Difusão de Itō

Em matemática, especificamente em análise estocástica, uma difusão de Itō é uma solução para um tipo específico de equação diferencial estocástica. Esta equação é semelhante à equação de Langevin usada em física para descrever o movimento browniano de uma partícula sujeita a um potencial em um fluido viscoso. As difusões de Itō recebem este nome em homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Itō.^[1]

Uma difusão de Itō homogênea em tempo em um espaço euclidiano de ${\displaystyle n}$ dimensões ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é um processo ${\displaystyle X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ definido em um espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ e que satisfaz uma equação diferencial estocástica da forma:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\mathrm {d} B_{t},}$

em que ${\displaystyle B}$ é um movimento browniano de ${\displaystyle m}$ dimensões e ${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n\times m}}$ satisfazem a condição de continuidade de Lipschitz usual:

${\displaystyle |b(x)-b(y)|+|\sigma (x)-\sigma (y)|\leq C|x-y|}$

para alguma constante ${\displaystyle C}$ e todo ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$.^[2] Esta condição garante a existência de uma única solução forte ${\displaystyle X}$ à equação diferencial estocástica dada acima. O campo vetorial ${\displaystyle b}$ é conhecido como coeficiente de deriva de ${\displaystyle X}$. O campo tensorial ${\displaystyle \sigma }$ é conhecido como o coeficiente de difusão de ${\displaystyle X}$. É importante notar que ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle \sigma }$ não dependem do tempo. Se dependessem do tempo, ${\displaystyle X}$ seria apenas considerado um processo de Itō, não uma difusão. Difusões de Itō têm uma série de propriedades importantes, que incluem:

• a continuidade amostral e a continuidade de Feller;
• a propriedade de Markov;
• a propriedade forte de Markov;
• a existência de um gerador infinitesimal;
• a existência de um operador característico;
• a fórmula de Dynkin.

Em particular, uma difusão de Itō é um processo contínuo e fortemente markoviano de tal modo que o domínio de seu operador característico inclui todas as funções dupla e continuamente diferenciáveis, sendo uma difusão no sentido definido pelo matemático soviético-americano Eugene Dynkin.

Um difusão de Itō ${\displaystyle X}$ é um processo contínuo amostral, isto é, para quase todas as realizações ${\displaystyle B_{t}(\omega )}$ do ruído, ${\displaystyle X_{t}(\omega )}$ é uma função contínua do parâmetro de tempo ${\displaystyle t}$. Mais precisamente, há uma "versão contínua" de ${\displaystyle X}$, um processo contínuo ${\displaystyle Y}$ tal que:

${\displaystyle \mathbf {P} [X_{t}=Y_{t}]=1{\mbox{ para todo }}t.}$

Isto se segue da existência padrão e da teoria da unicidade para soluções fortes de equações diferenciais estocásticas.^[3]

Além de ser contínua e amostral, uma difusão de Itō ${\displaystyle X}$ satisfaz o requisito mais forte da continuidade de Feller.

Para um ponto ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, considere que P${\displaystyle ^{x}}$ denota a lei de ${\displaystyle X}$, sendo o dado inicial ${\displaystyle X_{0}=x}$, e considere que ${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}}$denota o valor esperado em relação a P${\displaystyle ^{x}}$.

Considere que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ é uma função mensurável de Borel limitada abaixo e defina, para ${\displaystyle t\geq 0}$ fixo, ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ por:

${\displaystyle u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].}$

• Semicontinuidade inferior: se ${\displaystyle f}$ for semicontínua inferior, então, ${\displaystyle u}$ é semicontínua inferior.
• Continuidade de Feller: se ${\displaystyle f}$ for limitada e contínua, então, ${\displaystyle u}$ é contínua.

O comportamento da função ${\displaystyle u}$ acima quando o tempo ${\displaystyle t}$ é variado foi abordado pela equação regressiva de Kolmogorov, pela equação de Fokker–Planck, entre outras.^[4]

Uma difusão de Itō tem a importante propriedade de ser markoviana: o futuro comportamento de ${\displaystyle X}$, dado o que aconteceu até o tempo ${\displaystyle t}$, é o mesmo como se o processo tivesse sido iniciado na posição ${\displaystyle X_{t}}$ no tempo 0. A formulação matemática precisa desta afirmação exige alguma notação adicional.

Considere que ${\displaystyle \Sigma _{*}}$ denota a filtração natural de ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ gerada pela movimento browniano ${\displaystyle B}$. Para ${\displaystyle t\geq 0}$,

${\displaystyle \Sigma _{t}=\Sigma _{t}^{B}=\sigma \left\{B_{s}^{-1}(A)\subseteq \Omega :0\leq s\leq t,A\subseteq \mathbf {R} ^{n}{\mbox{Borel}}\right\}.}$

É fácil mostrar que ${\displaystyle X}$ é adaptada a ${\displaystyle \Sigma _{*}}$ (isto é, que cada ${\displaystyle X_{t}}$ é ${\displaystyle \Sigma _{t}}$-mensurável), de modo que a filtração natural ${\displaystyle F_{*}=F_{*}^{X}}$ de ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ gerada por ${\displaystyle X}$ tem ${\displaystyle F_{t}\subseteq \Sigma _{t}}$ para cada ${\displaystyle t\geq 0}$. Considere que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ é uma função limitada e mensurável de Borel. Então, para todo ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle h\geq 0}$, o valor esperado condicional condicionado na σ-álgebra ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ e o valor esperado do processo "reiniciado" a partir de ${\displaystyle X_{t}}$ satisfazem a propriedade de Markov:

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}{\big ]}(\omega )=\mathbf {E} ^{X_{t}(\omega )}[f(X_{h})].}$

De fato, ${\displaystyle X}$ é também um processo de Markov no que se refere à filtração ${\displaystyle F_{*}}$, como mostra o que segue:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{aligned}}}$^[5]

A propriedade forte de Markov é uma generalização da propriedade de Markov acima em que ${\displaystyle t}$ é substituído por um tempo aleatório adequado ${\displaystyle T:\Omega \to [0,+\infty ]}$ conhecido como tempo de parada. Então, por exemplo, em vez de "reiniciar" o processo ${\displaystyle X}$ no tempo ${\displaystyle t=1}$, pode-se "reiniciar" quando quer que ${\displaystyle X}$ alcance pela primeira vez algum ponto especificado ${\displaystyle p}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Como antes, considere ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ uma função limitada e mensurável de Borel. Considere ${\displaystyle \tau }$ um tempo de parada no que se refere à filtração ${\displaystyle \Sigma _{*}}$ com ${\displaystyle \tau <+\infty }$ quase certamente. Então, para todo ${\displaystyle h\geq 0}$,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{\tau +h}){\big |}\Sigma _{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\big [}f(X_{h}){\big ]}.}$^[4]

Associado a cada difusão de Itō, há um operador diferencial parcial de segunda ordem conhecido como o gerador de difusão. O gerador é muito útil em muitas aplicações e codifica uma grande quantidade de informação sobre o processo ${\displaystyle X}$. Formalmente, o gerador infinitesimal de uma difusão de Itō ${\displaystyle X}$ é o operador ${\displaystyle A}$, que é definido como agindo em funções adequadas ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ por:

${\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}.}$

O conjunto de todas as funções ${\displaystyle f}$ para as quais este limite existe em um ponto ${\displaystyle x}$ é denotado como ${\displaystyle D_{A}(x)}$, enquanto ${\displaystyle D_{A}}$ denota o conjunto de todas as ${\displaystyle f}$ para as quaIS o limite existe para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$. Pode-se mostrar que qualquer função ${\displaystyle f}$ compactamente suportada ${\displaystyle C^{2}}$ (duplamente diferenciável com segunda derivada contínua) repousa em ${\displaystyle D_{A}}$ e que:

${\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x),}$

ou, em termos de gradiente, escalar e produto interno de Frobenius,

${\displaystyle Af(x)=b(x)\cdot \nabla _{x}f(x)+{\tfrac {1}{2}}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right):\nabla _{x}\nabla _{x}f(x).}$^[3]

O gerador ${\displaystyle A}$ para o movimento browniano ${\displaystyle B}$ padrão de ${\displaystyle n}$ dimensões, que satisfaz a equação diferencial estocástica ${\displaystyle \operatorname {d} X_{t}=\operatorname {d} B_{t}}$, é dado por

${\displaystyle Af(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\delta _{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(x),}$

isto é, ${\displaystyle A=\Delta /2}$, em que ${\displaystyle \Delta }$ denota o operador de Laplace.

O gerador é usado na formulação da equação regressiva de Kolmogorov. Intuitivamente, esta equação diz como o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de ${\displaystyle X}$ evolui no tempo: ele deve resolver uma certa equação diferencial parcial em que o tempo ${\displaystyle t}$ e a posição inicial ${\displaystyle x}$ são variáveis independentes. Mais precisamente, se ${\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$ tiver suporte compacto e ${\displaystyle u:[0;+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ for definida por:

${\displaystyle u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],}$

então, ${\displaystyle u(t,x)}$ é diferenciável no que diz respeito a ${\displaystyle t,u(t,\cdot )\in D_{A}}$ para todo ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle u}$ satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como equação regressiva de Kolmogorov:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Au(t,x),&t>0,x\in \mathbb {R} ^{n};\\u(0,x)=f(x),&x\in \mathbb {R} ^{n}.\end{cases}}}$

A equação de Fokker–Planck (também conhecida como equação progressiva de Kolmogorov) é, em algum sentido, a "adjunta" da equação regressiva e diz como as funções densidade de probabilidade de ${\displaystyle X_{t}}$ evoluem com o tempo ${\displaystyle t}$. Considere que ${\displaystyle \rho (t,\cdot )}$ é a densidade de ${\displaystyle X_{t}}$ no que diz respeito à medida de Lebesgue em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, isto é, para qualquer conjunto mensurável de Borel ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int _{S}\rho (t,x)\mathrm {d} x.}$

Considere que ${\displaystyle A^{*}}$ denota o adjunto hermitiano de ${\displaystyle A}$ (no que diz respeito ao produto interno L²). Então, dado que a posição inicial ${\displaystyle X_{0}}$ tem a densidade prescrita ${\displaystyle \rho _{0}}$, ${\displaystyle \rho (t,x)}$ é diferenciável no que diz respeito a ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \rho (t,\cdot )\in D_{A^{*}}}$ para todo ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle \rho }$ satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como a equação de Fokker–Planck:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial \rho }{\partial t}}(t,x)=A^{*}\rho (t,x),&t>0,x\in \mathbb {R} ^{n};\\\rho (0,x)=\rho _{0}(x),&x\in \mathbb {R} ^{n}.\end{cases}}}$^[6]

A fórmula de Feynman–Kac é uma generalização útil da equação regressiva de Kolmogorov. Novamente, ${\displaystyle f}$ está em ${\displaystyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$ e tem suporte compacto e assume-se que ${\displaystyle q:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ é uma função contínua que é limitada abaixo. Define-se uma função ${\displaystyle v:[0,+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ por:

${\displaystyle v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left(-\int _{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm {d} s\right)f(X_{t})\right].}$

A fórmula de Feynman–Kac afirma que ${\displaystyle v}$ satisfaz a equação diferencial parcial:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}(t,x)=Av(t,x)-q(x)v(t,x),&t>0,x\in \mathbb {R} ^{n};\\v(0,x)=f(x),&x\in \mathbb {R} ^{n}.\end{cases}}}$

Além disso, se ${\displaystyle w:[0,+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ for ${\displaystyle C^{1}}$ em tempo, ${\displaystyle C^{2}}$ em espaço, limitada como ${\displaystyle K\times \mathbb {R} ^{n}}$ para todo ${\displaystyle K}$ compacto e satisfizer a equação diferencial parcial acima, então, ${\displaystyle w}$ deve ser ${\displaystyle v}$ como definida acima.

A equação regressiva de Kolmogorov é o caso especial da fórmula de Feynman–Kac em que ${\displaystyle q(x)=0}$ para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.^[3]

O operador característico de uma difusão de Itō ${\displaystyle X}$ é um operador diferencial parcial intimamente relacionado com o gerador, mas de certa forma mais geral. É mais adequado para certos problemas, por exemplo na solução do problema de Dirichlet.

O operador característico ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ de uma difusão de Itō ${\displaystyle X}$ é definido por:

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}})\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _{U}]}},}$

em que os conjuntos ${\displaystyle U}$ formam uma sequência de conjuntos abertos ${\displaystyle U_{k}}$ que decrescem ao ponto ${\displaystyle x}$ no sentido em que:

${\displaystyle U_{k+1}\subseteq U_{k}{\mbox{ e }}\bigcap _{k=1}^{\infty }U_{k}=\{x\}}$

e

${\displaystyle \tau _{U}=\inf\{t\geq 0\ :\ X_{t}\not \in U\}}$

é o primeiro tempo de saída a partir de ${\displaystyle U}$ para ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle D_{\mathcal {A}}}$ denota o conjunto de todas as ${\displaystyle f}$ para as quais este limite existe para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ e todas as sequências ${\displaystyle \{U_{k}\}}$. Se ${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[\tau _{u}]=+\infty }$ para todos os conjuntos abertos ${\displaystyle U}$ contendo ${\displaystyle x}$, define-se:

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=0.}$^[4]

O operador característico e o gerador infinitesimal estão muito intimamente relacionados e até mesmo concordam para uma grande classe de funções. Pode-se mostrar que:

${\displaystyle D_{A}\subseteq D_{\mathcal {A}}}$

e que

${\displaystyle Af={\mathcal {A}}f{\mbox{ para todo }}f\in D_{A}.}$

Em particular, o gerador e o operador característico concordam para todas as funções ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{2}}$ e nesse caso:

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).}$

Acima, o gerador (e assim o operador característico) do movimento browniano em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ foi calculado como sendo ${\displaystyle \Delta /2}$, em que ${\displaystyle \Delta }$ denota o operador de Laplace. O operador característico é útil ao definir o movimento browniano em uma variedade de Riemann ${\displaystyle (M,g)}$ de ${\displaystyle m}$ dimensões: um movimento browniano em ${\displaystyle M}$ é definido como sendo uma difusão em ${\displaystyle M}$ cujo operador característico ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ em coordenadas locais ${\displaystyle x_{i}}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$, é dado por ${\displaystyle \Delta _{LB}/2}$, em que ${\displaystyle \Delta _{LB}}$ é operador de Laplace–Beltrami dado em coordenadas locais por:

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$

em que ${\displaystyle [g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}}$ no sentido do inverso da matriz quadrada.^[7]

Em geral, o gerador ${\displaystyle A}$ de uma difusão de Itō ${\displaystyle X}$ não é um operador limitado. Entretanto, se um múltiplo positivo do operador identidade ${\displaystyle \mathbf {I} }$ for subtraído a partir de ${\displaystyle A}$, então, o operador resultante é invertível. O inverso deste operador pode ser expresso em termos do próprio ${\displaystyle X}$ usando o operador resolvente.

Para ${\displaystyle \alpha >0}$, o operador resolvente ${\displaystyle R_{\alpha }}$, agindo em funções limitadas, contínuas ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$, é definido como:

${\displaystyle R_{\alpha }g(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}g(X_{t})\,\mathrm {d} t\right].}$

Pode-se mostrar, usando a continuidade de Feller da difusão ${\displaystyle X}$, que ${\displaystyle R_{\alpha }g}$ é ele mesmo uma função limitada, contínua. Também, ${\displaystyle R_{\alpha }}$ e ${\displaystyle \alpha \mathbf {I} -A}$ são operadores mutuamente inversos:

• Se ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ for ${\displaystyle C^{2}}$ com suporte compacto, então, para todo ${\displaystyle \alpha >0}$,

${\displaystyle R_{\alpha }(\alpha \mathbf {I} -A)f=f;}$

• Se ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ for limitada e contínua, então, ${\displaystyle R_{\alpha }g}$ repousa em ${\displaystyle D_{A}}$, para todo ${\displaystyle \alpha >0}$,

${\displaystyle (\alpha \mathbf {I} -A)R_{\alpha }g=g.}$^[3]

Algumas vezes, é necessário encontrar uma medida invariante para uma difusão de Itō ${\displaystyle X}$, isto é, uma medida em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ que não muda sob o "fluxo" de ${\displaystyle X}$, ou seja, se ${\displaystyle X_{0}}$ for distribuída de acordo com tal medida invariante ${\displaystyle \mu _{\infty }}$, então, ${\displaystyle X_{t}}$ é também distribuída de acordo com ${\displaystyle \mu _{\infty }}$ para qualquer ${\displaystyle t\geq 0}$. A equação de Fokker–Planck oferece uma maneira de encontrar tal medida, pelo menos se tiver uma função densidade de probabilidade ${\displaystyle \rho _{\infty }}$: se ${\displaystyle X_{0}}$ for de fato distribuída de acordo com uma medida invariante ${\displaystyle \mu _{\infty }}$ com densidade ${\displaystyle \rho _{\infty }}$, então, a densidade ${\displaystyle \rho (t,\cdot )}$ de ${\displaystyle X_{t}}$ não muda com ${\displaystyle t}$, de modo que ${\displaystyle \rho (t,\cdot )=\rho _{\infty }}$, e então ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ deve resolver a equação diferencial parcial (independente de tempo):

${\displaystyle A^{*}\rho _{\infty }(x)=0,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Isto ilustra uma das conexões entre a análise estocástica e o estudo das equações diferenciais parciais. Reciprocamente, uma dada equação diferencial parcial linear de segunda ordem da forma ${\displaystyle \Lambda f=0}$ pode ser difícil de resolver diretamente, mas se ${\displaystyle \Lambda =A^{*}}$ para alguma difusão de Itō ${\displaystyle X}$ e uma medida invariante para ${\displaystyle X}$ for fácil de computar, então, a densidade daquela medida oferece uma solução para a equação diferencial parcial.

Uma medida invariante é comparativamente fácil de computar quando o processo ${\displaystyle X}$ é um fluxo de gradiente estocástico de forma:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\nabla \Psi (X_{t})\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

em que ${\displaystyle \beta >0}$ desempenha o papel de uma temperatura inversa e ${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ é um potencial escalar que satisfaz a suavidade adequada e as condições de crescimento. Neste caso, a equação de Fokker–Planck tem uma única solução estacionária ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ (isto é, ${\displaystyle X}$ tem uma única medida invariante ${\displaystyle \mu _{\infty }}$ com densidade ${\displaystyle \rho _{\infty }}$) e é dada pela distribuição de Gibbs:

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=Z^{-1}\exp(-\beta \Psi (x)),}$

em que a função de partição ${\displaystyle Z}$ é dada por:

${\displaystyle Z=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-\beta \Psi (x))\,\mathrm {d} x.}$

Além disso, a densidade ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ satisfaz um princípio variacional: isto minimiza sobre todas as densidades de probabilidade ${\displaystyle \rho }$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a energia livre funcional ${\displaystyle F}$ dada por:

${\displaystyle F[\rho ]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],}$

em que

${\displaystyle E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x}$

desempenha o papel de uma energia funcional e

${\displaystyle S[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho (x)\log \rho (x)\,\mathrm {d} x}$

é a negativa da funcional de entropia de Gibbs–Boltzmann. Mesmo quando o potencial ${\displaystyle \Psi }$ não é bem comportado o bastante para a função de partição ${\displaystyle Z}$ e a medida de Gibbs ${\displaystyle \mu _{\infty }}$ a serem definidas, a energia livre ${\displaystyle F[\rho (t,\cdot )]}$ ainda faz sentido para cada tempo ${\displaystyle t\geq 0}$, desde que a condição inicial tenha ${\displaystyle F[\rho (0,\cdot )]<+\infty }$. A energia livre funcional ${\displaystyle F}$ é, na verdade, uma função de Lyapunov para a equação de Fokker–Planck: ${\displaystyle F[\rho (t,\cdot )]}$ pode decrescer conforme ${\displaystyle t}$ aumenta. Assim, ${\displaystyle F}$ é uma função H para a dinâmica X.^[8]

Considere o processo Ornstein–Uhlenbeck ${\displaystyle X}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ que satisfaz a equação diferencial estocástica:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\kappa (X_{t}-m)\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

em que ${\displaystyle m\in \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle \beta ,\kappa >0}$ são constantes dadas. Neste caso, o potencial ${\displaystyle \Psi }$ é dado por:

${\displaystyle \Psi (x)={\tfrac {1}{2}}\kappa |x-m|^{2},}$

e, então, a medida invariante para ${\displaystyle X}$ é uma medida gaussiana com densidade ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ dada por:

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=\left({\frac {\beta \kappa }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\exp \left(-{\frac {\beta \kappa |x-m|^{2}}{2}}\right).}$

Heuristicamente, para um ${\displaystyle t}$ grande, ${\displaystyle X_{t}}$ é aproximadamente normalmente distribuída com média ${\displaystyle m}$ e variância ${\displaystyle (\beta \kappa )^{-1}}$. A expressão para a variância pode ser interpretada como se segue: grandes valores de ${\displaystyle \kappa }$ significam que o poço de potencial ${\displaystyle \Psi }$ tem "lados muito íngremes", de modo que é improvável que ${\displaystyle X_{t}}$ se mova para longe do mínimo de ${\displaystyle \Psi }$ em ${\displaystyle m}$; de forma semelhante, grandes valores de ${\displaystyle \beta }$ significam que o sistema é muito "frio" com pouco ruído, de modo que, novamente, é improvável que ${\displaystyle X_{t}}$ se mova para longe de ${\displaystyle m}$.

Em geral, uma difusão de Itō não é um martingale. Entretanto, para qualquer ${\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2};\mathbb {R} )}$ com suporte compacto, o processo ${\displaystyle M:[0,+\infty )\times \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ definido por:

${\displaystyle M_{t}=f(X_{t})-\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s,}$

em que ${\displaystyle A}$ é o gerador de ${\displaystyle X}$, é um martingale no que diz respeito à filtração natural ${\displaystyle F_{*}}$ de ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ por ${\displaystyle X}$. A prova é simples: segue-se da expressão usual da ação do gerador em funções ${\displaystyle f}$ suficientemente suaves e do lema de Itō (a regra da cadeia estocástica) que:

${\displaystyle f(X_{t})=f(x)+\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\nabla f(X_{s})^{\top }\sigma (X_{s})\,\mathrm {d} B_{s}.}$

Já que as integrais de Itō são martingales no que diz respeito à filtração natural ${\displaystyle F_{*}}$ de ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ por ${\displaystyle B}$, para ${\displaystyle t>s}$,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}=M_{s}.}$

Assim, como exigido,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[M_{t}|F_{s}]=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}{\big |}F_{s}\right]=\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{s}{\big |}F_{s}{\big ]}=M_{s},}$

já que ${\displaystyle M_{s}}$ é ${\displaystyle F_{s}}$-mensurável.

A fórmula de Dynkin, que recebe este nome em homenagem ao matemático russo-americano Eugene Dynkin, dá o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de uma difusão de Itō ${\displaystyle X}$ (com gerador ${\displaystyle A}$) em um tempo de parada. Precisamente, se ${\displaystyle \tau }$ for um tempo de parada com ${\displaystyle \mathbf {E} [\tau ]<+\infty }$ e se ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ for ${\displaystyle C^{2}}$ com suporte compacto, então:

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

A fórmula de Dynkin pode ser usada para calcular muitas estatísticas úteis de tempos de parada. Por exemplo, o movimento browniano canônico na reta real começando em 0 sai do intervalo ${\displaystyle (-R,+R)}$ em um tempo aleatório ${\displaystyle \tau _{R}}$ com valor esperado:

${\displaystyle \mathbf {E} ^{0}[\tau _{R}]=R^{2}.}$

A fórmula de Dynkin oferece informação sobre o comportamento de ${\displaystyle X}$ em um tempo de parada razoavelmente geral. Para mais informações sobre a distribuição de ${\displaystyle X}$ em um tempo de chegada, pode-se estudar a medida harmônica do processo.^[9]

Em muitas situações, é suficiente saber quando uma difusão de Itō ${\displaystyle X}$ deixará pela primeira vez um conjunto mensurável ${\displaystyle H\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, isto é, estudar o primeiro tempo de saída:

${\displaystyle \tau _{H}(\omega )=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in H\}.}$

Algumas vezes, entretanto, pode-se querer saber a distribuição dos pontos nos quais ${\displaystyle X}$ deixa o conjunto. Por exemplo, o movimento browniano canônico ${\displaystyle B}$ na reta real começando em 0 deixa o intervalo ${\displaystyle (-1,1)}$ em -1 com probabilidade ${\displaystyle 1/2}$ e em 1 com probabilidade ${\displaystyle 1/2}$, de modo que ${\displaystyle B_{\tau _{(-1,1)}}}$ é uniformemente distribuído no conjunto ${\displaystyle \{-1,1\}}$ Em geral, se ${\displaystyle G}$ for compactamente encaixado em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, então, a medida harmônica (ou distribuição de chegada) de ${\displaystyle X}$ na fronteira ${\displaystyle \partial G}$ de ${\displaystyle G}$ é a medida ${\displaystyle \mu _{G}^{x}}$ definida por:

${\displaystyle \mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}\left[X_{\tau _{G}}\in F\right]}$

para ${\displaystyle x\in G}$ e ${\displaystyle F\subseteq \partial G}$.

Retornando ao exemplo anterior do movimento browniano, pode-se mostrar que, se ${\displaystyle B}$ for um movimento browniano em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ começando em ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ for uma bola aberta centrada em ${\displaystyle x}$, então, a medida harmônica de ${\displaystyle B}$ em ${\displaystyle \partial D}$ é invariante sob todas as rotações de ${\displaystyle D}$ sobre ${\displaystyle x}$ e coincide com a medida de superfície normalizada em ${\displaystyle \partial D}$.

A medida harmônica satisfaz uma interessante propriedade de valor médio: se ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ for qualquer função limitada e mensurável de Borel e ${\displaystyle \varphi }$ for dado por:

${\displaystyle \varphi (x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{H}})\right],}$

então, para todos os conjuntos de Borel ${\displaystyle G\subset \subset H}$ e todo ${\displaystyle x\in G}$,

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\partial G}\varphi (y)\,\mathrm {d} \mu _{G}^{x}(y).}$

A propriedade de valor médio é muito útil na solução de equações diferenciais parciais usando processos estocásticos.^[10]

Considere ${\displaystyle A}$ um operador diferencial parcial em um domínio ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ e considere ${\displaystyle X}$ uma difusão de Itō com ${\displaystyle A}$ como seu gerador. Intuitivamente, a medida de Green de um conjunto de Borel ${\displaystyle H}$ é o comprimento esperado do tempo em que ${\displaystyle X}$ permanece em ${\displaystyle H}$ antes de deixar o domínio ${\displaystyle D}$. Em outras palavras, a medida de Green de ${\displaystyle X}$ no que diz respeito a ${\displaystyle D}$ em ${\displaystyle x}$, denotada ${\displaystyle G(x,\cdot )}$, é definida para conjuntos de Borel ${\displaystyle H\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ por:

${\displaystyle G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],}$

ou para funções limitadas, contínuas ${\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} }$, por:

${\displaystyle \int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

A nome "medida de Green" vem do fato de que, se ${\displaystyle X}$ for um movimento browniano, então:

${\displaystyle G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,}$

em que ${\displaystyle G(x,y)}$ é a função de Green para o operador ${\displaystyle \Delta /2}$ no domínio ${\displaystyle D}$. Suponha que ${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[\tau _{D}]<+\infty }$ para todo ${\displaystyle x\in D}$. Então, a fórmula de Green se aplica para toda ${\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2};\mathbb {R} )}$ com suporte compacto:

${\displaystyle f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau _{D}}\right)\right]-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

Em particular, se o suporte de ${\displaystyle f}$ for compactamente encaixado em ${\displaystyle D}$,

${\displaystyle f(x)=-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$^[1][4]