-
Integrator zur schnelleren Berechnung im Straßenbau. Beim Entwurf
von Straßen- und Eisenbahnen gibt .es im allgemeinen zwei Arten zur Berechnung der
Erdvolumen. Entweder arbeitet man mit Querprofilen, deren Elemente auf dem kotierten
Plan abgegriffen werden, und mit dem Längsprofil oder unter Zuhilfenahmevon Tabellen
mit dem. Längsprofil allein unter Benutzung der roten Koten, des natürlichen Gefälles
und der der Eigenart des Geländes in Einschnitt und Auftrag entsprechenden Böschungsneigung.
-
Beide Verfahren sind zu zeitraubend (Bearbeitung, der Streckenpläne,
große Anzahl von Rechnungen, Einschreiben der Elemente und Ergebnisse in die Tafeln
usw.), und wo die Verhältnisse sie zulassen, sind sie doch nicht genau, da man zur
Ermittlung des Erdvölumens zwischen zwei aufeinanderfolgenden Querprofilen den Mittelwert
der Flächen mit ihrem Abstand multipliziert, ein ungenaues Verfahren, sofern die
Böschungen nicht vertikal sind.
-
Der Integrator nach der Erfindung ermöglicht eine Berechnung der Erdvolumen,
bei der die genannten Nachteile nicht vorhanden sind. Die Massenberechnung mit dem
Integrator nach der Erfindung geht mit mathematischer Genauigkeit und schnellausschließlich
nach dem Längsprofil vor sich. Der Aufbau des Integrators steht in innigem Zusammenhang
mit mathematischen Grundüberlegungen, die infolgedessen zur Verständlichmachung
des Integrators in großen Zügen niedergelegt werden müssen.
-
In den Abb. i, 2 und 3 sind geometrische Darstellungen wiedergegeben,
die zur Erklärung der mathematischen Überlegungen dienen. In den Abb. q. bis 9 ist
der Integrator dargestellt.
-
Es zeigen: Abb. ¢ eine Draufsicht auf den Integrator, Abb. 5 eine
Seitenansicht des Integrators, Abb.6 und 7 Schnitte durch den Integrator nach den
Linien C-D und A-B der Abb. 4., Abb. 8 in Draufsicht einen etwas abgeänderten Integrator
nach der Erfindung, Abb. 9 einen- Schnitt durch den in Abb. 8 dargestellten Integrator
nach der Linie E-F der Abb. B.
-
a. Berechnung der Querprofilflächen. Es sei (Abb. i)
A B C D
das Querprofil eines Weges im Einschnitt oder Auftrag. Wenn man dann die Böschungen
AB
und
C D bis zum Schnittpunkt F mit der Straßenachse verlängert und
folgende Benennung.en - einführt: 2 c = Wegbreite
AB,
i =Böschungsneigung
gegen die Vertikale, i, == Geländewinkel, h = der roten Kote oder der senkrecht
-auf der Wegachse stehenden Höhe
O E, h'= c/i
= O F, y = lt + la',
t = Inhalt des Dreieckes
D E
F, t' = Inhalt des Dreieckes
C E
F, T = t -r-
t', Inhalt des Dreieckes CD-F,
7 '
= Inhalt des Dreieckes
A B F, S. = T - ?', Inhalt des Profils
woraus folgt
| AB CD, dann hat man: |
| T - . 2 |
| t=112Y#DH- 2 y2 I-22212 Y |
| 2 (I -f- 2 21) |
| Z Weiterhin ist T' = c211. D emnach |
| A ' =1/2Y - C - G=2(I+iil)y2
11 |
| S=T-T'=I-2222@2-i2 (I) |
| Multipliziert man beide Gleichungen mit 1 |
1 -t2 1,21
und addiert, so hat man: (A+A.)
. (i -i2112) =z.ys@
Um Gleichung 2 zu vereinfachen, setzen wir y1
- c il an Stelle von h und
haben dann-S - Y12/2
(I - Z
21) il Für h = o ergibt die Gleichung
2:
Für h = c il gehen Gleichungen i und 3 beide über in:
Um die Fläche AD
E im Auftrag (Abb.2) zu finden, müssen wir h negativ
nehmen, und dann ergibt die Gleichung z
und wenn wir
h = c il - y1, d. h.
h + y1
= c il, nehmen, so'
finden wir die Gleichung 3.
-
Daraus folgt, daß man für die Ermittlung der Querschnittsfläche zwei
Fälle unterscheiden muß, nämlich: 0 kleiner als h kleiner als c il. und h größer
als c il.
-
Im Falle h = cil und wenn im Längsprofil der Auftrag in den
Einschnitt übergeht oder umgekehrt, und in jedem Falle, wenn zwischen
h = cil für den Einschnitt und h = c1 il für den Auftrag zwei
Scheiteldreiecke entstehen (Abb. 3), setzen sich die -,entsprechenden Volumen aus
zwei Pyramiden zusammen, die als Grundflächen die Flächen. S bzw. S1 haben (bei
cl di, c2 d2) und als Höhe 2 dl H der ersten und
z d2 H als Höhe der zweiten. Ihre Volumen sind also
Da in diesem Falle die Gleichung i gilt, können wir im Längsprofil die Dreiecke
durch Ersichtlich gilt Gleichung i nur für lt größer als c i, Für
0 < als h < als cil (Abb. 2) hat man: die entsprechenden Rechtecke
cl ci dl d: und c. c2' d.9 d2 ersetzen, die als Grundlinien
dl di = z dl H13 und d2 d2' = z d z H13 haben,
wobei das erste Dreieck der Abtragfläche und das zweite Dreieck der Auftragfläche
entspricht. Damit erreicht man, wie später gezeigt wird, eine Erleichterung der
Berechnung.
-
b. Berechnung der Erdmassen. Es sei Abb.3 ein Teil des Längsprofils
einer Straße, deren Breite im Auftrag 8 m, im Einschnitt in Erde 9,8m, in Fels 8,9m
und in Mittelboden 9,--m ist. Die Zahlenangaben sollen nur den Zweck haben, die
mathematische Darstellung anschaulicher zu gestalten. In Abb.3 sind folgende Einteilungen
vorgenommen i. durch Lote b b, b1 bi auf die Straßenachse sind Strecken
abgeteilt, in denen die Neigungeni und il sowie das Längsgefälle des Weges sich
gleichbleiben; z. durch Parallelen c cl, cl cl zur Straßenachse im Abstand
i und durch Bildung der im vorigen Abschnitt erwähnten Rechtecke cl ci
dl di , c2 c,' d2 d2 trennt man die Abschnitte, wie z. B. A
E, für welche die Gleichung 3 gilt, von den anderen Abschnitten EF, F PI . .
., für welche Gleichung i gilt; 3. durch punktierte Linien Alt',
hl h,' , die für die Abschnitte, wo h < c il ist, im Abstand
c i, und für die Abschnitte, wo h - cil ist, im Abstand c/i parallel zur Achse auf
den den Erdmassen entgegengesetzten Sieiten verlaufen, bildet man die Momentenachse.
Es ergibt sich:
c. Beschneibung des Integrators. Der Integrator besteht aus einer rechteckigen Platte
P aus passendem Metall von
q. mm Stärke, 23o mm Länge und 85 mm
Breite, die auf der oberen Seite mit Papier überzogen ist, um die Reibung der Rolle
bei ihrer Bewegung zu vermehren. An einem der Längsränder der Platte ist ein Lineale
von rechteckigem Querschnitt befestigt, das an seinen senkrechten Wänden zwei drei°ckigc
Einkehlungen bat, in denen je zwei Kugeln b von 5 mm Durchmesser laufen. Das Lineal
ist ebenso lang wie die Platte; es ist i 4. mm breit und i o mm hoch.
-
Zwei Abschrägungen an der Platte, die den Enden des Lineals entsprechen,
sind in Millimeter eingeteilt, und zwar von einem Nullpunkt aus fünf nach rechts
positiv und fünf nach links negativ. Auf dem Lineal sitzt ein beweglicher Wagen
M, der auf den vier erwähnten Kugeln läuft, die zu je zweien in pyramidenförmigen
Vertiefungen an den Enden der vier Arme d, d' laufen. Die äußeren Enden dieser
Arme können um eine vertikale Achse c schwingen; die Kugeln werden mittels Schrauben
v, v', die die äußeren und inneren Arme zusammenziehen können, in Berührung mit
den. Pyramidenflächen der Arme und den Prismen des Lineals gehalten.
-
In der Mitte des Wagens ist eine lotrechte Achse H befestigt, um deren
Ende sich ein Arm N drehen kann, dessen Länge zwischen 150 und 250 mm einstellbar
ist, gemessen von der Drehachse bis zur Spitze des Fahrstiftes t, der längs des
Umfanges der Fläche bewegt wird, deren Moment bestimmt werden soll. Unter dem Wagen
ist ein gezahnter Kreissektor S von a 5 mm Radius befestigt, dessen Mittelpunkt
mit der Drehachse des Armes zusammenfällt.
-
Am Anfangspunkt des großen Armes ist rechtwinklig zu diesem ein kleiner
Arm N1 angesetzt, der in der Mitte ein kleines zylindrisches Loch zum Einsetzen
eines kleinen Gewichtes, hat und am Ende eine vertikale Achse H' im Abstand von
5o mm, von der Drehachse des großen Armes trägt. Am Fuß dieser Achse sitzt ein weiterer
gezahnter Kreissektor S' von gleichem Durchmesser wie der andere. Dieser Sektor
dreht sich bei der Drehung des großen Armes durch Abwälzung auf den ersten Sektor
um seine Achse.
-
Die beiden Sektoren werden durch eine Schraube T, die ungefähr am
Ende des kleinen Armes sitzt, in Berührung gehalten. Der Berührungspunkt muß genau
in der Winkelhalbierenden der beiden Sektoren liegen, wenn der große Arm mit der
Längsachse des Lineals zusammenfällt.
-
In der diametralen Verlängerung des drehbaren Sektors liegt die Integrationsrolle
R mit einem Nonius und das Zählrad R'. Der Laufkreis dieser Rolle bat zwischen 5o
und 6o mm (in der Zeichnung 5o mm) Umfang; der andere Teil der Rolle hat einen kleineren
Durchmesser und ist in ioo gleiche. Teile geteilt. Bei dieser Anordnung entspricht
einem Ausschlag r2 des beweglichen Armes ein Ausschlag 2 cp der Rolle, was eine
unerläßliche Bedingung für einen Integrator für statische Momente ist.
-
Zweckmäßig ersetzt man bei der beschriebenen Anordnung des Integrators
die beiden Zahnsektoren durch Scheiben I<, I(' (siehe Abb.8 und 9), von denen
die das Rädchen tragende, K', nur den halben Durchmesser hat wie die, welche sich
mit dem beweglichen Arm N dreht.
-
Auf der Zeichnung sind die Bewegungsverhältnisse der Scheiben leicht
erklärlich. Die erste, größere, von 40 mm Durchmesser dreht sich mit dem beweglichen
Arm um eine vertikale, starr auf dem beweglichen Wagen befestigte Achse.
-
Der Wagen ist nach unten durchgekröpft, verläuft als Arm L wagerecht,
erhebt sich dann wieder senkrecht und bildet die zylindrische Achse Z, um die sich
die kleine Scheibe ,V von 2o mm Durchmesser mit der starr an ihr befestigten Rolle
R dreht.
-
Die große Scheibe I( trägt an der der kleinen abgewandten Seite zwei
Schrauben e, @2 (Abb.8); an einer derselben ist ein Draht befestigt, der in der
Nut der großen Scheibe liegt, die kleine Scheibe il/2mal umschlingt, dann zu der
großen zurückkehrt und durch deren zweite Nut nach der zweiten Schraube i2 geht.
Vermittels dieser Schrauben e, e kann man den Draht spannen und die Scheiben
genügend kuppeln. Auch bei dieser Anordnung entspricht ersichtlich einer Drehung
des Armes um den Winkel cp die doppelte Drehung der kleinen Scheibe, also auch eine
Drehung der Integrationsrolle um den Winkel z cp.
-
Die anderen Teile des Integrators sind fast genau wie die der ersten
Anordnung, nur daß der Wagen auf drei Kugeln statt auf vieren läuft, von denen die
eine, b1, in der Verlängerung des kleinen Armes liegt und die anderen beiden, b.,
auf der Innenseite, wie bei der vorigen Anordnung.
-
Die Einstellung des Integrators geht folgendermaßen vor sich: Nachdem
man den Wagen mit den Schrauben so weit angezogen hat, daß die Kugeln mit ihren
Laufflächen in Berührung sind, und nachdem man die Zahnsektoren mit der Preßschraube
in Berührung gebracht hat, genügt es zur Regelung, daß die Achse des Wagens senkrecht
zu dem großen Arm steht, wenn die Spitzel auf der Momentenachse der betrachteten
Fläche liegt, oder auch parallel zur Ausgangsrichtung des Armes, wenn der Stift
auf einer Parallelen zur Momentenachse im Abstand
von
250: 1,414 = 176,8 mm liegt. Wenn man in diesem Falle die Längsachse
des Lineals (die Nullstriche auf der Platte) auf die Momentenachse legt und den
Stift um eine Strecke d von dieser Achse abbringt, so muß man auf dem Rädchen eine
Umdrehungszahl 2d ablesen oder auch ro/6d (bei 5o' bzw. 6o mm Umfang), und wenn
man den Stift auf einer Parallelen zur Momentenachse verschiebt, während der 25o
mm lange Arm einen Winkel von ¢5° mit dieser bildet, so darf die Rolle keine Drehung-zeigen.
Wenn dies nicht der Fall ist, so sucht man durch Wiederholung des Verfahrens unter
Drehung der Platte diejenigen Teilstriche auf derselben auf, für die die Bedingungen
erfüllt sind, und vermerkt sie auf dem Papierbezug der Platte. Die diese Teilstriche
verbindende Gerade heißt die Achse des Integrators.
-
Die Berührung der Integrationsrolle mit dem Papier wird durch das
Gewicht p und das Spiel zwischen den Pyramidenflächen gesichert (Abb.3).
-
In dieser Weise wird das Gerät mit den Zahnsektoren eingestellt. Bei
der Ausführung mit Schnurscheiben genügt es für die grobe Einstellung, mit den Schraubene,e
zu regeln; die genaue Einstellung geht auch hier mit den Teilungen auf der Platte
vor sich.
-
Mit dem Gerät arbeitet man in folgender Weise: Man teilt das Längsprofil
in Abschnitte, innerhalb deren gleiche Bedingungen vorliegen (gleiche Böschungswinkel
üsw.), setzt die Achse des Integrators auf die Verlängerung der Momentenachse der
Fläche, für die das entsprechende Erdvolumen ausgerechnet werden soll, z. B. h.
c2 c,. C1' h' (Abb. 3), setzt die Spitze des Fahrstiftes auf den Schnittpunkth
des Umfanges und der Momentenachse, liest die Angabe des Zahlrädchens und der Rolle
für diese Stellung ab und umfährt den Umfang der Fläche irn Uhrzeigersinn für den
Aufzug und im entgegengesetzten für den Abtrag bis zum Ausgangspunkt h.,.
-
Die weitere Auswertung des Integrators erfolgt entsprechend den vorausgegangenen
mathematischen Darlegungen. Es läßt sich mithin durch den Integrator nach der Erfindung
die Berechnung des Erdvolumens in genauer, einfacher und schneller Weise ausführen.