極値分布

極値分布（きょくちぶんぷ、英: extreme value distribution）とは、確率論および統計学において、ある累積分布関数にしたがって生じた大きさ n の標本 X₁,X₂, …, X_n のうち、x 以上 (あるいは以下) となるものの個数がどのように分布するかを表す、連続確率分布モデルである。特に最大値や最小値などが漸近的に従う分布であり、河川の氾濫、最大風速、最大降雨量、金融におけるリスク等の分布に適用される。

定義と性質

一般化極値分布

極値分布には後述する3つの型があるが、その一般形の一般化極値分布（generalized extreme value distribution, GEV) の累積分布関数は以下で与えられる。

$F(x;\mu ,\theta ,\gamma )=\exp \left\{-\left[1+\gamma \left({\frac {x-\mu }{\theta }}\right)\right]^{-1/\gamma }\right\}$

ここで $1+\gamma (x-\mu )/\theta >0$ であり、 $\mu \in \mathbb {R}$ 、 $\theta >0$ 、 $\gamma \in \mathbb {R}$ がパラメータである。

なお、これは最大値が漸近的に従う分布であることから極大値分布とも呼ばれる。また、最小値が漸近的に従う分布は極小値分布と呼ばれ、極大値分布における確率変数Xを-Xで置き換えることで得られる。ここで、極大値分布における累積分布関数と確率密度関数をそれぞれ、F (x)、f (x)とすると、対応する極小値分布での累積分布関数と確率密度関数はそれぞれ、1-F (-x)、f (-x)で与えられる。以下、特に断りの場合は極大値分布を扱うものとする。

GEVは、パラメータによって以下の3種類の型に分けられる。それぞれの累積分布関数 F (x) と確率密度関数 f (x) を示す。

タイプI、ガンベル型

GEV において $\gamma =1/n,~\mu =0,~\theta =1$ とおいて、 $n\rightarrow \infty$ とすると得られる。

$F_{I}(x)=\exp \left[-\exp \left\{-\left({\frac {x-\mu }{\theta }}\right)\right\}\right],\quad -\infty <x<\infty$
$f_{I}(x)={\frac {1}{\theta }}\exp \left\{-\left({\frac {x-\mu }{\theta }}\right)\right\}\exp \left[-\exp \left\{-\left({\frac {x-\mu }{\theta }}\right)\right\}\right],\quad -\infty <x<\infty$

なお、タイプIの分布は極値分布の先駆的な研究を行ったドイツの数学者エミール・ユリウス・ガンベルに因んで、ガンベル分布と呼ばれる。また、累積分布関数の形から二重指数分布とも呼ばれる。(注意：ラプラス分布も同じ呼び名で呼ばれるが別物である)

タイプII、フレシェ型

GEV において $\gamma >0$ とし、 $\gamma =1/k,~\mu =1,~\theta =1/k$ とすると得られる。

$F_{II}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}-\exp \left\{-\left({\frac {x-\mu }{\theta }}\right)^{-k}\right\},&x\geq \mu \\0,&x<\mu \end{array}}\right.$
$f_{II}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {k}{\theta }}\left({\frac {x-\mu }{\theta }}\right)^{-k-1}\exp \left\{-\left({\frac {x-\mu }{\theta }}\right)^{-k}\right\},&x\geq \mu \\0,&x<\mu \end{array}}\right.$

このタイプIIの分布に従う確率変数X に対し、Z = -log(μ-X )とおけばタイプIの分布形となる。

タイプIII、ワイブル型

GEV において $\gamma <0$ とし、 $\gamma =-1/k,~\mu =-1,~\theta =1/k$ とすると得られる。

$F_{III}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}-\exp \left\{-\left(-{\frac {x-\mu }{\theta }}\right)^{k}\right\},&x\leq \mu \\1,&x>\mu \end{array}}\right.$
$f_{III}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {k}{\theta }}\left(-{\frac {x-\mu }{\theta }}\right)^{k-1}\exp \left\{-\left(-{\frac {x-\mu }{\theta }}\right)^{k}\right\},&x\leq \mu \\0,&x>\mu \end{array}}\right.$

このタイプIIIの分布に従う確率変数X に対し、Z = log(X -μ)とおけばタイプIの分布形となる。

また、特に確率変数X を-X で置き換えたときに、対応する分布はワイブル分布となる。これは、信頼性工学において、故障寿命が存続可能な時間の最小値に相当し、極小値分布に従うことに関連する。

参考文献

蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

外部リンク

表話編歴確率分布
離散単変量で有限台	ベンフォードベルヌーイベータ二項（英語版）二項 categorical（英語版）超幾何ポワソン二項ラーデマッハ（英語版）離散一様ジップジップ–マンデルブロー（英語版）
離散単変量で無限台	ベータ負二項（英語版）ボレル（英語版）コンウェイ–マクスウェル–ポワソン（英語版）離散位相型（英語版）ドラポルト（英語版）拡張負二項（英語版）ガウス–クズミン幾何対数（英語版）負の二項放物フラクタル（英語版）ポワソンスケラム（英語版）ユール–サイモン（英語版）ゼータ（英語版）
連続単変量で有界区間に台を持つ	逆正弦（英語版） ARGUS（英語版）バルディング–ニコルス（英語版）ベイツ（英語版）ベータ beta rectangular（英語版）アーウィン–ホール（英語版）クマラスワミー（英語版）ロジット-正規（英語版）非中心ベータ（英語版） raised cosine（英語版） reciprocal（英語版）三角 U-quadratic（英語版）一様ウィグナー半円
連続単変量で半無限区間に台を持つ	ベニーニ（英語版）ベンクタンダー第一種（英語版）ベンクタンダー第二種（英語版）第2種ベータ Burr（英語版）カイ二乗カイ（英語版） Dagum（英語版）デービス（英語版）指数-対数（英語版）アーラン指数 F folded normal（英語版） Flory–Schulz（英語版）フレシェガンマ gamma/Gompertz（英語版）一般逆ガウス（英語版） Gompertz（英語版） half-logistic（英語版） half-normal（英語版） Hotelling's T-squared（英語版）超アーラン（英語版）超指数（英語版） hypoexponential（英語版）逆カイ二乗（英語版） scaled inverse chi-squared（英語版）逆ガウス逆ガンマコルモゴロフレヴィ対数コーシー対数ラプラス（英語版）対数ロジスティック（英語版）対数正規ロマックス（英語版）行列指数（英語版）マクスウェル–ボルツマンマクスウェル–ユットナー（英語版）ミッタク-レフラー（英語版）仲上（英語版）非心カイ二乗パレート位相型（英語版） poly-Weibull（英語版）レイリー relativistic Breit–Wigner（英語版）ライス（英語版） shifted Gompertz（英語版）切断正規タイプ2ガンベル（英語版）ワイブル離散ワイブル（英語版）ウィルクスのラムダ（英語版）
連続単変量で実数直線全体に台を持つ	コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー）指数冪（英語版）フィッシャーの z（英語版）ガウスの q（英語版）一般正規（英語版）一般化双曲型幾何安定（英語版）ガンベルホルツマルク（英語版）双曲線正割ジョンソンの S_U（英語版）ランダウラプラス非対称ラプラス（英語版）ロジスティック非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス（英語版）歪正規（英語版）スラッシュ安定スチューデントの t タイプ1ガンベル（英語版）トレイシー–ウィダム（英語版）分散ガンマ（英語版）フォークト
連続単変量でタイプの変わる台を持つ	一般極値一般パレート（英語版）マルチェンコ–パストゥール（英語版） q-指数（英語版） q-ガウス q-ワイブル（英語版） shifted log-logistic（英語版）トゥーキーのラムダ（英語版）
混連続-離散単変量	rectified Gaussian（英語版）
多変量 (結合)	【離散】エウェンズ（英語版）多項ディリクレ多項（英語版）負多項（英語版）【連続】ディリクレ一般ディリクレ（英語版）多変量正規多変量安定（英語版）多変量 t（英語版）正規逆ガンマ（英語版）正規ガンマ（英語版）【行列値】逆行列ガンマ（英語版）逆ウィッシャート（英語版）行列正規（英語版）行列 t（英語版）行列ガンマ（英語版）正規逆ウィッシャート（英語版）正規ウィッシャート（英語版）ウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】円周一様（英語版）単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規（英語版） wrapped コーシー（英語版） wrapped 指数（英語版） wrapped 非対称ラプラス（英語版） wrapped レヴィ（英語版）【二変量 (球面)】ケント（英語版）【二変量 (トロイダル)】二変数フォン・ミーゼス（英語版）【多変量】フォン・ミーゼス–フィッシャー（英語版）ビンガム（英語版）
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