Lemma vum Euklid

De Lemma vum Euklid ass e Resultat aus der Zuelentheorie. E seet, datt all natierlech Zuel ${\displaystyle n>1}$ vun enger Primzuel gedeelt gëtt.

De Beweis gëtt mam Prinzip gefouert, datt en Ensembel vun natierlechen Zuelen, deen net eidel ass, ëmmer e klengstent Element enthält. Elo ass eng natierlech Zuel ${\displaystyle n>1}$ entweeder eng Primzuel (d. h. mer si fäerdeg mam Beweis, well ${\displaystyle n}$ jo säin eegenen Deeler ass), oder se ass zesummegesat, d. h. et gtt eng natierlech Zuel ${\displaystyle 1<m<n}$, déi ${\displaystyle n}$ deelt. Faasse mer alleguer déi natierlech Zuelen zesummen, déi dës lescht Bedingung erfëllen, da kréie mer den net eidelen Ensembel

${\displaystyle D:=\{m\in \mathbb {N} :1<m<n,m|n\}}$.

Dësen huet also e kléngstent Element, d. h. et gëtt eng natierlech Zuel ${\displaystyle k\in D}$, déi méi kleng wéi all déi aner Elementer vun ${\displaystyle D}$ ass. Da muss ${\displaystyle k}$ eng Primzuel sinn, well wa ${\displaystyle k}$ zesummegesat wier, da géif jo nees eng natierlech Zuel ${\displaystyle 1<l<k}$ existéieren, déi ${\displaystyle k}$ deelt, an opgrond vun der Transitivitéit vun der Deelbarkeet (cf. Deeler) misst ${\displaystyle l}$ och ${\displaystyle n}$ deelen, also en Element vun ${\displaystyle D}$ sinn. Dat steet awer am Widdersproch dozou, dat ${\displaystyle k}$ dat klengst Element vun ${\displaystyle D}$ ass. Dat beweist de Lemma.