Równanie liniowe

Ten artykuł należy dopracować:

→ poprawić styl – powinien być encyklopedyczny.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Równanie liniowe – równanie algebraiczne stopnia pierwszego.

Poniższe równania są liniowe:

• ${\displaystyle 2x-3y+1=3}$
• ${\displaystyle x+2y+1=2x}$
• ${\displaystyle -4x-3=x+1}$
• ${\displaystyle 6x+y-z+1=3x+z}$

Poniższe równania nie są liniowe:

• ${\displaystyle 2^{x}-x=3}$
• ${\displaystyle x^{2}-x-1=2x}$
• ${\displaystyle \sin x-2x-1=2}$
• ${\displaystyle |x|-1=0}$
• ${\displaystyle 2x-3y^{2}+1=3}$

Można też mówić o równaniu liniowym ze względu na wybrane niewiadome – oznacza to, że niewiadome te występują w równaniu w potędze 1. Na przykład równanie ${\displaystyle 2x-3y^{2}+1=3}$ jest liniowe ze względu na ${\displaystyle x,}$ lecz nie jest liniowe ze względu na ${\displaystyle y.}$

Dowolne równanie liniowe o jednej niewiadomej daje się zapisać w postaci^[1]:

${\displaystyle ax=b,}$

gdzie ${\displaystyle x}$ jest niewiadomą, ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są pewnymi wiadomymi liczbami (lub innymi elementami ciała, w jakim rozpatruje się równanie). Jeśli ${\displaystyle a\neq 0,}$ to takie równanie zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek (inaczej mówiąc, jedno rozwiązanie), który można znaleźć za pomocą wzoru ${\displaystyle x=b/a.}$ Jeśli ${\displaystyle a=b=0,}$ to wszystkie liczby (elementy ciała) są pierwiastkami tego równania. Jeśli ${\displaystyle a=0,b\neq 0,}$ to równanie nie ma żadnego pierwiastka. Należy jednak powiedzieć, że jeżeli ${\displaystyle a=0,}$ to stopień tego równania jest nie pierwszym, a zerowym albo w ogóle nieistniejącym, co nie odpowiada podanej wyżej definicji równania liniowego; jednak często takie równania również są traktowane jako liniowe; zaś przyjmując powyższą definicję, można powiedzieć, że równanie liniowe z jedną niewiadomą zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek.

Równanie liniowe, które posiada więcej niż jedną niewiadomą, w typowym przypadku ma nieskończenie wiele rozwiązań i nigdy nie może być oznaczonym (czyli mieć dokładnie jedno rozwiązanie). Jakie przypadki przy jakich warunkach są możliwe, można badać, wychodząc z teorii układów równań liniowych, ponieważ równanie można rozpatrywać jako układ o jednym równaniu.

• funkcja liniowa
• nierówność liniowa
• układ równań liniowych

• Linear equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].