MAKALAH

“Dualitas Dalam Linear Programming dan Analisis Sensitivitas”

Dosen Pengampu : Dr. Nerli Khairani, M.Si

Oleh:

Kelompok 5 (Lima)
1. Kristina Ester Situmorang (4193230021)
2. Khanna Sadilla (4193530010)

PSM A 2019

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2022
 KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan rasa syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat-Nya
kami dapat menyelesaikan tugas mata kuliah Operasi Riset ini yaitu sebuah makalah yang
berisi tentang Dualitas dan Analisis Sensitivitas dalam Linear Programming. Kami
menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak lain berkat bantuan, dorongan
dan bimbingan dari ibu Dr. Nerli Khairani, M.Si, sehingga kendala-kendala yang kami
hadapi bisa teratasi. Oleh karena itu kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak
terutama kepada Dosen pengampu kami yang telah memberikan tugas dan petunjuk
kepada kami sehingga kami termotivasi dalam menyelesaikan tugas makalah ini
Kami mohon maaf jika dalam penyajian dan penyampaian makalah ini, banyak hal-hal
yang kurang berkenan atau kurang bermutu atau berkualitas karena keterbatasan sarana buku-
buku yang bisa mendukung terciptanya makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat
bagi semua orang. Demi kesempurnaan makalah ini, kami selalu menerima saran-saran yang
bersifat membangun dan membantu perbaikan-perbaikan dalam makalah ini.

Medan, 11 April 2022

Kelompok 5
 DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...................................................................................................2

DAFTAR ISI.................................................................................................................3

BAB I PENDAHULUAN.............................................................................................4

1.1 Latar Belakang................................................................................................4

1.2 Rumusan Masalah...........................................................................................4

1.3 Tujuan.............................................................................................................5

BAB II PEMBAHASAN...............................................................................................6

2.1 Dualitas...........................................................................................................6

2.2 Analisis Sensitivitas......................................................................................16

BAB III KESIMPULAN.............................................................................................22

DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................23

LAMPIRAN................................................................................................................24
 BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Program linier merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif
penggunaan terbaik atas mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai
suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya produksi.
Program linier berkaitan dengan penjelesan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu
model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala.
Program linier menggunakan model matematik untuk menjelaskan persoalan yang
dihadapinya. Program merupakan sinonim untuk perencanaan sedangkan sifat linier
memberi arti bahwa seluruh fungsi matematik dalam model ini merupakan fungsi yang
linier. Dengan demikian program linier adalah perencanaan aktivitas untuk memperoleh
suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik diantara
seluruh alternatif yang fisibel.
Dualitas adalah masalah program linier yang didefinisikan secara langsung dan
sistematik dari model asli atau model primal program linier. Dualitas didefinisikan untuk
macam-macam bentuk primal tergantung pada type batasan, tanda-tanda variabel dan
fungsi tujuan serta jenis keoptimalannya.
Analisis sensitivitas dirancang untuk mempelajari pengaruh perubahan dalam
parameter model program linier terhadap pemecahan optimumnya yang dipandang
sebagai bagian integral dari pemecahan yang diperluas dari setiap masalah program
linier. Tujuan akhir dari analisis ini adalah untuk memperoleh informasi tentang
pemecahan optimum yang baru yang dimungkinkan dengan perhitungan tambahan yang
minimal

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan dualitas dalam program linear?
2. Bagaimana penggunaan dualitas dalam program linear?
3. Apa yang dimaksud dengan analisis sesitivitas dalam program linear?
 4. Bagaimana penggunaan analisis sensitivitas dalam program linear?

1.3 Tujuan
1. Untuk mengetahui mengenai dualitas dalam program linear
2. Untuk mengetahui penggunaan dualitas dalam program linear
3. Untuk mengetahui mengenai analisis sensitivitas dalam program linear
4. Untuk mengetahui penggunaan analisis sensitivitas dalam program linear
 BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Dualitas
Setiap model program linier mempunyai dua bentuk yaitu primal dan dual. Bentuk asli
dari progam linier disebut Primal. Contoh model yang dibahas sebelum-sebelumnya adalah
model-model primal. Dual adalah bentuk alternatif model yang dikembangkan sepenuhnya dari
bentuk primal.
Sebagai dasar dualitas, semua permasalahan program linier harus disajikan dalam
bentuk standar/bentuk kanonik seperti pada penggunan metode simpleks. Hal ini disebabkan
semua perhitungan primal – dual diperoleh langsung dari tabel simpleks, sehingga sangat logis
untuk mendefinisikan masalah dual dengan cara konsisten dengan bentuk standar dari masalah
primal.
Ketentuan untuk menuliskan bentuk dual dari suatu program linier adalah :
a. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual.
b. Koefisien ruas kanan pada primal menjadi koefisien fungsi tujuan bagi dual.
c. Kasus maksimum pada primal menjadi kasus minimum pada dual atau sebaliknya.
d. Tanda pertidaksamaan batasan dibalik.
e. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris pada dual, sehingga
banyaknya batasan dalam dual sama dengan banyaknya variable primal.
f. Setiap baris pada primal berkorespondensi kolom pada dual, , sehingga ada satu
variable dual untuk setiap batasan primal.
g. Dual dari dual adalah primal.
Bentuk standar masalah primal adalah sebagai berikut.
n
Maksimalkan Z=∑ C j x j
j=1

n
Batasan-batasan ∑ aij x j ≤ bi untuk i=1,2 , … , m
j=1

x j ≥ 0 ,untuk j=1,2 , … , n
Pemecahan persoalan primal terlihat pada koefisien baris Z pada iterasi tabel optimal. Hal ini
dapat dilihat pada Tabel 1.
Variabe
Z x1 x2 … xn s1 s2 … sm q
l
Z 1 C 1−Z 1 C 2−Z 2 … C j−Z j y1 y2 … yi y0
Tabel 1. Koefisien Z pada nilai optimal
Kondisi optimal adalah apabila semua koefisien pada baris terakhir (C ¿ ¿ j−Z j )¿ tidak ada
yang bernilai positif, yakni :
C j−Z j ≤ 0 ,untuk j=1,2 , … , n
y i ≥0 , untuk j=1,2 , … ,n
Dengan menggantikan Z j , nilai-nilai y i dapat dicari
n
Minimalkan y 0 = ∑ bi y i
j=1

n
Batasan-batasan ∑ aij y i ≥C j untuk j=1,2 ,… , n
j=1

y i ≥0 , untuk i=1,2 , … , m
Bentuk di atas tersebut kemudian dikenal sebagai dual daripada masalah primal. Sebagai
konsekuensi nilai Z optimal (maksimum) pada masalah primal adalah y 0 minimum pada
masalah dual. Sehingga sekali lagi masalah dual ditulis sebagai berikut :
n
Fungsi Tujuan : Minimalkan y 0=∑ bi y i
j=1

Batasan-batasan :
n

∑ aij y i ≥C j untuk j=1,2 ,… , n

j=1

y i ≥0 , untuk i=1,2 , … , m
Berikut ini adalah tabel yang menyatakan hubungan antara primal dan dual untuk
mempermudah melihat hubungan diantaranya.
PRIMAL KOEFISIEN
NK
x1 x2 … xn
y1 a 11 a 12 … a 1n b1
D K
y2 a 21 a 22 … a 2n b2
U O
⋮ ………………………… …………… ⋮
A E
ym am1 am2 … a mn bm
L F
NK c1 c2 … cm
Tabel 2. Hubungan antara primal dan dual
 Tabel 2 menunjukkan hubungan simetris antara primal dan dual, di mana bagian
vertikal/tegak merupakan bentuk primal, sedangkan bagian mendatar merupakan bentuk
dualnya. Bila disimpulkan hubungan tersebut adalah sebagai berikut :
1. Parameter untuk batasan persoalan primal (dual) merupakan koefisien bagi persoalan
dual (primal).
2. Koefisien fungsi tujuan/obyektif persoalan primal (dual) adalah sisi kanan dari
persoalan dual (primal) atas.

Bentuk Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut:
Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal)
Koefisien fungsi tujuan Nilai kanan fungsi batasan
Maksimumkan Z (atau Y ) Minimumkan Y (atau Z )
Batasan i Variabel y i (atau x i)
Bentuk ≤ yi ≥ 0
Bentuk = y i ≥ dihilangkan
Variabel x j Batasan j
xj ≥ 0 Bentuk ≥
x j ≥ 0 dihilangkan Bentuk =
Tabel 4. Hubungan antara primal dan dual

Contoh 1. Model Dual Model Primal Maksimasi

Toko Mebel ‘Gaya’ memproduksi meja dan kursi yang dihitung atas dasar harian. Tiap meja
yang diproduksi menghasilkan keuntungan Rp 160, sedangkan tiap kursi menghasilkan
keuntungan Rp 200. Produksi meja dan kursi ini bergantung pada tersedianya sumber-sumber
yang terbatas (tenaga kerja, kayu, dan gudang tempat penyimpanan). Kebutuhan sumber-
sumber untuk memproduksi meja dan kursi serta jumlah total sumber yang tersedia adalah
sebagai berikut :
Kebutuhan Sumber
Sumber Meja Kursi Jumlah yang tersedia
Tenaga kerja 2 jam 4 jam 40 jam
Kayu 18 kubik 18 kubik 216 kubik
Gudang Penyimpanan 24 m2 12 m2 240 m2
Tabel 5. Kebutuhan Sumber Toko
Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak meja dan kursi yang harus diproduksi untuk
memaksimumkan keuntungan. Model tersebut diformulasikan sebagai berikut:
Memaksimumkan Z=160 x1 +200 x 2
Terbatas pada :
2 x1 + 4 x 2 ≤ 40, jam tenaga kerja
18 x 1+18 x 2 ≤ 216 , kubik kayu
2
24 x 1 +12 x 2 ≤240 m tempat penyimpanan
x1, x2 ≥ 0
Dimana
x 1=¿ jumlah meja yang diproduksi
x 2=¿ jumlah kursi yang diproduksi
Model di atas mewakili model Primal.
Untuk suatu model maksimasi primal, bentuk dualnya merupakan suatu model minimasi.
Bentuk dual untuk contoh model ini adalah:
Meminimumkan Zd=40 y 1 +216 y 2+ 240 y3
Terbatas pada :
2 y 1+18 y 2 +24 y 3 ≥160
4 y 1+18 y 2 +12 y 3 ≥ 200
y1 , y2 , y3 ≥ 0
Hubungan khusus antara primal dan dual yang diperlihatkan pada contoh di sini adalah sebagai
berikut.
1. Variabel y 1 , y 2 , y 3 berhubungan dengan batasan model primal. Untuk setiap batasan
dalam primal terdapat satu variable dual. Sebagai contoh, dalam kasus ini primal
mempunyai tiga batasan, karena itu dual memiliki tiga variable keputusan.
2. Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan batasan primal merupakan koefisien
fungsi tujuan dual. Nilai-nilai batasan primal, yaitu 40 ,216 , dan 240 membentuk fungsi
tujuan dual: Zd=40 y 1 +216 y 2+ 240 y3
3. Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variable keputusan dual. Contoh
batasan tenaga kerja dalam primal mempunyai koefisien 2 dan 4. Nilai-nilai ini
merupakan koefisien variable y1 dalam batasan model dual: 2 y 1 dan 4 y 1
4. Koefisien fungsi tujuan primal, yaitu 160 dan 200 mewakili kebutuhan batasan model
(nilai kualitas pada sisi kanan batasan) dual.
Contoh 2. Model Dual Model Primal Minimasi
Bentuk primal standar untuk permasalahan minimasi, semua batasan mempunyai tanda
pertidaksamaan ≥ .
Meminimumkan Z=6 x 1+3 x 2
Terbatas pada :
2 x1 + 4 x 2 ≥ 16
4 x1 +3 x 2 ≥ 24
x1 , x2 ≥ 0
Dual dari model ini diformulasikan sebagai berikut:
Memaksimumkan Zd=16 y 1+ 24 y 2
Terbatas pada :
2 y 1+ 4 y 2 ≤6
4 y 1+ 3 y 2 ≤3
y1 , y2 ≥ 0

Contoh 3 : Model Dual Model Primal Campuran

Memaksimumkan Z=10 x1 +6 x 2
Terbatas pada :
x 1+ 4 x 2 ≤ 40
3 x 1+2 x 2=60
2 x1 + x 2 ≥ 25
x1, x2≥ 0
Satu kondisi yang diperlukan untuk mentransformasikan masalah primal ke dalam bentuk dual
adalah bahwa primal harus dalam bentuk standar. Untuk suatu maksimasi primal, semua
batasan model harus ≤; dan untuk suatu minimasi primal, semua batasan harus ≥.
Jadi saat model maksimasi mencakup batasan campuran, langkah pertama adalah mengubah
semua batasan model ke dalam bentuk ≤.
a. Batasan pertama
x 1+ 4 x 2 ≤ 40 → telah dalam bentuk yang tepat
b. Batasan kedua
3 x 1+2 x 2=60 →harus diubah ke dalam bentuk ≤ (kasus maksimasi)
Persamaan ini ekuivalen dengan dua batasan berikut:
i. 3 x 1+2 x 2 ≥ 60
 ii. 3 x 1+2 x 2 ≤ 60
Batasan (i) belum memenuhi syarat, dan batasannya harus diubah ke dalam bentuk ≤.
Untuk itu batasan (i) dikalikan dengan bilangan (−1), sehingga batasan sekarang
menjadi
−3 x 1−2 x 2 ≤−60
c. Batasan model terakhir
2 x1 + x 2 ≥ 25
Sama halnya dengan batasan (i), batasan terakhir ini harus diubah ke dalam bentuk
batasan primal standar (kasus maksimasi batasan primal standar harus ≤ 0). Untuk itu
batasan terakhir harus dikalikan dengan bilangan (−1), sehingga diperoleh batasan
primal standarnya adalah
−2 x1 −x2 ≤−25
Dengan demikian, maka model primal bentuk standar dapat disimpulkan sebagai berikut:
Memaksimumkan Zp=10 x 1+ 6 x 2
Terbatas pada :
x 1+ 4 x 2 ≤ 40
3 x 1+2 x 2 ≤ 60
−3 x 1−2 x 2 ≤−60
−3 x 1−2 x 2 ≤−60
x1, x2≥ 0
Bentuk dual dari model ini diformulasikan sebagai:
Meminimumkan Zd=40 y 1 +60 y 2−60 y 3−25 y 4
Terbatas pada :
y 1 +3 y 2−3 y 3−2 y 4 ≥10
4 y 1+ 2 y 2−2 y 3− y 4 ≥ 6
y1 , y2 y3 , y 4 ≥ 0

Dari segi ekonomi, solusi optimum bentuk dual dapat ditafsirkan sebagai sumbangan
per unit batasan sumber daya. Nilai optimum fungsi tujuan primal dan dual adalah sama. Suatu
masalah seharusnya dirumuskan dalam bentuk primal atau dual, tergantung sepenuhnya kepada
kemudahan perhitungan dalam menyelesaikan suatu masalah. Jika suatu masalah bentuk
primalnya memiliki sejumlah besar batasan sementara variablenya hanya sedikit, masalah
tersebut dapat diselesaikan dengan efektif jika dirumuskan dalam bentuk dual. Misalnya,
seorang manajer seringkali tidak terlalu menaruh perhatian pada laba akan tetapi lebih pada
penggunaan sumber-sumber karena manajer lebih sering mempunyai kendala atas penggunaan
sumber-sumber daripada atas akumulasi laba. Solusi dual dapat memberikan informasi kepada
manajer mengenai nilai dari sumber-sumber yang terutama penting dalam pengambilan
keputusan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-sumber serta biaya yang harus
dikeluarkan untuk tambahan tersebut

Contoh 4 : Primal dan Dual Optimal dari Contoh 1

Primal Dual
Memaksimumkan Meminimumkan
Z=160 x1 +200 x 2 Zd=40 y 1 +216 y 2+ 240 y3

Batasan-batasan Batasan-batasan
2 x1 + 4 x 2 ≤ 40
18 x 1+18 x 2 ≤ 216 2 y 1+18 y 2 +24 y 3 ≥160

24 x 1 +12 x 2 ≤240 m
2 4 y 1+18 y 2 +12 y 3 ≥ 200

x1, x2≥ 0 y1 , y2 , y3 ≥ 0

Memaksimumkan Z=160 x1 +200 x 2

Terbatas pada :
2 x1 + 4 x 2 ≤ 40
18 x 1+18 x 2 ≤ 216
2
24 x 1 +12 x 2 ≤240 m
x1, x2 ≥ 0
Tabel simpleks optimal dari masalah primal ini adalah:
Cj 160 200 0 0 0
Variabel
Kuantitas x1 x2 s1 s2 s3
dasar
1 −1
200 x2 8 0 1 0
2 18
−1 1
160 x1 4 1 0 0
2 9
0 s3 48 0 0 6 −2 1
20
Zj 2240 160 200 20 0
3
 −20
Z j−C j 0 0 −20 0
3
Tabel 6. Primal Optimal

Dengan menginterpretasi solusi primal, didapatkan nilai

x 1=4 meja
x 2=8 kursi
2
s3=48 m tempat penyimpanan
Z=$ 2240 keuntungan
Tabel optimal ini juga memuat informasi tentang dual. Pada baris Z j−C j , nilai negatif −20
−20
dan di bawah kolom s1 dan s2 mengindikasikan bahwa jika suatu satu unit s1 atau s2
3
dimasukkan ke dalam solusi, laba akan menurun sebesar $20 atau $6,67, secara berurutan.
Nilai baris Z j−C j yang negatif sebesar $20 dan $6,67 secara berurutan merupakan nilai
marginal (marginal value) dari tenaga kerja ( s1) dan kayu ( s2). Nilai-nilai ini sering dianggap
sebagai harga bayangan (shadow prices), karena sebagai cerminan harga maksimum yang
bersedia dibayar oleh siapapun untuk mendapatkan satu unit tambahan sumber-sumber.
Selanjutnya adalah dalam bentuk dual dari model di bawah ini:
Meminimumkan
Zd=40 y 1 +216 y 2+ 240 y3
Batasan-batasan
2 y 1+18 y 2 +24 y 3 ≥160
4 y 1+18 y 2 +12 y 3 ≥ 200
y1 , y2 , y3 ≥ 0
Bertitik tolak dari pembahasan sebelumnya mengenai nilai dari sumber-sumber model,
sekarang dapat didefinisikan variabel-veriabel keputusan dual y 1 , y 2 dan y 3 untuk mewakili
nilai marginal sumber-sumber tersebut
y 1=¿ nilai marginal 1 jam tenaga kerja = $20
y 2=¿ nilai marginal 1 pon = $6,67
y 3=¿ nilai marginal 1 m2 tempat penyimpanan =$0
Tabel simpleks optimal dari masalah dual ini adalah
Cj 160 200 0 0 0
Variabel
Kuantitas y1 y2 y3 s1 s2
dasar
 −1 1
216 y2 6,67 0 1 2
9 18
1 −1
40 y1 20 1 0 −6
2 2
Zj 2240 40 216 192 −4 −8
Z j−C j 0 0 −49 −4 −8
Tabel 7. Dual Optimal
Sekarang beralih pada batasan-batasan dual. Batasan dual yang pertama adalah :
Laba per jam : 2 y 1+18 y 2 +24 y 3 ≥160
Batasan ini mengartikan bahwa nilai ketiga sumber (tenaga kerja, kayu dan tempat
penyimpanan) yang digunakan dalam memproduksi sebuah meja setidaknya harus sebesar laba
yang diperoleh dari meja. Substitusikan nilai variabel-variabel dual ke dalam batasan di atas
akan menghasilkan :
2 y 1=¿ nilai tenaga kerja yang digunakan untuk memproduksi sebuah meja 2( $ 20)=$ 40
18 y 2=¿ nilai kayu yang digunakan untuk memproduksi sebuah meja 18($ 6,67)=$ 120
24 y 3 =¿ nilai tempat penyimpanan yang digunakan untuk memproduksi sebuah meja
24 ($ 0)=0
Dengan menjumlahkan nilai-nilai di atas menghasilkan
2 y 1+18 y 2 +24 y 3 ≥ $ 160 laba per meja
2 ( $ 20 )+ 18 ( $ 6,67 )+ 24($ 0)≥ $ 160
$ 40+ $ 120+ $ 0 ≥ $ 160
$ 160 ≥ $ 160
Dengan kata lain $ 160 yaitu nilai sumber-sumber yang digunakan untuk memproduksi sebuah
meja, sedikitnya adalah sebesar atau sama dengan $ 160 yaitu laba dari sebuah meja.
Kemudian menganalisis batasan dual kepada dengan cara yang sama.
4 y 1+18 y 2 +12 y 3 ≥ $ 200
4 ($ 20)+18( $ 6,67)+12($ 0)≥ $ 200
$ 80+ $ 120+ $ 0 ≥ $ 200
$200≥ $200
Nilai $ 200, nilai sumber-sumber yang digunakan untuk memproduksi sebuah kursi, setidaknya
adalah sebesar atau sama dengan $200 laba dari sebuah kursi.
Sekarang tinggal fungsi tujuan dalam dual yang masih belum dijelaskan.
Fungsi tujuan tersebut adalah meminimumkan
Zd=40 y 1 +216 y 2+ 240 y3
 ¿ 40 ($ 20)+216 ($ 6,67)+ 240($ 0)
¿ $ 800+ $ 1440+$ 0
¿ $ 2240 ,nilai sumber-sumber

2.2 Analisis Sensitivitas

Analisis sensitivitas adalah analisis yang dilakukan untuk mengetahui akibat/pengaruh
dari perubahan yang terjadi pada parameter - parameter Program Linear terhadap solusi
optimal yang telah dicapai
Adapun penggunaan analisis ini adalah untuk mendinamisasikan penyelesaian dengan
program linier yang bersifat statis menjadi mampu mengkomodasi perubahan-perubahan yang
terjadi dalam dunia nyata. Dalam hai ini perkiraan penyelesaian optimal dapat dinyatakan
dalam suatu range yang disebut range optimalitas. Analisis sensitivitas dapat juga digunakan
untuk melihat perubahan pada nilai penyelesaian optimal akibat dari perubahan nilai pada sisi
kanan fungsi kendala.
Pada dasarnya perubahan-perubahan yang mungkin terjadi setelah dicapainya
penyelesaian optimal terdiri dari beberapa macam, yakni :
a. Keterbatasan kapasitas sumber. Dengan kata lain, nilai-kanan fungsi-fungsi
batasan.
b. Koefisien-koefisien fungsi tujuan.
c. Koefisien-koefisien teknis fungsi-fungsi batasan, yaitu koefisien-koefisien yang
menunjukkan berapa bagian kapasitas sumber yang di konsumsi oleh satu satuan
kegiatan.
d. Penambahan variabel-variabel baru.
e. Penambahan batasan baru.
Melakukan analisis sensitivitas ini merupakan salah satu tugas sebagai kelanjutan dari
penerapan metode dualitas yang didapat. Salah satu asumsi dalam program linier adalah bahwa
semua parameter model ( a ij , bi , C j )merupakan konstanta yang telah diketahui. Nilai-nilai
parameter dalam model sering hanya merupakan faktor penduga yang didasarkan pada suatu
prediksi mengenai keadaan untuk masa yang akan datang. Data yang diperoleh untuk
mengembangkan parameter-parameter dalam model hanya mencerminkan aturan-aturan
umum. Oleh karena itu sangat penting dilakukannya analisis sensitivitas terhadap parameter-
parameter yang ada dan kemungkinan pemberian nilai parameter yang berbeda.
Dengan menggunakan analisis sensitivitas dapat diketahui perubahan-perubahan yang akan
terjadi dan dengan membuat analisis sensitivitas kemungkinan akan menemukan solusi optimal
yang baru. Apabila hal ini terjadi, merupakan suatu keuntungan yang dapat dipetik oleh
perusahaan.
Dalam menilai sejauh mana penyelesaian optimal semula adalah sensitif terhadap berbagai
parameter model, maka digunakan pendekatan yang umum dipakai adalah melakukan
pengecekan setiap parameter satu persatu dengan mengubah nilainya dari parameter semula ke
kemumgkinan-kemungkinan nilai yang lain dalam rentang nilai yang layak. Setelah
menentukan parameter sensitif, kemudian meneliti beberapa kombinasi dari perubahan
simultan parameter-parameter tersebut. Setiap terjadi perubahan parameter, maka prosedur
yang diuraikan dan dijelaskan akan diterapkan.
Adapun langkah-langkah dalam melakukan analisis sensitivitas terdapat langkah-langkah yang
harus dilakukan sebagai berikut :
1. Merevisi model. Membuat perubahan-perubahan yang diinginkan dalam model yang
akan diperiksa kemudian.
2. Merevisi tabel akhir. Dasar dalam melakukan perubahan adalah tabel simpleks
akhir/tabel optimal
3. Mengonversi bentuk sesuai dengan eliminasi Gauss. Melakukan konversi tabel dalam
bentuk yang sesuai untuk menentukan dan menilai penyelesaian dasar sekarang dengan
menerapkan eliminasi Gauss.
4. Melakukan uji kelayakan. Setelah melakukan konversi, maka dilakukan kelayakan
dengan maksud untuk mengetahui apakah variabel dasar yang berupa nilai kanan masih
positif.
5. Melakukan uji optimal. Apabila penyelesaiannya sudah layak masih perlu dilakukan
pengujian optimal untuk mengetahui apakah hasil perhitungan merupakan hasil yang
optimal. Untuk melakukan uji optimalisasi tidak harus sekali karena apabila sekali
masih belum optimal, maka dilakukan pengujian lagi.

Contoh 5 : Menganalisis Perubaan pada Koefisien Fungsi Tujuan (Lanjutan dari Contoh 4)
Tabel terakhir (optimal) Primal Optimal pada Tabel 6 sebagai berikut :
Cj 160 200 0 0 0
Variabel
Kuantitas x1 x2 s1 s2 s3
dasar
 1 −1
200 x2 8 0 1 0
2 18
−1 1
160 x1 4 1 0 0
2 9
0 s3 48 0 0 6 −2 1
20
Zj 2240 160 200 20 0
3
−20
Z j−C j 0 0 −20 0
3

Pertama, tentukan suatu perubahan ∆ pada batas fungsi tujuan ( C 1). Hal ini mengubah nilai C 1
dari C 1=160 menjadi C 1=160+∆ , seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut. Perhatikan
bahwa pada saat C 1 diubah menjadi 160+ ∆ , nilai yang baru tersebut dimasukkan baik pada
baris C j teratas maupun pada sisi kiri kolom C j . Hal ini dilakukan mengingat x 1 adalah
variabel dasar. Karena 160+ ∆ berada pada sisi kolom, ini berarti 160+ ∆ menjadi panggali
pada saat nilai-nilai baris Z j−C j yang baru dan basis Z j−C j selanjutnya dihitung.

Cj 160+ ∆ 200 0 0 0
Variabel
Kuantitas x1 x2 s1 s2 s3
dasar
1 −1
200 x2 8 0 1 0
2 18
−1 1
160+ ∆ x1 4 1 0 0
2 9
0 s3 48 0 0 6 −2 1
−∆ 20 ∆
Zj 2240+ ∆ 160+ ∆ 200 20 + 0
2 3 9
∆ −20 ∆
Z j−C j 0 0 −20+ − 0
2 3 9
Tabel 8. Hasil optimal dengan C 1=160+∆

Solusi yang ditunjukkan pada tabel 2.6 akan tetap optimal selama nilai-nilai baris Z j−C j tetap
negatif. Jadi supaya solusi tetap optimal
∆ −20 ∆
−20+ <0 dan − <0
2 3 9
 ∆ −∆ 20
<20 <
2 9 3
∆ <40 ∆ >−60
Jadi, ∆ <40 dan ∆ >−60. Sekarang diambil kembali persamaan C 1=160+∆ dengan demikian
∆=C 1−160. Subsitusikan jumlah C 1−160 untuk ∆ dalam pertidaksamaan-pertidaksamaan
tersebut,
∆ <40 dan ∆ >−60
C 1−160<40 C 1−160>−60
C 1<200 C 1>100
Dengan demikian, range nilai C 1 yang tetap mempertahankan solusi optimal meskipun nilai
fungsi tujuan mungkin berubah.
100<C 1< 200
Berikutnya, tentukan perubahan pada C 2 sehingga C 2=200+∆ . Dampak perubahan ini dalam
tabel simpleks ditunjukkan pada Tabel 9
Cj 160 200+ ∆ 0 0 0
Variabe Kuantitas x1 x2 s1 s2 s3
l dasar
200+ ∆ x2 8 0 1 1 −1 0
2 18
160 x1 4 1 0 −1 1 0
2 9
0 s3 48 0 0 6 −2 1
Zj 2240+8 ∆ 160 200+ ∆ +∆ 20 ∆ 0
20 −
2 3 18
Z j−C j 0 0 ∆ ∆ 0
−20− −20+
2 18
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, solusi yang ditunjukkan pada tabel 2.7 akan tetap
optimal selama nilai-nilai baris Z j−C j tetap negatif atau nol. Jadi supaya solusi tetap optimal
maka harus dibuat :
∆ −20 ∆
−20− dan +
2 3 18
Penyelesaian perrtidaksamaan di atas untuk ∆ menghasilkan
∆ −20 ∆
−20− < 0 dan + <0
2 3 18
−∆ ∆ 20
<20 <
2 18 3
 ∆ >−40 ∆ <120
Jadi, ∆ >−40 dan ∆ >−60 karena C 2=200+∆ dengan demikian ∆=C 2−200. Penstubtitusian
nilai ini untuk ∆ pada pertidaksamaan di atas menghasilkan :
∆ >−40 dan ∆ <120
C 2−200>−40 C 2−200<120
C 2>160 C 2<320
Dengan demikian, range nilai C 2 yang tetap mempertahankan solusi optimal adalah :
100<C 1< 200
160<C 2< 320

BAB III

KESIMPULAN

Dualitas adalah masalah program linier yang didefinisikan secara langsung dan
sistematik dari model asli atau model primal program linier. Setiap model linear programming
mempunyai model linear programming yang berkaitan, yang disebut dengan model dual. Jika
model primal berupa persoalan maksimisasi,maka model dual berupa model minimisasi atau
sebaliknya. Pembentukan model dual didasarkan pada variabel,koefisien, sumberdaya dan data
yang sama pada model primal. Oleh karena itu , solusi dari model primal,juga memberikan
solusi pada model dualnya dengan nilai fungsi tujuan yang sama.
Manfaat utama dari dual bagi pengambil keputusan terletak pada informasi yang
dihasilkan, antara lain tentang sumber-sumber model serta mereka dapat melihat alternatif
permasalahan dari sisi yang berbeda
Suatu analisis yang mempelajari dampak perubahan-perubahan yang terjadi baik pada
para meter (koefisien fungsi tujuan) maupun pada ketersediaan sumber daya(nilai sebelah
kanan),terhadap solusi dan nilai harga bayangan dari sumberdaya - Kegunaannya adalah agar
pengambil keputusan dapat memberikan respon lebih cepat terhadap perubahan-perubahan
yang terjadi. Didasarkan atas informasi pada solusi optimal yang memberikan kisaran nilai-
nilai parameter dan nilai sebelah kanan.
 DAFTAR PUSTAKA

Aisah,S.2013. Aplikasi Program Linear dengan Metode Dualitas dan Analisis Sensitivitas
untuk Mengoptimalkan Hasil Produksi Pada Pabrik Ramah Jaya Bakery. Skripsi.
Medan: Universitas Negeri Medan
Hardianti.2016. Makalah Analisis Dualitas dan Analisis Sensitivitas. Samarinda: Sekolah
Tinggi Manajemen Infonesia
Harsono,S. dan Darmawan Sryanto. 2016. Riset Operasi. Medan : STIE Graha Kirana
 LAMPIRAN

 Latihan Soal
1.Sebuah pabrik memproduksi kaos dan sweater. Untuk memproduksi satu buah kaos,
dibutuhkan biaya sebesar $2 dan 3 jam pengerjaan. Untuk memproduksi satu buah sweater,
pabrik membutuhkan biaya sebesar $4 dan 2 jam pengerjaan. Minggu ini, pabrik tersebut
punya kapasitas sebesar $220 dan 150 jam. Kalau kaos dijual seharga $6 dan sweater $7,
berapa banyak masing-masing produk tersebut diproduksi agar keuntungan bisa maksimal?
- Berapa keuntungan optimal jika kaos dijual seharga $7 dan sweater $10?
2. Dari soal no 1. Jika kapasitas biaya operasional dinaikkan menjadi $250, berapa keuntungan
optimal yang bisa diperoleh?
3. Fungsi Tujuan : Max Z=150.000 x 1+ 40.000 x 2
Kendala : (1) 5 x 1+ 4 x 2 ≤ 20
(2) 6 x 1+ 5 x 2 ≤15
x1, x2≥ 0

4. Soal primal : meminumkan f =−6 x 1 +12 x 2 +6 x 3

Dengan kendala x 1+ x2−x 3 ≤10
−x 1+ 3 x 2−3 x 3 ≥20
5 x 1+ x 2 +2 x3 ≤5
x1 , x2 , x3 ≥ 0
5. Buatlah dengan menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang
mempresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal didalam dual tersebut.

6. Memaksimumkan f ( x 1 , x 2 , x3 ) =50 x1 + 45 x 2 +30 x3

Terhadap kendala 2 x1 +3 x 2+ x3 ≤1200
x 1+ 4 x 2 +3 x3 ≤ 800
x 1 , x2 , x3 ≥ 0
Setelah PO diperoleh, tambahkan ∆ b 1=300 dan ∆ b 2=200 kepada suku tetap dan selidiki
pengaruhnya terhadap PO soal asli tadi.
7. Dari contoh 6 diadakan perubahan terhadap soal aslinya dengan mengganti A2=
3
4 []
menjadi

[]
A2= 5 .Tentukan pengaruhnya terhadap.
1
3
4 [] 1
[]
8. Dari contoh 1 A2= diubah menjadi A2= .Tentukan pengaruhnya terhadap po soal asli.
7
9. Dari contoh 1 bila c 2=45diubah menjadi c 2=65. Bagaimana pengaruh perubahan tersebut
terhadap po soal asli.
10. Dari contoh 1 bila c 2=45diubah menjadi c 2=−25 . Bagaimana pengaruh perub ahan
tersebut terhadap po soal asli.

 Soal dan Pembahasan

Contoh 1
Masalah Primal Bentuk Kanonik
Memaksimumkan Z  3a  5b Memaksimumkan Z  3a  5b
Terhadap batasan Terhadap batasan
2a  6 (1) 2a  S1  6 (1)
3b  15 (2) 3b  S2  15 (2)
6a  4b  24 (3)
6a  4b  S3  24 (3)
a, b  0
a,b, S1 , S2 , S3  0

Bentuk standar selanjutnya dituangkan dalam tabel primal-dual berikut ini.

PRIMAL
KOEFISIEN NK
a b S1 S2 S3
D K y1 2 0 1 0 0 6
U O y2 0 3 0 1 0 15
A E y3 6 4 0 0 1 24
L F NK 3 5 0 0 0

Dari tabel primal-dual tersebut maka diperoleh bentuk dual dari masalah primal
contoh 1 sebagai berikut.
Meminimumkan W  6 y1 15 y2  24 y3

Terhadap batasan: 3y2  4 y3

2 y1  6 y3 
5
3
y1  0 ,
 y2  0 ,
y3  0

y1 tak dibatasi,
y2 tak dibatasi, y3 tak dibatasi

Karena
y1  0 da y1 tak dibatasi didominasi oleh y1  0
n

y2  0 dan
y2 tak dibatasi didominasi y2  0
y3  0 dan oleh
y3  0
y3 tak dibatasi didominasi oleh

maka bentuk dual dari masalah primal tersebut menjadi:

Meminimumka
W  6 y1 15 y2  24 y3
n

Terhadap batasan:
2 y1  6 y3  3

3y2  4 y3  5

y1  0 ,
y2  0 ,
contoh 2
Masalah Primal Bentuk Kanonik
Memaksimumkan F  x1  x2 Memaksimumkan F  x1  x2 'x2 "MR
Terhadap batasan Terhadap batasan
x1  x2  2 (1) x1  x2 'x2 "S1  R  2 (1)
3x1  2x2  12 (2) 3x1  2x2 '2x2 "S2  12 (2)
x1  0 x1, x2 ', x2 ", S1, S2 , R  0
x2 tak dibatasi

Bentuk Standar selanjutnya dituangkan dalam tabel primal-dual berikut ini.

PRIMAL
KOEFISIEN NK
x1 x2 ' x2 " S1 S2 R
D K y1 1 1 -1 -1 0 1 2
U O y2 3 2 -2 0 1 0 12
A E
NK 1 -1 1 0 0 -M
L F
Dari tabel primal-dual tersebut maka diperoleh bentuk dual dari masalah primal
contoh 2 sebagai berikut.
Meminimumkan G  2 y1  12 y2

Terhadap batasan:
y1  3y2  1

y1  2 y2  1   y1  2 y2  1

 y1  2 y2  1

 y1  0  y1  0 , y2  0

y1  M  y1  M
y2 tak dibatasi
y1 tak dibatasi
Karena y1  0 , y1  M dan y1 tak dibatasi didominasi oleh y1  0
y2  0 dan
y2 tak dibatasi didominasi oleh y2  0

maka bentuk dual dari masalah primal tersebut menjadi:

Meminimumkan
G  2 y1  12 y2

Terhadap batasan:
 y1  3y2  1

 y1  2 y2  1

y1  0

y2  0

Contoh 3:
Masalah Primal Bentuk Kanonik
Meminimumkan Meminimumkan
H  5y1  12y2  4 y3 H  5y1  12y2  4 y3  MR
Terhadap batasan: Terhadap batasan
y1  2 y2  y3  10 (1) y1  2 y2  y3  S  10 (1)
2 y1  y2  3y 3  8 (2) 2 y1  y2  3y 3  R  8 (2)
y1  0 , y2  0 , y 3  0 y1 , y2 , y3 , S, R  0

Bentuk Standar selanjutnya dituangkan dalam tabel primal-dual berikut ini.

PRIMAL
KOEFISIEN NK
y1 y2 y3 S R
D K x1 1 2 1 1 0 10
O
U
A
E x2 2 -1 3 0 1 8
F
L I NK 5 12 4 0 M
Dari tabel primal-dual tersebut maka diperoleh bentuk dual dari masalah primal
contoh 3 sebagai berikut.
Memaksimumkan F  10x1  8x2
Terhadap batasan
x1  2x 2 
5
2x1  x2  12
x1  3x2  4
x1  0 ,
x2  M
x1 tak dibatasi, x2 tak dibatasi

Karena
x1  0 dan x1 tak dibatasi didominasi oleh x1  0
x2  M dan x 2 tak dibatasi didominasi oleh tak dibatasi
n aij x j  bi
maka bentuk dual dari
 masalah primal tersebut menjadi
j1

Memaksimumkan
F  10x1  8x2
Terhadap batasan
x1  2x 2 
5

2x1  x2  12
x1  3x2  4
x1  0

x2 tak dibatasi

Contoh 4

Masalahan Primal Masalah Dual

Memaksimumkan Z  3a  5b Meminimumkan
Terhadap batasan W  6 y1  15y2  24y3
2a  6 (1) Terhadap batasan:
3b  15 (2) 2 y1  6 y 3  3 (1)
6a  4b  24 (3) 3y 2  4 y3  5 (2)
a, b  0
y1  0 , y2  0 , y3  0

Tablo simpleks dari masalah primal di atas adalah sebagai berikut:

Penyelesaian masalah dual dari permasalahan di atas dapat diperoleh langsung dari tablo
simpleks masalah primalnya, yaitu dengan menggunakan persamaan berikut ini.

Selisih antara ruas kiri dan ruas

Koefisien-koefisien persamaan
kanan dari fungsi batasan
optimal Z dari suatu variabel
= masalah dual yang dikaitkan
basis awal dalam masalah
 dengan variabel basis awal
primal
dalam masalah primal.

Pada tablo simpleks permasalahan di atas variabel basis awalnya adalah S1, S2,
dan S3 dengan koefisien-koefisien persamaan optimal Z berturut-turut adalah
1
0,1,dan . sedangkan fungsi batasan pada masalah dual yang berkaitan dengan
2
S1, S2, dan S3 berturut-turut adalah y 1 ≥ 0 , y 2 ≥ 0 , dan y 3 ≥0.

Dari hal tersebut maka diperoleh informasi sebagai berikut.

variabel basis awal dalam masalah primal S1 S2 S3
Koefisien-koefisien persamaan optimal Z 1
0 1
2
fungsi batasan masalah dual yang dikaitkan dengan
y1  0 y2  0 y3  0
variabel basis awal dalam masalah primal.

Selisih antara ruas kiri dan ruas kanan dari fungsi

batasan masalah dual yang dikaitkan dengan variabel y1  0 y2  0 y3  0
basis awal dalam masalah primal

Dari informasi tersebut selanjutnya dapat diperoleh penyelesaian optimal dari

masalah dual, yaitu:
y1  0  0  y1  0

y2  0  1  y2  1

1 1
y 3−0=  y 3=
2 2
1
Jadi penyelesaian optimal masalah dual tercapai di ( y 1 , y 2 , y 3 )=(0,1 , )dengan nilai
2

()
optimal W min =6 ( 0 )+ 15 (1 ) +24
1
2
=2

Contoh 5
Primal : max z=60 x 1 +30 x 2 +20 x 3
Batasan 8 x 1+ 6 x2 + x 3 ≤ 48 ⟹ y 1 ≤ 0
4 x1 +2 x 2+1.5 x 3 ≤ 20 ⟹ y 2 ≤ 0
2 x1 +1.5 x 2+ 0.5 x 3 ≤8 ⟹ y 3 ≤0
x 1 , x 2 , x 3 ≤ 48 ≥ 0
Dual : min w=48 y 1 +20 y 2 +8 y 3
 Batasan 8 y 1 +4 y 2+2 y 3 ≥60
6 y 1 +2 y 2+1.5 y 3 ≥30
1 y 1+1.5 y 2 +0.5 y 3 ≥ 20
y 1 , y 2 , y 3 ≤ 48 ≥ 0

Contoh 6
Minimumkan : Z=2 x 1 + x 2
x 1+ 5 x 2 ≥10
x 1+ 3 x 2 ≥6
2 x1 +2 x 2 ≥ 8
x1 , x2 ≥ 0

Maksimumkan : W =10 y 1+6 y 2 +8 y 3

Fungsi kendala : y 1 + y 2+ 2 y 3 ≤ 2
5 y 1+ 3 y 2+2 y 3 ≥1

Standar = W −10 y 1−6 y 2−8 y 3

¿ y 1 + y 2+ 2 y 3 + s1=2
¿ 5 y 1+ 3 y2 +2 y 3 +s 2=1
Contoh 7
Suatu pabrik A memproduksi 2 jenis barang yaitu x1 dan x2. Baik barang x1 maupun x2
membutuhkan 3 buah lomponen dalam pembuatannya (n1 , n2 , n3) dengan kadar yang berbeda
dan dinyatakan sebagai a ij . Persediaan maksimal komponen yang tersedia tiap minggu
dinyatakan sebagai b j, sedangkan keuntungan yang diperoleh pabrik A dinyatakan sebagai c i .
Komponen Jenis 1 ( x 1) Jenis 2 (x ¿¿ 2)¿ Batas maksimal
n1 a 11 a 12 b1
n2 a 21 a 22 b2
n3 a 31 a 33 b3
Batas minimal c1 c2

Pada tabel diatas, jika dibaca kebawah maka akan menjadi masalah dual. Sedangkan jika
dibaca kekanan maka akan didapatkan masalah primal. Maka hasil dari pembacaan tabel
tersebut yaitu:

Masalah dual:
Memaksimukan f =c 1 x1 +c 2 x2
Dengan kendala:
a 11 x1 + a12 x 2 ≤ b1
a 21 x1 + a22 x 2 ≤ b2
a 31 +a 32 x 2 ≤ b3
Sedangkan masalah primalnya menjadi
Meminimumkan g=b1 n1+ b2 n2+ b3 n3

Dengan kendala:
a 11 n1 +a21 n2 +a31 n3 ≤ c 1
a 12 n1 +a22 n2 +a33 n3 ≤ c 2
Contoh 8
Bentuk primal
Maksimum Z¿ 5 x 1+12 x 2+10 x 3
Dengan kendala:
1. x 1+ 4 x 2 + x 3 ≤ 10
2. 2 x1 + x 2 +3 x3 ≤15
x1 , x2 , x3 ≥ 0

Bentuk standar Primal

Maksimum : Z ¿ 5 x 1+12 x 2+10 x 3 +0 S 2
Dengan kendala : 1. x1 + 4 x 2+ x 3 S 1=10
2. 2 x1 + x 2 +3 x3 +3 x 3 +S 2=15
x 1 , x 2 , x 3 S1 , S 2 ≥ 0

Bentuk Dual
Minimumkan : W =10 y 1+15 y 2
Dengan kendala : 1. y 1 +2 y 2 ≥ 5
2. 4 y 1+ y 2 ≥ 12
3. y 1 +3 y 2 ≥ 10
y1 ≥ 0
y 2 ≥0
Contoh 9
Diberikan Program Linear (Primal):
a) Minimumkan : Z = 3 x 1+2,5 x 2
dengan kendala : 2 x 1+4 x 2 ≥40
3 x 1+2 x 2 ≥50
x1, x2≥0
Maka Program Linear Dualnya akan berbentuk :
b) Masimumkan ;Y=40y 1+ 50y 2
dengan kendala : 2 y 1+3 y 2≤ 3
4 y 1+2 y 2≤ 2,5
Apabila program Linear a) atau Program Linear Primal diselesaikan dengan metode
simpleks ( metode Big M) mak akan menghasilkan tavel akhir sebagai berikut:

Basis Z x2 s1 s2 R1 R2 Solusi
-Z -1 0 3/16 7/8 M+17/16 M-7/8 -205/4

x2 0 1 -3/8 1/4 3/8 -1/4 2,5

x1 0 0 ¼ -1/2 -1/4 1/2 15

Penyelesaiannya : x1 =15; x2=2,5 ; 205/4

Sedangkan apabila Program Linear b) atau Program Linear Dual diselesaikan dengan
metode simpleks maka akan menghasilkan tabel berikut sebagai berikut:

Basis W y1 y2 s2 s1 Solusi
W 1 0 0 45/3 5/2 205/4

y2 0 1 1 1/2 -2/8 7/8

y1 0 0 0 -2/8 3/8 3/16

Penyelesaiannya : y1 = 3/16 ; y2 = 7/8 ; 205