Теорија на броевите

Теорија на броевите е гранка од математиката која се занимава со одликите на броевите, особено со целите, како и со пошироките класи на проблеми кои произлегуваат од оваа студија.^[1]

Изразот аритметика исто така се користи за теорија на броевите.^{[note 1]} Ова е стар израз кој веќе не е популарен колку што некогаш бил. Теоријата на броеви некогаш ја нарекувалевисша аритметика, но ни овој израз веќе не е во употреба. Па сепак, изразот аритметика и понатаму се јавува во имињата на некои математички области (аритметички функции, аритметика на елиптичните криви, основна теорема на аритметика)та. Оваа смисла на изразот аритметика не треба да го мешаме ниту со елементарна аритметика, нити со гранката на логиката која ја проучува пеановата аритметиката како формален систем. Математичарите кои се занимаваат со теоријата на броевите се нарекуваат теоретичари на броеви.

Во елементарната теорија на броевите, се проучуваат цели броеви без користење на техники од другите области на математика.^[2] Овде спаѓаат прашањата за деливост, користење на Евклидовиот алгоритам за пресметување на најголем заеднички делител, факторизација на цели броеви во прости броеве, проучување на савршени броеви и конгруенција. Неколку важни откритија од оваа област се Мала Фермаова теорема, Ојлерова теорема, Кинеска теорема за остаток и закон за квадратен реципроцитет.^[3] Својствата на мултипликативни функции покрај Мебијусовите функцији, Ојлеровите фи функции, низи на цели броеви, факторијел, и фибоначиевите броеви исто така спаѓаат во оваа област.

Многу прашања од областа на теоријата на броевите можат да се искажат во термините на елементарна теорија на броевите, но многу од нив бараат многу длабоко разгледување и нови пристапи кои се надвор од доменот на елементарната теорија на броевите. Меѓу ваквите примери се:

• Голдбахова претпоставка која се однесува на изразување на парните броеви како збирови на два прости броја.
• Каталанова претпоставка (сега Михаилескуова теорема) која се однесува на последователните степени на цели броеви.
• Претпоставка за прости близнаци, која зборува за бесконечноста на паровите на прости броеви.
• Колацова претпоставка која се однесува на проста итерација.
• Последна Фермаова теорема (изречена во 1637, но докажана дури во 1994) која тврди дека не е можно да се најдат цели броеви различни од нула x, y, z, такви да ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ за некое целобројно n е поголемо од 2.

За теоријата на диофантски равенки е дури покажано дека е поколеблива (види десетти Хилбертов проблем).

Аналитичка теорија на броевите ја користи техниката на анализа и комплексна анализа за решавање на проблеми поврзани со цели броеви.^[4] Пример се теорема за прости броеви и поврзаната Риманова хипотеза. Исто така, за Ворингов проблем (претставување на дадениот цел број како собирок на квадрати, кубови итн.), конјектура за прости близнаци (наоѓање на бесконечно многу парови на прости броеви чија разлика е 2) и Голдбаховата конјектура (запишување на парни броеви како собирок на два прости броја) се користат аналитичките методи.^[5] Доказ на трансцендентноста на математичките константи, како што се пи или e, исто така спаѓаат во аналитичка теорија на броевите. Иако може да изгледа дека исказите за трансцендентните броеви не спаѓаат во проучување на цели броеви, тие всушност претставуваат проучување на можни вредности на полиноми со целобројни коефициенти, пресметани да кажеме во e; тие се исто така во блиска врска со полето на диофантска апроксимација, каде се истражува колку добро дадениот реалан број може да се апроксимира во рационален.

Во алгебарската теорија на броевите, концептот на број се проширува на алгебарски броеви кои се нули на полиноми со рационални коефициенти.^[6] Овие домени содржат елементи на аналогни цели броеви, таканаречени алгебарски цели броеви. Овде познатите својства на цели броеви (покрај единствена факторизација) не мораат да важат. Со помош на теоријата на Галоа, кохомологија на групи, класна теорија на поле, претставување на група и L-функција е можно во некој обем да се поврати тоа уредување за оваа нова класа на броеви.

Кон многу прашња од теоријата на броевите најлесно се приоѓа така што се проучуваат по модулот p за сите прости p. Оваа се нарекува локализација и доведува до конструкција на p-адни броеви; оваа област се нарекува локална анализа и потекнува од алгебарската теорија на броевите.

Геометриска теорија на броевите (традиционално кажана геометрија на броевите) вклучува некои основни геометриски поими во прашата на теоријата на броевите. Поаѓа од теорема на Минковски, а води до базични докази на коначноста на класниот број и Дирихлеова единечна теорема.

Комбинаторна теорија на броевите се занимава со проблемите на теорија на броеви кои ги вклучуваат комбинаторните идеи во своите формулации или решенија. Пал Ердеш е главниот основач на оваа гранка на теоријата на броевите. Типичните теми на оваа област ги вклучуваат покривачки систем, проблем на нулта сума, и аритметички прогресии во собирокот на цели броеви. Во оваа област се корисни алгебарските и аналитичките методи.

Компјутерска теорија на броевите ги проучува алгоритмите кои се важни за теоријата на броеви. Брзите алгоритми за тестирање на простоста на бројот и факторизација на цели броеви имаат важни примени во криптографијата.

• Apostol, Tom M (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-90163-3. Посетено на 28 февруари 2016.
• Apostol, Tom M. „An Introduction to the Theory of Numbers“. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. Посетено на 28 февруари 2016. Наводот journal бара |journal= (help)
• Becker, Oskar (1936). „Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente“. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B:Studien. Berlin: J. Springer Verlag. 3: 533–53.
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C. (1991) [1968]. A History of Mathematics (2. изд.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8. 1968 edition at archive.org
• Clark, Walter Eugene (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy. University of Chicago Press. Посетено на 28 февруари 2016.
• Colebrooke, Henry Thomas (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. London: J. Murray. Посетено на 28 февруари 2016.
• Davenport, Harold; Montgomery, Hugh L (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate texts in mathematics. 74 (revised 3rd. изд.). Springer. ISBN 978-0-387-95097-6.
• Edwards, Harold M. (1983). „Euler and Quadratic Reciprocity“. Mathematics Magazine. Mathematical Association of America. 56 (5): 285–291. doi:10.2307/2690368. JSTOR 2690368.
• Edwards, Harold M. (2000) [1977]. Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 50 (reprint of 1977. изд.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95002-0.
• Fermat, Pierre de (1679). Varia Opera Mathematica. Toulouse: Joannis Pech. Посетено на 28 февруари 2016.
• Friberg, Jöran (1981). „Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations“. Historia Mathematica. Elsevier. 8 (3): 277–318. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0.
• von Fritz, Kurt (2004). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum“. Во Christianidis, J. (уред.). Classics in the History of Greek Mathematics. Berlin: Kluwer (Springer). ISBN 978-1-4020-0081-2.
• Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (trans.) (1966) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae. Springer. ISBN 978-0-387-96254-2.
• Goldfeld, Dorian M (2003). „Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective“ (PDF). Посетено на 28 февруари 2016.
• Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert (2007). „A book in search of a discipline“. Во Goldstein, C.; Schappacher, N.; Schwermer, Joachim (уред.). The Shaping of Arithmetic after Gauss' "Disquisitiones Arithmeticae". Berlin & Heidelberg: Springer. стр. 3–66. ISBN 978-3-540-20441-1. Посетено на 28 февруари 2016.
• Granville, Andrew (2008). „Analytic number theory“. Во Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (уред.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2. Посетено на 28 февруари 2016.
• Porphyry; Guthrie, K. S. (trans.) (1920). Life of Pythagoras. Alpine, New Jersey: Platonist Press.
• Guthrie, Kenneth Sylvan (1987). The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids, Michigan: Phanes Press. ISBN 978-0-933999-51-0.
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers (Sixth. изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243.
• Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. Посетено на 28 февруари 2016.
• Hopkins, J. F. P. (1990). „Geographical and Navigational Literature“. Во Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. (уред.). Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. The Cambridge history of Arabic literature. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-32763-3.
• Huffman, Carl A. (8 август 2011). Zalta, Edward N. (уред.). „Pythagoras“. Stanford Encyclopaedia of Philosophy (Fall 2011. изд.). Посетено на 7 февруари 2012.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. 53. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3633-0.
• Plato; Jowett, Benjamin (trans.) (1871). Theaetetus. Архивирано од изворникот на 2011-07-09. Посетено на 2020-05-11.
• Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (2004). Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China (revised. изд.). Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-238-696-0. Посетено на 28 февруари 2016.
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2. изд.). Lexington, VA: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950.
• Mahoney, M. S. (1994). The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (Reprint, 2nd. изд.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03666-3. Посетено на 28 февруари 2016.
• Milne, J. S. (2014). „Algebraic Number Theory“.
• Montgomery, Hugh L; Vaughan, Robert C (2007). Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6. Посетено на 28 февруари 2016.
• Morrow, Glenn Raymond (trans., ed.); Proclus (1992). A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02090-7.
• Mumford, David (2010). „Mathematics in India: reviewed by David Mumford“ (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 57 (3): 387. ISSN 1088-9477.
• Neugebauer, Otto E. (1969). The Exact Sciences in Antiquity (corrected reprint of the 1957. изд.). New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. Посетено на 2 март 2016.
• Neugebauer, Otto E.; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945). Mathematical Cuneiform Texts. American Oriental Series. 29. American Oriental Society etc.
• O'Grady, Patricia (2004). „Thales of Miletus“. The Internet Encyclopaedia of Philosophy. Посетено на 7 февруари 2012.
• Pingree, David; Ya'qub, ibn Tariq (1968). „The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq“. Journal of Near Eastern Studies. University of Chicago Press. 26.
• Pingree, D.; al-Fazari (1970). „The Fragments of the Works of al-Fazari“. Journal of Near Eastern Studies. University of Chicago Press. 28.
• Plofker, Kim (2008). Mathematics in India. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12067-6.
• Qian, Baocong, уред. (1963). Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics). Beijing: Zhonghua shuju. Посетено на 28 февруари 2016.
• Rashed, Roshdi (1980). „Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson“. Archive for History of Exact Sciences. 22 (4): 305–321. doi:10.1007/BF00717654.
• Robson, Eleanor (2001). „Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322“ (PDF). Historia Mathematica. Elsevier. 28 (28): 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. Архивирано од изворникот (PDF) на 21 октомври 2014.
• Sachau, Eduard; Bīrūni, ̄Muḥammad ibn Aḥmad (1888). Alberuni's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1. London: Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. Посетено на 28 февруари 2016.
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A Course in Arithmetic. Graduate texts in mathematics. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.
• Smith, D. E (1958). History of Mathematics, Vol I. New York: Dover Publications.
• Tannery, Paul; Henry, Charles; Fermat, Pierre de (1891). Oeuvres de Fermat. (4 Vols.). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
• Iamblichus; Taylor, Thomas (1818). Life of Pythagoras or, Pythagoric Life. London: J. M. Watkins. Архивирано од изворникот на 21 јули 2011. Проверете ги датумските вредности во: |archivedate= (help)
• Truesdell, C. A (1984). „Leonard Euler, Supreme Geometer“. Во Hewlett, John (уред.). Leonard Euler, Elements of Algebra (reprint of 1840 5th. изд.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96014-2.
• Truesdell, C. A (2007). „Leonard Euler, Supreme Geometer“. Во Dunham, William (уред.). The Genius of Euler: reflections on his life and work. Volume 2 of MAA tercentenary Euler celebration. New York: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-558-4. Посетено на 28 февруари 2016.
• Varadarajan, V. S (2006). Euler Through Time: A New Look at Old Themes. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3580-7. Посетено на 28 февруари 2016.
• Vardi, Ilan (1998). „Archimedes' Cattle Problem“ (PDF). American Mathematical Monthly. 105 (4): 305–319. doi:10.2307/2589706.
• van der Waerden, Bartel L.; Dresden, Arnold (trans) (1961). Science Awakening. Vol. 1 or Vol 2. New York: Oxford University Press.
• Weil, André (1984). Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3141-3. Посетено на 28 февруари 2016.
• Hardy, E. M.; Wright (2008) [1938]. An introduction to the theory of numbers (rev. by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, 6th. изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Посетено на 2 март 2016.
• Vinogradov, I. M (2003) [1954]. Elements of Number Theory (reprint of the 1954. изд.). Mineola, NY: Dover Publications.
• Niven, Ivan M; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L (2008) [1960]. An introduction to the theory of numbers (reprint of the 5th edition 1991. изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-81-265-1811-1. Посетено на 28 февруари 2016.
• Rosen, Kenneth H (2010). Elementary Number Theory (6. изд.). Pearson Education. ISBN 978-0-321-71775-7. Посетено на 28 февруари 2016.
• Borevich, A. I.; Shafarevich, Igor R (1966). Number theory. Pure and Applied Mathematics. 20. Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-117850-5. MR 0195803.
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A course in arithmetic. Graduate texts in mathematics. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.

Надворешни врски

[уреди | уреди извор]

„Теорија на броевите“ на Ризницата ?

• Number Theory Web