Hipoteza Riemanna

Dla liczb zespolonych s spełniających warunek Re s > 1 funkcja dzeta określona jest wzorem:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$ 

Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną, nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Wtedy funkcja Dzeta Riemanna spełnia równanie funkcyjne:

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s),}$ 

gdzie ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } (s)}$  reprezentuje funkcję gamma. Dzięki temu rozszerzeniu funkcja Dzeta ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, ..., wynikające z zerowania się funkcji sinus. Uwaga: dla s = 2, 4,... stosuje się pierwotną postać szeregu zbieżnego w tym przypadku do od lat znanych wartości (różnych od zera) pokazanych choćby przez Eulera. Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej Re s = ½, zwanej prostą krytyczną. G.H. Hardy oraz J.E. Littlewood udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele miejsc zerowych funkcji dzeta na prostej krytycznej. Zostało również udowodnione, że przynajmniej 40% miejsc zerowych leży na prostej krytycznej (Conrey, 1989).

Prawdziwość hipotezy Riemanna pozwalałaby na wzmocnienie pewnych nierówności dotyczących liczb pierwszych oraz równości asymptotycznych. Okazuje się na przykład, że hipoteza Riemanna jest równoważna poniższej równości (π(n) to liczba liczb pierwszych w przedziale od 1 do n), będącej wzmocnieniem twierdzenia o liczbach pierwszych:

${\displaystyle \pi (n)=\mathrm {Li} (n)+O\left({\sqrt {n}}\ln n\right)}$ 

gdzie ${\displaystyle \mathrm {Li} (n)}$  oznacza tzw. resztę z logarytmu całkowego, a do zapisu użyto tzw. dużego O.

Polskojęzyczne

•   Tomasz Miller, Czego uczy nas hipoteza Riemanna?, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński, kanał „Copernicus” na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2021-09-15].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Riemann Zeta Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
•   Riemann hypotheses (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-06-18].
•   Alex Kontorovich, The Riemann Hypothesis, Explained, kanał Quanta Magazine na YouTube, 4 stycznia 2021 [dostęp 2023-06-08].