Pertemuan 11 - Perencanaan Proyek - PERT PDF
Pertemuan 11 - Perencanaan Proyek - PERT PDF
Pertemuan 11 - Perencanaan Proyek - PERT PDF
Teknik CPM dan PERT dikembangkan terpisah, CPM dikembangkan untuk durasi kegiatan
deterministik dan PERT dikembangkan untuk durasi probabilistik.
4 𝐶𝐶 17
3 5
12 5 17
𝐴𝐴 𝐹𝐹
3 8
0 0 𝑋𝑋1 7 𝐸𝐸 25
1 6
0 25
4 9
𝐵𝐵 𝐺𝐺
6
4 10
2 4
4 𝐷𝐷 10
1
Sehingga time schedule proyek kita seperti berikut ini: (untuk menjelaskan akan Ibu uraikan
tahap demi tahap ya)
Langkah 1. Menentukan time schedule kegiatan kritis
Keg 𝐵𝐵(4) → (𝐸𝐸𝐸𝐸1 , 𝐿𝐿𝐿𝐿2 ) = (0,4) artinya keg 𝐵𝐵 dengan durasi 4 hari, dengan interval (0,4)
(dari hari ke-0 hingga hari ke-4) → langsung dimulai di hari pertama proyek
Keg 𝐷𝐷(6) → (𝐸𝐸𝐸𝐸2 , 𝐿𝐿𝐿𝐿4 ) = (4,10) artinya keg 𝐷𝐷 dengan durasi 6 hari, dengan interval (4,10)
(dari hari ke-4 hingga hari ke-10) → langsung dimulai sesaat keg 𝐵𝐵 selesai dikerjakan
keg 𝐸𝐸(7) → (𝐸𝐸𝐸𝐸4 , 𝐿𝐿𝐿𝐿5 ) = (10,17) artinya keg 𝐸𝐸 dengan durasi 7 hari, dengan interval (10,17)
(dari hari ke-10 hingga hari ke-17) → langsung dimulai sesaat keg 𝐷𝐷 selesai dikerjakan
keg 𝐹𝐹(8) → (𝐸𝐸𝐸𝐸5 , 𝐿𝐿𝐿𝐿6 ) = (17,25) artinya keg 𝐹𝐹 dengan durasi 8 hari, dengan interval (17,25)
(dari hari ke-17 hingga hari ke-25) → langsung dimulai sesaat keg 𝐸𝐸 selesai dikerjakan
Langkah 2. Gambarkan time schedulenya
𝐵𝐵(4)
𝐷𝐷(6)
Kritis
𝐸𝐸(7)
𝐹𝐹(8)
5 10 15 20 25
Hari
Perhatikan: setiap pekerjaan baru dimulai tepat saat pekerjaan sebelumnya selesai dikerjakan.
Sangat ketat.
2
keg 𝐴𝐴(3) → (𝐸𝐸𝐸𝐸1 , 𝐿𝐿𝐿𝐿3 ) = (0,12) artinya keg 𝐴𝐴 dengan durasi 3 hari, dengan interval (0,12)
(dapat dikerjakan diantara hari ke-0 hingga hari ke-12, selama 3 hari) → bisa diawal, di tengah,
atau di akhir interval
𝐵𝐵(4)
𝐷𝐷(6) Kritis
𝐸𝐸(7)
𝐹𝐹(8)
𝐴𝐴(3)
Tidak
Kritis
5 10 15 20 25
Hari
Ulangi Langkah 3 dan Langkah 4 untuk kegiatan non kritis lainnya
keg 𝐶𝐶(5) → (𝐸𝐸𝐸𝐸3 , 𝐿𝐿𝐿𝐿5 ) = (4,17) artinya keg 𝐶𝐶 dengan durasi 5 hari, dengan interval (4,17)
(dapat dikerjakan diantara hari ke-4 hingga hari ke-17, selama 5 hari) → bisa diawal, di tengah,
atau di akhir interval
3
𝐵𝐵(4)
𝐷𝐷(6) Kritis
𝐸𝐸(7)
𝐹𝐹(8)
𝐴𝐴(3)
𝐶𝐶(5)
Tidak
Kritis
5 10 15 20 25
Hari
keg 𝐺𝐺(9) → (𝐸𝐸𝐸𝐸4 , 𝐿𝐿𝐿𝐿6 ) = (10,25) artinya keg 𝐺𝐺 dengan durasi 9 hari, dengan interval (10,25)
(dapat dikerjakan diantara hari ke-10 hingga hari ke-25, selama 9 hari) → bisa diawal, di tengah,
atau di akhir interval
𝐵𝐵(4)
𝐷𝐷(6)
Kritis
𝐸𝐸(7)
𝐹𝐹(8)
𝐴𝐴(3)
𝐶𝐶(5)
𝐺𝐺(9) Tidak
Kritis
5 10 15 20 25
Hari
4
keg 𝑋𝑋1 (0) → (𝐸𝐸𝐸𝐸2 , 𝐿𝐿𝐿𝐿3 ) = (4,12) artinya keg 𝑋𝑋1 dengan durasi 0 hari, dengan interval (4,12)
(dapat dikerjakan diantara hari ke-4 hingga hari ke-12, selama 0 hari) → bisa diawal, di tengah,
atau di akhir interval
𝐵𝐵(4)
𝐷𝐷(6) Kritis
𝐸𝐸(7)
𝐹𝐹(8)
𝐴𝐴(3)
𝐶𝐶(5)
𝐺𝐺(9) Tidak
Kritis
𝑋𝑋1 (0)
5 10 15 20 25
Hari
Inilah time schedule proyek kita.
5
3. Dugaan pesimis, dinotasikan dengan 𝑏𝑏, didefinisikan sebagai waktu yang tidak dapat
terjadi, tetapi mungkin terjadi jika semua hal berlangsung dengan buruk.
a m b
Gambar Model Distribusi Peluang pada Durasi Kegiatan Metode PERT dengan Tiga Waktu
Pendugaan
PERT memakai pendekatan yang menganggap bahwa kurun waktu kegiatan tergantung
pada banyak faktor dan variasi, sehingga “perkiraan” diberi rentang (range) dengan tiga
estimasi waktu. Selain itu, PERT juga menggunakan parameter lain untuk mengukur
ketidakpastian secara kuantitatif seperti dihitung dengan standar deviasi dan variansi. Untuk
lebih lengkapnya, perhitungan PERT dalam tiga waktu pendugaan dijelaskan sebagai berikut:
Dalam tiga waktu pendugaan terdapat dua asumsi yang mengubah 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, dan 𝑚𝑚 menjadi
nilai harapan (𝑡𝑡𝑒𝑒 ) dan ragam (𝜎𝜎) dari waktu yang dibutuhkan untuk suatu kegiatan.
Asumsi pertama : lebar antara 𝑎𝑎 (dugaan optimis) dan 𝑏𝑏 (dugaan pesimis) mempunyai standar
deviasi 6, berarti 6𝜎𝜎 = 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎. Sehingga ragam setiap kegiatan adalah:
2
1
𝜎𝜎 2 = � (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)�
6
Asumsi kedua: peluang distribusi pada setiap waktu yang dibutuhkan untuk berkegiatan
merupakan distibusi beta.
Distribusi beta mempunyai bentuk yang tepat untuk ketiga waktu dugaan, seperti yang
digambarkan sebelumnya dengan modus (𝑚𝑚) dan dua ujungnya (𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏), diasumsikan dengan
0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏, karena distribusi beta memiliki empat sifat yang tepat untuk menaksirkan
probabilitas setiap kegiatan dalam proyek, yaitu:
1. Probabilitas kecil (1 dalam 100) untuk mencapai waktu optimis (waktu terpendek)
diberi simbol 𝑎𝑎.
6
2. Probabilitas kecil (1 dalam 100) untuk mencapai waktu pesimis (waktu terpanjang)
diberi simbol 𝑏𝑏.
3. Waktu yang paling mungkin diberi simbol 𝑚𝑚, dapat bergerak dengan bebas antara 𝑎𝑎
dan 𝑏𝑏.
4. Tingkat ketidakpastiannya dalam memperkirakan, dapat diukur.
𝑎𝑎+𝑏𝑏
5. Diketahui dari gambar nilai tengah rentang , sehingga 𝑡𝑡𝑒𝑒 merupakan rataan dari
2
waktu yang paling mungkin dan nilai tengah rentang, dengan waktu yang paling
mungkin bernilai dua pertiga dan sepertiga untuk nilai tengah rentang, dirumuskan
sebagai berikut:
1 1
𝑡𝑡𝑒𝑒 = �2𝑚𝑚 + (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)�
3 2
Setelah perhitungan dugaan nilai harapan dan ragam untuk setiap kegiatan, dapat
dilakukan tiga asumsi berikutnya:
Asumsi ketiga: waktu kegiatan yang satu dengan yang lainnya merupakan peubah acak yang
bebas.
Asumsi keempat: lintasan kritis membutuhkan waktu yang lebih lama dari lintasan yang lain.
Sehingga nilai harapan dan ragam waktu proyek merupakan penjumlahan nilai harapan dan
ragam pada kegiatan-kegiatan jalur kritis.
Dalam mengevaluasi hasil perhitungan pada sebaran normal, dapat dibandingkan hasil
perhitungan waktu yang dibutuhkan dalam penyelesaian proyek jalur kritis dengan waktu yang
dijadwalkan. Salah satu caranya yaitu satuan baku dengan nilai 𝑧𝑧, dijelaskan dengan definisi
berikut:
Definisi. Suatu pengamatan 𝑋𝑋 dari suatu populasi dengan nilai harapan 𝑡𝑡𝑒𝑒 dan simpangan baku
𝜎𝜎, mempunyai nilai 𝑧𝑧 atau skor 𝑧𝑧 yang didefinisikan sebagai
𝑥𝑥 − 𝑡𝑡𝑒𝑒
𝑧𝑧 =
𝜎𝜎
7
Contoh: Diberikan tabel aktifitas dan estimasi waktunya
Aktifitas Pendahulu Optimis (𝑎𝑎) Paling mungkin (𝑚𝑚) Pesimis (𝑏𝑏)
𝐴𝐴 − 1 3 5
𝐵𝐵 − 3 4 5
𝐶𝐶 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 4 5 6
𝐷𝐷 𝐵𝐵 3 5 7
𝐸𝐸 𝐷𝐷 5 7 9
𝐹𝐹 𝐶𝐶, 𝐸𝐸 4 7 10
𝐺𝐺 𝐷𝐷 6 8 10
11 𝐶𝐶 16
3 5
4 5 16
𝐴𝐴 𝐹𝐹
3 7
0 0 7 𝐸𝐸 23
1 6
0 23
4 8
𝐵𝐵 𝐺𝐺
5
4 9
2 4
4 𝐷𝐷 9
8
Diperoleh:
Jalur kritis 𝐵𝐵 − 𝐷𝐷 − 𝐸𝐸 − 𝐹𝐹
Dengan waktu kritisnya 23
Langkah 2. Tentukan ekspektasi dan dan variansi untuk semua kegiatan dalam proyek
Waktu ekspektasi biasanya sudah diberikan dalam soal sebagai dugaan paling mungkin
(𝑚𝑚), sedangkan variansi diperoleh menggunakan rumus
2
1
𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖2 = � (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)�
6
9
𝐸𝐸(𝑇𝑇) = 𝐸𝐸(𝑇𝑇𝐵𝐵 ) + 𝐸𝐸(𝑇𝑇𝐷𝐷 ) + 𝐸𝐸(𝑇𝑇𝐸𝐸 ) + 𝐸𝐸(𝑇𝑇𝐹𝐹 )
= 4 + 5 + 7 + 7 = 23
Variansi proyek:
𝜎𝜎 2 = 𝜎𝜎𝐵𝐵2 + 𝜎𝜎𝐷𝐷2 + 𝜎𝜎𝐸𝐸2 + 𝜎𝜎𝐹𝐹2
= 0,1111 + 0,4444 + 0,4444 + 1,0000 = 1,9999.
10
𝐶𝐶
3 5
5
𝐴𝐴 𝐹𝐹
3 8
1 0 𝑋𝑋1 7 𝐸𝐸 6
4 9
𝐵𝐵 𝐺𝐺
6 4
2 𝐷𝐷
Langkah 2. Tentukan ekspektasi dan variansi untuk semua kegiatan dalam proyek
Tabel ekspektasi dan variansi untuk kegiatan-kegiatan 𝐴𝐴 − 𝐺𝐺:
Aktifitas Waktu ekspektasi 𝐸𝐸�𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 � Variansi 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖2
𝐴𝐴(1,3) 3 0,4444
𝐵𝐵(1,2) 4 0,1111
𝐶𝐶(3,5) 5 0,1111
𝐷𝐷(2,4) 5 0,4444
𝐸𝐸(4,5) 7 0,4444
𝐹𝐹(5,6) 7 1,0000
𝐺𝐺(4,6) 8 0,4444
Langkah 3. Menentukan jalur kritis, ekspektasi waktu krritis, dan variansi jalur kritis
menggunakan ekspektasi waktu setiap kegiatan dan variansinya
Bentuk tabel berikut (tabel ini untuk memperjelas)
Simpul Jalur yang mungkin terbentuk Waktu terbentuk Variansi Dilanjutkan
𝐸𝐸(𝑇𝑇) = ∑ 𝐸𝐸�𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝜎𝜎 2 = ∑ 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖2 / tidak
2 1−2 4 0,1111 Ya
3 1−3 3 0,4444 Tidak
3 1−2−3 4 0,1111 Tidak
4 1−2−4 9 0,5555 Ya
5 1−2−4−5 16 0,9999 Ya
5 1−3−5 8 0,5555 Tidak
5 1−2−3−5 9 0,2222 Tidak
6 1−2−4−6 17 0,99999 Tidak
6 1−2−4−5−6 25 1,9999 Ya
11
6 1−3−5−6 15 1,5555 Tidak
6 1−2−3−5−6 16 1,2222 Tidak
Dengan pengalaman dari tabel tersebut, perhitungan dapat disederhanakan seperti tabel
berikut, yaitu, jika pada suatu simpul, jalur yang tidak dapat dilanjutkan, tidak perlu
ditentukan jalur selanjutnya.
Simpul Jalur yang mungkin terbentuk Waktu terbentuk Variansi Dilanjutkan
𝐸𝐸(𝑇𝑇) = ∑ 𝐸𝐸�𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝜎𝜎 2 = ∑ 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖2 / tidak
2 1−2 4 0,1111 Ya
3 1−3 3 0,4444 Tidak
3 1−2−3 4 0,1111 Tidak
4 1−2−4 9 0,5555 Ya
5 1−2−4−5 16 0,9999 Ya
6 1−2−4−6 17 0,9999
6 1−2−4−5−6 25 1,9999
Diperoleh:
Jalur kritis: 1 − 2 − 4 − 5 − 6 atau 𝐵𝐵 − 𝐷𝐷 − 𝐸𝐸 − 𝐹𝐹
Waktu kritis atau ekspektasi selesainya proyek 25
Variansi selesainya proyek 1,9999
12
Kesimpulan: Proyek sangat tidak mungkin diselesaikan kurang dari 20 hari.
Normal time (𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖 ) adalah estimasi waktu penyelesaian kegiatan pada waktu normal.
Crash time (𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 ) adalah estimasi waktu tercepat untuk menyelesaikan suatu kegiatan.
Normal cost (𝐶𝐶𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖 ) adalah estimasi biaya penyelesaian kegiatan pada waktu yang normal.
Crash cost (𝐶𝐶𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 ) adalah estimasi biaya penyelesaian suatu kegiatan dalam crash time atau pada
13
tentukan jalur kritis baru dan ulangi langkah ketiga. Hitungan selesai setelah semua
jalur kritis pada jaringan kerja telah dihitung dengan langkah tiga.
Dari keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa dalam sebuah diagram kerja jalur
kritis nilainya tidak tunggal, tetapi hanya ada satu jalur kritis yang paling tepat untuk
diterapkan. Keempat bagian dalam estimasi waktu dan biaya, dapat digambarkan sebagai
berikut:
Biaya Y ij
d ij D ij X ij
Crash time Normal time Waktu
Gambar Percepatan Waktu Pengerjaan Suatu Kegiatan
Contoh: Diberikan diagram dengan waktu aktifitas dalam hari berikut ini:
𝐴𝐴 𝐷𝐷
1 3 4
4 10
𝐵𝐵 𝐶𝐶
6 8
14
𝐵𝐵 6 4 180 250
𝐶𝐶 8 5 200 320
𝐷𝐷 10 6 350 530
0 𝐴𝐴 14 𝐷𝐷 24
1 3 4
0 4 14 10 24
𝐵𝐵 𝐶𝐶
6 8
6
2
6
diperoleh
a. Jalur kritis 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 − 𝐷𝐷
b. Waktu penyelesaian proyek 24 hari
Biaya proyek = $80 + $180 + $200 + $350 = $810
15
𝐶𝐶(2,3) 8−5=3 320 − 200
= 40
8−5
𝐷𝐷(3,4) 10 − 6 = 4 530 − 350
= 45
10 − 6
0 𝐴𝐴 12 𝐷𝐷 22
1 3 4
0 4 12 10 22
4 𝐵𝐵 𝐶𝐶
6 8
4
2
4
Diperoleh
Jalur kritis 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 − 𝐷𝐷
Waktu penyelesaian proyek 22 hari
Biaya proyek = $810 + 2($35) = $880
Aktifitas (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) 𝐴𝐴(1,3) 𝐵𝐵(1,2) 𝐶𝐶(2,3) 𝐷𝐷(3,4)
Kritis ya/tdk Tdk ya ya ya
𝐹𝐹𝐹𝐹 8 0 0 0
16
Karena crash limit 𝐵𝐵 dicapai, pertimbangkan 𝐶𝐶 sebagai terkecil berikutnya.
Panjang 𝐶𝐶 dapat direduksi :
limit reduksi = min{crash limit, limit 𝐹𝐹𝐹𝐹 positif}
= min{3,8} = 3.
Crash aktifitas 𝐶𝐶 adalah 3 hari
0 𝐴𝐴 9 𝐷𝐷 19
1 3 4
0 4 9 10 19
4 𝐵𝐵 𝐶𝐶
6 5
8
4
2
4
Diperoleh
Jalur kritis 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 − 𝐷𝐷
Waktu penyelesaian proyek 19 hari
Biaya proyek = $880 + 3($40) = $1000
Aktifitas (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) 𝐴𝐴(1,3) 𝐵𝐵(1,2) 𝐶𝐶(2,3) 𝐷𝐷(3,4)
Kritis ya/tdk Tdk ya ya ya
𝐹𝐹𝐹𝐹 5 0 0 0
Karena crash limit 𝐶𝐶 dicapai, pertimbangkan 𝐷𝐷 sebagai terkecil berikutnya.
Panjang 𝐷𝐷 dapat direduksi :
limit reduksi = min{crash limit, limit 𝐹𝐹𝐹𝐹 positif}
= min{4,5} = 4.
Walaupun 𝐷𝐷 bisa direduksi 4 hari, namun cukup dikurangi 1 hari saja untuk mencapai
tujuan 18 hari
0 𝐴𝐴 9 𝐷𝐷 18
9 4
1 3
0 4 9 10 18
4 𝐵𝐵 𝐶𝐶 5
6 8
4
2 17
4
Diperoleh
Jalur kritis 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 − 𝐷𝐷
Waktu penyelesaian proyek 18 hari
Biaya proyek = $1000 + 1($45) = $1045
18