CN110494771B - 通过介电电泳的光转向和聚焦 - Google Patents

Abstract

提供了用于通过在胶体或悬浮液中的纳米粒子上由介电电泳过程形成的电子地诱导的折射率梯度来进行光的光束转向和聚焦的方法和设备。方法和设备提供对在功率处理中具有大动态范围的多倍频程带宽和极化多样化光的控制。针对大角度光束转向和透镜提供该技术的实施例。讨论了用于基于窄带电磁辐射的流控模态控制来进行光转向以产生允许大量光束的方向控制的特殊类别的加速光的附加实施例。提供用于LiDAR、太阳能收集、机器人视觉、智能手机变焦透镜、定向能量系统和其他高价值领域的应用。

Description

通过介电电泳的光转向和聚焦

相关申请的交叉引用

本发明要求以下美国专利申请的利益：[1]由专利代理人Christopher Peil于2017年2月8日为发明人Leo D.DiDomenico提交的且标题为“Active Microfluidic BeamSteering”的U.S.62/456,614，U.S.62/456,614特此被全部并入；[2]由专利代理人Christopher Peil于2017年2月16日为发明人Leo D.DiDomenico提交的且标题为“ActiveMicrofluidic Beam Steering”的U.S.62/460,080，U.S.62/460,080特此被全部并入。

技术领域

本发明涉及使用电子地控制的光电子微流体，其在液体中的纳米粒子上使用介电电泳过程以电子地且非机械地重定向光和通常控制光的传播，用于光束转向和聚焦应用。

背景技术——流控光控制

存在用于电子地重定向光的在现有技术中讨论的几种流控方法。广义地说，微光流控光导和透镜用于重定向光，并且它们通过(1)改变在液体的整个体积中的性质(压力、电能、悬浮液晶的取向等)或(2)通过使用表面效应改变液体的光学表面的形状来被启用。稍微更特别地，在液体中的静电场和准静电场可以为这些变化提供手段，并且可以提供：在液体的总体积上的净力和/或通过电子地改变液体和固体的表面能来改变液体的表面与接触固体的接触角。

在实质上导电的液体的情况下，表面形状常常通过电润湿过程而电气地改变，这需要绝缘体覆盖电极，使得电极不通过液体而对地短路。在电极对两端的电压在电极附近的绝缘体中诱导极化电荷。这些极化电荷与极性液体相互作用以改变液体的表面能和与液体接触的绝缘体的润湿性。这导致对与绝缘体接触的液体的力，其可以移动液体。它还可以根据所施加的电极电压来改变液滴的表面的形状。

然而，在实质上不导电的液体的情况下，表面形状常常通过介电电泳而电气地改变，其中电极现在可以与由气体或真空包围的液体直接接触。然后，不均匀的电场可以通过开尔文力促使液体移动或改变形状。

在基于电润湿和介电电泳的光转向和聚焦中的液滴的使用具有缺点，包括对下列项的需要：(1)具有有限聚光能力的小光学器件，(2)校正像差的多个透镜，(3)由于大多数液体的相对低的折射率而引起的折射率的有限范围，使得折射本领小且光转向不明显。

存在在现有技术中的用于使用电润湿方法的许多变型，包括例如于2011年3月1日发给Jason Heikenfeld等人的标题为“Tunable Optical Array Device ComprisingLiquid Cells”的美国专利7,898,740。该专利显示了包括至少两种透明且不可混溶的流体的充液单元的阵列，每种流体具有不同的折射率。施加到单元的电压通过被称为电润湿的过程来诱导改变在两种不可混溶的流体之间的边界的润湿角的极化电荷，且这使光学边界改变取向，使得光被折射到不同的方向上。

还存在基于介电电泳的光控制方法的许多变型，包括在2013年Journal ofPhysics D:Applied Physics中的Su Xu等人的标题为“Dielectrophoretically tunableoptofluidic devices”并具有数字对象标识符doi:10.1088/0022-3727/46/48/483001(J.Phys.D:Appl.Phys.46(2013)483001(14pp))的综述文章中讨论的方法。该文章描述了使用用于操纵一定量的液体的介电电泳，使得液体的形状改变以提供光的透镜化或引导。

关于现有技术的用于光控制的介电电泳的使用的一个特别重要的点在于，情况常常是注意力的焦点是在介电电泳过程中使用的微小液体粒子(例如液滴)。介电电泳的力在液滴上被引导，液滴浸没在气体、另一种不混溶的液体或真空介质中，并被不均匀的电场移动。

相反，在本公开中，固体纳米粒子通常浸没在液体介质中，如稍后详细描述的。

可选地，在现有技术中，可以使用软物质透明弹性膜(例如聚二甲基硅氧烷)结合致动器(如压电体)来间接地修改液体表面的形状。改变流体压力使在膜后面的液体将膜推到弯曲表面内，该弯曲表面模仿可以随后重定向光的透镜形状。

基于膜的光转向和聚焦的使用具有缺点，包括：(1)慢响应时间，(2)膜形状的有限可控性，以及(3)对可能复杂且占用额外体积的致动器的需要。

还存在基于流控和膜的光控制方法的许多变型，包括在由John Wiley&Sons,Inc.于2012年出版的Hongwen Ren和Shin-Tson Wu的书“Introduction to Adaptive Lenses”(ISBN 978-1-118-01899-6)中讨论的那些方法，该书提供了光控制技术的综述，并记载了通过使用弹性膜、压电致动器、电润湿、介电电泳光学器件(包括一种或更多种液体、液晶、聚合物分散的液晶透镜)的光学表面。

在现有技术的又一种方法中，在引导和/或聚焦光时使用两种或更多种流动液体。特别是，相对于彼此移动的不同流动液体提供由局部几何形状形成和控制的折射率梯度，该局部几何形状控制接触液体的流量和速度，因为扩散过程起作用来将具有低折射率的一种液体中的一些混合到具有较高折射率的另一种液体中。在折射率中的梯度然后提供光学介质以修改光传播的方向。

流动液体的使用有缺点，包括对下列项的需要：(1)每种液体的可消耗的进料，(2)移动流中的每种液体的泵，(3)对克服摩擦和动量的相当大的泵功率的需要，以及(4)流动液体系统的慢响应时间。

还存在基于液体流动和诱导折射率梯度的光控制方法的许多变型，包括作者Richard S.Conroy等人在由美国光学学会出版的标题为“Optical waveguiding insuspensions of dielectric particles”(Vol.44,No.36 of Applies Optics,2005年12月20日)的文章中所讨论的方法。文章聚焦于由不同折射率的液体流动形成的折射率梯度。

通过流动流体控制光的另一个示例可以在Nam-Trung Nguyen的并由美国物理学会在BioMicroFluidics 4,031501 2010中出版的并具有数字对象标识符doi:10.1063/1.3460392的期刊综述文章“Micro-optofluidic Lenses:A review”中找到。该文章提到流动流体(包括具有纳米粒子悬浮液的那些流体)可以如何通过形成折射率梯度来重定向光的各种技术。

在现有技术液晶(包括聚合物分散液晶)的又一种方法中，聚焦和重定向光不一定基于光学表面的形状，而是基于在光学体积内的液晶的取向以提供所需的相移来允许光的聚焦和转向。

存在关于使用用于光束转向和聚焦的液晶的许多变型，包括：于2005年10月25日发给John George Pender的标题为“Motion-Free Tracking Solar Concentrator”的美国专利6,958,868，其显示可以使光转向的液晶填充的棱镜阵列。另一个示例是于2012年11月13日发给Michael H.Anderson等人的标题为“Liquid Crystal Waveguide HavingRefractive Shapes For Dynamically Controlling Light”的美国专利8,311,372。该专利显示了如何使用耦合到液晶的渐逝场来使光转向。又一个示例是于2012年7月26日发给Michael J.Escuti等人的标题为“Beam steering devices including stacked liquidcrystal polarization gratings and related methods of operation”的美国专利申请2012/0188467。该专利显示了偏振全息图(而不是更常见的相位和振幅全息图)的堆叠，并用于使光转向。偏振全息图由具有在液晶取向方面的周期性变化的电子地控制的液晶形成。

液晶的使用有缺点，包括对下列项的需要：(1)在入射光和透射光的偏振中的限制，以及(2)在由液晶取向提供的极值之间的折射率中的小差异，这限制在大角度上重定向光的能力。

因此，很明显存在用于使光转向的许多方法，以及这些方法有各种各样的明显缺点。因此，存在对可克服现有技术的缺点的控制光的方法的明确需要。

发明概述

技术问题

在这个专利公开中解决的技术问题是回答如何配置纳米粒子胶体电子地控制光的问题。然后，本公开提供了衍生的方法和设备实施例，其允许光的传播方向的电子控制以用于光束转向、聚焦、集中和其他光学操作。

本文描述的设备通常具有下面的性质中的大部分：低损耗、宽光谱范围、大角度转向范围、高角度转向精度、高角度转向准确度、偏振无关性、电压可控性、低功耗、强度无关的操作、快速响应、薄型设计(thin profile)、可配置成使光转向、聚焦和/或集中。在二维中的高达2π弧度和在三维中的高达4π立体弧度的光重定向是可能的。此外，在固体材料、液体和控制算法的适当选择的情况下，设备能够在超过-55℃至+125℃的典型军用规格温度范围的温度范围内工作。

在图1中，示出了本公开的几个应用，作为关于光学设备到总体功能最终使用平台的集成以及对紧凑和共形光学设备的需要的讨论的一部分。

特别是，图1A在左上角中示出了智能手机摄像机镜头，其在大范围的环境条件下电子地聚焦光，同时提供对图像像差的校正，智能手机摄像机镜头在历史上采用大的复杂复合透镜配置，但现在被包含在具有渐变折射率光学器件的单个透镜元件中以减小尺寸、复杂性和成本。设备理想地与智能手机共形，是紧凑的且被电子控制。

在图1B中，几乎与汽车的车顶共形的LiDAR系统在极端环境条件下提供激光的数字和非机械光束转向。光束转向在2π弧度的方位角上，并且具有适中量的仰角扫描角以允许汽车的LiDAR系统用脉冲激光能量来描绘道路和邻近区域的完整场景，以重新创建在车辆周围的空间的准确表示。不管共形表面是汽车的外壳还是挡风玻璃，都存在集成在公开中在其中讨论的光束控制系统的方式。单光束LiDAR和成像LiDAR都与本文讨论的光束转向技术兼容。

在图1C中，示出了在着陆区域的不同角度区被搜索以找到危险时，与无人驾驶飞机几乎共形的LiDAR系统。如可以看到的，不是LiDAR光束转向主要被限制到平面圆(就汽车而言)，光束转向现在是在无人机下方的2π立体弧度的半球上。具有4π立体弧度的球面覆盖的系统也是可能的。在这里再次地，大的光束转向角在飞机的外壳内的共形或几乎共形的光束定向器的上下文中被显示。

在图1D中，示出了用于LiDAR和定向能量应用的几个光束，这些应用直接集成到军用隐形无人驾驶飞机的外壳中以允许隐形和空气动力学性能被保持。在正面视图中示出飞机，从正面视图中清楚地看到保持飞机的光滑空气动力学表面的需要。此外注意，飞机的外壳的不同部分明显用来发出(和潜在地接收)能量束。

在图1E中示出了机器人视觉应用，其提供成像和LiDAR的组合以感测机器人的环境。

这些和更多的应用常常具有对能够进行光的完全电子的光束转向和聚焦的共形光学元件的需要。

问题的解决方案

介电电泳(DEP)是可以用来使光电子地转向的几种现象之一。特别是，DEP使用粒子与非均匀电场的相互作用来为液体中的粒子提供有质动力。这种类型的力不需要粒子是带电的或甚至是电介质。事实上，在不均匀电场存在的情况下，所有粒子都展示介电电泳。然而，一个特别令人感兴趣的特殊情况是，DEP利用由谐波非均匀电场驱动的透明电介质，这可以在一个方向上提供(非谐波)平均有质动力。这个单向有质动力是对粒子的力在电场的每次完全振荡期间不对称的结果。因而产生的平均力可以产生恒定的漂移速度，因为粘性液体在DEP粒子上的摩擦抵抗粒子的无限制的加速，并且速度可以快速饱和到常数。此外，DEP的谐波形式避免了在实践中可能使光控制变得更加困难的许多寄生现象，例如电泳、电渗和电解。

当我们将这个有质动力应用于胶体中的大量纳米粒子时，我们可以控制这些纳米粒子的分布以及由于外加电极电压而产生的作为空间和时间的函数的因而得到的折射率。纳米粒子和不同材料的不同尺寸分布将在空间中不同地分开，且这允许光学元件具有许多自由度，使得各种透镜或光束转向像差在一个紧凑的设备中被减少或消除，而不是需要使用多个透镜或其他光学设备。例如，通过具有带有阳性材料色散的一些纳米粒子和带有阴性材料色散的其它纳米粒子，我们可以更好地管理在单个透镜元件中的色像差。

胶体是包括通过第二种物质混合和分散的一种或更多种物质的纳米粒子的均质非结晶物质。纳米粒子不从胶体下沉或沉淀，且不能通过机械手段(例如过滤或用离心机分离混合物)而被分离出。这不同于在悬浮液中的纳米粒子，其中这种机械作用可以使纳米粒子从该液体分离。此外，胶体常常通过将表面活性剂和其他化学物质添加到液体内或纳米粒子上而变得稳定。在这个文档中，感兴趣的纳米粒子一般具有1-100nm的直径，然而该尺寸范围并不意味着在本公开中被限制到其他粒子尺寸的使用。

因此，因为纳米粒子的尺寸可以比被转向的光的波长小得多，例如可见光从大约390-700nm，所以我们可以通过使用在液体中的纳米粒子的体积分数来近似地对胶体折射率取平均。然后，通过使用策略地定位的电极电压来以诱导不均匀的电场并改变在液体波导内的纳米粒子空间分布来重定向光，来控制穿过纳米粒子的胶体的光的方向。当用于使光转向或聚焦时，这被称为介电电泳光束转向(DBS)。

然而，明显小于光的波长的纳米粒子比更大的纳米粒子花费更多，并且也具有更小的表面积，使得更大的电压被需要来分离纳米粒子并形成折射率梯度。因此，下面的公开还示出了如何通过使用折射率取平均过程来使用较大的粒子，该过程包括光在纳米粒子周围的衍射效应。这通过运用如应用于胶体的异常衍射的理论以正确地描述在DEP驱动的胶体中的有效折射率来实现。还将看到，纳米粒子尺寸和材料成分的不同概率分布将以复杂的方式相互作用以进一步改变折射率取平均过程，并且这可以被运用来提供许多额外的自由度以控制光的重定向、集中和聚焦。

在本公开中，电介质纳米粒子在液体中的分布形成被称为折射率梯度液体(IGL)的胶体。这不同于也同义地被称为折射率匹配流体(IMF)的折射率匹配液体(IML)，其由本作者在用于软物质光束转向的其它公开中使用。因此，IGL的折射率被电子地控制以实现用于一般在硬而透明的基质材料中的微流控控制通道(μFCC)、间隙或非固体体积内使光转向和聚焦的折射率梯度。相反，IML需要光学液体的平流以实现光束转向。IML和IGL可具有不同的操作参数，对于特定应用使一个参数变得比另一个参数更合乎需要或更不合乎需要。

附图简述

前面的讨论仅仅是介绍，且其它目的、特征、方面和优点将从作为例证给出的物理原理的下面的详细描述和附图中变得明显。注意，附图常常为了基础物理原理的提高的清晰度而绘制，并且不一定是按比例的，并且使某些理想化被引入以显示方法和实施例的本质并使描述变得清楚。

图1A示出了使用基于介电电泳的聚焦用于高性能成像的智能手机。

图1B示出了共形地安装到汽车的具有用于LiDAR系统的基于介电电泳的光束转向系统的汽车LiDAR。

图1C示出了共形地安装到无人机的具有用于防碰撞系统的基于介电电泳的光束转向系统的无人机LiDAR。

图1D示出了在高性能军用无人机上的LiDAR和定向能量光束转向。

图1E示出了共形地集成到机器视觉系统的机器人中的混合成像LiDAR系统。

图2示出了具有自由电荷和束缚电荷的流体控制通道的横截面，自由电荷和束缚电荷与嵌在介电液体中并由控制通道上的电极激励的纳米级介电球体相关联。

图3A示出了对于K₀＝1和K_∞＝-0.5的克劳修-莫索缔(Clausius-Mossotti)因子的实部和虚部。

图3B示出了对于K₀＝-1和K_∞＝0.5的克劳修-莫索缔因子的实部和虚部。

图3C示出了对于K₀＝1和K_∞＝0.5的克劳修-莫索缔因子的实部和虚部。

图3D示出了对于K₀＝-1和K_∞＝-0.5的克劳修-莫索缔因子的实部和虚部。

图3E示出了对于K₀＝1和K_∞＝-1的克劳修-莫索缔因子的实部和虚部。

图3F示出了对于K₀＝-1和K_∞＝1的克劳修-莫索缔因子的实部和虚部。

图4示出了修正的史密斯圆图，其使胶体液体和纳米粒子的复介电常数与由谐波激励的频率参数化的复克劳修-莫索缔因子相关。

图5示出了输入平面波，其与单个介电纳米球相互作用以产生衍射散射波和衍射透射衍射波，该衍射透射衍射波通过该球被相移。面积dA的圆环域在屏幕的平面内。长度r的线在该图像中不是按比例的，且应该被认为几乎平行于z轴，使得远场点C远离纳米球的中心。线

具有长度2b sinτ，其与在角度τ处的输入波的相位滞后相关联。

图6A示出了基于在微流控控制通道内的折射率匹配液体的平流重定向光的现有技术实施例。

图6B示出了作为图6A中的设备的半径的函数的开启和关闭状态折射率。

图7A示出了基于介电电泳的光束转向的一个实施例，以形成足以使光的路径弯曲直到它被释放用于自由空间传播为止的渐变折射率。

图7B示出了作为图7A中的设备的半径的函数的折射率。

图8A示出了在楔形密封壳的表面上的横截面电极，其中折射率梯度液体受到不均匀电场的影响。楔形物针对正半径符号规约被定向。

图8B示出了在楔形密封壳的表面上的电极，其中折射率梯度液体IGL受到不均匀电场的影响。楔形物针对负半径符号规约被定向。

图9示出了对于传播到图的页面内的光束当复克劳修-莫索缔因子的实部大于零时在稳态条件下的电极和折射率梯度液体的横截面。

图10示出了对于传播到图的页面内的光束当复克劳修-莫索缔因子的实部大于零时在稳态条件下的电极和折射率梯度液体的横截面。

图11示出了基于楔形微流控通道和电极以在圆形设备的一部分上诱导梯度折射率的示例介电电泳光束转向设备的剖视图。示出一般光束轨迹，包括它到自由空间内的释放。

图12在透视图中示出了图11中的用于控制光转向的分段的一组电极，其中电极布置在折射率梯度液体周围。

图13示出了在来自非平行扁平电极的非均匀电场的影响下的纳米粒子的稳态扩散的潜在解函数的曲线图，所述非平行扁平电极形成对于折射率梯度流体的楔形密封区的边界。解对应于图9-12。

图14示出了针对固体纳米粒子的范围从10％-90％以20％为间隔的不同体积分数v_S的归一化纳米粒子折射率相对于归一化半径的曲线图，假设在λ_ο＝532nm的波长下归一化半径R＝50且纳米球半径b＝l00nm。

图15示出了用于增加仰角控制的附加电极的示例，该仰角控制是来自图9的光束转向的已经存在的方位角控制。

图16A示出了基于介电电泳的圆形的光束转向，以形成梯度折射率介质来限制光和重定向光。

图16B示出了图16A的梯度折射率分布以及均匀折射率状态。

图17示出了微流控控制通道中的纳米粒子的分布的横截面，该微流控控制通道可以提供与由渐变折射率光纤提供的渐变折射率约束类似的光束的渐变折射率约束，除了折射率由介电电泳过程电子地可控制以外。

图18A示出了基于介电电泳的电子地可控制的透镜的横截面。

图18B示出了当复值的克劳修-莫索缔因子的实部大于零时作为会聚透镜的透镜半径的函数的折射率。

图18C示出了当复值的克劳修-莫索缔因子的实部大于零时作为发散透镜的透镜半径的函数的折射率。

图19示出了环形电极的透视图，该环形电极用于针对介电电泳过程提供不均匀电场以在电子透镜中可变地聚焦光。

图20示出了集成环形电极和密封壳的透视剖视图，该密封壳在利用纳米粒子的浓度的基于介电电泳的透镜的形成中被使用。

图21A示出了有效地提供同相和正交电场激励和行进电压波的多相电压激励。

图21B示出了具有任意同相和正交电场激励的多相和振幅电压激励。

图22A示出了当存在同相和正交场分量时在电极上方的行波电场的实部。

图22B示出了当存在同相和正交场分量时在电极上方的行波电场的虚部。

图23示出了相对于电极的示例振幅变化及其导数。

图24A示出了当存在同相和正交场分量以及沿着电极的振幅反转时在电极上方的行波电场的实部。

图24B示出了当存在同相和正交场分量以及沿着电极的振幅反转时在电极上方的行波电场的虚部。

图25在透视图中示出了光束转向系统，其可以通过使用分立的电极阵列来将光重定向到方位角的2π弧度内和在仰角的±π/4弧度上。

图26示出了基于介电电泳的透镜的透视和剖视图，该透镜在电极的圆形和同心阵列上利用行进电压波。

图27A示出了在球面谐波函数的形式中的基本非结构化角模的示例。

图27B示出了在艾里(Airy)函数的形式中的基本非结构化径向模式的示例，其中该模式仅在微流控控制体积中示出。

图28示出了在非测地线轨迹上的对称轴周围传播的基本非结构化模式，所述非测地线轨迹正好在微流控控制体积的区域中的内部固体介电球上方形成。

图29A示出了在

时在高斯加权球面谐波的叠加的形式中的结构化角模的示例。

图29B示出了在艾里函数的形式中的结构化有限功率径向模式，其中该模式仅被包含在微流控控制体积中。

图30示出了在被限制到恒定纬度的非测地线轨迹上的光束的主波瓣的示例结构化角轨迹和强度。

图31示出了在未被限制到简单的恒定纬度的非测地线轨迹上的光束的主波瓣的示例结构化角轨迹和强度。

实施例的理论和描述

以下篇幅提供了对于光电子的光转向和光聚焦的DBS的基本理论和实施例的相当多的细节。该理论被提供，使得不存在关于在复杂的技术领域中讨论的东西确切地是什么的问题。详细的技术讨论还允许对现有技术的局限性的见识，并最终允许不太熟悉材料的那些人使用一个一致且统一的标记法来更容易地获取当前材料。这种材料本质上在性质上是多学科的并从许多不同的领域得到，这些领域包括但不限于：流体流动、热传递、连续介质力学、电磁学、电子学、化学、材料科学、光学、热力学和数学。

对于DEP过程的二元微积分

考虑空间A和时间B的三维向量函数，其是任意的且不一定是来自麦克斯韦方程中的场量。这些三维向量的并向量积被表示为AB，并具有可以被写为具有元素a_ij＝A_iB_j的矩阵的九个分量，并使用爱因斯坦求和约定被正式给出为

其中，双下标指示在三个空间维度上的总和，且通常AB≠BA。在这里不区分开协变向量和逆变向量。在下面的分析中，所有推导都使用笛卡儿并向量(cartesian dyadics)被提供，然而因而得到的方程在任何自相容的坐标系中都是正确的。

我们将使用列维-奇维塔(Levi-Civita)张量∈_ijk以使旋度和其他运算易于计算。特别是，列维-奇维塔张量取值

且我们可以通过直接计算来表明：

∈_ijk∈_klm＝∈_kij∈_klm＝δ_ilδ_jm-δ_imδ_jl (3)

其中，δ_ij是Kronecker Delta函数。列维-奇维塔张量用来将A和B的叉积写为：

并将A的旋度写为：

其中，我们照常应用爱因斯坦求和约定。

重要的第一个结果是并向矢积的散度。它可以如下被展开

其中，在将来我们可能并不总是在中间结果中写出明显的单位因子如

此外注意，在上面的方程中，我们使用下面的事实：

接下来，得到了向量的旋度的叉积。它可以展开为

类似地，它的补充是

此外，

使得

上述方程的一个特殊情况对准静电(QES)系统的分析是有用的，以及DEP特别地规定了无旋场，使得

因此，如果我们在方程17中设置A＝B，并假设无旋场，那么

其中，通过观察对于任意标量U＝A²/2我们可以使用3×3单位矩阵I写方程来获得在上述方程中的最后一个等式。特别是，

使得

当U是标量时，

接下来，通过使用方程9和它的补充(其通过用B交换A而形成，反之亦然)，我们可以单独地对

和

求解

且现在将这些方程代回到方程17中，使得

对于QES系统的一个特殊情况是，其中A和B是无旋的，使得

那么方程23可以被写为：

通过在上述方程中设置A＝B，我们得到

其中，A²＝A·A。现在将方程18用在方程25中，我们得到

使得

当A仅仅是无旋的时，

此外，从方程25和27中，我们也有

我们将方程18和28总结为

当A仅仅是无旋的时，

注意，如果A在方程25中是螺线管形的，那么我们从方程25中得到：

当A是无旋的和螺线管形的时，

再次，注意方程30如何不同于方程27。

所需要的下一个关系通过使用方程2和3导出，使得有序差的散度是

该结果可以与方程9组合，使得

其在当A和B是螺线管形的特殊情况下，即，

则方程33将上述方程简化为

当A和B是螺线管形的时，

麦克斯韦方程和标记法

我们以对于在SI单位中的宏观系统的麦克斯韦方程的时空版本和对于均质、各向同性和线性材料的本构关系开始。特别是，在SI单位中的麦克斯韦方程是

并且本构关系是

上述电磁量包括电场强度ε、电场密度

磁场强度

磁场密度

自由电流密度

自由电荷密度ρ_f、介电常数∈、磁导率μ和电导率σ。如果我们假设量是谐波的，那么我们可以将场和电荷的空间和时间函数分解成在相量空间中的函数积，并将材料性质分解成空间和频率的函数，其如情况所需被计算或假设，使得在频域中我们有

ε(r，t)→E(r)e^iωt (43)

ρ_f(r，t)→ρ_f(r)e^iωt (46)

σ(r，t)→σ(r，ω) (47)

∈(r，t)→∈(r，ω) (48)

μ(r，t)→μ(r，ω)， (49)

其中，除非另有说明，否则量如E(r)通常是复值量，并且

可选地，我们可以写ε(r，t)＝Re[E(r)e^iωt]。

无论发生哪种情况，我们都可以将麦克斯韦方程改写为

其中，上面的第三和第四个方程根据取第一和第二个方程的散度并使用向量恒等式

得出，其中A是在空间坐标上的任意向量。此外，我们发现在使用本构关系

时

提供上述方程以建立在接下来的DEP分析中使用的标记法和符号规约。

时间平均的麦克斯韦应力张量

除了麦克斯韦方程35-38和本构方程39-41以外，还有洛伦兹力方程，其对于单个电荷由下式给出

其中，q是电荷，以及v是在惯性参照系中的电荷的速度向量。如果我们将两侧都乘以N，N是以每单位体积的电荷数为单位的带电粒子的浓度。注意，N不同于每单位体积的纳米粒子的浓度u。因此，于是我们可以将ρ_f＝Nq确定为自由电荷密度，以及将

确定为自由向量电流密度，以及将

确定为每单位体积的力。因此，每单位体积的力(即，力密度)为：

另外，因为光速平方是c²＝1/(∈μ)，所以坡印亭向量除以在介质中的光速平方是

因此，

通过插入麦克斯韦方程35-38到体积力方程61内来组合结果，以及进一步利用方程62，我们得到

以及在重新排列项并使用

战略性地增加零项时，则：

因此，最初聚焦于项-1，我们找到

其中，在最后一行中的第一项是减去电场能量密度的梯度，以及第二项是场量的并向量积的散度。

类似地，对于T₂，我们可以让

和∈→1/μ，使得

因此，包括场致机械应力矩阵元素的麦克斯韦应力张量是：

每单位体积的力被给出为

其具有由于辐射压力而引起的第一项和由于场致应力而引起的第二项。

对于准静电DEP系统，麦克斯韦应力张量需要针对时间平均体积力被评估，因此，如果我们假设具有相移的谐波电场和磁场，那么我们可以将空间和时间分开。例如，对于电场，我们可以写

其中，φ_∈＝φ_∈(r)，E(r)和D(r)是位置r的实值函数。然后于是我们可以将时间平均麦克斯韦应力张量写为

让我们假设电极被引入使得电场强度具有同相和正交分量，使得通过设计

ε＝E_Rcos(ωt)+E_Isin(ωt) (73)

其中，E_R不平行于E_I，并且相移φ_∈归因于材料性质。然后我们考虑并向量积：

时间平均值可以通过首先使用对于任意角度a和b的三角恒等式来获得

2cos a cos b＝cos(a+b)+cos(a-b) (76)

2cos a sin b＝sin(a+b)-sin(a-b) (77)

2sin a cos b＝sin(a+b)+sin(a-b) (78)

2sin a sin b＝-cos(a+b)+cos(a-b) (79)

使得

在整数数量的循环内的时间平均被形成。例如，

并将此方法应用于方程75中的每个项，我们得到时间平均并向量积为

其中，星号指示复共轭，以及Re[]是实部运算符。此外注意复介电常数是：

此外，我们还发现对于内积使用相同的过程，时间平均是

因此，时间平均麦克斯韦应力张量是

然而，平均有质动力的电分量是

以及我们立即看到简化对于

和

的表达式的需要。我们假设我们在准静电状态中，其中电场强度的实部和虚部都是无旋的，因此从方程32中，我们发现

以及对于准静电学在无旋场

的情况下，从方程27中，我们有

所以，准静电力(即，开尔文力)密度从方程84被得到为：

这是应用于半径为b且体积如下的球形纳米粒子的开尔文力密度

与方程88相关联的

的值现在通过考虑图2被启发式地导出，其中示出在电极之间的液体介质内的球形介电纳米粒子的示意图。特别是，区域Ω₀和Ω₃分别包括金属电极2a和2b。介电液体2c填充区域Ω₁，以及球形介电纳米粒子2d在区域Ω₂中。在区域Ω₀和Ω₁之间的边界2e是w₁。在Ω₁和Ω₂之间的球形边界2f是w₂。在区域Ω₁和Ω₃之间的边界2g是w₃。材料由在区域内和在区域之间的边界上的束缚电荷和自由电荷所取代。用于描述电荷分布的角度θ也显示在图2中。最后，图2还示出了带有包含正电荷和负电荷的椭圆的原子的体积极化；该图还示出了在每个边界处的表面电荷。表面电荷包括来自导电电极的自由电荷和在介电边界上的束缚电荷。

我们试图找到针对在区域Ω₂中的局部场的表达式，使得我们可以找到针对极化度α_S的方程，该方程使在液体中的电场强度E_L与介电球的极化相关。我们通过将在区域Ω₂中的总局部电场考虑为在液体中的电场强度加上由于束缚体积极化而引起的场和来自在表面w₂上的束缚表面极化的场之和来开始。这导致在宏观有效场(E_L和E_loc)和极化场(

和

)之间的洛伦兹关系式，使得通过检查图2中的场方向，

其中，E_L取决于施加到电极的电压，

也取决于构成球形纳米粒子的原子和分子的特定空间构型(即，晶格结构)，以及

也取决于在球形边界处的净电荷。一旦找到E_loc，就允许我们找到纳米粒子的极化度α_S的方式，使得我们可以通过下式找到纳米粒子的有效(平均)极化：

p＝α_SE_loc。 (91)

这可能与平均偶极矩的电势有关。正如我们将看到的，这然后提供有效介电常数，这是我们的计算的目标。

为了找到洛伦兹关系式的三个场分量，我们需要首先找到系统中的各种电荷。通常，因为宏观极化的散度是体积电荷密度

我们从高斯定律

中得到：

P＝D-∈₀E， (92)

以及每单位面积的束缚表面电荷密度为

此外，通过在体积上对

求积分并使用高斯积分定理，我们得到自由表面电荷边界条件

其中，

是从介质-1指向介质-2内的法向单位向量。在每个边界处，我们可以写出对于束缚电荷密度和自由电荷密度的表达式。

对于边界w₁，自由电荷密度、束缚电荷密度和总电荷密度为

σ_t1＝σ_f1+σ_b1＝∈₀E_L. (97)

其中，复相对介电常数

用于说明在谐波电场强度的施加和诱导极化之间的损耗和相移。类似地，对于边界ω₃，我们有

σ_t3＝σ_f3+σ_b3＝-∈₀E_L， (100)

这表明在电极上的总表面电荷密度(即，σ_t1和σ_t3)相等且符号相反。它还表明在电介质内的总电场强度的一个分量是E_L。然而，由于在球体上诱导的束缚电荷，这并不是唯一的分量。因此，由于球体，总局部场必须是E_L加上电场分量。

特别是，对于球形边界ω₂，电荷密度为

我们可以使用在表面ω₂上的净电荷分布σ_t2以通过从在球面上的源到在球体的中心处的观察点(即，在

方向上)的积分来获得在纳米球的原点处的总电场，使得

因为我们采用总和来确保我们具有在半径b的球体的中心处的总电场，所以我们可以识别出

使得

使得在液体中，我们最终可以相对于液体的局部背景介质写出

接下来，我们考虑在纳米粒子内的束缚极化电荷。我们将假设原子在立方网格上，这只是一个通常可以被放宽的方便假设。也就是说，对于其他几何形状，包括无定形介质(如玻璃)，结果是大致正确的，但是在这些其他情况下计算可能变得非常复杂。特别是，通过对在位置r_j处的源电荷q_j求和来给出总电场强度

其中，p＝qd，以及d是电荷在z轴方向上的位移。设置

以及

我们得到

但对于立方晶格，我们对于

和

分量在对称域上对反对称函数求和，对于这两个分量反对称函数合计为零。对于z分量，我们认识到我们可以写出

以及

因此，对于立方晶格且作为对于许多其他实际材料的很好的近似，我们有

从上面的计算中，我们发现洛伦兹关系式可以在球形纳米粒子被移除以及电场与液体相关的情况下针对局部电场强度被评估。结果是

因此，在每单位体积的粒子的浓度u和极化率α_S的情况下，则使用方程109和114

使得

存在具有

的体积的一个粒子，其中b是粒子半径，使得球体的极化率是

具有每单位体积的浓度u的纳米粒子的集合的有效极化密度于是为

以及

注意，

的实部用于确保与作为半径和角度的函数的电偶极电势的经典表达式的一致性，例如J.D.Jackson的“Classical Electrodynamics 2^nd Ed”。

注意，上述推导仅仅是示例性的，并且额外的层可以被添加到介电纳米粒子以提供与多层球形几何形状一致的复介电常数的其他函数。

例如，为了确保稳定的胶体，可以添加表面活性剂作为对纳米粒子的外层的涂层。这将要求在内电介质和外涂层之间的边界处的另一层总束缚电荷需要被包括在分析中，并且对于

的新表达式被发展。

此外，注意从方程56中且为了方便起见假设介电常数的虚部等于零，我们有

使得

其是对于嵌在介电液体中的固体球的复克劳修-莫索缔(CM)因子。此外，经过某个代数后，我们可以隔离CM因子的实部和虚部，使得

其中

注意，K_R和K_I可以同时采取正值和负值。正如我们将看到的，这允许在纳米粒子上的力和漂移速度根据在电极上的电压的谐波激励的频率ω而采取正值或负值。在∈_S＞∈_L的情况下，我们有K_∞＞0。因此，为了使K₀＜0，我们将选择液体，其可以是几种化学物质的混合物，以具有σ_L＞σ_S。这将简单地通过改变在电极上的频率和电压振幅如对特定应用所需的提供使用DEPS光学器件来使光聚焦、散焦和准直的手段，如稍后在特定实施例中所展示的。图3A-F示出对于K₀和K_∞的特定值的CM因子的实部和虚部相对于频率的对数线性曲线图。

方程122是在复平面上的修正的双线性变换。取

我们可以将方程122重写为

在设置z＝z_R+iz_I和K＝K_R+iK_I时，我们可以用某个代数从因而得到的方程的实部和虚部中获得一组参数方程

其是形成使液体和纳米球的介电常数与CM因子有关的修正的史密斯圆图的正交圆。事实证明，纳米粒子的力和漂移速度与CM因子成比例，如我们将看到的。因此，图4所示的修正的史密斯圆图有助于在力(或漂移速度)和材料参数之间转换。

图4中的史密斯圆图示出了由驱动电极的谐波激励频率ω参数化的许多轨迹。轨迹对应于图3A-F。例如，由从史密斯圆图点4a到史密斯圆图点4b的半圆形成的轨迹对应于图3D。由从史密斯圆图点4a到史密斯圆图点4d的半圆形成的轨迹对应于图3B，并且显示了对于复CM因子的实部的正值和负值。史密斯圆图点4a、4b、4d和4e中的每一个对应于K₀或K_∞。当史密斯圆图轨迹包括史密斯圆图原点4c时，那么将有正值和负值都作为CM等式的实部，CM等式通过在切换在电极上的激发频率来在纳米粒子上提供吸引力和排斥力。此外，在每个半圆形轨迹的顶部处有零力点，例如在零力点4f处，在那里没有在纳米粒子上的DEP力。

时间平均DEP力

遭受基于DEP的有质动力的纳米粒子也将感觉到它的粘性流体环境的影响。特别是，在稳态条件下的牛顿第二定律变成

其中，在流体中对于球形粒子阻力的众所周知的斯托克斯定律用于发展第二项，以及η是围绕纳米粒子的流体的动态粘度。显然，平均力与稳态漂移速度之比由固有迁移率因子给出：

穿过流体的纳米粒子的DEP漂移速度通过下式从方程88获得：

因此，总之

其中，我们将相对流动性因子定义为

显然，可以从保守势能U(即，应力张量)方面来写出平均力，使得在平衡条件下(即不是时间的函数)穿过液体的粒子的净通量由漂移电流给出：

其中，u(r)是每单位体积的粒子浓度[每单位体积的粒子数]，并且由于热搅动布朗运动而引起的粒子的扩散由下式给出：

其中，u(r)＝Iu(r)，以及u是粒子浓度，即每单位体积的粒子数，以及D是我们的分析的待确定的扩散系数。在平衡条件下，粒子的净向量通量为零，使得j_漂移(r)+j_扩散(r)＝0。因此，

观察到根据梯度的定义，如果W是能量，那么

且

其中dl是在等值面之间的最短距离的方向上的长度元素，使得梯度是最大值。因此，

以及

以及

或者在引入附加项时，该附加项具有为零的l的内积，我们发现

其中，在右边的第二项将能级设置为任意值，而第三项具有下面的性质：外积(GH-HG)的换位元总是反对称矩阵，其中

为了使此出现，我们可以想象复电场强度E被分成分别沿着x轴和y轴被定向并且没有z定向变化的同相和正交分量。以这种方式，

其中，例如我们可采用

其中，函数g和h仅是坐标x和y的实值函数。此外注意，E_R和E_L实际上并不仅限于xy平面。例如在圆柱坐标中，我们可以采用在每个极方位角处的单位圆柱体的切平面作为其中电场强度的同相和正交分量被定义的平面。这将对来自任意形成的外壳的光束转向有重要后果，例如，飞机的外壳对于适当的空气动力特性具有复杂的形状。

因此，我们可以写出方程

以及

然而在统计力学中，麦克斯韦玻尔兹曼统计用来描述在热平衡中在被允许的能量状态上的非相互作用的材料粒子的平均分布。当温度足够高或者粒子密度足够低以使量子效应变得可忽略时，这个分布是可适用的。使用这个论断，我们写出

其中，A是与在单位体积中的粒子的总数相关的常数，并且k_B是玻尔兹曼常数。因此，

因此，

以及

因此

D＝γk_BT， (153)

其对于麦克斯韦应力张量具有非零非对角元素的情况下是众所周知的爱因斯坦扩散系数的扩展。

与DEP相关联的时间平均力的准静电近似假设电场强度E的振幅在空间中是不变的。这可以被放宽，如果与谐波激励τ＝2π/ω的周期相比时间变化是慢的。因此，如果t＞＞τ，那么近似地，E＝E(r，t)＝E_R(r，t)+iE_I(r，t)，使得DEP粒子通量为

作为比较，对于扩散过程，粒子通量是

对于平流

j_adv(r，t)＝u(r)v(r) (156)

以及对于正/负带电粒子的电泳(EP)

j_ep(r，t)＝±u(r，t)μ(r，t)E。 (157)

总粒子通量于是为

以及通过连续性，我们可以写出

其中，Q(r，t)是以每单位体积的粒子为单位的体积源。

对于只有DEP和扩散是主要现象的特殊情况，即当在纳米粒子上使用表面活性剂涂层以在重力场中保持稳定和分离的胶体时，重力被忽略。然后我们得到总粒子通量

因此，当体积源为零Q(r，t)＝0时，那么

以及假设目前γ₁、γ₁和γ是常数(这是我们可以如所需的稍后可放宽的假设)，且不是空间的函数。因此，写u＝u(r，t)，并使用扩散系数的定义，我们得到对于纳米粒子空间分布的主方程

基于DEP的纳米粒子浓度的综述

下面的方程假设只有DEP和扩散过程在起作用，其中谐波电压激励被提供给在液体中的固体纳米粒子的胶体悬浮液附近的电极，液体和悬浮液都是光学透明的，但通常没有作为波长的函数的相同折射率。特别是，

u(r，t)＝液态胶体悬浮液中的纳米粒子浓度[#L^-3]

E(r，t)＝复电场强度的振幅[LMT^-3I^-1]

E_R(r，t)＝复电场强度的振幅的实部[LMT^-3I^-1]

E_I(r，t)＝复电场强度振幅的虚部[LMT^-3I^-1]

r＝位置向量[L]

t＝当t＞＞(2π/ω)以允许准静电近似时的时间[T]

ω＝电极的谐波激励的弧度频率[T^-1]

η＝动态粘度[L^-1MT^-1]

b＝球形纳米粒子半径[L]

Υ₁＝在非旋转场中的相对迁移率[M^-1T⁴I²]

＝πb³K_R∈L

Υ₂＝在旋转场中的相对迁移率[M^-1T⁴I²]

＝2πb³K_I∈L

∈_S＝固体纳米粒子的介电常数[L^-3M^-1T⁴I²]

＝∈_o∈_s

∈_L＝液体介质的介电常数[L^-3M^-1T⁴I²]

＝∈_o∈_l

∈_s＝固体纳米粒子的相对介电常数[无单位]

∈_l＝液体介质的相对介电常数[无单位]

∈_o＝自由空间的介电常数[L^-3M^-1T⁴I²]

＝8.85418782×10^-12m^-3kg^-1s⁴A²

σ_S＝固体纳米粒子的电导率[M^-1L^-3T³I²]

σ_L＝液体介质的电导率[M^-1L^-3T³I²]

D＝爱因斯坦扩散系数[L²T^-1]

＝γk_BT

T＝绝对温度[θ]

k_B＝波尔兹曼常数[L²MT^-2θ^-1]

＝1.38064852×10^-23m²kg s^-2K^-1

体积平均折射率

本章的目的是展示DEP可用于创建允许光束转向的折射率梯度。特别是，包括透明液体主介质中的透明亚波长标度粒子的胶体提供体积平均折射率。通过改变胶体中的纳米粒子的局部体积分数，点对点折射率可以及时动态地改变。

如果我们假设散射过程对平均折射率没有影响，那么对于胶体的液体组分体积分数v_L和固体组分的体积分数v_S必须合计为1，使得

v_L+v_S＝1， (164)

以及我们可以推导出平均折射率的关系式。这基于我们对折射率取平均过程如何工作的直觉，并提供下式的平均实际折射率

n_A＝n_Lv_L+n_Sv_S

＝n_L(1-v_S)+n_Sv_S

＝n_L+(n_S-n_L)v_S。 (165)

固体纳米粒子的体积分数v_S没有单位，并且是在0和1之间的纯实数，使得v_S通过将粒子浓度乘以每纳米粒子的体积而获得，使得

由此，可能将在纳米粒子浓度u和平均折射率之间的直接线性关系提供为

这是在我们在前面章节中发现的纳米粒子浓度和胶体悬浮液的平均折射率之间的直接线性关系。

严格地说，只有当粒子的半径接近零时，即当b→0且散射过程基本上为零时，方程167才是正确的。当粒子尺寸接近零时，用于改变纳米粒子的空间分布所需的电压转为无穷大。因此，我们被给予动机以得到在n_L和n_S之间的更实际的平均化方程，使得电压在工程设备的实际范围内。

此外注意，当粒子尺寸比光的自由空间波长小得多(一般b≤λ₀/20)时，则当光束穿过包括分散的纳米粒子的胶体时我们有瑞利散射。当粒子尺寸增加时，则我们通常对于具有与光的波长可比较的尺寸的纳米粒子将使用全米氏散射理论来描述散射过程。

为了这个讨论的目的，散射可以大致分解为两个分量。第一分量是远离波传播的方向的散射。例如垂直于入射光的传播方向。这种类型的散射高度取决于相对于光的波长的粒子的尺寸。第二分量是大致在入射光的方向上的光散射，其倾向于近似地独立于粒子直径。参见例如，H.C.Van de Hulst的具有ISBN 0-486-64228-3的“Light Scattering bySmall Particles”和G.H.Meeten的“Refraction by spherical particles in theintermediate scattering region”(1996,Optics Communications 134(1997)233-240)。

当纳米粒子由透明的材料制成但具有不同于周围液体介质n_L的折射率n_S时，那么可以表明粒子尺寸具有对散射过程的非常弱的依赖性，并且我们可以同时考虑到衍射和粒子诱导相移。这意味着甚至对于比波长大的粒子，接近于传播方向的散射截面的表达式也大致独立于用于导出它的散射理论的类型。也就是说，我们将使用反常衍射(AD)的理论来获得对于散射过程的解析式，且然后使用那个信息来发展对于平均折射率的表达式，其类似于方程165，但被修改以考虑到实际的较大纳米粒子的散射过程。

对于基于DEP的光束转向，胶体或悬浮液包括液体和具有两个操作频率的纳米粒子。第一频率是与液体中的纳米粒子分布的DEP控制相关联的频率。这个频率大约在10¹到10⁶Hz的数量级，且在这个频率处有非零损耗角正切，使得存在介电常数的实分量和虚分量。

相反，光的光学频率大约是10¹⁴-10¹⁵Hz，其中按照惯例，我们倾向于指定自由空间波长而不是频率(即，分别约为1000-100nm)。我们将假设材料在这个较高的光学频率下是无损的。这不是要求，但它使计算变得更简单以及解释变得清楚。

因此，为了将描述简化到它的要点起见，在本文档中，我们仅对与DEP相关联的低频效应假设非零损耗角正切。在实际设备中，在所有频率下总是有一些损耗。

正如我们终将看到的，由许多无损胶体纳米粒子对光的散射从传播方向移除光。因此，我们将能够引入有效复折射率以模拟损耗过程。然而，必须强调，损耗是由衍射进行的散射的结果，而不是液体或纳米粒子的欧姆加热。

考虑到入射光场在由它的电场相量给出的z方向上传播：

E₁＝E₀e^-ikz (168)

其中，我们使用标量而不是向量来表示入射电场强度E₀，因为球形纳米粒子没有优选的取向，且因此在这种特殊情况下我们可以忽略光的极化。在远场中，散射电场强度将采取形式

其中，S(θ)是散射粒子的归一化振幅函数，r是从纳米粒子的中心到远场点(x,y,z)的距离，以及θ是散射相对于入射方向(即，z方向)的角方向。

入射场和散射场的总场E于是为超位置

但是，在远场(其中z相对于x和y是大的)中，我们可以使用泰勒展开近似，使得

以及因此在入射方向θ＝0上

其中，E₁＝E₀e^-ikz。对于具有在厚度z＝l的薄无限平面板中的具有u的浓度[每m³的粒子的数量]的许多相同的球形纳米粒子，可以根据下式扩展这个过程：

然而，

并且到观察点的距离是r_α≈r，使得对于从远场观察到的大量粒子，在光穿过纳米粒子层之后，我们在极限情况下有

此外，ζ中的积分容易通过观察下式来评估：

其中，a＝ik/(2r)。所以在代入这个结果时，我们发现表达式简化为

其中，通常我们有S(0)是复量。

让n＝n′-in″表示纳米粒子的胶体悬浮液的有效复折射率，其包括来自在光学自由空间波长λ₀处的大量另外无损的介电纳米球的衍射散射损耗。也就是说，在θ＝0的方向上，我们有损耗和有效折射率的非零虚分量。于是复相移是

然后通过写出下式来定义胶体的有效复折射率：

使得

其中，S′(0)＝Re[S(0)]和S″(0)＝Im[S(0)]，使得当使在上述方程的左手侧和右手侧上的实分量和虚分量相等时，我们找到在有效折射率和散射振幅之间的关系为

此外，我们可以使用下面的事实：纳米粒子的体积分数为

以及单独纳米粒子体积为

使得

以及因此

其中，纳米粒子尺寸参数作为χ＝kb被利用。然后通过使用方程182，坡印亭向量的大小是

其中，C_ext被定义为消光(extinction)横截面积，以及

其中，G＝πb²是球形纳米粒子的几何横截面积。我们进一步将在入射光方向上的消光效率的实部定义为

以及消光效率的虚部是

因此，使用方程184-185

以及类似地

使得我们从消光散射效率、液体的折射率和球形纳米粒子的体积分数方面发展了复有效折射率的分量。

接下来，考虑如图5所示入射在球形粒子上的平面波，其中我们看到具有入射光场5b的单个介电纳米球5a。假设光场是在正z方向上传播的平面波。输入平面波与单个介电纳米球相互作用，并产生具有穿过该球的相移的衍射散射波和透射波。面积dA的微分圆环域5c在屏幕平面内。从圆环域到远场点5d(在该图中也被识别为点C)的距离为r，注意，图像不是按比例的，使得这条线应该几乎平行于z轴。线

具有2b sinτ的长度，其与在角度r处的输入波的相位滞后相关联。

通过使用惠更斯原理来解释衍射过程，惠更斯原理规定波前的每个点可以被认为是球状地辐射的小波的起源和来源。例如平面波

E₁＝E₀e^-ikz (192)

可以有面积元素的数组，每个面积元素都在其表面上具有面积dA，它们作为惠更斯小波的来源。在这种情况下，我们预期在远场中

其中，比例常数(非电荷)q是待确定的，以及

使得

其中，可以使用方程175和下面的事实来估计最后一个积分：在远场中r≈z。在将结果设置为等于原始平面波时，因为它必须在自由空间中传播，我们有

因此，比例常数为q＝i/λ，以及

这是由在具有距面积元素的距离r的点处具有面积dA和振幅E₀的波前引起的扰动，其中r在近似地在入射波前的传播方向上的方向上。显然当dA＝rλ时，没有波的聚焦或散焦。因此，源的宽度必须近似

这暗示不可能使射线从具有λ或更小的宽度(直径)的粒子被追踪。

作为例子：产生白色涂料的表观白色的光散射由制造商在涂料中包括的透明二氧化钛的大(1-10微米大小的)球形微球产生，以使光散射并提供白色涂料的外观。然而，对于尺寸明显小于可见光的波长的小直径纳米球(例如<50nm)，白色通常不存在。这个想法可以一般化到任何感兴趣的波长，且这是非常重要的，因为我们不想要纳米粒子添加到云，并实质上使来自IGL光束转向液体的光散射。

将这个分析和例子记在心中，我们现在返回到图5，其中介电纳米球(其主体材料实质上是透明的)散射在z方向上传播的平面波。我们现在可以应用巴比内原理(Babinet’sprinciple)，其为规定来自不透明体的衍射图样与来自在不透明屏幕5e中的孔(即，由球形纳米球形成)的衍射图样相同的来自光学的定理。该孔具有与粒子横截面相同的大小和形状。此外，对于包括孔和在孔周围的无限区域的互补屏幕，在有限不透明屏幕周围衍射的波加上通过互补孔衍射的波的总和是相同的，就像没有屏幕存在一样。因此，巴比内原理是

E_粒子+E_孔＝E_入射 (198)

这个定理可以稍微被修改，以说明将光学相移引入到入射场内的透明介电粒子。特别是，如果我们从孔的每个面积元素中减去入射波的复振幅并然后在复相位修正场中加回来，我们将说明纳米粒子的透明体介质的相移的原因。以这种方式，我们可以近似地解释由具有不同于其周围介质的折射率的纳米球引起的相位滞后。因此，巴比内原理在远场中变成

其中，从方程5中，相位滞后ψ是

以及

显然，p是直接通过纳米球的中心直径的相位滞后。此外，从方程199中我们有

其中，S(0)的识别通过与方程172的比较来获得。此外，从图5中我们可以看到，环形面积元素是τ的函数，使得在入射波的方向上的散射振幅为

让s＝sinτ，那么复散射振幅为

从方程188-189中我们得到复消光效率为

接下来，将Q″_ext的表达式插入到方程190中，并使用方程201进行简化，我们发现

因此，在为平均实折射率设置n_A＝n′时，我们得到

其中，通过纳米球的直径的相位滞后是

以及其中，λ₀是光的自由空间波长。这些方程应该与方程165的直观地导出的表达式进行比较，其中我们注意到在小粒子的限制下，校正因子

使得方程165和方程207是相同的。还注意到，进一步发展n″的表达式的尝试没有被进行，因为散射损耗由大致垂直于入射光的方向的散射过程更强地调节并且是强烈地尺寸相关的。这需要使用适当地选择的散射形式(例如米氏散射)以正确地说明损耗过程的原因。最后，可以通过注意到下式来将对于折射率方程207的方程连接到方程163：

其中，

且我们考虑体积分数是在来自电极的电压的控制下的空间和时间的函数。于是

作为数值例子，如果b＝25nm，(n_S-n_L)＝0.5以及λ₀＝500nm，那么p＝π/10以及校正因子约为0.9902，因此方程165相差约1％。然而，对于25nm半径的纳米粒子的所需电压很高，且将需要高DEP电压来控制，并且可能需要更长的时间周期来稳定在稳态处。因此，如果b＝l00nm，我们发现校正因子为0.8507且表示确实需要被考虑的几乎15％误差。

总之，穿过胶体或悬浮液的光将遇到由主体(in bulk)透明的材料制成的液体和纳米球。如果在光学频率处主体材料是无损的，那么仍然有由来自纳米粒子的光的散射控制的消光过程。虽然在与入射方向实质上不同的方向上的散射是纳米粒子尺寸的强函数，但对于散射到在入射方向周围的角的窄范围内的光来说，情况并非如此，其中对纳米粒子尺寸的依赖性弱得多。在这种情况下，我们可以避免使用精确的米氏散射理论或针对相对于波长的粒子尺寸优化的特定散射近似，例如对于相对于波长是小的粒子的瑞利散射近似，并使用称为异常衍射近似的散射近似，其为液体和纳米粒子的混合物的平均折射率提供紧凑的解析表达式。

异常衍射近似最初由荷兰天文学家Van de Hulst发展，描述对于光学软球的光散射。它也被称为Van de Hulst近似、程函(eikonal)近似、高能近似或软粒子近似，且它允许我们用同质材料的复数和因而有损的介电常数n＝n′-in″代替液体和纳米粒子的无损折射率。近似的本质在于n可以与在正向方向S(0)上的散射振幅相关，作为损耗机制而不是欧姆损耗。从使用巴比内原理的修正版本来导出S(0)的值用来说明在来自透明球的入射波中引入的衍射和相位滞后的原因。这种技术可以被一般化到解释不是球形的粒子以及本质上有损耗的液体和纳米粒子，尽管数学被更多地涉及。

实际上，获得仅仅一个尺寸b的球形纳米粒子常常是困难的或昂贵的。通常有可用的尺寸的分布。考虑到这一点，我们可以将方程207一般化为

其中，固体纳米球的总体积分数是v_S，其被分成M个不同的球半径b_m。不同的半径于是提供不同的相位直径相位滞后

其中，α是不久将被使用的方便常数。此外，在每个尺寸中的纳米粒子的单独数量的总和为

N_T＝N₁+N₂+N₃+…+N_M (214)

其中，N_T是纳米粒子的总数。因此，

其可以按照概率质量函数f_m被重写为

f₁+f₂+f₃+…+f_M＝1。 (216)

因此，第m个球尺寸的体积分数是由纳米球的体积比总体积给出的比率

其中，

是允许一个纳米粒子装入其中的最大单位单元体积，以及

是填充有纳米粒子的胶体的总体积。通过使用方程217并采用许多纳米粒子的极限，我们可以移动到纳米粒子尺寸的连续统，使得

其中，f_b(b)是随机变量b的概率密度函数(PDF)。如果我们取

p＝αb (219)

其中

则，db＝dp/α以及

因此，在不同的粒度分布的情况下，我们将得到不同的校正因子。

例如，如果我们假设也许通过在制造期间使用纳米筛来将纳米球制造成具有尺寸的均匀分布，那么

然后方程221可以直接被求积分，并且提供

其中对于均匀概率分布

这可以用几种方式来写，然而让我们观察到平均粒子体积是

然后对于具有范围从0到b_max的半径的纳米球的均匀分布，我们发现

其中，在胶体或悬浮液中的纳米球的平均体积分数是

此外注意，在小粒子的极限中，

因此，我们可以看到，如果粒子很小，那么具有一定范围的尺寸的非常小的粒子对总性能没有大影响。使用这种小粒子的影响是对高DEP电压和可能高纳米粒子成本的需要，这可能是不希望有的。

相反，通过移动到用于粒子尺寸的其他概率分布函数以及可能一定范围的折射率，我们可以获得用于形成具有不同层的光学元件并减轻光学像差的增加的自由度。因而得到的平均折射率将采取形式

n_A＝n_L+δ_n1<v_S1>F₁(p)+δ_n2<v_S2>F₂(p)+…+δn_M<v_SM>F_M(p) (229)

其中，δn_j＝n_Sj-n_L，第j种材料的折射率，校正因子是F_j(p)，并且<v_Sj>是对于所使用的第j种材料的平均体积分数，使得总体积分数为

v_S＝<v_S1>+<v_S2>+…+<v_SM>。 (230)

对折射率取平均的这些不同形式提供对校正在光学系统中的色像差、球面像差和其他形式的像差的基础。

使用同相激励的基于DEP的光转向

在前面的章节中建立了所需的物理过程后，我们将接着考虑使用仅包括cos(ωt)谐波激励的同相谐波激励的沿着平面圆的光束转向。这将与在随后的章节中的发展形成对比，在随后的章节中我们将考虑使用同相和正交谐波激励的光束转向，即其中cos(ωt)和sin(ωt)电场分量都存在于非共线方向上。

此外，对用于实现大角度范围的圆形的光束转向的聚焦不应被解释为限制到不仅仅沿着平面圆的其他光束转向实施例。这是因为在三维空间中的一般任意路径可以由在密切平面中的密切圆的曲率半径描述，该密切平面与在三维空间中沿着任意路径的每个点相切。换句话说，如果光束转向沿着圆出现，那么沿着任意路径的光束转向也是可能的而不失一般性，只要适当的μFCC被提供。尽管如此，使用圆形的光束转向设备的光束转向具有实际的实施例和精确的理论公式，并且它可以直接用于许多不同的应用。简而言之，如果需要，圆形的光束转向技术可以应用于更复杂的情况。

作为对基于DEP的光束转向的介绍，首先考虑如在图6A中提供的当前作者的现有技术将证明是有益的，其中圆形μFCC 6a被切割成透明电介质6b块。除了包含少量IML 6c的小区域之外，该通道被填充有真空，该小区域位于通过由电子引起的平流(例如液滴的电润湿或介电电泳)示出的位置处。实现平流的电子设备没有被示出以保持图形是整齐的和一般的，但是通常需要沿着μFCC的电极。两条光线被输入6d(源未示出)，并在围绕μFCC波导的内边界的逆时针传播方向6e上被引导，并且因而得到的输出光线6f被示为在透明电介质外部的外部输出光线6g上被发散。

如由激光束“看到”的折射率的两种可能的状态在图6B中示出，该折射率表示朝着方向箭头6h和6i的折射率。圆形μFCC的内半径为(ξ₀-δξ)，外半径为(ξ₀+δξ)，以及中心在半径ξ₀处。如可以看到的，在μFCC中的折射率在真空折射率6j和n₀之间变化，n₀是固体介质折射率6k。

图6中的输出光线的总角发散的程度可以由分析光线追踪被示为

当ξ₀＞＞δξ时，其中ξ₀是曲率半径，以及d是准直输入光源的直径。当ξ₀是大的或d是小的时，散度可以变得接近零。另一种方法是通过直μFCC段(其具有ξ₀＝∞)来近似圆，使得θ_T＝0。

为了克服光发散的问题和对液体平流的需要，我们考虑图7A，其中连续的(非分段的)μFCC 7a被定位。输入光线7b在μFCC内在逆时针传播方向7c上发射，源未示出。

IGL 7d完全充满μFCC，且它被电子地控制以一经要求就形成折射率梯度。想法是形成梯度以使光转向而没有光线的发散，直到只有正确的位置被光线遇到为止，此时我们在梯度损坏区域7e中电子地损坏渐进折射率(GRIN)，并去除梯度，并将光束从μFCC发射到输出光线7f内。在这种情况下，通道完全充满从不流动的液体，但是对通过它的电场作出反应以形成GRIN通道。用于形成电场的电极和液体组分没有在图7A中示出，但在本公开中稍后更详细地被描述。最终，输出光线作为外部输出光线7h离开固体透明材料7g。固体透明材料的形状可以是任何方便的形状，但它在图7A中被显示为正方形(在三维中的立方体)。

接下来，我们发展所需的折射率梯度分布，如面朝方向箭头7i和7j看到的，使得圆形传播被维持。所需的线性化折射率7k梯度然后在图7B中的上下文中示出。

特别地，从图7中在圆形半径ξ处折射率为n，以及在半径ξ+δξ处折射率为n-δn，以及在半径ξ-δξ处折射率为n-δn。然后在较小半径处的光路长度为OPL₁＝θξn，其中θ是在图7A中激光束的一侧经过的角弧。激光束的另一侧必须接着累积OPL₂＝θ(ξ+δξ)(n+δn)的光路长度。对于非发散轨道，我们需要OPL₁＝OPL₂，所以在拒绝二阶微分并将极限取为无穷小之后，我们发现

其中，n_cir是光束的圆形轨迹所需的折射率，以及积分常数C通过假设在ξ＝ξ₀时折射率为n＝n₀来确定。接下来，我们将折射率的泰勒展开式采用到一阶以将关于ξ＝ξ₀的方程线性化，结果是

具有在μFCC的中心处对称地绕着ξ₀的(2δξ)的宽度的μFCC然后将提供在下式的内和外通道边界处的折射率：

其中，δn＝n₀(δξ/ξ₀)，如图7B所示。例如，如果我们想要使光学器件变“大”，那么我们可以选择ξ₀＝25mm，δξ＝0.25mm(即，0.50mm的通道宽度)和n₀＝1.50。然后我们发现δn＝0.0150，且这对于提供折射率变化的大于2δn＝0.030的某些液体混合物是可能的。

在上面的例子中获得的关键点之一在于δξ/ξ₀的比率设定所需的折射率的变化量。此外，因为μFCC在宽度2δξ上是小的，比率δξ/ξ₀可以变得非常小，从而甚至在2π弧度的圆形的光束转向的情况下保持所需的折射率变化很小，且因此实际胶体对于IGL是可用的。

在图7B中，通过改变基于DEP的IGL的振幅或频率，所需的线性化折射率7k被损坏。设备的梯度损坏区域7e对应于图7B中的均匀折射率区域7m区域。均匀折射率区域7m可以被设置为等于固体透明材料7g的折射率，如由固体折射率区域7n和7o所示。折射率区域7n和7o也可以高于或低于n₀，以便于在所制造的DBS设备中在缺陷存在时光束的抑制。注意，梯度损坏区域7e通过改变在激励梯度损坏区域7e的电极上的电压电平或频率来获得它的均匀折射率。在图7中未示出用于该操作的电极，以避免使该图混乱。

IGL包括一种或更多种液体的混合物，其中有一种或更多种微小粒子类型(潜在地有数百万个单独的粒子)，使得本体折射率是在液体和固体粒子的特性上的空间平均。以这种方式，控制在液体中的固体粒子的空间分布也控制体积平均折射率。这可以在快速电子速度下完成，而不需要液体平流。

接下来，我们将考虑图8并假设我们具有在胶体悬浮液中的纳米粒子的稳态浓度的表达式v(r)。然后对于我们在图7中示出的几何形状，我们有一维问题以及r→r。此外，我们可以将稳态纳米粒子浓度写为v(r)＝u(r，∞)，使得方程167变成

在r＝r₀的半径附近，我们可以使用泰勒近似来将此重写为

此外，在我们首先使图7中的坐标系与图8A中的坐标系相关之后，我们现在可以使方程237到方程234相等。

注意，在图8A中，DEPS电极的顶点指向电极的对称旋转轴，且这形成图7中的圆形通道。换句话说，图7提供顶视图，以及图8提供包括设备的中心的横截面视图，且电极取向如所示。光束转向设备8a具有圆形μFCC，其具有电极8b和8c。在光束转向设备内部的是包含折射IGL 8d的楔形μFCC。准直光束8e在另一对称侧上传播到页面中并从页面中传播出来。图8B是相同的，除了楔形物的取向反转以外，且这与图8A相比需要K_R<0，图8A需要K_R>0。注意，-r₀用作坐标惯例，如图8B所示。

从图8A我们可以看到

ξ＝R+r (238)

ξ₀＝R+r₀ (239)

其中，R是从旋转轴到电极相交的点的距离，以及r₀是用于控制光辐射的μFCC的部分的位置。我们可以将方程234重写为

因此，当将所需的n_circ设置为等于基于DEPS的n时，我们获得

我们可以通过匹配(r-r₀)的系数来看到

其可以用来消除n₀，使得

这是光束在DEP稳态下在圆形轨迹中移动必须满足的高级主方程。更进一步，我们必须解决由电极生成的电场的准静电边界值问题，且然后在稳态条件下对DEP主方程163求解。最后，注意图8B的情况通过在上述方程中设置r₀→-r₀来获得。

将这一目标记在心中，考虑如在图9中的横截面中所示的两个电极的示例布置，其中2θ₀的角在两个扁平电极9a和9b之间形成。电极形成v形或楔形，并且沿着在页面的平面中顺着电场9c的圆弧前进，并且还可以在进入页面的平面的方向上形成圆形μFCC。在电极之间的总电压振幅为2V₀，即从+V₀到-V₀，并且存在虚线恒定电位线，例如9d。在电极之间的体积被填充有形成IGL 9e的纳米粒子胶体。IGL的梯度在图中由所显示的点的密度表示，并且纳米粒子的密度在电极楔的顶点附近最大。在该区域中是光束9f，光束9f传播到页面的平面中并且当光沿着圆形μFCC传播到页面中时被重定向到圆形轨迹中。

注意，图9与K_R>0一致并且与图10相同，除了图10与K_R<0一致之外。这可以通过在纳米粒子胶体中的与纳米粒子的IGL 10a梯度相比的IGL 9e梯度(即点的密度)被看到。在圆中被转向的光束10b的位置相对于光束9f偏移。当K_R>0时，过程是正DEP(pDEP)，当K_R<0时，过程是负DEP(nDEP)。如果在方程124中的K₀和K_∞具有相反的符号，那么我们可以通过改变频率ω来在pDEP和nDEP操作之间切换。此外，图8A中使用图9的pDEP配置，而图8B中使用nDEP配置。

图11示出了基于绕着公共对称轴形成楔形微流控通道和电极的圆形路径的示例DBS设备的剖视图，如在上面对图8-9所讨论的。示出了一般弯曲光轨迹11a，包括将它到自由空间光束11b内的释放。

在剖视图中示出了圆盘形和透明的密封壳11c。读者可以想象圆盘也沿着切除区域11d填充该区域。密封壳包含围绕对称轴旋转以形成μFCC11e的楔形剖面，该μFCC在它的体积中包含基于胶体的IGL，该胶体包括在光学透明液体中的光学透明纳米粒子，其中胶体的每个组分具有不同的本体折射率。固体纳米粒子具有通常(但不是必须)比液体和透明密封壳11c的折射率高的折射率。这允许纳米粒子的折射率与作为胶体的液体平均化，使得当在纳米粒子上没有基于DEP的力时，胶体的有效(体积平均的)折射率接近于固体密封壳的折射率，即，如在图7中在均匀折射率区域7m处所示。这在当在电极两端的电压差为零时或者当谐波电极激励弧度频率乘以麦克斯韦-瓦格纳时间常数ωτ_MW使得克劳修-莫索缔因子的实部为零时出现，例如，这当实曲线越过K＝0线时在图3A中被看到，并且它也出现在图4中的半圆形轨迹的顶部处，例如在零力点4f处。

在μFCC 11e的顶部和底部上的是电极11f和11g。电极可以各自包括多个子电极，该子电极在形式上是分离的和相同的，但是可以被独立地激励，使得在μFCC中的分离的角区域可以被激励用于光转向，如下面对图12所述的。第一区域是有在IGL中形成的折射率梯度的地方，而第二区域是没有在IGL中形成的折射率梯度的地方。在图11中，第一和第二区域具有电极边界11h。弯曲的光轨迹11a存在于边界的一侧上，并且在体积中的直线传播存在于边界的另一侧上。

在图12中，在这里详细示出了在图11中使用的一组分段电极12a，以避免它会在图11中生成的混乱。特别是，绕着对称轴12b布置分段的上电极和下电极。提供了上电极12c及其相关联的下电极12d的示例。上电极通常几乎都在相同的相量电压电平+V₀处。下电极通常几乎都在相同的相量电压电平-V₀处。这些电压电平的例外是DBS将被去激活以允许光束逸散到直线传播内的情况。被去激活的电极将使电压被设置为零或使谐波激励频率被设置为该值，该值将复克劳修-莫索缔因子的实部设置为零。此外，在实际设备中可能有能力来在电极电压中提供电极对电极(electrode-to-electrode)变化以补偿非理想效应，例如温度效应、光束扩散、不完美的输入光方向以及可能没有被很好地表征的纳米粒子直径和折射率的分布。在关闭状态角范围12e中的电极被去激活以允许光束逸散，例如在图11中描绘的光束。重要的是注意到，可以有许多电极段以允许高角度分辨率。此外，它们可以在多个段上被设置为关闭状态，使得多个脉冲光束可以几乎同时被发射。这在如LiDAR的应用中是重要的，该应用对于使用脉冲激光和脉冲位置编码的激光的高采样率的需要。

接下来，针对具有谐波电压激励的楔形电极的特定示例情况发展在μFCC 11e中的纳米粒子浓度。横越顶部和底部电极的电压相量为

V(Top，t)＝+V₀e^iωt (245)

V(Bottom，t)＝-V₀e^iωt. (246)

在相量形式中，在电极之间的体积中的电压是下式的解：

受制于下式的边界条件：

V(r₁≤r≤r₂，+θ₀/2)＝+V₀ (248)

V(r₁≤r≤r₂，-θ₀/2)＝-V₀. (249)

因此我们可以看到，我们可以将在-θ₀≤θ≤+θ₀时在电极之间的电压近似为

因此，在圆柱坐标中的电场强度为

使得

以及

因此

此外，我们可以识别电场强度的实部和虚部

E_I＝<0，0，0>

E_I×E_R＝0. (255)

使用对

和E_I×E_R的上述分析，主DEP方程163可以被写为

因此

接下来，我们将对这个方程归一化，且使它变成无单位的。这将稍微简化方程，并提供对解u的最终函数形式的某种见识。首先注意，β的单位通过首先展开来获得，由此

因此，β的单位是

给定微分方程257，我们寻求下列形式的积解：

使得在方程257中的所有量被包括以及初始空间条件u(r，0)＝u₀在时刻零处的浓度处是常数。从单位方面来说

[u]～[r]^a[t]^b[D]^c[β]^d[u₀]^e

(#L-3)＝L^aT^b(L²T^-1)^c(L⁴T^-1)^d(#L^-3)^e (261)

使得

a+2c+4d-3e＝-3 (262)

b-c-d＝0 (263)

e＝1 (264)

因此，

d＝b-c (265)

以及

因此，

或者更一般地，当对不同比例常数A_a，b和指数求和时，我们可以提供下列形式的级数解：

或者等效地我们可以写

u＝u₀g(ρ，τ)， (269)

其中，g是需要被确定的函数，以及其中我们引入无量纲相似变量

因此，

以及在稳态下

其中，尚未通过重写下式来找到函数g和G：

导致归一化的微分方程

初始条件和边界条件分别被取为

g(ρ，0)＝1 (278)

g(∞，∞)＝0. (279)

在稳态下，当t→∞时，让我们定义G(ρ)＝g(ρ，∞)，其中

0≤G(ρ₁)＜∞。 (280)

无限大的楔形区是一种近似，其允许避免计算边缘场，并且假定大多数DEP力无论如何在楔形顶点附近的话是合理的。上面的第一个条件表明电场对远离楔形物的顶点的IGL没有影响。第二个条件限制解，然而对于在该模型中使用的点粒子，浓度可能转向无穷大，且我们将不得不手动地限制浓度。这稍后在分析中将更详细地被解释。

在继续之前，注意还有其他可能的方式来模拟这种情况。例如，通过假设在r₁≤r≤r₂之间的固定区域中的纳米粒子的数量由于有限密封壳的壁而是不变的，那么

由此，另一相似性分析产生下列形式的解(当β≠0)：

以及由此得到的微分方程277不改变，即使对于解的表达式是不同的。因此，方程272转换成方程282时，使得u₀→ζD/β在随后的方程中是需要的。为了保持具有对本公开有用的特征的简单模型起见，我们现在继续使用方程272。

因此，在稳态下，我们期望

可以用几种方法找到对稳态方程的一般解，然而为了方便起见，注意，该解最可能是指数的。因此通过反复试验，我们可以尝试形式Exp[aρ^-2]、Exp[aρ^-1]、Exp[aρ¹]和Exp[aρ²]的试探解。由此，我们发现指数

求解了该方程，以及第二个独立解可以通过降阶的方法针对二阶微分方程找到，使得

其中，Ei[z]是指数积分函数

稳态解的第一项G₁是纯指数，且总是大于零并且在ρ增加时减小。第二项G₂不总是正的，并且在ρ增加时无限制地增加，如图13所示。因此，G₂曲线不是物理上可实现的解。注意，G₁解也被标记为正介电电泳pDEP 13a和负介电电泳nDEP 13b，其中分别K_R>0和K_R<0。

通常，我们有稳态浓度v(ρ)＝u(ρ，∞)＝u₀G(ρ)，其中C₁＝1，如对我们的归一化微分方程所需的，使得

根据方程89、124、133、153、258和270中，我们可以将方程286写为

并且我们可以清楚地看到，根据K₀、K_∞、τ_MW和频率ω的值，K_R可以同时采用正值和负值。此外，我们可以从方程119中确定

我们将弧长确定为s＝r(2θ₀)，以及将在电极两端的总电压降确定为2V₀，因此我们可以进一步将在纳米粒子W内的电场E和电场能量识别为

因此，稳态纳米粒子浓度是(1)在纳米粒子的体积中的能量和(2)热能的比率的函数。特别是，

在方程291中的1/2的因子对于所使用的外加电场的形式是特定的，并且对于其他电极几何形状可以改变。显然，上述方程的简单形式表明，代替ρ使用的另一个变量是能量的比率。注意，我们可以简单地通过改变施加在驱动电极上的电压的频率ω以改变K_R的符号(即，当K₀和K_∞中的一个采取负值而另一个采取正值时)在图13所示的两种形式的G₁之间切换，由此，能量W可以是正的或负的，这创建物理上可实现的正介电电泳pDEP 13a和负介电电泳nDEP 13b曲线，其在图13中对楔形电极示例明确地示出。

根据方程153、258和270，我们可以写出

其中，我们将

称为归一化半径，以及r₀为从电极顶点到光被限制用于转向的地方的距离，如图8-9所示。因此，我们可以将方程244重写为

其中，类似于在方程270中的ρ的定义

因此，

以及

其中，固体球的体积分数是

如果使电路通电，则在外部烧杯中完全混合IGL的液体和纳米粒子组分时出现。现在对折射率的比率求解，我们针对图8A的配置获得方程

注意，当μFCC的归一化半径朝着无穷大增加

时，折射率之比率接近1，因为光的轨迹是直线以及GRIN剖面是不需要的。此外，对于在图8B中所示的情况，我们进行代入ρ₀→-ρ₀，使得

最后，为了完整性起见，当在更大的纳米粒子尺寸的情况下将方程299从瑞利散射扩展到米氏散射，即b＞λ₀/20时，我们有

其中，p由方程208给出，以及ρ₀可以采取正值和负值，以分别考虑到图8A-B中的不同配置，并且折射率是自由空间波长λ₀和温度T的函数。对于聚二甲基硅氧烷，在图14中绘制方程301，聚二甲基硅氧烷是低粘度、化学稳定和大温度范围的透明液体，其代表在本公开中对应用预期的介电液体。

注意，在使用上述方程时必须要小心，因为方程163基本上假设纳米粒子球是点。这意味着点可以变得任意接近于彼此，使得当r→0时浓度可以趋向于无穷大。这不能在实践中发生，因为固体球将接触彼此，并阻止任何进一步的集中出现。特别是，对于在三维中的均匀尺寸球体，最致密的堆积(packing)约为74％，即对于面心立方(FCC)堆积和六边紧密堆积(HCP)的体积分数

相比之下，等球体的随机堆积通常具有大约64％的密度。尽管在本文档中的分析聚焦于球形纳米粒子上，但显然对于纳米粒子的其他几何形状可以被利用。

最大均匀尺寸的球形堆积密度提供下面的体积分数

以及随机堆积提供

作为对于球形纳米粒子的实际问题

以及因为

迄今为止在光束转向的分析中，图11中的电极11f和11g被配置为在平面中提供光转向。然而，这不是要求，并且可能添加额外的转向电极，使得光束可以以仰角以及方位角被转向。

在图15中，添加了额外的电极以获得对仰角的适度控制。一些应用(如用于汽车应用的LiDAR)也许仅需要少至5-10度的仰角光束控制以能够覆盖预期的视场。仰角控制电极15a和15b提供将光束移动到新的仰角光束位置15c的这个附加自由度。可以改变纳米粒子分布的任何电极配置都可以用于方位和仰角控制，而不仅仅是所示的楔形电极。图15中的电极仅仅是一个可能的示例。

刚刚描述的DBS设备基于楔形μFCC，其具有放置在μFCC的上表面和下表面上的具有相反极性的电极以形成楔形几何形状。图16示出了可选的方法，其中不同的电极对称性被使用以及用于引导光的不同原理被利用。

特别是，现在希望通过有具有比包层区域更高的折射率的核心区域来产生就像光纤限制和引导光一样限制和引导光的GRIN液体。大多数光纤具有在核心和包层之间的折射率的阶跃变化。一些光纤使用GRIN折射率分布，使得逐渐变化出现在核心和包层折射率之间。也就是说，光纤具有静态折射率分布，而下面描述的DBS系统具有动态GRIN分布，使得被引导的光束可以被转向到期望的方位角(或仰角)方向且然后被释放，即，通过移除GRIN分布，使得光被发射到直线传播中并出进入自由空间中。

在图16A中，输入光16a从光源(未示出)注入到基于在胶体IGL中的纳米粒子的介电电泳的GRIN光导内，胶体IGL位于μFCC 16b内。光具有一般传播方向16c。然而，由于GRIN分布，我们可以考虑到光线如图所示在波导周围波动，且这可能导致在输出端处的某种光发散。与纤维镜、管道镜或内窥镜相似，可以通过策略性地选择包层和核心直径来控制光线发散。沿着μFCC，存在沿着传播的角方向的多个分立电极(在该图中未示出)，这些电极用于形成GRIN介质以限制光，直到μFCC的DEP中断区域16d被到达为止。在中断区域中电极被有意配置，使得谐波电压振幅被设置为零，或者谐波激励的频率ω被设置为使得方程122的复克劳修-莫索缔因子的实部为零以消除在纳米粒子上的有质动力并消除GRIN效应。因此，在DEP过程被中断后，光将具有在固体透明密封壳16f的介质中的直线传播16e，并将折射出密封壳进入自由空间光传播16g内。光束的角发散将由基于μFCC的GRIN光导的有效数值孔径确定。密封壳的形状是任意的，但是为了方便起见在图16A中被显示为在横截面上是正方形的。

在图16B中，示出了面朝方向箭头16h和16i的作为半径ξ的函数提供的折射率分布。密封壳的折射率16j和16k是n₀并在μFCC的中心处具有n₁的折射率，其通过GRIN分布16m来实现。当DEP过程被中断时，GRIN恢复到均匀折射率16n。

在图17中，提供了用于支持图16的GRIN的电极的配置。它由两个独立且实质上分开的电极17a和17b组成，电极17a和17b支持谐波电压振幅±V₀。也可以使用额外的电极(但在本文未示出)，例如众所周知的四元配置，使得可以得到对在折射IGL 17c内的纳米粒子分布的更大控制。该配置的对称性由虚线等电位曲线17d和电场曲线17e提供。注意，在图16A中围绕圆形μFCC定向的光现在将在电极之间居中，并被定向到图17中的图的页面中。

使用同相激励的基于DEP的光聚焦

在光束转向中使用的相同原理、材料和结构也可以在使透镜聚焦时被使用。这样的示例在图18A中示出，其中透镜的横截面图像被提供。输入光18a进入透镜，并在穿过透镜时被聚焦(或散焦，如果需要的话)。

透镜具有保持IGL的透明密封壳，该密封壳包括第一密封结构18b和第二密封结构18c。这些密封结构提供一个体积，折射IGL 18d和在DEP中使用的电场都位于该体积内。

包括第一环形电极18e和第二环形电极18f的圆形环形电极由电绝缘体18g分离。第一和第二环形电极支持相量电压+V₀和-V₀，并产生电场18h，其在图18A中由虚线指示。注意，已经为楔形μFCC光束转向的纳米粒子浓度u发展的方程在这里仍然适用，但是现在电场的可用部分填充楔形物的外部。

沿着对称轴18i进入DEP光电透镜的输入光18a被聚焦为输出光18j。图13所示的解决方案仍然大致适用于nDEP和pDEP，并且在图18B-18C中在图18中的透镜的上下文中被绘制。如果nDEP工艺被利用，则会聚透镜如图18B所示由对应于传统凸透镜的会聚透镜折射率18k形成。如果pDEP工艺被利用，则发散透镜如图18C所示由对应于传统凹透镜的发散透镜折射率18m形成。

注意，传统透镜使用恒定折射率和可变厚度作为透镜半径的函数以形成透镜。相反，图18A中的透镜具有作为透镜半径的函数的可变折射率和恒定厚度。另外，图18A中的透镜也可能也包括可变厚度。这可能被完成以消除透镜像差。可选地，放置在密封壳表面上的附加电极(未示出)可以提供附加的自由度以形成纳米粒子的分布，并更好地控制聚焦和像差。

环形电极的透视图显示在图19中，并且包括第一环形电极19a和第二环形电极19b。电极由电绝缘体19c分离。第一和第二环形电极支持相量电压+V₀和-V₀，并且通过电极的锥形电极19d部分来产生不均匀电场，该锥形电极19d部分具有作为半径的函数的可变厚度。

图20示出了基于电泳的透镜的环形电极和密封壳的透视图和剖视图。该图与图18-19一致。输入光20a经由光电介电电泳透镜20c聚焦到输出光20b，该透镜20c通常(但必须)是关于光轴20d对称的。第一环形电极20e和第二环形电极20f由电绝缘体20g分离。电极提供对于改变纳米粒子的分布和光学折射率所需的不均匀电场以使通过透镜的光电子地聚焦。光由在密封壳中形成的基于胶体的GRIN分布来聚焦，密封壳由电极、绝缘体、第一密封结构20h和第二密封结构20i形成。

使用同相和正交激励的光转向

到目前为止在本公开中，聚焦仅对电场的同相谐波激励使用。在这种情况下，主方程163表明在纳米粒子上的有质动力可以只从第一项获得。然而，对于同相和正交激励，需要方程163的前两项。当主方程163被重写为下式时可看到此：

其中，E_R是同相电场，以及E_I是不在与E_R相同的方向上的正交电场。

在上述方程中诱导同相和正交激励的一种方式是在图21A中的电极阵列上使用多相谐波行进电压波。在合适的条件下这有可能在x方向和y方向上都提供对纳米粒子的力，如在图中指示的。在图21A所示的示例中，仅示出三个相位：

V₁＝V₀eⁱ⁰ (；307)

但更多或更少的相位在相邻电极之间有相等的相位间隔的情况下也是可能的。电压源连接到电极，例如电极21a。电极可以放置在固体介电材料21b上或嵌入固体介电材料21b中，固体介电材料21b在感兴趣的光学波长下通常是透明的。与固体介电材料接触的是胶体纳米粒子流体21c。如以前所讨论的，纳米粒子分散在液体中并且纳米粒子的特定空间分布提供光学梯度以控制光。尽管在图21A中未示出，但是电极阵列在μFCC的至少一个表面上形成，这在整个本公开中被讨论。线性电极阵列可以延伸到二维表面，即流形(manifold)，其嵌在三维空间中，参见例如针对圆柱形流形的图25。此外，该阵列可以具有在μFCC的其他表面上形成的对应电极。

通过用不同的电压振幅、定时、相位和频率激励电极，对纳米粒子分布的增加的自由度被施加到电极，以便更好地控制在透明介电纳米粒子上的力以及因而产生的作为空间和时间的函数的折射率的分布。这在图21B中示出，其中在胶体纳米粒子上的力在x和y方向中的一个或两个方向上。如在前面的段落中的，图21B具有在固体介电材料21e上或中的电极，例如21d。与固体介电材料接触的是胶体纳米粒子流体21f。

电场可以由从左到右行进的谐波表示。对于电场的相量形式的一阶的方便模型由下式给出：

其中，f(x)是模拟驱动电子设备根据电极位置来改变谐波电压激励的振幅的能力的实值函数，κ是场的空间弧度频率，以及

和

是在x和y方向上的单位向量。注意，当振幅具有从V₀到-V₀的变化时，这代表π弧度相移。此外，当观察点在y方向上远离电极的平面移动时，存在电场强度的指数衰减。

通过使用众所周知的欧拉公式e^iθ＝cosθ+i sinθ来展开最后一个方程，我们得到E＝E_R+iE_I，使得

从其中我们发现

E_R·E_R＝E₀e^-2κyf²(x) (313)

E_I·E_I＝E₀e^-2κyf²(x) (314)

E_R·E_I＝0 (315)

E²＝2E₀e^-2κyf²(x) (316)

其中，E²＝|E_R|²+|E_I|²。因此，在纳米粒子上的力具有与下式成比例的贡献：

其中，素数表示相对于x的导数。如果f(x)＝1，那么

以及由诱导力诱导的稳态纳米粒子流在y方向上变化。因此，稳态浓度为u(r)≈u(y)，且浓度贡献为

当f(x)不是常数时，上述两个项都一般都不为零，并且存在用于控制GRIN分布和光束转向的更多自由度。

因此，当f(x)＝1时，预期纳米粒子浓度u的大约仅y方向的变化。当f(x)＝1时的实电场和虚电场在图22A-22B中示出。场相对于电极(如22a和22b)示出。Y定向的变化可以被一般化并用于控制光束。

然而，可以通过提供电子器件来获得用于控制光的附加自由度，该电子器件提供振幅的电极到电极变化，使得f(x)≠常数。例如，如果振幅相对于所示的电极23a如图23所示变化，那么我们获得对在图21B的x和y方向上的纳米粒子流的控制。图23中的振幅23b的变化和振幅23c的导数在图24A-B中被示为场。注意，图22中的场结构不同于图24中的场结构。

在图25中示出了具有方位角转向的2π弧度和仰角转向的超过±π/4弧度的DBS设备。DBS设备包括固体外部透明天线罩25a，其具有形成μFCC的一个表面的天线罩内表面25b。另外，可以是透明的可选的内部固体25c提供内部固体25d的外表面。在天线罩内表面25b和内部固体25d的外表面之间的间隙是μFCC 25e。

另外，纳米粒子胶体25f位于在外部透明天线罩25a和可选的内部固体25c之间或在外部透明天线罩25a和用于通过GRIN分布包含光的在空间上变化的电场的空间范围之间形成的μFCC中。

输入光束25g(源未示出)被注入到μFCC内，且它通过角度选择电子反射镜25h被反射到向上成螺旋形的光轨迹25i中。向上成螺旋形的光轨迹可以可选地由反射设备25k转换成向下成螺旋形的光轨迹25j，该反射设备通常是仅全内反射。光被注入到μFCC内可以通过任何手段来实现，使得角度选择电子反射镜25h仅作为例子被提供。

控制纳米粒子胶体浓度u(r,t)的装置也稍后被提供和描述。当控制纳米粒子胶体的装置被激活时，光轨迹在图25的向上或向下方向上保持成螺旋形。当控制纳米粒子胶体的装置被去激活时，光例如在点25m处被发射，且然后具有内部直线轨迹25n，并且光束在外部直线轨迹25p上的点25o处折射到自由空间光束内。

存在用于控制光束的轨迹的三种不同的模式。第一模式使用来自在电极上的行进电压波的同相和正交电极激励以在允许圆形光传播的折射率中引起径向梯度。这个第一模式(模式-1)具有如在与方程235中阐述的相同的要求，设置f(x)＝1，且具有远离二维电极阵列指数地衰减到μFCC中的IGL中的浓度u。在图25中，我们可以看到第一放大插图25q，其示出了在向上成螺旋形的光轨迹25i的小区域中的内部固体25d的外表面上的电极的阵列。电极阵列也可以放置在天线罩内表面25b上，但是可能需要设置ω，使得克劳修-莫索缔因子的相反符号被使用。与螺旋形轨迹相切的密切圆的曲率半径是已知的，使得电压和谐波频率ω可以被选择以确保在确保光的螺旋形轨迹的径向方向上存在衰减的浓度。电极可以被激励为如图25所示的像素或者在可选的内部固体25c的圆柱体周围的长条状电极(未示出)。

第二模式(模式-2)将f(x)设置为x的非常数函数，以便生成两个单独的行进电压波，其都远离或朝着向上成螺旋形的光轨迹25i的各侧传播。这允许纳米粒子能够聚集在光的轨迹周围以导致类似于GRIN光纤的GRIN波导。因此，当模式1在径向方向上产生梯度时，模式-2主要在角和轴向方向上(即，在内部固体25d的外表面的切面上)产生梯度，使得梯度向量总是朝着或远离光的螺旋形轨迹。这在期望的轨迹周围引起更大的折射率，并为光提供光导。为了避免疑问，图25示出了示例：模式-1径向纳米粒子梯度向量25r和切线模式-2纳米粒子梯度向量25s和25t。也可以想象模式-3，其为模式1和模式-2的组合。

第二放大插图25u示出了作为阵列印刷在μFCC的至少一个表面上的透明晶体管25v和透明电极25w的细节，该阵列可以使每个电极像素被选择和激励以通过在到所示晶体管的刷新信号之间的电容作用来保持电荷。快速微处理器可以利用GRIN策略类模式-1或模式-2，并给电极阵列通电，使得光束沿着螺旋前进，直到光在(例如)点25m处从μFCC被发射出为止。

虽然上面的描述针对圆柱形DBS设备来做出，但是它对于其他结构形式(例如球或半球)同样是有效的。在这种情况下，μFCC将在外部球形天线罩和内部球形材料之间形成。电极几何形状的许多变形也是可能的。

使用同相和正交激励的光聚焦

在前一章节中，电极具有允许它们的覆盖范围延伸到支撑流形的完全或接近完全覆盖的几何形状。例如在平面中，电极可以在一维或二维中延伸。一种可能的棋盘形格局是在平面上的正方形电极的矩形网格，另一种是在平面上的电极条的线性网格，以及其他棋盘形格局也是可能的。平面网格可以被改变成柱面、球面或其他二维表面。

在可选的方法中，可以选择电极的几何形状以允许简单的行波仍然在局部区域中聚集纳米粒子。考虑图21A中的一维电极阵列，其由谐波多相电压激励以提供行进的电磁波并在x和y方向上在纳米粒子上提供有质动力。在稳态下，将有在y方向上的非零梯度分量和在x方向上的(近似)零梯度分量。然而，如果在x位置处插入壁，那么边界将允许纳米粒子的积累和光学GRIN分布。

通过使用圆柱几何形状，同样的事情可以被完成以形成透镜。因此，考虑图26中的电子地可控制的透镜的透视图和剖视图，其中一组同心电极26a位于保持IGL的胶体密封体积26b内。电极由透明导体形成，例如但不限于氧化铟锡、导电聚合物、银纳米粒子油墨和石墨烯。所示的电极阵列可以是所使用的唯一电极阵列，或者另一个电极阵列可以在密封体积26b的上表面上形成。

胶体密封体积是包含IGL和用于控制液体中的GRIN分布的电极的μFCC。在同心电极上的行波迫使纳米粒子朝着或远离光轴26c，使得在稳态下恒定厚度密封体积具有在径向方向上的GRIN分布。传统的圆形透镜(即，凸和会聚透镜或凹和发散透镜)具有从透镜的输入表面到输出表面径向地变化的光路长度。这个同一径向函数也使用这个DBS设备来产生，但现在所成形的输入和输出透镜表面用GRIN体积代替。会聚或发散透镜的功能现在通过复克劳修-莫索缔因子的实部的符号来获得，该因子由电极的激发的谐波频率控制。以这种方式，输入光26d在它穿过胶体密封体积26b及其相应的IGL密封结构26e之后变成聚焦输出光26f。它还允许动态放大和缩小功能，因为放大率通过改变谐波电极激励频率ω、电压振幅或两者来改变。实际上，图26中的透视剖面图通过沿着切开的弧26g对称地完成该结构而变成整体。

还应当注意，如果透明纳米粒子由不透明纳米粒子代替，则可能使电子快门功能或中性密度滤波器被实现。通过这个示例，我们还可以看到，虽然本公开的主要焦点是透明纳米粒子，但也存在对在某些光学频带中不透明或者甚至吸收的纳米粒子的明显扩展，以制造光谱透镜滤波器。

加速波和非测地线光束轨迹

在这个章节中，我们考虑对使用已经描述的DBS设备和技术的替代方法和实施例，特别是光源的范围现在扩展到没有特定模态结构(例如射线光学类型的光源)的光之外，且替代地，对波动方程的特殊模态解被发展，特殊模态解允许光转向过程的更好控制。通过谨慎地选择激励μFCC控制体积的模式，可以使光的能量在形成μFCC的弯曲控制体积内沿着新的一类“加速”轨迹移动。这对于用于针对应用(例如光探测和测距(LiDAR))构建紧凑的光束定向器有重要的实际应用，在这些应用中，可能每秒数百万个激光脉冲需要被转向到许多不同的角方向。在接下来的内容中，选择历史结果的快速回顾后面是现有技术理论到在胶体IGL中的空间上变化的折射率的新情况的扩展。产生的模式用于在大立体角上将光重定向到特定的角度方向。

三十多年前，在M.V.Berry的论文“Nonspreading wave packet”[Am.J.Phys.47(3),1979年3月]中，观察到采用艾里(Airy)函数的形式的概率波可以在自由空间中在无畸变的情况下和在有恒定加速度的情况下传播，而不违反关于非加速波包的厄论费斯脱(Ehrenfest)定理。特别是，对在自由空间中的

方程的一个可能的解

是由下式给出的艾里波：

其可以通过直接代入和艾里微分方程以及艾里微分方程的使用来被证明：

可以表明，像平面波一样，这个艾里波包可以在不改变形式的情况下传播，并且保持无衍射。在线性介质中，除了平面波和艾里波以外，没有其他函数具有这个性质。因此，如果人们可以找到上述量子波函数的电磁对应物，那么艾里包在传播期间通过自由加速在长距离上保持无衍射的不寻常特征可以被实现。再次值得强调的是，这个无衍射性质在不需要特殊非线性介质的情况下被实现，并且该性质至少在DBS设备内被保持。

起始点是波动方程的时域版本，特别是从麦克斯韦方程中，对于自由传播容易表明：

如果我们将下面的所假设的场配置(其暂时放弃在本公开中的时间符号规约，以便与所引用的文献一致)：

ε(r，t)＝E(r)e^i(kz-ωt) (328)

代入到方程327内，然后我们得到

其在历史上难以被求解，除非傍轴近似被进行。这要求场沿z轴逐渐变化，使得

由此，方程329变成

这一般可以被写为类似于方程324的一种

方程。特别是，使得

其中

其中，χ是归一化横向方向，x₀是方便的横向度量，如光束宽度，ζ是归一化传播距离，以及k是在具有折射率n的介质中的波数。方程332具有解

其清楚地表明波的强度分布在它的传播中是不变的。这个结果不需要非线性介质。此外，艾里光束的激发可以通过经由在光束源处的指数孔径函数的截断来实现，使得

E(χ，0)＝E₀Ai[χ]e^aχ (337)

其中，0＜a＜＜1，这确保对于负χ坐标值，指数变为零并有效地截断艾里光束。通过对方程332求积分来找到所产生的扩展光束，使得实际光束采取形式

其傅立叶变换与exp[ak²]exp[ik³/3]成比例，使得生成艾里光束的一种方式是根据在立体相被加在高斯函数上之后通过光学傅里叶变换的高斯光束。这个的细节由G.A.Siviloglou等人在Physical Review Letters中的标题为“Observation ofAccelerating Airy Beams”[PRL 99,213901(2001)]的论文中被进一步讨论。

不幸的是，在傍轴近似中形成的艾里光束仅限于小角度。然而，已找到对全部麦克斯韦方程的最近的解，其具有与傍轴艾里光束解的惊人的相似性，并且能够有大的角度偏差，如在DBS中找到的那样。例如，Ido Kaminer等人在Physical Review Letters中的标题为“Nondiffracting Accelerating Wave Packets of Maxwell's Equations”[PRL 108,163901(2012)]的期刊论文展示了对圆形传播无衍射波的麦克斯韦方程的加速解。此外，在全部三个维度中，在球面流形上的加速波也在[Physical Review X 8,011001(2018),DOI:10.1103/PhysRevX.8.011001]中的Anatoly Patsyk等人的标题为“Observation ofAccelerating Waves Packets in Curved Space”的期刊论文中被找到并在实验上被观察到。这最后一篇期刊论文在本公开中是特别令人感兴趣的。

加速电磁光束的主要特征在于它们的动量中心(类似于质心)顺着由μFCC形成的测地线前进，但是辐射的主波瓣顺着在大角度范围内保持形状(无衍射)的弯曲路径前进，而主辐射波瓣不在测地线上传播。与在平坦空间中的加速光束对比，在弯曲空间中的加速光束由于在空间曲率和干涉效应之间存在的相互作用而改变它们的加速轨迹，使得光的主波瓣可以顺着非测地线轨迹前进，而光束由于它们穿过的介质的空间曲率而周期性聚焦和散焦。

为避免疑问，测地线是在弯曲表面或流形上的两个点之间的最短可能的曲线。在三个空间维度中的球体的情况下，测地线是切割球体的圆，使得切割圆的中心与球体的中心重合。在球体上的测地线的例子是经度圈，而在球体上的非测地线的例子是纬度圈，除了赤道圆以外。刚好在玻璃球的表面内发射并与玻璃球的表面相切的光将由于全内反射而沿着测地线轨迹传播，该玻璃球的表面与较低折射率的外部介质接触。类似的考虑因素对于其他几何形状(例如，圆柱体和椭圆体)是可能的。例如，玻璃圆柱体提供被称为测地线螺旋线的测地线轨迹。可以用几种方式导出光遵从这一原理的事实，例如对于射线光学，可能以费马原理开始并使用变分法。在本公开中对基于介电电泳的光束转向利用下面的想法：在物理学中存在允许光场的一部分在非测地线和“加速”轨迹上传播的“窥孔”。窥孔简单地是，光场的峰值强度辐射波瓣可以顺着非测地线前进，如果光场的其他部分补偿的话，使得光的平均动量一般在测地线上。因此，如果我们愿意消耗一些额外的光能，则可能获得控制光辐射的主波瓣的新方式。

在本文发展的模态解决方案允许包括薄球壳μFCC(其制造起来是简单和成本有效的)的控制体积支持沿不同非测地线轨迹(例如纬度圈)定向的许多单独激光脉冲，而不仅仅局限于路径长度最小化的测地线，其中IGL被保持具有光束限制梯度。加速激光脉冲在μFCC内被转向到正确的角位置，并且IGL从梯度状态放宽到与周围介质匹配的均匀折射率，以便将光束释放到直线轨迹中，该直线轨迹最终成为在直线运动中的自由空间光。光可以是连续的或脉冲的。

在本文正在发展的一些主要概念要点包括：

1.包括IGL的薄壳具有不均匀的折射率。

2.弯曲壳可以采取任何形状，但我们将在本文中分析球体。

3.弯曲壳是透明的液体。

4.保持形状的强度分布在弯曲壳内发展。

5.形状保持(“加速”)意味着无衍射传播。

6.仅需要线性介质来支持加速光束。

7.波的加速允许主衍射波瓣不顺着测地线前进。

8.控制在IGL内的模态结构允许输出光束方向的控制。

9.所找到的新加速径向模包括艾里函数和抛物线圆柱形-D函数。

10.径向艾里模由垂直于在IGL内的传播的光散射截断。

11.在弯曲流形上的加速光周期性地聚焦和散焦。

12.这种聚焦和散焦可能出现在复杂的轨迹上，而不仅仅是纬度圈。

DBS的发展实际上通过假设DBS设备需要具有液体和基于纳米粒子的胶体介电壳来使用与现有技术不同的假设，该介电壳具有在其中形成的渐变折射率。在下文中，提供了与现有技术相比的具有新解决方案的新分析，其中在薄球形介电壳内径向地变化的折射率被考虑。此外，薄球形介电壳不是固体而是胶体IGL。

特别是，考虑具有仅仅是半径的函数的渐变折射率的薄球形壳。此外，假设折射率在半径增加时单调地减小，这是方便但不必要的假设。这种的示例通过一般化方程234来得到，胶体的折射率为

其中，R是到形成μFCC的薄介电壳的中心的半径，n₀是在μFCC的中心处的折射率，以及α是在实践中通过电子地设置谐波激励电压、电极到电极相移和影响在IGL中的纳米粒子上的准静态有质动力的频率来获得的真实折射率斜率调整。当然，也可以使用其他线性化函数，但是方程339为本公开提供合理的示例。

特别地，在方程339中的线性关系由电场衰减形成，因为观察点远离μFCC表面移动，其中例如同相和正交电极提供谐波行波激励，即，如在方程310中所引入的。因此，对于球形介电壳，准静电场是

当观察点从在r₁＝R-δr处的内表面朝着在r₂＝R+δr处的外表面移动时，明显存在指数衰减场，其中0＜δr＜＜R。当r增加时，该衰减场通过由衰减电场形成的梯度在纳米粒子上提供有质动力。另外且为了清楚起见，应该注意，电极也可以放置在薄球面的外表面上或周围，然而复克劳修-莫索缔因子的实部的符号必须通过适当选择准静态激励频率来反转，如可在图3中看到的。因此，nDEP和pDEP工艺在μFCC内都是可能的。

基于这一想法，我们考虑由E＝<E_r，E_θ，E_φ>＝<0，E_θ，0>给出的光学横向磁(TM)电场，其中球坐标的常规含义包括：r是半径，θ是极角，以及φ是方位角。波动方程327然后由给出赫姆霍兹(Helmholtz)波动方程的场ε＝E(r，θ，φ)e^iωt激发：

项有具有r因子的子项，然而我们可以做出下面的近似：对于不包括相对于半径的导数的因子，r＝R±δr实际上只是r≈R，使得方程341变成

这可以通过让E_θ(r，θ，φ)＝X(r)ψ(θ，φ)由变量的分离的方法来求解，使得

其中，我们以通常的方式继续进行，并将常数+β和-β分别分配到在X和ψ中的项。然后对于X(r)和ψ(θ，φ)的方程变成

在ψ中的方程也可以通过设置ψ(θ，φ)＝Y(θ)Z(φ)来分离，使得方程345变成

其只具有在θ和φ中的被设置为等于带相反符号的常数±m²的项。所得到的一组分离方程变成

注意，通过做出变量x＝cosθ的改变，我们发现方程348可以被写为

其是对于相关联的勒让德(Legendre)方程的众所周知的标准形式，勒让德方程使用如由众所周知的Frobenius方法所描述的级数解来求解，参见例如W.W.Bell的“SpecialFunctions for Scientists and Engineers”(1996,ISBN 0-486-43521-0)。来自Frobenius方法的所得到的递归关系要求βR²和|m|的值被约束为

|m|＜l. (352)

为了对方程组347-349求解，我们需要下面的论断：在相对非常薄的μFCC内的渐变折射率是几乎线性的，因此我们可以通过泰勒展开来在r＝R处在薄球形μFCC区域的中心周围展开k²(r)，且然后如所需的保留零阶、一阶、二阶等项，以准确地描述情况。

k²(r)的一阶展开式是

k²(r)≈k²(R)-2k(R)|k′(R)|(r-R) (353)

其中，通过在μFCC中的假设k′(r)＜0(对于R-δr＜r＜R+δR)，其在分析中被假设以取出在第二项前面的负号，以便获得对径向模的实值解。k′(r)＜0的假设不是要求，但在这里发展的示例中是为了方便而完成。例如，在方程339的折射率的情况下，我们发现k(r)＝k₀n(r)，使得

将方程353用于方程347中依据第一类(Ai)的艾里函数和第二类(Bi)的艾里函数提供一般解，使得

可选地，k²(r)的二阶的一般展开式是

k²(r)≈k(R)²+2k(R)k′(R)(r-R)+[k(R)k″(R)+k′(R)²](r-R)² (356)

将方程356用于方程347中依据抛物线圆柱形D函数D_v(ξ)提供一般解，其中

其进一步依据合流超几何函数被给出，参见例如Abramowitz和Stegun(1965)。特别是，解采取下面的形式

其中，{A₁，A₂，B₁，B₂，v₁，v₂}实质上是参数{k(R)，k′(R)，k″(R)，β}的复函数，且在这里不被提供以节省空间。这种径向模以及在(r-R)^j(j≥2)中的高阶径向模的详细分析不在这里提供，但对于在μFCC中的非均匀折射率将作为本公开的部分被包括。

对方程348的解依据相关联的第一类勒让德多项式(P多项式)和相关联的第二类勒让德多项式(Q多项式)被给出，使得

对方程349的解依据复指数函数被给出：

Z(φ)＝C₅e^+imφ+C₆e^-imφ (360)

其中，Z(φ)＝Z(φ+2π)的要求需要e^±i2πm＝1，以及m＝0，±1，±2，...，并且因此通常m是整数。注意，方程360的叠加代表到±φ方向内的传播。

显然，我们可以选择使电场只在φ的一个方向上传播，所以我们选择一个方向并设置C₆＝0。同样显然，相关联的第二类勒让德多项式不是有界的，并且对于所分析的设备配置来说是非物理的，因此C₄＝0。最后，第二类艾里函数是无界的，并且对于被分析的设备配置也是非物理的，因此C₂＝0。此外，函数ψ(θ，φ)＝Y(θ)Z(φ)是球面谐波的，并在形式上被写为归一化本征模

l＝0，1，2，3，... (363)

m＝0，±1，±2，±3，...，±l (364)

其中，N_l，m是形成球面谐波的正交集合的模的归一化振幅，注意由Donald AMcQuarrie的“Physical Chemistry,A Molecular Approach”(ISBN0-935702-99-7)和Arfken的“Mathematical Methods for Physicists,3rd ed”(ISBN 0-12-059820-5)给出的稍微不同的定义。

然而，当在C₂＝0的情况下将方程351用于方程355中时，对于仅具有模态数l和m的单个模，我们获得最简单的被允许的模态结构，其在本公开中被称为非结构化角模，其为

并在通过方程354的渐变折射率的特殊情况下变成

其中，

在366中的非结构化角模被配置有非结构化径向模，其在这种情况下是具有E₀的电场振幅的艾里光束。非结构化模的示例在图27A-27B中被绘制。注意在图27B中，在R-δr＜r＜R+δr之间的径向区域是胶体IGL所位于的μFCC的区域。在谐波频率ω下操作的多个DEP电极位于径向表面r₁＝R-δr和r₂＝R+δr上或周围。这些电极未在图中示出。另外在图27B中，仅示出了在μFCC区域内的艾里模态结构，为结构化径向模的讨论做准备。

在图28中提供示出非结构化模的示例的不同方式，其中被示为带的辐射波瓣实质上顺着在球形介电流形28a周围的非测地线轨迹前进。为了清楚起见，在图28中，测地线是在球体上的那些圆，其中球体的中心与圆的中心相同，一个例子是子午线测地线28b。非测地线轨迹包括主波瓣28c和旁波瓣28d。注意，轨迹曲线的厚度代表辐射强度。当循环波能量被释放(即，与加速轨迹相切)时，它随后变成线性地传播的光28e，且它穿过透明光学天线罩(未示出)顺着直线轨迹前进并折射到外部环境中。天线罩可以具有外部球表面，或者可以采取其他形式。

刚刚描述了非结构化角模态和横向模态结构，现在我们看通过基本非结构化模的叠加而形成的结构化角模和径向模。结构化模为最终使用应用(如LiDAR)提供额外的有用特征，且现在将被描述。

在DBS设备内的结构化辐射模被形成为基本非结构化本征模的叠加。例如，我们一般可以写出结构化角模ψ_l(θ，φ，l₀，m₀)由下式给出：

其可影响在二维(θ,φ)空间中的光的轨迹。不同的复变迹加权系数A_l，m将不同地影响流形轨迹。本质上有对于A_l，m的无限数量的潜在候选项，然而作为特定的例子，我们考虑由高斯加权形成的结构化角模，其仅被选择作为返回联系与现有技术的讨论的示例，特别是

其中，高斯加权参数是

M(l，m)＝a_0，0+a_0，1m+a_1，0l+a_1，1lm+a_0，2m²+a_2，0l²+…+a_N，Nl^Nm^N。 (369)

一般来说，在μFCC中的辐射的轨迹根据输入光如何在模态上被构造而变化。

如果M(100，90)＝a_0，0＝1，那么在图30中示出结构化模的示例，并且在θ方向上存在代表主波瓣和旁波瓣的一系列带。当波在φ方向上在μFCC的球形壳周围前进时，辐射周期性地聚焦，如所示。在辐射被聚焦和最大化的时间处，辐射的主波瓣可以从μFCC发射出。实际上，l₀和m₀的值可能相当大，如具有在数千到数十万内的值的整数。l₀＝100和m₀＝90的值仅被取为提供可管理的例子。此外注意，在本例中，主波瓣离赤道的角距离(θ＝π/2)与(l₀-m₀)成比例。

然而作为另一个例子，如果M(l₀，m₀)＝l₀-m₀+1，那么M(100，90)＝11，并且在图31中示出不同类型的结构化模，以及对于聚焦峰值存在振荡轨迹和角位置(θ,φ)。因此，对于到达在轨迹θ＝θ(φ，l₀，m₀)上的任何点(θ,φ)的峰值强度波瓣存在中数，且我们也可以控制在该聚焦处的斜率

这允许光通过控制在μFCC中的辐射的模态结构和在控制在控制体积μFCC内的纳米粒子有质动力的电极上的谐波激励电压、频率和相位而发射到任何方向，即通过局部地关闭在μFCC中的DEP辐射屏蔽场来发射光束。

一般来说，如方程351示出β是模数l的函数，使得X(r)变成X_l(r)和在数学上“无限的幂”，且形状保持径向模函数(如艾里模)可以通过适当的加权叠加而具有有限幂。多个主波瓣可以通过高阶叠加而演化

其中，通常X_l是由IGL的有效折射率所引起的散射损耗引起的结构化有限幂模(finite power mode)(与纯艾里函数不同)。如前面在本公开中所提到的，由于例如在大致垂直于传播方向的方向上的非欧姆散射损耗，IGL具有复杂的折射率。此外，在μFCC中的IGL中的纳米粒子的分布中的诱导梯度将更高的粒子密度置于内半径r₁＝R-δr处，且因此在内表面处提供更强的散射，这与在它的峰值强度在外表面r₂＝R+δr处的情况下保持截断的艾里光束一致。

给定在其中分散有胶体IGL的μFCC，电极的几何形状、在电极上的电压振幅、在电极之间的相位差、在电极上的谐波激励频率、纳米粒子的尺寸分布以及液体和纳米粒子的电气性质(介电常数和电导率)将聚集在一起以提供对k′(R)的波数斜率的电子控制，k′(R)的波数斜率直接影响在μFCC中的光的传播。

总之，“加速光束”保持它的主波瓣在DBS设备内的轨迹上，并且该轨迹不必是测地线。这个灵活性针对在应用(如LiDAR)中使用的激光定向器提供重要机会，其中需要每秒将大量激光脉冲发送到可能数百万个方向以用于测距。

发明范围

虽然在所提供的每个章节中的上述描述包含对于基于介电电泳的光控制的许多特定细节，但是这些细节不应该被解释为限制本发明的范围，而仅仅是提供一些可能的方法和物理实施例的说明。因此，本发明不限于上述理论建模和物理实施例，而是可以基于本发明的一般原理以各种方式来被改变或修改。

注意，出于历史和实际原因，在本公开中提供的理论讨论重新使用一些数学符号来意指在正文的不同位置处的不同事物。含义由本领域中的技术人员容易可辩别。

因此，本发明的范围应该由所附权利要求及其法律等同物而不仅仅由在本公开中提供的例子、实施例和物理理论来确定。

工业适用性

本发明具有对控制光线的适用性。该控制包括光学操作(例如光束转向和聚焦以及在大角和立体角上的一般波前修正)，而没有由于极化、输入光的方向和输出光的方向而引起的显著限制。特定的应用包括但不限于：LiDAR、摄像机和手机的电子聚焦透镜、电子地转向的汽车前灯、投影仪显示系统、光艺术、用于计算的自由空间光子网络配置、用于焊接的定向能量激光转向、地形测绘、自动检查、遥感、在芯片上的微流控实验室中的生物样本的分析以及点对点通信。

参考符号列表

2a电极 4b史密斯圆图点

2b电极 4c史密斯圆图点

2c介电液体 4d史密斯圆图点

2d球形介电纳米粒子 4e史密斯圆图点

2e边界 4f零力点

2f边界 5a介电纳米球

2g边界 5b入射光场

4a史密斯圆图点 5c微分环

5d远场点 9c电场

5e不透明屏幕 9d恒定电位线

6a微流控控制通道 9e折射率梯度液体

6b透明电介质 9f光束

6c折射率匹配液体 10a折射率梯度液体

6d输入光线 10b光束

6e传播方向 11a弯曲光轨迹

6f输入光线 11b自由空间光束

6g外部输出光线 11c密封壳

6h方向箭头 11d切除区域

6i方向箭头 11e微流控控制通道

6j真空折射率 11f电极

6k固体介质折射率 11g电极

7a微流控控制通道 11h电极边界

7b输入光线 12a分段电极

7c传播方向 12b对称轴

7d折射率梯度液体(IGL) 12c上电极

7e梯度损坏区域 12d下电极

7f输出光线 12e关闭状态角范围

7g固体透明材料 13a正介电电泳

7h外部输出光线 13b负介电电泳

7i方向箭头 15a仰角控制电极

7j方向箭头 15b仰角控制电极

7k线性化折射率 15c新仰角光束位置

7m均匀折射率 16a输入光

7n固体折射率区域 16b微流控控制通道

7o固体折射率区域 16c光传播方向

8a光束转向设备 16d介电电泳中断区

8b电极 16e直线传播

8c电极 16f透明密封壳

8d折射率梯度液体 16g自由空间光传播

8e光束 16h方向箭头

9a电极 16i方向箭头

9b电极 16j密封壳折射率

20i第二密封结构

16k密封壳折射率 21a电极

21b固体介电材料

16m GRIN分布 21c胶体纳米粒子流体

16n均匀折射率 21d电极

17a电极 21e固体介电材料

17b电极 21f胶体纳米粒子流体

17c折射率梯度液体 22a电极

17d等电位曲线 22b电极

17e电场曲线 23a电极

18a输入光 23b振幅变化

18b第一密封结构 23c振幅变化的导数

18c第二密封结构 25a透明天线罩

18d折射率梯度液体 25b天线罩内表面

18e第一环形电极 25c可选的内部固体

18f第二环形电极 25d内部固体的外表面

18g电绝缘体 25e微流控控制通道

18h电场 25f纳米粒子胶体

18i对称轴 25g输入光束

18j输出光 25h角选择反射镜

18k会聚透镜折射率 25i向上成螺旋形的光轨迹

18m发散透镜折射率 25j向下成螺旋形的光线轨迹

19a第一环形电极

19b第二环形电极 25k反射设备

19c电绝缘体 25m点

19d锥形电极 25n内部直线轨迹

20a输入光 25o点

20b输出光 25p内部直线轨迹

20c介电电泳透镜 25q第一放大插图

20d光轴 25r纳米粒子梯度向量

20e第一环形电极 25s纳米粒子梯度向量

20f第二环形电极 25t纳米粒子梯度向量

20g电绝缘体 25u第二放大插图

20h第一密封壳结构 25v透明晶体管

25w透明电极 26g切开弧

26a同心电极 28a介电球形流形

26b胶体密封体积 28b子午线测地线

26c光轴 28c主波瓣

26d输入光 28d旁波瓣

26e密封结构 28e线性地传播的光

26f聚焦输出光

Claims (20)

1.一种用于对输入光进行散射的基于介电电泳的设备，包括：

(a)至少一个梯度折射率控制体积；

(b)多个粒子；

(c)至少一种透明液体；

(d)非均匀电磁场的至少一个源；

(e)至少一种透明固体；

其中，所述输入光被定向到所述至少一个梯度折射率控制体积中，其中所述多个粒子与所述至少一种透明液体混合以形成包括胶体和悬浮液中的至少一种的混合物，所述混合物与非均匀电磁场相互作用，所述非均匀电磁场由所述非均匀电磁场的所述至少一个源提供，所述相互作用通过至少有质动力、流体机械和热的相互作用产生力，这进一步提供所述多个粒子在以下项的量中的分布：在胶体和悬浮液中的所述至少一种内的体积分数、浓度、散射和平均折射率，从而允许所述输入光在所述至少一个梯度折射率控制体积内根据需要沿着曲线轨迹移动，从而成为输出光；以及

其中，所述输入光和所述输出光二者通过至少一个光学边界传输，其中，所述至少一个光学边界由所述至少一种透明固体与胶体和悬浮液中的所述至少一种直接接触形成，使得所述至少一个光学边界根据需要使光进出所述至少一个梯度折射率控制体积；

其中，所述输入光通过散射过程被转化为所述输出光，所述散射过程针对各种光子应用由介电电泳控制，所述各种光子应用包括需要控制和聚焦宽带和偏振分散光的应用。

2.根据权利要求1所述的设备，其中，所述至少一种透明固体是塑料或玻璃。

3.根据权利要求1所述的设备，其中，所述至少一种透明液体是纯去离子水、碳氢化合物、碳氟化合物或硅油聚合物。

4.根据权利要求1所述的设备，其中，所述混合物是透明折射率梯度液体(IGL)。

5.根据权利要求1所述的设备，其中，所述多个粒子在选定光谱范围内光学透明。

6.根据权利要求1所述的设备，其中，所述多个粒子在选定光谱范围内光学不透明或部分不透明。

7.根据权利要求1所述的设备，其中，所述多个粒子与所述至少一种透明液体的所述混合物形成胶体或悬浮液。

8.根据权利要求1所述的设备，其中，所述多个粒子包括玻璃、金刚石、二氧化钛和钛酸钡中的至少一种。

9.根据权利要求1所述的设备，其中，所述梯度折射率控制体积是微流体控制通道(μFCC)。

10.根据权利要求1所述的设备，其中，所述梯度折射率控制体积包含所述一种透明液体和所述多个粒子的混合物。

11.根据权利要求1所述的设备，其中，所述非均匀电磁场的所述至少一个源由连接到至少一个电压源的至少一个电极对提供。

12.根据权利要求11所述的设备，其中，所述至少一个电极对包括矩形导体的阵列。

13.根据权利要求11所述的设备，其中，所述至少一个电极对包括在不同层上的电极的两个或更多个二维阵列。

14.根据权利要求11所述的设备，其中，所述至少一个电极对包括阵列同心环形导体。

15.根据权利要求11所述的设备，其中，所述至少一个电极对包括选自包括氧化铟锡、导电聚合物、石墨烯和银纳米粒子油墨的组的至少一个透明导体。

16.根据权利要求11所述的设备，其中，所述至少一个电压源提供谐波时变电压。

17.根据权利要求11所述的设备，其中，所述至少一个电压源提供谐波多相激励。

18.根据权利要求11所述的设备，其中，所述至少一个电压源提供任意波形电压激励。

19.根据权利要求11所述的设备，其中，用于控制输入光的所述设备是光探测和测距(LiDAR)系统的一部分。

20.根据权利要求1所述的设备，其中，所述多个粒子由介电材料和金属材料中的至少一种形成。

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