MODUL MATEMATIKA

KOMBINASI DAN PERMUTASI

DISUSUN OLEH :
EWILDA SINAGA (4191111009)
FEBRI DAMAYANTI (4191111066)
VERONIKA VICTORIA SINAGA (4191111012)
 BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam materi ini kita akan membahas teori permutasi dan kombinasi. Yang mungkin sudah
pernah anda pelajari pada waktu SMA. Namun demikian, materi ini akan diberikan dalam
makalah ini bukan hanya sekedar mengulang, tetapi diharapkan pula dapat memberikan
wawasan yang luas mengenai pendefinisian permutasi dan kombinasi. Untuk mendukung
kelancaran anda terhadap penguasaan materi dalam makalah ini perlu juga dipelajari teknik
menghitung yang mencakup prinsip perkalian dan penjumlahan serta permutasi dan
kombinasi.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, dapat disimpulkan beberapa rumusan masalah sebagai
berikut :

a. Apa yang dimaksud dengan permutasi serta pengaplikasiannya dalam kehidupan

sehari- hari?
b. Apa saja macam-macam permutasi ?
c. Apa yang dimaksud dengan kombinasi serta pengaplikasiannya dalam kehidupan
sehari-hari?

C. Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, dapat disimpulkan beberapa tujuan sebagai berikut :

a. Mampu memahami tentang definisi permutasi.

b. Mampu memahami tentang macam-macam permutasi.
c. Mampu memahami tentang definisi kombinasi.
 BAB II
PEMBAHASAN

A. PERMUTASI
Permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan
memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan, atau susunan atau
urutan- urutan yang berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau seluruh
objek. Rumus permutasi adalah sebagai berikut:
n!
prn =
( n−r )!
{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan
biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan
pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?
Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Permutasian ada 2 yaitu :

1. Permutasi pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah
permutasinya adalah:

di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus
dipilih.

Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu
ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu
akan menemukan bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk
menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.

2. Permutasi tanpa pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali
maka jumlah permutasi yang ada adalah:

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih
dan ! adalah simbol faktorial.

Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa
dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua
 organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil
ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa
banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di
atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.

Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama
dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:

karena 0! = 1! = 1
Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi
(tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka
1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan
rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.

Permutasi dari n obyek yang berbeda tanpa pemulihan obyek yang terpilih

1. Permutasi dari n obyek seluruhnya

DEFINISI : Bila n menyatakan bilangan bulat positif, maka hasil penggandaan bilangan
tersebut dari 1 sampai dengan n dinamakan n faktorial dan diberi tanda n!.

Penjelasan :
Jika n = 1, 2, . . . , maka
n! = n (n-1) (n-2) . . . 2.1
= n (n-1)!
Dan (n+1)! = (n+1)n!

2. Permutasi sebanyak r dari n obyek

DEFINISI : Pengaturan atau penyusunan sebanyak r obyek yang diambil dari

suatuhimpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda secara matematis dinamakan
permutasisecara sekaligus sebanyak r dari n obyek yang berbeda dimana r n. secara
simbolis, permutasi sedemikian itu dinyatakan sebagai nPr .

Contoh :
Jika kita gunakan perumusan nPr = n! untuk menghitung jumlah permutasi 2 huruf
( n−r )!
yangdiambil dari kata ‘laut’ dalam contoh 5.3.1. maka akan diperoleh hasil :
nPr = 4P2 = 4! = 12
( 4−2 )!

3. Permutasi keliling (circular permutation)

Permutasi suatu himpunan obyek yang membuat suatu lingkaran dinamakan permutasi
keliling. Bila suatu himpunan obyek disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran,
permutasiobyek yang bersangkutan sebetulnya mempersoalkan kedudukan relatif
obyek-obyek diatas bila melintasi lingkaran dalam arti yang tertentu.
 Permutasi sebanyak r dari n obyek dengan pemulihan obyek yang terpilih

TEOREMA : Permutasi sebanyak r dari n obyek dengan pemulihan obyek yang

terpilih.Jumlah permutasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek dan yang
diambil sekaligussebanyak r dengan pemulihan obyek yang telah terpilih ialah :
nPr = nr
dengan ketentuan r ≤ n dan merupakan bilangan bulat positif.

Permutasi sebanyak r dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan

Secara intuitif, jumlah permutasi dari obyek yang dapat dibedakan tentunya lebih
banyak daripada jumlah permutasi dimana terdapat beberapa kumpulan obyek
yang sama. Halsedemikian mudah sekali dimengerti. Kumpulan (a, a, a) terdiri dari
3 unsur yang tidak dapat dibedakan dan hanya dapat dipermutasikan dalam satu
cara saja. Jika kita bedakan unsur himpunan diatas menjadi {a1, a2, a3}, jumlah
permutasi himpunan {a1, a2, a3} akan menjadi:
nPn = n! = 3! = 6

 Macam-macam Permutasi :
a. Permutasi k Unsur dari n Unsur
Susunan k unsur dari n unsur yang berlainan dengan memperhatikan urutan
disebut permutasi k unsur dari n unsur (k ≤ n).

Misalkan, kita diminta menyusun tiga huruf A, B, dan C, akan disusun 2 huruf
dengan urutan yang berbeda, maka susunan yang diperoleh adalah AB, AC, BA, BC, CA,
CB. Seluruhnya ada 6 susunan yang berbeda, setiap susunan ini disebut permutasi 2
unsur dari 3 unsur yang tersedia. Banyaknya permutasi k unsur dari n unsur
dilambangkan oleh P(n, k).

RUMUS :
𝒏!
P(n, k) =
(𝒏−𝒌)!
Keterangan :

n = banyaknya seluruh obyek,

k = banyaknya obyek yang dipermutasikan.

Contoh :
Tersedia 5 buah buku mata pelajaran yang berbeda, diambil 3
buku dan akan disusun di atas rak buku. Ada berapa macam
susunan yang dapat dilakukan ?
Jawab :
Banyaknya susunan buku itu adalah permutasi 3 buku dari 5 buku
yang tersedia.
 5! 5x4x3x2
P(5, 3) = = ! = 60
(5−3)!

2!
Jadi, banyaknya susunan 3 buku dari 5 buku itu seluruhnya ada
60.

a. Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama

Setiap unsur pada permutasi tidak boleh digunakan lebih dari satu
kali, kecuali jika dinyatakan secara khusus.
Banyaknya permutasi dari n unsur yang memuat k unsur yang
sama, l unsur yang sama, …, m unsur yang sama (k + l+ … + m ≤
n) dapat ditentukan dengan rumus :
m!
P=
𝒌!𝒍!…𝒎!
 Contoh :
Terdapat 2 bola merah, 1 bola biru, dan 3 bola putih yang sama
jenis dan ukurannya. Ada berapa carakah bola-bola itu dapat
disusun berdampingan ?

Jawab :
n=6
k=2
l=1
m=3
6!6 x 5 x 4 x 3!
Banyaknya susunan bola-bola itu adalah = =
2!3! 2 x 1 x 3!
60

b. Permutasi Siklis
Penentuan susunan melingkar dapat diperoleh dengan menetapkan
satu objek pada satu posisi, kemudian menetukan kemungkinan
posisi objek lain yang sisa, sehingga bila teersedia n unsur
berbeda, maka :

Banyaknya permutasi siklis dari n unsur = (n - 1)!

Contoh :

Berapa cara 5 orang dalam suatu pesta makan dapat diatur tempat
duduknya mengelilingi sebuah meja bundar ?

Jawab :

Banyaknya susunan duduk 5 orang yang mengelilingi sebuah

meja bundar = (5 - 1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1! = 24.

Inisiasi dalam kehidupan sehari-hari adalah penyusunan panitia

suatu kegiatan yang terdiri dari ketua, sekretaris dan bendahara.
 Dalam penyusunan panitia ini jelas urutan akan sangat
berpengaruh.

B. KOMBINASI
Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa
memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan, atau kumpulan
sebagian atau seluruh objek tanpa memperhatikan urutannya. Rumus kombinasi adalah
sebagai berikut.

{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga
buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada
berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang
disediakan?
Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.

Kombinasi ada 2 yaitu :

1. Kombinasi pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah
kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10
jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan
adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.
 2. Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih
sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu;
merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu
hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk
mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka
ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.

Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda

DEFINISI : Suatu himpunan yang terdiri dari r obyek dan yang mungkin dipilih darisuatu
himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan pemilihannya
dinamakan kombinasi dari n obyek yang berbeda dan yang diambil sekaligussebanyak r
obyek
n
dengan ketentuan 0 < r < n. kombinasi demikian dinyatakan dengan notasi
r

TEOREMA : Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda. Jumlah kombinasi darin obyek

yang berbeda dan yang dipilih sekaligus sebanyak r n n!

ialah : ( )=
r r!( n - r )!

Koefisien binomial dan multinomial

n n!
Nilai ( ) atau ( )sebetulnya merupakan koefisien binomial. Secara aljabar,
r r!(n−r)!

(p + q)2 = (p + q) (p + q) = p2+ 2pq + q2. Koefisien tiap suku dalam penguraian binomial
demikian dapat diperoleh dengan cara menghitung tiap kombinasinya.

Koefisien p2 2 2
= ( ) =()=1
2 2

Koefisien pq = 2( =)2

1
Koefisien 𝑞2 = 2(=)2 = 1( )
0 2

Alhasil, secara keseluruhan (p + q)2 dapat diuraikan dengan koefisiennya sebagai kombinasi
n
) atau (
( n!
)
r r!(n−r)!
SOAL PILIHAN GANDA
1. Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang
berbentuk lingkaran.Banyak cara agar mereka dapat duduk mengeliingi meja makan
dengan urutan yang berbeda adalah…
A. 720    
B. 120    
C. 60    
D. 30    
E. 6
2. Di suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri atas 6 orang. Calon yang
tersedia 5 pria dan 4 wanita. banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika
sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah...
A. 84    
B. 82    
C. 76    
D. 74    
E. 66
3. Seorang satpam bank ingin mencetak nomor antrian nasabah yang terdiri dari tiga angka.
Jika nomor antrian tersebut tidak memuat angka yang sama yang dibentuk dari angka 0,
1, 2, 3. Banyak pilihan nomor antrian yang dapat dibuat adalah…
A. 4 cara
B. 12 cara
C. 36 cara
D. 36 cara
E. 72 cara
4. Seorang peternak akan membeli hewan ternak untuk dipelihara. Dia akan membeli 3 ekor
sapi, 4 ekor domba dan 5 ekor kambing. Seorang pedagang mempunyai 6 ekor sapi, 6
ekor domba dan 8 ekor kambing. Banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih
hewan ternak yang akan dibeli adalah…
A. 16800 cara
B. 9000 cara
C. 300 cara
D. 120 cara
E. 91 cara
5. Setiap tahun, SMA Pelita Bangsa selalu mengadakan pentas seni. Sebelum acara akbar,
para siswa mengadakan pemilihan ketua, sekretaris dan bendahara. Setelah melakukan
seleksi, ada 5 orang siswa yang mendaftarkan diri. Banyak cara untuk memilih ketua,
sekretaris dan bendahara untuk acara tersebut adalah…
A. 720 cara
B. 360 cara
C. 120 cara
D. 60 cara
E. 20 cara
SOAL ESSAY

1. Seorang satpam bank ingin mencetak nomor antrian nasabah yang terdiri dari tiga
angka. Jika nomor antrian tersebut tidak memuat angka yang sama yang dibentuk dari
angka 0, 1, 2, 3. Banyak pilihan nomor antrian yang dapat dibuat adalah…
2.  Setiap tahun, SMA Pelita Bangsa selalu mengadakan pentas seni. Sebelum acara
akbar, para siswa mengadakan pemilihan ketua, sekretaris dan bendahara. Setelah
melakukan seleksi, ada 5 orang siswa yang mendaftarkan diri. Banyak cara untuk
memilih ketua, sekretaris dan bendahara untuk acara tersebut adalah…
3. Seorang peternak akan membeli hewan ternak untuk dipelihara. Dia akan membeli 3
ekor sapi, 4 ekor domba dan 5 ekor kambing. Seorang pedagang mempunyai 6 ekor
sapi, 6 ekor domba dan 8 ekor kambing. Banyak cara yang dapat dilakukan untuk
memilih hewan ternak yang akan dibeli adalah…
4. Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih, 4 kelereng biru dan 3 kelereng merah.
Banyak cara pengambilan 3 kelereng putih dari kantong tersebut adalah…
5. Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada
berapa urutan yang dapat terjadi ?
KUNCI JAWABAN
SOAL PILIHAN GANDA
1. B.120
Pembahasan:
Banyaknya cara agar 6orang dapat duduk menglilingi meja makan dengan urutan yang
berbeda sama dengan banyak permutasi siklik (melingkar) 6 unsur yaitu:
(6 - 1)! = 5!
             = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
             = 120
2. D.74
Pembahasan:
Dari 5 pria dan 4 wanita akan dipilih 6 orang sebagai anggota perwakilan dengan
ketentuan sekurang-kurangnya terpilih 3 pria. Ini berarti ada 3 macam susunan, yaitu:
1) 3 pria dan 3 wanita,
2) 4 pria dan 2 wanita,
3) 5 pria dan 1 wanita
Susunan 1 (3 pria dan 3 wanita)
Banyaknya cara memilih 3 pria dari 5 pria yang ada adalah kombinasi 3 unsur dari 5
unsur, yaitu:

C (5,3) = 

             = 
             = 10
Banyaknya cara memilih 3 wanita dari 4 wanita yang ada adalah kombinasi 3 unsur dari 4
unsur, yaitu:
C (4,3) = 

             = 
             = 4
Dengan demikian banyaknya susunan yang terdiri dari 3 pria dan 3 wanita adalah 10 x 4
= 40
Susunan 2 (4 pria dan 2 wanita)
Banyaknya cara memilih 4 pria dari 5 pria yang ada adalah kombinasi 4 unsur dari 5
unsur, yaitu:

C (5,4) = 

             = 
             = 5
Banyaknya cara memilih 2 wanita dari 4 wanita yang ada adalah kombinasi 2 unsur dari 4
unsur, yaitu:

C (4,2) = 

             = 
             = 6
Dengan demikian bayaknya susunan yang terdiri atas 4 pria dan 2 wanita adalah 5 x 6 =
30
Susunan 3 (5 pria dan 1 wanita)
Banyaknya cara memilih 5 pria dari 5 pria yang ada adalah kombinasi 5 unsur dari 5
unsur, yaitu:

C (5,5) = 

             = 
             = 1
Banyaknya cara memilih 1 wanita dari 4 wanita yang ada adalah kombinasi 1 unsur dari 4
unsur, yaitu:

C (4,1) = 

             = 
             = 4
Dengan demikian bayaknya susunan yang terdiri atas 5 pria dan 1 wanita adalah 1 x 4 = 4
Jadi, banyaknya susunan yang terdiri atas sekurang-kurangnya 3 pria adalah 40+30+4 =
74
3. C.24 cara
Pembahasan:
Banyak angka yang tersedia = 4 angka yaitu, 0, 1, 2, 3, maka nn = 4
Karena akan dipilih 3 nomor antrian berbeda, maka banyak pilihannya adalah permutasi 3
dari 4

Maka, 

4. A.16800 cara
Pembahasan :
Untuk pemilihan 3 dari 6 ekor sapi

= 20 cara
Untuk pemilihan 4 dari 6 ekor domba

=15 cara
Untuk pemilihan 5 dari 8 ekor kambing

=56 cara
Maka, banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih hewan ternak yang akan dibeli
adalah

=16800 cara
 5.D.60 cara
Pembahasan :
Banyak kandidat yang mendaftar = 5 orang, maka nn = 5
Karena akan dipilih 3 orang yaitu, ketua sekretaris dan bendahara, maka banyak
pilihannya adalah permutasi 3 dari 5

Maka, 
 

KUNCI JAWABAN ESSAY

01.Banyak angka yang tersedia = 4 angka yaitu, 0, 1, 2, 3, maka nn = 4
Karena akan dipilih 3 nomor antrian berbeda, maka banyak pilihannya adalah permutasi 3
dari 4

Maka, 

02.Banyak kandidat yang mendaftar = 5 orang, maka nn = 5

Karena akan dipilih 3 orang yaitu, ketua sekretaris dan bendahara, maka banyak pilihannya
adalah permutasi 3 dari 5

Maka, 
 

Jawaban = 60 cara

03.Untuk pemilihan 3 dari 6 ekor sapi

= 20 cara
Untuk pemilihan 4 dari 6 ekor domba
=15 cara
Untuk pemilihan 5 dari 8 ekor kambing

=56 cara
Maka, banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih hewan ternak yang akan dibeli
adalah

=16800 cara

04. Karena akan dipilih 3 kelereng dari 6 kelereng, maak gunakan kombinasi 3 dari

 
 
banyak kombinasi warna yang dihasilkan adalah 20 cara

05.nPx = n!
3P3 = 3!
       = 1 x 2 x 3
       = 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).
 BAB III
PENUTUP
A. SIMPULAN

Dari materi permutasi kita bisa menentukan banyak cara pengambilan data.
Dengan permutasi kita dapat menghitung kemungkinan banyaknya posisi duduk satu
keluarga tersebut. Selain itu, kita juga dapat menghitung banyaknya susunan huruf
maupun angka dengan cara yang tepat yaitu dengan menggunakan permutasi. Pada
materi kombinasi inti pengertiannya adalah susunan unsure-unsur dengan tidak
memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA jadi, dalam menggunakan
kombinasi kita dapat menyimpulkan banyak cara pemilihan suatu kejadian dengan cara
yang ditentukan.

B. SARAN

Demikianlah materi yang dapat kami buat, sebagai manusia biasa kita menyadari
dalam pembuatan makalah ini masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan.
Untuk itu kritik dan saran yang bersifat konstruktif sangat kami harapkan demi
kesempurnaan makalah ini dan berikutnya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita
semua. Amiin.
 DAFTAR PUSTAKA

http://belumadajudul3012.blogspot.co.id/2012/12/tugas-permutasi-dan-
kombinasi.html https://www.slideshare.net/aisyahturidho/makalah-kombinasi-
permutasi-dan-peluang https://id.wikipedia.org/wiki/Kombinasi_dan_permutasi
https://www.scribd.com/doc/38288053/Bab-V-Permutasi-Dan-Kombinasi-Statistik-
Semester-IV

http://ukurandansatuan.com/cara-menghitung-permutasi-dan-kombinasi.html/

https://jhonifunk.wordpress.com/pelajaran/matematika/rumus-peluangpermutasi-
kombinasi- matematika/