Funkcja

Funkcja ${\displaystyle f=(X,Y,W)}$  to trójka uporządkowana składająca się z poniższych elementów^{[13][14][15][16][17][18][19]}:

• dziedziny ${\displaystyle X}$  będącej dowolnym zbiorem,
• przeciwdziedziny ${\displaystyle Y}$  również będącej dowolnym zbiorem,
• wykresu ${\displaystyle W\subseteq X\times Y}$  będącym zbiorem par, takim że ${\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y:(x,y)\in W.}$ 

Wyjaśnienie: Wykres ${\displaystyle W}$  to zbiór tylko takich par, że dla każdego elementu ${\displaystyle x}$  z ${\displaystyle X}$  istnieje dokładnie jeden ${\displaystyle y}$  z ${\displaystyle Y,}$  taki że para ${\displaystyle (x,y)}$  znajduje się w zbiorze ${\displaystyle W}$  (czyli owa para jest „punktem” z wykresu funkcji).

Definicja ${\displaystyle f=(X,Y,W)}$  nazywana jest również definicją Bourbakiego^[20][14] (wprowadzoną w 1954 r.^[21]) ze względu na prostotę, pełność i ogólność spełnia wymogi współczesnej matematyki^[22]. Zauważmy że dla teoriomnogościowej definicji trójki jako pewnego zbioru (co zwykle się przyjmuje), funkcja ${\displaystyle f}$  staje się zbiorem. W literaturze definicja może różnić się kolejnością elementów np. ${\displaystyle f=(W,X,Y)}$  albo ${\displaystyle f=(X,W,Y)}$ . Spotyka się również wariant tej definicji w której używa się klas zamiast zbiorów^[15].

Jeżeli zakładamy że funkcja jest surjekcją lub jeśli jest wygodne nie ustalanie przeciwdziedziny, wówczas można skorzystać z definicji redukującej funkcję tylko do wykresu funkcji tj. ${\displaystyle f=W}$  (a więc do pewnego zbioru par). Tak zredukowana definicja jest bardziej pierwotna i została sformalizowana wcześniej (w latach ok. 1914–1921). Często w literaturze zaznacza się (z przyczyn głównie historycznych), że taka zredukowana definicja (wykres) jest pewną relacją binarną. Należy zauważyć że między ogólną definicją a zredukowaną istnieją poważne różnice^[23]. Powyższa zredukowana definicja oraz pełna definicja Bourbakiego, są powszechnie używane w literaturze^[22].

Istnieją również definicje starsze, bardziej pierwtone i mniej precyzyjne, jednak współcześnie zykle nie używa się ich.

W tradycyjnej notacji zwykle rozdziela się definicję wykresu od dziedziny i przeciwdziedziny np.

Dana jest funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$  określona wzorem ${\displaystyle f(x)=x/2}$ ,

tu najpierw podano dziedzinę ${\displaystyle \mathbb {N} }$  (liczby naturane) i przeciwdziedzinę ${\displaystyle \mathbb {R} }$  (liczby rzeczywiste), a następnie osobno zdefiniowano wykres (zbiór ${\displaystyle W}$  w formalnej definicji) poprzez formułę pozwalającą wyznaczyć każdy jego element - czyli każdą parę ${\displaystyle (x,y)=(x,f(x))=(x,x/2)}$ , gdzie ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ , oraz ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$  (symbol ${\displaystyle \in }$  oznacza przynależność do zbioru).

Dokładniej: poprzez podstawienie danego elementu ${\displaystyle x}$  dziedziny pod formułę ${\displaystyle f(x)=x/2=y}$  otrzymamy element przeciwdziedziny ${\displaystyle y}$ , co pozwoli skonstruować parę ${\displaystyle (x,y)}$  bądącą elementem (punktem) wykresu ${\displaystyle W}$  funkcji, np. dla ${\displaystyle x=6}$  podstawiamy ${\displaystyle f(6)=6/2=3}$  - otrzymaliśmy więc parę ${\displaystyle (6,3)\in W}$ , jeśli podobnie ucznimy dla pozostalych elementów dziedziny to znajdziemy wszystkie punktu (elementy) wykresu.

Bardziej formalny zapis (którego zwykle się nie stosuje w praktyce) dla tego przykładu wyglądałby tak:

${\displaystyle f=\left(\mathbb {N} ,\mathbb {R} ,\left\{\left(x,{\frac {x}{2}}\right):x\in \mathbb {N} \right\}\right).}$ 

Jeżeli pomija się podanie dziedziny i przeciwdziedziny dla danej funkcji to oznacza, że należy wywieść te informacje z wykresu lub kontekstu – co często ma miejsce (i uzasadnia oddzielenie definicji wykresu w tradycyjnej notacji).

Funkcje używające tej samej formuły ${\displaystyle f(x)}$  do zdefiniowania wykresu nie muszą być tożsame. Rozważmy taki przypadek czterech funkcji korzystających z formuły ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  (poniżej oznaczono: ${\displaystyle \mathbb {R} }$  to liczby rzeczywiste a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$  to liczby rzeczywiste większe od zera):

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+},f(x)=x^{2},}$  więc z definicji: ${\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),}$ 

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \ ,g(x)=x^{2},}$  więc z definicji: ${\displaystyle g=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),}$ 

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},h(x)=x^{2},}$  więc z definicji: ${\displaystyle h=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}),}$ 

${\displaystyle k\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} \ ,k(x)=x^{2},}$  więc z definicji: ${\displaystyle k=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}).}$ 

mamy: ${\displaystyle k\neq g\neq f\neq h\neq k\neq f\neq h\neq g}$  (bo każda jest inną trójką). Każda z funkcji ma inny charakter: ${\displaystyle f}$  to suriekcja, ${\displaystyle h}$  to bijekcja, k to iniekcja.

Rozważmy funkcję której dziedzina to ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\left\{(u,v)\colon u\in \mathbb {R} \;\wedge \;v\in \mathbb {R} \right\}}$  (iloczyn kartezjański) czyli każdy element ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$  z dziedziny jest parą dwóch liczb rzeczywistych tj. ${\displaystyle x=(u,v)}$ . Przeciwdziedziną zaś niech będzie ${\displaystyle \mathbb {R} }$  zaś wykresem ${\displaystyle f(x)=f((u,v))=u^{2}+v^{2}}$ . Zwróćmy uwagę że tak zdefiniowana funkcja przyjmuje defacto dwie liczby ${\displaystyle u,v}$  (stanowiące jedną parę ${\displaystyle (u,v)}$  oznaczoną przez ${\displaystyle x}$  ) jako argument a zwraca w wyniku jedną liczbę (będącą sumą kwadratów elementów pary). Kożystając z tradycyjnej notacji zapiszemy

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle f(u,v)=u^{2}+v^{2}}$ 

zwróćmy uwagę, że zamiast ${\displaystyle f((u,v))}$  zapisano ${\displaystyle f(u,v)}$  a więc pominięto wewnętrzne nawiasy - jest to powszechnie stosowany skrót notacyjny. Formalnie funkcja przyjmuje tylko jeden argument (który jest parą liczb). Bardziej formalna definicja (nie stosowana w praktyce) wyglądała by tak:

${\displaystyle f=\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\left\{\left((u,v),u^{2}+v^{2}\right):u,v\in \mathbb {R} \right\}\right)}$ 

Funkcje których argument jest parą, trójką lub w ogólności n-tką nazywamy funkcjami wielu zmiennych.

Argumentem funkcji może być n-tka zawierająca wiele elementów (np. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$  przyjmuje trójkę liczb). Operacje arytmetyczne na liczbach są tego typu funkcjami np. dodawanie liczb naturalnych ${\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }$  (z indywidualną notacją). Wynikiem funkcji również może być n-tka zawierająca wiele wartości (np. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$  przyjmuje parę a zwraca trójkę liczb). Funkcje które mogą przyjmować inne funkcje jako argument i zwracać liczbę jako wynik nazywane są funkcjonałami (np. funkcjonał ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }$  zwracający pole pod wykresem funkcji). Funkcje które jako argument przyjmują pewne funkcje i zwracają inne funkcje nazywamy operatorami - operatory transformują/zmieniają daną funkcję (lub kilka funkcji) na inną i często do ich zapisu stosujemy indywidualna odrębną notację (np. transformata Fouriera ${\displaystyle {\hat {f}}}$ , operator składania funkcji ${\displaystyle f\circ g}$ , operator Nabla dla gradientu ${\displaystyle \nabla f}$  itp.)

Detaliczne omówienie wybranych przykładów w świetle formalnej definicji

${\displaystyle f:[0,1]^{4}\to \mathbb {R} ,f(x,y,z,t)=t+xyz}$ , (${\displaystyle [0,1]}$  to przedział domknięty wszystkich liczb rzeczywistych od 0 do 1) z definicji ${\displaystyle f=([0,1]^{4},\mathbb {\mathbb {R} } ,\{((x,y,z,t),t+xyz):x,y,z,t\in [0,1]\})}$ , np. funkcja określa temperaturęw każdym punkcie kostki o boku 1, w każdym momencie przedział czasu od 0 do 1. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {\mathbb {R} } ^{3},f(x)=(x^{2},x,0)}$ . Wynikiem działania tej funkcji jest trójka liczb którą można interpretować jak współrzedne x,y,z w przestrzeni 3D (w tym przypadku z=0). Z definicji ${\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{3},\{(x,(x^{2},x,0)):x\in \mathbb {R} \})}$  (funkcja przyporządkowuje każdej liczbie pewien punkt na płaszczyźnie (z=0) w przestrzeni trójwymiarowej - czyli rysuje płaską krzywą w 3D), np. funkcja określa położenie pewnego pojazdu na płaskiej nawierzchni w czasie x. ${\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ,f(x)={\sqrt {x(-1)}}}$ , gdzie ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$  to zbiór wszystkich funkcji ${\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$  tj. działających z liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  w liczby naturalne ${\displaystyle \mathbb {N} }$ . Tutaj ${\displaystyle x}$  nie oznacza liczby tylko funkcję, a ${\displaystyle x(-1)}$  to wartość tej funkcji dla minus jedynki. Funkcja ${\displaystyle f(x)}$  zwraca więc pierwiastek z pewnej liczby naturalnej która jest wartością funkcji ${\displaystyle x}$  w minus jeden. Z definicji formalnej zapisujemy ${\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ,\{(x,{\sqrt {x(-1)}}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}$ . Funkcja której argumentem są inne funkcje a wartościami liczby (zamienia/mapuje/transformuje funkcje na liczby) to funkcjonał. ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {N} },f(x)=\pi x^{2}}$ , tutaj funkcja f jako argument bierze pewną funkcję ${\displaystyle x:\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$  a jako wynik zwraca inną funkcję ${\displaystyle y:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ . Funkcje których argumentami są pewne funkcje a wynikiem inne funkcje (czyli zamieniają/transofmują jedne funkcje na inne funkcje) nazywamy operatorami. Poszczególne operatory mogą posiadać indywidualną niezależną notację (i nierzadko nazewnictwo oraz być centralnym elementem teorii matematycznych) np. dywergencja ${\displaystyle div(.),\nabla \cdot }$ , transformata Fouriera ${\displaystyle {\hat {f}}}$  etc. . Detale przykładu ${\displaystyle }$ Wartość funkcji ${\displaystyle y}$ , z przykładu, w każdym punkcie równa jest kwadratowi wartości funkcji ${\displaystyle x}$  w owym punkcie wymnorzonym przez ${\displaystyle \pi }$  tj. ${\displaystyle y(t)=\pi (x(t))^{2},t\in \mathbb {N} }$ . Z definicji formalnej mamy: ${\displaystyle f=(\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} },\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },\{(x,\pi x^{2}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}$ . Ponieważ funkcja ${\displaystyle x}$  ma taką samą dziedzinę jak funkcja ${\displaystyle y}$  oraz ${\displaystyle t}$  w formule na y jest użyte tylko w ${\displaystyle x(t)}$  to możemy operować na nich podobnie jak na zmiennych liczbowych (np. pisząc skrótowo ${\displaystyle y=\pi x^{2}}$  zamiast ${\displaystyle y(t)=\pi x(t)^{2}}$  co skraca notację). ${\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },f(x)=y,y(t)=\pi t+2x(\lfloor t\rfloor ),t\in \mathbb {Q} }$  (gdzie ${\displaystyle \lfloor t\rfloor }$  oznacza podłogę, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  to liczby wymierne) funkcja (operator) ${\displaystyle f}$  zmienia funkcję ${\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$  w funkcję ${\displaystyle y:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ . Bardziej formalnie (z definicji) ${\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },\{(x,(\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\{(t,\pi t+2x(\lfloor t\rfloor )):t\in \mathbb {Q} \})):x\in \mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\})}$ . Przykładowe użycie operatora ${\displaystyle f}$  dla funkcji ${\displaystyle x(s)=3s^{2}+5,s\in \mathbb {Z} }$  czyli zapis ${\displaystyle f(x)=y}$  da w wyniku funkcję ${\displaystyle y(t)=\pi t+2(3\lfloor t\rfloor ^{2}+5)=\pi t+6\lfloor t\rfloor ^{2}+10}$ . ${\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }$  (użyto tu znaku "${\displaystyle +}$ " zamist litery "${\displaystyle f}$ ") ta funkcja jest działaniem dodawania dwóch liczb naturalnych tzn. przyjmuje ona parę liczb a jako wynik zwraca jedną liczbę. Funkcja ta (podobnie jak inne działania arytmetyczne) ma swoją indywidualną notację tzn. nie piszemy ${\displaystyle +(a,b)}$  tylko ${\displaystyle a+b}$ . Detaliczna definicja ${\displaystyle +}$  Będziemy chcieli zdefiniowac funkcję ${\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\{((a,b),a+b):a,b\in \mathbb {N} \}}$ . Punktem z wykresu ${\displaystyle W}$  tej funkcji jest para ${\displaystyle ((a,b),a+b)}$  która zawiera informację o składnikach ${\displaystyle (a,b)}$  i wyniku ${\displaystyle a+b}$ . Niemniej taki zapis jest niepoprawny gdyż definicja wewnątrz odwołje się do samej siebie (użyto czyli znaku ${\displaystyle +}$  po lewej i prawej stronie równości). Skonstruujumy zatem wykres tej funkcji inaczej. Najpierw skonstuujmy wykres dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodjemy zero (czyli nic się nie zmienia więc nie musimy używać znaku ${\displaystyle +}$  w jego definiji): ${\displaystyle W_{0}=\{((a,0),a):a\in \mathbb {N} \}}$  Następnie, korzystając z definicji von Neumanna liczb naturalnych, gdzie możemy użyć następnika zdefiniowanego jako ${\displaystyle S(a)=a\cup \{a\}}$  oraz ${\displaystyle 0=\{\}}$ , możemy na bazie ${\displaystyle W_{0}}$  zdefiniować wykres ${\displaystyle W_{1}=\{((a,1),a+1):((a,0),a)\in W_{0}\}}$  dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodano 1, ale musimy zamiast działania ${\displaystyle a+1}$  (które właśnie definiujemy) użyć następnika S: ${\displaystyle W_{1}=\{((a,1),S(a)):((a,0),a)\in W_{0}\}}$  podobnie możemy zrobić dla ${\displaystyle W_{2}=\{((a,2),a+2):((a,1),a+1)\in W_{1}\}}$ , oraz ${\displaystyle W_{3},...}$  itd. ${\displaystyle W_{2}=\{((a,2),S(S(a))):((a,1),S(a))\in W_{1}\}}$  ${\displaystyle W_{3}=\{((a,3),S(S(S(a)))):((a,2),S(S(a)))\in W_{2}\}}$  ... itd. W ogólności możemy utworzyć formłę indykcyjną (bazującą na poprzednich zbiorach) która dla dowolnej liczby ${\displaystyle b>1}$  na bazie zbioru ${\displaystyle W_{b}}$  (opisującego dodawanie liczby b do każdej liczby naturalnej) utworzy zbiór ${\displaystyle W_{b+1}}$  (opisujący dodawanie ${\displaystyle b+1=S(b)}$  dla każdej liczby naturalnej): ${\displaystyle W_{S(b)}=\{((a,S(b)),S(c)):((a,b),c)\in W_{b}\}}$  W ten sposób zbiory ${\displaystyle W_{b}}$  opisują wynik dodawania każdej pary liczb naturalnych, przenoszac wszystkie elementy tych zbiory do jednego zbioru, otrzymamy ostateczny wykres dodawania wszystkich liczb naturalnych, a pełną definicję formalną możemy wówczas zapisać tak ${\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\bigcup _{b\in \mathbb {N} }W_{b})}$  ${\displaystyle \circ :Z^{Y}\times Y^{X}\to Z^{X},\circ (f,g)(x)=f(g(x))}$  ta funkcja jest operatorem składania dwóch funkcji ${\displaystyle f:Y\to Z}$  oraz ${\displaystyle g:X\to Y}$  który jako wnik zwraca funkcję ${\displaystyle h:X\to Z,h(x)=f(g(x))}$ . Dla tego operatora stosujemy notację taką jak dla działań arytmetycznych tj. ${\displaystyle f\circ g}$ . Formalnie ${\displaystyle \circ =(Z^{Y}\times Y^{X},Z^{X},\{((f,g),h):f\in Z^{Y},g\in Y^{X},h\in Z^{X},h(x)=f(g(x)),x\in X\})}$

Poniżej kilka nietypowych/granicznych przypadków – kolumna po stronie lewej trójka f; w środku to interpretacja f jako funkcji w świetle formalnej definicji zapisana w tradycyjnej notacji; ostatnia kolumna to wyjaśnienie (${\displaystyle X}$  i ${\displaystyle Y}$  to dowolne nie puste zbiory, ${\displaystyle W}$  to niepusty wykres)

zbiór	tradycyjna notacja	wyjaśnienie
${\displaystyle f=(\emptyset ,\emptyset ,\emptyset )}$	${\displaystyle f\colon \emptyset \to \emptyset ,}$  pusty wykres	dzedzina, przeciwdziedzina i wykres są zbiorami pustymi
${\displaystyle f=(X,\emptyset ,\emptyset )}$	to nie funkcja	jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty
${\displaystyle f=(\emptyset ,Y,\emptyset )}$	${\displaystyle f\colon \emptyset \to Y,}$  pusty wykres	dziedzina i wykres są zbiorami pustymi
${\displaystyle f=(\emptyset ,\emptyset ,W)}$	to nie funkcja	jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta
${\displaystyle f=(\emptyset ,Y,W)}$	to nie funkcja	jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta
${\displaystyle f=(X,\emptyset ,W)}$	to nie funkcja	przeciwdziedzina nie może być zbiorem pustym, bo z definicji funkcji wynika, że dla każdego elementu niepustej dziedziny X musi istnieć dokładnie jeden element przeciwdziedziny.
${\displaystyle f=(X,Y,\emptyset )}$	to nie funkcja	jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty
${\displaystyle f=(X,X,W)}$	${\displaystyle f\colon X\to X,f(x)=y,y\in X}$	dziedzina jest równa przeciwdziedzinie
${\displaystyle f=(X,Y,X)}$	to nie funkcja (przy założeniu ZF)	wykres musiałby być tym samym co dziedzina ${\displaystyle W=X}$  (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę ZF, co zwykle ma miejsce)
${\displaystyle f=(X,Y,Y)}$	to nie funkcja (przy założeniu ZF)	wykres musiałby być tym samym co przeciwdziedzina ${\displaystyle W=Y}$  (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę ZF, co zwykle ma miejsce)

• Zbiór ${\displaystyle f(A)=\{y=f(x)\colon x\in A\}}$  jest obrazem podzbioru ${\displaystyle A}$  zbioru ${\displaystyle X}$  w przekształceniu ${\displaystyle f}$ ^[5],
• dla każdego elementu ${\displaystyle b\in f(X)}$  przeciwobrazem elementu ${\displaystyle b}$  (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór ${\displaystyle f^{-1}(b)=\{a\in X\colon f(a)=b\};}$  jeśli ${\displaystyle b\notin f(X),}$  to ${\displaystyle f^{-1}(b)=\varnothing }$ ^[5],
• przeciwobrazem podzbioru ${\displaystyle B\subset Y}$  nazywamy zbiór ${\displaystyle f^{-1}(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\};}$  jeżeli ${\displaystyle B\cap f(X)=\varnothing ,}$  to ${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing }$ ^[24].

Wykresem funkcji ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  nazywa się zbiór ${\displaystyle W_{f}=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}.}$  Z definicji funkcji wynika, że dla każdego ${\displaystyle x_{0}\in X}$  istnieje dokładnie jeden taki ${\displaystyle y_{0}\in Y,}$  że ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in W_{f}.}$  Jeśli ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Jeżeli zakładamy, że funkcja jest suriekcją, to wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in W_{f},}$  to ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}$  przy czym ${\displaystyle y_{0}}$  jest jedynym takim elementem.

Definicję relacyjną zaproponował Giuseppe Peano^[2][25]; utożsamia ona funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości^{[potrzebny przypis]}.

Ważną klasą funkcji są funkcje

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$  (zbiór ${\displaystyle \mathbb {C} }$  jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych^[26].

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze ${\displaystyle X}$  można zdefiniować działania arytmetyczne:

• Dla ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$  funkcja ${\displaystyle f+g}$  przyjmuje dla każdego ${\displaystyle x\in X}$  wartość ${\displaystyle f(x)+g(x).}$ 
• Dla ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$  funkcja ${\displaystyle f-g}$  przyjmuje dla każdego ${\displaystyle x\in X}$  wartość ${\displaystyle f(x)-g(x).}$ 
• Dla ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$  funkcja ${\displaystyle f\cdot g}$  przyjmuje dla każdego ${\displaystyle x\in X}$  wartość ${\displaystyle f(x)\cdot g(x).}$ 
• Dla ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$  i ${\displaystyle \forall _{x\in X}g(x)\neq 0}$  funkcja ${\displaystyle f/g}$  przyjmuje dla każdego ${\displaystyle x\in X}$  wartość ${\displaystyle f(x)/g(x).}$ 
• Dla ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  i ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$  funkcja ${\displaystyle \lambda \cdot f}$  przyjmuje dla każdego ${\displaystyle x\in X}$  wartość ${\displaystyle \lambda \cdot f(x).}$ 

Funkcja ${\displaystyle f}$  jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia ${\displaystyle M,}$  że dla każdego ${\displaystyle x\in X}$  spełniona jest nierówność ${\displaystyle |f(x)|<M.}$ 

Jeśli funkcja liczbowa ${\displaystyle f}$  przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}$ 

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych^[26].

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}$  gdzie ${\displaystyle X\subset \mathbb {C} }$  (jest to funkcja zespolona)

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}$  gdzie ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$  (jest to funkcja rzeczywista)^[27]

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}$  gdzie ${\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \ldots \times \mathbb {C} } _{n},}$ 

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}$  gdzie ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}=\underbrace {\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} } _{n},}$ 

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

${\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$  gdzie ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$  są współrzędnymi punktu w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  lub odpowiednio w ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ 

• funkcja rosnąca;
• funkcja malejąca;
• funkcja nierosnąca;
• funkcja niemalejąca;
• funkcja monotoniczna – funkcja rosnąca lub funkcja malejąca, lub funkcja nierosnąca, lub funkcja niemalejąca;
• funkcje ograniczone – funkcja, której zbiór wartości jest ograniczony;
• funkcja parzysta – wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych;
• funkcja nieparzysta – wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych;
• funkcja okresowa;
• funkcja ciągła;
• funkcja różniczkowalna – funkcja, dla której istnieje pochodna w każdym punkcie jej dziedziny.

Jeżeli dziedzina ${\displaystyle X}$  jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów)^[27].

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako ${\displaystyle y=f(x)}$  lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ^[27].

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}3^{x},&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\2x-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}}.}$ 

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.

Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}},}$ 

albo w taki:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}{\frac {x}{|x|}},&{\text{gdy }}x\neq 0\\0,&{\text{gdy }}x=0\end{cases}}.}$ 

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane^[28].

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie^[28].

• ${\displaystyle y=ax+b}$  – funkcja liniowa
• ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$  – funkcja kwadratowa
• ${\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}$  – funkcja wielomianowa
• ${\displaystyle y=1+{\sqrt {\ln {\sin {2\pi x}}}}}$ 
• ${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}}}$ 
• ${\displaystyle I(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin \beta x}{x}}dx}$ 
• ${\displaystyle \sigma (z)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}}$ 
• ${\displaystyle y-f(x)=0}$  – funkcja jawna zapisana jako uwikłana
• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$  – funkcja uwikłana (równanie okręgu)

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi ${\displaystyle x}$  i ${\displaystyle y,}$  gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru ${\displaystyle X,}$  a druga przyjmuje wartości ze zbioru ${\displaystyle Y;}$  wtedy ${\displaystyle x}$  nazywa się zmienną niezależną, a ${\displaystyle y}$  – zmienną zależną^[29][30]. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej ${\displaystyle x}$  oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej ${\displaystyle y}$  oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej ${\displaystyle x.}$  Na przykład droga ${\displaystyle s}$  w ruchu jednostajnym o prędkości ${\displaystyle v}$  jest zależna od czasu ${\displaystyle t}$  ruchu i wyraża się wzorem:

${\displaystyle s=v\cdot t.}$ 

W praktyce często się zdarza, że zbiór ${\displaystyle X}$  jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}.}$  Mówimy wtedy, że zmienna ${\displaystyle y}$  jest funkcją zmiennych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}.}$  Na przykład siła ${\displaystyle F}$  działająca na ciało jest zależna od masy ${\displaystyle m}$  ciała i jego przyspieszenia ${\displaystyle a{:}}$ 

${\displaystyle F=m\cdot a.}$ 

Definicję funkcji spełniają na przykład:

• działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Można je traktować jako funkcje liczbowe dwóch lub większej liczby zmiennych.
• Jednoargumentowe działania na liczbach: zaokrąglanie, podłoga i sufit oraz część ułamkowa, wartość bezwzględna, liczba przeciwna (przykład funkcji liniowej), liczba odwrotna (przykład funkcji wymiernej),
• średnie: arytmetyczna, geometryczna i inne. To funkcje dwóch lub dowolnej liczby zmiennych. Można je traktować jako funkcje na ciągach lub multizbiorach liczb.
• inne funkcje statystyczne, np. mediana, moda, minimum i maksimum,
• funkcje teorioliczbowe: największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb całkowitych,
• przekształcenia geometryczne: odbicie względem prostej lub punktu i inne symetrie, obrót względem punktu lub osi, jednokładność, dylatacja, inwersja i wiele innych,
• odległość między punktami (w ogólności metryka), długość wektora (w ogólności norma),
• Średnica zbioru – funkcja ze zbioru potęgowego dowolnej przestrzeni metrycznej,
• długość linii (łamanej lub ogólnie krzywej), w szczególności obwód dla krzywych zamkniętych,
• pole powierzchni, objętość, prawdopodobieństwo i inne przykłady miary.
• działania na zdaniach lub formułach: negacja, implikacja, alternatywa, alternatywa rozłączna, koniunkcja, dysjunkcja, równoważność,
• same formuły zdaniowe: przyporządkowanie termom zdania,
• wartość logiczna,
• działania na zbiorach,
• działania na ciągach skończonych, jak permutacja (np. inwersja) oraz konkatenacja,
• układ współrzędnych to funkcja z przestrzeni geometrycznej (zwłaszcza rozmaitości) w przestrzeń kartezjańską.

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

• Jednostki fizyczne są często funkcjami liniowymi innych jednostek, np. temperatura w skali Fahrenehita jest liniową funkcją tej Celsjusza.
• Czasami jednostki są logarytmicznymi funkcjami innych jednostek, np. poziom natężenia dźwięku, wysokość dźwięku, jasność absolutna,
• W statyce: przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego masy oraz środka masy. Zgodnie z prawem Hooke’a siła nacisku lub naciągu jest proporcjonalna do odkształcenia ciała (dla odpowiednio małych wartości tych parametrów). To funkcje liniowe siebie nawzajem. Ich zależność opisują współczynnik sprężystości, moduł Younga i inne. Tarcie jest liniową funkcją siły nacisku.
• W kinematyce: ruch ciał fizycznych opisywany jest przez wektor położenia lub przemieszczenia ${\displaystyle {\vec {r}}}$  oraz skalary odległości lub drogi s. Wszystkie są funkcjami czasu. Ta pierwsza to tzw. trajektoria lub linia świata. Na ich podstawie są oparte inne funkcje czasu: prędkość i przyspieszenie.
• W dynamice: pęd jest funkcją dwóch zmiennych: masy i prędkości, przy czym obydwie mogą być funkcjami czasu. Siła okazuje się pochodną pędu po czasie (II zasada dynamiki). Praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała, a energia może być zależna od różnych wielkości. Energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury T
• W bardziej zaawansowanej mechanice definiuje się też inne wielkości dynamiczne: lagranżjan, działanie i hamiltonian, które też są funkcjami mas, położeń i prędkości.
• Liczne pola fizyczne: funkcje z przestrzeni lub czasoprzestrzeni w zbiór skalarów, wektorów, tensorów itp.
• prąd jest funkcją napięcia – w prostych wypadkach opisywaną przez prawo Ohma.
• W termodynamice: objętość ciał oraz ich gęstość jest funkcją temperatury – rozszerzalność cieplna
• W mechanice kwantowej wektor stanu bywa funkcją, a konkretniej zespolonym polem skalarnym – tzw. funkcja falowa.
• Tensory: formy wieloliniowe, czyli funkcje wielu wektorów i kowektorów. Są używane w statyce (wytrzymałość materiałów), w optyce (dwójłomność) oraz w ogólnej teorii względności Einsteina.

Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.

Astronomia:

• położenie ciał niebieskich na niebie (współrzędne astronomiczne) jest funkcją czasu oraz współrzędnych geograficznych,
• okres obiegu planety wokół Słońca jest malejącą funkcją promienia jej orbity, zgodnie z III prawem Keplera,
• jasność obserwowana gwiazdy jest funkcją jej jasności absolutnej i odległości od obserwatora,
• krzywa rotacji galaktyki – prędkość gwiazdy względem galaktyki jest funkcją odległości od jej środka,
• przesunięcie ku czerwieni widm odległych galaktyk jest funkcją ich odległości od Ziemi – zgodnie z prawem Hubble’a,
• Diagram HR opisuje moc promieniowania i temperaturę gwiazdy w funkcji czasu.

Chemia:

• Przykładowo liczba atomowa, blok, grupa i okres w UOP albo liczba elektronów walencyjnych to funkcje na zbiorze pierwiastków chemicznych. Ta pierwsza jest różnowartościowa, a pozostałe – nie.
• liczba masowa i liczba neutronowa to funkcje na zbiorze nuklidów (wszystkie izotopy wszystkich pierwiastków),
• masa cząsteczkowa – funkcja na zbiorze molekuł albo związków,
• jądro lustrzane – bijekcja w zbiorze nuklidów,
• odbicie lustrzane – bijekcja w zbiorze cząsteczek chiralnych,
• własności makroskopowe subtancji jak temperatura wrzenia, temperatura topnienia itp.,
• skala pH jest logarytmiczną funkcją altywności jonów hydroniowych.

Biologia:

• Przykładem nieliczbowej funkcji jest kod genetyczny. Zgodnie z zasadą szufladkową Dirichleta nie może być funkcją różnowartościową, czyli innymi słowy jest zdegenerowany.
• mutacje genowe – zmiana sekwencji nukleotydów, np. substytucja, delecja, insercja,
• komplementarny nukleotyd lub cała nić DNA,
• krzywa wzrostu i inne parametry populacji.

Medycyna i fizjologia:

• BMI – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi
• EKG i EEG – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:

• wysokość bezwzględna, temperatura, ciśnienie atmosferyczne, a dla zbiorków wodnych zasolenie – funkcje współrzędnych geograficznych. To przykłady funkcji wielu zmiennych – konkretniej pól skalarnych.
• Temperatura i ciśnienie są też funkcją współrzędnych geograficznych i wysokości bezwzględnej,
• średnia temperatura atmosfery ziemskiej jest od XX w. funkcją rosnącą – globalne ocieplenie.

Geografia społeczna, demografia i socjologia:

• piramida wieku danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
• opinia publiczna, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.

Ekonomia:

• funkcje podaży i popytu,
• cena, np. kurs walutowy,
• rozmaite parametry gospodarki: PKB, inflacja, dług publiczny, HDI itd. Można je traktować jako funkcje na zbiorze państw, a dla danego państwa: funkcje od czasu.
• Liczne krzywe ekonomiczne, np. Laffera i Phillipsa

Psychologia:

• wyniki testów IQ są rosnącą funkcją czasu – efekt Flynna,
• funkcja komfortu psychicznego obserwatora od podobieństwa androida do człowieka ma lokalne minimum – to tzw. dolina niesamowitości,
• wiele wyników testów psychometrycznych w populacji, np. IQ i EQ jest opisanych funkcją rozkładu normalnego.

 

Mając dwie funkcje ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  i ${\displaystyle g\colon Y\to Z,}$  można utworzyć funkcję złożoną ${\displaystyle (g\circ f)\colon X\to Z}$  określoną wzorem ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g{\Big (}f(x){\Big )}.}$ 

Wielokrotne złożenie funkcji ${\displaystyle f\colon X\to X}$  nosi nazwę iteracji. Ściśle: ${\displaystyle n}$ -tą iteracją funkcji ${\displaystyle f}$  nazywa się funkcję

${\displaystyle f^{n}={\begin{matrix}\underbrace {f\circ f\circ \ldots \circ f} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}.}$ 

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$  taką, że ${\displaystyle (f\circ f^{-1})(x)=x,}$  którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Dla funkcji ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru ${\displaystyle M\subseteq X.}$  Jest to funkcja ${\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}$  taka, że ${\displaystyle f|_{M}(x)=f(x)}$  dla każdego ${\displaystyle x\in M.}$  Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f^[31].

Jeżeli ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  jest funkcją, a ${\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}$  jest jej zawężeniem do zbioru ${\displaystyle M\subset X,}$  to dla dowolnego zbioru ${\displaystyle B\subset Y}$  mamy ${\displaystyle \left(f|_{M}\right)^{-1}(B)=M\cap f^{-1}(B).}$ 

Z drugiej strony, dla ${\displaystyle M\subset X,}$  można przedłużyć funkcję ${\displaystyle f\colon M\to Y}$  zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję ${\displaystyle g\colon X\to Y.}$  Można np. wymagać, by przedłużenie ${\displaystyle g}$  funkcji ${\displaystyle f}$  było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta^[d]. Terminu funkcja użył po raz pierwszy^[32] Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach^[33]. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „Acta Eruditorum” w 1692 roku i dwa lata później w „Journal des Sçavans”. Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n „dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych”^[e][34]. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i ${\displaystyle \xi ,}$  a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę ${\displaystyle \varphi ,}$  zapisując argument jeszcze bez nawiasów ${\displaystyle \varphi x.}$  Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Zobacz hasło funkcja w Wikisłowniku

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Pojęcie funkcji

• rachunek lambda

• Juszkiewicz: Historia matematyki od Starożytności do początku XIX wieku. T. 2. Warszawa: PWN, 1976.
• Andriej Kołmogorow, Sergei Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej. Moskwa: Mir, 1989. (ros.).
• Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1966.
• Zenon Moszner: O teorii relacji. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1974.
• Iwan Winogradow: Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985. (ros.).
• Charles C. Pinter: A Book of Set Theory. Nowy Jork: Dover Ppublications, INC, 2014, s. 52,53. ISBN 0-486-49708-9. (ang.).
• What is a function. W: Mirin Alison: PME-NA Mathematics Education Across Cultures. Meksyk: PME-NA, 2020, s. 1157. ISBN 978-1-7348057-0-3. (ang.).
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: PWN, 1968. ISBN 83-01-13949-8. Brak numerów stron w książce

•   Paweł Lubowiecki, Odwzorowania cz. I Pojęcia podstawowe, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-12-23].