Bab 3
Bab 3
Bab 3
11 Pendahuluan
Halaman 1
3.11 Pendahuluan
Tata surya adalah sistem mekanik yang paling menarik dan paling intensif dipelajari
dikenal manusia purba. Ini adalah contoh luar biasa dari gerakan periodik. Tidak jelas bagaimana caranya
orang lama akan bekerja keras dalam ketidaktahuan mekanik kalau bukan karena periodisitas ini
atau apakah planet kita menjadi anggota teramati dari tata surya. Dimana mana
di sekitar kita kita melihat sistem terlibat dalam tarian periodik: osilasi kecil dari pena-
jam dulum, seorang anak bermain ayunan, naik turunnya pasang surut, goyangan a
pohon di angin, getaran senar pada biola. Bahkan hal-hal yang tidak bisa kita lakukan
lihat berbaris ke irama detak periodik: getaran molekul udara di
instrumen kayu simfoni, dengungan elektron di kabel kami
peradaban modern, getaran atom dan molekul yang membentuk tubuh kita.
Sudah sepantasnya kita bahkan tidak bisa mengucapkan kata vthration dengan benar tanpa ujung
lidah berosilasi.
Fitur penting yang dimiliki oleh semua fenomena ini adalah periodisitas, a
pola pergerakan atau perpindahan yang berulang berulang. Itu
polanya mungkin sederhana atau mungkin rumit. Misalnya, Gambar 3.1.1 (a) menunjukkan a
catatan perpindahan horizontal dari tubuh manusia terlentang bertumpu pada hampir
permukaan tanpa permukaan, seperti lapisan udara tipis. Tubuh berosilasi secara horizontal bolak-balik
karena aksi mekanis jantung, memompa darah melalui dan di sekitar aorta
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 1/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
82
Halaman 2
3.1 Pendahuluan 83
Pemindahan
(Sebuah)
Pemindahan
lengkungan. Rekaman seperti itu disebut gram balistokardio. ' Gambar 3.1.1 (b) menunjukkan hampir
kurva sinus sempurna mewakili perpindahan horizontal dari pendulum sederhana
memotong osilasi kecil tentang posisi keseimbangannya. Dalam kedua kasus, sumbu horizontal
mewakili kemajuan waktu yang stabil. Periode gerakan mudah diidentifikasi sebagai
waktu yang diperlukan untuk satu siklus lengkap gerakan terjadi.
Dengan harapan bisa menggambarkan semua bentuk periodik yang rumit
pameran gerak Ibu Alam, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.1.1 (a), yang kami lakukan
analisis bentuknya yang paling sederhana — gerak harmonik sederhana (dicontohkan pada Gambar 3.1.1 (b)).
Gerakan harmonik sederhana menunjukkan dua karakteristik penting. (1) Dijelaskan oleh
persamaan diferensial linear orde kedua, dengan koefisien konstan. Dengan demikian,
prinsip posisi berlaku; yaitu, jika dua solusi khusus ditemukan, jumlah mereka juga a
larutan. Kita akan melihat bukti ini dalam contoh yang akan datang. (2) Periode gerak,
atau waktu yang diperlukan untuk konfigurasi tertentu (tidak hanya posisi, tetapi juga kecepatan)
untuk mengulang sendiri, tidak tergantung pada perpindahan maksimum dari keseimbangan. Kita punya
sudah mengatakan bahwa Galileo adalah orang pertama yang mengeksploitasi fitur penting pendulum ini
dengan menggunakannya sebagai jam. Fitur-fitur ini hanya benar jika perpindahan dari kesetimbangan
"kecil." Pemindahan "besar" menghasilkan tampilan istilah nonlinear dalam
persamaan diferensial gerak, dan solusi osilasi yang dihasilkan tidak lagi patuh
prinsip superposisi atau menunjukkan periode independen-amplitudo. Kami sebentar
pertimbangkan situasi ini menjelang akhir bab ini.
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 2/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
'George B. Benedek dan Felix MH Villars, Fisika — dengan Contoh Ilustrasi dari Kedokteran dan Biologi,
Addison-Wesley, New York, 1974.
Halaman 3
84 BAGIAN 3 Osilasi
Kami menunjukkan bahwa fungsi ini menunjukkan perilaku kuadrat dekat minimum dan bahwa
gaya yang dihasilkan antara kedua atom itu linear, selalu bertindak untuk mengembalikannya ke atom mereka
konfigurasi kesetimbangan. Secara umum, setiap fungsi energi potensial dapat dijelaskan
kira-kira dengan fungsi polinom dari perpindahan x untuk perpindahan tidak terlalu
jauh dari keseimbangan
Lebih lanjut, karena hanya perbedaan energi potensial yang relevan untuk perilaku tersebut.
Untuk sistem fisik, istilah konstan dalam masing-masing ungkapan di atas dapat diambil
menjadi nol; ini sama dengan penugasan ulang sederhana nilai energi potensial pada
beberapa titik referensi. Kami juga berpendapat bahwa istilah linear dalam ungkapan di atas harus
sama dengan nol. Kondisi ini mengikuti dari fakta bahwa turunan pertama ada
fungsi harus menghilang seminimal mungkin, dengan anggapan bahwa fungsi dan turunannya
kontinu, sebagaimana mestinya jika fungsinya adalah untuk menggambarkan perilaku nyata,
sistem fisik. Dengan demikian, polinomial yang mendekati mengambil bentuk
Sebagai contoh, Gambar 3.2.2 (a) adalah sebidang potensi Morse bersama dengan persetujuan
perkawinan polinomial urutan delapan "paling cocok." Lebar 6 dari potensi dan kedalamannya
Kesetimbangan
posisi
. Xe
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 3/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
•
Halaman 4
V (x)
SEBUAH
—1 0 1 2 3 4
(Sebuah) x
V (x)
.1
(Koefisien V0) keduanya ditetapkan sama dengan 1.0 (konstanta kosong V0 ditetapkan sama dengan 0). Itu
kecocokan dibuat pada rentang yang agak besar Ax = [—1,4] = 58 Hasilnya adalah
=8
V (x) (3.2.2c)
a0 = a1 = 0,007 a2 = 0,995
a3 = —1.025 a4 = 0,611 a5 = —0.243
a6 = 0,061 a7 = —0.009 a8 =
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 4/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Fungsi polinom sesuai dengan potensi Morse dengan cukup baik di seluruh
rentang penempatan. Jika seseorang meneliti dengan cermat koefisien kesesuaian urutan delapan, satu
melihat bahwa dua istilah pertama pada dasarnya nol, seperti yang telah kami katakan seharusnya.
Oleh karena itu, kami juga menunjukkan diplot hanya istilah kuadrat V (x) a2. x2. Sepertinya
Halaman 5
86 BAGIAN 3 Osilasi
ini istilah tidak setuju sangat baik dengan potensi Morse. Namun, jika kita "meledak"
plot di sekitar x = 0 (lihat Gambar 3.2.2 (b)), kita melihat bahwa untuk perpindahan kecil — katakanlah,
—0,18 x + 0,16 — hampir tidak ada perbedaan di antara istilah murni kuadratik,
fit polinomial urutan delapan, dan potensi Morse yang sebenarnya. Untuk gangguan kecil seperti
penempatan, fungsi potensial, memang, murni kuadratik. Orang mungkin berpendapat itu
contoh ini dibuat-buat; Namun, ia cukup mewakili banyak sistem fisik.
Potensi energi penuh untuk sistem pegas dan massa harus menunjukkan kesamaan
perilaku lar dekat posisi keseimbangan di Xe, didominasi oleh istilah kuadratik murni.
Dengan demikian kekuatan pemulih pegas diberikan oleh hukum Htsoke yang akrab,
dengan k = 2a2 adalah konstanta pegas . Sebenarnya, ini adalah hbw kita mendefinisikan perpindahan kecil
fmm equilibrium, yaitu hukum yang sah menurut Hooke atau gaya pemulihnya linier.
Bahwa gaya yang diturunkan haruslah yang memulihkan adalah konsekuensi dari kenyataan bahwa
turunan dari fungsi energi potensial harus negatif untuk perpindahan positif
dari ekuilibrium dan sebaliknya untuk yang negatif. Hukum gerak kedua Newton untuk
Massa sekarang dapat ditulis sebagai
(3.2.4a)
(3.2.4b)
Persamaan 3.2.4b dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Ini adalah urutan kedua, linier
persamaan diferensial dengan koefisien konstan. Seperti yang dinyatakan sebelumnya, prinsip pengawasan
Posisi memegang untuk solusinya. Sebelum memecahkan persamaan di sini, kami tunjukkan karakter tersebut
acteristics kami mengharapkan solusi untuk dipamerkan. Pertama, gerakan bersifat periodik dan dibatasi.
Massa bergetar bolak-balik antara dua posisi yang membatasi. Misalkan kita menarik massa
keluar ke beberapa posisi Xmi dan kemudian lepaskan dari posisi diam. Kekuatan pemulih, awalnya sama
untuk menarik massa ke kiri pada Gambar 3.2.1, di mana ia menghilang pada x = 0, the
posisi keseimbangan. Massa sekarang menemukan dirinya bergerak ke kiri dengan beberapa kecepatan v,
dan itu melewati keseimbangan. Kemudian kekuatan pemulih mulai menumpuk
kekuatan seperti pegas menekan, tetapi sekarang diarahkan ke kanan. Ini memperlambat massa
turun sampai berhenti, hanya untuk sesaat, di beberapa posisi, Musim semi, sekarang sepenuhnya
ditekan, mulai mendorong massa kembali ke kanan. Tapi sekali lagi momentum membawanya
Pikirkan posisi keseimbangan sampai pegas yang sekarang merentang akhirnya berhasil menghentikannya—
kita mungkin menebak — pada konfigurasi awal sistem. Ini menyelesaikan satu siklus
tentang gerakan — sebuah siklus yang berulang, tampaknya selamanya! Jelas, fungsi yang dihasilkan
ketergantungan nasional x pada t harus diwakili oleh fungsi periodik dan terikat.
Fungsi sinus dan / atau kosinus muncul dalam pikiran, karena mereka menunjukkan jenis perilaku
kami jelaskan di sini. Sebenarnya, sinus dan cosinus adalah solusi nyata dari Persamaan 3.2.4b.
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 5/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Kemudian,
untuk kami
sinus dan menunjukkan
cosinus dan lebih bahwa fungsi lain,dalam
mudah digunakan eksponensial imajiner,
menggambarkan sebenarnya
sistem setara
yang lebih rumit segera
untuk didiskusikan.
Solusi diberikan oleh
Halaman 6
saya
410
-SEBUAH
Gambar 3.2.3 Perpindahan
versus w0t untuk yang sederhana
osilator harmonik.
(3.2.6)
=
adalah frekuensi sudut sistem. Gerakan yang diwakili oleh Persamaan 3.2.5 adalah a
osilasi sinusoidal tentang keseimbangan. Grafik perpindahan x versus co0t adalah
ditunjukkan pada Gambar 3.2.3. Gerakan ini menampilkan fitur-fitur berikut. (1) Karakter
dimediasi oleh kon frekuensi tunggal. Gerakan ini berulang setelah argumen sudut
ment dari fungsi sinus (w0t + maju dengan 2ir atau setelah satu siklus terjadi
(karenanya, frekuensi sudut nama untuk w0). Waktu yang diperlukan untuk kemajuan fase
2 bulan yang diberikan oleh
+ + 00 = + 00+ 2ir
(3.2.7)
mendekut
Perpindahan maksimum dari kesetimbangan terjadi pada waktu yang diberikan oleh kondisi
bahwa argumen sudut fungsi sinus sama dengan ir / 2, atau
COOtm (3.2.9)
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 6/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Orang biasanya menggunakan istilah frekuensi untuk merujuk pada kebalikan dari periode
osilasi atau
1
untuk = (3.2.10)
'0
Halaman 7
88 BAGIAN 3 Osilasi
wheref0 adalah jumlah siklus getaran per satuan waktu. Ini terkait dengan sudut
frekuensi w0 oleh
2irf0 = o0 (3.2.lla)
(3.2.llb)
T0 2m
Satuan frekuensi (siklus per detik, atau s ') disebut hertz (Hz) untuk menghormati
Heinrich Hertz, yang dikreditkan dengan penemuan gelombang radio. Perhatikan bahwa 1 Hz = 1 51 •
Frekuensi kata kadang-kadang digunakan sembarangan untuk berarti siklus per detik atau radial
ans per detik (frekuensi sudut). Arti biasanya jelas dari konteksnya.
SEBUAH (3.2.12c)
Untuk skenario yang lebih umum, pertimbangkan massa yang awalnya dipindahkan ke beberapa posisi x0
dan diberi kecepatan awal v0. Konstanta kemudian dapat ditentukan sebagai berikut:
(3.2.13c)
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 7/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
V0
(3.2.13d)
Solusi yang lebih umum ini mengurangi salah satu dari yang dijelaskan di atas, seperti yang dapat dengan mudah
dilihat dengan mengatur v0 atau x0 sama dengan nol.
Halaman 8
9 = o) 0t + 90 (3.2.14)
Titik ini berosilasi dalam gerakan harmonik sederhana ketika P mengelilingi lingkaran dengan seragam
gerakan sudut.
Gambar kami menggambarkan x sebagai fungsi cosinus. Kami dapat menunjukkan kesetaraan ini
ekspresi ke fungsi sinus yang diberikan oleh Persamaan 3.2.5 dengan mengukur sudut ke
vektor A dari sumbu y, bukan sumbu x seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2.4. Jika kita melakukan ini, itu
proyeksi A ke sumbu x diberikan oleh
Kita bisa melihat kesetaraan ini dengan cara lain. Kami mengatur perbedaan fase antara dan
untuk dan kemudian menggantikannya dengan persamaan di atas, memperoleh
(3.2.17a)
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 8/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Halaman 9
90 BAGIAN 3 Osilasi
Kami sekarang melihat bahwa gerak harmonik sederhana dapat dapat dijelaskan sama baiknya oleh func- sinus
atau fungsi kosinus. Yang kita pilih sebagian besar adalah masalah selera; itu tergantung
pilihan kami dari sudut fase awal ke dalam konstanta arbitrer.
Anda mungkin menebak dari komentar di atas bahwa kita dapat menggunakan jumlah sinus dan
fungsi cosinus untuk mewakili solusi umum untuk gerakan harmonik. Sebagai contoh, kita
dapat mengkonversi larutan sinus dari Persamaan 3.2.5 langsung ke bentuk seperti itu, menggunakan trigonometri
identitas metrik untuk sinus dari sejumlah sudut:
Baik A maupun muncul secara eksplisit dalam solusi. Mereka ada di sana secara implisit; itu adalah,
tanØ0 = 9- A2 = C2 + D2 (3.2.19)
D
F = - k (X - Xe) + mg (3.2.20)
tm CX
c e
Baru
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 9/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
kesetimbangan c
posisi
x
Halaman 10
x=X- = X - Xe - (3.2.21)
Menempatkan ini ke dalam Persamaan 3.2.20 memberi, setelah aljabar yang sangat sedikit,
F = - kx (3.2.22)
ml + kx = 0 (3.2.23)
dan solusi kami dalam hal x yang baru kami definisikan identik dengan case horizontal.
Sekarang harus jelas bahwa kekuatan eksternal konstan yang diterapkan pada osilasi harmonik
untuk hanya menggeser posisi keseimbangan. Persamaan gerak tetap tidak berubah jika
kami mengukur perpindahan x dari posisi keseimbangan baru.
CONTOH 3.2.1
Ketika pegas cahaya menyangga blok massa m dalam posisi vertikal, pegas ditemukan
untuk meregangkan dengan jumlah D1 di atas panjangnya yang tidak terentang. Jika blok selanjutnya
menarik ke bawah jarak D2 dari posisi keseimbangan dan melepaskan — katakanlah, pada
waktu t = 0 — temukan (a) gerakan yang dihasilkan, (b) kecepatan blok saat ia lewat
kembali ke atas melalui posisi keseimbangan, dan (c) percepatan blok di
bagian atas gerak berosilasi.
Larutan:
Pertama, untuk posisi keseimbangan yang kita miliki
di mana x dipilih positif ke bawah. Ini memberi kita nilai konstanta kekakuan:
k=
D1
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 10/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Dari sini kita dapat menemukan frekuensi sudut osilasi:
0) 0 =
Vm
Kami akan menyatakan gerakan dalam bentuk x (t) = A cos o0t + B sin a0t. Kemudian
x0 = D2 = A x0 = O = B0) 0 B=0
Halaman 11
92 BAGIAN 3 Osilasi
dalam hal jumlah yang diberikan. Perhatikan bahwa m tidak muncul di final
ekspresi. Kecepatannya kemudian
± (t) =
—D2
(b) ±= (pusat)
Di atas ayunan argumen istilah cosinus adalah ir (satu setengah periode), yang
memberi
(c) (teratas)
Dalam kasus D1 = D2, akselerasi ke bawah di bagian atas ayunan hanya g. Ini
berarti bahwa blok, pada saat itu, jatuh bebas; yaitu, musim semi diberikan-
tidak ada gaya pada blok.
CONTOH 3.2.2
Pendulum Sederhana
The disebut bandul sederhana terdiri dari plumb bob kecil massa m berayun di
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 11/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
ujung
lar arcstring yang panjang
didefinisikan dan tidak
oleh sudut dapatyang
8, seperti diukur dengan panjang
ditunjukkan. 1, Gambar 3.2.6.
Gaya memulihkan Gerakannya
adalah komponendidari
sepanjang sirkuit
berat mg yang bertindak ke arah peningkatan 8 di sepanjang jalan gerakan: F8 = —mg dosa &
Jika kita memperlakukan bob sebagai partikel, persamaan diferensial gerak adalah, oleh karena itu,
ms = —mgsinO
Sekarang s = 18, dan, untuk 8 kecil, sin 8 = 8 sampai perkiraan yang adil. Jadi, setelah membatalkan rn
dan mengatur ulang istilah, kita dapat menulis persamaan diferensial gerak dalam hal keduanya
8ors sebagai berikut:
Halaman 12
mg sinO
Meskipun gerakannya berada di sepanjang jalur lengkung bukan garis lurus, diferensial
persamaan secara matematis identik dengan osilator harmonik linier,
Persamaan 3.2.4b, dengan jumlah yang menggantikan k / rn. Dengan demikian, sejauh bahwa
imation sin 0 = 0 adalah valid, kita dapat menyimpulkan bahwa gerakan itu harmonis dengan
frekuensi sudut
coo =
dan titik
Formula ini memberikan periode sangat hampir 2 detik, atau setengah periode 1 detik, ketika panjangnya 1
adalah 1 m. Lebih tepatnya, untuk setengah periode 1 s, dikenal sebagai "pendulum detik: 'the
panjang yang tepat diperoleh dengan menetapkan T0 = 2s dan memecahkan untuk 1. Hal ini memberikan 1 = gut2 numer-
ically, ketika g diekspresikan dalam rn / s2. Di permukaan laut pada garis lintang 45 °, nilai akselerasi
erasi gravitasi adalah g 9,8062 rn / s2. Dengan demikian, panjang pendulum detik di
lokasi itu adalah 9,8062 / 9,8696 = 0,9936 rn.
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 12/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
(3.3.1)
Halaman 13
94 BAGIAN 3 Osilasi
Dalam hal mata air mematuhi hukum Hooke, pekerjaan disimpan di mata air sebagai potensi
energi: W = V (x), di mana
(3.3.2)
V (x) =
Jadi, = —dV / dx —Kx, seperti yang dipersyaratkan oleh definisi V. Total ketika
Partikel mengalami gerak harmonik, diberikan oleh jumlah kinetik dan potensial
energi, yaitu,
(3.33)
Persamaan ini melambangkan osilator harmonik dengan cara yang agak mendasar: Kinetic
energi kuadratik dalam variabel kecepatan, dan energi potensial kuadratik dalam
variabel perpindahan. Energi total adalah konstan jika tidak ada kekuatan lain kecuali
mengembalikan kekuatan yang bekerja pada partikel.
Gerakan partikel dapat ditemukan dengan memulai dengan persamaan energi (3.3.3).
Memecahkan untuk kecepatan memberi
dx
= j± [(2E / m) - (k / m) x I1/2 =
2
(3.3.5)
di mana C adalah konstanta integrasi dan A adalah amplitudo yang diberikan oleh
=
SEBUAH (3.3.6)
Setelah menyelesaikan persamaan terintegrasi untuk x sebagai fungsi oft, kami menemukan hubungan yang sama-
dikirimkan seperti pada bagian sebelumnya, dengan tambahan bahwa kami sekarang memiliki nilai eksplisit untuk
amplitudo. Kita juga dapat memperoleh amplitudo langsung dari persamaan energi (3.3.3)
dengan menemukan titik balik gerakan di mana ± = 0: Nilai x harus berada di antara
± A agar ± menjadi nyata. Ini diilustrasikan pada Gambar 3.3.1.
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 13/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Halaman 14
juga melihat dari persamaan energi bahwa nilai kecepatan maksimum, yang
kami memanggil terjadi pada x = 0. Dengan demikian, kita dapat menulis
(3.3.7)
CONTOH 3.3.1
V = mgh
di mana h adalah jarak vertikal dari level referensi (yang kami pilih sebagai level
dari posisi kesetimbangan). Untuk perpindahan melalui sudut 8 (Gbr. 3.2.6), kita lihat
bahwa h = 1— 1 karena 8, 50
Sekarang ekspansi seri untuk cosinus adalah cos 8 = 1 - 62/2! + -. •, jadi untuk yang kecil 0
kami memiliki sekitar cos 0 = 1 62/2. Ini memberi
-
V (6) = mgi 82
V (s) =
Dengan demikian, untuk perkiraan pertama, fungsi energi potensial adalah kuadrat di
variabel penempatan. Dalam hal s, total energi diberikan oleh
E=
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 14/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
CONTOH 3.3.2
Larutan:
dt
(K) = i 5roKod = 15Toi2
Halaman 15
96 BAGIAN 3 Osilasi
tapi
x = Dosa (w0t +
±= O) 0Acos (W0t + Ø0)
1 r2lr 2 1 t21r
du = l
2
untuk memperoleh
ç22r
1
—I cosudu = -
2 1
karena area di bawah istilah cos2 dan sin2 sepanjang satu siklus identik. Jadi,
(K) =
V= = sin2w0t
= -kA —i sinudu
.
2
2, rJ0
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 15/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
= (K)
=E
Energi kinetik rata-rata dan energi potensial adalah sama; oleh karena itu, rata-rata
energi osilator sama dengan total energi sesaat.
Halaman 16
Kesetimbangan
posisi
pegas kekakuan ringan k. Kami berasumsi bahwa ada kekuatan retardasi kental yang linear
fungsi kecepatan, seperti yang dihasilkan oleh hambatan udara pada kecepatan rendah.2 Gaya-gaya tersebut
ditunjukkan pada Gambar 3.4.1.
Jika x adalah perpindahan dari keseimbangan, maka gaya pemulih adalah —icr, dan the
gaya perlambatan adalah - c ±, di mana c adalah konstanta proporsionalitas. Persamaan diferensial
gerak, oleh karena itu, ml = —kx - atau
& + c ± + kx = O (3.4.1)
Seperti halnya undamped case, kami membagi Equation 3.4.1 dengan m untuk mendapatkan
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 16/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
m m (3.4.2)
c (3.4.3)
kamu-
2m
dan (= k / rn) ke dalam Persamaan 3.4.2, ia mengasumsikan bentuk yang lebih sederhana
(3.4.4)
Kehadiran istilah 2y ± yang tergantung pada kecepatan mempersulit masalah; sinus sederhana
atau solusi kosinus tidak berfungsi, karena dapat diverifikasi dengan mencobanya. Kami memperkenalkan metode
solusi yang bekerja dengan baik untuk persamaan diferensial orde kedua dengan konstanta
2 Seret nonlinier lebih realistis dalam banyak situasi; Namun, persamaan geraknya jauh lebih sulit
untuk menyelesaikan dan tidak dirawat di sini.
Halaman 17
98 BAGIAN 3 Osilasi
koefisien. Biarkan D menjadi operator diferensial dldt. Kami "beroperasi" pada x dengan kuadrat
fungsi D dipilih sedemikian rupa sehingga kami menghasilkan Persamaan 3.4.4:
[D2 =0 (3.4.5a)
Kami menafsirkan persamaan ini sebagai "operasi" oleh istilah dalam tanda kurung pada x. Operasi
oleh D2 berarti pertama beroperasi pada x dengan D dan kemudian beroperasi pada hasil operasi dengan
D lagi. Prosedur ini menghasilkan 1, suku pertama dalam Persamaan 3.4.4. Persamaan operator
(Persamaan 3.4.5a), oleh karena itu, setara dengan persamaan diferensial (Persamaan 3.4.4).
Penyederhanaan yang kita dapatkan dengan menulis persamaan dengan cara ini muncul ketika kita memfaktorkan
istilah operator, menggunakan teorema binomial, untuk mendapatkan
- gigi] [j +y + (3.4.5b)
[D + y - -
x =0
]
Operasi dalam Persamaan 3.4.5b identik dengan yang ada di Persamaan 3.4.5a, tetapi kita miliki
mengurangi operasi dari orde kedua menjadi produk dua orde pertama. Karena
urutan operasi adalah arbitrer, solusi umum adalah jumlah solusi yang diperoleh oleh
mengatur hasil setiap operasi urutan pertama pada x sama dengan nol. Jadi, kita dapatkan
x (t) = + (3.4.6)
dimana
q= - (3.4.7)
The siswa dapat memverifikasi bahwa ini adalah solusi dengan substitusi langsung ke Persamaan 3.4.4.
Namun, masalah yang segera kita temui adalah bahwa eksponen di atas mungkin nyata
atau kompleks, karena faktor q dapat menjadi imajiner. Kami melihat apa artinya ini hanya dalam a
menit.
Ada tiga skenario yang mungkin:
I. q real> 0 Overdamping
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 17/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
II q real = 0 Redaman kritis
AKU AKU AKU. q imajiner
Underdamping
I. Overdamped. Kedua eksponen dalam Persamaan 3.4.6 adalah nyata. Konstanta A1 dan
A2 ditentukan oleh kondisi awal. Gerakan ini merupakan peluruhan eksponensial
dengan dua konstanta peluruhan yang berbeda, (y - q) dan (y + q). Massa, diberi beberapa inisiatif
perpindahan tial dan dilepaskan dari keadaan diam, kembali perlahan ke keseimbangan, sebelum
ventilasi dari berosilasi oleh kekuatan redaman yang kuat. Situasi ini digambarkan
pada Gambar 3.4.2.
II Redaman kritis. Di sini q = 0. Kedua eksponen dalam Persamaan 3.4.6 masing-masing sama
untuk The dua konstanta A1 dan A2 tidak lagi independen. Jumlah mereka membentuk satu
konstan A. Solusinya berubah menjadi fungsi peluruhan eksponensial tunggal. Sebuah com-
solusi yang sangat umum membutuhkan dua fungsi yang berbeda dan konstanta independen
untuk memenuhi kondisi batas yang ditentukan oleh posisi awal dan kecepatan Untuk menemukan
solusi dengan dua konstanta independen, kita kembali ke Persamaan 3.4.5b:
(D + y) (D + y) x = 0 (3.4.8a)
Halaman 18
(D + y) u = 0 (3.4.8b)
kamu =
A = e $ (D + 'y) x = D (xert)
(349)
Solusinya terdiri dari dua fungsi yang berbeda, dan ei't, dan dua konstanta
integrasi, A dan B, sesuai kebutuhan. Seperti dalam kasus I, jika suatu massa dilepaskan dari istirahat sesudahnya
perpindahan awal, gerakannya adalah non-gerak, kembali secara asimptotik ke persamaan
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 18/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
librium. Kasus ini juga ditunjukkan pada Gambar 3.4.2. Redaman kritis sangat diinginkan
mampu di banyak sistem, seperti sistem suspensi mekanis kendaraan bermotor.
AKU AKU AKU. Underdamping. Jika r konstan adalah cukup bahwa kecil - <0, faktor q dalam
Persamaan 3.4.7 adalah imajiner. Massa awalnya mengungsi dan kemudian dilepaskan dari istirahat
berosilasi, tidak seperti situasi yang dijelaskan sebelumnya tanpa kekuatan redaman sama sekali. Itu
satu-satunya perbedaan adalah keberadaan faktor nyata — dalam eksponen solusi
yang mengarah pada kematian utama dari gerakan osilasi. Mari kita membalikkan bagian
tors di bawah tanda root kuadrat dalam Persamaan 3.4.7 dan tulis q sebagai Jadi,
= (3.4.10)
k. 4m2
= / Vm dipahami
dimana w0 dan adalah frekuensi sudut undamped dan underdamped
osilator harmonik, masing-masing. Kami sekarang menulis ulang solusi umum yang diwakili
oleh Persamaan 3.4.6 dalam hal faktor-faktor yang dijelaskan di sini,
-- , -' _e
(3.4.11)
=
Halaman 19
di mana konstanta integrasi adalah C ÷ dan C_. Solusinya berisi sejumlah gambar-
eksponensial awal. Tetapi solusinya harus nyata - itu seharusnya menggambarkan yang sebenarnya
dunia! Realitas ini menuntut itu dan C_ menjadi konjugat kompleks satu sama lain, a
kondisi yang pada akhirnya memungkinkan kita untuk mengekspresikan solusi dalam hal sinus dan / atau
cosinus. Dengan demikian, mengambil konjugat kompleks dari Persamaan 3.4.11,
x (t) (3.4.12a)
Karena x (t) adalah nyata, x * (t) = x (t), dan, oleh karena itu,
(3.4.12b)
= =
x (t) =
Ini terlihat seolah-olah kita memiliki solusi yang sekarang hanya memiliki konstan tunggal perusahaan integrasi
tion. Faktanya, C adalah bilangan kompleks. Ini terdiri dari dua konstanta. Kami dapat mengekspresikan
C dan C * dalam hal dua konstanta nyata, A dan 00, dengan cara berikut.
C
2 (3.4.13)
C
+ 2
Kita segera melihat bahwa A adalah perpindahan maksimum dan merupakan sudut fase awal
pergerakan. Dengan demikian, Persamaan 3.4.12b menjadi
x (t) = (3.4.14)
2 )
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 19/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Kami sekarang menerapkan identitas Euler3 untuk ekspresi di atas, sehingga diperoleh
A + i (wt + 9) = SEBUAH
d SEBUAH
cos (wdt + OO) + i— sln (wdt + 60)
Setelah diskusi kami di Bagian 3.2 tentang konstruksi vektor berputar, kami
lihat bahwa kita dapat mengekspresikan solusinya sama baiknya dengan fungsi sinus:
Konstanta A, 00, dan 00 memiliki interpretasi yang sama dengan yang ada pada Bagian 3.2. Faktanya,
kita melihat bahwa solusi untuk osilator underdamped hampir identik dengan solusi
osilator tidak teredam. Ada dua perbedaan: (1) Kehadiran eksponensial nyata
Faktor e1t menyebabkan kematian bertahap osilasi, dan (2) osilasi underdamped
frekuensi sudut lator adalah tidak karena adanya kekuatan redaman.
Identitas 3Euler menghubungkan eksponensial imajiner dengan sinus dan cosinus. Ini diberikan oleh ekspresi em = cos U +
saya sinu. Kesetaraan ini ditunjukkan dalam Lampiran D.
Halaman 20
x=A
2ir 2ir
Td = - = 2 2 1/2
(3.4.17)
Gambar 3.4.3 adalah plot gerakan. Persamaan 3.4.15a menunjukkan bahwa kedua kurva
diberikan oleh x = Ae_Tt dan x = _Ae_Yt membentuk sebuah amplop dari kurva gerak karena
faktor cosinus mengambil nilai antara +1 dan — i, termasuk +1 dan — i, pada titik mana
Kurva gerak menyentuh amplop. Dengan demikian, titik kontak dipisahkan
dengan interval waktu satu setengah periode, Td12. Poin-poin ini, bagaimanapun, tidak cukup
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 20/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
maksimal dan minimum perpindahan. Terserah kepada siswa untuk menunjukkan yang sebenarnya
maxima dan minima juga dipisahkan dalam waktu dengan jumlah yang sama. Dalam satu komplit
periode amplitudo berkurang oleh faktor e_7Ta; juga, dalam waktu y-1 = 2mIc yang ampli-
tude meluruh dengan faktor e1 = 0.3679.
Singkatnya, analisis kami terhadap osilator harmonik yang berjalan bebas menunjukkan bahwa
Kehadiran redaman dari tipe linier menyebabkan osilator, diberikan gerakan awal, untuk
akhirnya kembali ke keadaan istirahat pada posisi setimbang. Kembalinya ke keseimbangan
bisa berosilasi atau tidak, tergantung pada jumlah redaman. Kondisi kritis,
diberikan oleh r = mencirikan kasus pembatas dari mode pengembalian yang tidak berosilasi.
Pertimbangan Energi
The energi total osilator harmonik teredam diberikan oleh jumlah dari kinetik dan
energi potensial:
E= (3.4.18)
Ini konstan untuk osilator undamped, seperti yang dinyatakan sebelumnya. Mari kita bedakan
ungkapan di atas sehubungan dengan t:
Halaman 21
= —C ± 2 (3.4.20)
dt
untuk tingkat waktu perubahan total Kami melihat bahwa itu diberikan oleh produk
kekuatan redaman dan kecepatan. Karena ini selalu nol atau negatif, total
energi terus berkurang dan, seperti amplitudo, akhirnya menjadi diabaikan
kecil. Energi didisipasikan sebagai panas gesekan berdasarkan ketahanan kental terhadap
gerakan.
Faktor Kualitas
The tingkat kehilangan energi osilator harmonik teredam lemah yang terbaik ditandai dengan
satu parameter Q, disebut faktor kualitas osilator. Ini didefinisikan sebagai 2ir kali
energi yang tersimpan dalam osilator dibagi dengan energi yang hilang dalam satu periode osil
lation Td. Jika osilator teredam lemah, energi yang hilang per siklus kecil dan Q adalah,
oleh karena itu, besar. Kami menghitung Q dalam hal parameter yang sudah diturunkan dan menunjukkan itu
ini benar.
Tingkat rata-rata disipasi energi untuk osilator teredam diberikan oleh
Persamaan 3.4.20, E = jadi kita perlu menghitung Persamaan 3.4.16 memberikan x (t):
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 21/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
= jTa.d (3.4.22a)
Jika kita mengubah variabel integrasi menjadi 8 = O) dt + kemudian dt = dO / cod dan integral
selama periode Td berubah menjadi integral, dari menjadi 00 + 2ir. Nilai integral
selama siklus penuh tidak tergantung pada fase awal gerakan, jadi, demi
kesederhanaan, kami menjatuhkannya dari batas integrasi:
A2 2
(3.4.22b)
CLI
= —5 e [r sin U - 2103d sinO cos 0 +
2 2 2 2
cos e] lakukan
Sekarang kita dapat mengekstrak faktor eksponensial dari dalam integral, karena di
kasus redaman lemah nilainya tidak banyak berubah selama satu siklus tunggal
osilasi:
Halaman 22
The terpisahkan dari kedua sin2 6 an4 lebih dari satu siklus ir, sedangkan integral dari sinO
karena produk U menghilang. Jadi, sudah
—CA 2 2 2 2
iy + O) d) = - cAe
(DD
(3.4.22d)
=
di mana kami telah memanfaatkan hubungan = + dan y = c / 2m. Sekarang, jika kita mengidentifikasi
faktor redaman dengan konstanta waktu sehingga y = kami memperoleh untuk mag-
besarnya kehilangan energi dalam satu siklus
=
2
(3.4.22e)
= Td
E r
di mana energi disimpan dalam osilator (lihat Contoh 3.3.2) kapan saja t berada
E (t) = (3.4.23)
Jelas, energi yang tersisa di osilator selama siklus apa pun mati secara eksponensial
dengan waktu t konstan Karena itu, kami melihat bahwa faktor kualitas Q adalah hanya kali 2ir terbalik
dari rasio yang diberikan dalam ungkapan di atas, atau
2g 2irr
Q= = (3424)
(21r / bb) 2 tahun
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 22/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
(Tdk)
Untuk redaman lemah, periode osilasi Td jauh lebih sedikit daripada konstanta waktu yang
mencirikan tingkat kehilangan energi osilator. Q adalah besar di bawah keadaan seperti itu.
Tabel 3.4.1 memberikan beberapa nilai Q untuk beberapa jenis osilator.
CONTOH 3.4.1
Larutan:
Halaman 23
kasing teredam (Persamaan 3.4.9) adalah x (t) = (Di + jadi, fort = 0, x0 = B. Membedakan,
kami memiliki ± (t) = (A— yB - yAt) rfl, yang memberi ± 0 = A— yB = 0, soA = yB = yx0 inour
masalah. Demikian,
CONTOH 3.4.2
Frekuensi osilator harmonik teredam adalah setengah dari frekuensi yang sama
osilator tanpa redaman. Temukan rasio maksimum osilasi berturut-turut.
Larutan:
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 23/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
= e1088 = 0,00002
Ini adalah osilator yang sangat teredam.
CONTOH 3.4.3
Diberikan: Kecepatan terminal baseball jatuh bebas adalah 30 mIs. Dengan asumsi udara linier
seret, hitung efek hambatan udara pada bandul sederhana, menggunakan baseball sebagai
bob yang tegak lurus.
Larutan:
Dalam Bab 2 kami menemukan kecepatan terminal untuk kasus hambatan udara linier yang akan diberikan oleh
= mg / c1, dengan c1 adalah koefisien drag linier. Ini memberi
Halaman 24
Secara khusus, untuk baseball "pendulum detik" di mana setengah periode adalah 1 detik dalam
tidak adanya redaman, kami memiliki gil = jr2, jadi setengah periode dengan redaman dalam kasus kami adalah
Solusi kami agak melebih-lebihkan efek hambatan udara, karena fungsi drag
tion untuk bisbol lebih hampir kuadratik daripada linear dalam kecepatan kecuali pada sangat rendah
kecepatan, sebagaimana dibahas dalam Bagian 2.4.
CONTOH 3.4.4
Bola berbentuk jari-jari 0,00265 m dan massa 5 x kg melekat pada pegas
konstanta gaya k = .05 Nim di bawah air. Massa diatur untuk berosilasi di bawah aksi
musim semi. Koefisien viskositas untuk air adalah Nsim2. (a) Temukan
jumlah osilasi yang akan dieksekusi bola dalam waktu yang dibutuhkan untuk amplitudo
osilasi turun dengan faktor 2 dari nilai awalnya. (B) Hitung Q dari
osilator.
Larutan:
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 24/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Hukum Stokes untuk
proporsionalitas objek
dari yang±,bergerak
istilah dalam medium
dalam persamaan kental
gerak dapat digunakan
(Persamaan untuk menemukan c, konstanta
3.4.1) untuk
osilator teredam. Hubungannya adalah
lO5Nsim
Itu osilator mati secara eksponensial dengan konstanta waktu dan amplifier
tude menghilang sebagai A = A0e_tt2r. Jadi,
A= 1
=
SEBUAH 2
; .t = 2i'ln2
Akibatnya, jumlah osilasi selama ini adalah
n=
= Wd'V (lfl2) IJV
= Q (ln2) / ir
n = Q (1n2) / ir = 22
Jika kita bertanya berapa banyak osilasi akan terjadi pada waktu yang dibutuhkan untuk amplifier
sembunyikan untuk jatuhatau
ke sekitar 0,606 kali nilai awalnya, jawabannya pasti
QI2ir. Jelas Q adalah ukuran tingkat kehilangan osilator
Halaman 25
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 25/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
yang geraknya terbatas pada satu dimensi. Mari kita periksa gerak fase-ruang
osilator harmonik sederhana yang tidak tunduk pada kekuatan redaman. Solusinya
untuk posisi dan kecepatannya sebagai fungsi waktu diberikan sebelumnya oleh Persamaan 3.2.5
dan 3.2.12a:
Membiarkan y = kita menghilangkan t dari dua persamaan parametrik ini untuk menemukan persamaan
dari lintasan osilator dalam ruang fase:
2 2
(3.5.2)
=1
A2
Persamaan 3.5.2 adalah persamaan dari sebuah elips yang sumbu semimajornya adalah A dan yang semi-
sumbu minor adalah w0A. Yang ditunjukkan pada Gambar 3.5.1 adalah beberapa lintasan fase-ruang untuk har-
osilator momc. Lintasan hanya berbeda dalam amplitudo A dari osilasi.
Perhatikan bahwa lintasan fase-jalan tidak pernah berpotongan. Adanya titik yang sama
dua lintasan yang berbeda akan menyiratkan bahwa dua gerakan masa depan yang berbeda dapat berkembang
* Sekali lagi, seperti dicatat dalam Bab 2, bagian-bagian dalam teks yang ditandai dengan tanda bintang dapat dilewati tanpa hukum.
4Secara tegas, ruang fase didefinisikan sebagai ansambel titik (x, p) di mana x dan p adalah posisi dan
momentum partikel. Karena momentum berbanding lurus dengan kecepatan, ruang yang didefinisikan di sini adalah
dasarnya ruang fase.
Halaman 26
y 0
dari satu set kondisi suatu saat ;. Ini tidak dapat terjadi karena,
dimulai dengan nilai-nilai tertentu dari x (;) dan ± (t1), Newton hukum gerak-benar deter-
menambang kondisi gerak masa depan yang unik untuk sistem.
Perhatikan juga bahwa lintasan dalam kasus ini membentuk jalur tertutup. Dengan kata lain, the
gerak berulang itu sendiri, konsekuensi dari konservasi total energi
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 26/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
osilator monic. Faktanya, persamaan lintasan fasa-ruang (Persamaan 3.5.2) adalah
tidak lebih dari pernyataan bahwa energi total dilestarikan. Kami dapat menunjukkan ini dengan
mengganti E = kA2 dan = k / rn ke dalam Persamaan 3.5.2, memperoleh
2 2
=1 (3.5.3a)
2E / k 2E / m
CONTOH 3.5.1
Pertimbangkan partikel bermassa m yang memiliki kekuatan + kx, di mana x adalah jarak
penempatan partikel dari kesetimbangan. Hitung lintasan ruang fase dari
partikel.
Larutan:
The persamaan gerak partikel adalah = kx. Membiarkan Co2 = k / rn kita memiliki i - w2x =
0. Membiarkan y = x andy '= dy / dx yang kita miliki
= = yy ' = w2x atau ydy = w2xdx. Solusi
tion adalah y2 - w2x2 = C di mana C adalah konstanta integrasi. Lintasan ruang fase
ries adalah cabang-cabang hiperbola yang asimptotnya y = ± wx. Fase yang dihasilkan
plot ruang ditunjukkan pada Gambar 3.5.2. Lintasannya terbuka, memancar dari
asal, yang merupakan titik keseimbangan tidak stabil.
Halaman 27
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 27/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Ingat bahwa karena sudut fase awal 00 yang diberikan oleh kondisi yang I0 =
nya nilai untuk osilator teredam tidak tapi 00 = tan'Wd / y. Sulit untuk menghilangkan
nate t oleh kekuatan kasar dalam persamaan parametrik di atas. Sebaliknya, kita bisa menerangi
gerak dalam ruang fase dengan menerapkan urutan pergantian dan transformasi linear
dari koordinat ruang-fase yang menyederhanakan ekspresi di atas, mengarah ke formulir
kita sudah membahas untuk osilator harmonik. Pertama, gantikan p = Aei't dan
8 = (Oat + 00
x = p sinO (3.5.4c)
x = —p (y sinO — wd cosO) (3.5.4d)
y = WdpcosO (3.5.5)
Halaman 28
Kami kemudian kuadratkan persamaan ini dan melakukan beberapa aljabar untuk mendapatkan
y2
y2 = —X2)
(3.5.6)
fJ
Voila! Persamaan 3.5.6 identik dengan informasi untuk Persamaan 3.5.2. Tapi di sini variabel y adalah a
kombinasi linear x dan ansambel poin (x, y) mewakili a tahap
ruang. Lintasan osilator di ruang ini adalah elips yang besar dan kecil
sumbu, ditandai dengan p dan berkurang secara eksponensial dengan waktu. Lintasan dimulai
off dengan nilai maksimum x0 (= A sin dan kemudian berputar ke dalam ke arah asal. Itu
hasilnya ditunjukkan pada Gambar 3.5.3 (a). Perilaku lintasan dalam pesawat sim-
ilar dan ditunjukkan pada Gambar 3.5.3 (b). Dua lintasan ditunjukkan dalam plot untuk kasus-kasus tersebut
redaman yang kuat dan lemah. Yang mana harus jelas.
Seperti sebelumnya, Persamaan 3.5.6 tidak lain adalah persamaan energi untuk hared damped
osilator monic. Kami dapat membandingkannya dengan hasil yang kami peroleh dalam diskusi kami di
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 28/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Bagian 3.4 untuk laju disipasi energi pada osilator teredam yang lemah. Dalam kasus ini
redaman lemah, faktor redaman y kecil dibandingkan dengan oscilla- yang tidak terkekang
untuk frekuensi sudut (lihat Persamaan 3.4.10), dan, dengan demikian, kita miliki
(3.5.7)
Oleh karena itu, Persamaan 3.5.6 menjadi
(3.5.8)
hal
Perhatikan bahwa persamaan ini identik dalam bentuk untuk Persamaan 3.5.6, dan akibatnya
jectory terlihat pada bidang x pada Gambar 3.5.3 (b) untuk kasus redaman yang lemah sebenarnya
identik dengan lintasan fase-ruang yang dimodifikasi dari osilator lemah teredam yang ditunjukkan
pada Gambar 3.5.3 (a). Akhirnya, setelah mengganti k / rn untuk dan A2e27t untuk p2, kami dapatkan
= 2kAe
(3.5.9)
=
Jika kita membandingkan hasil ini dengan Persamaan 3.4.23, kita melihat bahwa itu mewakili total energi
tersisa di osilator pada waktu berikutnya t:
Energi osilator harmonik yang teredam lemah mati secara eksponensial dengan a
konstanta waktu = (27) _i. Sifat spiral dari lintasan fase-ruangnya mencerminkan fakta ini.
Halaman 29
0,4
Kuat -
0,2
pembasahan
—0.2
—0.4
x
(Sebuah)
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 29/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
0,4
0,2
—0.2
—0.4
Gambar 3.5.3 (a) Dimodifikasi fase-
plot luar angkasa (lihat teks) untuk yang sederhana
osilator harmonik. (B) Fase-ruang —0.6
merencanakan
= 0,5 c '). Underdamped —1 —0.5 0 0,5
atau
= AeTt (3.5.13)
Persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa lintasan fase-ruang harus mendekati garis lurus
yang mencegatnya nol dan yang kemiringannya sama dengan The fase-ruang plot ditampilkan di
Gambar 3.5.4 untuk gerak yang dimulai dengan kondisi (x0, = (1,0).
Halaman 30
—0.1
—0.2
x
—0.3
—0.4
Osilator Overdamped
Overdamping terjadi ketika parameter redaman y lebih besar dari frekuensi sudut
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 30/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Persamaan 3.4.6 kemudian memberikan solusi untuk gerak:
x (t) = + (3.5.14)
di mana semua eksponen itu nyata. Mengambil turunan dari persamaan ini, kami temukan
= —A2e) (3.5.15)
Seperti dalam kasus redaman kritis, jalur fase mendekati nol di sepanjang garis lurus.
Namun, pendekatan di sepanjang dua garis yang berbeda dimungkinkan. Untuk melihat siapa mereka sebenarnya
nyaman untuk membiarkan gerakan dimulai dari istirahat di beberapa perpindahan x0. Mengingat kon
disi, aljabar kecil menghasilkan nilai berikut untuk A1 dan A2:
A1
(y + q) A2 (3.5.16)
2q 2q
Beberapa aljabar lainnya menghasilkan yang berikut untuk dua kombinasi linear berbeda x dan x:
± + (y - q) x = (y -
(3.5.17a)
+ (y + q) x = (y + (3.5.1T)
Istilah di sisi kanan dari masing-masing persamaan di atas mati dengan waktu, dan,
dengan demikian, asimtot fase-ruang diberikan oleh pasangan garis lurus:
= - (y - q) x (3.5.18a)
x = - (y + q) x (3.5.18b)
Kecuali untuk kasus-kasus khusus, jalur fase-ruang gerak selalu mendekati nol di sepanjang
asymptote yang kemiringannya adalah - (y— q). Asimtot itu selalu "muncul menjadi ada" banyak
lebih cepat dari yang lain, karena faktor peluruhan eksponensial adalah (y + q) (Persamaan 3.5.17),
lebih besar dari keduanya.
Gambar 3.5.5 menunjukkan plot fase-ruang untuk osilator overdamp yang gerakannya
dimulai dengan nilai-nilai (x0, = (1,0), bersama dengan asymptote yang kemiringannya adalah - (y - q).
Perhatikan seberapa cepat lintasan terkunci pada asymptote, tidak seperti kasus kritis
redaman, di mana ia mencapai asymptote hanya menjelang akhir gerakannya. Jelas,
overdamping adalah cara paling efisien untuk menjatuhkan osilasi dari gerakan osilasi!
Halaman 31
—0.05
—0.1
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 31/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
CONTOH 3.5.2
Partikel satuan massa tunduk pada gaya redaman dan kekuatan yang bergantung pada kekuatannya
perpindahan x dari titik asal yang bervariasi sebagai + x - x3. (a) Temukan titik-titik keseimbangan
dari partikel dan apakah mereka stabil atau tidak stabil. (B) Gunakan Mathcad
untuk merencanakan lintasan fase-ruang untuk partikel selama tiga set kondisi awal:
(x, y) = (i) (—1, 1.40) (ii) (—1, 1.45) (iii) (0,01,0) dan jelaskan gerakan yang dihasilkan.
Larutan:
+ - x + x3 = 0
Biarkan y = x. Kemudian
= —Y + x -
Pada keseimbangan, y = 0 dan = 0. Ini puas jika
x — x3 = x (1 — x2) = x (1 —x) (1 + x) = 0
Melakukan ekspansi dan menjatuhkan semua persyaratan non-linear di dalam kita, kita dapatkan
Halaman 32
Fase Spacey vs x
Gambar 3.5.6 Ruang fase Kondisi Awal Kondisi Awal Mulai Kondisi
(—1,1,4) (—1,1,45) (0,01,0)
plot untuk = 0.
Jika (1 - <0 gerakan adalah osilasi stabil dan teredam yang akhirnya berhenti
= x0. Jika (1— > 0 partikel bergerak menjauh dari x0 dan kesetimbangan tidak stabil.
Jadi, x = ± 1 adalah titik keseimbangan stabil dan x0 adalah titik yang tidak stabil.
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 32/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
(B) Tiga grafik pada Gambar 3.5.6 dihasilkan dengan menggunakan persamaan rkfzxed Mathcad
pemecah tion untuk menyelesaikan persamaan gerak nonlinier lengkap secara numerik. Dalam semua
kasus, tidak peduli bagaimana gerakan dimulai, partikel membelok jauh dari x = 0 dan
akhirnya berakhir pada x = ± 1. Gerakan untuk set ketiga kondisi awal
sangat mencerahkan. Partikel dimulai saat istirahat dekat, tetapi tidak tepat pada,
= 0. Partikel dihalau dari titik itu, masuk ke osilasi teredam
sekitar x = 1, dan akhirnya beristirahat di sana. Poin x = ± 1 disebut attrac-
tor dan titik x = 0 disebut repellor.
Fitur yang paling mencolok dari osilator semacam itu adalah cara responsnya sebagai fungsi
frekuensi mengemudi bahkan ketika kekuatan pendorong adalah amplitudo tetap. Fenomena luar biasa
Nomenon terjadi ketika frekuensi mengemudi mendekati nilainya dengan frekuensi alami w0 of
osilator. Ini disebut resonansi. Siapa pun yang pernah mendorong seorang anak di ayunan tahu
bahwa amplitudo osilasi dapat dibuat cukup besar jika bahkan dorongan terkecil dibuat
pada waktu yang tepat. Kecil, gaya periodik diberikan pada osilator pada frekuensi jauh di atas
atau di bawah frekuensi alami jauh kurang efektif; amplitudo tetap kecil. Kami ini-
bahas diskusi kita tentang gerak harmonik paksa dengan deskripsi kualitatif tentang perilaku tersebut.
Untuk yang kita harapkan. Kemudian kami melakukan analisis terperinci tentang persamaan gerak
(Persamaan 3.6.1), dengan mata kita dikupas untuk penampakan fenomena resonansi.
Kita sudah tahu bahwa osilator harmonik yang tidak terkontrol, terkena
kekeruhan yang menggesernya dari posisi kesetimbangannya, berosilasi pada frekuensi alaminya,
= 1j (k / m). Kekuatan disipatif yang tak terhindarkan hadir dalam setiap sistem nyata mengubah
frekuensi osilator sedikit, dari w0 ke (Dd, dan menyebabkan osilasi gratis mati.
Gerakan ini diwakili oleh solusi untuk persamaan diferensial homogen
(Persamaan 3.4.1, yaitu Persamaan 3.6.1 tanpa kekuatan pendorong hadir). Berkala
Halaman 33
kekuatan pendorong melakukan dua hal pada osilator: (1) Ia memulai osilasi "bebas" pada levelnya.
frekuensi ural, dan (2) memaksa osilator bergetar pada akhirnya pada frekuensi mengemudi
w. Untuk waktu yang singkat gerakan sebenarnya adalah superposisi linear dari osilasi pada keduanya
frekuensi, tetapi dengan satu sekarat dan yang lainnya bertahan. Gerakan yang mati
disebut sementara. Gerakan bertahan terakhir, osilasi pada frekuensi mengemudi,
disebut gerakan tunak. Ini merupakan solusi untuk persamaan tidak homogen
(Persamaan 3.6.1). Di sini kita hanya fokus pada gerakan kondisi-mapan, yang fitur yang diantisipasi
kami jelaskan di bawah ini. Untuk membantu dalam proses deskriptif, kami mengasumsikan untuk saat ini
itu istilah redaman semakin kecil. Sayangnya, perkiraan ini mengarah
ke absurditas fisik bahwa istilah sementara tidak pernah hilang — suatu situasi yang agak paradoksal
untuk fenomena yang digambarkan oleh kata sementara! Kami mengabaikan kesulitan ini
dan fokus sepenuhnya pada deskripsi kondisi-mapan, dengan harapan kesederhanaan diperoleh
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 33/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
perkiraan ini memberi kita wawasan yang membantu ketika kita akhirnya memecahkan masalah
didorong, osilator teredam.
Dengan tidak adanya redaman, Persamaan 3.6.1 dapat ditulis sebagai
ml + kx = karena wt (3.6.2)
Fitur paling dramatis dari gerakan yang dihasilkan dari osilator yang digerakkan dan tidak terbendung ini adalah
respons yang sangat besar di w = ;. Ini akan segera kita lihat, tetapi apa tanggapannya
kami mengantisipasi keduanya sangat rendah (o dan tinggi (w >> frekuensi? Pada fre rendah
Dalam beberapa contoh, kita mungkin berharap bahwa istilah inersia ml diabaikan dibandingkan dengan pegas
kekuatan —kx. Musim semi akan terlihat sangat kaku, menekan dan sangat rileks
perlahan, dengan osilator bergerak cukup banyak dalam fase dengan tenaga penggerak. Demikian kita
mungkin menebak itu
x A cos wt
Pada frekuensi tinggi akselerasi harus besar, jadi kita bisa menebak bahwa ml seharusnya
mendominasi kekuatan pegas —kx. Respons, dalam hal ini, dikendalikan oleh massa
osilator. Pemindahannya harus kecil dan 1800 keluar dari fase dengan kekuatan pendorong,
karena percepatan osilator harmonik adalah 180 ° dari fase dengan perpindahan.
Keabsahan dari pertimbangan awal ini muncul selama proses perolehan
solusi aktual.
Pertama, mari kita selesaikan Persamaan 3.6.2, yang mewakili osilator yang digerakkan dan tidak tercabut. Di
sesuai dengan deskripsi kami sebelumnya tentang gerak harmonik, kami mencoba solusi bentuk
Jadi, kita mengasumsikan bahwa gerakan tunak adalah harmonis dan dalam tunak itu
harus merespons pada frekuensi mengemudi w. Kami mencatat, bagaimanapun, bahwa tanggapannya mungkin
berbeda dalam fase dari kekuatan pendorong dengan jumlah 0 bukan hasil dari beberapa
kondisi awal! (Tidak masuk akal untuk berbicara tentang kondisi awal untuk suatu
solusi state.) Untuk melihat apakah solusi yang diasumsikan ini berfungsi, kita gantikan dengan Persamaan 3.6.2,
mendapatkan
Halaman 34
Ini berfungsi jika 0 hanya dapat mengambil dua nilai, 0 dan ir. Mari kita lihat apa yang tersirat dari ini
kebutuhan. Memecahkan persamaan di atas untuk 0 = 0 dan masing-masing, menghasilkan
F0 / m
A =, 2
2 2
ØJt CO> Co0
(o -0) 0)
Kami memplot amplitudo A dan sudut fase 0 sebagai fungsi Coin Gambar 3.6.1. Memang, seperti
dapat dilihat dari plot, ketika 0) melewati Coo, amplitudo menjadi bencana
besar, dan, mungkin bahkan lebih mengejutkan, perpindahan bergeser secara tidak berkesinambungan
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 34/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
dari berada di fase dengan kekuatan pendorong menjadi 180 ° keluar dari fase. Benar, hasil ini
secara fisik tidak mungkin. Namun, mereka mengidealkan situasi nyata. Seperti yang akan kita lakukan
segera melihat, jika kita membuang hanya dalam redaman kecil, di w dekat dengan Co0 dengan amplitudo menjadi besar
tapi terbatas. Pergeseran fase "smooths out"; tidak lagi terputus-putus, meskipun bergeser
masih cukup tiba-tiba.
Perbedaan fase 00 dan 180 ° antara pemindahan dan tenaga penggerak dapat
didemonstrasikan secara sederhana dan jelas. Pegang ujung pensil yang lebih ringan atau gunting
(ditutup) atau sendok dengan hati-hati di antara jari telunjuk dan ibu jari, meremasnya cukup keras
bahwa itu tidak jatuh. Untuk menunjukkan perbedaan fase 00, gerakkan perlahan tangan Anda ke belakang
dan sebagainya secara horizontal dalam arah yang sejajar dengan garis yang terbentuk di antara jari telunjuk Anda
dan jempol. Bagian bawah pendulum darurat ini berayun bolak-balik dalam fase dengan
gerakan tangan dan dengan amplitudo lebih besar dari gerakan tangan. Untuk melihat 180 °
saya
Di
F01k
(Sebuah)
Halaman 35
pergeseran fasa , gerakkan tangan Anda maju dan mundur dengan agak cepat (frekuensi tinggi). Bagian bawah
pendulum hampir tidak bergerak sama sekali, tapi gerakan util yang dilakukannya adalah 1800 keluar
fase dengan gerakan tangan.
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 35/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
F = F0e '°' t (3.6.3)
(3.6.4)
Variabel xis sekarang kompleks, seperti kekuatan yang diterapkan F. Ingat, bagaimanapun, bahwa oleh Euler
identitas bagian nyata dari F adalah cos wt.5 Jika kita menyelesaikan Persamaan 3.6.4 untuk x, bagian yang sebenarnya akan
menjadi solusi untuk Persamaan 3.6.1. Bahkan, ketika kami menemukan solusi untuk persamaan kompleks di atas
tion (Persamaan 3.6.4), kita dapat yakin bahwa bagian nyata dari kedua belah pihak adalah sama (seperti juga
bagian imajiner). Ini adalah bagian nyata yang setara dengan Persamaan 3.6.1 dan, dengan demikian,
situasi fisik yang nyata.
Untuk solusi steady-state, oleh karena itu, mari kita coba eksponensial kompleks
x (t) = (3.6.5)
di mana amplitudo A dan perbedaan fasa 0 adalah konstanta yang harus ditentukan. Jika ini
"tebak" benar, kita harus punya
vi +c + = (3.6.6a)
cit cit
berlaku untuk semua nilai sering. Setelah melakukan operasi yang ditunjukkan dan membatalkan
faktor umum kami menemukan
A (k - mw2) = F0 cos 0
(3.6.7a)
cwA = F0sinØ
Setelah membagi yang kedua dengan yang pertama dan menggunakan identitas tan 0 = sin Ø kami
/ cos memperoleh
hubungan berikut untuk sudut fase:
CC)
tanØ = 2
(3.6.Terima)
k-mw
Halaman 36
Dengan mengkuadratkan kedua sisi Persamaan 3.6.7a dan menambahkan dan menggunakan identitas
sin2 0 + 0 = 1, kami temukan
Kita kemudian dapat menyelesaikan untuk A, amplitudo dari osilasi kondisi-mapan, sebagai fungsi dari
frekuensi mengemudi:
(3.6.7d)
[(k — mw2) 2 + c2 &] 112
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 36/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Dalam hal singkatan kami sebelumnya = k / rn dan y = c / 2m, kita bisa menulis expres-
Sions dalam bentuk lain, sebagai berikut:
tanØ = 2 (3.6.8)
coo - Co
F13 / m
A (w) = (3.6.9)
1/2
+ 472w2]
= (3.6.10)
Cor mendekati co0 karena y, istilah redaman, menjadi nol. Karena frekuensi sudut
) L'2 -
dari osilator teredam yang berjalan bebas diberikan oleh Cod = kita punya
(3.6.11)
Ketika redaman lemah, dan hanya dalam kondisi ini, frekuensi resonansi Corp
cod frekuensi osilator yang berjalan bebas, teredam, dan frekuensi alami w0 dari
osilator undamped pada dasarnya identik.
Pada ekstrim redaman kuat, tidak ada resonansi amplitudo yang terjadi jika y>
karena amplitudo kemudian menjadi fungsi monoton penurunan w. Untuk melihat
ini, pertimbangkan kasus pembatas = Persamaan 3.6.9 kemudian memberi
F01m F0 / m
A (w) = 1/2 = 1/2 (3.6.12)
_w2) 2
Halaman 37
10
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 37/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
0
0 0,5 1 1.5 2
n
(Sebuah)
CONTOH 3.6.1
Seismograf dapat dimodelkan sebagai massa yang ditangguhkan oleh pegas dan dash pot dari a
platform yang melekat pada Bumi (Gambar 3.6.3). Osilasi Bumi dilewatkan
melalui platform ke massa yang ditangguhkan, yang memiliki "pointer" untuk merekam disnya
penempatan relatif ke platform. Dashpot memberikan kekuatan redaman. Idealnya,
perpindahan A dari massa relatif ke platform harus benar-benar meniru perpindahan-
ment of the Earth D. Temukan persamaan gerak dari massa m dan pilih parame-
ters; dan untuk memastikan thai A terletak dalam 10% dari D. Asumsikan selama gempa bumi itu
Bumi berosilasi dengan gerakan harmonik sederhana atf = 10 Hz.
Larutan:
Pertama kita menghitung persamaan gerak dari massa m. Misalkan platform bergerak
ke bawah jarak z relatif ke posisi awal dan m yang bergerak ke bawah
posisi y relatif terhadap platform. Plunger di dashpot bergerak ke bawah
Halaman 38
t
Peron
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 38/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
kecepatan sementara pot berisi cairan redaman bergerak ke bawah dengan kecepatan +
oleh karena itu, perlambatan, kekuatan redaman diberikan oleh cy. Jika 1 adalah panjang alami pegas,
kemudian
F = mg — cy — k (y — l) = m (y + z)
Kita membiarkan y = x + mg / k + 1, sehingga x adalah perpindahan massa dari kesetimbangannya
posisi (lihat Gambar 3.2.5), dan, dalam hal x, persamaan gerak menjadi
+ c ± + kx =
Selama getaran, platform berosilasi dengan gerakan harmonik sederhana dari amplitudo
D dan frekuensi sudut Co = kami memiliki z = Debit. Jadi,
Membandingkan dengan Persamaan 3.6.4, dan mengaitkan F (/ m dengan DCo2, solusi untuk
amplitudo osilasi yang diberikan oleh Persamaan 3.6.9 dapat dinyatakan di sini sebagai
A= Co2) + 472Co2]
SEBUAH
=
]
Memperluas istilah dalam penyebut memberi
A=
]
Halaman 39
Kami dapat memastikan bahwa AD untuk nilai wajar o dengan menetapkan 272 = 0 dan w0 / a <0. -
Sebagai contoh, untuk perbedaan fraksional antara A dan D 10%, kami memerlukannya
/
D—A (
= 1–11 + —i saya( 1
10
atau oj0 <0.84o
D
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 39/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Ini berarti bahwa frekuensi osilator berjalan bebas adalah
f0
y= = 36.
Biasanya, ini membutuhkan penggunaan mata air "lunak" dan massa yang berat.
- F01m
saya 2 2 (3.6.13a)
—Y
-
(3.6.13b)
2ymo0
Dengan demikian, amplitudo osilasi terinduksi pada kondisi resonansi menjadi sangat
besar jika faktor redamannya sangat kecil, dan sebaliknya. Dalam sistem mekanis besar
amplitudo resonansi mungkin atau mungkin tidak diinginkan. Dalam hal motor listrik, untuk
contoh, karet atau pegas digunakan untuk meminimalkan transmisi getaran. Itu
kekakuan mount ini dipilih untuk memastikan bahwa frekuensi resonansi yang dihasilkan
jauh dari frekuensi menjalankan motor.
(3614a)
4y2w2 - (3.6.14b)
Halaman 40
Ini, bersama dengan ungkapan untuk izinkan kami untuk menulis persamaan amplitudo di
formulir perkiraan berikut:
A (w) (3.6.15)
2
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 40/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
The persamaan di atas menunjukkan bahwa ketika 1W0 - = ya, ekuivalen, jika
(3.6.16)
kemudian
(3.6.17)
2
Ini berarti bahwa y adalah ukuran lebar kurva resonansi. Jadi, 2y adalah fre-
Perbedaan quency antara titik-titik di mana energi turun oleh faktor dari
itu pada resonansi, karena sebanding dengan A2.
Faktor kualitas Q didefinisikan dalam Persamaan 3.4.24, yang mencirikan tingkat
kerugian dalam osilator harmonik teredam, teredam, juga mencirikan ketajaman
dari puncak resonansi untuk osilator yang digerakkan. Dalam kasus redaman lemah, Q bisa
diekspresikan sebagai
(3.6.18)
2 tahun
= (3.6.19a)
ACO Af 1
o0f0Q = (3.6.19b)
Halaman 41
Perbedaan Fase 0
Persamaan 3.6.8 memberikan perbedaan dalam fase q) antara kekuatan penggerak yang diterapkan dan
respons tunak:
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 41/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
-1 2yo
0 = tan
(2 - 0) 2) (3.6.20)
Perbedaan fase diplot pada Gambar 3.6.2 (b). Kami melihat itu untuk yang terdorong, tidak terkendali
osilator, 0 adalah 00
batas frekuensi 0);
untuk nyata. dan
gerakan 1800 untuk
Selanjutnya, O> 0) 0. Nilai
0 berubah secara- nilai
tidakini adalahpada
kontinu rendah
o dan tinggi =
Ini juga merupakan idealisasi dari gerakan nyata di mana transisi antara dua batas
halus, meskipun untuk redaman yang sangat kecil itu cukup tiba-tiba, pada dasarnya berubah dari
satu batas ke yang lain sebagai Co melewati wilayah dalam ± 7 tentang
Pada frekuensi mengemudi rendah kita melihat 0 0 dan responsnya hampir masuk
fase dengan kekuatan pendorong. Bahwa ini masuk akal dapat dilihat pada pemeriksaan
amplitudo osilasi (Persamaan 3.6.9). Dalam batas frekuensi rendah, itu menjadi
- ÷ 0) = = (3.6.21)
Dengan kata lain, sama seperti yang kami klaim selama diskusi awal kami tentang osilasi didorong
lator, pegas, dan bukan massa atau gesekan, yang mengendalikan respons; massanya lambat
didorong bolak-balik oleh kekuatan yang bertindak terhadap kekuatan perlambatan pegas.
Pada resonansi responsnya bisa sangat besar. Secara fisik, bagaimana ini bisa terjadi? Mungkin
beberapa wawasan dapat diperoleh dengan berpikir tentang mendorong anak di ayunan. Bagaimana ini dilakukan?
Jelas, siapa pun yang memiliki pengalaman mendorong ayunan tidak berdiri di belakang anak
dan dorong ketika ayunan ada di belakang. Satu mendorong ke arah yang sama
ayunan bergerak, pada dasarnya dalam fase dengan kecepatannya, terlepas dari posisinya. Untuk mendorong
anak kecil, kita biasanya berdiri agak ke samping dan memberikan dorongan yang sangat kecil untuk-
menangkal ketika ayunan melewati posisi keseimbangan, ketika kecepatannya maksimum
ibu dan perpindahannya nol! Sebenarnya, ini adalah cara optimal untuk mencapai a
kondisi resonansi; kekuatan yang agak lembut, diterapkan dengan bijaksana, dapat menyebabkan penguat besar
dari osilasi. Amplitudo maksimum pada resonansi diberikan oleh Persamaan 3.6.13a
dan, dalam kasus redaman lemah, dengan Persamaan 3.6.13b, F0 / 27mCo0. Tapi dari
ekspresi di atas untuk amplitudo sebagai 0) 0, kami memiliki A (Co 0) Oleh karena itu,
rasio adalah
SEBUAH
maks F0 / (27mCo0) (D0
= (3622)
A (w - * 0) 2 tahun
Hasilnya hanyalah Q dari osilator. Bayangkan apa yang akan terjadi pada anak itu
ayunan jika tidak ada kerugian gesekan! Kami akan terus memompa sedikit
energi ke ayunan berdasarkan siklus demi siklus, dan tanpa kehilangan energi per siklus, penguat
tude akan segera tumbuh ke dimensi bencana.
Sekarang mari kita lihat perbedaan fasa. Di w = = Oleh karena itu, perpindahan
"tertinggal", atau berada di belakang, kekuatan pendorong oleh 9Ø0 • Dalam pandangan pembahasan sebelumnya, ini harus
masuk akal. Waktu optimal untuk membuang energi ke osilator adalah ketika berayun
Halaman 42
melalui nol pada kecepatan maksimum, yaitu, ketika input daya F. v adalah maksimum. Untuk
contoh, bagian nyata dari Persamaan 3.6.5 memberikan perpindahan osilator:
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 42/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
x (t) = = A (o)) cos (alt - (3.6.23)
coso0t (3.6.27)
kita dapat melihat bahwa tenaga penggerak memang dalam fase dengan kecepatan osilator, atau
90 ° di depan perpindahan.
Akhirnya, untuk nilai besar Cu >> w0, 0 p , r, dan perpindahan adalah 1800 keluar dari fase
dengan kekuatan pendorong. Amplitudo perpindahan menjadi
)
_4._ (3.6.28)
mCu
Dalam hal ini, amplitudo jatuh sebagai 1 / Cu2. The massa merespon dasarnya seperti objek bebas,
dengan cepat diguncang bolak-balik oleh kekuatan yang diterapkan. Efek utama dari pegas
adalah untuk menyebabkan perpindahan tertinggal dari tenaga penggerak sebesar 180 °.
Halaman 43
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 43/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Mekanis Kelistrikan
x Pemindahan q Biaya
± Kecepatan q=i Arus
m Massa L. Induktansi
k Kekakuan C1 Timbal balik dari kapasitansi
c Resistensi redaman R Perlawanan
F Memaksa V Perbedaan potensial
CONTOH 3.6.2
Faktor redaman eksponensial y dari sistem suspensi pegas adalah sepersepuluh kriteria
nilai kal. Jika frekuensi undamped adalah COo, cari (a) frekuensi resonansi, (b) kualitas
faktor, (c) sudut fase 0 ketika sistem didorong pada frekuensi Co = w0 / 2, dan
(D) amplitudo steady-state pada frekuensi ini.
Larutan:
(a) Kami memiliki y = =; 110, dari Persamaan 3.4.7, jadi dari Persamaan 3.6.10,
CO0
2yw =
= tan_li
[
= 0,133 = 7,6 °
(d) Dari Persamaan 3.6.9 pertama-tama kita menghitung nilai penyebut resonansi:
- 2/4) 2
D (a = w0 / 2) =
+ 4 (COo / 1O) 2 (Co012) 2]
= [(9 (16) + =
F0 / m F0
A (CO = Co012) = = 1.322—
Perhatikan bahwa faktor (Fo / mWo2) = F01k adalah amplitudo steady-state untuk zero driv-
frekuensi.
Halaman 44
* 37
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 44/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Osilator Nonlinear:
Perkiraan Metode
Berturut-turut
Ketika suatu sistem dipindahkan dari posisi setimbangnya, gaya pemulih dapat bervariasi
cara selain dari proporsi langsung ke perpindahan. Misalnya, pegas mungkin
tidak mematuhi hukum Hooke dengan tepat; juga, dalam banyak kasus fisik fungsi gaya pemulihan adalah
inheren nonlinear, seperti halnya dengan pendulum sederhana yang dibahas dalam contoh
mengikuti
Dalam kasus nonlinier, gaya pemulih dapat dinyatakan sebagai
ml + kx = e3x3 (3.7.3)
(3.7.4)
x = A cos wt (3.7.5)
di mana, seperti yang kita lihat, w tidak sama dengan Memasukkan solusi uji coba kami ke
persamaan ential memberi
Pada langkah terakhir kita telah menggunakan identitas trigonometri cos3 u = cos u + cos 3u, yang
mudah diturunkan dengan menggunakan relasi cos3 u = [(eiu + Setelah transposing dan col-
istilah kuliah, kita dapatkan
Tidak termasuk kasus sepele A = 0, kami melihat bahwa solusi uji coba kami tidak persis memuaskan
persamaan diferensial. Namun, perkiraan nilai o., Yang berlaku untuk kecil
Halaman 45
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 45/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
A., diperoleh dengan mengatur jumlah dalam tanda kurung sama dengan nol. Ini menghasilkan
0) 2
= (3.7.7a)
(
(0 = (3.7.T)
J
untuk frekuensi osilator nonlinear kami yang berjalan bebas. Seperti yang bisa kita lihat, itu adalah fungsi
tion dari amplitudo A.
Untuk mendapatkan solusi yang lebih baik, kita harus memperhitungkan istilah menggantung di
Persamaan 3.7.6b melibatkan harmonik ketiga, cos 3ot. Oleh karena itu, kami mengambil uji coba kedua
solusi bentuk
x = A cos wt + B cos 3wt (3.7.8)
Menempatkan ini ke dalam persamaan diferensial, kami temukan, setelah mengumpulkan istilah,
(_w2 - coswt + (_ 9Bw2
(379)
+ (istilah yang melibatkan dan kelipatan wt lebih tinggi) = 0
Mengatur kuantitas pertama dalam tanda kurung sama dengan nol memberikan nilai yang sama untuk co ditemukan
dalam Persamaan 3.7.7. Menyamakan yang kedua dengan nol memberikan nilai untuk koefisien B, yaitu,
= tA3 - tA3
B 2 2 (3.7.9b)
—90) + w0 —32w0 + 27AA 32w0
di mana kita mengasumsikan bahwa istilah dalam penyebut yang melibatkan A.A2 cukup kecil
mengabaikan. Perkiraan kedua kami dapat dinyatakan sebagai
x = A coswt— 2
cos30) t (3.7.10)
32w0
Kami berhenti pada titik ini, tetapi prosesnya dapat diulang untuk menemukan perkiraan ketiga
tion, dan sebagainya.
Analisis di atas, meskipun diakui sangat kasar, memunculkan dua fitur penting
perekrutan osilasi gratis di bawah gaya pemulihan nonlinier; yaitu periode osilasi
adalah fungsi dari amplitudo getaran, dan osilasi tidak sepenuhnya sinusoidal tetapi
dapat dianggap sebagai superposisi dari campuran harmonik. Getaran dari
sistem linier yang digerakkan oleh tenaga penggerak murni sinusoidal juga terdistorsi; itu mengandung
harmonik. Pengeras suara sistem stereo, misalnya, dapat menimbulkan distorsi (
monics) melebihi dan di atas yang diperkenalkan oleh sistem penguatan elektronik.
CONTOH 3.7.1
sin 6 = 6—— + - -
3! 5!
Halaman 46
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 46/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
sehingga persamaan diferensial untuk pendulum sederhana , O + (gil) sinO = 0, dapat ditulis
sepuluh dalam bentuk Persamaan 3.7.2, dan, dengan hanya mempertahankan istilah linier dan kubik
dalam ekspansi untuk sinus, persamaan diferensial menjadi
3!
di mana = gil. Ini secara matematis identik dengan Persamaan 3.7.4 dengan konstanta
= = Ekspresi yang ditingkatkan untuk frekuensi sudut, Persamaan 3.7.
lalu memberi
r , 112 ,-
saya saya A2
2
j
dan
T= = 2ir Ii— =
oJ
8) 8)
untuk periode pendulum sederhana. Di sini A adalah amplitudo osilasi yang diekspresikan
dalam radian. Metode pendekatan kami menunjukkan bahwa periode untuk amplitudo bukan nol
lebih panjang dengan faktor (1 - A2 / 8) "2 daripada yang dihitung sebelumnya, dengan asumsi sinO = 6. Untuk
misalnya, jika pendulum berayun dengan amplitudo 900 = , r / 2 radian (a cukup
amplitudo besar), faktornya adalah (1— = 1,2025, jadi periode sekitar 20% lebih lama
dari periode untuk amplitudo kecil. Ini jauh lebih besar dari kenaikan yang seharusnya
untuk redaman bandul bisbol, diperlakukan dalam Contoh 3.4.3.
saya
(3.7.11)
6B. van der Pol, Phil. Mag. 2.978 (1926). Juga lihat TL Chow, Mekanika Klasik, New York, NY Wiley, 1995.
Halaman 47
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 47/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
128 BAGIAN 3 Osilasi
Persamaan Van der Pol identik dengan Persamaan 3.7.11 tanpa suku ketiga dalam tanda kurung,
faktor redaman yang bergantung pada kecepatan, ± 2/132 (lihat Masalah Komputer 3.3). Batas siklus
menjadi jelas dengan sedikit penataan ulang persyaratan di atas dan penggantian
variabel fase-ruang y untuk ±:
=0 (3.7.12)
Istilah redaman nonlinear negatif untuk semua titik (x, y) di dalam elips yang diberikan oleh
=1 (3.7.13)
Ini nol untuk poin pada elips dan positif untuk poin di luar elips. Karena itu,
tidak peduli keadaan osilator (dijelaskan oleh posisinya saat ini dalam ruang fase), itu
didorong menuju negara-negara yang titik ruang-fasanya terletak di sepanjang elips. Dengan kata lain, tidak
peduli bagaimana gerakan dimulai, osilator akhirnya bergetar dengan harmonik sederhana
gerak amplitudo A; perilakunya dikatakan "membatasi diri," dan elips ini dalam fase
ruang disebut siklus batasnya. Osilator van der Pol berperilaku seperti ini, tetapi siklus batasnya
tidak bisa dilihat secara transparan.
Solusi lengkap hanya dapat dilakukan secara numerik. Kami telah menggunakan Mathcad
untuk melakukan ini. Untuk kemudahan perhitungan, kami telah menetapkan faktor A, / 3, dan w0 sama dengan satu.
Ini sama dengan mentransformasikan siklus batas elips menjadi lingkaran lingkaran satuan
dan penskalaan frekuensi sudut getaran ke con. Jadi, Persamaan 3.7.12 mengambil
bentuk sederhana
(3.7.14)
Cara klasik untuk memecahkan persamaan diferensial orde kedua adalah mengubahnya menjadi
sistem yang setara dengan sistem orde pertama dan kemudian gunakan Runge — Kutta atau sejenisnya
teknik untuk menyelesaikannya (lihat Lampiran I). Dengan substitusi y untuk ±, kita memperoleh
mengikuti dua persamaan diferensial orde pertama:
±=Y (3.7.15)
Bahkan, persamaan ini tidak harus diselesaikan secara numerik. Seseorang bisa dengan mudah bahwa
mereka memiliki solusi analitik x = biaya dan y = -int, yang mewakili gerak pembatas akhir
pada lingkaran satuan x2 + = 1. Namun menarik untuk membiarkan gerakan dimulai dari arbi-
nilai-nilai trary yang terletak baik di dalam maupun tanpa siklus batas, dan menonton sistem berkembang
menuju siklus batasnya. Perilaku ini dapat diamati hanya dengan menyelesaikan persamaan
secara numerik — misalnya, menggunakan Mathcad.
Seperti pada bab sebelumnya, kami menggunakan pemecah persamaan Mathcad, rkjIxed, yang
menggunakan teknik Runge — Kutta tingkat keempat untuk menyelesaikan secara numerik tingkat pertama
persamaan ferensial. Kami mewakili variabel x dan y di Mathcad sebagai dan x2,
komponen vektor dua dimensi x = (x1, x2).
Halaman 48
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 48/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Prosedur Mathcad
• Tetapkan vektor dua dimensi x = (x1, x2) yang berisi nilai awal (x0, kamu);
itu adalah,
(—0.5
x=I
(
D (t, x)
• Tentukan interval waktu [O, T] dan jumlah titik, npts, dalam interval itu
di mana solusi harus dievaluasi.
• Lewati informasi ini ke fungsi rkfixed (atau Rkadapt jika gerakan berubah juga
cepat dalam interval waktu kecil di suatu tempat dalam interval waktu [0, TI itu
Anda telah memilih); itu adalah,
atau
Fungsi rkfixed (atau Rkadapt) mengembalikan matriks Z (dalam hal ini, dua baris dan tiga
kolom) yang kolom pertamanya berisi waktu di mana solusi dievaluasi dan
dua kolom yang tersisa berisi nilai dan Grafik Mathcad
Fitur kemudian dapat digunakan untuk menghasilkan plot fase-ruang yang dihasilkan, dua dimensi
sebar plot versus x (t1).
Gambar 3.7.1 menunjukkan hasil solusi numerik untuk persamaan gerak di atas.
Memang, seperti yang diiklankan, sistem spiral atau spiral keluar, akhirnya menetap pada batas
siklus di mana kekuatan redaman menghilang. Setelah osilator "mengunci" pada batasnya
siklus, gerakannya hanya dari osilator harmonik sederhana, berulang dan sepenuhnya
bisa ditebak.
* 3.8 saya
The Oscillator Nonlinear: Gerak Kacau
Kapan osilasi nonlinear terjadi di alam? Kami menjawab pertanyaan itu dengan tautol-
ogy: Mereka terjadi ketika persamaan gerak adalah nonlinier. Ini berarti jika ada
dua (atau lebih) solusi, x1 (t) dan x2 (t), untuk persamaan gerak nonlinier, sembarang arbitrer
kombinasi liniernya, ax1 (t) + / 3x2 (t) pada umumnya tidak linier. Kita bisa menggambarkan ini
dengan contoh sederhana. Osilator nonlinear pertama yang dibahas dalam Bagian 3.7 dijelaskan
oleh Persamaan 3.7.4:
i+ = (3.8.1)
Halaman 49
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 49/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
1.5
0,5
0
0
< —0.5
Asumsikan bahwa x1 dan x2 satu per satu persamaan di atas. Pertama, gantikan liniernya
kombinasi ke sisi kiri,
+ / 3x2 + / 3x2) =
(3.8.2)
=
di mana langkah terakhir mengikuti dari fakta bahwa x1 dan x2 diasumsikan sebagai solusi
Persamaan 3.8.1. Sekarang gantikan kombinasi linear ke sisi kanan Persamaan 3.8.1
dan menyamakannya dengan hasil Persamaan 3.8.2:
(ax1 + = + (3.8.3a)
x1 dan x2 adalah solusi untuk persamaan gerak yang bervariasi dengan waktu t. Jadi, satu-satunya jalan
Persamaan 3.8.3b bisa puas setiap saat adalah jika a dan $ adalah identik nol, yang pelanggaran- pelanggaran
terlambat postulat bahwa mereka adalah faktor sewenang-wenang. Jelas, jika x1 dan x2 adalah solusi untuk
persamaan gerak nonlinear, kombinasi linearnya tidak. Ini adalah nonlinier-
yang memunculkan perilaku memesona dari gerakan semrawut.
Esensi dari gerakan kacau sistem nonlinier tidak menentu dan tidak dapat diprediksi
tingkah laku. Ini terjadi pada osilator mekanik sederhana, seperti pendula atau benda bergetar,
yang "overdrive" di luar rezim linier mereka di mana potensi mereka fungsi adalah
fungsi kuadrat dari jarak dari kesetimbangan (lihat Bagian 3.2). Itu terjadi di
cuaca, dalam gerakan konvektif dari cairan yang dipanaskan, dalam gerakan benda yang terikat pada kita
tata surya, dalam rongga laser, di sirkuit elektronik, dan bahkan dalam beberapa reaksi kimia.
Osilasi kacau dalam sistem seperti itu memanifestasikan dirinya sebagai perilaku yang tidak berulang. Osil-
lasi dibatasi, tetapi setiap "siklus" osilasi tidak seperti di masa lalu atau masa depan. Itu
osilasi tampaknya menunjukkan semua keanehan dari gerakan acak murni. Jangan bingung
Halaman 50
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 50/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
dengan pernyataan ini. Perilaku "semrawut" sistem klasik tidak berarti mereka tidak
mematuhi hukum alam yang deterministik. Mereka melakukannya. Mengingat kondisi awal dan kekuatan yang dimiliki
mereka tunduk, sistem klasik berkembang dalam waktu dengan cara yang sepenuhnya ditentukan.
Kami mungkin tidak dapat menghitung evolusi itu dengan tingkat kepastian
Kami tidak memperlakukan gerakan kacau dengan sangat rinci. Perawatan seperti itu di luar kesalahan
bagian dari teks ini. Pembaca yang ingin memperbaiki kekurangan ini disebut banyak orang
perawatan yang baik dari gerakan kacau di tempat lain.8 Di sini kita puas untuk memperkenalkan
Fenomena kekacauan dengan analisis pendulum sederhana teredam itu juga bisa
didorong ke dalam keadaan kacau. Kami menunjukkan bahwa sedikit perubahan pada parameter mengemudi dapat menyebabkan
untuk divergensi luas dalam gerakan yang dihasilkan, sehingga memberikan prediksi jangka panjangnya
evolusi hampir mustahil.
di mana kita mengasumsikan bahwa kekuatan pendorong, F cos t, diterapkan bersinggungan dengan jalan
pendulum yang jarak busurnya dari keseimbangan adalah s (lihat Gambar.
Mari = 16, y = c / rn, = gil, dan a = F / mi, dan terapkan sedikit aljabar untuk mendapatkan
8J. B. Marion dan ST Thornton, Dinamika Klasik, edisi ke-5, Brooks / Cole — Thomson Learning, Belmont,
CA, 2004.
9 Persamaan gerak pendulum sederhana dalam hal variabel sudut U dapat diturunkan
langsung menggunakan gagasan torsi yang diterapkan dan menghasilkan tingkat perubahan momentum sudut. Ini
cept tidak sepenuhnya berkembang sampai Bab 7.
Halaman 51
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 51/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
10
Dalam diskusi kami sebelumnya tentang pendulum sederhana, kami membatasi analisisnya
gerak ke rezim osilasi kecil di mana perkiraan sinO 9 bisa digunakan.
Kami tidak melakukannya di sini. Persis ketika pendulum didorong keluar dari sudut kecil
rezim bahwa efek nonlinear dari istilah dosa memanifestasikan dirinya, kadang-kadang dalam bentuk
gerakan kacau.
Kami menyederhanakan analisis kami dengan penskalaan frekuensi sudut dalam satuan ( intinya, biarkan
= 1), dan kami menyederhanakan notasi dengan membiarkan x = 9 dan 0) = (Dari. Persamaan di atas menjadi
(3.8.6)
Persis seperti sebelumnya, kami mengubah persamaan diferensial orde kedua ini menjadi tiga pertama-
pesanlah dengan membiarkan y = dan z =
x=y
y = —sinx — yy + a cosz (3.8.7)
z0)
Ingat, persamaan ini tidak berdimensi, dan frekuensi sudut penggerak w adalah a
kelipatan dari (0g.
Kami menggunakan Mathcad seperti pada contoh sebelumnya untuk menyelesaikan persamaan ini di bawah variasi
kondisi kondisi. Untuk deskripsi yang mengikuti, kami memvariasikan "kekuatan" penggerak dan penahan
memperbaiki frekuensi mengemudi 0) dan parameter redaman y at dan masing-masing.
Koordinat awal (x0, Yo 'z0) dari gerakan adalah (0,0,0) kecuali dinyatakan lain.
Halaman 52
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 52/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
a = 0,9
dari •
LF
01
evolusi gerakan selama 10 periode siklus mengemudi. Perilaku sementara itu mati
keluar setelah beberapa siklus pertama ketika bandul mencapai keadaan stabil, kondisi-mapan
osilasi. Ini terbukti setelah memeriksa baris pertama dari grafik di
Gambar 3.8.3. Ini adalah proyeksi dua dimensi dari fase tiga dimensi,
plot ruang selama 5 terakhir dari 10 siklus mengemudi total. Kurva tertutup yang dihasilkan
sebenarnya terdiri dari lima kurva proyeksi yang ditumpangkan. Superposisi sempurna
dan penutupan menunjukkan stabilitas dan pengulangan yang tepat dari osilasi.
Grafik kedua di baris pertama Gambar 3.8.3 adalah plot dari posisi sudut
tion pendulum x sebagai fungsi dari jumlah siklus mengemudi yang telah berlalu n
Pengulangan osilasi, siklus demi siklus, juga terlihat jelas di sini.
Grafik ketiga di baris atas adalah plot bagian gerakan Poincaré. Berpikir
dari itu sebagai snapshot stroboskopik dari lintasan tiga dimensi, fase-ruang
diambil setiap periode siklus drive. Waktu pengambilan foto bisa dilakukan
dibayangkan sebagai serangkaian bidang dua dimensi yang sejajar dengan bidang x-y
dinilai oleh periode siklus drive tunggal. Persimpangan lintasan dengan salah satu dari
bidang horisontal ini, atau "irisan," adalah titik tunggal yang memiliki ruang fase (x, y)
koordinat mewakili keadaan gerakan saat ini. Titik tunggal ditunjukkan pada
plot untuk parameter siklus mengemudi ini sebenarnya lima tumpang tindih yang berbeda
Halaman 53
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 53/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Halaman 54
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 54/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Akhirnya, kekayaan gerak pendulum yang didorong dan teredam yang dibahas di sini adalah
diperoleh dengan hanya memvariasikan parameter mengemudi dalam interval [0.9,1.5]. Kami melihat itu
satu nilai menyebabkan perilaku periodik, satu mengarah ke periode penggandaan dan dua menyebabkan kekacauan
gerakan. Rupanya, ketika seseorang berurusan dengan osilator didorong, nonlinear, gerakan kacau mengintai
hanya sekitar sudut dari perilaku periodik yang agak duniawi bahwa kita dan
para profesor telah mengalahkan buku-buku teks sepanjang ratusan tahun yang lalu
tahun. Kami mendesak setiap siswa untuk menyelidiki gerakan-gerakan ini untuk dirinya sendiri menggunakan
komputer. Sungguh menakjubkan bagaimana sedikit perubahan dalam parameter yang mengatur persamaan
Gerak-gerik baik mengarah ke atau mengakhiri perilaku kacau, tetapi, tentu saja, itulah yang terjadi
semua tentang kekacauan.
(3.9.1)
= F, (t) (3.9.2)
secara individual puas dengan fungsinya maka solusi dari persamaan diferensial
gerakan
(3.9.3)
x (t) = (3.9.4)
Halaman 55
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 55/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
mI + c ± + kx = = (395)
Khususnya, ketika tenaga penggerak bersifat periodik — yaitu, jika untuk nilai apa pun dari
waktu t
(t) = (t + T) (3.9.6)
di mana T adalah periode — maka fungsi gaya dapat dinyatakan sebagai superposisi dari
istilah harmonis menurut teorema Fourier. Teorema ini menyatakan bahwa setiap fungsi periodik
tionf (t) dapat diperluas sebagai jumlah sebagai berikut:
=
cos (nat) dt n = 0,1,2, ... (3.9.8a)
=
dosa (bukan) dt n = 1,2, ... (3.9.8b)
Di sini T adalah periode dan ci = 2ir / T adalah frekuensi dasar. Jika functionf (t) adalah
fungsi genap — yaitu, iff (t) = f (—t) —kemudian koefisien = 0 untuk semua n. Itu
seri ekspansi ini kemudian dikenal sebagai seri cosinus Fourier. Begitu pula kalau kita punya yang aneh
berfungsi agarf (t) = —f (—t), lalu menghilang, dan seri ini disebut sinus Fourier
seri. Dengan menggunakan relasi eiu = cos u + i sin u, sangat mudah untuk memverifikasi itu
Persamaan 3.9.7 dan 3.9.8a dan b juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial kompleks sebagai
berikut:
= ifTI2 dt (3.9.10)
Dengan demikian, untuk mengetahui gerak steady-state osilator harmonik kita tunduk pada periode tertentu.
Sebagai penggerak odic, kami menyatakan gaya tersebut sebagai seri Fourier dari bentuk Persamaan 3.9.7
atau 3.9.9, menggunakan Persamaan 3.9.8a dan b atau 3.9.10 untuk menentukan koefisien Fourier
dan atau Untuk setiap nilai n, sesuai dengan nilai harmonik dana yang diberikan
frekuensi mengemudi mental co, ada fungsi respon Fungsi ini adalah
solusi keadaan osilator yang digerakkan yang dibahas dalam Bagian 3.6. Superposisi semua
itu memberikan gerakan yang sebenarnya. Dalam acara itu salah satu harmonik dari berkendara
frekuensi bertepatan, atau hampir bertepatan, dengan frekuensi resonansi maka yang
respon pada saat itu harmonik mendominasi gerak. Akibatnya, jika redaman konstan y
sangat kecil, osilasi yang dihasilkan mungkin sangat hampir sinusoidal bahkan jika sangat
kekuatan pendorong sinusoidal diterapkan.
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 56/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Halaman 56
CONTOH 3.9.1
Pulsa Berkala
N = 0, ± 1, ± 2 T adalah waktu dari satu pulsa ke pulsa berikutnya, dan AT adalah lebarnya
dari setiap pulsa seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.9.1. Pada adalah
kasus ini,
fungsi genap dari t,
sehingga dapat dinyatakan sebagai deret kosinus Fourier. Persamaan 3.9.8a memberikan koefisien
klien
2 r + ATI2
a0 = —Aku F0dt = F0— (3.9.llb)
TJ — ATI2 T
=
2 (L \ T '\cos (wt) 2 (
cos (2wt)
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 57/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Halaman 57
The Istilah pertama dalam ekspansi seri atas hanyalah nilai rata-rata dari kekuatan eksternal:
Favg = F0 (AT / T). Istilah kedua adalah komponen Fourier di
quency w. Istilah yang tersisa adalah harmonik dari fundamental: 2o, 30), dan seterusnya.
Mengacu pada Persamaan 3.6.5 dan 3.9.4, sekarang kita dapat menulis ekspresi akhir untuk
gerak osilator yang digerakkan oleh pulsa kami. Itu diberikan oleh prinsip superposisi,
x (t) = =
(3.9.13)
SEBUAH -
- (F0 / m) (2lnir) dosa (n, rATIT)
22 21
(3.9.14)
D (a) - r 2 [(a0_na)) + 4Yna)]
2 2 2
-
2yn (3.9.15)
= tan-'1 2
)
Di sini m adalah massa, y adalah konstanta peluruhan, dan adalah frekuensi run- bebas
Tidak ada osilator tanpa redaman.
Sebagai contoh numerik tertentu, mari kita pertimbangkan sistem suspensi pegas
Contoh 3.6.1 di bawah aksi pulsa periodik yang lebar pulsanya sepersepuluh
periode pulsa: AT / T = 0,1. Seperti sebelumnya, kita akan menganggap redaman konstan menjadi satu-
kesepuluh kritis, 7 = 0,1 (Aktif, dan frekuensi denyut nadi menjadi setengah dari frekuensi yang tidak teredam
dari sistem: Ct) = w0 / 2. Seri Fourier untuk tenaga penggerak (Persamaan 3.9.12) kemudian
D0 = D1 = D2 = =
0= tan I
I = tan I
yang memberi
02 = tan °° =
= tan ' (—0.24) = —0.236
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 58/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Halaman 58
Masalah 139
The gerak mapan dari sistem ini, oleh karena itu, diberikan oleh seri berikut
(Persamaan 3.9.13):
x (t) = [0,1 + 0,26 cos (kecerdasan - 0,132) + 0,935 dosa (2wt) + 0,134 cos (3wt + 0,236) + ...]
ma0
Masalah
3.1 Senar gitar bergetar secara harmonis dengan frekuensi 512 Hz (satu oktaf di atas tengah)
C pada skala musik). Jika amplitudo osilasi dari titik tengah string
adalah 0,002 m (2 mm), berapakah kecepatan maksimum dan akselerasi maksimum pada saat itu
titik?
3.2 Piston menjalankan gerakan harmonik sederhana dengan amplitudo 0,1 m. Jika melewati
pusat geraknya dengan kecepatan 0,5 mIs, berapakah periode osilasi?
3.3 Sebuah partikel mengalami gerakan harmonik sederhana dengan frekuensi 10 Hz. Temukan
penempatan x kapan saja t untuk kondisi awal berikut:
3.5 Sebuah partikel yang mengalami gerakan harmonik sederhana memiliki kecepatan
saat perpindahan
x1 dan kecepatan ± 2 saat perpindahan adalah x2. Temukan frekuensi sudut dan ampli-
Tude of the motion dalam hal jumlah yang diberikan.
3.6 Di permukaan bulan, percepatan gravitasi adalah sekitar seperenam dari yang ada di Bumi.
Berapakah setengah periode pendulum sederhana dengan panjang 1 m di bulan?
3.7 Dua pegas yang memiliki kekakuan k1 dan k2, masing-masing, digunakan dalam posisi vertikal
mendukung satu objek massa m. Tunjukkan bahwa frekuensi sudut osilasi adalah
[(k1 + k2) / m] "2 jika pegas diikat secara paralel, dan [k1k2 / (k1 + k2) m]" 2 jika pegas
diikat seri.
3.8 Pegas kekakuan k mendukung kotak massa M di mana ditempatkan sebuah blok massa m. Jika
sistem ditarik ke bawah jarak d dari posisi keseimbangan dan kemudian
dilepaskan, temukan gaya reaksi antara blok dan bagian bawah kotak sebagai fungsi
waktu. Untuk nilai d apakah blok baru mulai meninggalkan bagian bawah kotak
di bagian atas osilasi vertikal? Abaikan hambatan udara apa pun.
3.9 Tunjukkan bahwa rasio dua maxima berturut-turut dalam perpindahan harmonik teredam
osilator konstan. (Catatan: Maksimal tidak terjadi pada titik-titik kontak dis-
kurva penempatan dengan kurva ike_Vt.)
3.10 Osilator harmonik teredam dengan in = 10 kg, k = 250 N / m, dan c = 60 kg / s tunduk pada
kekuatan pendorong yang diberikan oleh F0 cos ox, di mana F0 = 48 N.
(a) Berapa nilai hasil dalam osilasi kondisi mapan dengan amplitudo maksimum? Di bawah ini
kondisi:
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 59/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Halaman 59
3.11 Massa m bergerak di sepanjang subjek sumbu x ke gaya tarik menarik yang diberikan oleh dan a
perlambatan diberikan oleh 3 $ m ±, di mana x adalah jaraknya dari titik asal dan / 3 adalah konstanta.
Gaya penggerak yang diberikan oleh mA cos 0t, di mana A adalah konstanta, diterapkan pada partikel bersama
sumbu x.
(a) Berapakah nilai o menghasilkan osilasi kondisi-mapan tentang asal dengan maksimum
amplitudo?
(B) Berapa amplitudo maksimum?
3.12 Itu dari osilator harmonik teredam adalah 100 Hz, dan rasio amplitudo
dari dua maxima berturut-turut adalah satu setengah.
(a) Berapakah frekuensi i.mdamped dari osilator ini?
(B) Apa resonansi
3.13 Diberikan: Amplitudo osilator harmonik teredam turun kebohongan dari nilai awalnya setelah
n siklus lengkap. Tunjukkan bahwa rasio periode osilasi ke periode yang sama
osilator tanpa redaman diberikan oleh
f \ 1/2
1
4ir2n2) 8it2n2
di mana perkiraan dalam ekspresi terakhir valid jika n besar. (Lihat perkiraannya
rumus dalam Lampiran D.)
3.14 Kerjakan semua bagian dari Contoh 3.6.2 untuk kasus di mana faktor redaman eksponensial 7 adalah
setengah nilai kritis dan frekuensi mengemudi sama dengan 2%.
3.15 Untuk osilator harmonik teredam ringan y menunjukkan bahwa frekuensi mengemudi untuk itu
amplitudo steady-state adalah setengah dari amplitudo steady-state pada frekuensi resonansi
diberikan oleh w w0 ±
3.16 Jika rangkaian LCR seri terhubung di terminal generator listrik yang
mengurangi tegangan V = V0e , aliran muatan listrik q melalui rangkaian diberikan oleh
berikut persamaan diferensial orde kedua:
L. +R + q=
(Sebuah) korespondensi yang ditunjukkan pada Tabel 3.6.1 antara parameter yang digerakkan
osilator mekanik dan osilator listrik yang digerakkan di atas.
(B) Hitung Q dari rangkaian listrik dalam hal koefisien perbedaan di atas
persamaan ential.
(c) Tunjukkan bahwa, dalam kasus redaman kecil, Q dapat ditulis sebagai Q = R0 / R, di mana R0 =
adalah impedansi karakteristik dari rangkaian.
3.17 Osilator harmonik teredam digerakkan oleh kekuatan eksternal dari formulir
= F0 sin wt
di mana A (o,) dan identik dengan ekspresi yang diberikan oleh Persamaan 3.6.9 dan 3.6.8.
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 60/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Halaman 60
Masalah 141
3.18 Selesaikan persamaan diferensial gerak osilator harmonik teredam yang digerakkan oleh a
kekuatan harmonik teredam:
(Petunjuk: cos cit = Re (e-at440x) = di mana fi = —a + iw. Asumsikan solusi dari formulir
AeI3t_iø.)
3.21 Tunjukkan bahwa deret Fourier untuk gelombang persegi periodik adalah
dimana
f (t) = +1 untuk 0 <cit < 2ir < cit <3ir, dan seterusnya
3.22 Gunakan hasil di atas untuk menemukan gerakan steady-state osilator harmonik teredam itu
digerakkan oleh gaya gelombang persegi periodik dari amplitudo F0. Secara khusus, temukan kerabatnya
amplitudo dari tiga istilah pertama, A1, A3, dan A5 dari fungsi respons x (t) dalam case
bahwa 3w harmonik ketiga dari frekuensi mengemudi bertepatan dengan frekuensi ci0 ofthe
osilator tidak teredam. Biarkan faktor kualitas Q = 100.
3.23 (a) Turunkan persamaan diferensial orde pertama, dyldx, yang menggambarkan trajecasa ruang-fase
cerita tentang osilator harmonik sederhana.
(B) Memecahkan persamaan, membuktikan bahwa lintasan adalah elips.
3.24 Biarkan partikel satuan satuan tunduk pada gaya x - x3 di mana x adalah perpindahannya dari
mengoordinasikan asal.
(a) Temukan titik keseimbangan, dan beri tahu apakah titik-titik itu stabil atau tidak stabil.
(B) Hitung energi total partikel, dan menunjukkan bahwa itu adalah jumlah yang dilestarikan.
(C) Hitung lintasan partikel dalam ruang fase.
3.25 Pendulum sederhana yang panjangnya 1 = 9,8 m memenuhi persamaan
0 + sinO = 0
(a) Jika adalah amplitudo osilasi, menunjukkan bahwa periode T diberikan oleh
,r/2 dth
T = 4S 0 2
(1 - a sin2Ø) "2
(B) Perluas integrand dalam kekuatan, mengintegrasikan istilah dengan istilah, dan menemukan periode T sebagai
seri daya dalam a. Tetap perbarui ketentuan dan termasuk 0 (a2).
(c) Perluas a dalam rangkaian daya 00, masukkan hasilnya ke dalam rangkaian daya yang ditemukan di (b),
dan temukan periode T sebagai seri daya pada Tetap ikuti ketentuan dan termasuk
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 61/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Halaman 61
Masalah Komputer
C 3.1 Persamaan gerak yang tepat untuk bandul sederhana panjang L (lihat Contoh 3.2.2) adalah
diberikan oleh
+ sin0 = 0
dimana = gIL. Temukan 0 (t) dengan mengintegrasikan persamaan gerak ini secara numerik. Biarkan L =
1,00 m. Biarkan kondisi awal menjadi 00 = n12 rad dan = 0 rad / s.
(a) Plot 0 (t) dari t = 0 hingga 4 dtk. Juga, plot solusi yang diperoleh dengan menggunakan sudut kecil
aproksimasi (sin 0 0) pada grafik yang sama.
(B) Ulangi (a) untuk = 3.10 rad.
(c) Plot periode pendulum sebagai fungsi amplitudo 00 dari 0 hingga 3,10 rad.
Pada apa amplitudo periode menyimpang lebih dari 2% dari
C 3.2 Asumsikan bahwa gaya redaman untuk osilator harmonik teredam sebanding dengan
kuadrat dari kecepatannya; yaitu, diberikan oleh ± I. The persamaan gerak untuk sebuah
osilator demikian
di mana y = c2 / 2m dan = k / rn. Temukan x (t) dengan mengintegrasikan numerik persamaan di atas
gerakan. Biarkan y = 0,20 m1 dan% = 2,00 rad / s. Biarkan kondisi awal menjadi x (0) = 1,00 m
dan ± (0) = Om / s.
(a) Plot x (t) dari t = 0 hingga 20 dtk. Juga, pada grafik yang sama, plot solusi untuk yang teredam
osilator harmonik di mana gaya peredam berbanding lurus dengan kecepatan;
yaitu, diberikan oleh — c1 ±. Sekali lagi, misalkan y = c1 / 2m = 0.20 54 dan w0 = 2.00 rad / s.
(B) Untuk kasus redaman linier, plot log dari nilai absolut berturut-turut
ekstrem versus waktu kemunculannya. Temukan kemiringan plot ini, dan gunakan untuk memperkirakan
mate (Metode ini bekerja dengan baik untuk kasus redaman lemah.)
(c) Temukan nilai y yang menghasilkan redaman kritis untuk kasing linier. Plot solusi ini
tion dari t = 0 hingga 5s. Dapatkah Anda menemukan nilai hasil yang didefinisikan dengan baik dalam kondisi kritis
ing untuk kasus kuadratik? Jika tidak, berapa nilai y yang diperlukan untuk membatasi negatif pertama
perjalanan oscillator menjadi kurang dari 2% dari amplitudo awal?
I — y (A2
Misalkan A = 1 dan w0 = 1. Pecahkan persamaan ini secara numerik, dan buat plot fase-ruangnya
gerakan. Biarkan gerakan berkembang selama 10 periode (1 periode = Asumsikan yang berikut ini
kondisi.
(a) y = 0,05, (x0, = (—1,5,0).
(b) y = 0,05, (x0, = (0,5,0).
(c, d) Ulangi (a) dan (b) dengan y = 0,5. Apakah geraknya menunjukkan siklus batas? Jelaskan itu.
C 3.4 Osilator van der Pol yang digerakkan dijelaskan oleh persamaan gerak
cosO) t
di mana a adalah amplitudo dari kekuatan penggerak dan o adalah frekuensi mengemudi. Biarkan x = x, y
= ±, dan z = at. Memecahkan persamaan secara numerik dalam hal variabel-variabel ini. Biarkan osil-
lator mulai dari (x0, y0, z0) = (0,0,0). Biarkan gerakan berkembang selama 100 siklus drive (1 periode drive
= 2, r / w). (1) Buat plot fase-ruang geraknya. (2) Buat plot posisinya versus
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 62/63
10/12/2019 3.11 Pendahuluan
Halaman 62
jumlah siklus drive. (3) Buat plot fase-ruang tiga dimensi dari 10 drive pertama
siklus. Asumsikan kondisi berikut.
(a) a = 0,1, y = 0,05, w = 1.
(B) a = 5, y = 5, w = 2.466. Negara mana yang periodik? Semrawut?
C 3.5 Pertimbangkan osilator harmonik sederhana yang bertumpu pada sabuk rol, seperti yang ditunjukkan pada Gambar C.3.5,
Asumsikan bahwa gaya gesek yang diberikan pada blok oleh roller belt tergantung pada slip
kecepatan, ± - u, di mana u adalah kecepatan sabuk, dan itu diberikan oleh
/ 3v
Dengan kata lain, gaya adalah konstan ketika kecepatan slip di luar batas yang diberikan oleh
konstanta v dan sebanding dengan kecepatan slip ketika berada dalam batas tersebut.
(a) Tulis persamaan gerak untuk osilator ini. Selesaikan secara numerik, dan buat
plot fase-ruang untuk kondisi berikut: k = 1, m = 1, 13 = 5, v = 0,2, u = 0,1.
Asumsikan kondisi awal berikut.
(b) (x0, = (0,0).
(c) (x0, = (2,0).
H— x
Gambar C3.5
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 63/63