KOMBINATORIK

Kombinatorik merupakan kajian tentang penentuan banyaknya cara

suatu kejadian dapat terjadi yang meliputi kaidah penjumlahan,
kaidah perkalian, permutasi, dan kombinasi.
A. Kaidah Penjumlahan

Contoh
Misalkan terdapat 12 siswa laki-laki dan 13 siswa perempuan di
suatu kelas. Jika dipilih satu siswa untuk mewakili kelas itu, ada
berapa banyak hasil yang mungkin terpilih?
Jawab :
Ada 12 +13 = 25 hasil yang mungkin jika dipilih satu siswa di
antara mereka

1. Kaidah Penjumlahan Sederhana

Jika suatu kejadian A dapat terjadi dalam m cara dan kejadian B
dapat terjadi dalam n cara, dan jika kedua kejadian A dan B tidak
dapat terjadi dalam waktu yang bersamaan, maka salah satu dari
kedua kejadian tersebut dapat terjadi dalam m + n cara.
Contoh 2:
Setiap siswa SMA Buana diwajibkan mengikuti satu kegiatan ekstra
kurikuler. Daftar kegiatan ekstra kurikuler yang akan
diselenggarakan adalah sebagai berikut:
Bidang bahasa: English club, dan France club
Bidang olahraga: Silat, Basket dan volley.
Bidang Sain: Penulisan Karya Ilmiah
Ada berapa banyak pilihan kegiatan ekstra kurikuler di SMA Buana?
Jawab.
Ada 2+3+1=6 pilihan kegiatan ekstra kurikuler di SMA Buana

2. Kaidah Penjumlahan Umum

Jika kejadian P1, P2, P3, ..., Pk berturut-turut dapat dilaksanakan
dalam m1, m2, m3, ...., mk cara dan jika tidak ada dua di antara
kejadian-kejadian tersebut yang dapat terjadi secara bersamaan,
maka salah satu dari k kejadian tersebut dapat terjadi dalam
m1 + m2 + m3 + ... + m3 cara.
B. Kaidah Perkalian
Contoh1.
Jika dari A ke B ada 3 rute, dari B ke C ada 4 rute, ada berapa rute
dari A ke C?
Jawab
Setiap rute dari A ke B dapat dilanjutkan dengan 4 pilihan rute ke
C. Jadi ada 3 x 4 = 12 rute dari A ke C

1. Kaidah Perkalian Sederhana

Jika proses P dapat dilaksanakan dalam m cara dan
proses Q dapat dilaksanakan dalam n cara maka
rangkaian proses (P,Q) dapat dilaksanakan dalam m  n
cara.
Kaidah Perkalian
Contoh 2:
Akan dipilih 1 siswa putra dan 1 siswa putri untuk
mewakili sekolah mengikuti upacara hari kemerdekaan
17 Agustus di alun-alun propinsi. Ada 5 siswa putra dan
3 siswa putri sekolah tersebut yang memenuhi syarat
Jika setiap siswa yang memenuhi syarat mempunyai hak
yang sama untuk terpilih, ada berapa pasangan yang
mungkin terpilih?
Jawab:
Dari setiap siswa putra ada 3 pilihan siswa putri untuk
dipasangkan.
Jadi ada 5 x 3 = 15 pasangan yang mungkin terpilih
Contoh:
Berapa macam menu makan siang yang terdiri dari sup, lauk, buah,
dan minuman yang dapat dipilih dari 4 macam sup, 3 macam lauk, 5
macam buah dan 4 macam minuman?
Banyaknya macam menu makan siang ada 4  3  5  4 = 240.

2. Kaidah Perkalian Umum

Jika proses P1, P2, P3, ..., Pk berturut-turut dapat
dilaksanakan dalam m1, m2, m3, ...., mk cara
maka rangkaian proses (P1, P2, P3, ..., Pk) dapat
dilaksanakan dalam m1  m2  m3  ....  mk cara.
Notasi Faktorial
• Notasi faktorial digunakan untuk perhitungan permutasi
dan kombinasi.
• Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara
berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial,
dan diberi notasi n!.
Dengan demikian, n! = 1  2  3  ...  n atau
n! = n  (n - 1)  (n - 2)  …  1
dengan 0! = 1.
Contoh:
Hitunglah (1)
8! (2) 10!
6! 8!.4!
C. Permutasi
Permutasi merupakan urutan atau susunan yang mungkin
dari n obyek yang berlainan atau berbeda satu sama lain.
Contoh:
Andaikan seorang panitia dari seksi dekorasi acara reuni
SMA X diberi tugas untuk memasang foto-foto dari 3
alumni yang kariernya tergolong paling menonjol, yaitu
foto A, foto B, dan foto C, berjajar dalam satu baris di
dinding ruang pertemuan, maka ada berapa macam
urutan yang mungkin untuk menyusun foto-foto
tersebut?,
(1) foto A, foto B, foto C(2) foto A, foto C, foto B
(3) foto B, foto A, foto C(4) foto B, foto C, foto A
(5) foto C, foto A, foto B(6) foto C, foto B, foto A
Jadi ada 3 x 2 x 1 = 6 urutan foto
1. Permutasi dari n Obyek
Secara umum, banyak permutasi dari n obyek, diberi
notasi dan ditentukan sebagai berikut:
Pnn = n  (n - 1)  (n - 2)  …  1
Contoh:
Dari 10 pengurus OSIS SMA X akan dipilih tiga siswa
untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa
banyak susunan kepengurusan yang mungkin?
Jawab
Dalam hal ini susunan pengurus yang terpilih, misalnya
untuk ketua, sekretaris, dan bendahara berturut-turut
adalah A, B, C, maka susunan ini akan menjadi berbeda
jika susunannya menjadi B, C, A. Dengan kata lain,
urutan atau susunan diperhatikan. Ada susunan 3 obyek
berbeda yang diambil dari 10 obyek
Masalah ini diselesaikan dengan permutasi 3 obyek yang
diambil dari 10 obyek.
10 10!
P   720
3
10  3!
Permutasi r Obyek dari n Obyek
Secara umum, permutasi r obyek dari n obyek diberi
n
P
notasi r atau sering juga ditulis dengan P(n,r) atau
Pn, r atau nPr atau nPr
Banyaknya permutasi r obyek dari n obyek ditentukan
sebagai berikut:

n n!
P 
r
n  r !
3. Permutasi Jika Ada Obyek yang Sama
Jika ada obyek yang sama, misalnya suatu himpunan yang terdiri
atas n obyek memiliki r1 obyek jenis pertama yang sama, r2 obyek
jenis kedua yang sama, …, rk obyek jenis ke k yang sama, maka
banyak permutasi berbeda dari n obyek tersebut ditentukan sebagai
berikut:
n!
Pn ,r1 ,r2 ,,rk  
r1!r2 ! rk !
Contoh:
Berapa banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuat
sebuah rangkaian lampu hias dari 3 lampu merah, 4 kuning dan 2
biru?
Jawab:
Banyaknya susunan yang berbeda ada
9!
 1260
3!4!2!
D. Kombinasi
Banyaknya kombinasi r objek dari n obyek berbeda adalah:
n n!
Crn    
 r  n  r !r!
Contoh:
Dari 4 siswa putra dan 7 siswa putri akan dipilih empat orang pengurus
koperasi. Berapa banyak pilihan berbeda yang dapat diperoleh jika: a)
setiap siswa memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih; b) dipilih 2
siswa putra dan 2 siswa putri?
Jawab:
a) Setiap siswa memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih, artinya
dipilih 4 siswa dari 11 siswa yang ada, misalnya siswa yang dipilih
adalah A, B, C, dan D sehingga pilihan (A, B, C, D) sama saja dengan
pilihan (B, C, D, A). Dengan kata lain, urutan pilihan menjadi tidak
diperhatikan. Masalah ini diselesaikan dengan kombinasi. Jadi, banyak
pilihan yang mungkin untuk memilih 4 siswa dari 11 siswa yang ada
merupakan kombinasi 4 obyek dari 11 obyek yaitu:
11  11!
    330
4
  11  4 !4!
b) Dalam pemilihan 2 siswa putra dari 4 siswa putra dan 2 siswa putri dari
7 siswa putri, urutan memilih juga tidak diperhatikan. Banyak pilihan
untuk memilih 2 siswa putra dari 4 siswa yang ada adalah masalah
kombinasi 2 obyek dari 4 obyek atau . Banyak pilihan untuk memilih 2
siswa putri dari 7 siswa putri yang ada adalah masalah kombinasi 2
obyek dari 7 obyek atau . Jadi, banyak pilihan yang mungkin untuk
memilih 2 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan adalah

 4  7 
    126
 2  2 
E. Partisi
Banyaknya cara memilahkan n objek ke k buah sel, dengan ri ke
sel i ada
n! n  k

dengan  r i n
r1!r2 ! rk !  r1 , r2 , , rk  i 1

Contoh:
Ada 10 anak laki-laki yang akan dikelompokkan menjadi 2 yaitu tim A
dan tim B, masing-masing beranggotakan 5 anak. Tim A akan main di
salah satu liga kompetisi dan tim B di liga kompetisi yang lain. Ada
berapa banyak cara pembagian yang bisa dilakukan?
Jawab:
Ada
10! cara pembagian.
 252
5!5!
SOAL
1. Panitia LSM (Lomba Matematika dan Seminar) terdiri
dari 10 mahasiswa tingkat 1, 12 mahasiswa tingkat 2,
15 mahasiswa tingkat 3, dan 5 mahasiswa tingkat 4.
Dalam kepanitiaan tersebut terdapat suatu seksi
beranggotakan mahasiswa yang harus diambil seorang
dari setiap tingkat. Berapa banyak kemungkinan suatu
seksi dapat dibentuk?
2. Suatu plat nomor kendaraan terdiri atas 4 huruf dan 4
angka.
a) Berapa banyak plat nomor kendaraan yang dapat
dibuat?
b) Bila tidak boleh ada huruf maupun angka yang diulang,
berapa banyak plat nomor kendaraan?
3. Suatu kelas statistika dasar terdiri dari 25 mahasiswa
laki-laki dan 20 mahasiswa perempuan. Suatu ujian
diberikan dan selanjutnya mahasiswa akan diurutkan
sesuai hasil nilai ujian tersebut. Misalkan tidak ada dua
mahasiswa yang memperoleh nilai yang sama.
a) Ada berapa banyak peringkat yang mungkin?
b) Bila laki-laki diurutkan diantara sesama mereka dan
perempuan juga diurutkan diantara sesama mereka,
berapa banyak urutan peringkat yang mungkin?
4. Empat buku matematika berbeda, enam buku fisika
berbeda disusun berjajar di rak.
c) Ada berapa susunan?
d) Buku sejenis mengelompok. Ada berapa susunan?
e) Hanya matematika yang mengelompok. Ada berapa
susunan?
5. Lima orang berbaris masuk satu-satu.
a) Ada berapa macam barisan yang mungkin?
b) Jika dua orang kakak beradik dan baris berdekatan.
Ada berapa macam barisan?
6. Ada berapa susunan berbeda dapat dibuat dengan 5
huruf dari kata “komputer’?
7. Ada berapa susunan berbeda dapat dibuat dengan
semua huruf dari kata “komputer’?
8. Berapa banyak kemungkinan 6 dosen dapat diberi tugas
mengajar 4 kelas statistika elementer bila setiap dosen
tidak boleh mengajar lebih dari satu kelas?
9. Suatu panitia terdiri atas 1 pria dan 1 wanita dipilih dari 5
pria dan 8 wanita. Ada berapa pilihan?
10. Ari memilih 7 dari 10 butir soal untuk dijawab. Ada
berapa pilihan?
11. Ada berapa komite berbeda yang terdiri dari 3 orang
dapat dibentuk dari 8 orang? Jika Ani adalah salah satu
dari 8 orang, ada berapa komite berbeda dapat dibentuk
dengan Ani sebagai anggota komite?
1. Panitia LSM (Lomba Matematika dan Seminar) terdiri
dari 10 mahasiswa tingkat 1, 12 mahasiswa tingkat 2,
15 mahasiswa tingkat 3, dan 5 mahasiswa tingkat 4.
Dalam kepanitiaan tersebut terdapat suatu seksi
beranggotakan mahasiswa yang harus diambil seorang
dari setiap tingkat. Berapa banyak kemungkinan suatu
seksi dapat dibentuk?

Jawab:
Ada 10×12×15×5 = 9000 kemungkinan
2. Suatu plat nomor kendaraan terdiri atas 4 huruf dan 4
angka.
a) Berapa banyak plat nomor kendaraan yang dapat
dibuat?
b) Bila tidak boleh ada huruf maupun angka yang diulang,
berapa banyak plat nomor kendaraan?

Jawab:
a) 26×26×26×26×10×10×10×10 = 4.569.760.000
b) 26×25×24×23×10×9×8×7 = 1.808.352.000
3. Suatu kelas statistika dasar terdiri dari 25 mahasiswa
laki-laki dan 20 mahasiswa perempuan. Suatu ujian
diberikan dan selanjutnya mahasiswa akan diurutkan
sesuai hasil nilai ujian tersebut. Misalkan tidak ada dua
mahasiswa yang memperoleh nilai yang sama.
a) Ada berapa banyak peringkat yang mungkin?
b) Bila laki-laki diurutkan diantara sesama mereka dan
perempuan juga diurutkan diantara sesama mereka,
berapa banyak urutan peringkat yang mungkin?

Jawab:
a) 45! = 1,19621056
b) 25!20! = 3,7737 1043
4. Empat buku matematika berbeda, enam buku fisika
berbeda disusun berjajar di rak.
a) Ada berapa susunan?
b) Buku sejenis mengelompok. Ada berapa susunan?
c) Hanya matematika yang mengelompok. Ada berapa
susunan?

Jawab:
a) 10!
b) 24! 6! = 34560
c) 5 4! 6! = 86400
5. Lima orang berbaris masuk satu-satu.
a) Ada berapa macam barisan yang mungkin?
b) Jika dua orang kakak beradik dan baris berdekatan.
Ada berapa macam barisan?

Jawab:
a) 5!
b) 42! 3! = 48 atau 2! 4! = 48
6. Ada berapa susunan berbeda dapat dibuat dengan 5
huruf dari kata “komputer’?
7. Ada berapa susunan berbeda dapat dibuat dengan
semua huruf dari kata “komputer’?
8. Berapa banyak kemungkinan 6 dosen dapat diberi tugas
mengajar 4 kelas matrikulasi bila setiap dosen tidak
boleh mengajar lebih dari satu kelas?

Jawab:
6. 8P5 = 8!/3! = 6720
7. 8P8= 8!/0! = 40320
8. 6P4 = 360
8. Suatu panitia terdiri atas 1 pria dan 1 wanita dipilih dari 5
pria dan 8 wanita. Ada berapa pilihan?
9. Ari memilih 7 dari 10 butir soal untuk dijawab. Ada
berapa pilihan?
10. Ada berapa komite berbeda yang terdiri dari 3 orang
dapat dibentuk dari 8 orang? Jika Ani adalah salah satu
dari 8 orang, ada berapa komite berbeda dapat dibentuk
dengan Ani sebagai anggota komite?

Jawab:
8) 5C1  8C1 = 40
9) 10C7 = 120
10) 8C3 = 56
1C1  7C2 = 21