Teoria liczb

Główne działy teorii liczb to^[7]:

• elementarna teoria liczb,
• algebraiczna teoria liczb,
• analityczna teoria liczb,
  • multiplikatywna teoria liczb^[8],
  • addytywna teoria liczb^[9],
• geometryczna teoria liczb,
• probabilistyczna teoria liczb,
• kombinatoryczna teoria liczb^[10],
• teoria sit.

Elementarna teoria liczb jest jej najstarszym działem; nie stosuje się w niej metod teorii funkcji analitycznych^[11], jednakże w analitycznej teorii liczb stosuje się czasem metody elementarne^[11][12]. Do najważniejszych osiągnięć metod elementarnych teorii liczb należą dowody Erdősa i Selberga twierdzenia o dystrybucji liczb pierwszych (ich dowody były niezależne, ale oba oparte na lemacie Selberga)^[12]. Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, algebraicznych (całkowitych i wymiernych) oraz (od niedawna) liczb p-adycznych^[13].

Według Iwańca i Kowalskiego, jako kryterium stosowane do tego, aby dane zagadnienie z teorii liczb można było zakwalifikować do analitycznej teorii liczb jest to, czy wykorzystuje się w nim analizę zespoloną. Zamienne, jako kryterium można również uznać występowanie analizy harmonicznej. Przez długi czas prace z analitycznej teorii liczb wykorzystywały jedynie abelową analizę harmoniczną (dot. grup przemiennych). Współcześnie częściej wykorzystuje się również funkcje automorficzne. Nowe metody wywodzą się m.in. z analizy spektralnej i wyników Maassa czy Selberga^[11].

Geometryczna teoria liczb korzysta z geometrii do badania liczb algebraicznych. Pierścień algebraicznych liczb całkowitych utożsamia się ze zbiorem punktów kratowych w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ^[14]. Pierwsze prace z tej dziedziny zostały napisane przez Hermanna Minkowskiego^[15].

Probabilistyczna teoria liczb korzysta z metod probabilistycznych do analizy zagadnień teorii liczb^[16]. W szczególności, jest to np. centralne twierdzenie graniczne^[17]. Przykładowo, Soundararajan i Radziwiłł korzystają z niego dla badania wartości logarytmu zespolonego funkcji zeta na linii krytycznej ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ ^[18].

Kombinatoryczna teoria liczb korzysta w swoich badaniach z wyników teorii liczb, kombinatoryki, analizy harmonicznej i teorii ergodycznej. Przykładowo, twierdzenie Greena-Tao wykorzystuje twierdzenie Szemerédiego zmodyfikowane dla liczb pierwszych^[19][20].

Niektórych gałęzi teorii liczb nie można jednoznacznie zaklasyfikować do danego działu, metody mogą się między nimi przeplatać. Przykładem może być teoria sit, która korzysta przede wszystkim z twierdzeń elementarnych, ale bywa nazywana poddziedziną analitycznej teorii liczb, ponieważ korzysta z części jej wyników. Dodatkowo, w ostatnich pracach naukowych metody sit bywają często przeplatane z metodami analitycznej teorii liczb lub innych dziedzin^[21].

 

Początki teorii liczb sięgają starożytności; przykładowo starożytni mieszkańcy Mezopotamii oraz Egiptu mogli rozważać problem trójek pitagorejskich^{[potrzebny przypis]}. Największe postępy w tej dziedzinie zrobiła jednak kultura starogrecka. Odnotowano serię postępów na przestrzeni niecałego tysiąclecia, od okresu klasycznego do czasów cesarskiego panowania rzymskiego:

• Pitagorejczycy opisali:
  • liczby niewymierne na przykładzie pierwiastka kwadratowego z dwójki;
  • liczby zaprzyjaźnione;
• o niewymierności pierwiastków z liczb naturalnych pisał też potem Teodor z Cyreny;
• Euklides z Aleksandrii w dziele Elementy wyłożył:
  • algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika,
  • dowód, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych^[1];
  • zasadnicze twierdzenie arytmetyki oparte na lemacie Euklidesa;
  • sposób znajdowania niektórych liczb doskonałych;
• Eratostenesowi przypisuje się metodę znajdowania liczb pierwszych: sito Eratostenesa;
• Diofantos został upamiętniony nazwą równań diofantycznych^[1].

Teorią liczb mógł się zajmować także Archimedes, ale raczej marginesowo; nowe odkrycia historyczne mogą ten pogląd zmienić^{[potrzebny przypis]}.

Równolegle rozwijano matematykę w Indiach, w sposób komplementarny do tego greckiego i znaczący dla teorii liczb. Systemy pozycyjne uprościły wiele obliczeń i pozwoliły na sformułowanie cech podzielności liczb całkowitych. Matematycy chińscy rozważali za to układy kongruencji, na temat których udowodnili chińskie twierdzenie o resztach. Uczeni arabscy mieli w tę dziedzinę ograniczony wkład – w matematyce skupili się na trygonometrii i algebrze^[22], choć ta druga dziedzina później wpłynęła na rozwój teorii liczb.

W XIII-wiecznych Włoszech kupiec Leonardo Fibonacci podał jedną z metod generowania trójek pitagorejskich, a oprócz tego opisał ciąg Fibonacciego, również istotny z punktu widzenia teorii liczb. Problem nieskończoności liczb pierwszych w tym ciągu w lutym 2022 pozostaje otwarty.

 

XVII wiek to umowny początek nowożytnej teorii liczb i jej statusu samodzielnej nauki^[22]. Rozwijał ją wtedy Pierre de Fermat i miał w tej dziedzinie co najmniej pięć znaczących osiągnięć:

• małe twierdzenie Fermata^[1], na którym opiera się m.in. test pierwszości Fermata;
• hipoteza zwana Wielkim Twierdzeniem Fermata, udowodniona potem w XX wieku^[1];
• badania liczb Fermata; wysunął hipotezę, że wszystkie z nich są liczbami pierwszymi. Leonhard Euler obalił ją kontrprzykładem, a do tej pory (luty 2022) nie znaleziono żadnego dalszego przykładu liczby pierwszej Fermata. Jest to sugestia, że prawdziwe może być twierdzenie przeciwne – brak liczb pierwszych Fermata dalszych niż te, które sam znalazł;
• twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów;
• algorytm Fermata faktoryzacji liczb całkowitych.

W tym samym stuleciu:

• Marin Mersenne badał pewien ciąg liczbowy, nazwany potem liczbami Mersenne’a. Znalazł w nim nowe liczby pierwsze; w dalszych stuleciach znajdowano w nim jeszcze więcej takich liczb, co prowadzi do pytania, czy jest ich nieskończenie wiele. Znaleziono też związek liczb pierwszych Mersenne’a z rozważanymi od starożytności liczbami doskonałymi^[23];
• John Pell rozważał także pewne kwadratowe równanie diofantyczne nazwane potem od jego nazwiska (równanie Pella). Zrobił to jako pierwszy w Europie, choć już tysiąclecie wcześniej badali je matematycy indyjscy^{[potrzebny przypis]}.

XVII wiek to także narodziny nowych dziedzin matematyki, które okazały się istotne dla teorii liczb:

• geometria analityczna dała nową, graficzną perspektywę na pewne fakty i problemy. Przykładowo rozwiązania równań diofantycznych to punkty kratowe odpowiednich krzywych itp. figur w kartezjańskim układzie współrzędnych; trójki pitagorejskie odpowiadają punktom kratowym okręgów o całkowitym promieniu. Geometria analityczna jest też korzeniem geometrii algebraicznej, blisko związanej z teorią liczb;
• analiza poszerzyła zakres badań arytmetyki i jej metody. Wprowadzona tam podstawa logarytmu naturalnego (e) stała się przedmiotem dociekań, a nowe tożsamości związane z liczbą pi (π) pozwoliły potem udowodnić jej niewymierność. Związki teorii liczb z analizą zacieśniły się później w XIX wieku;
• probabilistyka dostarczyła teorii liczb nowych metod^[1], m.in. algorytmów^{[potrzebny przypis]}.

 

W XVIII wieku Leonhard Euler – jak wspomniano wyżej – obalił hipotezę Fermata o liczbach nazwanych jego nazwiskiem^[23]. Oprócz tego Euler:

• uogólnił małe twierdzenie Fermata na inne dzielniki (moduły), niekoniecznie pierwsze;
• podał rekordowo dużą liczbę pierwszą;
• w 1744 udowodnił, że suma odwrotności liczb pierwszych jest nieskończona (jest to szereg rozbieżny)^[24]; rozszerzył tym znany wcześniej fakt o nieskończoności liczb pierwszych;
• wykazał, że każda parzysta liczba doskonała ma związek z liczbami pierwszymi Mersenne’a^[23];
• udowodnił, że podstawa logarytmu naturalnego (e) jest niewymierna. Był to pierwszy dowód niewymierności od czasów starożytnych^{[potrzebny przypis]};
• wprowadził stałą nazywaną od jego nazwiska, co zrobił potem niezależnie Lorenzo Mascheroni. Wymierność stałej γ była potem długo badana przez matematyków, a w lutym 2022 roku pozostaje to problem otwarty;
• wysunął pewną hipotezę o sumach potęg, jednak obalono ją w XX wieku metodami komputerowymi^{[potrzebny przypis]}.

Postępy poczynili też inni matematycy:

• W 1719 roku Paul Halcke podał pierwszy przykład cegiełki Eulera, tj. prostopadłościanu o całkowitych krawędziach i przekątnych ścian. Jego rozwiązanie odpowiedniego układu równań diofantycznych to (44,117,240). Doprowadziło to do pytania o prostopadłościan idealny, mający dodatkowo całkowitą przekątną (główną)^{[potrzebny przypis]}; w lutym 2022 problem pozostaje otwarty.
• Johann Heinrich Lambert udowodnił niewymierność liczby pi (π).
• Christian Goldbach wysunął pewną hipotezę o liczbach pierwszych, nazwaną potem hipotezą Goldbacha. W XXI wieku ogłoszono dowód jej słabszej wersji, w lutym 2022 czekający na pełną weryfikację.
• Joseph Louis Lagrange udowodnił twierdzenie nazwane jego nazwiskiem. Mówi ono, że każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów naturalnych;
• Edward Waring rozwinął też badania problemu Waringa. Jego uczeń wysunął hipotezę nazywaną twierdzeniem Wilsona; zostało udowodnione jeszcze w tamtym stuleciu przez Lagrange’a i jest warunkiem równoważnym pierwszości liczby naturalnej.

 

XIX wiek to narodziny nowych gałęzi w teorii liczb:

• Carl Friedrich Gauss otworzył algebraiczną teorię liczb, wprowadzając kongruencje, dowodząc lematu Gaussa i prawa wzajemności reszt kwadratowych^[1];
• Bernhard Riemann i August Ferdinand Möbius to pionierzy analitycznej teorii liczb, w której wysunięto m.in. hipotezę Riemanna;
• Joseph Liouville udowodnił istnienie liczb przestępnych. Charles Hermite udowodnił, że należy do nich e (stała Eulera), a Ferdinand Lindemann wykazał przestępność pi (π). Pokrewnym tematem jest aproksymacja diofantyczna liczb niewymiernych, o której Peter Gustav Lejeune Dirichlet udowodnił znaczące twierdzenie;
• Hermann Minkowski zapoczątkował geometrię arytmetyczną^[1].

Rozwinięto też „klasyczne” badania liczb naturalnych:

• w 1850 Pafnutij Czebyszow udowodnił postulat Bertranda o rozmieszczeniu liczb pierwszych^[25], przez co wynik ten nazwano również twierdzeniem Czebyszowa.
• Eugène Charles Catalan wysunął też hipotezę o nierozwiązywalności pewnego równana diofantycznego. Na rozstrzygnięcie czekała do XXI wieku.
• Twierdzenie Gaussa-Wantzela pokazało związek teorii liczb z geometrią płaską (planimetrią), a konkretniej teorią konstrukcji klasycznych. Problem liczb pierwszych Fermata okazał się istotny dla konstruowalności wielokątów foremnych.

Ogłoszone na koniec stulecia 23 problemy Hilberta zawierały kilka pytań z teorii liczb jak hipotezy Riemanna i Golbacha.

 

Postęp w teorii liczb naturalnych był wieloraki – rozwiązano niektóre stare problemy oraz postawiono nowe:

• Najpóźniej wtedy sformułowano hipotezę o nieskończoności bliźniaczych liczb pierwszych. Viggo Brun zredukował ten problem do badania wymierności stałej nazwanej od jego nazwiska (B₂).
• Pojawił się też problem Collatza o zachowaniu pewnej funkcji lub równoważnie – rodziny ciągów liczb naturalnych.
• Srinivasa Ramanujan zainspirował badania liczb taksówkowych – pewnego rodzaju sum dwóch sześcianów naturalnych;
• Hillel Furstenberg zastosował w teorii liczb topologię, podając nowy dowód twierdzenia Euklidesa o nieskończoności liczb pierwszych^{[potrzebny przypis]}.
• Znaczące osiągnięcia przyniosły też obliczenia komputerowe – m.in.:
  • obaliły hipotezę Pólyi o własnościach czynników pierwszych (1958);
  • obaliły hipotezę Eulera uogólniającą wielkie twierdzenie Fermata (1966)^{[potrzebny przypis]};
  • rozwiązały jedno z sześciennych równań diofantycznych: x³+y³+z³ = 30 (1999)^[26].
• W latach 90. Andrew Wiles udowodnił wielkie twierdzenie Fermata po przeszło 300 latach zmagań matematyków z tym problemem.
• Również w tamtej dekadzie Peter Shor opublikował nowy algorytm faktoryzacji, aktywnie badany przez informatykę kwantową.
• W XX wieku rozwinięto też sprawdzanie pierwszości, opracowując algorytmy o coraz lepszej złożoności obliczeniowej.

Naświetlono również same fundamenty arytmetyki liczb naturalnych. Kurt Gödel w swoim pierwszym twierdzeniu o niezupełności wykazał, że nie może ona być jednocześnie zupełna i niesprzeczna. Wśród nowo poznanych liczb pierwszych znalazły się osobliwości jak liczba Belfegora. Nie dość, że w zapisie dziesiętnym jest palindromem, to jeszcze zawiera w nim liczbę bestii (666), a liczba zer po obu stronach tego symbolu wynosi 13 – także oznakę nieszczęść.

Posunięto też badania nad niewymiernością i przestępnością:

• w 1934 udowodniono twierdzenie Gelfonda-Schneidera, rozwiązujące jeden z problemów Hilberta^[27];
• w latach 70. Mitchell Jay Feigenbaum w swoich pracach nad teorią chaosu wprowadził dwie nowe stałe liczbowe, nazwane jego nazwiskiem (α i δ). Ich wymierność stała się przedmiotem analiz;
• w 1979 roku Roger Apéry udowodnił, że suma ζ(3), nazwana potem stałą Apéry’ego, jest niewymierna.

Wiek XX przyniósł też zastosowania dla teorii liczb – w latach 70. rozbudowano kryptografię klucza publicznego, w tym szyfr RSA; opisano także pierwsze związki teorii liczb z fizyką.

Stulecie zwieńczono ogłoszeniem listy siedmiu problemów millenijnych. Co najmniej dwa z nich mają bezpośredni związek z teorią liczb – jak hipoteza Riemanna.

 

Nowe tysiąclecie przyniosło między innymi:

• dowód hipotezy Catalana; zrobił to Preda Mihăilescu w 2002 roku;
• twierdzenie Greena-Tao o ciągach arytmetycznych wśród liczb pierwszych^{[potrzebny przypis]}.

Ogłoszono też pewne sukcesy, które w lutym 2022 dalej czekają na pełną weryfikację, choć są aktywnie badane przez społeczność akademicką:

• Shinichi Mochizuki w 2012 roku przedstawił pracę, która jego zdaniem dowodzi hipotezy abc;
• Harald Helfgott w 2013 roku zaproponował dowód słabej hipotezy Goldbacha.

W 2018 roku Michael Atiyah ogłosił, że udało mu się udowodnić hipotezę Riemanna i zaprezentował swoją próbę dowodu. Została ona odrzucona przez matematyków jako błędna. Wiele innych problemów teorii liczb – także postawionych elementarnie – w lutym 2022 pozostaje nierozwiązanych. Niektóre z nich to:

• kwestia liczb pierwszych niektórych typów. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fibonacciego, Mersenne’a, Germain, bliźniacznych, czworaczych ani czy istnieją jakiekolwiek liczby pierwsze w ciągu Fermata poza pięcioma początkowymi wyrazami. Problem liczb pierwszych Mersenne’a ma konsekwencje dla teorii parzystych liczb doskonałych – nie wiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele;
• hipoteza Goldbacha;
• pytania dotyczące liczb całkowitych, ale nie wprost liczb pierwszych, np. prostopadłościan idealny i problem Collatza. Nie wiadomo też, czy istnieje jakakolwiek nieparzysta liczba doskonała ani czy ciąg liczb zaprzyjaźnionych jest skończony;
• wymierność niektórych stałych jak Eulera-Mascheroniego (γ), stałe Feigenbauma (α i δ) czy wartości funkcji dzeta Riemanna dla liczb nieparzystych większych od trzech: ζ(2n+1), n>1. Niektóre problemy dotyczące liczb pierwszych sprowadzono do pytania o wymierność stałych Bruna jak B₂ i B₄;
• przestępność niektórych liczb niewymiernych jak stała Apéry’ego ζ(3);
• zagadnienia obliczeniowe, np. czy faktoryzacja liczb całkowitych należy do problemów klasy P – tj. czy jej złożoność może być wielomianowa.

 

Wśród matematyków polskich znaczące wyniki w teorii liczb uzyskali między innymi:

• Wacław Sierpiński^[1] – zob. liczby Sierpińskiego, stała Sierpińskiego;
• Stanisław Ulam – por. spirala Ulama;
• Andrzej Schinzel;
• Henryk Iwaniec – za swoje badania został nagrodzony m.in. Nagrodą Shawa w dziedzinie matematyki (2015);
• Stanisław Knapowski.

Posiadaczem szeregu wyliczeniowych rekordów światowych jest Jarosław Wróblewski^{[potrzebny przypis]}. Teorii liczb jest poświęcone polskie czasopismo „Acta Arithmetica”, założone w latach 30. XX w., później wydawane przez Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk (IM PAN).

Z polską narodowością i nauką polską bywa też wiązany Franz Mertens – pracownik m.in. Uniwersytetu Jagiellońskiego, zajmujący się analityczną teorią liczb. Jego hipoteza Mertensa, implikująca hipotezę Riemanna, okazała się jednak fałszywa – obalono ją w latach 80. XX w.^{[potrzebny przypis]}.

 

 

 

 

Zasłużeni dla teorii liczb – w kolejnych wierszach:

Euklides z Aleksandrii (IV w. p.n.e.),
Pierre de Fermat (XVII w.),
Bernhard Riemann (XIX w.),

Andrew Wiles (XX–XXI w.)

Do znaczących naukowców w tej dziedzinie należą^[1]:

• Teoria liczb, [w:] HenrykH. Iwaniec HenrykH., Leksykon matematyczny, Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1995, ISBN 83-214-0783-8 .

•   Wacław Sierpiński, Teoria liczb, pldml.icm.edu.pl [dostęp 2022-02-16] – monografia z 1950 roku.
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Number Theory, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].
•   Number theory (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].