VOLUME BERDASARKAN KULIT SILINDER

Disusun untuk memenuhi tugas :

Mata kuliah : Kalkulus Integral
Dosen Pengampu : Eva Musyrifah, M.Si

Disusun Oleh :
Reka Fadlia Elvantio (11200170000013)
Ade Sri Agustin (11200170000023)
Celsania Rustiandini (11200170000026)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
 VOLUME BERDASARKAN KULIT SILINDER
Di bagian ini kami akan mengembangkan metode lain untuk menemukan volume yang mungkin berlaku
ketika luas daerah tidak dapat ditemukan atau integrasi terlalu sulit.
KULIT SILINDER
Gambar 6.3.1
Misalkan f continue dan nonnegatif [a,b] (0 ≤ a < b), dan misalkan R adalah wilayah dengan batas atas y
= f(x), batas bawah oleh sumbu x, dan batas sisi oleh garis x = a dan x = b. Carilah volume V dari bentuk
padat perubahan S yang dihasilkan dengan memutar wilayah R terhadap sumbu y (Gambar 6.3.1).

Sebuah kulit silinder adalah sebuah benda pejal yang dibatasi oleh dua silinder tegak yang sepusat
(gambar 6.3.2). jika jari-jari dalam adalah r 1, dan jari-jari luar adalah r 2, dan tinggi silinder adalah h ,
maka volumenya adalah

V = (luas alas ) ∙ ( tinggi )

¿ ( π r 22−π r 12) h

¿ π ( r 2+ r 1 )( r 2−r 1 ) h

¿2π ( r +r2 ) h (r −r )
2 1
2 1

r 2+ r 1
Bentuk yang akan kita nyatakan oleh r, adalah rata-rata r 1 dan r 2, sehingga
2
V =2 π ∙ ( jari− jari rata−rata ) ∙ (tinggi ) ∙ ( tebal )
V =2 πr h ∆ r

Kami sekarang akan menunjukkan bagaimana rumus ini dapat digunakan untuk memecahkan Masalah
6.3.1. Ide yang mendasarinya adalah membagi interval [a,b] menjadi n subinterval, sehingga membagi
wilayah R menjadi n strip, R1 , R 2 , … , Rn (Gambar 6.3.3a). Ketika wilayah R berputar terhadap sumbu y,
strip ini menghasilkan bentuk "seperti tabung" S1 , S 2 , … , S n yang bersarang satu di dalam yang lain dan
bersama-sama terdiri dari seluruh solid S (Gambar 6,3,3b). Dengan demikian, volume V padat dapat
diperoleh dengan menambahkan bersama volume tabung; Artinya,
V =V ( S1 ) +V ( S2 ) + …+V ¿

Sesuai aturan, tabung akan memiliki permukaan atas melengkung, sehingga tidak akan ada rumus
sederhana untuk volume mereka. Namun, jika strip tipis, maka kita dapat memperkirakan setiap strip
dengan persegi panjang (Gambar 6.3.4a). Persegi panjang ini, ketika berputar terhadap sumbu y, akan
menghasilkan kulit silinder yang volumenya sangat dekat memperkirakan volume tabung yang dihasilkan
oleh strip asli (Gambar 6,3,4b). Kami akan menunjukkan bahwa dengan menambahkan volume kulit
silinder kita dapat memperoleh jumlah Riemann yang memperkirakan volume V, dan dengan mengambil
batas jumlah Riemann kita dapat memperoleh integral untuk volume V yang tepat.

Untuk mengimplementasikan ide ini, misalkan strip kth memanjang dari x k−1 hingga x k dan lebar strip
ini adalah ∆ x k =x k −x k−1

¿
Jika kita membiarkan x k menjadi titik tengah interval
[ x k−1 , x k ] dan jika kita membangun persegi panjang dengan
tinggi f (x¿ ¿ k ¿¿ ¿)¿ ¿ selama interval, kemudian persegi
panjang ini berputar terhadap sumbu y menghasilkan kulit
¿
silinder dari rata-rata jari-jari x k , Tinggi f (x¿ ¿ k ¿¿ ¿)¿ ¿ ,
dan ketebalan ∆ x k (Gambar 6.3.5). Dari (1), volume V k kulit
silinder ini adalah

V k =2 π x k ¿ f (x ¿¿ k ¿¿ ¿) ∆ x k ¿¿
Menambahkan volume n kulit silinder menghasilkan jumlah Riemann berikut yang memperkirakan
volume V:
n
V ≈ ∑ 2 π x k ¿ f ( x¿¿ k ¿¿ ¿)∆ x k ¿ ¿
k=1

Mengambil batas saat n meningkat dan lebar semua subinterval mendekati nol menghasilkan integral
yang tentu
n b
V = lim ∑ 2 π x k ¿ f ( x ¿¿ k ¿¿ ¿) ∆ x k =∫ 2 πxf ( x ) dx ¿ ¿
max ∆ x k → 0 k=1 a

6.3.2 VOLUME OLEH KULIT SILINDER DI SEKITAR SUMBU Y Misalkan f kontinu

dan nonnegatif pada [ a, b ] ( 0 ≤ a <b) , dan misalkan R adalah daerah yang dibatasi di atas oleh
y = f (x) , di bawah oleh sumbu x , dan di sisi oleh garis x = a dan x = b . Kemudian
volume V dari padatan revolusi yang dihasilkan dengan memutar wilayah R terhadap sumbu y
diberikan oleh
b
V =∫ 2 πx f (x)dx
a
(2)

Contoh 1 Gunakan kulit silinder untuk mencari volume padatan yang dihasilkan
saat daerah tertutup antara y= √ x , x =1, x=4 , dan sumbu x berputar di sekitar
sumbu y .
Solusi Pertama buat sketsa wilayah (Gambar 6.3.6 a ); lalu bayangkan
memutarnya tentang sumbu y (Gambar 6.3.6 b ). Karena
f ( x )= √ x , a=1 , dan b=4 , Rumus (2) menghasilkan

4 4 3 5

1 1
2
5 [
V =∫ 2 πx √ x dx=2 π ∫ x 2 dx= 2 π . x 2 4 =
1
4π
5][ 32−1 ] = 124 π
5

VARIASI METODE KULIT SILINDER

Metode kulit silinder dapat diterapkan dalam berbagai situasi yang tidak sesuai kondisi yang
disyaratkan oleh Formula (2). Misalnya, wilayah mungkin tertutup di antara dua kurva, atau
sumbu revolusi mungkin berupa garis selain sumbu y . Namun, lebih tepatnya daripada
mengembangkan formula terpisah untuk setiap situasi yang mungkin, kami akan memberikan
cara umum memikirkan metode kulit silinder yang dapat disesuaikan dengan setiap situasi baru
yang muncul.
Untuk tujuan ini, kita perlu memeriksa ulang integrand dalam Rumus (2): Pada setiap x
dalam interval [ a, b ] , segmen garis vertikal dari sumbu x ke kurva y = f (x) dapat dilihat
sebagai penampang wilayah R pada x (Gambar 6.3.7 a ). Saat wilayah R berputar di sekitar
sumbu y , penampang di x menyapu permukaan lingkaran kanan tinggi silinder f (x) dan jari-jari
x (Gambar 6.3.7 b ). Luas permukaan ini adalah
2 πx f ( x)
(Gambar 6.3.7 c ), yang merupakan integral dalam (2). Dengan demikian, Formula (2) dapat
dilihat secara informal dengan cara berikut.

6.3.3 SUDUT PANDANG INFORMAL TENTANG KULIT SILINDER Volume V dari

revolusi padat yang dihasilkan dengan memutar daerah R di sekitar sumbu bisa diperoleh dengan
mengintegrasikan luas permukaan yang dihasilkan oleh penampang sembarang dari R diambil
sejajar dengan sumbu revolusi.

Contoh berikut menggambarkan bagaimana menerapkan hasil ini dalam situasi di mana
Formula (2) tidak berlaku.
Contoh 2 Gunakan cangkang silinder untuk mencari volume padatan yang dihasilkan
saat daerah R di kuadran pertama tertutup antara y=x dan y=x 2berputar di sekitar sumbu y
(Gambar 6.3.8 a ).
Solusi Seperti yang diilustrasikan pada bagian ( b ) Gambar 6.3.8, pada setiap x dalam [0 , 1]
penampang lintang R sejajar dengan sumbu y menghasilkan permukaan silinder dengan tinggi
x−x 2 dan jari-jari x . Sejak luas permukaan ini

2 πx ( x−x 2 )
volume padatannya adalah
1 1
V =∫ 2 πx ( x−x 2 ) dx=2 π ∫ ( x 2−x 3 ) dx
0 0

x3 x4 1 1 1 π
¿2π [ −
3 4 0 ] [ ]
=2 π − =
3 4 6

Contoh 3 Gunakan cangkang silinder untuk mencari volume padatan yang dihasilkan saat daerah
R di bawah y = x 2 selama interval [0 , 2] berputar di sekitar garis y = −1.
Solusi Pertama gambar sumbu revolusi; kemudian bayangkan daerah berputar di sekitar sumbu (Gambar
6.3.9 a ). Seperti yang diilustrasikan pada Gambar 6.3.9 b , pada setiap y dalam interval

0 ≤ y ≤ 4, penampang R sejajar sumbu x menghasilkan permukaan silinder dengan ketinggian 2− √ y dan

jari-jari y +1. Karena luas permukaan ini adalah

2 π ( y +1 ) ( 2−√ y )
Oleh karena itu, volume padatannya adalah
4 4 3 1
( )
∫ 2 π ( y+1 ) ( 2− √ y ) dy=2 π ∫ 2 y − y 2 + 2− y 2 dy
0 0

5 3

[ 2 2
¿ 2 π y 2 − y 2 +2 y− y 2 4 =
5 3 0 ]
176 π
15
Contoh 4 (buku Ron Larson)
Tentukan volume padatan revolusi yang dibentuk
dengan memutarkan wilayah yang dibatasi

y=x −x3
Dan sumbu x (0 ≤ x ≤ 1) terhadap sumbu y.
Solusi
karena sumbu revolutionnya adalah vertical, maka
gunakan persegi Panjang sebagai perwakilan
vertical, seperti yang ditunjukan pada gambar 7.30.
Lebar ∆ x menunjukan bahwa x adalah variable
integrasi. Jarak dari pusat persegi panjang ke sumbu
revolusi adalah p ( x ) =x dan tinggi persegi panjang
tersebut adalah

h ( x )=x−x 3.
Karena x berkisar dari 0 hingga 1, terapkan metode shell untuk mencari volume padatan.
1
V =∫ 2 π x( x −x3 ¿ ) dx ¿
0

1
¿ 2 π ∫ (x 2−x 4 ¿) dx ¿
0

x3 x5 1
¿2π [ −
3 5 0]
1 1
¿2π [ ]
−
3 5
 5−3
¿2π [ ] 15
4π
¿
15