Função aritmética

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Em teoria dos números, uma função aritmética é uma função f(n) de valor real ou complexa definida sobre o conjunto dos números naturais (i.e. inteiros positivos) que "expressam alguma propriedade aritmética de n.".^[1]

Um exemplo de uma função aritmética é o caráter não-principal (mod 4) definido por

${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right)=\left\{{\begin{array}{cl}0&{\mbox{se }}n{\mbox{ é par}},\\1&{\mbox{se }}n\equiv 1\mod 4,\\-1&{\mbox{se }}n\equiv 3\mod 4.\end{array}}\right.}$     onde ${\displaystyle ({\tfrac {-4}{n}})}$ é o Delta de Kronecker

Para enfatizar que representam elementos da imagem de uma função aritmética - em vez de seqüências - tais valores são normalmente identificados por a(n) ao invés de a_n. Destaque-se que uma sequência é, de fato, uma função, definida como uma regra ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {X} }$, em que ${\displaystyle \mathbb {X} }$ é qualquer subconjunto não vazio de ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Existe uma classe maior de funções em teoria dos números que não se encaixam na definição acima, por exemplo, as funções de contagem de primos. Este artigo fornece ligações para as funções de ambas as classes.

${\displaystyle \sum _{p}f(p)\;}$   e   ${\displaystyle \prod _{p}f(p)\;}$   significa que a soma ou produto envolve a aplicação da função ƒ sobre todos os números primos:

${\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }$     ${\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\ldots .}$

Similarmente,   ${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p)\;}$   e   ${\displaystyle \prod _{p^{k}}f(p)\;}$   significa que a soma ou produto ocorre sobre ƒ aplicada a todas as potências de primos (com expoente positivo, então 1 não é contado):

${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{d|n}f(d)\;}$   e   ${\displaystyle \prod _{d|n}f(p)\;}$   significa que a soma ou produto dá-se sobre todos os divisores positivos de n, incluindo 1 e n. e.g., se n = 12,

${\displaystyle \prod _{d|12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).}$

As notações podem ser combinadas:   ${\displaystyle \sum _{p|n}f(p)\;}$   e   ${\displaystyle \prod _{p|n}f(p)\;}$   significa que a soma ou produto ocorre sobre todos os divisores primos de n. e.g., se n = 18,

${\displaystyle \sum _{p|18}f(p)=f(2)+f(3),}$

e similarmente   ${\displaystyle \sum _{p^{k}|n}f(p^{k})\;}$   e   ${\displaystyle \prod _{p^{k}|n}f(p^{k})\;}$   significa que a soma ou produto abarca as potências de primos dividindo n. Por exemplo, caso seja n = 24,

${\displaystyle \prod _{p^{k}|24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).}$

Uma função aritmética a é

• Função completamente aditiva se a(mn) = a(m) + a(n) para todos os números naturais m e n;

• Função completamente multiplicativa se a(mn) = a(m)a(n) para todos os números naturais m e n;

Dois números inteiros m e n são chamados coprimos se seu máximo divisor comum é 1; i.e., se não há número primo que divida ambos.

Então uma função aritmética a é

• aditiva se a(mn) = a(m) + a(n) para todos os números naturais coprimos m e n;

• multiplicativa se a(mn) = a(m)a(n) para todos os números naturais coprimos m e n.

O teorema fundamental da aritmética estabelece que qualquer inteiro positivo n pode ser fatorado unicamente como um produto de potências de primos:   ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\ldots p_{k}^{a_{k}}}$   onde p₁ < p₂ < ... < p_k são primos e a_j são inteiros positivos. (1 é dado pelo produto vazio.)

É frequentemente conveniente escrever isto como um produto infinito sobre todos os primos, onde todos mas um número finito tem um expoente zero. Define-se ν_p(n) como o expoente da mais alta potência do primo p que divide n. I.e. se p é um dos p_i então ν_p(n) = a_i, caso contrário, é zero. Então

${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}$

Em termos do acima as funções ω e Ω são definidas por

ω(n) = k,

Ω(n) = a₁ + a₂ + ... + a_k.

Para evitar repetição, sempre que possível, as fórmulas para as funções listadas neste artigo são dadas em termos de n e as correspondentes p_i, a_i, ω, e Ω.

.

σ_k(n) é a soma das k^th potências dos divisores positivos de n, incluindo 1 e n, onde k é um número complexo.

σ₁(n), a soma dos dividores (positivos) de n, é normalmente notada por σ(n).

Já que um número positivo levado à potência zero é um, σ₀(n) é consequentemente o número de dividores (positivos) de n; é normalmente notado por d(n) or τ(n) (do alemão Teiler = divisores).

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}).}$

Fazendo k = 0 no segundo produto temos

${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\ldots (1+a_{\omega (n)}).}$

φ(n), a função totiente de Euler, é o número de inteiros positivos não maiores que n que são coprimos a n.

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$

J_k(n), a Função totiente de Jordan, é o número de k-tuplas de números inteiros positivos menores ou iguais a n que formam uma (k + 1)-tupla de números co-primos com n. É uma generalização da função totiente de Euler, φ(n) = J₁(n).

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$

μ(n), a função de Möbius, é importante por causa da fórmula da inversão de Möbius. Ver convolução de Dirichlet, abaixo.

${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$

Isto implica que μ(1) = 1. (Porque Ω(1) = ω(1) = 0.)

τ(n), a função tau de Ramanujan, é definida por sua identidade da função geradora:

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$

Embora seja difícil dizer exatamente o que "propriedade aritmética de n" "expressa",^[2] (τ(n) é (2π)⁻¹² vezes o coeficiente de Fourier n^th na expansão q da forma modular da função discriminant modular)^[3] que seja incluída entre as funções aritméticas, porque é multiplicativa e ocorre em identidades envolvendo certas funções σ_k(n) e r_k(n) (porque estas são também coeficientes na expansão das formas modulares).

c_q(n), Função soma de Ramanujan. É a soma das n-ésimas potências da q-ésima raiz da unidade:

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$

Mesmo que seja definido como uma soma de números complexos (irracionais para a maioria dos valores de q), é um número inteiro. Para um valor fixo de n multiplicativo em q:

Se q e r são coprimos, ${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).\;}$

Muitas das funções mencionadas neste artigo tem expansões como séries envolvendo estas somas; veja o artigo soma de Ramanujan para exemplos.

λ(n), a função de Liouville é definida por

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.\;}$

Todos os caráteres de Dirichlet χ(n) são completamente multiplicativos. Um exemplo é o caráter não-principal (mod 4) definido na introdução. dois caráteres possuem notações especiais:

A notação do caráter principal (mod n) é χ₀(a) (ou χ₁(a)). É definido como

${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\mbox{se }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\mbox{se }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$

A notação do caráter quadrático (mod n) é o símbolo de Jacobi para ímpares n (não é definido para n par.):

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$

Na fórmula ${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$ é o símbolo de Legendre, definido para todos os inteiros a e todos os primos ímpares p

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\mbox{ se }}a\equiv 0{\pmod {p}}\\+1{\mbox{ se }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\mbox{ e para algum inteiro }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1{\mbox{ se não existe tal }}x.\end{cases}}}$

Seguindo a convenção para o produto ter sentido, ${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

Referências

1. ↑ Hardy & Wright, introdução ao capítulo XVI
2. ↑ Hardy, Ramanujan, § 10.2
3. ↑ Apostol, Modular Functions ..., § 1.15, Ch. 4, e ch. 6

• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715

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