Бра і кет

Бра і кет (англ.: bracket - дужка) — алгебраічны фармалізм (сістэма абазначэнняў), прызначаны для апісання квантавых станаў. Называется таксама абазначэннямі Дырака. У матрычнай механіцы такая сістэма абазначэнняў з'яўляецца агульнапрынятай.

У квантавай механіцы стан сістэмы апісваецца променем (напрамкам) у сепарабельнай гільбертовай прасторы, ці, што эквівалентна, элементам праектыўнай гільбертавай прасторы ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ элементы якой завуцца «вектары стана» («кет-вектары») і пазначаюцца сімвалам ${\displaystyle |\psi \rangle }$.

Кожнаму кет-вектару ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ставіцца ў адпаведнасць бра-вектар з прасторы, сапружанай да ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ гэта значыць з ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}.}$

Бра-вектар ${\displaystyle \langle \psi |}$ з прасторы ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$азначаецца раўнаннем:

${\displaystyle \langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\left(|\psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)}$ для любога кет-вектара ${\displaystyle |\rho \rangle .}$

Вольна кажучы, у нейкім сэнсе бра-вектары «супадаюць» з адпаведнымі ім камплексна-сапружанымі кет-вектарамі. Пры гэтым звычайна адбываецца атаясамленне вектараў і функцыяналаў над вектарамі са слупкамі ці радкамі каардынат разлажэння іх па адпаведным базісе ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$ці ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Скалярны здабытак бра-вектара з кет-вектарам (а больш дакладна, дзеянне бра-вектара на кет-вектар) запісваецца у выглядзе ${\displaystyle \langle \varphi |\psi \rangle ;}$ дзве вертыкальныя рысы «зліваюцца», а дужкі не пішуцца. Квадрат вектара, па вызначэнні гильбертовай прасторы, неадмоўны: ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.}$ На вектары, што апісваюць станы сістэмы, накладаецца ўмова нарміроўкі${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1.}$

Калі ${\displaystyle A\colon H\to H}$ — лінейны аператар з ${\displaystyle H}$ у ${\displaystyle H}$, то дзеянне аператара ${\displaystyle A}$ на кет -вектар ${\displaystyle |\psi \rangle }$ запісваецца як ${\displaystyle A|\psi \rangle .}$

Для кожнага аператара ${\displaystyle A}$ і бра-вектара ${\displaystyle \langle \varphi |}$ уводзіцца функцыянал ${\displaystyle (\langle \varphi |A)}$ з прасторы ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*},}$ гэта значыць бра-вектар, памножаны на аператар ${\displaystyle A}$, што азначаецца роўнасцю:

${\displaystyle {\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},}$ для любого вектара ${\displaystyle |\psi \rangle .}$

Паколькі месцазнаходзанне дужак не мае значэння, іх звычайна прыбіраюць і пішуць проста ${\displaystyle \langle \varphi |A|\psi \rangle .}$

Гэтае выражэнне называется свёрткай аператара ${\displaystyle A}$ з бра-вектарам ${\displaystyle \langle \varphi |}$ і кет-вектарам ${\displaystyle |\psi \rangle .}$ Значэнне гэтага выражэння ёсць скаляр (камплексны лік).

У прыватнасці, матрычны элемент аператара ${\displaystyle A}$ ў акрэсленым базісе (у тэнзарных абазначэннях — ${\displaystyle A_{kl}}$) запісваецца у абазначэннях Дырака як ${\displaystyle \langle k|A|l\rangle ,}$ а сярэдняе значэнне назіраемай у квантавым стане ${\displaystyle \psi }$ — як ${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle .}$

Множанне вектараў на аператар (кет-вектара — злева, бра-вектара — справа) дае вектары таго ж тыпа і запісвается тым жа спосабам, што і ў лінейнай алгебры (гэта значыць, што бра- і кет-вектары атаясамліваюцца з вектарамі-радкамі і слупкамі, а аператары — з квадратнымі матрыцамі):

${\displaystyle |{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,}$

${\displaystyle \langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.}$

Ураўненне Шродзінгера (для стацыянарнага стана) будзе мець выгляд:

${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,}$ дзе ${\displaystyle H}$ — гамильтаніян, а  ${\displaystyle E}$ — скаляр (энергія стану).

У матэматыцы ўжываецца абазначэнне «эрмітавага» скалярнага здабытку ${\displaystyle \langle \varphi ,\;\psi \rangle }$ ў гільбертавай прасторы, якое мае той жа сэнс, што і перамнажэнне бра на кет. Аднак матэматыкі звычайна разглядаюць вуглавыя дужкі як знак аперацыі, а не часткі абазначэння вектара. Традыцыйнае матэматычнае абазначэнне, у адрозненне ад дыракаўскага, несіметрычнае — абодва вектары лічацца велічынямі аднаго тыпу, і па першым аргуменце з двух аперацыя з'яўляецца антылінейнай.

З іншага боку, здабытак бра і кет з'яўляецца білінейным, але ад двух аргументаў рознага тыпу. Сапружаным да кет-вектара ${\displaystyle i|\psi \rangle }$ ёсць бра-вектар ${\displaystyle -i\langle \psi |}$ (дзе ${\displaystyle i}$ — уяўная адзінка). Аднак, у квантавай механіцы гэтую мудрагелістасць абазначэнняў дазваляецца ігнараваць, паколькі квантавы стан, прадстаўляемы вектарам, не залежыць ад множання вектара на любыя камплексныя лікі, па модулю роўныя адзінцы.

Акрамя таго, выкарыстанне бра і кет дазваляе падкрэсліць адрозненне стана ${\displaystyle \psi }$ (запісваецца літарай без дужак і рысак) ад канкрэтных вектараў, што яго прадстаўляюць.

У адрозненне ад алгебраічных абазначэнняў, дзе элементы базісу пазначаюцца як ${\displaystyle e_{k},}$ у бра-кет-абазначэннях можа указвацца адзін толькі індэкс базіснага элемента, напрыклад: ${\displaystyle \langle k|\;,\;|l\rangle .}$ Гэтым яны падобныя да тэнзарных абазначэнняў, але, у адрозненне ад апошніх, дазваляюць запісваць здабыткі аператараў з вектарамі без выкарыстання дапаўняльных (падтэкставых ці надрадковых) літар.

Бра і кет можна выкарыстоўваць і ў чыстай матэматыцы для абазначэння элементаў сапружаных адна да адной лінейных прастораў. Калі, напрыклад, ${\displaystyle {\mathcal {H}}=R^{n},}$ то кет-вектары лічацца пры гэтым «вектарамі-слупкамі», а бра-вектары — «вектарамі-радкамі».

Перамнажэнне бра- і кет-вектараў адзін на аднаго і на аператары можна разглядаць як прыватны выпадак матрычнага фармалізму «радок на слупок». А менавіта, над трэба лічыць кет-вектары матрыцамі памеру ${\displaystyle N\times 1}$, бра-вектары — памеру ${\displaystyle 1\times N}$, аператары — памеру ${\displaystyle N\times N}$, дзе ${\displaystyle N}$ — колькасць станаў квантавай сістэмы (размернасць прасторы ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$). Матрыцы памеру 1 × 1 маюць адзіны элемент і атаясамляюцца са скалярамі. У выпадку бясконцамернае прасторы станаў на «матрыцы» (фактычна рады) даводзіцца накладаць дадатковыя ўмовы збежнасці.

Формула для сапружанага вектара выглядае наступным чынам:

${\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots ,{\overline {c}}_{N}\end{pmatrix}},}$

дзе

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}}$

Запіс тыпа ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$ заўжды азначае скаляр. Бра-вектар заўжды мае дужку злева: ${\displaystyle \langle ,}$ кет-вектар — дужку справа: ${\displaystyle \rangle .}$ Да таго ж, уводзіцца здабытак у «ненатуральным» парадку ${\displaystyle |\varphi \rangle \langle \psi |}$— (аналагічна матрычнаму множанню вектара-слупка на вектар-радок), якое дае гэтак называемый кет-бра-аператар. Аператар ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \varphi |}$ мае ранг 1 і з'яўляецца тэнзарным здабыткам ${\displaystyle |\psi \rangle }$ і ${\displaystyle \langle \varphi |.}$ Такія аператары часта разглядаюцца ў тэорыі аператараў і квантавых вылічэннях. У прыватнасці, аператар ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ (пры ўмове нарміроўкі ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$) з'яўляецца праектарам на стан ${\displaystyle \psi }$, дакладней, на адпаведную аднамерную лінейную падпрастору ў ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Мае месца асацыятыўнасць:

${\displaystyle \langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,}$

${\displaystyle |\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi }}\rangle }$.

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.