seguir, apresentaremos a definio de limite superior e de limite inferior de uma
sequncia ) (
n
a .
Dada uma sequncia ) (
n
a , definimos o limite superior de ) (
n
a , que denotaremos por
n
a sup lim , como um nmero real S que satisfaz a seguinte propriedade: dado 0 > ,
45
existe apenas um nmero finito de ndices n, tais que + > S a
n
, e existe um nmero
infinito de ndices n, tais que > S a
n
.
Exemplos 2.33
1) Dada a sequncia ) (
n
a cujo termo geral
n
a
n
1
= , ento 0 sup lim =
n
a .
2) Dada a sequncia ) (
n
a cujo termo geral
n
n
a ) 1 ( = , ento 1 sup lim =
n
a .
Observaes 2.34
1) Se uma sequncia ) (
n
a converge, ento
n n
n
a a sup lim lim =
+
2) Se uma sequncia ) (
n
a tem S a
n
= sup lim , ento existe uma subsequncia
) (
k
n
a dessa sequncia que converge para S.
Dada uma sequncia ) (
n
a , definimos o limite inferior de ) (
n
a , que denotaremos por
s a
n
= inf lim , como um nmero real s que satisfaz a seguinte propriedade: dado 0 > ,
existe apenas um nmero finito de ndices n , tais que < s a
n
, e existe um nmero
infinito de ndices n , tais que + < s a
n
.
46
Exemplo 2.35
1) Dada a sequncia ) (
n
a cujo termo geral
n
a
n
1
= , ento 0 inf lim =
n
a .
2) Dada a sequncia ) (
n
a cujo termo geral
n
n
a ) 1 ( = , ento 1 inf lim =
n
a .
Observao 2.36
1) Se uma sequncia ) (
n
a converge ento
n n
n
a a inf lim lim =
+
2) Se uma sequncia ) (
n
a tem s a
n
= inf lim , ento existe uma subsequncia ) (
k
n
a dessa
sequncia que converge para s .
Teorema 2.37
Uma condio necessria e suficiente para que uma sequncia limitada ) (
n
a convirja para
um numero real a que a a a
n n
= = sup lim inf lim .
No demonstraremos este teorema neste texto. Uma demonstrao pode ser encontrada
em vila (1999).
Exerccios 2.38
Para cada sequncia a seguir, calcule
n
a inf lim ,
n
a sup lim e verifique se cada sequncia
converge ou diverge.
1) )
1
2 ( ) 1 (
n
a
n
n
+ = .
47
2) )
1
2 ( ) 1 (
n
a
n
n
= .
3) ) (
n
a onde
1
2
2
+
=
n
n
a
n
e
n
a
n
n
) 1 (
3
1 2
+ =
+
.
4)
n
a
n
n
) 1 (
= .
O resultado a seguir trata de um critrio de convergncia de uma sequncia. Por meio
dele, podemos saber se uma dada sequncia converge, sem conhecermos
necessariamente o limite. Esse resultado ser usado largamente, para demonstrar
resultados envolvendo sries de nmeros reais.
Teorema 2.39 (Critrio de Cauchy).
Uma sequncia ) (
n
a de nmeros reais convergente em R, se, e somente se, dado 0 >
existir N n
0
, tal que N n m , , com
0
, n n m > , tivermos <
m n
a a .
Demonstrao
) Admitindo que ) (
n
a converge para um determinado nmero real a , temos que, dado
0 > , existe N n
0
, tal que N n m , , com
0
, n n m > , temos que
2
< a a
n
e
2
< a a
n
. Da desigualdade (1.7), segue que
= + < + + =
2 2
) ( ) ( a a a a a a a a a a
n m n m n m
.
) Admitindo agora que, dado 0 > , existe N n
0
, tal que N n m , , com
0
, n n m > ,
temos <
m n
a a ; segue que
0
, n n N n > , temos que <
+1
0
n n
a a (considere
48
1
0
+ = n m na desigualdade <
m n
a a ). Ento, da desigualdade (1.4), segue que
0 1
,
0
n n a a
n n
> + <
+
. Desse modo, fazendo
{ }
1 2 1
0 0
, , , , max
+
+ =
n n
a a a a k L ,
segue que N n k a
n
, ; logo, ) (
n
a limitada, e pelo teorema 2.32, de Bolzano
Weierstrass, ) (
n
a possui uma subsequncia ) (
k
n
a que converge para um determinado
nmero real a . Provaremos agora que ) (
n
a converge para a . Como ) (
k
n
a converge para a ,
fixemos k suficientemente grande, tal que
2
< a a
k
n
e
0
n n
k
> . Usando mais uma vez a
desigualdade (1.4), segue que
= + < + + =
2 2
) ( ) ( a a a a a a a a a a
k k k k
n n n n n n n
.
Portanto, ) (
n
a converge para a .
Uma sequncia ) (
n
a de nmeros reais chamada sequncia de Cauchy quando, dado
0 > , existe um nmero N n
0
(que depende de ), tal que, para todo
0
, n n m > ,
<
m n
a a .
Observao 2.40
A partir da definio anterior, o teorema 2.39 pode ser enunciado da seguinte forma: uma
sequncia de nmeros reais convergente, se, e somente se, essa sequncia de Cauchy.
49
.
50
Unidade 3
SRIES NUMRICAS OU SRIES INFINITAS
Objetivos
Ao estudar esta Unidade, voc ser capaz de:
determinar a sequncia das somas parciais de uma determinada srie e verificar se a
mesma converge, calculando o limite de sua sequncia das somas parciais.
Reconhecer se uma srie geomtrica converge ou diverge e calcular a soma dessa
srie quando ela for convergente.
Usar o teste da comparao para descobrir se uma srie converge ou diverge.
Reconhecer se uma srie absolutamente convergente ou condicionalmente
convergente.
Usar convenientemente o teste da srie alternada para descobrir se uma srie
alternada convergente.
51
Usar conhecimentos sobre sries que satisfazem o teste da srie alternada, para
encontrar uma estimativa para a soma dessa srie.
Usar o teste da raiz, para verificar se uma determinada srie converge.
Usar o teste da razo, para verificar se uma determinada srie converge.
52
Introduo
Nesta Unidade, como na Unidade anterior, voc tambm estudar contedos que conheceu
no curso de clculo, que o conceito de srie de nmeros reais, alm de resultados a ela
relacionados. Nesta oportunidade, retomaremos esses conceitos de modo mais detalhado.
Para isso, usaremos largamente os conhecimentos vistos na Unidade 2. Os resultados vistos
nesta Unidade sero utilizados posteriormente, principalmente na Unidade 8.
Nesta Unidade, como na Unidade 2, alm de vila (1999), Bartle (1983), Lima (2007) e
Figueiredo (1974), trabalhamos com Guidorizzi (2002) e Swokowski (1994). Esta Unidade
est dividida em 2 aulas, que devero ser estudadas em 7 dias, j includa a entrega das
tarefas, e versar sobre os seguintes contedos:
Aula 1: Srie, somas parciais, teste de comparao.
Aula 2: Sries absolutamente e condicionalmente convergente, testes da srie alternada, da
raiz e da razo.
Na aula 1, voc estudar: as definies de srie numrica, de soma parcial de uma srie e de
srie convergente ou divergente; estudar o critrio de convergncia de Cauchy para sries; e
o teste de comparao, para verificar convergncia ou divergncia de uma determinada srie.
Na aula 2, voc estudar: as definies de srie absolutamente e condicionalmente
convergente; os testes da srie alternada, da raiz e da razo, para analisar se uma determinada
srie convergente ou no.
53
No decorrer de cada aula, voc encontrar alguns exerccios para fixao e avaliao da
aprendizagem.
Aula 1 - Srie, somas parciais, teste de comparao
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
determinar a sequncia das somas parciais de uma determinada srie e verificar se a
mesma converge, calculando o limite de sua sequncia das somas parciais;
reconhecer se uma srie geomtrica converge ou diverge e calcular a soma dessa srie
quando ela for convergente;
usar o teste da comparao para descobrir se uma determinada srie converge ou
diverge.
Muitas vezes, em Matemtica ou em outras cincias, necessitamos expressar funes ) (x f
como polinmios infinitos. Um exemplo dessa natureza foi o que vimos na Unidade 2,
exerccio 2.26(2) para
x
x f
=
1
1
) ( , a saber:
Se 1 < x , ento
L L + + + + + + =
n
x x x x
x
3 2
1
1
1
. (3.1)
54
Nesse exerccio, para cada valor constante de x , analisamos o polinmio como uma soma
infinita de constantes. A essa soma infinita de constantes, chamamos srie numrica ou
srie infinita.
Esta Unidade ser dedicada ao estudo dessas sries e suas propriedades e ser muito
importante para abordarmos, na Unidade 8, a relao das funes com sua representao em
termos de uma srie quando isso for possvel.
Como vimos na igualdade anterior, as sries de potncias surgem quando procuramos somar
todos os termos de uma sequncia ) (
n
a , ou seja, quando consideramos
L L + + + + +
n
a a a a
3 2 1
.
Como impossvel somar infinitos nmeros, um aps outro, consideramos a sequncia
) (
n
s das somas parciais, definida da seguinte forma:
etc a a a s a a a s a a s a s
n n
, , , , ,
2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1
+ + + = + + = + = = L L .
Os nmeros
n
s so chamados reduzidas ou somas parciais da srie
n
a . A parcela
n
a o simo n termo ou termo geral da srie.
Se existir o limite
n
n
s S
+
= lim , diremos que a srie
n
a convergente e
L L + + + = = =
+
=
n
n
n n
a a a a a S
2 1
1
chamada soma da srie. Se
n
n
s
+
lim no
existir, dizemos que
n
a uma srie divergente.
55
Exemplos 3.1
1. Srie geomtrica: vimos no exerccio 2.25(2) que: se 1 < a , ento a srie geomtrica
L L + + + + + +
n
a a a a
3 2
1 convergente e tem como soma
a 1
1
.
2. Vimos tambm, no exemplo 2.20, que a srie L L + + + + +
!
1
! 3
1
! 2
1
1 1
n
tambm converge
e tem como soma o nmero e base dos logaritmos naturais. Ou seja,
L L + + + + + = =
+
=
!
1
! 3
1
! 2
1
1 1
!
1
0
n n
e
n
. (3.2)
Agora, se no levarmos em considerao a dificuldade de fazer as contas, voc pode calcular
o valor de e , com quantas casas decimais desejar. Euler (1707-1783) calculou esse valor
com 23 casas decimais.
3 Dada a srie
+
=
+
1
) 1 (
1
n
n n
, encontre a sequncia das somas parciais da srie e verifique se
ela convergente ou divergente.
Como
1
1 1
) 1 (
1
+
=
+ k k k k
, podemos escrever a sequncia ) (
n
s das somas parciais da srie
dada do seguinte modo:
)
1
1 1
( )
4
1
3
1
( )
3
1
2
1
( )
2
1
1 (
) 1 (
1
4 . 3
1
3 . 2
1
2 . 1
1
+
+ + + =
+
+ + + + =
n n n n
s
n
L L .
Observando o termo do lado direito da ultima igualdade, temos que o segundo termo da
primeira parcela se cancela com o primeiro termo da segunda parcela, e assim
56
sucessivamente, de modo que obteremos
1
1
1
+
=
n
s
n
. Como 1 lim =
+
n
n
s
(pois 0
1
1
lim =
+
+
n
n
), temos que a srie dada converge para 1.
4 A srie
+
=
1
) 1 (
n
n
diverge, pois a sequncia ) (
n
s das somas parciais dada por 1 =
n
s
quando n mpar e 0 quando n par ento ) (
n
s diverge. Portanto, a srie
+
=
1
) 1 (
n
n
diverge.
O resultado a seguir fornece uma condio necessria para que uma srie
n
a seja
convergente.
Teorema 3.2
Se uma srie
n
a converge ento 0 lim =
+
n
n
a .
Demonstrao
Como a srie
n
a convergente, considerando
n n
a a a s + + + = L
2 1
,
existe
n
n
s S
+
= lim . Da mesma forma,
1
lim
+
=
n
n
s S . Como
1
=
n n n
s s a , segue
que 0 lim =
+
n
n
a .
57
Observao 3.3
Uma consequncia do teorema 3.2 que, dada uma srie
n
a , se 0 lim
+
n
n
a , ento a
srie diverge.
Observao 3.4
A recproca do teorema 3.2 falsa, ou seja, se uma srie
n
a tal que 0 lim =
+
n
n
a ,
isso no implica que a srie converge. Veja o exemplo 3.6 aps o prximo teorema.
O resultado a seguir estabelece uma condio necessria e suficiente para que uma srie
seja convergente.
Teorema 3.5 (Critrio de convergncia de Cauchy para sries).
Uma srie
n
a converge se, e somente se, dado 0 > , existir um nmero N n
0
, tal que,
para todo
0
n n m > , tivermos <
=
=
m j
n j
j
a .
Demonstrao
A demonstrao desse teorema segue do critrio de Cauchy para sequncias, teorema 2.39,
visto na Unidade 2, substituindo naquele teorema
m
a por
m
s e
n
a por
n
s , sendo:
m n n n m
a a a a a a s + + + + + + + =
+
L L
1 1 2 1
e
n n n
a a a a s + + + + =
1 2 1
L ,
caso m seja maior do que n .
O exemplo a seguir uma aplicao do teorema 3.5.
58
Exemplo 3.6
Considere a srie
+
=
+ + + + =
1
4
1
3
1
2
1
1
1
n
n
L.
Essa srie conhecida como srie harmnica. Demonstraremos agora que ela uma serie
divergente.
De fato,
=
=
= + + + > + +
+
+
+
+ =
n j
n n
n n n n n n n j
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1 1 1
L L .
Aplicando o teorema 3.4, segue o resultado, pois encontramos 0
2
1
> = , tal que
N n
0
, existem
0
2 n n n m > = , tal que
=
=
n j
n j
j
2
1
.
A seguir, apresentaremos um resultado que diz respeito a operaes com sries
convergentes.
Teorema 3.7
Sejam
n
a e
n
b sries convergentes e k um nmero real qualquer. Ento:
A) a srie
n
ka converge e
=
n n
a k ka ;
B) a srie
+ ) (
n n
b a converge e
+ = +
n n n n
b a b a ) ( .
A demonstrao desse teorema segue das propriedades de limite de sequncias, teorema
2.20 (1).
59
Teorema 3.8 (teste de comparao).
Sejam
n
a e
n
b sries de termos no-negativos ( 0 0
n n
b e a ). Se existe 0 > c ,
tal que
n n
cb a N n , podemos afirmar que:
A) se
n
b converge, ento
n
a converge.
B) se
n
a diverge, ento
n
b diverge.
Demonstrao
Consideremos ) (
n
s e ) (
n
t as sequncias das somas parciais de
n
a e
n
b ,
respectivamente. Como
n n
cb a N n , as sequncias ) (
n
s e ) (
n
t so no-
decrescente, tais que
n n
ct s , N n . Como 0 > c , ) (
n
t limitada implica ) (
n
s
limitada e ) (
n
s ilimitada implica ) (
n
t ilimitada, portanto, segue a demonstrao do
teorema.
Exemplos 3.9
Se 1 > r , ento a srie
r
n
1
converge.
De fato, seja
+
=
|
\
|
=
0
2
2
n
n
r
c . E consideremos ) (
m
s a sequncia das somas parciais da srie
r
n
1
e n , tal que . 1 2
n
m
|
|
\
|
+ + + + |
\
|
+ + + + |
\
|
+ +
r n r n r r r r r r
m
s
) 1 2 (
1
) 2 (
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
L L .
Ento,
c s
n i
i
i
r r n
n
r r
m
< |
\
|
= + + + + <
=
=
1
0
) 1 (
1
2
2
2
2
4
4
2
2
1 L .
60
Pelo teorema 2.28, ) (
m
s converge. Portanto,
r
n
1
converge.
Exerccios 3.10
1) A srie
+
=
|
\
| +
1
1
ln
n
n
n
converge ou diverge? Justifique sua resposta.
2) A srie
+
=
+
1
1
n
n
n
converge ou diverge? Justifique sua resposta.
3) A srie L L + + + + +
n
10
7
3 007 , 3 07 , 3 7 , 3 converge ou diverge? Justifique sua
resposta. Se convergir, calcule sua soma.
4) Use o teste da comparao para demonstrar a seguinte afimao: se 1 < r , a srie
r
n
1
diverge.
5) A srie
+
=
+ +
1
2
1 2
1
n
n n
converge ou diverge? Justifique sua resposta.
6) A srie
+
=
5
2
4
n
n
. converge ou diverge? Justifique sua resposta.
61
Aula 2: Sries absolutamente e condicionalmente convergente, testes da srie
alternada, da raiz e da razo.
Objetivos
Ao estudar esta aula, voc ser capaz de:
reconhecer se uma determinada srie absolutamente convergente ou
condicionalmente convergente.
Usar convenientemente o teste da srie alternada para descobrir se uma determinada
srie alternada convergente.
Usar conhecimentos sobre srie que satisfazem o teste da srie alternada, para
encontrar uma estimativa para a soma dessa srie.
Usar o teste da raiz, para verificar se uma determinada srie converge.
Usar o teste da razo, para verificar se uma determinada srie converge.
Dizemos que uma srie
n
a dita absolutamente convergente quando
n
a
converge, onde
n
a o valor absoluto de
n
a .
Quando uma srie
n
a convergente e + =
n
a , dizemos que
n
a
condicionalmente convergente.
62
A seguir, veremos outros testes usados para analisar a convergncia de sries.
Teorema 3.11 (Teste de Leibniz ou teste da srie alternada)
Se ) (
n
a uma sequncia montona decrescente, tal que 0 lim =
+
n
n
a , ento a srie
n
n
a
1
) 1 ( converge.
Demonstrao
Seja
n
n
n
a a a a a s
1
4 3 2 1
) 1 (
+
+ + + = L a soma parcial dos n primeiros termos da srie.
Ento,
1 2 2 1 2 + +
+ =
n n n
a s s . Sabemos tambm que
) ( ) ( ) ( ) (
2 1 2 6 5 4 3 2 1 2 n n n
a a a a a a a a s + + + + =
L , (3.3)
ou ainda,
n n n n
a a a a a a a a s
2 1 2 2 2 5 4 3 2 1 2
) ( ) ( ) ( =
,
como ) 1 ( , 0
1
+
n N n a a
n n
, temos da ltima equao que
1 2
a s
n
e, portanto,
) (
2n
s limitada. Por outro lado, como ) 1 ( , 0
2 1 2
n N n a a
n n
, de (3.3) segue que
) (
2n
s uma sequncia no-decrescente. Como ela limitada, temos que convergente
(pelo teorema 2.28), digamos que converge para S . Como 0 lim =
+
n
n
a , ento
0 lim
1 2
=
+
+
n
n
a . Considerando o limite + n na equao
1 2 2 1 2 + +
+ =
n n n
a s s segue que
S s
n
n
=
+
+
1 2
lim . Portanto, a sequncia ) (
n
s das reduzidas converge para S , concluindo,
assim, a demonstrao do teorema.
Exemplo 3.12
A srie
n
n
1
) 1 (
1
converge pelo teorema 3.11, com
n
a
n
1
= .
63
Exerccio 3.13
1) A srie
+
+
)
1
1 log( ) 1 (
1
n
n
convergente? absolutamente convergente? Justifique
sua resposta.
2) A srie
+
=
+
+
1
2
1
5
2
) 1 (
n
n
n
n
converge ou diverge? Justifique sua resposta.
Se uma srie alternada satisfaz as hipteses do teorema 3.11, ento a soma dos n
primeiros termos da srie pode ser usada para aproximar a soma S da srie. Muitas
vezes, difcil determinar uma estimativa para o clculo do erro quando fazemos essa
aproximao. Entretanto, no caso da srie alternada, possvel fazer uma estimativa
desse erro. Esse o contedo do prximo resultado.
Teorema 3.14
Seja
+
=
+
1
1
) 1 (
n
n
n
a uma srie alternada que satisfaz as hipteses do teorema 3.11. Se S
a soma da srie e
n
S a soma parcial dos n primeiros termos, ento
1 +
n n
a S S . Ou
seja, o erro cometido ao aproximarmos S por
n
S no mximo igual a
1 + n
a .
Demonstrao
Seja
) ( ) 1 (
3 2 1
L + = =
+ + + n n n
n
n n
a a a s S R ,
ento
) (
5 4 3 2 1
L + + = =
+ + + + + n n n n n n n
a a a a a s S R ;
ou seja,
L =
+ + + + +
) ( ) (
5 4 3 2 1 n n n n n n
a a a a a R
Como ) 1 ( , 0
1
+
n N n a a
n n
, segue que
1 5 4 3 2 1
) ( ) (
+ + + + + +
=
n n n n n n n
a a a a a a R L .
64
No prximo exerccio, voc deve aplicar o teorema 3.14 para aproximar a soma de uma
srie alternada. Para isso, utilize a seguinte nomenclatura: se E o erro de uma
aproximao, ento essa aproximao ter uma preciso de k casas decimais se,
k
E
10 5 , 0 .
Exerccio 3.15
Demonstre que a srie
+
=
+
1
1
)! 1 2 (
1
) 1 (
n
n
n
converge e obtenha uma aproximao com 5
casas decimais para sua soma.
O resultado a seguir afirma que convergncia absoluta de uma srie implica em
convergncia dessa srie.
Teorema 3.16
Se a srie
n
a convergente, ento
n
a convergente.
Demonstrao
Como
n n n
a a a , somando
n
a em cada membro dessa desigualdade, temos que
n n n n
a a a a + + 0 ; logo,
n n n
a a a 2 0 + . Como
n
a converge, pelo teste da
comparao, a srie
+ ) (
n n
a a converge. Como
n n n n
a a a a + = ) ( e as sries
+ ) (
n n
a a e
n
a convergem, ento
n
a converge.
65
Observao 3.17
A recproca do teorema anterior falsa, pois a srie
n
n
1
) 1 (
1
do exemplo 3.12
converge; entretanto, a srie
=
+
n n
n
1 1
) 1 (
1
, que a srie harmnica, diverge, como
vimos no exemplo 3.6.
Exemplo 3.18
A srie
+
=1
2
cos
n
k
k
absolutamente convergente.
De fato,
2 2
1 cos
k k
k
e a srie
+
=1
2
1
n
k
converge. Pelo teste da comparao, a srie
+
=1
2
cos
n
k
k
converge. Portanto, a srie
+
=1
2
cos
n
k
k
converge absolutamente, e pelo teorema
3.16, convergente.
A seguir, veremos mais dois testes para saber se uma dada srie convergente ou no.
Teorema 3.19 (Teste da raiz ou teste de Cauchy)
Seja N n
0
e
n
a uma srie, tal que
0
, , 0 n n N n a
n
. E suponha que
L a
n
n
n
=
+
lim . Ento:
(a) se 1 < L a srie converge;
(b) se 1 > L ou + = L , ento a srie diverge.
66
Demonstrao
(a) Se 1 lim < =
+
L a
n
n
n
, ento existe uma constante c, real positiva, tal que 1 < < c a
n
n
,
para todo n suficientemente grande. Logo,
n
n
c a < , para todo n suficientemente
grande. Como ) (
n
c uma P.G. de razo menor do que 1, ela converge, e pelo teste
da comparao, a srie
n
a converge.
(b) Se 1 lim > =
+
L a
n
n
n
, ento existe uma constante c, real positiva, tal que 1 > > c a
n
n
,
para todo n suficientemente grande. Logo,
n
n
c a > , para todo n suficientemente
grande. Como ) (
n
c uma P.G. de razo maior do que 1, ela diverge e, pelo teste da
comparao, a srie
n
a diverge.
Observaes 3.20
1) Se no teorema 3.19, 1 = L , nada podemos concluir sobre o limite. De fato, as sries
n
1
e
2
1
n
tm como 1 lim =
+
n
n
n
a , no entanto, a primeira diverge e a segunda
converge.
2) Se, no teorema 3.19, existir um nmero real c , tal que 1 < c a
n
n
(respectivamente,
1 > c a
n
n
), para todo n suficientemente grande, ento a srie
n
a converge
(respectivamente,
n
a diverge).
67
Teorema. 3.21 (Teste da razo ou de D`Alembert)
Seja
n
a uma srie de termos positivos (estritamente), tal que exista
n
n
n
a
a
1
lim
+
+
e esse
limite seja L . Ento:
(a) se 1 < L , a srie converge;
(b) se 1 > L ou + = L , ento a srie diverge.
Demonstrao
a) Se 1 lim
1
< =
+
+
L
a
a
n
n
n
, ento dada uma constante c, com 1 < < c L , existe um nmero
0
n , tal que c
a
a
n
n
<
+1
,
0
, n n N n .
Temos, assim:
,
0 0
1 n n
ca a <
+
,
0 0 0
2
1 2 n n n
a c ca a < <
+ +
,
0 0 0
3
2 3 n n n
a c ca a < <
+ +
, L
Desse modo, em geral, ,
0 0
n
j
j n
a c a <
+
para L , 3 , 2 , 1 = = = j j j . Pelo teste da
comparao (com uma srie geomtrica convergente), a srie
n
a converge.
b) Se 1 lim
1
> =
+
+
L
a
a
n
n
n
, ento dada uma constante c, com L c < < 1 , existe um nmero
0
n , tal que c
a
a
n
n
>
+1
,
0
, n n N n .
Temos, assim:
,
0 0
1 n n
ca a >
+
,
0 0 0
2
1 2 n n n
a c ca a > >
+ +
,
0 0 0
3
2 3 n n n
a c ca a > >
+ +
. L
Desse modo, em geral, ,
0 0
n
j
j n
a c a >
+
para L , 3 , 2 , 1 = = = j j j . Pelo teste da
comparao (com uma srie geomtrica divergente), a srie
n
a diverge.
68
Observao 3.22
1) Se no teorema anterior 1 = L , nada podemos concluir sobre o limite. De fato, pelo
teste da razo, as sries
n
1
e
2
1
n
tm como 1 lim
1
=
+
+
n
n
n
a
a
; no entanto, a
primeira diverge e a segunda converge.
2) De acordo com a demonstrao do teorema, no necessrio que 1 lim
1
< =
+
+
L
a
a
n
n
n
.
suficiente que exista um nmero c , tal que 1
1
<
+
c
a
a
n
n
, para todo n
suficientemente grande (respectivamente, 1
1
>
+
c
a
a
n
n
para todo n suficientemente
grande), para que a srie
n
a seja convergente (respectivamente,
n
a seja
divergente).
Exerccios 3.23
1) Para que valores de p , a srie
+
=
1
1
) 1 (
n
p
n
n
convergente? E absolutamente
convergente?
2) Mostre que, sendo k inteiro positivo e 1 > a , as sries
+
=1 n
n
k
a
n
,
+
=1
!
n
n
n
a
,
+
=1
!
n
n
n
n
convergem.
3) Mostre que a srie
+
=
+
1
5
)! 1 3 (
n
n
n
diverge.
69
A seguir, apresentaremos dois resultados que relacionam a convergncia de uma srie com a
convergncia de uma nova srie construda a partir de uma reordenao das parcelas da srie
original. No demonstraremos esses resultados neste texto, para maiores detalhes vide vila
(1999, p. 64, 67).
Teorema 3.24
Se
+
=1 n
n
a uma srie absolutamente convergente e L , , ,
3 2 1
b b b qualquer rearranjo da
sequncia ) (
n
a , ento
n
b converge absolutamente e
=
n n
a b .
Teorema 3.25
Se uma srie
n
a condicionalmente convergente, seus termos podem ser reordenados
de maneira que a nova srie convirja para qualquer nmero real S pr- fixado.
70
Unidade 4
NOES DE TOPOLOGIA NA RETA
Objetivos
Ao final desta Unidade, voc ser capaz de:
reconhecer se um determinado subconjunto dos nmeros reais aberto ou fechado.
Relacionar os conhecimentos sobre ponto de acumulao e sequncia convergente.
Relacionar os conceitos de ponto aderente e de sequncia convergente.
Demonstrar propriedades referentes a conjuntos fechados.
Relacionar os conhecimentos sobre conjunto compacto, com os conhecimentos de
sequncia e subsequncia.
Demonstrar propriedades referentes a operaes com conjuntos compactos.
71
.
72
Introduo
Nesta Unidade, voc ir estudar noes topolgicas na reta, que sero necessrias para o
estudo de funes na prxima Unidade. Os conhecimentos que voc ir estudar nesta
Unidade, em geral, no so vistos na graduao, a no ser que voc tenha cursado a
disciplina de anlise. Se voc estiver interessado em outros detalhes sobre os conceitos
trabalhados nesta Unidade, deve procurar, por exemplo, Lima (1977).
O contedo a ser trabalhado nesta Unidade o correspondente a uma aula; entretanto, voc
dever se dedicar a ela 7 dias de estudos, j includa a entrega das tarefas.
Os conhecimentos que voc ir estudar nesta Unidade esto relacionados Topologia, que
uma rea da Matemtica na qual se estuda, de modo geral, as noes relacionadas aos
conceitos de limite e de continuidade.
Para tratarmos os contedos que sero trabalhados nesta Unidade, adotaremos, sem outros
detalhes, a identificao do conjunto de pontos que formam uma reta (reta real) com o
conjunto dos nmeros reais, e usaremos a palavra ponto, significando nmero real, de
modo que, quando dizemos ponto c , significa nmero real c.
Dado um subconjunto X dos nmeros reais, nesta Unidade voc estudar os conceitos de
ponto interior e interior de X ; conjunto aberto; ponto de acumulao de X ; ponto isolado
em X ; conjunto discreto; ponto de aderncia e fecho de X ; conjunto fechado e conjunto
compacto, alm de vrias propriedades relacionadas a esses conceitos.
73
Um ponto a chama-se ponto interior de R X quando existe um nmero 0 > , tal que o
intervalo aberto ) , ( + a a est contido em X . O interior de um conjunto X o
conjunto de todos os seus pontos interiores, denotado por X int .
Um conjunto X aberto quando todos os seus pontos so interiores, ou seja, quando
X X int = . Chama-se vizinhana de um ponto a qualquer conjunto Y , tal que Y a int , em
particular, qualquer intervalo aberto contendo a uma vizinhana de a , por exemplo, dado
0 > , o intervalo aberto ) , ( + a a uma vizinhana do ponto a .
Exemplos 4.1
1) Todo intervalo aberto ) , ( b a um conjunto aberto, pois, dado ) , ( b a c , c ponto
interior de ) , ( b a .
2) Dado um intervalo fechado ] , [ b a , os pontos b e a no so pontos interiores de ] , [ b a .
Esses so os nicos pontos de ] , [ b a que no so interiores; logo, ) , ( ]) , ([ int b a b a = .
3) O conjunto Z dos nmeros inteiros no possui ponto interior, ento = ) ( int Z .
4) O conjunto Q dos nmeros racionais tambm no possui ponto interior, isto ,
= ) ( int Q . (Dado Q c , qualquer intervalo aberto ) , ( + a a contm infinitos
pontos racionais e infinitos pontos irracionais.).
5) O conjunto vazio aberto, assim como o conjunto R dos nmeros reais aberto.
6) Todo intervalo aberto (limitado ou no) um conjunto aberto.
74
Teorema 4.2
a) A interseo de um nmero finito de conjuntos abertos ainda um conjunto aberto; em
outras palavras, se
n
A A A , , ,
2 1
L so conjuntos abertos, ento o conjunto
n
A A A L
2 1
tambm aberto.
b) A unio de uma famlia qualquer de conjuntos abertos tambm um conjunto aberto; em
outras palavras, se
L
A
) ( uma famlia qualquer de conjuntos abertos, ento
A A
L
= U
um conjunto aberto.
Demonstrao
a) Se
n
A A A a L
2 1
, como cada n j A
j
, , 2 , 1 , L = aberto, ento existe 0 >
j
, tal
que n j A a a
j j j
, , 2 , 1 , ) , ( L = + . Seja { }
n
, , min
2 1
L = , ento
n
A A A a a + L
2 1
) , ( ; logo, o conjunto
n
A A A L
2 1
aberto.
b) Se A a , ento
\
|
= |
\
|
= = L L .
Ento, { } 0
2 1
= L L
n
A A A , que um conjunto fechado.
De fato, se , 0 a ento existe N n , tal que
n
a
1
; portanto,
n
A a ; logo,
L L
n
A A A a
2 1
.
75
Exerccio 4.4
Considere a famlia de intervalos abertos
|
\
|
+ =
n n
A
n
1
1 ,
1
tal que N n . Qual o conjunto
interseo de todos esses conjuntos? Esse conjunto fechado ou aberto? Justifique sua
resposta.
Um nmero a ponto de acumulao de um conjunto X se toda vizinhana de a contm
infinitos pontos de X . Isso equivale a dizer que toda vizinhana de a contm algum ponto de
X diferente de a ; ou, ainda, que, dado 0 > , o intervalo ) , ( + a a contm algum ponto
de X diferente de a . Denotaremos o conjunto de todos os pontos de acumulao de um
conjunto X por X .
Observao 4.5
1) Um ponto de acumulao de um conjunto X pode ou no pertencer a esse conjunto. Por
exemplo, se ] 1 , 0 [ = X , ento 0 e 1 so pontos de acumulao de X que pertencem a X .
No entanto, se ) 1 , 0 ( = X , 0 e 1 so pontos de acumulao de X que no pertencem a X .
Se ) , ( ) , [ ], , ( ], , [ b a ou b a b a b a X = , ento todos os pontos de X so pontos de acumulao
de X.
2) Dado
)
`
+
= L L ,
1
, ,
3
4
,
2
3
, 2
n
n
X , 1 = a ponto de acumulao de X ; mais ainda, 1 o
nico ponto de acumulao de X, isto , { } 1 = X . Voc se lembra que, na Unidade 1,
demonstramos que 1
1
lim =
+
+
n
n
n
? Pois , toda vez que uma sequncia ) (
n
a tal que
76
a a
n
n
=
+
lim , sendo a a
n
para uma quantidade infinita de ndices n , ento a ponto de
acumulao do conjunto { } L L , , , ,
2 1 n
a a a X = ; mais ainda, { } a X = .
Exerccio 4.6
Demonstre que: se a ponto de acumulao de um conjunto X, ento existe uma sequncia
de pontos em { } a X que converge para a .
Um ponto X a chamado ponto isolado se no for ponto de acumulao. Em outras
palavras, X a ponto isolado se existir uma vizinhana de a que no contm ponto de
X diferente de a , ou, ainda, se existir 0 > , tal que a o nico ponto de X no intervalo
) , ( + a a .
Um conjunto X chamado discreto se todos os seus pontos so isolados.
Exemplos 4.7
1) O conjunto Z dos nmeros inteiros um conjunto discreto.
2) O conjunto dos nmeros racionais Q no possui pontos isolados.
3) O conjunto
)
`
+
= L L ,
1
, ,
3
4
,
2
3
, 2
n
n
X um conjunto discreto.
77
Um nmero a chamado ponto de aderncia de um conjunto X , ou ponto aderente a X, se
qualquer vizinhana de a contm algum ponto de X . O conjunto de todos os pontos
aderentes a X chamado fecho de X, ou aderncia de X, e denotado por X . Ento,
X X X = .
Um conjunto chamado fechado quando X X = , isto , quando todo ponto aderente a
X pertence a X , ou, ainda, quando ele contm todos os seus pontos de acumulao.
Exemplos 4.8
1) O intervalo fechado ] , [ b a um conjunto fechado.
2) O conjunto { } 1 ,
1
, ,
3
4
,
2
3
, 2
)
`
+
L L
n
n
um conjunto fechado.
Teorema 4.9
O fecho X de um conjunto X um conjunto fechado.
Demonstrao
Seja a um ponto aderente a X . Demonstraremos que a aderente a X . Dado 0 > , o
intervalo aberto ) , ( + a a contm algum X y (que pode ou no ser o prprio a ).
Assim, o mesmo intervalo tambm uma vizinhana de y ; logo, contm algum ponto
X z . Portanto, a aderente a X .
Teorema 4.10
Um conjunto F fechado se, e somente se, seu complementar F R F A
c
= = aberto.
78
Demonstrao
Seja F fechado e A a . Como F a , existe uma vizinhana V contendo a, que no
intercepta F; ento, A V ; consequentemente, a ponto interior de A. Portanto, A aberto.
Reciprocamente, se o conjunto A aberto e o ponto a ponto aderente a A R F = , ento
toda vizinhana de a contm algum ponto de F. Logo, a no ponto interior de A. Sendo A
um conjunto aberto, temos que A a ; ento, F a ; portanto, F um conjunto fechado.
Exerccio 4.11
Demonstre que um ponto a aderente ao conjunto X se, e somente se, ele limite de uma
sequncia X x
n
.
Teorema 4.12
a) A unio de um nmero finito de conjuntos fechados um conjunto fechado, isto , se
n
F F F , , ,
2 1
L so conjuntos fechados, ento o conjunto
n
F F F F = L
2 1
tambm
fechado.
b) A interseo de uma famlia qualquer de conjuntos fechados tambm um conjunto
fechado. Em outras palavras, se
L
F
) ( uma famlia qualquer de conjuntos fechados,
ento
A F
L
= I um conjunto fechado.
Demonstrao
a) Seja a um ponto de acumulao de F, demonstraremos que F a . Como a um ponto
de acumulao de F, ento toda vizinhana V de a intercepta F e, portanto intercepta
79
algum n j F
j
, , 2 , 1 , L = . Ou seja, a ser ponto de acumulao de algum n j F
j
, , 2 , 1 , L = .
Como
j
F fechado, ento
j
F a ; logo, F a .
b) Exerccio.
Observao 4.13
No item (a), temos que a unio de um nmero finito de conjuntos fechados um conjunto
fechado. Esse resultado no vale para uma quantidade infinita de fechados. Por exemplo, o
intervalo aberto { } x b a
b a x ) , (
) , (
=
x
x
x f
e responda seguinte questo:
a) O que acontece com os valores de ) (x f quando x se aproxima do valor 2, embora
diferente de 2?
b) Faa um esboo do grfico da funo f .
Para responder pergunta (a), construa uma tabela com vrios valores que se aproximam
de 2, sendo maiores do que 2, e tambm com vrios valores que se aproximam de 2, sendo
menores do que 2. O que voc pode observar, em relao aos valores de ) (x f quando x se
aproxima do valor 2? Certamente, voc concluir que esses valores se aproximam de 4.
Nesse caso, dizemos que 4 o limite de ) (x f quando x se aproxima de 2.
Observe que a varivel x se aproxima de 2, sem coincidir com esse valor, e que o valor do
qual x se aproxima, que 2, ponto de acumulao do domnio da funo, que, nesse caso,
no pertence ao domnio. Essas consideraes permitem-nos melhor compreender a definio
de limite de uma funo, apresentada a seguir.
88
Sejam D um subconjunto do conjunto de nmeros reais, R D f : uma funo real e
D a um ponto de acumulao do conjunto D(que pode ou no pertencer a D).
Dizemos que o nmero real L limite de ) (x f quando x tende para a se, dado 0 > ,
existir um nmero 0 > , tal que, para todo , D x < < a x 0 , tivermos < L x f ) ( .
Notaes utilizadas nesta Unidade: L x f
a x
=
) ( lim ou , ) ( L x f quando a x .
Uma outra definio relacionada ao conceito de limite a definio de continuidade de uma
funo, que introduziremos a seguir.
Dizemos que a funo R D f : contnua no ponto D a x = se existir o limite de
) (x f
quando x tende para a e esse limite for igual ao valor ) (a f ; e dizemos que f
continua em seu domnio, ou contnua, simplesmente, se ela for contnua em todos os pontos
desse domnio.
89
Apresentaremos agora vrias observaes que permitiro melhor compreenso das definies
de limite e de continuidade de uma funo em um ponto.
Observaes 5.1
1) Informalmente, dizer que L x f
a x
=
, tal que
< < L x f e a x ) ( 0 .
11) Dizer que R D f : no contnua em D a significa dizer que existe 0 > , tal que,
para qualquer 0 > , podemos sempre encontrar D x
, tal que
< L x f e a x ) ( .
91
Exemplo 5.2
Dada a funo { } R R f 2 : definida por
2
4
) (
2
=
x
x
x f , demonstre que 4 ) ( lim
2
=
x f
x
.
Demonstrao
Como
2
) 2 )( 2 (
2
4
) (
2
+
=
=
x
x x
x
x
x f e 2 x ,
simplificando a frao, obtemos
2 ) ( + = x x f .
De acordo com a definio de limite, dado 0 > , devemos encontrar 0 > , tal que
< + 4 ) 2 ( x ,
sempre que
{ } 2 R x , < < 2 0 x .
Como
< = + 2 4 ) 2 ( x x ,
escolhendo = , temos que < + 4 ) 2 (x , sempre que < < 2 0 x , concluindo,
assim, a demonstrao.
Exemplo 5.3
Um dos exemplos mais importantes de limite a derivada de uma funo f em um ponto
a x = , que o
a x
a f x f
a x
) ( ) (
lim , quando esse limite existe.
92
Observao 5.4
No caso do exemplo 5.2, a funo f
contnua em todos os pontos de seu domnio. Se
definirmos o valor da funo f no ponto 2 = x como sendo 4, a funo dada ser contnua
em todos os pontos da reta real R.
Exerccios 5.5
1) Se 2 3 ) ( + = x x f , demonstre que 7 ) ( lim
3
=
x f
x
.
2) Se d cx x f + = ) ( , onde c e d so constantes reais com 0 c , demonstre que
d ca x f
a x
+ =
=
a x se a
a x se
x a
a x
x f
, 2
,
) (
2 2
.
Para que valores reais de x , a funo f contnua? Justifique sua resposta.
93
Aula 2 - Propriedades do limite e da continuidade de uma funo
Objetivos
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
calcular limite de funes, usando propriedades de limite;
demonstrar propriedades de limite e de continuidade de uma funo.
Propriedades do limite
Propriedades anlogas s de limite de sequncias, estudadas na Unidade 2, valem para limites
de funes, inclusive com demonstraes tambm anlogas.
Teorema 5.6
Se existe L x f
a x
=
) ( lim . Em particular, se f
contnua em a x = , ento a funo ) (x f tambm contnua nesse ponto, ou seja,
) ( ) ( lim a f x f
a x
=
.
Demonstrao
Exerccio
Sugesto: use a desigualdade L x f L x f ) ( ) ( e a definio de limite de f no ponto
a x = .
94
Observao 5.7
A recproca do teorema anterior s verdadeira, em geral, quando 0 = L .
Teorema 5.8
Sejam R D g f : , , D a , L x f
a x
=
) ( lim e M x g
a x
=
) ( lim .
Demonstrao
De L x f
a x
=
) ( lim e L x g
a x
=
) ( lim .
Exerccios 5.10
Calcule os seguintes limites:
1)
x
sen x
x
1
lim
2
0
;
2)
x
sen x
x
1
lim
2
0
.
O teorema a seguir fornece uma condio necessria e suficiente para a existncia do limite
de uma funo, a partir do limite de sequncias, estudado na Unidade 2.
Teorema 5.11
Sejam R D f : , D a . O L x f
a x
=
) ( lim .
Negar essa afirmao significa afirmar a existncia de 0 > , tal que, para todo N n ,
podemos encontrar { } a D x
n
, tal que
n
a x
n
1
0 < < mas L x f
n
) ( . Desse modo,
teramos uma sequncia { } a D x
n
com a x
n
x
=
+
lim
sem que tenhamos L x f
n
n
=
+
) ( lim ,
que uma contradio.
Corolrio 5.12
Dada uma funo R D f : , D a , uma condio necessria e suficiente para que
L x f
a x
=
) ( lim que ) (
n
x f
tenha limite, qualquer que seja a sequncia { } a D x
n
,
com a x
n
x
=
+
lim .
Demonstrao
Pelo teorema anterior, suficiente demonstrarmos que o ) ( lim
n
n
x f
+
o mesmo, qualquer
que seja a sequncia { } a D x
n
, com a x
n
. Para isso, sejam { } a D y x
n n
,
sequncias, com a y a x
n n
, , demonstraremos que ) ( ) (
n n
y f e x f tm o mesmo limite.
Suponha que
2 1
L e L
sejam esses limites, respectivamente, e consideremos a sequncia ) (
n
z
definida como
k k k k
y z e x z = =
1 2 2
; ento, a z
n
. Como ) (
n
z f converge para certo
nmero L
e ) ( ), (
n n
y f x f so subsequncias de ) (
n
z f , ento elas convergem para o mesmo
valor L . Ou seja, L L L = =
2 1
.
97
Corolrio 5.13 (Operaes com limite.)
Sejam R D g f : , , D a , com L x f
a x
=
) ( lim e . ) ( lim M x g
a x
=
Ento:
a) | | ; ) ( ) ( lim M L x g x f
a x
=
b) | | ; . ) ( ) ( lim M L x g x f
a x
=
c) . 0 ,
) (
) (
lim =
M se
M
L
x g
x f
a x
d) Se 0 ) ( lim =
x f
a x
e g
uma funo limitada em uma vizinhana de , a x = ento
| | 0 ) ( ) ( lim =
x g x f
a x
.
Demonstrao
As demonstraes dessas propriedades seguem das propriedades anlogas para seqncias,
estudadas na Unidade 2, teoremas 2.18 e 2.20.
Exemplo 5.14
Seja R R f : , definida por 0 ) ( = x f , quando x racional, e 1 ) ( = x f , quando x
irracional. Dado , R a podemos obter uma sequncia de nmeros racionais a x
n
e uma
sequncia de nmeros irracionais a y
n
, com a y x
n
n
n
x
= =
+ +
lim lim . Ento,
, 1 ) ( lim 0 ) ( lim = =
+ +
n
n
n
n
y f e x f portanto, no existe ). ( lim x f
a x
98
Exerccios 5.15
1) Calcule os seguintes limites:
A) 0 , lim
0
>
+
a
x
a a x
x
;
B) 0 , lim
3 3
0
>
+
a
x
a a x
x
.
2) Seja { } R R f 0 : a funo definida por
|
\
|
=
x
sen x f
1
) ( . Demonstre que no existe
) ( lim
0
x f
x
. Pesquise sobre o grfico de . f
Sugesto: considere a sequncia
) 1 2 (
2
=
n
x
n
e analise o limite dessa sequncia, quando n
par e quando n
mpar.
3) Dada { } R R f 0 : , definida por ,
1
. ) ( |
\
|
=
x
sen x x f existe ) ( lim
0
x f
x
? Justifique sua
resposta. Pesquise sobre o grfico de . f
Teorema 5.16
Sejam R D f : , D a . A funo f contnua em a se, e somente se, para toda
sequncia de pontos D x
n
com a x
n
x
=
+
lim , tivermos ). ( ) ( lim a f x f
n
n
=
+
Demonstrao
A demonstrao deste teorema, segue como a demonstrao do teorema 5.11, substituindo L
por ) (a f .
99
Teorema 5.17
Sejam R D f : , D a . Se existe L, tal que L x f
a x
=
) ( lim , dado 1 = , existe 0 > , tal que , D x < < a x 0 , temos que
. 1 ) ( < L x f Como L L L x f L L x f x f + < + + = 1 ) ( ) ( ) ( , basta considerar
L k + =1 .
O resultado a seguir estabelece que propriedades anlogas s de limite de funes, corolrio
5.13, valem para continuidade de funes.
Teorema 5.18
Se g e f so funes contnuas em , a x = ento so tambm contnuas em a x = , as
funes , , kf e fg g f + onde k uma constante real qualquer. Alm disso, tambm
contnua a funo ,
g
f
desde que 0 ) ( a g .
O prximo resultado fornece uma condio necessria e suficiente para que o limite de uma
funo em um determinado ponto exista. Sua demonstrao uma consequncia do critrio
de Cauchy para sequncia de nmeros reais, estudado na Unidade 2.
100
Teorema 5.19 (Critrio de convergncia de Cauchy).
Sejam R D f : , D a . Uma condio necessria e suficiente para que exista ) ( lim x f
a x
que, dado 0 > , exista 0 > , tal que, para todo , , D y x com < < a x 0 e
< < a y 0 , tivermos que . ) ( ) ( < y f x f
Teorema 5.20 (Continuidade da funo composta)
Sejam g e f funes com domnios
g f
D e D , respectivamente com . ) (
f g
D D g Se g
contnua em a
e f contnua em ) (a g , ento )) ( ( ) ( x g f x h = contnua em a .
Demonstrao
Exerccio
Aula 3 - Limites laterais, limites no infinito e limites infinitos
Objetivos
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
calcular limites laterais de uma funo;
reconhecer os pontos de descontinuidade de uma funo definida por mais de uma
sentena;
demonstrar propriedades de limites no infinito e limites infinitos de funes.
101
Limites Laterais
A fim de introduzirmos as definies de limites laterais, necessitamos apresentar dois
conceitos, que faremos a seguir.
Seja . R D Dizemos que o nmero real a
ponto de acumulao direita para D
quando toda vizinhana de a
contm algum ponto . , a x D x > Ou seja,
+ > ) , ( , 0 a a D . Analogamente, dizemos que o nmero real a ponto de
acumulao esquerda para D quando toda vizinhana de a
contm algum ponto
. , a x D x < Ou seja, > ) , ( , 0 a a D .
Sejam R D f : e a ponto de acumulao direita para D. Dizemos que L limite
direita de ) (x f quando x tende para a e denotamos por ) ( lim x f L
a x
+
= quando
< + > > L x f a a D x ) ( ) , ( ; 0 , 0 .
102
Analogamente, se a ponto de acumulao esquerda para D, dizemos que L limite
esquerda de ) (x f quando x tende para a e denotamos por ) ( lim x f L
a x
= quando
< > > L x f a a D x ) ( ) , ( ; 0 , 0 .
As propriedades dos limites de funes demonstradas anteriormente na aula 2, desta
Unidade, podem ser adaptadas facilmente para os limites laterais.
Observao 5.21
Segue das definies de limite e de limites laterais que, dados R D f : , a , ponto de
acumulao direita e esquerda para D, existe L x f
a x
=
x f
x
, enquanto
1 ) ( lim
0
=
x f
x
. Portanto, no existe ) ( lim
0
x f
x
.
De fato, como
<
=
0 ,
0 ,
x se x
x se x
x , ento
<
>
=
0 , 1
0 , 1
) (
x se
x se
x f ; assim, 1 ) ( lim
0
=
+
x f
x
e
1 ) ( lim
0
=
x f
x
.
2) Seja { } R R g 0 : definida por
x
x g
1
) ( = , ento no existe ) ( lim
0
x f
x
+
e nem ) ( lim
0
x f
x
.
Entretanto, a funo
x
e x h
1
) (
=
possui 0 ) ( lim
0
=
+
x h
x
e no possui ) ( lim
0
x h
x
.
Teorema 5.23
Seja R D f :
uma funo montona limitada. Ento, para todo ponto de acumulao
direita, a , para D, e para todo ponto de acumulao esquerda, b , para D, existem
L x f
a x
=
+
) ( lim e M x f
b x
=
) ( lim . De fato,
dado 0 > , + L no cota inferior do conjunto limitado (observao 1.4)
{ } a x D x x f > , ); ( . Logo, existe 0 > , tal que D a + e . ) ( + < + L a f L Como
f no-decrescente, ) , ( + a a D x implica + < L x f L ) ( , concluindo assim a
104
justificativa da afirmao. Analogamente, demonstra-se que { } b x D x x f M < = , ); ( sup o
M x f
b x
=
) ( lim .
Limites no infinito e limites infinitos
A definio de limite de uma funo se estende aos casos em que a funo ou a varivel
independente, ou ambas, tendem a valores infinitos, tanto positivamente, quanto
negativamente.
Seja R D , ilimitado superiormente. Dada R D f : , dizemos que L x f
x
=
+
) ( lim , quando
< > > > L x f A x D x A ) ( , ; 0 , 0 .
Analogamente, dizemos que L x f
x
=
) ( lim , quando
< < > > L x f A x D x A ) ( , ; 0 , 0 .
Sejam R D f :
e a
ponto de acumulao de D. Dizemos que + =
) ( lim x f
a x
, quando,
dado
. ) ( 0 , ; 0 , 0 K x f a x D x K > < < > >
Analogamente, dizemos que =
) ( lim x f
a x
, quando, dado
. ) ( 0 , ; 0 , 0 K x f a x D x K < < < > >
105
Podemos definir tambm os seguintes limites:
+ =
+
) ( lim x f
a x
, + =
) ( lim
_
x f
a x
, =
+
) ( lim x f
a x
, =
) ( lim
_
x f
a x
, + =
) ( lim x f
x
e
+ =
+
) ( lim x f
x
, =
) ( lim x f
x
. =
+
) ( lim x f
x
.
As propriedades de limites de funes estudadas nesta Unidade, com as devidas adaptaes,
valem para limites infinitos e limites no infinito.
Exerccios 5.24
1) Dada a funo R R f : , definida por
+
<
+
=
3 , 4
3 ,
3
6 17 5
) (
2
2
x se x ax
x se
x
x x
x f ,
determine R a , para que exista ) ( lim
3
x f
x
.
2) Considere a funo
+
<
=
2 , 12 9 4
, 2 , 4
) (
2
x se x ax
x se ax
x f
Encontre o valor da constante a , para que a funo dada seja contnua para todo valor
real de x .
3) Seja a uma constante real no-nula. Demonstre que
a)
>
< < +
=
1 , 0
1 0 ,
lim
a se
a se
a
x
x
b)
> +
< <
=
+
1 ,
1 0 , 0
lim
a se
a se
a
x
x
106
4) Seja n
um nmero inteiro positivo. Demonstre que
a)
( )
+
=
mpar for n se
par for n se
a x
n
a x
,
,
1
lim
b)
( )
+ =
n
a x
a x
1
lim
Aula 4 - Teoremas sobre funes contnuas definidas em intervalos e continuidade
uniforme
Objetivos
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
fazer aplicaes do teorema do valor intermedirio;
usar a definio de continuidade uniforme de funes, para demonstrar propriedades
relacionadas com esse conceito;
verificar se determinadas funes so ou no uniformemente contnuas.
107
Iniciamos a aula com:
Teoremas sobre funes contnuas definidas em intervalos
A seguir, voc ver um resultado, cuja demonstrao, geralmente, no estudada no curso de
Clculo.
Teorema 5.25 (Teorema do valor intermedirio)
Seja R b a f ] , [ : uma funo contnua. Se ) ( ) ( b f d a f < < ento existe ) , ( b a c , tal que,
. ) ( d c f =
Ou seja, a funo f
assume todos os valores compreendidos entre ) ( ) ( b f e a f .
Demonstrao
Considere o conjunto
{ } x t a em d t f b a x X < < = , , ) ( ]; , [ .
Como f contnua em a , existe 0 > , tal que d x f a x a < + < ) ( ; logo, o conjunto
X no vazio. Como ele limitado superiormente pelo axioma do supremo, ele possui
supremo, que denotaremos por c . Obviamente, c a < . tambm bvio que b c < , pois
d x f > ) (
em uma vizinhana de b . Demonstraremos que d c f = ) ( . Se d c f < ) ( , existiria
uma vizinhana de c , ) , ( + c c , tal que ) , ( , ) ( + < c c x d x f , ento o supremo de
X seria maior do que c , que uma contradio. Analogamente, se d c f > ) ( , existiria uma
vizinhana de c , ) , ( + c c , tal que ) , ( , ) ( + > c c x d x f ; ento, o supremo de
X teria que ser menor do que c , que tambm uma contradio. A demonstrao anloga
se tivermos ) ( ) ( b f d a f > > .
Corolrio 5.26
Se R I um intervalo e R I f : contnua, ento ) (I f
um intervalo.
108
Demonstrao
Se f
for constante, ento ) (I f
um intervalo formado por um nico ponto. Caso contrrio,
sejam { } I x x f I f = = ); ( inf ) ( inf e { } I x x f I f = = ); ( sup ) ( sup . Se ) (I f for
ilimitado inferiormente, tomaremos = . Caso ) (I f seja ilimitado superiormente,
tomaremos + = . Para provar que ) (I f um intervalo (aberto, fechado ou semiaberto)
cujos extremos so e , seja d tal que < < d . Pela definio de nfimo e de supremo,
existem I b a , , tais que < < ) ( ) ( b f d a f . Pelo teorema anterior, existe ) , ( b a c ,
tal que d c f = ) ( . Ento, ) (I f d , ou seja, ) ( ) , ( I f . Entretanto, ) ( inf I f = e
) ( sup I f = . Portanto, nenhum nmero real menor do que ou maior do que pode
pertencer a ) (I f . Conclumos, portanto, que ) (I f
um intervalo de extremos e .
Exerccio 5.27
Usando o teorema do valor intermedirio, demonstre que todo polinmio de grau
mpar,
0 1
1
1
) ( a x a x a x x p
n
n
n
+ + + =
=
1 1
.
Como c y e c x > > , ento
2
c xy > ; logo:
2 2
1 1
c c
x y
y x
<
< .
Portanto, dado , 0 >
considere
2
0 c < < . Desse modo, obtemos a continuidade uniforme
da funo f em D.
111
Observao 5.31
Podemos concluir facilmente a seguinte afirmao: se uma funo uniformemente contnua
em um conjunto D, ento ela contnua em D. O exerccio a seguir apresenta um exemplo de
uma funo que contnua em um conjunto D; entretanto, no uniformemente contnua
nesse conjunto.
Exerccio 5.32
Considere a funo R D f : , definida por D x
x
x f = ,
1
) ( , onde { } 0 ; > = x R x D .
Demonstre que f no uniformemente contnua em D.
Teorema 5.33
Seja R D um conjunto compacto. Ento, toda funo contnua R D f : uniformemente
contnua.
Demonstrao
Suponha que f no seja uniformemente contnua em . D Ento, existe 0 > , tal que, para
0
1
> =
n
, existem pontos D y x
n n
, , tais que
< ) ( ) (
1
n n n n
y f x f e
n
y x .
Como D compacto, existe uma subsequncia ) (
i
n
x de ) (
n
x , convergindo para D a .
Pela desigualdade
n
y x
n n
1
< , temos que ) (
i
n
y tambm converge para a . Mas f
contnua, ento ) ( ) (
i i
n n
y f x f
deveria convergir para zero. Esse fato uma contradio
com a desigualdade ) ( ) (
i i
n n
y f x f .
112
Exerccio 5.34
Dizemos que uma funo f satisfaz a condio de Lipschitz em intervalo I se existe uma
constante K , tal que I y x y x K y f x f , , ) ( ) ( . Demonstre que toda funo que
satisfaz a condio de Lipschitz uniformemente contnua.
113
.
114
Unidade 6
DERIVADA DE FUNES REAS DE VARIVEL REAL
Objetivos
Ao estudar esta Unidade, voc ser capaz de:
calcular, usando a definio, derivadas de funes reais de uma varivel real.
Usar o conceito de derivada para calcular velocidade instantnea.
Complementar sentenas de funo, de modo a torn-la derivvel.
Calcular derivada de funo potncia com expoente racional.
Calcular derivadas de funes especias usando os limites fundamentais.
Usar a derivada da funo inversa, para calcular a derivada da inversa da funo seno.
115
Demonstrar propriedades relativas derivada de funo peridica, de funo par e de
funo mpar.
Resolver problema de mximo e mnimo de funo.
Demonstrar propriedades relativas a funes crescentes e decrescentes a partir da
derivada da funo.
Fazer aplicaes do teorema do valor mdio.
Determinar a frmula de Taylor de uma funo em torno de um ponto.
Usar o polinmio de Taylor para aproximar o valor de uma funo em um determinado
ponto e estimar o erro proveniente dessa aproximao.
116
Introduo
Nesta Unidade, voc estudar, de modo mais detalhado, derivadas de funes, conceito que
certamente conheceu quando cursou a disciplina de Clculo. Mais especificamente,
responderemos s seguintes perguntas:
1) O que significa uma funo ser derivvel em um ponto? E em um intervalo?
2) Qual o significado geomtrico da derivada de uma funo em um ponto?
3) Quais as principais propriedades da derivada de uma funo?
4) Que relao existe entre o conceito de derivada de uma funo em um ponto com o
conceito de continuidade de uma funo em um ponto?
Nesta Unidade, alm de vila (1999), Bartle (1983), Lima (2007) e Figueiredo (1974),
trabalhamos com Flemming e Gonalves (2007), principalmente nas aulas 2 e 3. Esta
Unidade est dividida em 3 aulas, que devero ser estudadas em 7 dias, j includa a entrega
das tarefas, e inclui os seguintes contedos:
Aula 1: Derivada de uma funo real de varivel real.
Aula 2: Derivada e continuidade, operaes com funes derivveis.
Aula 3: Mximos e mnimos de funes, teoremas sobre derivadas, regras de LHpital,
frmula de Taylor.
Na aula 1, ser abordada a definio de derivada em um ponto e em um intervalo; a
interpretao geomtrica da derivada de uma funo em um ponto; e diversos exemplos,
incluindo a derivada em um ponto, como a velocidade instantnea de um corpo.
117
Na aula 2, voc estudar a relao entre os conceitos de derivada e de continuidade de uma
funo real de varivel real; e as principais propriedades da derivada, incluindo a regra da
cadeia e a derivada da funo inversa.
Na aula 3, voc ver as definies de mximo e de mnimo, locais e absolutos de uma
funo real de varivel real; uma condio necessria para que uma funo tenha mximo ou
mnimo relativo em um ponto, no qual a funo derivvel; o teorema do valor mdio; as
regras de LHpital, para o clculo de limites; e, por ltimo, a frmula de Taylor de uma
funo.
No decorrer de cada aula, voc encontrar alguns exerccios, para fixao e avaliao da
aprendizagem.
AULA 1 - Derivada de uma funo real de varivel real
Ao final desta aula voc ser capaz de:
calcular, usando a definio, derivadas de funes reais de varivel real;
usar o conceito de derivada para calcular velocidade instantnea;
complementar sentenas de funo, de modo a torn-la derivvel.
118
Sejam I um intervalo aberto, uma funo R I f : e I a . A derivada da funo f no
ponto a
o limite
h
a f h a f
a x
a f x f
a f
h a x
) ( ) (
lim
) ( ) (
lim ) (
0
+
=
=
,
quando esse limite existe. Nesse caso, dizemos que f derivvel no ponto a .
Quando existe a derivada ) (x f em todos os pontos I x , dizemos que R I f :
derivvel no intervalo I . E, desse modo, temos uma nova funo R I f : , chamada
funo derivada de f ou derivada primeira de f . Quando f
uma funo contnua,
dizemos que f de classe
1
C .
Denotaremos tambm a derivada de f no ponto a , como ) ( ) ( a
dx
df
ou a Df . Quando
) (x f y = , tambm sero usadas as notaes
dx
dy
ou y .
As noes de derivadas laterais, direita, e esquerda, so introduzidas de modo anlogo,
por meio dos seguintes limites, respectivamente:
h
a f h a f
a x
a f x f
a f
h a x
) ( ) (
lim
) ( ) (
lim ) (
0
+
=
=
+ +
+
e
h
a f h a f
a x
a f x f
a f
h a x
) ( ) (
lim
) ( ) (
lim ) (
0
+
=
,
quando esses existem.
119
Observao 6.1
Uma funo R I f : derivvel em I x se, e somente se, ) (x f
+
e ) (x f
existem e so
iguais.
A partir da derivada primeira f , podemos considerar sua derivada, que chamada a
derivada segunda de f ou derivada de ordem 2 de f , que indicada pelas notaes
2
2
2
2
2
, ,
dx
y d
ou
dx
f d
f D f . Analogamente, podemos considerar derivada de ordem 3 de f , de
ordem 4, e assim por diante.
A seguir, veremos o significado geomtrico da derivada de uma funo f em um ponto a .
Seja R I f : uma funo derivvel em um intervalo I, que tenha, por exemplo, o grfico
como a seguir, e considere a reta secante ao grfico de f , passando pelos pontos
)) ( , ( a f a P = e )) ( , ( x f x Q = . Voc j sabe que a inclinao dessa reta dada por
a x
a f x f
) ( ) (
.
Fixado o ponto P, faa o ponto Q se aproximar de P, caminhando sobre a curva, como mostra
a figura a seguir. Observe que a inclinao da reta que passa por P e Q varia medida que
mudamos o ponto Q. Quando Q se aproxima de P, a reta secante ao grfico de f que passa
por P e Q se aproxima do que intuitivamente chamamos de reta tangente ao grfico de f em
P.
120
Definimos, ento, a reta tangente ao grfico de f
em um ponto a como a reta que passa
por P e tem inclinao dada pelo
a x
a f x f
a x
) ( ) (
lim .
Portanto, esse limite , por um lado, a inclinao da reta tangente ao grfico de f no ponto
)) ( , ( a f a P = e, por outro lado, a derivada ) (a f , da funo f
no ponto a . Portanto, a
equao da reta tangente ao grfico de f no ponto )) ( , ( a f a P = dada por
) )( ( ) ( a x a f a f y =
Ou seja,
) ( ) ( ) ( a f a a f x a f y + = .
121
Exemplos 6.2
1) Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que ) (t s s = represente o espao
percorrido pelo mvel at o instante t . Ento, a velocidade mdia no intervalo de tempo de t
a t t + , como voc j sabe, definida pelo quociente
t
t s t t s
v
m
+
=
) ( ) (
.
Para obtermos a velocidade instantnea do corpo no instante t , calculamos sua velocidade
mdia em intervalos de tempo t
cada vez menores. A velocidade instantnea, ou
velocidade no instante t , o limite das velocidades mdias quando t se aproxima de zero,
ou seja,
t
t s t t s
t v
t
+
=
) ( ) (
lim ) (
0
.
Esse limite a derivada da funo ) (t s s = no ponto t .
2) Seja R R f : dada por
3
) ( x x f = . Para quais valores de x , a funo f derivvel?
Pela definio de derivada em um ponto R x , temos que
h
x h x
h
x f h x f
x f
h h
3 3
0 0
lim
) ( ) (
lim ) (
+
=
+
=
.
Fazendo a mudana de coordenada
3
t h x = + e
3
a x = , teremos que
2 2 2 3
3 3
0
3
1 1
lim lim lim
a a at t a t
a t
h
x h x
a t a t h
=
+ +
=
=
+
.
Como
3
x a = , temos que
3 2
3
1
) (
x
x f = .Conclumos que o nico ponto no qual a funo f
no derivvel na reta real 0 = x , embora sendo contnua nesse ponto.
122
3) Considere a funo R R f : definida por
=
0 , 0
0 ,
1
) (
x se
x se
x
xsen
x f
Essa funo derivvel em 0 = x ?
Sabemos que
x
sen
x
x
xsen
a x
a f x f
x x a x
1
lim
1
lim
) ( ) (
lim
0 0
= =
.
Como esse ltimo limite no existe, temos que a funo f no derivvel em 0 = x .
Exerccios 6.3
1) Considere a funo R R f : definida por
=
0 , 0
0 ,
1
) (
2
x se
x se
x
sen x
x f
Essa funo derivvel em 0 = x ? Justifique sua resposta.
2) Seja R R f : definida por x x f = ) (
Calcule ) 0 (
+
f e ) 0 (
+
<
=
2 , 3
, 2 ,
) (
2
x se bx ax
x se ax
x f
Encontre os valores das constantes b e a , para que a funo dada seja derivvel para todo
valor real de x .
6) Encontre a equao da reta tangente curva de equao 2 2
2
+ = x x y , que seja paralela
reta de equao x y 3 2 = .
Aula 2 - Derivada e continuidade, operaes com funes derivveis
Objetivos
calcular a derivada de funo potncia com expoente racional;
calcular derivadas de funes especias usando os limites fundamentais;
usar a derivada da funo inversa, para calcular a derivada da inversa da funo seno;
demonstrar propriedades relativas derivada de funo peridica, de funo par e de
funo mpar.
124
O teorema a seguir estabelece uma condio necessria e suficiente para que uma funo seja
derivvel em um ponto.
Teorema 6.4
Seja I um intervalo aberto da reta. Uma funo R I f :
derivvel em um ponto I a
se, e somente se, existir uma constante real c , tal que
), ( . ) ( ) ( h r h c a f h a f I h a + + = + + onde 0
) (
lim
0
=
h
h r
h
.
No caso em que a funo f derivvel em a , temos que ) (a f c = .
Demonstrao
) Suponha que f seja derivvel em a e seja { } I h a R h Y + = ; . Desse modo,
Y Y 0 . Seja R Y r : definida por h a f a f h a f h r ). ( ) ( ) ( ) ( + = . Ento:
) (
) ( ) ( ) (
a f
h
a f h a f
h
h r
+
= .
Portanto, 0
) (
lim
0
=
h
h r
h
.
) Reciprocamente, se existir uma constante real c , tal que
), ( . ) ( ) ( h r h c a f h a f I h a + + = + +
onde 0
) (
lim
0
=
h
h r
h
, ento:
c
h
h r
c
h
h r h c
h
a f h a f
h h h
= + =
+
=
+
) (
lim
) ( .
lim
) ( ) (
lim
0 0 0
.
Portanto, f derivvel em a e c a f = ) ( .
Observao 6.5
1) Do teorema anterior, temos como consequncia a seguinte afirmao: se f derivvel em
a , ento f contnua em a .
125
De fato, se f
derivvel em a , ento
) ( )
) (
. ) ( ( lim ) ( lim
0 0
a f
h
h h r
h c a f h a f
h h
= + + = +
,
pois c e a f ) ( so constantes e 0
) (
lim
0
=
h
h r
h
. Portanto, f contnua em a .
2) A recproca da afirmao presente na observao 6.5(1) falsa. Considere, por exemplo, a
funo f do exemplo 6.2(2) desta Unidade, com 0 = a . Essa funo contnua em a e no
derivvel nesse ponto.
Teorema 6.6(Operaes com funes derivveis.)
Seja I um intervalo aberto da reta. Sejam g e f funes derivveis num ponto I x . Ento,
as funes g f g f g f / , . , (caso 0 ) ( x g ) e f . (onde uma constante) so tambm
derivveis em x . Alm disso,
1) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( x g x f x g x f = ;
2) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( x g x f x g x f x g x f + = ;
3) ) ( . ) ) ( . ( x f x f = ;
4)
( )
2
) (
) ( ) ( ) ( ) (
) (
) (
x g
x g x f x f x g
x g
x f
=
|
|
\
|
.
Demonstrao
Exerccio
O resultado a seguir uma das principais propriedades da derivada e nos fornece uma
maneira de derivar uma funo composta.
126
Teorema 6.7. (Regra da cadeia)
Seja I um intervalo da reta real R. Consideremos uma funo composta R I g f : o , de
modo que ) (I g
esteja contido no domnio de f . Suponha que g
seja derivvel em I x e
f derivvel em ) (x g y = . Ento, a funo composta )) ( ( x g f
derivvel no ponto I x e
| | ) ( )) ( ( )) ( ( x g x g f x g f =
.
Demonstrao
Como f derivvel em y , pelo teorema 6.4,
) ( ) (
) ( ) (
k y f
k
y f k y f
+ =
+
onde 0
) (
) ( =
k
k r
k quando 0 k . Considerando 0 ) 0 ( = , podemos escrever
| | ) ( ) ( ) ( ) ( k y f k y f k y f + = + ,
que verdadeira mesmo quando 0 = k . Agora, seja ) ( ) ( x g h x g k + = . Ento,
=
+
=
+
h
y f k y f
h
x g f h x g f ) ( ) ( )) ( ( ) ( (
h
x g h x g
k x g f
h
k k y f ) ( ) (
)] ( )) ( ( [
)] ( ) ( [ +
+ =
+
=
,
como g contnua em I x , ento, quando 0 h , temos que 0 k . Ento, calculando o
limite quando 0 h , segue a demonstrao do teorema.
127
Exerccio 6.8
Seja R +) , 0 ( : a funo definida por
n
m
x x = ) ( , para todo ), , 0 ( + x onde n e m so
inteiros positivos. Demonstre que
1
) (
=
n
m
x
n
m
x .
Sugesto: considere )) ( ( ) ( x g f x = , onde R R f : dada por
m
x x f = ) (
e
R g +) , 0 ( : dada por
n
x x g
1
) ( = .
A derivada da funo g se encontra no exemplo 6.11.
O prximo resultado nos permite calcular a derivada da funo inversa em um determinado
ponto, sem ter que calcular a funo inversa.
Teorema 6.9. (Derivada da funo inversa)
Seja I um intervalo aberto da reta e R I f : uma funo bijetora e derivvel em I, tal que
I x x f , 0 ) ( . Ento, a funo inversa R I f f
) ( :
1
tambm derivvel no intervalo
aberto ) (I f e
) ( ,
)) ( (
1
) ( ) (
1
1
I f y
y f f
y f
.
Demonstrao
Seja ) ( ) ( I f c f d = . Para qualquer ) (x f y = , com d y , considere a igualdade
c x
c f x f
c f x f
c x
d y
d f y f
) ( ) (
1
) ( ) (
) ( ) (
1 1
.
Como f derivvel em I e I x x f , 0 ) ( , passando o limite nesse quociente,
quando y tende a d , concluiremos a demonstrao.
128
Observao 6.10
A condio I x x f , 0 ) ( essencial para a validade do teorema. De fato, seja
R x x x f = , ) (
3
. Essa funo bijetora e derivvel em R; entretanto,
2
3 ) ( x x f = zero
para 0 = x . A funo inversa
1
f definida por
3
1
) ( y y f =
, a qual no derivvel em
0 = y , como 6.2(2).
Exemplo 6.11
Sejam n
um nmero inteiro positivo e R g +) , 0 ( :
definida por
) , 0 ( , ) ( + = y y y g
n
.
A funo g a inversa da funo R f +) , 0 ( : , definida por
n
x x f = ) ( . Como f
bijetora e derivvel em ) , 0 ( + ; alm disso, ) , 0 ( , 0 ) (
1
+ =
x nx x f
n
. Pelo teorema
6.9, g derivvel e
1
) (
1
)) ( (
1
) (
=
=
n
n
y n
y g f
y g ,
Ou seja,
1
1
1
) (
=
n
y
n
y g .
Exerccios 6.12
1) Admitindo os limites fundamentais:
1 lim
0
=
x
senx
x
; ) 1 , 0 ( , ln
1
lim
0
> =
a a a
x
a
x
x
; e
x
x
x
= |
\
|
+
1
1 lim ,
demonstre que:
129
A) se ) 1 , 0 ( , ) ( > = a a a x f
x
, ento ) 1 , 0 ( , ln ) ( > = a a a a x f
x
;
B) se ) 1 , 0 ( , log ) ( > = a a x x f
a
, ento ) 1 , 0 ( , log
1
) ( > = a a e
x
x f
a
;
C) se ) (x u uma funo derivvel e ) 1 , 0 ( , ) (
) (
> = a a a x f
x u
, ento
) 1 , 0 ( , ln ) ( ) (
) (
> = a a a x u a x f
x u
;
D) se ) (x u uma funo derivvel, com x x u > , 0 ) ( e ) 1 , 0 ( ), ( log ) ( > = a a x u x f
a
, ento
) 1 , 0 ( , log
) (
) (
) ( >
= a a e
x u
x u
x f
a
;
E) se x sen x f = ) ( , ento x x f cos ) ( = ;
F) se x x f cos ) ( = , ento x sen x f = ) ( ;
G) se ) (x u uma funo derivvel e )] ( [ ) ( x u sen x f = , ento )] ( [ cos ) ( ) ( x u x u x f = ;
H) se ) (x u uma funo derivvel e )] ( cos[ ) ( x u x f = , ento )] ( [ ) ( ) ( x u sen x u x f = .
2) Seja | |
(
2
,
2
1 , 1 :
f a funo definida por x arcsen x f = ) ( . Ento, ) (x f y =
derivvel em ( ) 1 , 1 e
2
1
1
x
dx
dy
= .
3) Seja R R f : uma funo derivvel e peridica. Demonstre que a derivada R R f :
tambm uma funo peridica.
130
4) Seja R R f : uma funo par (isto , R x x f x f = ), ( ) ( ), derivvel. Demonstre que
a derivada R R f : uma funo mpar.
5) Seja R R f : uma funo mpar (isto , R x x f x f = ), ( ) ( ), derivvel. Demonstre
que a derivada R R f : uma funo par.
Aula 3 Mximos e mnimos de funes reais de varivel real, teoremas sobre
derivadas, regras de LHpital, frmula de Taylor
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
resolver problema de mximo e mnimo de funo real de varivel real;
demonstrar propriedades relativas a funes crescentes e decrescentes a partir da derivada
da funo;
fazer aplicaes do teorema do valor mdio;
determinar a frmula de Taylor de uma funo em torno de um ponto;
usar o polinmio de Taylor para aproximar o valor de uma funo em um determinado
ponto e estimar o erro proveniente dessa aproximao.
131
Mximos e mnimos
Dizemos que uma funo R D f : tem um mximo local no ponto D a quando existe
0 > , tal que < a x D x , implicam ) ( ) ( a f x f . Quando < a x D x , implicam
) ( ) ( a f x f < , dizemos que f tem um mximo local estrito no ponto D a . Analogamente,
R D f : tem um mnimo local no ponto D a quando existe 0 > , tal que
< a x D x , implicam ) ( ) ( a f x f e quando < a x D x , implicam ) ( ) ( a f x f > ,
dizemos que f tem um mnimo local estrito no ponto D a .
Dizemos que uma funo R D f : tem um mximo absoluto no ponto D a
quando D x a f x f ), ( ) ( . Analogamente, D a ponto de mnimo absoluto de
R D f : quando D x a f x f ), ( ) ( .
Teorema 6.12
Seja I um intervalo aberto da reta e R I f : uma funo derivvel em c x = , que ponto
de mximo ou mnimo local, ento 0 ) ( = c f .
Demonstrao
Suponha que c seja ponto de mximo local de f , ento existe 0 > , tal que < h implica
0 ) ( ) ( + c f h c f . Ento
0 , 0
) ( ) (
>
+
h se
h
c f h c f
e 0 , 0
) ( ) (
<
+
h se
h
c f h c f
.
Como f uma funo derivvel em c x = , fazendo o limite nessas razes incrementais,
segue a demonstrao do teorema.
132
Teorema 6.13 (Rolle)
Seja R b a f ] , [ : uma funo contnua em ] , [ b a e derivvel em ) , ( b a , com
0 ) ( ) ( = = b f a f . Ento, existe ) , ( b a c , tal que 0 ) ( = c f .
Demonstrao
Pelo teorema 5.29, da Unidade 5, f assume seu valor mximo M e seu valor mnimo m em
] , [ b a . Se esses valores so assumidos em a e b, ento m = M e a funo f constante;
portanto, ) , ( , 0 ) ( b a x x f = . Se um desses pontos (de mximo ou de mnimo), que
podemos denotar por c , estiver em ) , ( b a , pelo teorema 6.12, 0 ) ( = c f . No caso da funo
mostrada na figura a seguir, temos dois valores de c , para os quais 0 ) ( = c f .
Teorema 6.14 (do Valor Mdio, de Lagrange)
Seja R b a f ] , [ : uma funo contnua em ] , [ b a e derivvel em ) , ( b a . Ento, existe
) , ( b a c , tal que
a b
a f b f
c f
=
) ( ) (
) ( .
133
Demonstrao
Seja R b a g ] , [ : , definida por
x
a b
a f b f
x f x g
=
) ( ) (
) ( ) ( .
A funo g contnua em ] , [ b a e derivvel em ) , ( b a , alm disso, 0 ) ( ) ( = = b g a g , pelo
teorema de Rolle, existe ) , ( b a c , tal que 0 ) ( = c g . Portanto, segue a demonstrao do
teorema.
Na figura a seguir, temos dois valores de c , para os quais
a b
a f b f
c f
=
) ( ) (
) ( .
O teorema que voc ver a seguir ser fundamental para demonstrar as regras de LHpital.
Teorema 6.15 (Frmula de Cauchy)
Se g e f so funes contnuas em ] , [ b a , derivveis em ) , ( b a com ) , ( , 0 ) ( b a x x g ,
ento existe ) , ( b a z , tal que
) (
) (
) ( ) (
) ( ) (
z g
z f
a g b g
a f b f
. (6.1)
134
Demonstrao
Como g contnua em ] , [ b a e derivvel em ) , ( b a , pelo teorema do valor mdio, existe
) , ( b a c , tal que
a b
a g b g
c g
=
) ( ) (
) ( . Como ) , ( , 0 ) ( b a x x g , segue que 0 ) ( c g e,
ento, 0 ) ( ) ( a g b g . Agora, consideremos a funo
R b a h ] , [ : , definida por
)] ( ) ( [
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) ( ) ( a g x g
a g b g
a f b f
a f x f x h
(
= .
A funo h satisfaz a hiptese do teorema de Rolle. Da, segue que existe ) , ( b a z , tal que
. 0 ) ( = x h Dessa igualdade, obteremos (6.1).
Teorema 6.16 (Regras de LHpital)
Sejam g e f funes derivveis em um intervalo ) , ( b a , exceto possivelmente em ) , ( b a c .
Suponha que c x b a x x g e x g ), , ( , 0 ) ( 0 ) ( e que uma das possibilidades ocorra:
i) 0 ) ( lim =
x f
c x
e 0 ) ( lim =
x g
c x
, ou
ii) =
) ( lim x f
c x
e =
) ( lim x g
c x
.
Ento, se L
x g
x f
c x
=
) (
) (
lim , temos que L
x g
x f
c x
=
) (
) (
lim .
Demonstrao
i) Sejam R b a G F ) , ( : , definidas por
=
c x se
c x se x f
x F
, 0
, ), (
) ( e
=
c x se
c x se x g
x G
, 0
, ), (
) ( .
Ento, 0 ) ( lim ) ( lim = =
x f x F
c x c x
e 0 ) ( lim ) ( lim = =
x g x G
c x c x
. Portanto, G e F so contnuas em
c x = e, desse modo, so contnuas em ) , ( b a . Seja c x b a x ), , ( . As funes G e F
135
satisfazem as hipteses do teorema 6.15 no intervalo ] , [ c x ou ] , [ x c . Ento, existe z entre
x e c , tal que
) (
) (
) ( ) (
) ( ) (
z G
z F
c G x G
c F x F
, ou seja,
) (
) (
) (
) (
z g
z f
x g
x f
= .
Como z encontra-se entre x e c , quando x tende a c , ento z tende a c . Desse modo,
temos que L
z g
z f
x f
x f
c x
=
) (
) (
) (
) (
lim .
ii) Exerccio.
Observao 6.17
1) Em (ii), os limites podem ser + ou .
2) Se 0 ) ( lim ) ( lim = =
x g x f
c x c x
ou = =
) ( lim ) ( lim x g x f
c x c x
e =
) (
) (
lim
x g
x f
c x
, ento
=
) (
) (
lim
x g
x f
c x
. Estamos incluindo os casos + ou .
3) As regras de LHpital so tambm vlidas para os limites laterais e para os limites no
infinito.
Exemplo 6.18
Calcule
x
senx
x 0
lim
.
136
Considerando x sen x f = ) ( e x x g = ) ( , segue que 1 ) ( ) ( = = x g e x sen x f como
1
1
cos
lim
) (
) (
lim
0 0
= =
x
x g
x f
x x
. Pelas regras de LHpital, segue que 1 lim
0
=
x
senx
x
Exemplo 6.19
Calcule
x
a
x
x
1
lim
0
, onde 1 0 > a e a .
Considerando 1 ) ( =
x
a x f e x x g = ) ( , segue que 1 ) ( ln ) ( = = x g e a x f como
a
a a
x g
x f
x
x x
ln
1
ln
lim
) (
) (
lim
0 0
= =
. Pela regra de LHpital, segue que a
x
senx
x
ln lim
0
=
.
Exerccios 6.20
Calcule os seguintes limites:
1)
2
0
cos 1
lim
x
x
x
,
2)
2
0
lim
x
x sen x
x
,
3)
1
lim
0
x
n
x
a
x
, onde 1 0 > a e a .
Frmula de Taylor
No resultado a seguir, introduziremos a frmula de Taylor, que consiste em um mtodo para
aproximarmos uma funo por um polinmio, com um erro possvel de ser calculado.
137
Diremos que uma funo R b a f ] , [ : derivvel em ] , [ b a quando ela derivvel no
intervalo aberto ) , ( b a e as derivadas laterais ) (a f
+
e ) (a f
sen e
faa uma estimativa para o erro.
141
.
142
Unidade 7
INTEGRAL DE RIEMANN DE FUNES REAIS DE VARIVEL REAL
Objetivos
Ao estudar esta Unidade, voc ser capaz de:
calcular soma superior e soma inferior de uma determinada funo, referente a uma
partio.
Verificar se uma determinada funo ou no integrvel a Riemann.
Verificar se uma determinada funo integrvel a Riemann, usando um critrio de
integrabilidade.
Demonstrar propriedades de funes integrveis.
Demonstrar que determinada funo definida a partir de uma integral contnua.
Calcular integrais definidas, usando o Teorema Fundamental do Clculo e integrao
por partes.
Demonstrar teoremas do valor mdio para integrais.
143
.
144
Introduo
Nesta Unidade, voc estudar, de modo mais detalhado, a Integral de Riemann, conceito que
certamente conheceu quando cursou a disciplina de Clculo Diferencial e Integral; entretanto,
nesta oportunidade, voc ver detalhes relacionados a esse conceito, que geralmente no so
abordados no curso de clculo integral. Mais especificamente, responderemos s seguintes
perguntas:
1. Qual a definio de integral de Riemann de uma funo R b a f ] , [ : ?
2. Toda funo R b a f ] , [ : contnua integrvel a Riemann?
3. Como calcular a rea da regio limitada pelo grfico de uma funo contnua 0 f ,
pelo eixo das abscissas e pelas retas b x e a x = = ?
4. Que relao existe entre a integral de Riemann de uma funo R b a f ] , [ : e a derivada
dessa funo?
Nesta Unidade, voc ver que a integral de uma funo contnua R b a f ] , [ : positiva est
relacionada rea da regio mencionada na terceira pergunta acima.
A ideia de integral como rea de uma figura plana surgiu com Arquimedes (285 a.C.- 212
a.C.), na Antiguidade, sendo bem mais antiga que o conceito de derivada surgida no sculo
XVII.
145
Voc sabe como calcular a rea de um crculo de raio R? E como justificar esse clculo?
O clculo da rea do crculo preocupou os matemticos desde a Antiguidade. Por exemplo,
Arquimedes demonstrou que a rea A do crculo de raio R igual rea de um tringulo, que
tem como base o comprimento C da circunferncia do crculo e como altura R. Dessa
propriedade, segue que a razo entre a rea A e a rea do quadrado de lado R igual razo
entre C e o dimetro do crculo; de fato,
R
C
R
CR
R
A
2
2
1
2 2
= = .
Usando o resultado de Eudoxo (390 a.C.338 a.C.), que aparece nos elementos de Euclides
por volta do ano 300 a.C., a razo entre as reas de dois crculos igual razo entre os
quadrados de seus raios, Arquimedes concluiu que a razo entre o comprimento da
circunferncia e o dimetro do crculo constante. Essa constante a que hoje conhecemos
como . Portanto, da equao acima, obtemos as frmulas para a rea e para o comprimento
do crculo de raio R, que so
2
R A = e R C 2 = , respectivamente.
Calculando os permetros dos polgonos regulares inscritos e circunscritos de 96 lados e
considerando que C est entre esses dois valores, Arquimedes obteve a seguinte estimativa
para o valor de :
70
10
3
71
10
3 < < .
Tanto na demonstrao do resultado de Euclides, enunciado anteriormente, como no clculo
aproximado de , feito por Arquimedes, usou-se a ideia de considerar o crculo como limite
de polgonos regulares de lados cada vez menores. Isso constitui o que os gregos chamavam
de mtodo da exausto, porque a sucesso dos polgonos, de certo modo, exaure o crculo.
146
De modo um pouco mais detalhado, o mtodo da exausto consistia no seguinte: se F uma
figura plana e
n
P
uma sucesso crescente (isto ,
1 + n
P contm
n
P ) de figuras planas que
tendem para F, ento as reas de
n
P convergem para a rea de F. A essncia do mtodo da
exausto o uso dessa propriedade. E essa tambm a essncia do clculo integral,
formalizado por Newton e Leibniz no sculo XVII.
Seguindo a ideia de aproximar figuras planas por retngulos, nesta Unidade resolveremos o
seguinte problema:
Calcular a rea A da regio limitada pelo grfico de uma funo contnua f , 0 f , pelo
eixo das abscissas e pelas retas b x e a x = = , como, por exemplo, a regio apresentada na
figura a seguir:
147
Esta Unidade est dividida em 3 aulas, que devero ser estudadas em 7 dias, j includa a
entrega das tarefas, e versar sobre os seguintes contedos:
Aula 1: Soma inferior e soma superior.
Aula 2: Critrio de integrabilidade, propriedades da integral e a integral como somas de
Riemann.
Aula 3: Teorema Fundamental do Clculo, mudana de variveis e integrao por partes.
Na aula 1, inicialmente, sero introduzidas as definies de partio de um intervalo
fechado, de soma inferior e de soma superior. Em seguida, sero estudadas propriedades
relacionadas a essas somas. E, por fim, a definio de funo integrvel em um intervalo
fechado.
Na aula 2, inicialmente, ser estudado um critrio de integrabilidade, a partir das somas
inferior e superior; voc ver as demonstraes de que tanto as funes contnuas, quanto as
funes montonas definidas em um intervalo fechado so integrveis; em seguida, ver a
definio de conjunto de medida nula, inclusive um critrio de integrabilidade relacionado
com esse conceito; e, por ltimo, ver propriedades de funes integrveis.
Na aula 3, voc ver alguns resultados que precedem o teorema fundamental do clculo; em
seguida, o prprio teorema; as definies de integral definida e de integral indefinida de uma
funo; e, por fim, os teoremas de mudana de variveis e de integrao por partes.
No decorrer de cada aula, voc encontrar alguns exerccios para fixao e avaliao da
aprendizagem.
148
Aula 1 - Soma inferior e soma superior
Objetivos
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
calcular soma superior e soma inferior de uma funo real de varivel real, referente a
uma partio;
verificar se uma determinada funo ou no integrvel a Riemann.
Apresentaremos a seguir as definies de partio de um intervalo ] , [ b a I = , de soma
superior e soma inferior de uma funo f , relativa a uma partio.
Uma partio de ] , [ b a I = um conjunto finito de pontos dados por
{ } b x x x a com x x x P
n n
= < < < = = L L
1 0 1 0
, , , , . (7.1)
Notao: escreveremos { }
n
x x x P ,..., ,
1 0
= para indicar uma partio de um intervalo | | b a, ,
entendendo que b x x x a
n
= < < < = ...
1 0
.
Dizemos que uma partio P um refinamento de P , ou que P refina P se P P , isto ,
todos os pontos de P
esto em
P .
149
Dada a partio P em (7.1), o intervalo | |
i i
x x ,
1
chamado o simo i subintervalo de P .
Seja R b a f ] , [ : uma funo limitada. E sejam
i i
M e m o nfimo e o supremo de f ,
respectivamente, no simo i subintervalo de P .
Isto ,
{ }
i i i
x x x x f m =
1
; ) ( inf e { }
i i i
x x x x f M =
1
; ) ( sup .
Consideremos tambm
i i i
m M = , que chamada a oscilao da funo f nesse
subintervalo.
A soma inferior da funo f referente partio P , denotada por ) , ( P f s , dada por
=
=
n
i
i i i
x x m P f s
1
1
) ( ) , ( (7.2)
A soma superior da funo f referente partio P , denotada por ) , ( P f S , dada por
=
=
n
i
i i i
x x M P f S
1
1
) ( ) , ( (7.3)
Observao 7.1
Sejam M e m o nfimo e o supremo de f no intervalo I. Como M M m m
i i
, ento:
) ( ) , ( ) , ( ) ( a b M P f S P f s a b m . (7.4)
De fato,
) ( ) ( ) ( ) (
1 1 1 1
i i i i i i i i i i
x x M x x M x x m x x m ,
ento:
=
= =
) ( ) ( ) ( ) (
1 1
1
1
1 1
1 i i i i
n
i
i i i
n
i
i
n
i
i i
x x M x x M x x m x x m .
150
Quando f uma funo contnua e positiva em todo o intervalo I , cada soma inferior um
valor aproximado por falta do que entendemos por rea da figura geomtrica delimitada pelo
grfico de f , pelo eixo dos x e pelas retas . b x e a x = =
Analogamente, cada soma superior
um valor aproximado por excesso da mesma rea.
Nas figuras a seguir, apresentaremos as aproximaes por falta e por excesso,
respectivamente, da regio mostrada na figura anterior.
Aproximao da rea da regio por falta
151
Aproximao da rea da regio por excesso
Mostraremos que, no caso de a funo f ser contnua, no necessariamente positiva, o
supremo do conjunto das soma inferiores igual ao nfimo do conjunto das somas superiores;
e esse valor comum, supremo e nfimo, definido como a integral da funo f no intervalo
I .
Veremos tambm que esse conceito se estende a uma classe mais ampla do que a das funes
contnuas, que a classe das funes integrveis.
O resultado a seguir estabelece que, quando refinamos uma partio, a soma inferior no
diminui e a soma superior no aumenta.
152
Teorema 7.2
Seja { }
n
x x x P ,..., ,
1 0
= uma partio qualquer do intervalo | | b a, e ' P um refinamento de P .
Ento:
) , ( ) , ( P f s P f s e ) , ( ) , ( P f S P f S .
Demonstrao
Suponha que { } ] , [ ,
1 i i
x x x x P P
= , M seja o supremo de f em ] ' , [
1
x x
i
e ' '
i
M seja o
supremo de f em ] , ' [
i
x x . Ento, da equao (7.3), temos:
) ( ... ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) , (
1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 + +
+ + + + + + =
n n n i i i i i i i i i
x x M x x M x x M x x M x x M P f S
ou seja,
+ + + + =
) ( ) ( ) ( ) , (
1 2 1 1 0 1 1 i i i i i
x x M x x M x x M P f S L
) ( ) ( ) (
1 1 1 + +
+ + + +
n n n i i i i i
x x M x x M x x M L .
Como:
i i i i i i i i
M M M M x x x x x x + =
, ,
1 1
ento:
0 )] ( ) ( [ ) ( ) , ( ) , (
1 1
+ =
x x M x x M x x M P f S P f S
i i i i i i i
.
Quando ' P tiver mais do que um ponto a mais que P , trataremos do mesmo modo,
aplicando repetidamente um ponto de cada vez. O procedimento para as somas inferiores
anlogo.
153
Corolrio 7.3
Sejam ' P e P parties quaisquer de ] , [ b a I = . Ento, ) ' , ( ) , ( P f S P f s .
Demonstrao
Considere '. ' ' P P P = Como , ' ' P P pelo teorema anterior, ) ' ' , ( ) , ( P f s P f s .
Analogamente, ' ' ' P P ; ento, pelo teorema, ) ' , ( ) ' ' , ( P f S P f S .
Observao 7.4
Da equao (7.4), temos que o conjunto das somas inferiores limitado superiormente por
) ( a b M ; portanto, tem supremo finito, denotado por
b
a
f . Analogamente, da mesma
equao, temos que o conjunto das somas superiores limitado inferiormente por ) ( a b m ;
logo, tem nfimo finito, denotado por
b
a
f .
O supremo e o nfimo da observao anterior so chamados, respectivamente, a integral
inferior e a integral superior da funo f no intervalo [a,b].
A seguir, apresentaremos, sem demonstrao, um resultado relativo a supremo e nfimo de
um conjunto, visto na Unidade 1 e que ser utilizado em seguida.
Lema 7.5
Sejam R B A , , tal que B b e A a b a , , ento:
i) B A inf sup ;
ii) B A inf sup = se, e somente se, dado , 0 > existem B b A a , , tais que < a b .
154
Observao 7.6
Seja R b a f ] , [ : , limitada, ento
b
a
b
a
f f .
De fato, considere os conjuntos:
{ } ] , [ ); , ( b a de partio P P f s A = (7.5)
{ } ] , [ ); , ( b a de partio P P f S B = (7.6)
Do corolrio 7.3 e do Lema 7.5, segue o resultado.
Seja R b a f ] , [ : uma funo limitada. Dizemos que f integrvel ou integrvel a
Riemann em [a,b], quando
=
b
a
b
a
f f . Nesse caso, esse valor comum chamado a integral
da funo f no intervalo [a,b] e denotada por
b
a
f ou
b
a
dx x f ) ( .
Seja 0 ) ( , ] , [ : x f R b a f uma funo integrvel. A rea da regio plana identificada
com o conjunto
{ } b x a x f y R y x ), ( 0 ; ) , (
2
definida como a integral de f no intervalo ] , [ b a . Essa a resposta da terceira pergunta
feita no incio desta Unidade.
Exerccio 7.7
Seja R b a f ] , [ : a funo de Dirichlet, definida por
=
irracional x se
racional x se
x f
, 1
, 0
) ( .
A funo f integrvel? Justifique sua resposta.
155
Exerccio 7.8
Seja R b a f ] , [ : a funo constante definida por ] , [ , ) ( b a x c x f = . Calcule
b
a
f e
b
a
f ;
verifique que f integrvel e ) ( a b c f
b
a
=
.
Aula 2 - Critrio de integrabilidade, propriedades da integral e a integral como
somas de Riemann.
Objetivos
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
verificar se uma funo integrvel a Riemann, usando um critrio de integrabilidade;
demonstrar propriedades de funes integrveis.
Critrios de Integrabilidade
Lema 7.9
Uma funo R b a f ] , [ : integrvel se, e somente se, dado 0 > , existem parties
] , [ ' ' ' b a de P e P , tais que < ) ' ' , ( ) ' , ( P f s P f S .
156
Demonstrao
) Dado 0 > , em virtude da definio de supremo e de nfimo (vistos na Unidade 1) dos
conjuntos A e B da observao 7.6, respectivamente, existem parties ] , [ ' ' ' b a de P e P , tais
que
2
) ' ' , (
2
) ' , (
> + <
b
a
b
a
f P f s e f P f S
Ento, < ) ' ' , ( ) ' , ( P f s P f S .
)
Sejam A e B os conjuntos definidos em (7.5) e (7.6). claro que B A inf sup .
Suponha que B A inf sup < , ento 0 sup inf > = A B ; logo, ) ' , ( ) , ( P f s P f S para
toda partio ' P e P de ] , [ b a , que uma contradio.
O resultado a seguir estabelece uma condio necessria e suficiente, para que uma funo
seja integrvel em um intervalo fechado.
Teorema 7.10
Uma funo R b a f ] , [ : integrvel se, e somente se, dado 0 > , existe uma partio
] , [ b a de P , tal que < ) , ( ) , ( P f s P f S .
Demonstrao
) Sejam f
integrvel ' ' ' P e P dados pelo lema 7.9. Consideremos ' ' ' P P P = , ento:
) ' ' , ( ) , ( ) ' , ( ) , ( P f s P f s e P f S P f S .
Do lema 7.9, segue o resultado.
)
Seja P P P = = ' ' ' . Do lema 7.9, segue o resultado.
157
Exemplo 7.11
Seja , ] , [ : R b a f definida por c x f = ) ( , quando b x a < e A a f = ) ( . Ento, f
integrvel e ). ( a b c f
b
a
=
De fato, suponha que A c < e { }
n
t t t P ,..., ,
1 0
= seja uma partio qualquer de [a,b]. Ento,
. 1 ,
1 1
n i para c M m e A M c m
i i
< = = = = Portanto
) )( ( ) , ( ) , (
0 1
t t c A P f s P f S = .
Ento, dado , 0 > tomamos uma partio P , tal que
c A
t t
<
0 1
. Assim,
< ) , ( ) , ( P f s P f S . Logo, f integrvel. Como ) ( ) , ( a b c P f s = para toda partio P ,
temos que ), ( a b c f
b
a
=
<
) ( ) ( . Consideremos uma partio { }
n
x x x P ,..., ,
1 0
= de [a,b] tal que
todos os subintervalos ] , [
1 i i
x x
tenham comprimento menor do que . Nesse subintervalo a
funo f assume um mximo
i
M
em algum ponto ] , [
1 i i i
x x x
, e um mnimo em algum
ponto ] , [
1 i i i
x x x
. Ento,
158
a b
x f x f m M
i i i i
< =
) ( ) ( 0 .
Portanto, das equaes (7.2) e (7.3), segue que < ) , ( ) , ( P f s P f S . Pelo teorema 7.10, f
integrvel.
Teorema 7.13
Toda funo montona R b a f ] , [ : integrvel.
Demonstrao
Suponhamos que f seja no-decrescente. Dado , 0 > consideremos uma partio
{ }
n
x x x P ,..., ,
1 0
= de [a,b], de modo que todos os subintervalos ] , [
1 i i
x x
tenham
comprimento menor do que
) ( ) ( a f b f
< =
=
=
=
n
i
n i
i
i i i i i i
m M
a f b f
x x m M P f s P f S
1 1
1
) (
) ( ) (
) )( ( ) , ( ) , (
Pelo teorema 7.10, f integrvel. Caso f seja no-crescente, ento f no-decrescente e,
pelo resultado demonstrado f integrvel e consequentemente, ) ( f f = integrvel.
Se , b a < indicaremos com a b I = o comprimento do intervalo (fechado, aberto ou
semiaberto) I = [a,b]. Dizemos que o conjunto R X tem medida nula quando, dado
, 0 > existe uma cobertura finita ou infinita enumervel
k
I X de X por intervalos
abertos
k
I cujas somas dos comprimentos
<
k
I .
159
Exemplo 7.14
Todo conjunto enumervel { } ,... ,... ,
2 1 k
x x x X = tem medida nula. De fato, seja
)
2
,
2
(
1 1 + +
+ =
k
k
k
k k
x x I
,
k
I X e
<
k
I . Em particular, o conjunto dos nmeros
racionais tem medida nula.
O resultado a seguir estabelece uma condio necessria e suficiente para que uma funo
definida em um intervalo fechado seja integrvel, em funo dos pontos de descontinuidade
dessa funo.
Teorema 7.15
Seja R b a f ] , [ : uma funo limitada. f integrvel se, e somente se, o conjunto dos
pontos de descontinuidade de f tem medida nula.
Propriedades da Integral
Teorema 7.16
Uma funo R b a f ] , [ : integrvel se, e somente se, f integrvel em [a,c] e [c,b],
onde b c a < < . No caso de integrabilidade de f , temos
+ =
b
c
c
a
b
a
f f f .
Demonstrao
Exerccio
Dizemos que R b a f ] , [ : uma funo-escada quando existem uma partio
{ }
n
x x x P ,..., ,
1 0
= de ] , [ b a e nmeros
n
c c c ,..., ,
2 1
, tais que
i
c x f = ) ( quando .
1 i i
x x x < <
160
Exerccio 7.17
Toda funo escada integrvel e . ) (
1
1
=
=
n
i
i i i
b
a
x x c f Justifique essa afirmao.
No teorema 7.16, a igualdade
+ =
b
c
c
a
b
a
f f f faz sentido apenas quando b c a < < . Para
que a igualdade seja verdadeira para quaisquer nmeros reais a,b,c, faremos duas
convenes: (i) 0 =
a
a
f e (ii)
=
b
a
a
b
f f .
O teorema a seguir apresenta outras propriedades das funes integrveis.
Teorema 7.18
Sejam R b a g f ] , [ : , funes integrveis. Ento:
(i) a soma g f + integrvel e
+ = +
b
a
b
a
b
a
g f g f ) ( ;
(ii) o produto g f . integrvel.
(iii) se c R uma constante,
=
b
a
b
a
f c cf ;
(iv) se ] , [ , ) ( 0 b a x x g k < , ento o quociente
g
f
integrvel;
(v) Se ] , [ ) ( ) ( b a x x g x f , ento
b
a
b
a
g f ;
(vi) f integrvel e
b
a
b
a
f f .
Demonstrao
Exerccio
161
A integral como limite de somas de Riemann
Veremos agora como a integral de uma funo definida em um intervalo [a,b] pode ser
interpretada como limite de uma soma, chamada soma de Riemann.
Seja { }
n
x x x P ,..., ,
2 1
= uma partio de [a,b] e { }
n
C ,... ,
2 1
= um conjunto de n pontos,
tais que ]. , [
1 i i i
x x
A soma de Riemann da funo f referente partio P e aos pontos
i
de C definida pela expresso
i i
n
i
i i i
x f x x f C P f = =
=
) ( ) )( ( ) , , (
1
1
.
Dada uma partio { }
n
x x x P ,..., ,
2 1
= de [a,b], definimos a norma de P como o nmero
= P maior comprimento
1
i i
x x dos subintervalos de P .
Exemplo 7.19
A soma superior ) , ( P f S e a soma inferior ) , ( P f s so somas de Riemann quando a funo
f
contnua.
O resultado a seguir, que no demonstraremos, relaciona a integral de uma funo definida
em um intervalo [a,b] com a soma de Riemann dessa funo nesse intervalo.
Teorema 7.20
Se f uma funo integrvel no intervalo [a,b], ento
=
n
i
i i
P
b
a
x f dx x f
1
0
) ( lim ) (
independentemente, da escolha dos ] , [
1 i i i
x x
.
162
Para uma demonstrao desse teorema, voc pode consultar vila (1999, p. 158) ou Lima
(2007, p. 137).
Aula 3 Teorema Fundamental do Clculo, mudana de variveis e integrao
por partes
Objetivos
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
calcular integrais definidas, usando o Teorema Fundamental do Clculo e integrao por
partes;
demonstrar teoremas do valor mdio para integrais.
Teorema Fundamental do Clculo
Nesta seo, veremos uma importante relao entre os conceitos de derivada e de integral,
que o chamado Teorema Fundamental do Clculo.
O teorema a seguir chamado teorema da mdia e ser usado posteriormente.
163
Teorema 7.21
Seja f uma funo contnua num intervalo [a,b]. Ento, existe ] , [ b a c , tal que.
=
b
a
a b c f dx x f ) )( ( ) ( .
Demonstrao
Como f contnua, ento, pelo teorema 7.12, f integrvel. Sejam M e m o mnimo e o
mximo de f , respectivamente, em [a,b]. Temos tambm que
) ( ) ( ) ( a b M dx x f a b m
b
a
.
Pelo Teorema 5.25 (do Valor Intermedirio), existe ] , [ b a c , tal que.
=
b
a
a b c f dx x f ) )( ( ) ( .
Teorema 7.22
Seja f uma funo integrvel num intervalo [a,b]. Ento, a funo F , definida por
=
x
a
dt t f x F ) ( ) ( (7.7)
contnua em [a,b].
Demonstrao
Exerccio
Teorema 7.23 (Fundamental do Clculo)
Seja f uma funo contnua em [a,b]. Ento, a funo F definida pela equao (7.7)
derivvel em todo ponto ] , [ b a x e ) ( ) ( ' x f x F = .
164
Demonstrao
Suponhamos que ) , ( b a x
e h seja suficientemente pequeno, tal que ] , [ b a h x + . Ento:
+
= +
h x
x
dt t f x F h x F ) ( ) ( ) ( .
Como f contnua em ] , [ h x x + pelo teorema da mdia, existe x entre h x e x + tal que
h x f x f x h x dt t f
h x
x
) ( ) ( ) ( ) ( = + =
+
Ento
) (
) ( ) (
x f
h
x F h x F
=
+
.
Fazendo o limite quando h
tende a zero, temos que x x . Como f contnua,
) ( ) ( x f x f ; portanto, segue o resultado. Os casos b x ou a x = = no oferecem maiores
dificuldades. ) ( ' ) ( ' b F e a F sero as derivadas de F
direita e esquerda, respectivamente.
Uma funo F chamada uma primitiva de f em um intervalo I, se ) ( ) ( ' x f x F = I x .
O teorema fundamental do clculo afirma que toda funo contnua num intervalo [a,b]
possui primitiva dada pela equao (7.7).
Usando o teorema do valor mdio, podemos demonstrar o seguinte resultado:
Teorema 7.24
Se G e F so primitivas de f num intervalo I, ento existe uma constante c , tal que
c x F x G + = ) ( ) ( .
Demonstrao
Exerccio
165
Se ) (x F uma primitiva de ) (x f , a expresso c x F + ) ( chamada integral indefinida da
funo ) (x f e denotada por c x F dx x f + =
) ( ) ( .
Observaes 7.25
1) Pelo teorema 7.24, uma vez conhecida uma primitiva F
de f , todas as suas primitivas
so conhecidas. Sendo f contnua, uma primitiva particular de f dada pela equao (7.7);
logo sua primitiva geral
c dt t f x G
x
a
+ =
) ( ) ( . (7.8)
2) Da expresso (7.8), temos que
=
b
a
dt t f a G b G ) ( ) ( ) ( . (7.9)
Ou seja, para calcular a integral de uma funo contnua f no intervalo [a,b] basta achar
uma primitiva qualquer G de f e calcular a diferena ). ( ) ( a G b G comum denotarmos
) ( ) ( a G b G por
b
a
G .
A integral na equao (7.9) chamada integral definida de f no intervalo [a,b]. Essa
nomenclatura segue do fato de que o resultado da integrao um nmero bem definido.
A seguir, apresentaremos dois mtodos de integrao muito usados nos cursos de Clculo,
para encontrar primitivas de funes, conhecidos como substituio e interao por partes.
Teorema 7.26 (Mudana de variveis)
Sejam R b a f ] , [ : uma funo contnua, R d c g ] , [ : com derivada contnua, tal que
] , [ ]) , ([ b a d c g . Ento,
=
d
c
d g
c g
dt t g t g f dx x f ) ( )). ( ( ) (
) (
) (
.
166
Demonstrao
Como f contnua, pelo teorema fundamental do clculo, f possui uma primitiva
R b a F ] , [ : e, alm disso,
)). ( ( )) ( ( ) (
) (
) (
c g F d g F dx x f
d g
c g
=
Por outro lado, da regra da cadeia, temos que
]. , [ ), ( )). ( ( ) ( )). ( ( ) ( ) ( d c t t g t g f t g t g F t g F = = o
Desse modo, R d c g F ] , [ : o uma primitiva da funo contnua que, para cada ] , [ d c t ,
associa ) ( )). ( ( t g t g f . Ento:
=
d
c
c g F d g F dt t g t g f )) ( ( )) ( ( ) ( )). ( ( ,
Concluindo, assim, a demonstrao do teorema.
Teorema 7.27 (Integrao por partes)
Se R b a g f ] , [ : , tm derivadas contnuas, ento
=
b
a
b
a
b
a
dx x g x f g f dx x g x f ) ( ). ( . ) ( ). ( .
Demonstrao
Da derivada do produto, temos que g f g f g f + = . ) . ( . Ou seja, fg uma primitiva para a
funo g f g f + . . Portanto, pelo teorema fundamental do clculo,
=
b
a
b
a
g f dt t fg . ) ( ) ( . Por
outro lado,
+ =
b
a
b
a
b
a
dx x g x f dx x g x f dx x fg ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( .
Portanto,
=
b
a
b
a
b
a
dx x g x f g f dx x g x f ) ( ). ( . ) ( ). ( .
167
Exerccios 7.28
1) Calcule as integrais:
A)
1
0
dx e x
x
;
B)
1
1
cos dx x x ;
C)
1
0
cos dx x e
x
.
2) Sejam R b a p f ] , [ : , , f contnua e p integrvel, com ] , [ , 0 ) ( b a x x p . Ento,
existe um nmero ] , [ b a c , tal que
=
b
a
b
a
dx x p c f dx x p x f ) ( ). ( ) ( ). ( .
Este resultado conhecido como teorema do valor mdio para integrais.
168
Unidade 8
SEQUNCIAS E SRIES DE FUNES REAIS DE VARIVEL REAL
Objetivos
Ao estudar esta Unidade, voc ser capaz de:
demonstrar que uma determinada sequncia de funes converge uniformemente.
Demonstrar que uma determinada sequncia de funes converge simplesmente.
Reconhecer a diferena entre convergncia simples e convergncia uniforme.
Demonstrar o critrio de convergncia de Cauchy para sequncia de funes.
Usar o teorema de Dini, para demonstrar que uma determinada sequncia de funes
converge uniformemente para uma determinada funo.
Calcular limite de sequncia de integrais de funes e verificar se a convergncia
uniforme ou no.
169
Demonstrar que uma determinada srie de funes converge uniformemente e
absolutamente.
Usar os testes de DAlembert ou de Cauchy, para encontar o intervalo de
convergncia de determinadas sries de potncias.
Encontrar uma funo, representada por uma determinada srie de potncias.
Encontrar uma representao de uma funo, por srie de potncias, em um
determinado intervalo.
170
Introduo
Voc, certamente, em sua vida acadmica, j se deparou com a situao de, a partir de um
nmero R x , em geral, usando uma calculadora ou uma tabela, obter os valores de vrias
funes em x , por exemplo x arctg x tg x x sen x e
x
, , cos , , ln , , alm de outras funes
transcendentes. Voc sabe como as calculadoras calculam esses nmeros ou como so
construdas as tabelas com alguns valores dessas funes?
Nesta Unidade, veremos:
1) como as sries infinitas podem ser usadas para obter valores funcionais de certas funes,
como as citadas anteriormente.
2) Se uma funo ) (x f satisfaz certas condies, possvel expressar ) (x f como uma srie
infinita cujos termos contm potncias da varivel x , conhecidas como sries de
potncias.
3) Que a representao de funes por srie de potencias permite-nos calcular integrais de
certas funes, que no curso de Clculo Integral, no eram possveis de serem calculadas,
como, por exemplo,
dx x sen dx e
x
) ( ,
2
2
.
As sries infinitas tambm podem ser utilizadas para estender as definies de funes, como
x arctg x tg x x sen x e
x
, , cos , , ln , , para o caso em que x
um nmero complexo bi a + ,
sendo R b a , . Entretanto, no trataremos deste contedo nesta disciplina.
171
Vimos na Unidade anterior que a integral indefinida um mtodo do clculo que nos permite
produzir novas funes, a partir de certas funes dadas, como o caso para as funes
contnuas, utilizando o teorema fundamental do clculo. Nesta Unidade, veremos um outro
mtodo tambm importante, que o de considerar limites de sequncias de funes, assim
como o processo de somar sries de funes.
Nesta Unidade, como nas Unidades 2 e 3, alm de vila (1999), Bartle (1983), Lima (2007)
e Figueiredo (1974), trabalhamos com Guidorizzi (2002) e Swokowski (1994). Esta Unidade
est dividida em 2 aulas, que devero ser estudadas em 7 dias, j includa a entrega das
tarefas, e versar sobre os seguintes contedos:
Aula 1: Convergncia simples e convergncia uniforme.
Aula 2: Sries de funes e sries de potncias.
Na aula 1, inicialmente, sero introduzidas as definies de convergncia simples ou pontual
e de convergncia uniforme de sequncia de funes; em seguida, voc ver que, se uma
sequncia de funes contnuas converge uniformemente para uma determinada funo, esta
ser tambm uma funo contnua; alm de outros resultados.
Na aula 2, inicialmente, ser introduzido o conceito de convergncia uniforme de uma srie
de funes em um determinado domnio, alm de outros resultados visto na aula 1, agora
adaptados para srie de funes. Em seguida, ser introduzida a definio de srie de
potncias, intervalo de convergncia de uma srie de potncias e os testes de DAlembert e
de Cauchy, para determinar o raio de convergncia de uma srie de potncias. E, por ltimo,
ser vista representao de funes por meio de srie de potncias.
No decorrer de cada aula, voc encontrar alguns exerccios para fixao e avaliao da
aprendizagem.
172
Aula 1 - Convergncia simples e convergncia uniforme
Ao final desta aula voc ser capaz de:
demonstrar que uma determinada sequncia de funes converge uniformemente;
demonstrar que uma determinada sequncia de funes converge simplesmente;
reconhecer a diferena entre convergncia simples e convergncia uniforme;
demonstrar o critrio de convergncia de Cauchy para sequncia de funes;
usar o teorema de Dini, para demonstrar que uma determinada sequncia de funes
converge uniformemente para uma determinada funo;
calcular limite de sequncia de integrais de funes e verificar se a convergncia
uniforme ou no.
Nas Unidades 2 e 3, vimos que, para sequncia e sries de nmeros reais, h apenas uma
noo de limite. Para sequncias e sries de funes, h vrias noes de limite. Trataremos
aqui de duas noes mais comuns, que so convergncia simples e convergncia
uniforme.
Dizemos que uma sequncia de funes ) , 2 , 1 ( : L = n R D f
n
converge simplesmente ou
pontualmente para a funo R D f : quando, para todo D x , a sequncia de nmeros
reais L L ), ( , ), ( ), (
2 1
x f x f x f
n
converge para ) (x f . Notao: f f
n
simplesmente.
173
Em outras palavras, dizemos que f f
n
simplesmente em D, quando, dados 0 > e D x ,
existe N n
0
(que depende de e de x ), tal que
< > ) ( ) (
0
x f x f n n
n
.
Podemos pensar graficamente do seguinte modo: em cada reta vertical que passa por um
ponto D x , temos uma sequncia de pontos , )), ( , ( )), ( , ( )), ( , (
2 1
L L x f x x f x x f x
n
que so
obtidos a partir da interseo dessa reta com os grficos das funes L L , , , ,
2 1 n
f f f . Essa
sequncia de pontos converge para )) ( , ( x f x .
Exemplo 8.1
A sequncia de funes ) , 2 , 1 ( : L = n R R f
n
, definida por
n
x
x f
n
= ) ( , converge
simplesmente para a funo identicamente nula, definida em R .
De fato,
x
n
n
x
x f
n
> < < 0 ) ( . Portanto, dado 0 > , considere
x
n N n
0 0
, .
Observe que o valor de
0
n
depende de e de x .
Dizemos que uma sequncia de funes ) , 2 , 1 ( : L = n R D f
n
converge uniformemente
para a funo R D f : quando, para todo 0 > , existe N n
0
(que depende somente de
), tal que < > ) ( ) (
0
x f x f n n
n
, qualquer que seja D x .
174
Em outras palavras, dizemos que f f
n
uniformemente em D, quando, dado 0 > , existe
N n
0
(que depende somente de ), tal que, para todo
0
n n > , os grficos das funes
n
f
esto contidos na faixa de raio , em torno do grfico de f .
Exemplo 8.2.
A sequncia de funes ) , 2 , 1 ( ] 1 , 0 [ : L = n R f
n
definida por
n
x
x f
n
= ) ( converge
uniformemente para a funo identicamente nula em [0,1].
De fato,
n n
x
x f
n
1
0 ) ( = . Portanto, dado 0 > , considere
1
,
0 0
n N n . Observe que,
diferentemente do exemplo anterior, nesse caso, o valor de
0
n
depende somente de .
Exerccio 8.3
Demonstre que a sequncia de funes ) , 2 , 1 ( ] , [ : L = n R b a f
n
definida por
n
x
x f
n
= ) (
converge uniformemente para a funo identicamente nula em [a,b].
Observao 8.4
imediato verificar que, se uma sequncia ) (
n
f
converge uniformemente, ento ela
converge simplesmente. Entretanto, a recproca dessa afirmao falsa, como mostra o
exerccio a seguir.
175
Exerccio 8.5
Demonstre que a sequncia de funes ) , 2 , 1 ( ] 1 , 0 [ : L = n R f
n
definida por
n
n
x x f = ) (
converge simplesmente para a funo R f ] 1 , 0 [ : definida por
=
<
=
. 1 , 1
1 0 , 0
) (
x se
x se
x f
Entretanto, a convergncia no uniforme.
Exerccio 8.6
Demonstre que uma sequncia de funes ) , 2 , 1 ( : L = n R D f
n
converge uniformemente
para uma funo R D f : se, e somente se, dado 0 > , existir N n
0
, tal
que < ) ( ) ( x f x f
m n
, para todo D x e para todos
0
, n n m > . Esse resultado conhecido
como critrio de convergncia de Cauchy.
No exerccio 8.5, tnhamos uma sequncia de funes contnuas que converge simplesmente
para uma funo que no contnua. O mesmo no pode acontecer quando a convergncia
uniforme, como mostra o resultado a seguir.
Teorema 8.7
Seja ) , 2 , 1 ( : L = n R D f
n
uma sequncia de funes contnuas que converge
uniformemente para uma funo R D f : . Ento, f uma funo contnua.
Demonstrao
Dado D a , demonstraremos que a funo f contnua em . a Como
n
f
converge
uniformemente para f , ento, dado 0 > , considere N n
0
, tal que
176
3
) ( ) (
0
< x f x f
n
, para todo D x . Como
0
n
f
contnua em a , existe 0 > , tal que
3
) ( ) (
0 0
< a f x f
n n
, para todo D x , com < a x . Sabemos tambm que
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
0 0 0 0
a f a f a f x f x f x f a f x f
n n n n
+ + .
Como cada parcela menor do que
3
=
<
=
, 1 , 1
1 0 , 0
) (
x se
x se
x f
temos que a convergncia no uniforme.
O teorema a seguir estabelece condies suficientes para que uma sequncia de funes
contnuas definida em um conjunto compacto convirja uniformemente.
Teorema 8.9 (Dini)
Seja ) , 2 , 1 ( : L = n R D f
n
uma sequncia de funes continuas, sendo D um subconjunto
compacto de R. Se ) (
n
f for montona (no decrescente,
1 +
n n
f f ou no-crescente
1 +
n n
f f )
e ) (
n
f convergir simplesmente para uma funo R D f : . Ento, a convergncia
uniforme.
177
Para uma demonstrao desse teorema, vide Lima (2007, p. 155).
Exerccio 8.10
Use o teorema de Dini para demonstrar que a sequncia de funes ) , 2 , 1 ( ] 1 , 0 [ : L = n R f
n
definida por
nx
nx
x f
n
+
=
1
) (
2
converge uniformemente para a funo x x f = ) ( , definida em
[0,1].
O resultado a seguir estabelece condies suficientes para que possamos trocar a ordem das
operaes de integrao e de tomarmos o limite em uma sequncia de funes integrveis.
Teorema 8.11
Se uma sequncia de funes integrveis ) , 2 , 1 ( ] , [ : L = n R b a f
n
converge uniformemente
para R b a f ] , [ : , ento f integrvel e
+
=
b
a
n
n
b
a
dx x f dx x f ) ( lim ) ( .
Demonstrao
Como ) (
n
f converge uniformemente para f , dado 0 > , existe N n
0
, tal que, para todo
0
n n > ,
) ( 4
) ( ) (
a b
x f x f
n
<
e
) ( 4
) ( ) (
a b
y f y f
n
<
para todo ] , [ , b a y x . Fixado n nessas condies, como
n
f
integrvel, existe uma partio
P de [a,b], tal que, indicando com
i i
e respectivamente, as oscilaes de
n
f e f no
178
intervalo ] , [
1 i i
x x
de P, temos que
2
) (
1
1
<
=
n
i
i i i
x x . Para quaisquer ] , [ ,
1 i i
x x y x
, temos
que
| | | | | | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y f y f y f x f x f x f y f x f
n n n n
+ + = .
Ento:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y f y f y f x f x f x f y f x f
n n n n
+ + (8.1)
Assim, da equao (8.1), segue que
) ( 2
) ( ) (
a b
y f x f
i
+
.
Desse modo,
) ( 2 a b
i i
+
. Portanto,
= + <
+
=
=
=
2 2
) (
) ( 2
) ( ) (
1
1
1
1
1
1
n
i
i i
n
i
i i i
n
i
i i i
x x
a b
x x x x .
Logo, f integrvel. Sabemos tambm que
=
b
a
n
b
a
n
b
a
b
a
n
dx x f x f dx x f x f dx x f dx x f ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( .
Ento, para
0
n n > , temos que
<
) ( 4
) (
) ( ) (
a b
a b
dx x f x f
b
a
n
.
Portanto,
=
+
b
a
b
a
n
n
dx x f dx x f ) ( ) ( lim .
Exerccio 8.12
Dada ) , 2 , 1 ( ] 1 , 0 [ : L = n R f
n
definida por
2
) (
nx
n
nxe x f
= , calcule:
1) ) ( lim ) ( x f x f
n
n +
= .
2)
1
0
) ( dx x f .
3)
+
1
0
) ( lim dx x f
n
n
.
179
4)
=
+
1
0
1
0
) ( ) ( lim dx x f dx x f
n
n
?
5) ) (
n
f
converge para f uniformemente? Justifique sua resposta.
A seguir, apresentamos um resultado que estabelece condies suficientes para que a
derivada do limite de uma sequncia de funes seja igual ao limite das derivadas dos termos
da sequncia.
Teorema 8.13
Seja ) , 2 , 1 ( ] , [ : L = n R b a f
n
uma sequncia de funes com derivadas contnuas em [a,b],
tal que
n
f converge uniformemente para R b a g ] , [ : . Suponhamos ainda que existe um
ponto ] , [ b a c tal que a sequncia numrica )) ( ( c f
n
converge. Ento, ) (
n
f converge
uniformemente para uma funo f , que derivvel e, alm disso, g f = . Ou seja,
) ( lim ) lim ( =
+ +
n
n
n
n
f f .
Demonstrao
Pelo teorema fundamental do clculo, para cada N n e ] , [ b a x , temos que
+ =
x
c
n n n
dt t f c f x f ) ( ) ( ) (
.
Considerando o limite quando n tender ao infinito, segue do teorema 8.11 que existe
+ = =
+
t
c
n
n
dt t g c f x f x f ) ( ) ( ) ( lim ) ( .
E pelo teorema 8.7, g contnua. Aplicando mais uma vez o teorema fundamental do
clculo, segue que f derivvel e ] , [ ), ( ) ( b a x x g x f = . Provaremos agora que ) (
n
f
converge uniformemente para f . Como
+ + =
x
c
n n
x
c
x
c
n n n
dt t g t f c f c f dt t g dt t f c f c f x f x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( .
180
Como ) (
n
f converge uniformemente para g , segue que ) (
n
f converge uniformemente para
f .
Observao 8.14
A condio da convergncia uniforme da sequncia de derivadas uma condio necessria
no teorema, pois a sequncia
n
nx sen
x f
n
= ) ( , por exemplo, converge uniformemente para
zero; no entanto, nx x f
n
cos ) ( = nem sequer converge.
Aula 2 - Sries de funes e sries de potncias
Objetivos
Ao final desta aula, voc ser capaz de:
demonstrar que uma determinada srie de funes converge uniformemente e
absolutamente;
usar os testes de DAlembert ou de Cauchy, para encontar o intervalo de
convergncia de determinadas sries de potncias;
encontrar uma funo, representada por uma determinada srie de potncias;
181
encontrar uma representao de uma funo, por srie de potncias, em um
determinado intervalo.
Sries de funes
Os conceitos de convergncia simples e de convergncia uniforme de sequncias se estendem
de maneira natural para sries, sendo estas interpretadas como sequncias das reduzidas ou
somas parciais. Desse modo, a convergncia uniforme de uma srie de funes
L + + =
=
) ( ) ( ) (
2 1
1
x f x f x f
n
n
significa a convergncia uniforme da sequncia de somas parciais, ou reduzidas de ordem n ,
) ( ) ( ) ( ) (
2 1
x f x f x f x S
n n
+ + + = L .
Quando dizemos que uma srie de funes
) (x f
n
converge uniformemente em um
domnio D para uma soma ) (x f significa dizer que, dado 0 > , existe N n
0
, tal que
>
0
n n < =
+ = = 1 1
) ( ) ( ) (
n j
j
n
j
j
x f x f x f .
A seguir, como em vila (1999), enunciaremos resultados vistos nesta Unidade, adaptados
para os correspondentes s sries de funes, a saber:
182
Teorema 8.15 (Critrio de Cauchy)
Uma condio necessria e suficiente para que uma srie
) (x f
n
de funes com o mesmo
domnio D seja convergente que, dado 0 > exista N n
0
, tal que
>
0
n n < + + +
+ + +
) ( ) ( ) (
2 1
x f x f x f
p n n n
L , para todo D x e qualquer inteiro positivo
p .
Teorema 8.16
Seja
) (x f
n
uma srie de funes contnuas que converge uniformemente em um intervalo
[a,b] para uma funo R b a f ] , [ : . Ento, f uma funo contnua e pode ser integrada
termo a termo.
Teorema 8.17 (Dini)
Se
n
f uma srie cujos termos so funes contnuas definidas em um conjunto compacto
D, que converge monotonamente para uma funo contnua
= ) ( ) ( x f x f
n
, ento essa srie
converge uniformemente em D.
Teorema 8.18
Uma srie de funes integrveis em um intervalo [a,b] que converge uniformemente nesse
intervalo tem por soma uma funo integrvel e
=
=
1 1
) ( ) (
n
b
a
n
b
a
n
n
dx x f dx x f .
183
Teorema 8.19
Se uma dada srie
) (x f
n
tal que a srie das derivadas
) (x f
n
converge uniformemente
em um intervalo, e se a srie original converge em um ponto desse intervalo, ento sua soma
f
derivvel nesse intervalo e a derivada de f
pode ser feita derivando termo a termo a
srie dada.
A seguir, enunciaremos um resultado conhecido como teste M de Weierstrass, que muito
til para verificar se uma dada srie de funes converge uniformemente.
Teorema 8.20
Seja
=1 n
n
f uma srie funes ) , 2 , 1 ( : L = n R D f
n
. Suponha que
D x M x f
n n
, ) ( e <
=1 n
n
M .
Ento,
=1 n
n
f converge uniformemente e absolutamente.
Exerccio 8.21
Usando o teorema 8.20, demonstre que as sries a seguir convergem uniformemente e
absolutamente.
a)
=
+
1
2 2
1
n
x n
;
b)
=
+
>
1
1
0 ,
n
n
nx sen
.
184
Sries de potncias
Nesta seo, trataremos das sries de potncias e das funes que podem ser expressas por
meio dessas sries.
Uma srie de potencias uma expresso do tipo
=
0
) (
n
n
n
a x a , onde
n
a
so nmeros reais,
N n . Os nmeros
n
a so chamados coeficientes da srie.
Para simplificar a notao, trataremos do caso em que 0 = a , ou seja, as sries da forma
=0 n
n
n
x a . O caso geral reduz-se a este por meio da mudana de varivel a x y = . E os
resultados obtidos para essas ltimas sries podem ser adaptados facilmente para as primeiras
sries.
importante percebermos que, fixado x , a srie
=0 n
n
n
x a uma srie numrica e, portanto,
podemos questionar se a mesma converge ou no. E, para respondermos a essa pergunta,
usamos a teoria estudada na Unidade 3.
A partir de agora, procederemos no sentido de respondermos s seguintes perguntas com
relao srie
=0 n
n
n
x a :
1) para que valores reais de x a srie converge?
185
2) Quais funes ) (x f
podem ser expressas por meio de uma srie de potncias; ou seja,
pela forma
=
=
0
) (
n
n
n
x a x f ?
No sentido de responder primeira pergunta, claro que para 0 = x a srie de potncias
converge para zero. A seguir, temos um resultado relacionado convergncia dessas sries
para outros valores de x .
Teorema 8.22
Dada uma srie de potncias
n
n
x a , temos duas possibilidades:
a) ou a srie converge apenas para 0 = x ,
b) ou existe r , com + < r 0 , tal que a srie converge absolutamente no intervalo aberto
) , ( r r
e, quando + < < r 0 , diverge fora do intervalo fechado ] , [ r r . Quando
+ < < r 0 , nos extremos r e r , a srie pode convergir ou divergir.
O nmero r que aparece no item (b) do teorema chama-se raio de convergncia da srie. O
conjunto dos valores de x para os quais a srie de potncias
n
n
x a converge, quando
+ < < r 0 , um intervalo da forma ) , ( r r , ] , ( r r , ) , [ r r ou ] , [ r r . E, chamado
intervalo de convergncia da srie. Quando + = r , o intervalo de convergncia ser
) , ( + .
Nossa principal pergunta agora : como encontrar o intervalo de convergncia de uma srie
de potncias?
186
A fim de solucionarmos esse problema, utilizamos o teste de Cauchy ou o teste de
dAlembert, vistos na Unidade 3:
Dada a srie de potncias
n
n
x a , podemos calcular o raio de convergncia r de duas
formas:
1) como
L
r
1
=
se existir 0 lim > =
+
n
n
n
a L , ou
2) como
L
r
1
=
se existir 0 lim
1
> =
+
+
n
n
n
a
a
L , para as sries, tais que, N n a
n
, 0 .
Quando 0 = L , o raio de convergncia ser + = r .
Exerccios 8.23
Usando os testes de dAlembert ou de Cauchy, encontre o intervalo de convergncia de cada
uma das sries a seguir.
a)
=0
!
n
n
n
x
b)
=
+
+
0
1 2
1 2
) 1 (
n
n n
n
x
c)
1
) 1 (
n
n n
n
x
d)
=1 n
n
n
x
Para responder segunda pergunta feita no incio desta seo, iniciamos com algumas
consideraes, que passaremos a apresentar.
187
Uma srie de potncias
n
n
x a define uma funo ) (x f
cujo domnio o intervalo de
convergncia da srie. Mais especificamente, para cada x nesse intervalo, temos que
=
=
0
) (
n
n
n
x a x f . Nesse caso, dizemos que a srie
=0 n
n
n
x a uma representao de ) (x f
por
meio de uma srie de potncias, ou que ) (x f
representada pela srie de potncias.
Exemplo 8.24
A funo
x
x f
=
1
1
) ( representada pela srie geomtrica
=0 n
n
x , para 1 , < x R x , pois a
srie geomtrica
=0 n
n
x converge nesse intervalo para
x 1
1
. Ou seja,
=
=
0
1
1
n
n
x
x
, para
1 , < x R x .
Exerccio 8.25
Usando o exemplo anterior, encontre uma funo representada pela srie de potncias
=
0
) 1 (
n
n n
x , para 1 , < x R x .
O resultado a seguir, que no demonstraremos neste texto, estabelece condies suficientes
para que possamos derivar ou integrar termo a termo uma srie de potncias.
188
Teorema 8.26
Suponha que uma srie de potncias
n
n
x a tenha raio de convergncia 0 > r e seja
) (x f uma funo definida por
=
=
0
) (
n
n
n
x a x f , para todo x
no intervalo de convergncia. Se
r x r < < , ento
a) ) (x f derivvel,
=
+ + + + + =
1
1 1 2
3 2 1
3 2 ) (
n
n
n
n
n
x na x na x a x a a x f L L e
b)
=
+
+
+
+
+
+ + + + =
0
1
1 3
2
2
1 0
0
1 1 3 2
) (
n
n n
n
n
x
x
n
a
n
x
a
x
a
x
a x a dt t f L L .
Observao 8.27.
1) As sries em (a) e (b), obtidas por diferenciao e integrao, respectivamente, tm o
mesmo raio de convergncia da srie original
n
n
x a . No entanto, a convergncia nos
extremos do intervalo de convergncia, r x e r x = = , pode se modificar. Nesses casos,
necessrio verificar se as novas sries convergem, mediante os mtodos estudados na
Unidade 3.
189
2) Se r
o raio de convergncia da srie de potncias
n
n
x a , ento a funo
R r r f ) , ( : definida por
=
n
n
x a x f ) ( de classe
C e N k e r r x ) , ( , temos
que
+ =
n
n
k
x a k n n n x f ) 1 ( ) 1 ( ) (
) (
L .
Em particular,
!
) 0 (
) (
k
f
a
k
k
= .
3) Sejam
n
n
x a e
n
n
x b sries de potncias convergentes no intervalo ) , ( r r e
) , ( r r D um conjunto contendo 0 como ponto de acumulao. Se
= D x x b x a
n
n
n
n
, , ento 0 , = n b a
n n
. Esse resultado estabelece a unicidade
da representao em srie de potncias.
4) Quando a srie de potncias
n
n
a x a ) ( tem raio de convergncia 0 > r , dizemos que
ela a srie de Taylor, em torno do ponto a , da funo R r a r a f + ) , ( : definida
por
=
n
n
a x a x f ) ( ) ( . Essa terminologia devido ao fato de que a soma dos 1 + n
termos dessa srie forma o polinmio de Taylor de ordem n de f no ponto a . Quando
0 = a , a srie de Taylor chamada srie de Maclaurin.
190
Observaes 8.28
1) A partir do exerccio 8.23(1) e do teorema 8.26, podemos demonstrar que, para todo
R x ,
L L + + + + + + =
! ! 3 ! 2
1
3 2
n
x x x
x e
n
x
. (8.2)
E, da, obtemos, por exemplo, o nmero real e como uma soma de uma srie convergente de
termos positivos
L L + + + + + + =
!
1
! 3
1
! 2
1
1 1
n
e .
2) Considerando a equao (8.2), podemos encontrar representao por srie de potncias das
funes hiperblicas
2
, , cosh
x
e x senh x
, dentre outras importantes funes. E, a partir do
teorema 8.26, calcular suas respectivas integrais.
Exerccio 8.29
1) A partir da funo encontrada no exerccio 8.25 e usando o teorema 8.26, obtenha uma
representao por srie de potncias da funo
2
) 1 (
1
) (
x
x g
+
= , para 1 , < x R x .
2)
a) Encontre uma representao em srie de potncias para a funo ) 1 ln( ) ( x x h + = , se
1 , < x R x .
b) Use o item (a) para calcular ) 1 , 1 ln( .
3) Encontre uma representao por srie de potncias para a funo x arctg , para
1 , < x R x .
191
.
192
PARA FINAL DE CONVERSA...
Que bom que voc chegou ao final desta disciplina. Esta chegada fruto de sua vontade,
dedicao e persistncia. Sabemos que no foi fcil esta caminhada.
Certamente, ao cursar esta disciplina, voc revisou vrios contedos e adqueriu novos
conhecimentos, que sero indispensveis para voc continuar os estudos em Matemtica,
alm de proporcionar a voc mais autoconfiana em sua vida profissional.
Queremos destacar que nosso objetivo ao longo desses 60 dias no foi esgotar o estudo dos
contedos abordados, o que seria uma tarefa impossvel, mas proporcionar a voc
conhecimentos fundamentais, para estudar novas disciplinas, tanto nesta ps-graduao
quanto em outros estudos que voc desejar realizar na rea de Matemtica.
Esperamos que esta apostila tenha sido agradvel e proveitosa para voc, assim como nos
sentimos ao escrev-la.
Desejamos a voc sucesso em seus estudos. Estamos muito felizes por termos estado com
voc nesta etapa de sua vida.
Cordialmente,
Os autores.
193
.
194
VILA, Geraldo. Introduo anlise matemtica. So Paulo: E. Blcher, 1999. 254p.
BARTLE, Robert Gardner. Elementos de anlise real. Rio de J aneiro: Campus, 1983.
FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Anlise I. Rio de J aneiro: LTC, 1974. 220p.
FLEMMING, Diva Maria; GONALVES, Mirian Buss. Clculo A. So Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de clculo. Rio de J aneiro: LTC, 2002. v. 4.
LIMA, Elon Lages ; INSTITUTO DE MATEMTICA PURA E APLICADA (BRASIL). Anlise
real. Rio de J aneiro: IMPA, 2007. (Coleo matemtica universitria)
LIMA, Elon Lages ; INSTITUTO DE MATEMTICA PURA E APLICADA (BRASIL) Espaos
mtricos. Braslia: IMPA, 1983. 299p. (Projeto Euclides).
SWOKOWSKI, Earl William. Clculo com geometria analtica. Rio de J aneiro: Makron Books,
1994. v. 2.
195
.
.