일차 방정식

수학에서 일차 방정식(一次方程式, 영어: linear equation) 또는 선형 방정식(線型方程式)은 최고 차수의 항의 차수가 1인 다항 방정식을 뜻한다. 일차 방정식의 변수는 하나뿐일 수도, 둘 이상일 수도 있다. 수학적 모델링에 필요한 비선형 방정식은 흔히 풀기 쉬운 일차 방정식으로 근사하여 다뤄진다.

변수가 하나뿐인 일차 방정식은 단순히 식을 정리하여 풀이할 수 있다. 하나의 변수 ${\displaystyle x}$를 갖는 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.

${\displaystyle ax+b=0}$

그 풀이는 다음과 같은 경우로 나뉜다.

• 만약 ${\displaystyle a\neq 0}$이라면, 유일한 해 ${\displaystyle x=-b/a}$를 가진다.
• 만약 ${\displaystyle a=0}$, ${\displaystyle b\neq 0}$이라면, 이 방정식은 어떤 해도 가지지 않는다. 즉, 불능 방정식이다.
• 만약 ${\displaystyle a=0}$, ${\displaystyle b=0}$이라면, 이 방정식은 모든 수를 해로 가지며, 부정 방정식에 속한다.

일차 방정식의 예는 다음과 같다.

• ${\displaystyle -2x+5=-3x+45}$의 해는 ${\displaystyle x=40}$이다.
• ${\displaystyle 6x-5=6x-6}$의 해는 존재하지 않는다.
• ${\displaystyle 3x-3=3x-3}$은 모든 수를 해로 한다. 따라서 해가 무한히 많다.

두 변수 ${\displaystyle x,y}$에 대한 일차 방정식은 ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle y}$에 대한 일차항과 상수항만을 포함하며, ${\displaystyle xy,x^{2},y^{1/3},\sin x}$와 같은 비선형항을 포함해서는 안된다. 두 변수의 계수가 모두 0인 경우를 제외하면 평면 위의 직선을 해집합으로 한다. 또한 ${\displaystyle y}$의 계수가 0인 경우를 제외하면 일차 함수의 영점을 구하는 문제와 동치이다. 이변수 일차 방정식의 표현 방법은 여러 가지가 있으며, 이는 평면 위의 직선의 방정식을 표현하는 방법과도 같다.

모든 이변수 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle ax+by+c=0}$

여기서 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0}$이어야 한다. 기하학적 관점에서 이 방정식은 고정된 벡터 ${\displaystyle (a,b)}$와의 스칼라곱 ${\displaystyle ax+by}$이 상수 ${\displaystyle -c}$인 벡터 ${\displaystyle (x,y)}$의 집합을 나타낸다. 이 방정식은 행렬을 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=-c\quad {\text{or}}\quad {\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0}$

만약 직선이 놓인 직교 좌표 평면을 복소평면으로 간주한다면, 점은 두 실수의 순서쌍 ${\displaystyle (x,y)}$ 대신 하나의 복소수 ${\displaystyle z}$로 쓸 수 있다. 이 경우 직선의 방정식의 일반 꼴을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\bar {B}}z+B{\bar {z}}+C=0}$

여기서 ${\displaystyle B}$는 0이 아닌 복소수, ${\displaystyle C}$는 실수, ${\displaystyle {\bar {B}}}$는 ${\displaystyle B}$의 켤레 복소수이다. 이는 직선의 방정식의 일반 꼴에서 ${\displaystyle z=x+yi}$, ${\displaystyle B=(a+bi)/2}$, ${\displaystyle C=c}$를 취하여 얻을 수 있다.

기울기 ${\displaystyle m}$과 y절편 ${\displaystyle n}$이 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle y=mx+n}$

이는 일반 꼴로부터 ${\displaystyle m=-a/b}$, ${\displaystyle n=-c/b}$를 취하여 얻을 수 있다. 수직선(y축과 평행하는 직선)(기울기가 무한대인 직선)의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.

직선이 지나는 점 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$과 기울기 ${\displaystyle m}$가 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}$

수직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.

직선 위에 놓인 두 점 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})}$이 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle (y-y_{1})(x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})(y_{2}-y_{1})}$

이를 행렬식을 통해 표현하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$

모든 직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 있다. 수직선이 아닐 경우 ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$이므로, 다음과 같은 꼴로도 쓸 수 있다.

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})}$

x절편 ${\displaystyle x_{0}}$와 y절편 ${\displaystyle y_{0}}$ (${\displaystyle x_{0}\neq 0}$, ${\displaystyle y_{0}\neq 0}$)가 결정하는 직선의 한 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1}$

이는 직선의 방정식의 일반적인 꼴에 ${\displaystyle x_{0}=-c/a}$, ${\displaystyle y_{0}=-c/b}$을 대입하여 얻는다. x축에 평행하거나, y축에 평행하거나, 원점을 지나는 직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.

직선을 하나의 매개 변수가 실수 범위에서 변화할 때 이 매개 변수에 의존하는 점이 그리는 궤적으로서 표현할 수 있다. 예를 들어, 점 ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$과 그 직선의 방향을 나타내는 벡터 ${\displaystyle \mathbf {u} =(a,b)}$가 결정하는 직선의 한 매개 변수 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\end{matrix}}\qquad t\in (-\infty ,\infty )}$

이는 다음과 같이 간략히 쓸 수도 있다.

${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=t\mathbf {u} \qquad t\in (-\infty ,\infty )}$

여기서 ${\displaystyle Q=(x,y)}$이다. 이는 다음과 동치이다.

${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}\times \mathbf {u} =\mathbf {0} }$

여기서 ${\displaystyle \times }$는 벡터곱, ${\displaystyle \mathbf {0} }$은 영벡터이다.

또한, 두 점 ${\displaystyle P=(x_{1},y_{1})\neq Q=(x_{2},y_{2})}$이 결정하는 직선의 한 매개 변수 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}x=(1-t)x_{1}+tx_{2}\\y=(1-t)y_{1}+ty_{2}\end{matrix}}\qquad t\in (-\infty ,\infty )}$

이를 간략히 표현하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\overrightarrow {OR}}=(1-t){\overrightarrow {OP}}+t{\overrightarrow {OQ}}\qquad t\in (-\infty ,\infty )}$

여기서 ${\displaystyle R=(x,y)}$이다. 매개 변수를 사용하지 않는 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle {\overrightarrow {PR}}\times {\overrightarrow {PQ}}=\mathbf {0} }$

일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다. ${\displaystyle n}$개의 변수 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$에 대한 일차 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0}$

여기서 ${\displaystyle a_{1},....,a_{n},b}$는 상수이다. 즉, 일차 함수의 영점을 구하는 방정식이다. 이러한 방정식의 해는 ${\displaystyle a_{i}}$가 모두 0인 경우를 제외하면 ${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간의 아핀 초평면(즉, ${\displaystyle (n-1)}$차원 아핀 부분 공간)을 이루게 된다.

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