KESEBANGUNAN

Untuk SMP Kelas IX

Ika Deavy Martyaningrum (4101414013)

Desinta Yosopranata (4101414008)
 Kompetensi Dasar

Menunjukkan perilaku ingin tahu dalam melakukan

aktivitas di rumah, sekolah, dan masyarakat sebagai
wujud implementasi mempelajari sifat-sifat segitiga
sebangun dan kongruen (KI 2)
Materi Prasyarat
Memahami konsep kesebangunan dan kekongruenan
geometri melalui pengamatan (KI 3) Bangun datar (kelas VII)

Menyelesaikan permasalahan nyata hasil pengamatan Perbandingan

yang terkait penerapan kesebangunan dan
kekongruenan (KI 4)

Mengidentifikasi besaran-besaran bangun datar yang Mengetahui 2 bidang datar kongruen

berkaitan dengan bentuk dan ukuran bangun.
Mengidentifikasi dua bangun datar sebangun atau Mengetahui 2 bidang datar sebangun
kongruen.
Mengetahui syarat 2 bidang datar kongruen Mengetahui Segitiga kongruen
Mengetahui syarat 2 bidang datar sebangun
Mengetahui sifat 2 bidang datar kongruen Mengetahui Segitiga sebangun
Mengetahui sifat 2 bidang datar sebangun
Mengidentifikasi segitiga kongruen atau sebangun Aplikasi kesebangunan
Mengetahui syarat segitiga kongruen
Mengetahui syarat segitiga sebangun
Mengetahui sifat segitiga kongruen
Mengetahui sifat segitiga sebangun
Memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan
kesebangunan
 PET
:
A
Kesebangunan Bangun
Datar

2 bidang datar kongruen 2 bidang datar sebangun

segitiga kongruen segitiga sebangun

Syarat Sifat

Aplikasi

A. Bangun-Bangun Goemetri yang Sebangun

 Dua bangun geometri dikatakan sebangun jika dan hanya jika bentuknya sama.

Perhatikan gambar berikut.

A 15 cm E 15 cm B

6 cm 6 cm
M
H F 12 cm
6 cm 6 cm
N

D 15 cm 15 cm C

30 cm
Persegi panjang ABCD dengan AB = 30 cm dan AD = 12 cm dibagi menjadi 4 persegi, yaitu
persegi AEMH, EBFM, HMND, dan MFCN.
Dengan melihat pada gambar di atas, maka kita mungkin bertanya, sebagai contoh, apakah
persegi panjang AEMH bentuknya sama dengan persegi panjang ABCD?
Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan persegi panjang AEMH dan ABCD.
Dan kita dapatkan,
AE 15 cm 1 HM 15 cm 1
i. = = ; = =
AB 30 cm 2 DC 30 cm 2
AH 6 cm 1 EM 6 cm 1
= = ; = =
AD 12cm 2 BC 12cm 2
ii. m⦟ HAE = m⦟ DAB; m⦟ AEM = m⦟ ABC; m⦟ EMH = m⦟ BCD; m⦟ MHA = m
⦟ CDA

Dua bangun geometri dengan sisi-sisi lurus dikatakan sebangun jika:

a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama

b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Jadi, dapat dikatakan bahwa persegi panjang AEMH sebangun dengan persegi panjang ABCD,
dan bentuk kedua persegi panjang tersebut adalah sama.

Lambang ~ biasa digunakan untuk menunjukkan kesebangunan.

Kita dapat menuliskan, persegi panjang AEMH ~ persegi panjang ABCD, yang dibaca “persegi
panjang AEMH sebangun dengan persegi panjang ABCD”
 Contoh :
A B
E F

D C H G

AD = 2 cm, dan CD = 3 cm ; EH = 2 cm, dan GH = 4 cm.

Apakah persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang EFGH?

Jawab :

Hanya ada dua jenis sisi pada sebuah persegi panjang, yang satu disebut panjang dan yang
satu lagi disebut lebar. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah perbandingan dari panjang
terhadapa panjang dan lebar terhadap lebar. Di mana panjang adalah sisi yang lebih panjang dan
lebar adalah sisi yang lebih pendek.

AB 3
Perbandingan dalam panjang = =
EF 4

AD 2
Perbandingan dalam lebar = = =1
EH 2

Karena perbandingan dalam panjang tidak sama dengan perbandingan dalam lebar, maka
persegi panjang ABCD tidak sebangun dengan persegi panjang EFGH.

Dapat ditulis sebagai :

Persegi panjang ABCD ≁ persegi panjang EFGH

A yo amati gambar berikut ini !

Motif wallpaper dinding Motif batik Motif ubin

Untuk keindahan estetika, gambar yang memiliki bentuk yang sama sering digunakan dalam desain
arsitektur. Jika kita berjalan-jalan disekitar lingkangan, kita dapat menemukan bangunan dengan
desain dinding dan lantai yang memiliki gambar yang bentuk dan ukurannya identik/ sama.

Disamping tujuan keindahan gambar, bentuk yang sama juga dapat digunakan untuk memecahkan
masalah dalam situasi nyata. Misalnya untuk menentukan ketinggian pohon yang tinggi tanpa
memanjatnya atau untuk memperkirakan jarak untuk melintasi danau.
B. Bangun-Bangun Goemetri yang Sama dan Sebangun (Kongruen)

Bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya jika bangun-bangun datar tersebut mempunyai bentuk dan
ukuran yang sama. Lambang ≅ biasa digunakan untuk menunjukkan kekongruenan.

Ikuti langkah-langkah berikut ini.

1. Buatlah jajargenjang ABCD dan EFGH seperti pada gambar di bawah ini.

B E

F
A C

H
D
G
2. Guntinglah kedua gambar tersebut dengan mengikuti sisi-sisinya.
3. Tempelkan jajargenjang ABCD di atas jajargenjang EFGH sedemikian hingga menutup
dengan sempurna jajargenjang EFGH.
4. Sekarang perhatikan masing-masing sisi dan sudut yang saling berhimpitan.
5. Diskusikan dengan dengan teman, apakah pada kedua bangun di atas terdapat pasangan sisi-
sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar? Apakah kedua segitiga itu
kongruen? Jelaskan alasanmu.

Menganalisis
Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.
Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang.

Menyimpulkan
Dua bangun geometri dengan sisi-sisi lurus adalah kongruen jika
Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
Contoh :

B C H
6 cm 6 cm
G

4 cm E
A F E
4 cm D

m⦟ BAD = 30° dan m⦟ GFE = 150°

ABCD dan EFGH adalah jajar genjang - jajar genjang. Apakah ABCD kongruen dengan EFGH?

Jawab :

AB = EF = 6 cm; CD = GH = 6 cm
BC = FG = 4 cm; DA = HE = 4 cm

m⦟ ABC = m⦟ EFG = 150°; m⦟ CDA = m⦟ GHE = 150°

m⦟ BCD = m⦟ FGH = 30° ; m⦟ DAB = m⦟ HEF = 30°

Jadi, ABCD ≅ EFGH

Ayo k et a h u i

Seni Mozaik dan Kekongruenan

Seni mozaik adalah pola yang dibentuk oleh pengulangan bentuk utama, dengan tidak saling
tumpang tindih dan tidak ada celah diantara bentuk yang diulang.

Polygon beraturan yang dapat menjadi seni mozaik adalah persegi, segitiga sama sisi dan
segienam beraturan.

Seni mozaik juga dapat dibentuk dari polygon tak beraturan atau kombinasi dari dua atau
lebih polygon beraturan.
 Banyak bentuk lain yang dikombinasikan ada dimodifikasi dari polygon yang dapat menjadi seni
mozaik.

Bentuk mozaik juga dapat ditemukan di alam. Misalnya, sarang lebah yang terdiri dari banyak sel
berbentuk segienam atau heksagonal.

Pola berulang dari bentuk kongruen biasanya juga digunakan dalam desain dan arsitektur.
Contohnya seni mozaik juga digunakan dalam gambar islami yang dapat dinikmati pada elemen
arsitektur.

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) seniman Belanda terkenal dengan seni gambar mozaik.
 Menentukan Sisi yang Belum Diketahui dari Bangun-
C. Bangun Geometri yang Sebangun atau Kongruen

Contoh : E F
1.
A B

C D
G H

Jika persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang EFGH, maka tentukan panjang sisi
EH!

Jawab :

Perbandingan dalam lebar = perbandingan dalam panjang

EH 12cm
 =
6 cm 8 cm

12
 EH = 6 x = 9 cm
8

2. Pada segitiga ABC, AC = 8 cm dan m⦟ ABC = 80°. Pada segitiga DEF, m⦟≝¿ = 40°. Jika
segitiga ABC kongruen dengan segitiga DEF, maka tentukan :
a. m⦟≝¿
b. DF

Jawab :
B E

A C D F

a. m⦟≝¿ = m⦟ ABC = 80°

m⦟≝¿ = 180°- m⦟ EDF - m⦟≝¿ = 180° - 40° - 80° = 60°
b. DF = AC = 8 cm
D. Segitiga-segitiga kongruen

Dalil kekongruenan segitiga:

1. Dalil S S S (sisi sisi sisi)
Dua segitiga kongruen jika semua sisi dari segitiga yang pertama kongruen dengan semua
sisi pada segitiga yang kedua.

´ atau AB=PQ
´ ≅ PQ
AB
C
´ atau BC=QR
´ ≅ QR
BC

´ atau CA =RP
´ ≅ RP
CA

A B Maka menurut dalil S S S, segitiga ABC

kongruen dengan segitiga PQR dapat ditulis:
∆ ABC ≅ ∆ PQR (S S S)

Maka ∠ ABC ≅ ∠ PQR ,∠ BCA ≅ ∠QRP,

∠ CAB ≅∠ RPQ
Q

2. Dalil S Sd S (sisi sudut sisi)

Jika dua sisi dan sudut diantara kedua sisi tadi pada suatu segitiga kongruen dengan dua sisi
dan dan sudut diantara kedua sisi pada segitiga lainnya, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

´ atau AB=QR
´ ≅ QR
AB

∠ A ≅ ∠ P atau m∠ A=m ∠P

´ atau CA=PQ
´ ≅ PQ
CA

Maka menurut dalil S Sd S, segitiga ABC kongruen

dengan segitiga PQR dapat ditulis: ∆ ABC ≅ ∆ PQR
(SSdS)

´ , ∠ ABC ≅ ∠ PQR ,∠ BCA ≅ ∠QRP

´ ≅ RP
Maka: BC
3. Dalil Sd S Sd (Sudut Sisi Sudut)
Jika dua sudut dan sisi diantara kedua sudut tadi pada suatu segitiga kongruen dengan dua
sudut dan sisi diantara kedua sudut pada segitiga lainnya, maka kedua segitiga tersebut
kongruen.
 ∠ A ≅ ∠ P atau m∠ A=m ∠P

´ atau AB=PQ
´ ≅ PQ
AB

∠ B ≅ ∠ Q atau m∠ B=m∠Q

Maka menurut dalil Sd S Sd, segitiga

ABC kongruen dengan segitiga PQR
dapat ditulis: ∆ ABC ≅ ∆ PQR (Sd S Sd)

Maka: ∠ BCA ≅∠ QRP, BC

´ ≅ QR
´ ,
´ ≅ RP
CA ´

Syarat kekongruenan pada segitiga

Contoh :
Jawab:
H G
Misalkan AB=a, maka:
E F BH = AG = a√ 3

HD = GC = a
D
C BD = AC = a√ 2

A B Jadi, ∆ BHD ≅ ∆ AGC (SSS)

ABCD.EFGH adalah sebuah

kubus. Buktikan bahwa
∆ BHD ≅ ∆ AGC!
 Mengapa Sudut Sudut Sudut bukan
merupakan dalil kekongruenan dua segitiga?

Untuk mengetahi jawabannya, lakukan kegiatan

berikut!

Gambarlah dua segitiga dengan (model) ruas garis dan / atau sudut yang diketahui. Gunakan jangka
untuk “memindahkan” ruas garis dan sudut yang diketahui. (Guru memberi contoh terlebih dahulu)

A 5 cm B 3.

B C G G H
4 cm 3 cm
C A
2 cm Titik sudut
80° ketiga adalah titik I
30°
4. G H

D 5 cm E

J
D 30° 40° K
80°
D F L
4 cm 60°
Dari komponen yang diketahui pada soal nomor (1),J (2), (3) dan (4), manakah yang dapat digambar
menjadi dua segitiga yang bentuk, panjang sisi dan besar sudutnya sama pada masing-masing soal?
Berikan tanggapan / argumen dari gambar yang kamu miliki!
E. Segitiga-segitiga sebangun

Dalil kesebangunan segitiga:

1. Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat kesesuaian antara dua sudut pada kedua segitiga
tersebut.
Contoh :
m∠ A=m ∠K
C
m∠ B=m∠ L

Maka m∠ C=m∠ M

Bukti :
A B
M m∠ A+ m∠ B+m∠C=180 (jumlah sudut dalam segitiga)

m∠C=180−m∠ A−m ∠B

m∠ K + m∠ L+m∠ M =180 (jumlah sudut dalam segitiga)

K L
m∠ M =180−m ∠ K−m ∠ L

m∠ M =180−m ∠ A−m ∠B (m∠ K =m∠ A dan

m∠ L=m∠ M ¿

 m∠ M =m∠ C
2. Dua segitiga adalah sebangun
m∠jikaC=m∠ terdapat
M kesesuaian antara perbandingan panjang dua sisi dan
sudut yang terletak diantara kedua sisi tersebut pada kedua segitiga.

AB KL
C = dan m∠ A=∠ K
M AC KM

AB KL
= dan m∠ B=m∠ L
BC LM
K L
A B BC LM
3. Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat kesesuaian dan m∠C=m∠
= perbandingan M semua sisi
ACantara
KM panjang
pada kedua segitiga.

C AB AC BC
= =
M KL KM ML

K L
A B
 Syarat kesebangunan pada segitiga

Contoh :
Buktikan ∆ ADB ∆ ABC!
C
Jawab :
D
m∠ ADB=m∠ ABC=90 °

m∠ BAD=m ∠CAB=α °

Jadi, ∆ ADB ∆ ABC (Sd Sd Sd)

D. Rumus-rumus yang diperoleh dari kesebangunan segitiga

Jika garis yang memuat sejajar dengan

 maka
1.

atau

atau

2.
Jika:
atau
AC=b, AB=c, CE=d, BD=e, ED=a, CB=f, maka:

f
β atau
γ

ε δ

3. Jika ∠ ACB adalah sudut siku-siku dan garis yang

memuat CD´ tegak lutus dengan garis yang memuat
B
´ , maka:
AB
D Jika:

CA .CB i) CB 2=BD . BA
iv) CD=
AB BC .CD
ii) AC=
v) CD 2=DA . DB DB
A vi) CA 2= AD . AB CA . CD
iii) BC=
AD
 LEMBAR EVALUASI PESERTA DIDIK
KESEBANGUNAN

Pada gambar di samping, segitiga ABC siku-

1. siku di titik B.
Garis yang memuat BD´ ⊥ garis yang memuat
A
´ . Jika panjang AB = 40 cm, AC = 50 cm, dan
AC
D panjang BD adalah…
a. 18 cm
b. 24 cm
c. 30 cm
d. 32 cm
C
2. Perhatikan gambar limas di samping!
Bila garis yang memuat ´¿ ⊥ bidang ABCD
´ , maka
dua segitiga yang kongruen adalah…
a. ∆ TOG dan ∆ ¿ D
b. ∆ TOG dan ∆ TOG
H c. ∆ TOH dan ∆ TOG
d. ∆ ADT dan ∆ CDF
3.
G
 PQST adalah sebuah trapezium dan garis yang
memuat UR ´.
´ sejajar dengan garis yang memuat TS
Jika PQ=8 cm, PU=5 cm, UT=7 cm dan
TS=20cm. Carilah panjang UR
´ !

~ Selamat Mengerjakan ~

Jawaban

1. Jawab : b
BC = √ AC 2− AB 2 = √ 502−402 = 30 cm
AB x BC 40 x 30
BD = = = 24 cm
AC 50

2. Jawab : c
∆EFH ∼ ∆EFG (S Sd S)

3.
20−8
Karena TZ=YS, maka TZ=YS= 2 =6

8 cm ∆ PUW ∆ PTZ (sd sd sd)

W X
UW PU UW 5 5
=
TZ PU +UT
 6
=
5+7
 UW =6 × =2,5
12
Z 8 cm Y
XR = UW =2,5

UR = UW + WX +XR = 2,5 + 8 + 2,5 = 13

´´ adalah 13 cm
Jadi , panjang UR