School Work > Homework, kalkulus">
Nilai Ekstrim Bersyarat
Nilai Ekstrim Bersyarat
Nilai Ekstrim Bersyarat
2D Absen 16
08.5680
2010
Nilai Ekstrim Bersyarat
Perlu diperhatikan bahwa kedua orde pertama turunan parsial harus bernilai
nol pada (a,b). Misalnya hanya satu dari orde pertama turunan parsial bernilai nol
pada titik tersebut, maka titik tersebut bukan titik stasioner, sehingga kita dapat
melihat sebuah fakta di sini, yaitu
Perhatikan pula bahwa hanya dengan fakta ini belum dapat dikatakan semua
titik stasioner adalah nilai ekstrim relatif. Hanya dapat dikatakan bahwa nilsi ekstrim
relatif akan menjadi titik kritis dari sebuah fungsi.
Titik kritis yang sedemikian itu disebut titik pelana
Misalkan f adalah fungsi dari dua peubah bebas dengan turunan persial tingkst
dua yang kontinyu dalam lingkaran dengan pusat (x0y0) dimana
| ( )|
( )
| | | |
| |
( )
Jadi, setelah mendapatkan titik kritis pada suatu fungsi, hal yang harus kita
lakukan selanjutnya adalah menguji apakah titik tersebut nilai ekstrim relatif atau
tidak. Untuk mengetahuinya kita dapat menggunakan
Misalkan (a,b) adalah titik kritis f(x,y) dan turunan
parsial kedua kontinyu di beberapa titik yang
mengandung (a,b) kemudian
D = D( a b) = fxx( a b) fyy( a b) - [ f a b]2
Sehingga
• Jika D>0 dan fxx(a,b)>0 maka (a,b) adalah titik
minimum relative
• Jika D>0 dan fxx<0 maka (a,b) adalah relative
maksimum
• Jika D<0 maka (a,b) adalah titik pelana
• Jika D= 0 belum dapat dipastikan maksimum
relative, minimum relative, atau pelana, tekhnik
lain dibutuhkan untuk mengklasifikasi
Perhatikan bahwa jika D> 0 maka Fxx dan fyy keduanya memiliki tanda yang
sama sehingga dapat saling menggantikan.
Dengan teorema yang sama, jika f suatu fungsi dengan tiga peubah bebas,
memiliki turunan parsial tingkat dua yang kontinyu dalam lingkaran berpusat
(x0,y0,z0) dimana
| |
( )
| |
( )
Sehingga
Misalkan (a,b,c) adalah titik kritis f(x,y,z) dan turunan parsial kedua
kontinyu di beberapa titik yang mengandung (a,b) kemudian,
terdapat D,
• Jika D>0 dan fxx(a,b,c)>0 maka (a,b,c) adalah titik minimum
relative
• Jika D>0 dan fxx<0 maka (a,b,c) adalah relative maksimum
• Jika D<0 maka (a,b,c) adalah titik pelana
• Jika D= 0 belum dapat dipastikan maksimum relative, minimum
relative, atau pelana, tekhnik lain dibutuhkan untuk
mengklasifikasi
Contoh soal
Tentukan nilai ekstrim, jika ada, untuk fungsi F yang didefinisikan oleh F(x,y)= 3x 3
+y2-9x+4y
Penyelesaian
Karena Fx(x,y)= 9x2 -9 dan Fy(x,y)= 2y+4 maka titik- titik kritis diperoleh
dengan memecahkan masalah simultan Fx(x,y)=Fy(x,y)=0, adalah (1,-2) dan (-1,-2)
Sekarang Fxx(x,y)= 18x, Fyy(x,y)=2, dan Fxy=0, Jadi pada titik kritis (1.-2),
D= Fxx(1,-2) . Fyy(1,-2)- F2xy(1,-2)= 18(2)-0= 36 yang berarti D>0. Tambahan pula
Fxx(1,-2)=18, >0 sehingga F(1,-2) adalah nilai minimum lokaldari F
Definisi
• Sebuah daerah di dikatakan tertutup bila garis
batas daerah tersebut termasuk dalam daerah
tersebut. Suatu daerah dikatakan terbuka jika garis
batasnya tidak dimasukkan dalam daerah tersebut.
• Sebuah daerah dikatakan terbatas bila daerah
tersebut terdefinisikan dalam suatu lempeng, atau
dengan kata lain memiliki batas.
Perlu diperhatikan pula bahwa teorema ini tidak menjelaskan dimana titik
maksimum maupun minimum global berada, hanya menjelaskan bahwa titik tersebut
ada. Titik ini bias terdapat di dalam maupun batas dari daerah tersebut.
Untuk mencari nilai maksimum dan minimum global hampir sama dengan
mencari nilai ekstrim global yang telah dipelajari dalam Pengantar Matematika yang
lalu, yaitu
Mencari nilai ekstrim global
• Mencari semua titik kritis dari fungsi dalam daerah
tersebut dan mencari nilai fungsi dalam tiap titik.
• Mencari semua nilai fungsi dalam batas, dengan
melakukan pendekatan matematis yang telah
dipelajari dalam Pengantar Matematika yang lalu
• Nilai yang terkecil dan terbesar dari kedua langkah
di atas adalah minimum global dan maksimum
global dari fungsi tersebut
Perbedaan dengan apa yang dibahas kali ini adalah bahwa pada batas yang
dipakai pada Pengantar Matematika yang lalu hanya berupa 2 poin, menyebabkan
tidak terlalu banyak hal yang perlu dilakukan. Pada bagian ini, perlu dilakukan lebih
banyak pendekatan, terutama pada poin ke-2
Nilai ekstrim yang telah dijelaskan sebelum ini, pada prakteknya, hampir-
hampir tidak ada di dunia nyata. Masalah di berbagai aspek kehidupan, mayoritas
tidak untuk mencari nilai optimum atau minimum dari sesuatu fungsi, tetapi untuk
mencapai hasil yang sebaik- baiknya dari seluruh kendala yang ada. Misalnya saja,
bagaimana memproduksi suatu barang dengan kualitas atau kuantitas tertentu dengan
keadaan modal yang terbatas, atau bagaimana membuat sesuatu dengan jumlah bahan
tertentu.
Misalkan untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari fungsi f(x, y, z),
dengan kendala g (x, y, z), dengan asumsi kedua fungsi ini memiliki turunan parsial
pertama yang kontinyu. Sekarang, misalkan f memiliki nilai ekstrim (x0,y0,z0) dan
terbentang pada permukaan S didefinisikan sebagai g(x,y,z)=0. C sebagai kurva yang
terbentang pada permukaan dan melalui (x0, y0, z0). Asumsikan C diketahui dari
terminal point dengan fungsi bernilai vector r(t) = (x(t)z(t)y(t)) dan r(t0)= (x0, y0, z0).
Mendefinisikan fungsi satu peubah t
ingat f(x,y,z)memiliki nilai ekstrem pada (x0,y0,z0), maka h(t) pasti memiliki
nilai ekstrem pada t0, sehingga h’(t0)=0
= f(x0,y0,z0).r’(t0)
Teorema
•Misalkan f(x,y,z) dan g(x,y,z) adalah fungsi
dengan turunan parsial pertama kontinyu
dang(x,y,z)≠ 0 di atas permukaan g(x,y,z)= 0,
misalkan juga
•Nilai minimum f(x,y,z)terhadap kendala
g(x,y,z)=0 terjadi pada (x0 y0 z0) atau
•Nilai maksimum dari f(x,y,z)terhadap kendala
g(x,y,z)=0 terjadi pada (x0 y0 z0)
•Maka f(x,y,z)= λg(x,y,z), untuk beberapa
konstanta λ(yang kemudian disebut faktor
pengali lagrange)
Perhatikan bahwa teorema ini menyatakan f(x,y,z) punya titiik ekstrim di(x0,y0,z0)
pada g(x,y,z)=0, untuk (x,y,z) =(x0,y0,z0)
Dan
g(x,y,z)=0,
Perlu diperhatikan bahwa metode ini hanya menghasilkan calon untuk nilai ekstrim.
Bersamaan dengan mencari solusi dari empat persamaan di atas, dapat dilihat di
grafik. Metode pengali lagrange juga dapat digunakan pada masalah fungsi dua
variabel.
Ingat Fakta
• Gradient vektorf(x0y0)
orthogonal(perpendicular) pada f(x,y)
=k pada titik (x0y0). Sehubungan
dengan itu, f(x0y0) orthogonal pada
bidang f(x,y)=k pada tit ik (x0, y0, )
• Untuk f(x,y)=x2+y2, didapat f(x,y)= {2x, 2y} dan untuk g(x, y)= 2x + y
– 3, g(x,y)={2,1}. Persamaan vector f(x,y)= λg(x,y), menjadi {2x,
2y}=λ{2,1}, yang berarti 2x= 2λ, serta 2y=λ
Teorema yang lalu juga tidak menjelaskan tentang fungsi dengan suatu
pertidaksamaan sebagai kendalanya. Untuk mengerti bagaimana penyelesaian kasus
ini, ingat kembali cara mencari nilai maksimum global untuk daerah yang tertutup
dan terbatas. Ditemukan titik ekstrim dari interior daerah dan membandingkan nilai
dari fungsi di titik ekstrim dengan nilai fungsi maksimum dan minimum di batas
daerah. Untuk mencari nilai ekstrim dari f(x,y) dengan kendala g(x,y)≤c, pertama
dicari nilai ekstrim f(x,y) yang memenuhi kendala, kemudian mencari nilai ekstrim
fungsi pada batas g(x,y)=c(garis kendala) dan membandingkannya pada nilai fungsi
( ) ( ) ( )
Sehingga dan
Dipakai , sehingga
x=16, y= 8, z=12
( )
( )
Kasus 2 kendala
Jawab:
f(x,y,z)=λg(x,y,z)+µh(x,y,z)
2x=λ+2µx…(a)
2y=λ+2µy... (b)
2z=λ- µ …(c)
x+y+z – 12 = 0…(d)
dari (a) didapat λ= 2x(1-µ), sedangkan dari (b) didapat λ=2y(1-µ), sehingga
2x(1-µ)= 2y(1-µ)
Dari persamaan di atas didapat µ=1, dan x=y. Namun, µ=1 dan λ=0,
didapat dari (c) bahwa z= - , dan berlawanan dengan (e). Satu- satunya
kemungkinan mendapatkan x=y adalah dari (e) yaitu z=2x2 dasi substitusi
terhadap (d) didapat
f(2,2,8) sebagai titik terdekat dari asal, sedagkan f(-3, -3, 18) adalah titik
terjauh
1. Tentukan semua titik kritis dan tunjukkan apakah itu maksimum lokal, minimum
lokal, atau titik pelana bagi f(x,y)= x3+y3 - 6xy
2. Tentukan nilai maksimum lokal dan minimum global dari f pada S dan tunjukkan
dimana mereka terjadi bagi f(x,y)= 3x + 4y dan S= {(x,y): 0≤x≤1, -1≤y≤1}
Latihan Soal: Faktor pengali lagrange
Sumber:
Purcel
Swokowsky