DE102004016814B4 - Verfahren und Vorrichtung für die magnetische Resonanzbildgebung unter Verwendung parametrisierter Phasenraumtrajektorien - Google Patents

Abstract

Bildgebendes Verfahren der magnetischen Resonanz, wobei das Verfahren die folgenden Schritte aufweist:
a) Auswählen einer Trajektorie im Phasenraum;
b) Ausdrücken dieser Trajektorie als Funktion von Variablen in einem Koordinatensystem, das geeignet ist zum Betreiben von Gradientenspulen eines Bildgebungssystems;
c) Ausführen variabler Transformation und Neudefinition zum Extrahieren einer Untergruppe von Variablen, die als Funktion der Zeit entlang der Gradientenwellenformen variieren, jedoch von Projektion zu Projektion konstant sind;
d) Berechnen der Untergruppe von Variablen vor der Bildgebung;
e) Speichern der berechneten Untergruppe von Variablen in einem Speicher; und
f) Berechnen von Gradientenwerten online während der Bildgebung mit Unterstützung der gespeicherten Untergruppe von Variablen, um die Wellenform-Speicheranforderungen beträchtlich zu reduzieren, so dass eine Gradientensteuerung die erforderlichen mathematischen Funktionen online ausführen kann.

Description

• Hintergrund der Erfindung
• Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren und eine Vorrichtung für die magnetische Resonanzbildgebung, die besonders geeignet ist für Natrium-Bildgebung bei klinischen Anwendungen.
• Die Verwendung von Natrium-MRI für die diagnostische Radiologie und klinische Forschung war bis jetzt aufgrund der technischen Schwierigkeiten der Bildgebung dieses Quadrupol-Atomkerns beschränkt. Durch die geringe natürliche Konzentration von Natrium im Gewebe (intrazelluläre und extrazelluläre Konzentrationen von ca. 10 bzw. 140 mM im Gehirn¹) in Verbindung mit sehr kurzen transversalen Relaxationszeiten (3 bis 8 ms)² wird die Bildgebung dieses Kerns mit angemessenen Rauschabstand- und Abtastzeiten zu einer Herausforderung für die klinische Verwendung. Trotz dieser Beschränkungen sind eine Anzahl von klinischen Verwendungen der Natrium-Bildgebung bekannt. Die klinischen Bereiche, die am meisten von dieser Technik profitieren dürften, sind die Diagnose und Behandlung von akutem Schlaganfall¹, Myokardinfarkt³, Skelettmuskel-Erkrankung⁴ und Osteoarthritis und Knorpeldegeneration⁵. Da die Natriumbildgebung sich als der bessere Indikator von ischämischem Gewebe erwiesen hat im Vergleich zu diffusionsgewichteter Bildgebung (DWI) bei Tierversuchen eines Schlaganfalls⁶ ist es potentiell möglich, dass Natriumbildgebungsverfahren den Bedarf an Hochleistungs-Echoplanar MR-Scannern, die DWI für die klinische Bewertung von Patienten mit akutem Schlaganfall ermöglichen, überflüssig machen.
• Projektionsbildgebungs (PI)-Verfahren⁷ und herkömmliche 3D-Schnellgradientenechosequenzen (FLASH)⁸ wurden zuvor an die Natriumbildgebung angepasst. Leider waren bei diesen frühen PI-Verfahren die k-Raum-Probenahmestrategien nicht effektiv und die Gradientenechoverfahren unterlagen einer übermäßigen T2-Gewichtung. Es hat sich kürzlich erwiesen, dass dreidimensionale verzerrte Projektionsbildgebungs (TPI) Sequenzen mit extrem kurzen Echozeiten (TE∼0,4ms) Natriumbilder von diagnostischer Qualität erzeugten.⁹ Dieser Lösungsweg nützt jedoch nicht das Potential des Schemas zum Minimieren der Rauschvarianz einer Natriumabbildung durch die einheitliche Probenahme des k-Raums aus. Es besteht deshalb der Bedarf, darzustellen, wie das ursprüngliche Konzept, das die Entwicklung der 3D TPI Methode zur Folge hatte, verwendet werden kann, um dreidimensionale einheitliche Probedichte (USD)-k-Raum-Trajektorien zu erhalten, und weiterhin die Effektivität einer 3D Projektionsbildgebung für Natrium zu verbessern.
• Aus DE 198 18 292 A1 ist ein Verfahren zur Steuerung einer Pulssequenz für eine Kernspintomographieanlage bekannt wobei die Berechnung eines Steuerdatensatzes während der Laufzeit der Sequenz vorgenommen wird, so dass der Sequenzablauf mit minimaler zeitlicher Latenz unter optimaler Nutzung des Gradientensystems nicht deterministisch gesteuert werden kann.
• US 6,020,739 beschreibt ein Verfahren zur Auslegung einer optimalen Gradientenfrom für die MRI, wobei zuerst ein Winkel zwischen einem gegebenen Gradientenfrom und dem nachfolgenden Gradienten und danach die Größe des Betrags das nachfolgenden Gradienten bestimmt wird.
• Im Hinblick auf die obengenannten bekannten Aspekte ist es die Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein Verfahren und eine Vorrichtung für die magnetische Resonanzbildgebung zu entwickeln, welche besonders vorteilhaft sind für Anwendungen mit Natriumkernen, welche eine gleichmäßige effektive Probedichte mit angemessenen Rauschabständen für die entnommenen Signale und mit Abtastzeiten, die für klinische Anwendungen akzeptabel sind, erzielt.
• Zusammenfassung der Erfindung
• Die Aufgabe der Erfindung wird gelöst mittels eines Verfahrens und einer Vorrichtung für die magnetische Resonanzbildgebung, bei welchen eine Trajektorie im Phasenraum gewählt wird und als eine Funktion von Variablen in einem Koordinatensystem ausgedrückt wird, welche geeignet sind, die physikalischen Gradientenspulen eines Bildgebungssystems anzutreiben. Die Variablen in der Funktion, die die gewählte Trajektorie beschreiben, werden neu definiert und so transformiert, dass eine Untergruppe von Variablen erhalten wird, die sich als Funktion der Zeit entlang der Gradientenwellenformen ändern, jedoch ansonsten von einer Projektion zur anderen konstant sind. Die Variablen, die von Projektion zu Projektion konstant bleiben, werden dann berechnet und in einem Speicher gespeichert und die Inhalte dieses Speichers werden für eine Online-Berechnung der Gradientenwerte während der Bildgebung verwendet.
• Durch Trennen der die gewählte Trajektorie beschreibenden Variablen in dem Koordinatensystem entsprechend den Gradientenspulen in Variable, die von Projektion zu Projektion konstant sind, und Variable, die sich von Projektion zu Projektion ändern, ermöglichen das erfindungsgemäße Verfahren und Vorrichtung die Berechnung eines beachtlichen Teils der Variablen vor der Bildgebung. Diese berechneten Werte werden dann gespeichert und für Echtzeit-Berechnungen von Parametern verwendet, die während des Bildgebungsverlaufs, wenn die Projektionen durchschritten werden, geändert werden müssen. Durch diese beschriebene Trennung der Variablen in zwei Gruppen ist es möglich; die Wellenform-Speicheranforderungen erheblich auf eine Größe zu reduzieren, welche es den Stromgradienten-Steuerungen ermöglicht, die erforderlichen mathematischen Funktionen online durchzuführen.
• Bei einer am meisten bevorzugten Anwendung der Erfindung werden das Verfahren und die Vorrichtung an die magnetische Resonanzbildgebung von Natriumkernen angewendet. Diese Anwendung ist besonders vorteilhaft, da die Abbildung von Natriumkernen extrem schwierig ist aufgrund ihrer natürlichen niedrigen Konzentration von quadrupolarem (23) Natrium im Gewebe und zugehörigen kurzen Relaxationszeiten, was die Bildgebung mit guten Rauschabständen in angemessenen Abtastzeiten stark beeinträchtigt. Das erfindungsgemäße Verfahren ist deshalb in diesem Fall besonders vorteilhaft.
• Bei einer besonders bevorzugten Anwendung des Verfahrens und der Vorrichtung ist die gewählte Trajektorie eine dreidimensionale Trajektorie mit im wesentlichen einheitlicher Probenahmedichte. Diese Ausführungsform hat den Vorteil, insbesondere in Verbindung mit der Bildgebung von Natriumkernen, dass sie eine gute Probenahme des k-Raums bereitstellt unter Verwendung einer Anzahl von Proben, die immer noch klein genug ist, so dass sie die Bildgebung mit gutem Rauschabstand in einer angemessenen Abtastzeit erleichtert.
• Bei einer bevorzugten Ausführungsform der Erfindung ist die gewählte Trajektorie eine dreidimensionale verzerrte Projektions-Bildgebungssequenz mit extrem kurzen Echozeiten. Diese besondere Anwendung hat den Vorteil, dass sie eine effektive Nutzung der Wellenform-Speicheranforderungen für die Gradientensteuerung mit einem Schema für Probephasenraum bereitstellt, was zu guten Rauschabständen für angemessene Datensatzgrößen liefert.
• Bei einer bevorzugten Ausführungsform der Erfindung ist das Koordinatensystem, in welchem die Variablen und Funktionen für die gewählte Trajektorie ausgedrückt werden, ein kartesisches Koordinatensystem. Diese besondere Ausführungsform hat den Vorteil, dass die meisten Gradientensysteme, die bei der Bildgebung verwendet werden, Gradientensysteme sind, die eine kartesische Koordinatengradientenkombination in x-, y- und z-Richtungen erzeugen. Das kartesische Koordinatensystem für die gewählten Trajektorieen ist deshalb die natürliche Wahl für den Ausdruck der Funktionen, die erforderlich sind für den Wellenformgenerator des entsprechenden Gradienten.
• Be einer bevorzugten Ausführungsform der Erfindung sind die gewählten Trajektorien verdrehte spiralförmige Trajektorien. Diese besondere Ausführungsform hat den Vorteil, dass sie eine effektive k-Raum- Probenahme mit besserer Wirkung bereitstellt und sich herausgestellt hat, dass sie Natriumbildgebung von diagnostischer Qualität in angemessenen Bildgebungszeiten und für angemessene Datensetgrößen erzeugen kann.
• Weitere Merkmale der Erfindung ergeben sich aus den Figuren, den Ansprüchen und der zugehörigen folgenden Beschreibung einer bevorzugten Ausführungsform. Die bevorzugte Ausführungsform der Erfindung ist nur beispielhaft und stellt keine abschließende Aufzählung aller möglichen erfindungsgemäßen Kombinationen dar. Die Elemente, die in dieser Ausführungsform sowie in den Ansprüchen offenbart sind, können auch in anderen Kombinationen im Zusammenhang mit der Erfindung verwendet werden, solange diese Kombinationen das gewünschte Ziel erreichen, den Wellenformspeicher bedeutend zu reduzieren, um zu ermöglichen, das eine Gradientensteuerung die erforderlichen mathematischen Funktionen online durchführen kann.
• Kurze Beschreibung der Zeichnung
• 1 zeigt eine schematische Darstellung einer verdrehten spiralförmigen Phasenraum-Trajektorie;
• 2 zeigt die Gradientenwellenform in kartesischen Koordinaten, die der Phasenraum-Trajektorie von 1 zugeordnet ist;
• 3 zeigt eine erweiterte Ansicht des Anfangsabschnitts der Phasenraum-Trajektorie von 1 die das Aufstiegsverfahren in Richtung der verdrehten spiralförmigen Trajektorie zeigt; und
• 4 zeigt die Zeitabhängigkeit der Gradientenwellenform entsprechend des Aufstiegsabschnitts der Phasenraum-Trajektorie, gezeigt in 3.
• Beschreibung der bevorzugten Ausführungsform
• Eine Lösung der mathematischen Bedingung, die die konstante Probenahme des K-Raums erlaubt, stellt „verdrehte spiralförmige" Trajektorien dar, ähnlich (jedoch nicht gleich) zu den von Boada et al (1997)⁹ beschriebenen. Diese Lösung kann in Polarkoordinaten ausgedrückt werden durch ki = (3γGk20 t + k30 )1/3

  

  wobei k der Raumfrequenzvektor (entsprechend dem Radius der Trajektorie), γ das gyromagnetische Verhältnis des abgebildeten Kerns (²³Na), G die maximale Gradientenstärke, und ϕ und θ₀ der Azimutal- bzw. Polarwinkel sind. K₀ ist die ungefähre Position, wo sich die k-Raum-Trajektorie entsprechend den Gleichungen 1.1–1.2 entwickelt und ist gegeben durch k0 = 2Δxp (1.3)wobei Δx und p die gewünschte räumliche Auflösung bzw. Trajektorienverzerrung sind.
• Gleichungen 1.1–1.3 können verwendet werden, um die Uniform Sampling Density (USD = einheitliche Probenahmedichte) Sequenz zu entwickeln. Die k-Raum-Trajektorien, die diesem Schema zugeordnet sind, können in vier diskrete Stufen im Bereich des k-Raums unterteilt werden, angedeutet durch die gepunktete Linie in 1. Wie in 3 gezeigt ist, zeigen die ersten drei Stufen eine anfängliche Gradientenaufstiegsphase (gepunktete Linie), eine konstante radiale Linie (konstanter Gradient, strichgepunktete Linie) und die Übergangsphase von einer radialen Linie zu der einheitlichen ProbenahmedichteTrajektorie oder „verdrehte Spiralform" (gestrichelte Linie). Die vierte Stufe beginnt an diesem Punkt und k_i und ϕ_i beginnen sich entsprechend den Gleichungen 1.1–1.2 zu entwickeln (durchgezogene Linie). Die zugeordneten Bereiche von 3 für die Zeitabhängigkeit der Gradienten sind in 4 gezeigt.
• Durch Verwendung der Gleichungen 1.1–1.2 können kartesische Koordinatengleichungen abgeleitet werden und als Eingabe für die USD-Gradientenwellenformen verwendet werden. Die Gradientenwellenformen, die diesen Trajektorieen zugeordnet sind, sind unten ausgedrückt. Es ist zu beachten, dass die drei Vektorgleichungen 1.4–1.6 von θ₀ abhängen (welcher für eine gegebene Projektion konstant ist). Gxi = k .isinθ0cosϕi – kiϕ .isinθ0sinϕi (1.4) Gyi = k .isinθ0sinϕi + kiϕ .isinθ0cosϕi (1.5) Gzi = k .icosθ0 (1.6)wobei

  
• Wie oben umrissen ist, erfordern die berechneten Gradientenwellenformen für eine 8mm Pixel-Auflösung, Verzerrung der Trajektorie p von 0,4, maximale Gradientenstärke G von 3,2mT/m, Verweilzeit von 32μs und ein Blickfeld von 220mm 192649 Punkte für 503 Projektionen (d.h. unterschiedliche Werte von ϕ und für θ₀ eine k-Raum-Halbsphäre, was einen Wellenformspeicher von ca. 0,4MB ergibt. Selbst bei dieser geringen Auflösung liegen die Speicheranforderungen weit über denen der zur Verfügung stehenden Wellenformspeicher der meisten MRI Scanner. Eine Lösung für dieses Problem bestünde darin, die Segmente der Wellenform während der Bilderfassung in den und aus dem Speicher zu puffern. Es mag jedoch Einschränkungen bezüglich der Ausführbarkeit einer solchen Codierung in dem Impulsprogramm geben.
• Eine elegante Lösung für dieses Problems bestünde darin, die durch die kartesische Koordinate abgeleitete Wellenformen online während des Bildgebungsverfahrens zu berechnen. Diese Lösung hat das Problem, dass die meisten MRI-Scanner keine mathematischen Funktionen wie tan^–1 oder das Quadrat oder Quadratwurzel an der Gradientensteuerung ausführen können. Deshalb wird ein neuer Lösungsansatz benötigt.
• Es kann beobachtet werden, dass während θ₀ zwischen Projektionen variiert, es für eine gegebene Projektion konstant ist. Die restlichen Parameter (wie k_i) variieren als Funktion der Zeit entlang der Gradientenwellenform, bleiben jedoch konstant zwischen den Projektionen. Somit kann die Berechnung der Gradientenwellenform in zwei getrennten Teilen ausgeführt werden. Der erste Teil berechnet und speichert im Speicher diejenigen Parameter, die zwischen den Projektionen vor dem Bildgebungsexperiment konstant bleiben. Der zweite Teil berechnet die Gradientenwellenformen online durch Miteinbeziehen von θ₀ in den in dem Speicher gespeicherten Parametern.
• Zusätzlich zur Berechnung von Gleichungen 1.1 und 1.7 sind die vor dem Bildgebungsexperiment ausgeführten Berechnungen durch die folgenden transformierten neu definierten Variablen gegeben:

  
• Im Vergleich zu Gleichungen 1.2 und 1.8 sind die Gleichungen 1.9 und 1.10 unabhängig von θ₀ unter Berücksichtigung, dass dieser Parameter zwischen den Projektionen variiert und somit berechnet und in eine Anordnung vor der Bildgebung geladen werden kann. Die online berechneten Berechungen mittels dieser transformierten Variablen sind dann gegeben durch:

  

  Gzi = k .icosθ0 (1.13)
• Mittels dieses Lösungsansatzes ist ersichtlich, dass die Wellenformspeicheranforderungen deutlich reduziert sind und dass die Gradientensteuerung nun die mathematischen Funktionen online ausführen kann.
• Referenzen
• 1. Thulborn KR, Gindin TS, Davis D, et al. Comprehensive MR Imaging Protocol for Stroke Management: Tissue sodium concentration as a measure of tissue viability in nonhuman primate studies and in clinical studies. Radiology 1999;213:156–166.
• 2. Rooney W, Springer C. The molecular environment of intracellular sodium: ²³Na NMR relaxation. NMR Biomed. 1991;4: 227–245.
• 3. Pabst T, Sandstede J, Beer M, Kenn W, Greiser A, von Kienlin M, Neubauer s, Hahn D. Optimization of ECG-triggered 3D (23)Na MRI of the human heart. Magn Reson Med. 2001;45:164–166.
• 4. Constantinides CD, Gillen JS, Boada FE, Pomper MG, Bottomley PA. Human skeletal muscle: sodium MR imaging and quantificationpotential applications in exercise and disease. Radiology 2000; 216: 559–568.
• 5. Shapiro EM, Borthakur A, Dandora R, Kriss A, Leigh JS, Reddy R. Sodium visibility and quantitation in intact bovine articular cartilage using high field (23)Na MRI and MRS. J Magn Reson. 2000;142:24–31.
• 6. Lin SP, Song SK, Miller JP, Ackerman JH, Neil JJ. Direct, Longitudinal comparison of ¹H and ²³Na MRI after transient focal cerebral ischemia. Stroke 2001;32:925–932
• 7. Ra J, Hilal Z, Cho Z. A method for in vivo MR imaging of the short T2 component of sodium-23. Magn. Reson. Med. 1986;3:296–302
• 8. Kohler S, Preibisch C, Nittka M, Haase A. Fast three-dimensional sodium imaging of human brain. MAGMA 2001;13:63–69.
• 9. Boada FE, Gillen JS, Shen GX, Chang SY, Thulborn KR. Fast Three Dimensional Sodium Imaging. Mag. Reson. Med. 1997;37:706–715.

Claims (20)

1. Bildgebendes Verfahren der magnetischen Resonanz, wobei das Verfahren die folgenden Schritte aufweist: a) Auswählen einer Trajektorie im Phasenraum; b) Ausdrücken dieser Trajektorie als Funktion von Variablen in einem Koordinatensystem, das geeignet ist zum Betreiben von Gradientenspulen eines Bildgebungssystems; c) Ausführen variabler Transformation und Neudefinition zum Extrahieren einer Untergruppe von Variablen, die als Funktion der Zeit entlang der Gradientenwellenformen variieren, jedoch von Projektion zu Projektion konstant sind; d) Berechnen der Untergruppe von Variablen vor der Bildgebung; e) Speichern der berechneten Untergruppe von Variablen in einem Speicher; und f) Berechnen von Gradientenwerten online während der Bildgebung mit Unterstützung der gespeicherten Untergruppe von Variablen, um die Wellenform-Speicheranforderungen beträchtlich zu reduzieren, so dass eine Gradientensteuerung die erforderlichen mathematischen Funktionen online ausführen kann.
2. Verfahren nach Anspruch 1, wobei Natriumkerne abgebildet werden.
3. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei die ausgewählte Trajektorie eine dreidimensionale Trajektorie ist mit im wesentlichen einheitlicher Probenahmedichte.
4. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, wobei die ausgewählte Trajektorie eine dreidimensionale verzerrte Projektions-Bildgebungssequenz mit extrem kurzen Echozeiten ist.
5. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei das Koordinatensystem ein kartesisches Koordinatensystem ist.
6. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei die gewählten Trajektorien verdrehte spiralförmige Trajektorien sind.
7. Verfahren nach Anspruch 6, wobei die spiralförmigen Trajektorien gegeben sind durch folgendes Verhältnis: ki = (3γGk20 t + k30 )1/3

   

   wobei k ein räumlicher Frequenzvektor entsprechend einem Radius der Trajektorie, γ ein gyromagnetisches Verhältnis eines abgebildeten Kerns, G eine maximale Gradientenstärke, φ ein azimutaler Polarwinkel, θ₀ ein Polarwinkel und k₀ eine entsprechende Position ist, wo die Trajektorie sich entwickelt, wobei k₀ gleich 2Δp ist, wobei Δx und p die gewünschte räumliche Auflösung bzw. Verzerrung der Trajektorie liefern.
8. Verfahren nach Anspruch 7, wobei Schritt b) den Schritt des Ausdrückens der Gradientenwellenformen Gx_i, Gy_i, Gz_i in einem kartesischen Koordinatensystem wie folgt umfasst: Gxi = kisinθ0cosϕi – kiϕisinθ0sinϕi Gyi = k .isinθ0sinϕi + kiϕ .isinθ0cosϕi Gzi = k .icosθ0 wobei

   
9. Verfahren nach Anspruch 8, wobei Schritt c) den Schritt des Definierens, Schritt d) den Schritt des Berechnens und Schritt e) den Schritt des Speichers der folgenden transformierten Untergruppe von Variablen aufweist:

   
10. Verfahren nach Anspruch 9, wobei Schritt f) den Schritt der online-Berechnung der folgenden Gradientenwerte umfasst unter Verwendung der transformierten Untergruppe von Variablen:

    

    Gzi = k .icosθ0
11. Vorrichtung zur Verwendung in einem Apparat zur Bildgebung mittels magnetischer Resonanz, wobei die Vorrichtung aufweist: eine Einrichtung zum Speichern einer berechneten Untergruppe von Variablen in einem Speicher; und eine Einrichtung zum Berechnen von Gradientenwerten online während der Bildgebung mit der Unterstützung der gespeicherten Untergruppe von Variablen, um die Wellenform-Speicheranforderungen bedeutend zu reduzieren, so dass eine Gradientensteuerung die erforderlichen mathematischen Funktionen online ausführen kann, wobei die Untergruppe der Variablen vor der Bildgebung berechnet wird, die Untergruppe von Variablen durch Transformation und Neudefinition eines Satzes von Variablen abgeleitet wird, wobei die Untergruppe von Variablen als Funktion der Zeit entlang der Gradientenwellenform variiert, jedoch von Projektion zu Projektion konstant ist, wobei der Satz der Variablen eine Funktion in einem Koordinatensystem beschreibt, welches geeignet ist, die Gradientenspulen der Bildgebungsvorrichtung zu betreiben, wobei die Funktion eine Trajektorie im Phasenraum definiert.
12. Vorrichtung nach Anspruch 11, wobei Natriumkerne abgebildet werden.
13. Vorrichtung nach Anspruch 11 oder 12, wobei die Trajektorie im Phasenraum eine dreidimensionale Trajektorie ist mit im wesentlichen gleichmäßiger Probenahmedichte.
14. Vorrichtung nach Anspruch 11 oder 12, wobei die Trajektorie im Phasenraum eine dreidimensionale verdrehte Projektions-Bildgebungssequenz mit extrem kurzen Echozeiten ist.
15. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 11 bis 14, wobei das Koordinatensystem ein kartesisches Koordinatensystem ist.
16. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 11 bis 15, wobei die Trajektorie im Phasenraum eine verdrehte spiralförmige Trajektorie ist.
17. Vorrichtung nach Anspruch 16, wobei die spiralförmige Trajektorie durch folgendes Verhältnis gegeben ist: ki = (3γGk20 t + k30 )1/3

    

    wobei k ein räumlicher Frequenzvektor entsprechend einem Radius der Trajektorie, γ ein gyromagnetisches Verhältnis eines abgebildeten Kerns, G eine maximale Gradientenstärke, φ ein azimutaler Polarwinkel, θ₀ ein Polarwinkel und k₀ eine entsprechende Position ist, wo die Trajektorie sich entwickelt, wobei k₀ gleich 2Δxp ist, wobei Δx und p die gewünschte räumliche Auflösung bzw. Verzerrung der Trajektorie liefern.
18. Vorrichtung nach Anspruch 17, wobei Gradientenwellenformen Gx_i, Gy_i, Gz_i in einem kartesischen Koordinatensystem definiert sind mit den folgenden funktionellen Verhältnissen vor Verwendung des transformierten Satzes von Variablen: Gxi = kisinθ0cosϕi – kiϕisinθ0sinϕi Gyi = kisinθ0sinϕi + kiϕisinθ0cosϕi Gzi = k .icosθ0 wobei

    
19. Vorrichtung nach Anspruch 18, wobei die folgende transformierte Untergruppe von Variablen extrahiert wird:

    
20. Vorrichtung nach Anspruch 19, wobei die folgenden Gradientenwerte online berechnet werden unter Verwendung des transformierten Satzes von Variablen

    

    Gzi = k .icosθ0