Кватернион

Кватернион – претставува збир на скалари и вектори и како таков објект не е ни вектор ни скалар. Поимот кватернион го вовел Хамилтон. Пример на кватернион може да се најде при проучување на ротацијата на тело околу неподвижна оска.

Кога два скалари, на пример m и n се поделат, повторно се добива скалар p=m/n, што може да се напише како m=pn. По аналогија количник на два вектора a и b кои во општ случај не се колинеарни е некоја величина која се означува како Q при што како таква треба да го задоволува равенството a =Q b. Производот Q b, геометриски претставува деформација (со оглед дека векторите во општ случај не се колинеарни) и вртењето на векторот b за агол Θ=<(a, b) до поклопување со a. За да се дефинира делењето на два вектора, мора претходно да се дефинира величината Q. Оваа величиниа Хамилтон ја прикажал во облик на збир на скаларот А и векторот a. Величината Q=А+ a, бидејќи е одредена со четири броја ја нарекол кватернион. Кватернионот не може да се претстави геометриски со оглед за такво нешто се потребни четири оски, една за скаларот и три за векторот.

${\displaystyle q::=a+bi+cj+dk\!}$ где су ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$

а ${\displaystyle i\!}$, ${\displaystyle j\!}$ и ${\displaystyle k\!}$ испуњавају следеће услове:

${\displaystyle m*n\!}$	${\displaystyle i\!}$	${\displaystyle j\!}$	${\displaystyle k\!}$
${\displaystyle i\!}$	${\displaystyle -1\!}$	${\displaystyle k\!}$	${\displaystyle -j\!}$
${\displaystyle j\!}$	${\displaystyle -k\!}$	${\displaystyle -1\!}$	${\displaystyle i\!}$
${\displaystyle k\!}$	${\displaystyle j\!}$	${\displaystyle -i\!}$	${\displaystyle -1\!}$

Ако елементите на матрицата се комплексни броеви тогаш таа е со димензии 2 * 2

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}}$

За реална матрица:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;a&b&\;\;c&d\\\;\;-b&\;\;a&-d&c\\\;\;-c&\;\;d&\;\;a&-b\\\;\;-d&\;\;-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}}$

Каде ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$.