Pembina Olimpiade Fisika

davitsipayung.com

3. Kinematika satu dimensi

Gerak benda sepanjang garis lurus disebut gerak satu dimensi. Kinematika satu dimensi memiliki
asumsi benda dipandang sebagai partikel atau benda titik artinya bentuk dan ukuran benda diabaikan
dibandingkan panjang lintasan tempuh, massa benda dikosentrasikan pada satu titik dan benda tidak
 berotasi. Jadi, gerak partikel sebagai titik dalam ruang. Kita akan mengaikan gaya sebagai penyebab
gerak
 pada bab kinematika ini. Kinematika menjelaskan hubungan antara besaran posisi, kecepatan,
percepatan
dan waktu.

1. Besaran kinematika

1. Posisi, perpindahan dan jarak

Kedudukan benda relatif terhadap suatu titik acuan disebut  posisi. Posisi benda biasanya dinyatakan
dalam sistem koordinat kartesian. Posisi benda bergerak sepanjang sumbu  x  sebagai fungsi waktu
dituliskan x(t). Posisi x=0 disebut titik pusat koordinat atau titik asal koordinat. Posisi adalah besaran
vektor.  Perpindahan   adalah besaran vektor, yang menunjukkan panjang dan arah garis lurus yang
menghubungkan posisi awal dan akhir benda. Perpindahan menunjukkan perubahan posisi benda.
Perpindahan
 x (t )  tidak
x (t ) bergantung pada bentuk lintasan, tetapi bergantung posisi awal dan akhir(3.1)
benda.
2

 xPerpindahan
Simbol1 (t )  
Yunani benda dari posisi awal x 1  ke posisi akhir x 2  ditunjukkan oleh:
 dibaca delta. Tanda positif dan negatif dari ∆x menunjukkan arah perpindahan benda ke
kanan atau ke kiri. Jika sumbu x positif ke kanan, maka ∆x > 0 menunjukkan benda berpindah searah
sumbu x positif. Sebalinya, ∆x < 0 menunjukkan benda berpindah searah sumbu x negatif.  Jarak adalah
 panjang lintasan total yang ditempuh oleh benda, artinya jarak bergantung pada bentuk lintasan yang
dilalui oleh benda. Jarak biasanya disimbolkan oleh  s. Jarak adalah besaran skalar dan selalu bernilai
 positif.
 x  

 x 2
∆ x 
 x 1
∆t
  t 
t1 
t2 
Gambar 3.1 : Kurva posisi terhadap waktu

4.2 Kecepatan dan kelajuan

Kecepatan rata-rata adalah perbandingan perpindahan terhadap selang waktu benda telah bergerak.

v
x 
 t t 2 2
x (3.2)

x1 t1 
 

1
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

dimana v   adalah simbol kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata sama dengan gradien garis yang
menghubungkan titik (x1 ,t1 ) dan (x2 ,t2 ). Kelajuan rata-rata  adalah perbandingan jarak tempuh terhadap
selang waktu benda bergerak.

v laju   s  s2  (3.3)

t t2  t 1
Satuan s1 kecepatan adalah m/s . Kecepatan adalah besaran vektor, sedangkan kelajuan adalah besaran skalar.
 
Benda dikatakan diam terhadap titik acuan ketika kecepatan benda itu sama dengan nol terhadap titik
acuan tersebut.
Kecepatan sesaat  adalah kecepatan rata-rata benda ketika ∆t mendekati nol.
v  lim  x t  t   x   (3.4)
 t   0 t dt 
 
t   dx
Simbol kecepatan sesaat adalah v. Besar kecepatan disebut kelajuan. Kecepatan adalah turunan pertama
 posisi terhadap waktu. Arah kecepatan benda menunjukkan arah gerak benda. Misalkan sumbu x positif

ke kanan, v > 0 menunjukkan benda bergerak ke kanan, v < 0 menunjukkan benda bergerak ke kiri.
Kecepatan sesaat sama dengan gradien kurva posisi pada satu titik.

 x 

v = 0
 
v < 0  v > 0 

t  

Gambar 3.2 : Gradien kurva posisi terhadap waktu

menunjukkan kecepatan sesaat

3.3 Percepatan dan perlajuan

Partikel dikatakan mengalami percepatan ketika kecepatannya berubah. Percepatan adalah besaran
vektor. Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan benda dalam selang waktu benda bergerak.

a  vt 22 
 v1  v
t1 t 
(3.5)

Percepatan
  rata-rata sama dengan gradien garis penghubung titik (v 1 ,t 1 ) dan titik (v2 ,t2 ).
v 

v2

v1

t 
t1 t2

Gambar 3.3 : Kurva kecepatan terhadap

2
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

Jika kelajuan benda bertambah, maka benda dikatakan mengalami perlajuan. Ketika kelajuan
benda
 berkurang, maka benda dikatakan mengalami perlambatan. Perlajuan rata-rata  adalah
perubahan
kelajuan benda dalam selang waktu tertentu. Pecepatan sesaat adalah percepatan rata-rata benda ketika
a end
∆t m lim v  t  t  
ekait nol.   (3.6)
 t   0 t dt 
Percepatan vsesaat
t     sama
dv dengan turunan pertama kecepatan terhadap waktu. Percepatan dapat dituliskan
dalam bentuk:
dv d2x dv
a   (3.7 )
dt dt  v 2
dx  
Dalam kurva kecepatan sebagai fungsi waktu, v(t), percepatan benda pada setiap titik sama dengan
kemiringan kurva v(t)  pada titik itu. Satuan dari percepatan adalah m/s2 . Percepatan adalah besaran vektor,
sedangkan perlajuan adalah besaran skalar. Percepatan gravitasi di dekat permukaann bumi sekitar
 g = 9,8 m/s2 . Jika arah vektor kecepatan dan percepatan partikel sama, maka kecepatan partikel bertambah
atau partikel dipercepat. Syarat benda dipercepat adalah a > 0 dan v > 0, atau a < 0 dan v < 0. Jika arah
vektor percepatan berlawanan dengan kecepatan, maka kecepatan partikel akan berkurang atau partikel
diperlambat. Syarat benda diperlambat adalah a < 0 dan v > 0, atau a > 0 dan v < 0.

Contoh 3.1 : Gerak maju-mundur

Posisi dari sebuah partikel begerak lurus sepanjang sumbu x  diberikan oleh:  x t   t2  8t  12 , di mana x 
 Partikel dikatakan
dalam meter dan t  dalam sekon. Partikel bergerak maju-mundur sepanjang sumbu-x.
 bergerak maju ketika partikel bergerak ke arah sumbu x positif.
a.  Tentukan posisi mula-mula partikel!
 b.  Tentukan perpindahan partikel dari t=0 sampai t=5 sekon!
c.  Berapa kali partikel melewati titik asal?
d.  Gambarkan kurva posisi partikel sebagai fungsi waktu!
e.  Kapan partikel bergerak maju, diam sesaat, dan mundur!

Pembahasan:

a.  Posisi mula-mula partikel adalah x 0    0 2

 8  0  12  12 m . Partikel berada 12 m di kanan titik asal.
Posisi partikel untuk t = 0 dan t=5sekon berturut-turut adalah
 x0    5 2
 8  5 12 
 b. 
 x 5  5 8 5
  2
 1 2   3 m  Perpindahan part ikel dari t=0 sampai   dan
12mt=5

 x  x: 5   x 0
sekon  12 m = -15 m
Partikel berpindah sejauh  15 m searah sumbu x negatif.
  melewati
c.  Partikel m3 titik asal ketika x(t)=0.

 x t   t 2
 8t  12  t  2
 t 6   0 

Partikel melewati titik asal sebanyak dua kali, yaitu pada t = 2 sekon dan t = 6 sekon.
d.  Bentuk persamaan posisi partikel adalah parabola. Kurva posisi partikel:

3
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

 x (m)

 x  t 2 8x
10  
12  

t(s)
4 
2 
-4 6  

Titik balik

e.  Partikel bergerak mundur dalam rentang waktu 0  t   4 s , diam sesaat ketika t  = 4, dan bergerak maju dalam
rentang waktu t > 4s.

Contoh 3.2 :

Sebuah partikel begerak lurus dengan persamaan posisi : x   t    t 3  2t 2  t  , dimana x dalam meter dan
t
dalam sekon.Gunakan sumbu x positif di kanan titik asal.
a.  Tentukan kecepatan rata-rata partikel setelah bergerak dari t = 0 sampai t= 2 detik !
 b.  Tentukan kecepatan partikel saat t = 2 sekon!
c.   Kapan partikel berhenti sesaat atau berbalik arah?
d.   Kapan partikel bergerak ke kanan, dan ke kiri?
e.  Gambarkan lintasan yang dilalui oleh partikel!

Pembahasan:
a.  Perpindahan partikel setelah bergerak 2 sekon adalah
 x  x  x 2  x 0 x 0   2 m , arah perpindahan ke
v   x         m s 1 m s  
t t 2  1 rata-rata
2 partikel setelah bergerak 2 sekon
2 Kecepatan
kanan.
t 
 b.  Kecepatan sesaat partikel :
adalah
v  dx   3t2 4t  1
dt   
Kecepatan
 t partikel saat t = 2 sekon:

v 2   3  2 2  4  2  1  5m s  
c.  Partikel berbalik arah ketika kecepatan sesaatnya sama dengan nol.
dx 
t 
v  3t2  4t  1 t   1 t 1  

dt 
3  
0  
Partikel berbalik arah saat t = 1/3 sekon dan t =1 sekon.
3 t 
d.  Partikel bergerak ke kanan ketika v  > 0, yaitu dalam rentang waktu 0  t   1 s   dan   1s . Partikel
 bergerak ke kiri ketika v < 0 , yaitu dalam rentang waktu 1 s3  t 1s  .
e.  Pertama, mari kita temukan posisi benda saat t = 0 sekon, t = 1/3 sekon, dan t = 1 sekon berturut-turut

adalah x  (0 )  0 , x (1  )3  0,37 m , dan  x(1 )  0 . Lintasan gerak maju-mundur partikel :

4
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

x(m)
x(0)= x(1)=0 x(1/3) = 0,37 m

Contoh 3.3 :
Posisi sebuah partikel mengikuti persamaan x = 8t- 3t2 , dimana x dalam meter dan t dalam sekon.

a.  Tentukanlah percepatan partikel setiap waktu!

 b.  Kapam partikel bergerak searah sumbu x positif , dan searah sumbu x negatif!
c.  Kapan partikel dipercepat searah sumbu x positif?
d.  Kapan kecepatan partikel berkurang?

Pembahasan:
a.  Percepatan partikel adalah a  d 2
x dt 2   3 m s 2 . Partikel mengalami percepatan konstan 3 ms/2 dalam arah
sumbu x negatif.
 b.  Pertikel bergerak searah sumbu x positif ketika kecepatan bernilai positif,
dx
v
dt   8 6t   0  atau 0   t 3 4
s.
Pertikel bergerak searah sumbu x negatif ketika kecepatan bernilai negatif,
dx
v  dt   8 6t   0  atau t 3 4 s
c.  Partikel
. dipercepat searah sumbu x positif : v > 0 dan a > 0. Karena a selalu searah sumbu x negatif ,
maka partikel tidak pernah dipercepat searah sumbu x positif.
d.  Kecepatan benda berkurang ketika a < 0 dan v > 0, atau a > 0 dan v < 0 , yaitu dalam rentang waktu
0   t 3 4
s.

Contoh 3.3 : Analisis kurva posisi terhadap waktu

Sebuah benda mulai bergerak dari keadaan diam. Kurva posisi benda terhadap waktu ditunjukkan
oleh gambar bawah ini.

x (m)
Parabola

2 Garis lurus

1 Parabola

t (s)
1 2 3 4 5 6 7 8

a.  Gambarkan kurva kecepatan dan percepatan benda sebagai fungsi waktu!

5
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

 b.  Hitung besar kecepatan maksimum

benda! c.  Hitung kecepatan sesaat benda
ketika t=4 s!
d.  Hitung perpindaha n benda pada t = 1
sekon dan t = 4 sekon!

Pembahasan :
a.  Kurva kecepatan sebagai fungsi waktu:

v (m/s)

1 t (s)
1 2 3 4 5 6 7 8
-1

Grafik percepatan sebagai fungsi waktu :

a (m/s )

t (s)
1 2 3 4 5 6 7 8
-1

 b.  Besar kecepatan maksimum benda adalah 1 m/s.

c.  Kecepatan sesaat benda ketika perpindahannya maksimum (t=4s) adalah nol.
dx
v 0 
dt 
d.  Perpindahan
benda sama dengan
luas dibawah grafik
kecepatan terhadap
waktu.
3.2 Ge r a k lurus beraturan (GLB)
Perpindahan benda pada t=1 sekon : x(1) = ½ m.
Perpindahan benda pada t=4 sekon : x(4) = 2,5 m.
Gerak lurus beraturan adalah gerak benda dengan kecepatan konstan, artinya jarak yang ditempuh
 benda sama untuk tiap rentang waktu yang sama. Jika benda bergerak lurus beraturan, maka percepatan
 benda nol dan kecepatan rata-rata benda selalu sama dengan kecepatan sesaatnya. Seandainya pada waktu
t=0 posisi benda adalah x = x 0 . Posisi benda setiap waktu t adalah x(t). Kecepatan rata-rata benda :
 x (tt )
vv
x   0

0
 x (t )  x0t  (3.8)
vt   

6
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

 x(t) v (t) a
   x (t )  x 0  (t) 
vt 
 
  x ( t ) v(t) = v 
v 
 x0
  a(t) = 0
t  t  t
t 
(a)
(b)

(c)
Contoh 3.4 : Gambar 3.4 : Kurva x(t),v(t) dan a(t) dalam GLB
Seorang pelari berlari dengan kelajuan konstan v p = 10 km/jam ke kanan. Seorang pejalan berjalan dengan kelajuan
konstan vk  = 5 km/jam ke kiri, menuju pelari. Ketika pelari dan pejalan berjarak d = 3 km satu sama lain,
seekor burung terbang dengan kelajuan konstan v b  = 30 km/jam ke kanan melewati pelari. Ketika burung
mencapai pejalan, burung berbalik arah dan terbang kembali menuju pelari dengan
kelajuan yang sama. Ketika burung mencapai pelari, burung berbalik arah lagi dan terbang kembali
menuju pelari. Burung terus terbang ke kanan dan ke kiri antara pelari dan pejalan. Ketika pelari dan
 pejalan bertemu, berapa jarak total yang ditempuh oleh burung?

Pembahasan :
Pelari mula-mula berada di titik asal, x 0, p = 0, maka pejalan mula-mula berada di titik x0,k   = 30 km. Ambil
arah ke kanan sebagai sumbu x positif. Kecepatan pelari dan pejalan berturut-turut adalah v p = 10 km/jam
dan vk  = - 5 km/jam. Kecepatan pejalan bernilai negatif karena arahnya ke kiri. Persamaan posisi gerak
 pejalan dan pelari: 
 x  p  x 0 , p  v  p t  15t   

 x k  x 0,k  v  k   t  30  5t  
Pelari dan pejalan bertemu ketika posisi mereka sama.

 x  p  x k   

t b   2 jam
10t b  30  5t b  
 
Mereka bertemu saat t = 2 jam. Kecepatan burung adalah v b = 10 km/jam. Jarak total yang ditempuh oleh
 burung adalah
 s  v b t b  30km jam  2 jam =60km  

3.3 Ge r a k lurus berubah beraturan (GLBB)

7
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

Gerak lurus berubah beraturan adalah gerak benda dengan percepatan konstan atau perubahan
kecepatan benda setiap selang waktu yang sama selalu sama. Perhatikan sebuah benda bergerak sepanjang
sumbu x dengan percepatan konstan a. Benda memiliki kecepatan v = v 0  pada t=0. Setelah benda bergerak
selama waktu t kecepatan benda v. Percepatan rata-rata benda sama dengan percepatan sesaatnya.
v  v0
a a  (3.9)
 t 0 
Dari pers.(3.9), kita peroleh kecepatan benda :
v  v0   (3.10) 
at   posisi benda x 0  pada waktu t=0. Posisi benda setelah bergerak dalam waktu t :
Jika
 x  x0  v t   (3.11)
Kecepatan benda linear terhadap waktu. Kecepatan rata-rata benda:
v  1 v  v  1 v  v  at  v  1
at     (3.12)
2 0 2 0 0 0
Substitusikan
2 pers.(3.12) ke pers. (3.11), kita peroleh
 x  x  v t  1 at 2     (3.13)
0 0   2

Pers.(3.10) dan per.(3.14) memberikan v(t) dan x(t). Dari pers. (3.10), kita peroleh
t  v    (3.14)
 v0 a
Substitusi pers.(3.14) ke pers.(3.13) :
2
 x  x0  v 0  v  0v 
 1 a v 0   
  a    2 
a
v
v  v 02a
2 2 
 x   x 0   (3.15)
Empat persama
 n penting gerak lurus berubah beraturan :
v  v0 
 
at
v   12 
v0  v 
 
 x  x0  v 0t 
  2
1
at 2
 
v 2  v 022a
 x  x0
 
Pers.(3.10) menunjukkan
 bahwa luas kurva percepatan terhadap waktu sama dengan perubahan kecepatan
 benda. Selanjutnya, pers.(3.12) menunjukkan bahwa luas kurva percepatan terhadap sama dengan
 perubahan kecepatan benda 

8
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

 x(t) v (t a(t)

v( t )  v 0  at
 
v 
 
Parabola v   a(t) = a 
a

 x 0 v0  
 x( (t ) 0  v t  
2
1  2  
    x at  t
0
t  t 
t 
(a) (b)   (c)  

Gambar 3.5: Kurva x(t),v(t) dan a(t) dalam GLBB

 
Contoh 3.5 :
Seekor burung terbang sepajang lintasan garis lurus, mula-mula kecepatannya 36 km/jam, kemudian
kecepatan burung bertambah menjadi 54 km/jam dalam waktu 5 detik. Hitunglah percepatan dan jarak
yang ditempuh burung selama 5 detik sejak mulai bergerak !

Pembahasan :

sKekcoenp.Pataernc aewpatla bnu brunur gn agd:alah v  = 10 m/s, kecepatan akhir burung adalah v =15 m/s, waktu
0 t

tempuh t= 5 2
  20 10
a vt    v0    2m  
t  s 5
Jarak yang ditempuh oleh burung:
 s  0v t   1
at 2 1 0 2 5  1  2
2  
 5  75m
2

Contoh 3.6 :
Sebuah mobil mula-mula bergerak dengan kecepatan 15 m/s sepanjang lintasan lurus. Sopir kemudian
mengurangi kecepatan mobil dengan perlambatan konstan 2,5 m/s 2 . Hitung jarak yang ditempuh oleh
mobil selama mengalami perlambatan hingga akhirnya berhenti!

Pembahasan :
Kecepatan awal mobil adalah v 0  = 15 m/s dan kecepatan akhir mobil adalah vt =0 m/s. Perlambatan mobil
adalah a = -2,5 m/s 2 . Kita gunakan rumus v 2  v 2   2as
0 , jarak yang ditempuh oleh mobil adalah
2 2
   02 152  45m
 s  v  v0  
2a   2 5,
2

Contoh 3.7 :
Mobil A dan mobil B bergerak dengan kelajuan seperti ditunjukkan pada grafik ini. Pada t = 0 , mobil A
dan mobil B mula-mula pada posisi sama. Hitung jarak yang ditempuh mobil B sesaat berhasil menyusul
mobil A!

9
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

v (m/s)

mobil A
8

mobil B
4

0 t (s)
2
Pembahasan :
Mobil A bergerak dengan kecepatan konstan v A   8m s , sedangkan mobil B bergerak dengan percepatan
konstan a B  . Percepatan mobil B:

a B v  v0, B    8  4
 t,B  2m
Anggap2 kedua mobil mulai bergerak dari titik asal  x = 0.
s  
Jarak tempuh mobil A :
t  2
 x  A  v A t  4t   
Jarak tempuh mobil B:
 x B v t 0,B 1  a 2 t  2  4t  t 2  
Mobil
B B berhas il menyusul mobil A saat jarak tempuh kedua mobil sama.
 x  A  x B  
8t  4t  t 2  
Mobil A berhasil menyusul mobil B dalam waktu t=4 sekon dan jarak tempuh mobil adalah B
 x B   32m  

Metode integral menurunkan persamaan GLBB :

Percepatan benda :

av  dv   t 
dt 
 dv   a0   
v0
dt  
v  v 0  at   

Kecepatan benda setiap waktu :

v  v0 
 Kecepat
at  partikel :
an
dx
v
dt   
 x
t 
dx  0 vdt 
 x0
 
 x  x0  
v 0 at 
t 
dt  
0

10
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

Posisi partikel setiap waktu :

 x  x  v t  1 at 2  
0 0  2

Percepatan benda sebagai fungsi posisi :

dv
av
v
dx   x
vdv a dx
v0 x0  
1
2
v 2
v 02  a x  0x  
1
2

Kecepatan  partikel
 sebagai fungsi posisi:
 
v 2  v 022a
 x x 0
 

3.4  G e r a k jatuh bebas

Setiap benda jatuh di dekat permukaan bumi dipercepat ke bawah karena pengaruh gravitasi bumi.
Aristoteles (384-322 BC) menyatakan bahwa benda yang lebih berat jatuh lebih cepat. Pernyataan
Aristoteles berdasarkan kesimpulan logika. Galileo Galilei (1642-1564) pertama kali berhasil menjelaskan
gerak jatuh bebas dengan melakukan melakukan eksperimen benda jatuh bebas dari menara Pisa. Dia

menyatakan bahwa: (1) semua benda jatuh bebas di dekat permukaan Bumi, berat atau ringan, jatuh
menempuh jarak yang sama dalam waktu yang sama, (2) jarak tempuh benda sebanding dengan kuadrat
waktu. Percepatan gravitasi di dekat permukaan bumi adalah g = 9,8 m/s 2 .
Perhatikan bahwa percepatan gravitasi untuk gerak jatuh bebas bernilai negatif dengan mengangap
arah vertikal ke atas sebagai sumbu y positif. Percepatan benda jatuh bebas adalah a = -g . Misalkan sebuah
 benda dilemparkan vertikal ke atas dari posis i mula-mula  y0  dan kecepatan awal v0   seperti pada
Gambar 3.6a .

Tinggi
maksimum
v0   

0 

v0

a
h  a  g  


g 
 


 y  

 y  
 y0

Tanah Tanah

Gambar 3.6a : Gerak vertikal ke atas Gb r.3.6b : Benda jatuh bebas

11
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

Persama n kinematika benda dilemparkan vertikal ke atas diperoleh dar i pers.(3.10), pers.(3.13) dan
 pers.(3.15) dengan mensubstitusikan a g   , kita peroleh,  

v  v0  (3.17)
 
gt  y  v t  1 gt  2
 y (3.18)
0 0  2  
2 2
  (3.19) 
v  v 2g y 

0  y 0
 kita perhatikan kasus benda dilemparkan dari permukaan bumi, y0 = 0 . Kecepatan benda
Sekarang,  
akan berkurang 9,8 m/s setiap detik saat bergerak vertikal ke atas. Benda akan berhenti saat mecapai
titik tertinggi lintasannya dan kemudian jatuh bebas. Pada titik tertinggi v  0 dalam waktu tmaks .
0  v0  gtm  aks  
Waktu tempuh benda mencapai titik tertinggi lintasannya: 
t maks v (3.20)
  g0
 
  maksimum benda dari permukaan tanah :
Ketinggian
v 0
2
v0
 ym aks  v0 maks 2 gtmaks  0v  g   v0
2
t 1 2   1 (3.21)
 g 2  g 2g   

Benda kembali ke tanah ketika y = 0 dalam waktu tt o t   sejak dilemparkan.

 y  v t 21 gt 2   0
0 tot   tot  
 
(3.22)
tt ot  2v
 g
0
 2t maks  
 
 
Dari per.(3.22), kita dapat menyimpulkan bahwa lama benda bergerak naik sama dengan turun. Kecepatan
 benda saat kembali ke posisi semula:
 2v0
vturu n  v0  gt tot   v0 
 g  (3.23)  
  g 
Tanda
 v0   kecepatan negatif menunjukkan benda bergerak turun. Kelajuan awal benda sama dengan kelajuan
akhir benda kembali ke titik awal pelemparan.


 y(t) vy (t) a y(t)

 H 
  t  t
v0 x  
t maks   -g 
t 
tm  2t maks
aks
Gbr. 3.7 : Kurva y(t),v(t) dan a(t) untuk benda dilemparkan vertikal ke atas

Kita perhatikan kasus benda jatuh bebas dari ketinggian y 0 dari atas permukaan tanah, seperti
Gbr.3.6b. Percepatan benda adalah a  g   9, 8m s 2 . Benda jatuh bebas memiliki kecepatan awal sama
dengan nol, v 0   = 0. Persama n posisi benda jatuh bebas diperoleh dari pers.(3.10), pers.(3.13) dan

 pers.(3.15) dengan mensubstitusikan y0 =0, a  g   dan v 0  = 0, kita peroleh

v  gt  (3.24)
 
12
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

 y  h 21 g (3.25)
 
t  2
(3.26)
v2  2g  y   
Bola menumbuk permukaan tanah ketika y = 0. Waktu yang diperlukan bola tiba di tanah adalah :
h
0  h 21 g t turun
2
 
2h
t turun (3.27)
  g 
Kecepatan b enda saat mecapai tanah adalah :
(3.28)
vturu n  gt tur un  2gh
 

Contoh 3.8 :
Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dengan kecepatan 30 m/s dari permukaan tanah. Abaikan
gesekan udara dan percepatan gravitasi bumi g =10 m/s 2 . Hitung :
a.  lama bola bergerak naik.
 b.  ketinggian maksimum bola!
c.  lama bola bergerak turun.
d.  kecepatan bola membentur
tanah.

Pembahasan :
a.  Waktu yang diperlukan benda
untukt naik   g v0 10
bergerak   30
naik mencapai

titik 3s
tertinggi
  adalah
 b.  Keting ian maksimum bola adalah
30 2
h m aks  v 0     45m
2

2 g   2   
10
c.  Waktu yang diperlukan benda untuk turun adalah

t turun  2h maks    2  45

 g   
3s
Kita dapat  menyimpulkan
10 bahwa jika tidak ada gesekan udara, maka lama bola bergerak naik dan
turun sama.
d.  Kecepatan bola saat membentur tanah adalah
vt  2 g h  2  10  45 
30 m s  
maks

Jika tidak ada gesekan udara maka k ecepatan awal bola dan kecepatan akhir bola saat

kembali ke titik pelemparan sama besar.

Contoh 3.9 :
Bola A jatuh bebas dari puncak sebuah gedung ketinggiannya H , bersamaan dengan bola B dilemparkan
vertikal ke atas dari permukaan tanah. Ketika bola A dan bola B bertumbukan, kelajuan bola A sama
dengan dua kali kelajuan bola B. Tentukan ketinggian h  titik ter jadinya tumbukan di atas permukaan
tanah.

13
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

Pembahasan :
Mari kita ambil permukaan tanah sebagai titik asal koordinat, y = 0.
Posisi dan kecepatan bola A :
 y A H  1 gt 
2 2 

v  A  gt  
Posisi dan kecepatan bola B:
 y  B  v 0 t   1 gt 2  
2

v B  v 0  gt   
Ketika terjadi tumbukan,
 y  A  y B  dan v  A  2v B  
Tumbukan terjadi dalam waktu tc. Kita peroleh hubungan :
 H  21 gt 2c v t0 c 1 gt 
2
2
 c
 H  v 0t 
 cd an
 gt c  2

v 0  gt c
0 2
 
3 gt c
Dari hubungan  H  v0  t c  dan v 0   2 , kita peroleh :
v  
c 
t 3 gt  2 H 
c  
 
3 g 
Keting ian titik terjadinya tumbukan :
h  H  1 gt 2  H  1 cH  2 H   
2 3 3

3.5 Ge r a k relatif satu dimensi

Posisi sebuah benda selalu diukur relatif terhadap sebuah kerangka acuan. Kerangka acuan yang

 biasa digunakan adalah bumi atau tanah. Sebuah objek O bergerak bergerak relatif terhadap kerangka
acuan A dan kerangka acuan B (lihat Gambar 3.8). Posisi objek relatif terhadap kerangka acuan A adalah

 xO, A . Pengamat A berada dalam kerangka acuan A, sedangkan pengamat B berada dalam kerangka

acauan B. Posisi objek relatif terhadap pengamat B adalah  xO, , B . Posisi pengamat B relatif terhadap

 pengamat A adalah  x B , A . Persamaan posisi objek: (3.29)

 xO ,A  x B, A

 xO,B  

14
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

A B O

 
 x B , A  xO,,B

 xO , A
 x
 x  
 
Gambar 3.8 : Gerak objek O dia mati oleh pengamat A dan pengamat B

Persama n kecepatan objek diperoleh dari turunan pertama posisi terhadap waktu.

dxO , A dx B , A
 
dxO,B (3.30)
vO ,A  v B, A  
dt
Kecepatan dt relatif
objek dt terhadap
  pengamat A adalah vO , A . Kecepatan pengamat B relatif terhadap
 vO,B  
 pengamat A adalah v B , A . Kecepatan objek relatif terhadap pengamat B adalah
(3.31)
vO ,B  vO ,A  v B, A  
Percepatan objek diperoleh dari turunan pertama pers.(3.30) terhadap waktu.
dvO , A  dv B , A 
dvO,B  
dt dt dt   (3.32)
aO ,A  a B, A
Percepatan objek relatif terhadap pengamat A adalah aO , A . Percepatan pengamat B relatif terhadap
 aO,B
  A adalah a
 pengamat  B ,, A . Percepatan objek relatif terhadap pengamat B adalah

(3.33)
aO ,B aO , A 
Perhatikan contoh kasus gerak sebuah benda diamati oleh pengamat A berapada di tanah(bumi) dan
aB,A  
 pengamat B berada dalam pesawat. Kita dapat menuliskan:
(3.34)
vb enda, pe sawat  vb enda, tan ah  v pesawat,  tanah

 
 aatu disingkat menjadi
(3.35)
vb enda, pesawat  vb enda  v pesawat   
dengan asumsi bahwa v bend a  dan v pesawat  diukur dalam kerangka acuan yang sama.
Contoh 3.10 :
Mobil A dan B bergerak beriringan, mobil B berada di belakang mobil A. Kecepatan mobil A relatif
terhadap tanah adalah 30 m/s dan kecepatan mobil A relatif terhadap mobil B adalah 10 m/s. Hitung
kecepatan mobil B relatif terhadap tanah.

Pembahasan :
Kecepatan mobil A relatif terhadap tanah adalah v  A T, a na h  3 0 m s . Kecepatan mobil A relatif terhadap

mobil B adalah v A , B   10 m s . Kecepatan mobil B relatif terhadap tanah adalah v B ,Tanah .
 

v  A , B  v A , Tan ah
 v B , Tan ah  
15
1 0 m s  30 m s  v B , Ta n a h  
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

Jadi, kecepatan mobil B relatif terhadap tanah adalah v B ,Ta na h  10 m s .

Contoh 3.11 :
Seoarang anak mencapai lantai atas dari lantai bawah menggunakan sebuah eskalator. Jika dia berjalan di
atas sebuah tangga eskalator yang sedang bergerak , maka dia memerlukan waktu 1 menit . Jika dia hanya
 berdiri di atas tangga eskalator, maka dia membutuhkan waktu 2 menit. Jika tangga eskalator diam, berapa

lama anak tersebut berjalan? Asumsikan kecepatan gerak eskalator dan anak itu selalu tetap.

Pembahasan :
Misalkan panjang eskalator yang menghubungkan lantai bawah dan lantai atas adalah  L. Kecepatan
eskalator relatif terhadap lantai bawah adalah v e b , sedangkan kecepatan orang relatif terhadap eskalator
adalah voe . Kita akan meninjau gerak sistem ini dalam tiga kasus.
 Kasus pertama, eskalator bergerak dan anak bergerak membutuhkan waktu t 1 = 1 menit = 60 detik.
 v oe  v eb L 
60vt oe 60v eb  L  
  1

 Kasus kedua, eskalator bergerak dan anak diam (v o e =0) di atas di atas eskalator membutuhkan waktu t 1 = 2
menit = 120 detik.

 v oe  v eb t  2 L 

120v eb L 
 Kasus ketiga, eskalator diam (voe =0) dan anak berjalan di atas eskalator membutuhkan waktu t 3 .

 v oe  v eb t  2 L 

v oe t 3  L  
Dari kasus pertama dan kedua kita peroleh bahwa v o e = veb , sehingga  L 120voe . Lama waktu t3  adalah 120
detik atau 2 menit.

3.6 Ge r a k lurus tidak beraturan

Gerak lurus tidak beraturan merupakan gerak benda dengan percepatan tidak konstan. Perpindahan

atau kecepatan benda tidak sama tiap selang waktu yang sama. Percepatan benda dapat bergantung
waktu, kecepatan atau posisi. Secara umum, luas kurva percepatan benda a(t) dalam selang waktu t 1
 sampai t 2 
(3.36)
v  menunjukkan
v0 
t 1  a t  perubahan kecepatan benda.
Luas
dt    kurva kecepatan
t 2 benda v(t) dalam selang waktu t1  sampai t2   menunjukkan perubahan posisi benda.
t 2
(3.37)
 x  x
  v
0  t  dt   
t  
1

Percepatan diperoleh dari posisi dan kecepatan menggunakan metode turunan, sedangkan posisi dan
kecepatan diperoleh dari percepatan menggunakan metode integra l.

C o n t o h 3.12 : Percepatan benda berg antung waktu, a(t).

16
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

Sebuah benda mula-mula diam di posisi titik asal. Partikel bergerak sepanjang sumbu x dengan perubahan
 percepatannya konstan diberikan oleh persamaan a  6t   m s 2 . Tentukan posisi dan kecepatan benda
setiap waktu.

Pembahasan :
Bentuk turunan percepatan benda :
a  d v  6t   
dt 
dv  6t dt
  
Kecepatan
dv  6t  
diperoleh
vdt  3t 2  c
dengan
mengintegra
Kecepatan
lkan v  v0   0   saat t=0, maka c = 0. Kecepatan partikel sebagai fungsi
masing-
waktu:
masing
v  t   3t  2 m s
ruas :  
Bentuk turunan kecepatan benda :
dx
v  3t 2  
 dxdt   3t 
 xdt  t 3  c
2

Posisi x  x0   0  saat t=0 , maka c

  0 . Posisi partikel setiap waktu adalah
 x  t   t    3
m s
 

Contoh 3.13 : Percepatan benda bergantung kecepatan, a(v).

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu  x  memiliki kecepatan awal v 0   di titik asal ( x=0) . Partikel
kemudian mengalami percepatan sebagai fungsi percepatan diberikan oleh persamaan a= - kv 2  dimana k adaalh
suatu konstanta positif. Tentukan persamaan percepatan, kecepatan dan posisi partikel sebagai fungsi
waktu.

Pembahasan :
Bentuk turunan percepatan:
dv
 kv 2  
dt 
dv 2
v
1 dt  
  t  c  
v

Keepatan v = v0  saat t=0, maka c 

  1v0 .

1v
 t v10
Kecepatan  benda sebagai fungsi waktu :

17
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

v0
v   t  
1  v0
  t 
Posisi partikel setiap waktu diperoleh dengan mengintegralkan v   t  terhadap waktu.
v0 
dx    dt    
 1 v0t 
 dapat menyelesaikan integral di atas menggunakan metode integral substitusi. Misalkan,
Kita u  1  v0

t  ,
maka du  v0 dt  . Karena itu,
du
dx    
u

 x  lnu  c  ln 1  v0 t   c  

    ln
Posisi  x = 0 saat t = 0, maka c  1   0 . Posisi benda sebagai fungsi waktu:

 x t   ln 1 v0 t  
dv d  v0 02
Percepatan
a partikel dalam fungsiv waktu  :
  2
dt dt  1  0
v    1 0 v
 t   
    : Percepatan 
Contoht 3.14
t
benda bergantung posisi, a(x).
Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu x dengan percepatan sebagai fungsi posisi diberikan oleh
 persama n a = - ω 2  x, dimana ω  adalah konstanta positif. Benda mula-mula memiliki kecepatan awal v  =
0

0 dan posisi mula-mula x 0   = A . Tentukan persamaan posisi x(t) partikel ini.

Pembahasan:
Persama n percepatan partikel :
dv
av     2 x  
dx

2

v 2  1     xxdx c   
vdv
1
2 2
2
Kecepatan v
2
0 =0 saat posisi x = A, maka c   1    A . 2Kecepatan partikel dalam fungsi posisi adalah :
2

v
x  A2   
 
  
Kecepatan x2
benda dalam bentuk turunan :
dx
v   A 2  x2  
dt 
dx
 
 A 
2
dt   
 x t 
x 2
 
  

 Adx x dt 
2 2
 
 A 0
dx
  1  x 
Gunakan hasil integral bahwa   A2  x 2 sin 
  A .
Jadi,
18
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

     x 
sin  x1       t   
  A 
 A  x     
sin 1     t 

  A   2

Persamaan posisi partikel sebagai fungsi waktu adalah
 x  A sin        

2
 
  t  

3.7 Gerak saling bergantung

Gerak benda biasanya saling bergantung dengan benda lain ya. Gerak saling bergantung diselesaikan
menggunakan fungsi kendala (constrain function). Fungsi kendala menyatakan hubungan posisi benda
dengan benda lainnya selama proses gerak dalam sistem. Kita akan mendapatkan hubungan kecepatan dan
 percepatan masing-masing benda dari fungsi kendala dengan menemukan turunan fungsi kendala terhadap
waktu. Kita memerlukan kemampuan geometri untuk menggambarkan diagram perpindahan masing-
masing benda. Fungsi kendala diperoleh dari geometri gerak benda atau tali yang membatasi gerak benda.
Fungsi kendala sering diperlukan dalam menyelesaikan dinamika gerak benda.
Dua buah benda bermassa m 1   dan m 2   disusun menggunakan tali ringan dan dua katrol licin, lihat
Gambar 3.9. Katrol pertama posisinya selalu tetap, sedangkan katrol kedua dapat bergerak vertikal. Ujung
tali diikatkan pada benda m 1  dan atap. Sekarang kita akan mencari hubungan kecepatan dan
percepatan antara benda m 1   dan m 2 . Misalkan panjang tali panjang adalah  l . Jari-jari silinder
pertama dan kedua
 berturut-turut adalah R1   dan R2  . Posisi benda m 1   dari pusat katrol pertama adalah y 1   dan posisi katrol
kedua dari atap adalah y 2 . Kecepatan dan percepatan katrol kedua dan benda m 2  selalu tetap. Jarak antara
 pusat katrol pertama dan atap adalah c.

c 
 y 2
 y 1

m1

m2

Gambar 3.9 :Koordinat fungsi kendala sistem benda-katrol

l
Fungsi
y12 kendala
 R  sistem
1 2
y  inicadalah
1
   R

Panjang tali l selalu tetap sehingga turunan l terhadap waktu sama dengan nol.
 y  
dl  dy1 2 dy2   
dt  dt  0 dt  
Kita peroleh hubungan kecepatan m 1 dan m 2  adalah v 1  = -2 v 2  . Tanda negatif menunjukkan arah gerak m1
 berlawanan dengan m 2  . Hubungan perepatan m 1 dan m 2  :
d 2y d 2y dv1 dv 2
1
 2
 
dt 2 2 dt 2   dt
2 dt   atau a1  2a2
.
19
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

3.8 Soal dan pe mbahasan

1.   Persamaan posisi sebuah partikel ditunjukkan oleh

 x  t   
At 2  B t 

  dm
C i ana xd alm meter dan t dalam sekon.
a.  Tentukanlah
satuan dari koefisien A, B dan C!
Tentukan kecepatan partikel, v(t), dalam fungsi waktu!
 b.
c.   Tentukan percepatan partikel, a(t), dalam fungsi waktu!
d.  Saat t =0 posisi x = 6 m, kecepatan v = - 5 m/s dan percepatan a = 2 m/s 2 .
Hitung nilai A, B dan C!

2.   Sebuah benda bergerak dengan persamaan posisi diberikan oleh

 x( t )  5  12t 2 
2t 3  dm
i ana x dam
l meter dan t dalam sekon.
a.  Tentukan posisi
benda saat t = 1 detik.
 b.  Berapa kecepatan
benda saat t = 2 detik?
c.  Hitung jarak
tempuh benda sampai sesaat berbalik arah.
d.  Kapan
percepatan benda nol?

3.   Kurva di bawah ini menunjukkan posisi partikel mulai

bergerak dari keadaan diam pada t = 0,
 bergerak sepanjang sumbu x. Antara t = 0 dan t = 8 s, persamaan posisi partikel dinyatakan oleh x =
t2 , dimana x dalam meter dan t dalam sekon.
a.  Berapa jarak total yang ditempuh oleh partikel setelah bergerak 12 s? 
 b.  Berapa kecepatan partikel ketika t = 4 s, t = 10 s dan t = 16s? c. 
Gambarkan grafik kecepatan partikel terhadap waktu! 
x ( m)

100

80

60 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 t ( s)
40

4.  Sebuah partikel bergerak

20 sepanjang sumbu x menurut persamaan

 x  A t  Bt 2  
dimana A dan B adalah konstanta numerik.
a.  Tentukan dimensi konstanta A dan B!
 b.  Hitung ( dalam A dan B) kecepatan rata-rata partikel setelah 3 detik bergerak ( t=0 sampai t= 3s)!
c.  Hitung kecepatan sesaat partikel saat t = 3 s!
d.  Sekarang gunakan nilai konstanta A = 50 m/s dan B = 10 m/s 2   . Gambarkan grafik v(t) untuk gerak
benda 3 detik pertama!
20
 Pembina Olimpiade Fisika
davitsipayung.com

5.   Sebuah benda titik mulai bergerak sepanjang garis lurus dengan percepatan konstan a. Pada waktu t 1 setelah
benda bergerak, arah percepatan mobil diubah , nilainya tetap sama. Hitung waktu T dari mulai
 bergerak sampai partikel kembali ke posisi semula.

6.   Dua mobil mulai bergerak bersama-sama saling mendekati sepanjang lintasan lurus. Mobil 1 mulai
 bergerak dari titik A dengan kecepatan v1; Mobil 2 mulai bergerak dari titik B dengan kecepatan v2 .
Percepatan mobil 1 adalah a 1 ; percepatannya menuju titik A. Percepatan mobil 2 adalah a 2 ;
 percepatannya menuju titik B. Dalam proses geraknya,mobil A dan mobil B bertemu dua kali; se lang
waktu pertemuan mereka adalah T  . Hitung jarak antara A dan B!

7.   Sebuah benda dilemparkan secara vertikal ke atas dengan kelajuan 30 m/s, dan ketinggiannya  s  m
setelah t s diberikan oleh h  30 t  5t 2 .
a.  Tentukan kecepatan sesaat benda setiap waktu t .
 b.  Kapan benda mencapai titik tertingginya?
c.  Hitung ketinggian maksimum benda!

21