Notacja Diraca

Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca^[1] do mechaniki kwantowej, sposób zapisywania działania form liniowych na stany kwantowe.

• tzw. ket, zapisywany „${\displaystyle |v\rangle }$”, oznacza wektor ${\displaystyle v}$ w zespolonej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ (zwykle przestrzeni Hilberta); fizyczna interpretacja to stan kwantowy pewnego układu.

• tzw. bra, zapisywane „${\displaystyle \langle f|}$”, oznacza funkcjonał liniowy ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {C} }$ na przestrzeni (gdy ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią Hilberta, zapis ten oznacza zwykle ciągły funkcjonał liniowy).

Działanie funkcjonału ${\displaystyle \langle f|}$ na wektorze ${\displaystyle |v\rangle }$ zapisywane jest jako ${\displaystyle \langle f|v\rangle .}$

Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle .}$ Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym ${\displaystyle [\phi |\psi ]}$ prawie 100 lat wcześniej.

Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych, co zapiszemy: ${\displaystyle {\vec {A}}\in V={\mathcal {L}}(\mathbb {R} )\ :\ \dim V=3.}$

Wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}=A_{1}{\vec {e}}_{1}+A_{2}{\vec {e}}_{2}+A_{3}{\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

gdzie wektory ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}}$ są liniowo niezależne (a więc tworzą bazę), a liczby ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$ to odpowiadające im współrzędne.

W ogólności kiedy wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (gdzie ${\displaystyle \mathbb {F} }$ to np. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lub ${\displaystyle \mathbb {C} }$), wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ jest nadal kombinacją liniową wektorów bazowych:

${\displaystyle {\vec {A}}=\sum _{n=1}^{N}A_{n}{\vec {e}}_{n}={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}.}$

Jednak ${\displaystyle {\vec {A}}}$ może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń ${\displaystyle L_{2}}$.

Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów: ${\displaystyle |A\rangle .}$ Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako

${\displaystyle |A\rangle =A_{1}|e_{1}\rangle +A_{2}|e_{2}\rangle +A_{3}|e_{3}\rangle ={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},}$

co można zapisać w skrócie

${\displaystyle |A\rangle =A_{1}|1\rangle +A_{2}|2\rangle +A_{3}|3\rangle ,}$

gdzie ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle }$ oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}.}$

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego

${\displaystyle \langle A|B\rangle ={\text{iloczyn skalarny bra }}\langle A|{\text{ z ket }}|B\rangle .}$

W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej z półtoraliniowym iloczynem skalarnym (jak przestrzeń ${\displaystyle \{|\psi \rangle \}}$)

${\displaystyle \langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+A_{3}^{*}B_{3},}$

gdzie ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy ${\displaystyle {\vec {A}}={\vec {B}},}$ iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora

${\displaystyle \langle A|A\rangle =|A_{1}|^{2}+|A_{2}|^{2}+|A_{3}|^{2}.}$

W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”

${\displaystyle \langle A|B\rangle =\left(\,\langle A|\,\right)\,\,\left(\,|B\rangle \,\right),}$

gdzie ${\displaystyle \langle A|}$ nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a ${\displaystyle |B\rangle }$ to ket.

Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.

Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci

${\displaystyle \langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\ldots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\ldots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}.}$

Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:

${\displaystyle \langle A|={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\ldots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}.}$

Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:

${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|,}$

ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\ldots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}},}$

otrzyma się:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}.}$

Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.

Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej:

• Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być „Elektron znajduje się w stanie ${\displaystyle |\psi \rangle }$”. (Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c ${\displaystyle |\psi \rangle }$ odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c).
• Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu ${\displaystyle |1\rangle +i|2\rangle }$ jest superpozycją stanów ${\displaystyle |1\rangle }$ i ${\displaystyle |2\rangle .}$
• Pomiary w mechanice kwantowej są związane z operatorami liniowymi (zwanych obserwablami) w przestrzeni Hilberta stanów kwantowych.
• Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.

Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:

• wektory bazowe oznacza się: ${\displaystyle |n\rangle ,}$ gdzie ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$
• wektory bazowe sprzężone hermitowsko: ${\displaystyle (|n\rangle )^{+}=\langle n|}$ oraz ${\displaystyle (\langle n|)^{+}=|n\rangle ,}$
• iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej ${\displaystyle {\hat {S}}^{+}=(|0\rangle ,|1\rangle )^{+}}$ i wektorów z bazy ${\displaystyle {\hat {S}}=(|0\rangle ,|1\rangle ){:}}$

${\displaystyle \langle 0|0\rangle =\langle 1|1\rangle =1,}$

${\displaystyle \langle 0|1\rangle =\langle 1|0\rangle =0,}$

• iloczyn tensorowy wektorów bazowych:

${\displaystyle |m\rangle |n\rangle =|mn\rangle ,}$

${\displaystyle |m\rangle \langle n|,}$

• iloczyn zewnętrzny wektorów bazowych:

${\displaystyle |m\rangle \wedge |n\rangle =-|n\rangle \wedge |m\rangle ,}$

${\displaystyle \langle m|\wedge \langle n|=-\langle n|\wedge \langle m|,}$

• sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:

${\displaystyle (|mn\rangle )^{+}=\langle mn|=\langle n|\langle m|,}$

${\displaystyle (|m\rangle \langle n|)^{+}=|n\rangle \langle m|,}$

• wektor o współrzędnych ${\displaystyle (v_{0},v_{1})}$ zapisany w bazie ${\displaystyle {\hat {S}}^{+}=(|0\rangle ,|1\rangle )^{+}{:}}$

${\displaystyle \langle v|=v_{0}\langle 0|+v_{1}\langle 1|,}$

• Inne wektory bazowe można oznaczyć ${\displaystyle |n'\rangle ,}$ na przykład:

${\displaystyle |0'\rangle =|0\rangle ,}$

${\displaystyle |1'\rangle =|0\rangle +q|1\rangle ,}$

${\displaystyle \langle 0'|=\langle 0|,}$

${\displaystyle \langle 1'|=\langle 0|+q^{*}\langle 1|,}$

• Operatory (macierze) oznacza się ${\displaystyle {\hat {A}},}$ na przykład operator jednostkowy:

${\displaystyle {\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|,}$

• Operator rzutowy ${\displaystyle {\hat {P}}{:}}$

${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)=|0\rangle \langle 0|.}$

• Notacja Diraca
• J.H. Przytycki, Płaszczyzna kwantowa i q-wielomian drzew z korzeniem, arxiv.org/1512.03080.