Topologie

D'Topologie (gr. τόπος, 'Plaz', and λόγος, 'Léier') ass e Gebitt vun der Mathematik, dat sech mat Eegenschafte vu geometreschen Objeten befaasst, déi ënner kontinuéierlechen Deformatiounen onverännert bleiwen.

De Begrëff Topologie gouf fir d'éischt ëm 1840 vum Johann Benedict Listing gebraucht.

En topologesche Raum ass duerch en Tupel ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ definéiert, wou ${\displaystyle X}$ e belibegen net eidelen Ensembel ass an ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ en Ensembel vu Sousensemble vun ${\displaystyle X}$ mat gewëssenen Eegenschaften. D'Elementer vun ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ nennt een oppe Sousensemble vun ${\displaystyle X}$ a se musse follgend Axiomer erfëllen:

• Den eidelen Ensembel an ${\displaystyle X}$ selwer sinn oppen.
• D'Unioun vu belibeg villen oppenen Ensemblen ass oppen.
• De Schnëtt vun endlech villen oppenen Ensemblen ass oppen.

D'Komplement ${\displaystyle X\setminus O}$ vun engem oppenen Ensembel ${\displaystyle O}$ ass en zouenen Ensembel. En Ensembel deen opp an zou ass nennt een zoppen^[Source?].

Wann ${\displaystyle Y\subseteq X}$ e belibege Sousensembel ass, dann nennt een d'Clôture ${\displaystyle {\overline {Y}}}$ vun ${\displaystyle Y}$ dee klengsten zouenen Ensembel, deen ${\displaystyle Y}$ enthält, an dat Bannescht ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{Y}}}$ vun ${\displaystyle Y}$ dee gréissten oppenen Ensembel, deen an ${\displaystyle Y}$ enthalen ass. D'Differenz ${\displaystyle \partial Y={\overline {Y}}\setminus {\stackrel {\circ }{Y}}}$ vun deenen zwee nennt een de Bord vun ${\displaystyle Y}$. Dat Baussecht vun ${\displaystyle Y}$ ass d'Komplement vun der Clôture, also ${\displaystyle X\setminus {\overline {Y}}}$.

Eng Funkioun ${\displaystyle f:X\to Y}$ tëscht topologesche Raim ${\displaystyle X}$ an ${\displaystyle Y}$ ass kontinuéierlech, wann d'Urbild ${\displaystyle f^{-1}(O)}$ vun all oppenem Ensembel ${\displaystyle O}$ an ${\displaystyle X}$ en oppenen Ensembel an ${\displaystyle Y}$ ass. Wann ${\displaystyle f}$ bijektiv ass an den Inverse ${\displaystyle f^{-1}}$ och kontinuéierlech ass, dann nennt een ${\displaystyle f}$ en Homeomorphismus, an ${\displaystyle X}$ an ${\displaystyle Y}$ sinn dann homeomorph.

An engem topologesche Raum kann ee Konvergenz definéieren. Eng Suite ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ an engem topologesche Raum ${\displaystyle X}$ konvergéiert géint eng Limitt ${\displaystyle x\in X}$, wann et fir all oppenen Ensembel ${\displaystyle U\subseteq X}$, deen ${\displaystyle x}$ enthält, eng Zuel ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gëtt, soudatt fir all ${\displaystyle m\geq n}$ gëllt, dass ${\displaystyle x_{m}\in U}$. A Wierder seet een, dass fir all Ëmgebung ${\displaystyle U}$ vun ${\displaystyle x}$ d'Suite iergendwann an ${\displaystyle U}$ läit.

All metresche Raum huet eng induzéiert Topologie, där hir oppen Ensemblen Unioune vun oppene Bäll sinn. Eng Topologie, déi vun iergendenger Metrik induzéiert gëtt, nennt ee metresch Topologie. D'Konvergenz am Sënn vun der Metrik ass dann equivalent zur Konvergenz am Sënn vun der induzéierter Topologie.

Topologesch Raim kënnen enorm pathologesch^[onkloer] sinn, z. B. dem Alexander seng behaarte Sphär. Par conter hu Mannifalten, wéi z. B. d'Sphär, den Torus oder d'Klein-Fläsch, vill méi agreabel Eegenschaften.

An der allgemenger Topologie ginn topologesch Raim a kontinuéierlech Funktiounen ënnersicht. Wichtegt Konzepter si Limitten a Konvergenzen.

An der Differentialtopologie geet et ëm topologesch Eegenschafte vu Mannifalten an hiren Abettungen.

An der algebrescher Topologie definéiert een algebresch Invariante vun topologesche Raim, z. B. d'Fundamentalgrupp. Domat kann ee weisen, datt zwéi Raim net homeomorph sinn.

Commons: Topologie – Biller, Videoen oder Audiodateien