CN105067893A - 基于电导池二阶系统模型的溶液电阻软测量方法 - Google Patents

Abstract

一种基于电导池二阶系统模型的溶液电阻软测量方法，属于溶液电导率软测量技术领域。其特征是将电导率的测量转化为考虑引线分布电容和双电层电容影响的电导池二阶系统模型的参数估计，具体是在小时段内待估溶液电阻、引线分布电容和双电层电容为定常的近似下，建立参数状态空间模型；采用正弦组合信号激励电导池系统，基于对激励信号和系统响应信号经高速A/D所获取的采样信号，启动依据参数状态空间模型所构建的Kalman滤波器，在每个小时段内都递推运算N步后，即获得各自小时段内溶液电阻、引线分布电容和双电层电容的估计值。本发明的效果和益处是抗干扰能力强，估计精度高，数值计算完全实时，适用于电导率测量的工业在线应用。

Description

基于电导池二阶系统模型的溶液电阻软测量方法

技术领域

本发明属于溶液电导率软测量技术领域，涉及到一种电导池二阶等效阻容系统参数的估计方法，特别涉及到考虑引线分布电容和双电层电容影响时，基于所测量的系统激励和响应数据，通过动态滤波重构出溶液电阻估计值的软测量方法。

背景技术

溶液电导率是一种重要的电化学参数。电极式电导率测量法是溶液电导率常用的测量方法，其主要受极化效应、电容效应和温度的影响。温度的影响可采用恒温法或补偿法等予以消除，极化效应可采用交流或脉冲激励来消除，这样电容效应就成了影响溶液电导率测量的关键因素。随着软测量技术的发展，将软测量方法应用于溶液电导率测量时，主要思路是将作为干扰的电容效应建入电导池等效阻容系统模型，通过对激励信号和系统响应信号等易测变量的测量，采用参数估计的方法获得溶液电阻(电导率)的估计值。电容效应比较复杂，主要包括引线分布电容和双电层电容。如果只考虑引线分布电容而忽略双电层电容的影响，这时建立的是电导池一阶等效阻容系统模型，这种模型比较简单，然而却漏掉了双电层电容这一客观存在的因素。文献“崔鹏飞，张立勇，仲崇权，李丹.多频率方波激励阻容解耦软测量的数值模拟.仪器仪表学报，2010，31(1)：154-160”采用多个频率的交流方波分别激励电导池，基于电导池的一阶等效阻容系统模型，建立了激励信号、响应直流电压信号与溶液电阻、引线分布电容两参数之间的关系式，通过非线性最小二乘法对溶液电阻和引线分布电容两参数进行估计，可削弱测量中多种不确定性的影响，但其优化求解采用最速下降法，需要进行迭代计算，存在迭代次数不确定的问题。如果将这种方波激励的软测量方法推广到同时考虑引线分布电容和双电层电容影响的电导池二阶等效阻容系统模型时，其复杂度将导致方法难以实施。专利文献“周楷棣，张立勇，凌经纬，仲崇权，李丹.基于幅相特性检测的阻容解耦软测量方法(ZL201010173466.3)”针对考虑引线分布电容影响的电导池一阶等效阻容系统模型，采用正弦信号激励，利用对响应信号的多点采样值拟合出其函数形式，进而获得系统幅相特性参数，然后通过幅相特性与溶液电阻、引线分布电容的关系式求得溶液电阻和引线分布电容两参数的估计值；该方法中系统幅相特性参数的获取依然是采用非线性最小二乘法，优化求解采用最速下降法，同样存在迭代次数不确定的问题。专利文献“张立勇，杨春华，周楷棣，李雄，王家跃，黎祖刚.电导率二阶阻容耦合网络参数估计方法(ZL201210383286.7)”是将基于幅相特性检测的软测量方法由电导池一阶等效阻容系统模型推广到二阶等效阻容系统模型，即同时考虑了引线分布电容和双电层电容的影响；方法在实施时，需要采用两个不同频率的正弦信号分别激励电导池，在分别获得两个不同频率下的系统幅相特性参数后，需要采用子空间置信域方法优化求解溶液电阻、引线分布电容和双电层电容的估计值，求解的复杂度增加较多。专利文献“张立勇，仲崇权，卢伟，杨春华，王家跃，李雄.电导率一阶阻容系统参数的动态滤波估计方法(ZL201310002557.4)”针对仅考虑引线分布电容影响的电导池一阶等效阻容系统模型，采用正弦信号激励电导池，通过动力学系统动态滤波的方法实时、准确地重构出溶液电阻和引线分布电容的估计值；该方法具有较强的抗干扰能力，递推运算的步数完全确定，能以较高的精度获得参数的实时估计，但却忽略了双电层电容的影响。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：针对考虑引线分布电容和双电层电容影响的电导池二阶等效阻容系统模型，采用交流信号激励电导池，如何通过动力学系统动态滤波的方法，实时、准确地重构出溶液电阻的估计值。

本发明的技术方案是：

将电导率的测量问题归结为电导池二阶等效阻容系统模型参数的估计问题。建立电导池二阶等效阻容系统的传递函数模型为

$\begin{array}{c}G\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{U\left(s\right)}=\frac{R_x{C}_{x}s+1}{R_1{R}_x{C}_x{C}_p{s}^2+\left(R_1{C}_p+R_1{C}_x+R_x{C}_x\right)s+1}\\ =\frac{m_{1}s+1}{m_1{s}^2+m_{3}s+1}\end{array}---\left(1\right)$

其中：R_x为溶液电阻，C_x为双电层电容，C_p为引线分布电容，R₁为分压电阻，U(s)为系统激励信号u(t)的拉普拉斯变换，Y(s)为系统响应信号y(t)的拉普拉斯变换，且

m₁＝R_xC_x(2)

m₂＝R₁R_xC_xC_p(3)

m₃＝R₁C_p+R₁C_x+R_xC_x(4)

采样周期记为T_s，采用后向差分法将式(1)差分化，令可得电导池二阶等效阻容系统的z传递函数为

$G\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{U\left(z\right)}=\frac{(m_1{T}_s+T_s^2)-m_1{T}_s{z}^{-1}}{m_2{z}^{-2}-(2m_2+m_3{T}_s)z^{-1}+(m_2+m_3{T}_s+T_s^2)}---\left(5\right)$

式(5)可写为

$\begin{array}{c}Y\left(z\right)=\frac{2m_2+m_3{T}_s}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}{z}^{-1}Y\left(z\right)-\frac{m_2}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}{z}^{-1}Y\left(z\right)\\ +\frac{m_1{T}_x+T_s^2}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}U\left(z\right)-\frac{m_1{T}_s}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}{z}^{-1}U\left(z\right)\end{array}---\left(6\right)$

令u(k)和y(k)分别表示k时刻对系统激励信号u(t)和系统响应信号y(t)的采样值，将式(6)转换到时域差分方程模型为

$y\left(k\right)=\frac{2m_2+m_3{T}_s}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}y(k-1)-\frac{m_2}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}y(k-2)$

$\begin{array}{c}+\frac{m_1{T}_s+T_s^2}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}u\left(k\right)-\frac{m_1{T}_s}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}u(k-1)\\ =a_{1}y(k-1)-a_{2}y(k-2)+b_{0}u\left(k\right)-b_{1}u(k-1)\end{array}---\left(7\right)$

其中：

$a_1=\frac{2m_2+m_3{T}_s}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}---\left(8\right)$

$a_2=\frac{m_2}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}---\left(9\right)$

$b_0=\frac{m_1{T}_s+T_s^2}{m_2+m_s{T}_s+T_s^2}---\left(10\right)$

$b_1=\frac{m_1{T}_s}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2}---\left(11\right)$

待估参数R_x、C_x和C_p在整个测量过程中时变，但可以近似在每一个小时段内为定常，设每一个小时段时长为NT_s，N为正整数。由式(2)-式(4)可见，m₁、m₂和m₃在每一个小时段内也为定常；由式(8)-式(11)可见，a₁、a₂和b₀、b₁在每一个小时段内也为定常。在一个小时段内，以a₁、a₂、b₀、b₁为状态变量建立状态方程式(12)，将式(7)改写为观测方程式(13)，可获得新的参数状态空间表达：

θ(k+1)＝θ(k)(12)

y(k)＝h^T(k)θ(k)+n(k)(13)

其中：

h^T(k)＝[y(k-1)-y(k-2)u(k)-u(k-1)](14)

θ(k)＝[a₁a₂b₀b₁]^T(15)

n(k)为观测噪声，其方差为

对于式(12)与式(13)所示的系统，采用Kalman滤波器式(16)-式(20)

$\widehat{\mathrm{\θ}}\left(k\right)=\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)+K\left(k\right)\[y\left(k\right)-h^T\left(k\right)\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)\]---\left(16\right)$

$K\left(k\right)=S\left(k\right)h\left(k\right){\[h^T\left(k\right)S\left(k\right)h\left(k\right)+{\mathrm{\δ}}_n^2\]}^{-1}---\left(17\right)$

S(k)＝P(k-1)(18)

P(k)＝[I-K(k)h^T(k)]P(k-1)(19)

$\widehat{\mathrm{\θ}}\left(0\right)={\mathrm{\θ}}_0,P\left(0\right)=P_0---\left(20\right)$

递推N步，即可获得在该小时段内θ的估计值 $\widehat{\mathrm{\θ}}={\left[\begin{array}{cccc}{\hat{a}}_1& {\hat{a}}_2& {\hat{b}}_0& {\hat{b}}_1\end{array}\right]}^T.$ 由式(8)-式(11)可得m₁、m₂和m₃的估计值和

${\hat{m}}_1=\frac{{\hat{b}}_1{T}_s}{{\hat{b}}_0-{\hat{b}}_1}---\left(21\right)$

${\hat{m}}_2=\frac{{\hat{a}}_2{T}_s^2}{{\hat{b}}_0-{\hat{b}}_1}---\left(22\right)$

${\hat{m}}_3=\frac{({\hat{a}}_1-2{\hat{a}}_2)T_s}{{\hat{b}}_0-{\hat{b}}_1}---\left(23\right)$

再由式(2)-式(4)可得溶液电阻R_x、双电层电容C_x和引线分布电容C_p的估计值和

${\hat{C}}_p=\frac{{\hat{m}}_2}{{\hat{m}}_1{R}_1}=\frac{T_s{\hat{a}}_2}{R_1{\hat{b}}_1}---\left(24\right)$

${\hat{C}}_x=\frac{1}{R_1}({\hat{m}}_3-{\hat{m}}_1-R_1{\hat{C}}_p)=\frac{\[({\hat{a}}_1-{\hat{b}}_1){\hat{b}}_1-({\hat{b}}_0+{\hat{b}}_1){\hat{a}}_2\]T_s}{{\hat{b}}_1({\hat{b}}_0-{\hat{b}}_1)R_1}---\left(25\right)$

${\hat{R}}_x=\frac{{\hat{m}}_1}{{\hat{C}}_x}=\frac{{\hat{b}}_1^2{R}_1}{({\hat{a}}_1-{\hat{b}}_1){\hat{b}}_1-({\hat{b}}_0+{\hat{b}}_1){\hat{a}}_2}---\left(26\right)$

由即可获得溶液电导率。

获得第一个小时段的溶液电阻、引线分布电容和双电层电容的估计值后，接下来，在随后的每一个小时段都重复运行Kalman滤波器式(16)-式(20)N步，以获得各自小时段内的a₁、a₂、b₀、b₁的估计值，然后由式(24)-式(26)即解得各自小时段内的C_p、C_x和R_x的估计值。

在测量时，选用交变的正弦信号作为激励信号，可有效地抑制电导池内部的极化效应。此外，选择激励信号时，还要求激励信号能充分激励出系统的所有模态。电导池系统在本质上属于高阶系统，如果仅采用单一频率的正弦信号激励电导池，显然无法对系统的模态进行充分激励，从而会导致参数估计的精度变差，因此选用正弦组合信号作为激励信号。正弦组合信号要求所包含的各个正弦信号的初始相位相同，不妨设为0rad，角频率分别为w,2w,…,2^qw,q为整数且q≥1，即

$u\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{q}{\Σ}}sin\left(2^{i}wt\right)---\left(27\right)$

正弦组合信号可有效抑制电导池的极化效应，且可很好地激励系统的各个模态，使动态滤波的参数估计结果更加接近真值。

本发明的效果和益处是基于动态滤波的软测量方法具有较强的抗干扰能力，递推运算的步数完全确定，能以较高的精度获得参数的实时估计，适用于电导率测量的工业在线应用。

附图说明

附图是基于电导池二阶系统模型的溶液电阻软测量方法的测量框图。

图中：R₁为分压电阻，R_x为溶液电阻，C_p为引线分布电容，C_x为双电层电容，u(t)为正弦组合激励信号，y(t)为系统响应信号，u(k)为高速A/D对u(t)的采样值，y(k)为高速A/D对y(t)的采样值。

具体实施方式

以下结合技术方案和附图详细叙述本发明的具体实施方式。

依据实际应用中溶液电阻、引线分布电容和双电层电容参数的具体时变情况，设定小时段的长度，通常在保证滤波收敛的基础上不宜太大。

采用正弦组合激励信号u(t)激励电导池系统，系统响应信号为y(t)。按采样周期T_s分别对u(t)和y(t)经高速A/D进行采样，分别得到采样信号u(k)和y(k)，k＝1，2，…。

在采样的同时，启动Kalman滤波器式(16)-式(20)，递推运算N步后，由式(24)-式(26)即可获得第一个小时段内的引线分布电容C_p、双电层电容C_x和溶液电阻R_x的估计值。

接下来，在随后的每一个小时段都重复运行Kalman滤波器式(16)-式(20)N步，然后由式(24)-式(26)即解得各自小时段内的C_p、C_x和R_x的估计值。

Claims (1)

1.一种基于电导池二阶系统模型的溶液电阻软测量方法，其特征在于以下步骤：

(1)将电导池等效为考虑引线分布电容和双电层电容影响的二阶阻容系统，由其时域差分方程模型式(7)：

y(k)＝a₁y(k-1)-a₂y(k-2)+b₀u(k)-b₁u(k-1)，(7)

其中： $a_1=\frac{2m_2+m_3{T}_s}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2},a_2=\frac{m_2}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2},b_0=\frac{m_1{T}_s+T_s^2}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2},b_1=\frac{m_1{T}_s}{m_2+m_3{T}_s+T_s^2},$ m₁＝R_xC_x，m₂＝R₁R_xC_xC_p，m₃＝R₁C_p+R₁C_x+R_xC_x，R_x为溶液电阻，C_x为双电层电容，C_p为引线分布电容，R₁为分压电阻，T_s为采样周期；

在小时段NT_s内待估参数R_x、C_x和C_p为定常的近似下，N为正整数；以a₁、a₂、b₀、b₁为状态变量建立参数状态空间模型式(12)和式(13)：

θ(k+1)＝θ(k)，(12)

y(k)＝h^T(k)θ(k)+n(k)，(13)

其中：h^T(k)＝[y(k-1)-y(k-2)u(k)-u(k-1)]，θ(k)＝[a₁a₂b₀b₁]^T，n(k)为观测噪声；

(2)采用由角频率分别为w,2w,…,2^qw的正弦信号叠加而成的正弦组合激励信号

$u\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{q}{\Σ}}sin\left(2^{i}wt\right)---\left(27\right)$

激励电导池系统，其中：q为整数且q≥1；按采样周期T_s分别对正弦组合激励信号和系统响应信号经高速A/D进行采样，分别得到采样信号u(k)和y(k)，k＝1，2，…；

(3)在采样的同时，启动依据参数状态空间模型式(12)和式(13)所构建的Kalman滤波器，基于第一个小时段内的采样信号u(k)和y(k)，递推运算N步后，即获得第一个小时段内θ的估计值 $\widehat{\mathrm{\θ}}={\left[\begin{array}{cccc}{\hat{a}}_1& {\hat{a}}_2& {\hat{b}}_0& {\hat{b}}_1\end{array}\right]}^T.$ 由和通过式(24)、式(25)和式(26)得第一个小时段内引线分布电容C_p、双电层电容C_x和溶液电阻R_x的估计值和

${\hat{C}}_p=\frac{{\hat{m}}_2}{{\hat{m}}_1{R}_1}=\frac{T_s{\hat{a}}_2}{R_1{\hat{b}}_1},---\left(24\right)$

${\hat{C}}_x=\frac{1}{R_1}({\hat{m}}_3-{\hat{m}}_1-R_1{\hat{C}}_p)=\frac{\[({\hat{a}}_1-{\hat{b}}_1){\hat{b}}_1-({\hat{b}}_0+{\hat{b}}_1){\hat{a}}_2\]T_s}{{\hat{b}}_1({\hat{b}}_0-{\hat{b}}_1)R_1},---\left(25\right)$

${\hat{R}}_x=\frac{{\hat{m}}_1}{{\hat{C}}_x}=\frac{{\hat{b}}_1^2{R}_1}{({\hat{a}}_1-{\hat{b}}_1){\hat{b}}_1-({\hat{b}}_0+{\hat{b}}_1){\hat{a}}_2};---\left(26\right)$

(4)接下来，在随后的每一个小时段，都基于各自小时段内的采样信号u(k)和y(k)重复运行Kalman滤波器N步，在获得各自小时段内的a₁、a₂、b₀和b₁的估计值后，由式(24)、式(25)和式(26)即解得各自小时段内的C_p、C_x和R_x的估计值。