Bab 4
Bab 4
Bab 4
BAB 4
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAN
A. Persamaan Linear
* Contoh (4.1)
a. 4x + 8 = 0
b. 2x - 18 = 0
Kedua persamaan di atas akan bernilai benar jika variabelnya berturut-turut
diganti dengan -2 dan 9.
2. Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang hanya memiliki dua
variabel dan masing-masing berpangkat satu
Bentuk umum:
ax+by=c; a,b,c∈ R , a≠0 , b≠0
a adalah koefisien dari variable x dan b adalah koefisien dari variable y
sedangkan c adalah konstanta.
* Contoh (4.2)
* Contoh (4.3)
1
x
1. 3 + 3 = 12
1
x
3 + 3 – 3 = 12 – 3(kedua ruas dikurangi 3)
1
x
3 =9
1
x
3 . 3 = 9.3 (kedua ruas dikali 3)
x = 27
2. 4x – 7 = 2x + 9
4x – 7 + 7 = 2x + 9 + 7 (kedua ruas ditambah 7)
4x = 2x + 16
4x – 2x = 2x – 2x + 16 (kedua ruas dikurangi 2x)
2x = 16
1 1
2x . 2 = 16 . 2
x=8
4. Himpunan penyelesaian persamaan linear
Menentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berarti mencari
harga yang memenuhi untuk pengganti variabel pada persamaan linear yang
bersangkutan.
* Contoh (4.4)
2 x−1 x+1
=
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear 5 2
Jawab:
2 x−1 x+1
=
5 2
2(2x- 1) = 5(x + 1)
4x – 2 = 5x + 5
4x – 5x = 2 + 5
-x = 7
x = -7
HP = {-7}
Bentuk Umum
ax + by = c
px + qy =r
a, b, c, p, q, r R
a, p = koefisien dari x
b, q = koefisien dari y
c, r = konstanta
x, y = variabel
1. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua
variabel, antara lain :
a. Cara Grafik
Langkah-langkahnya sebagaiberikut :
1) Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat.
2) Tentukan titik potng kedua garis tersebut. Koordinat titik potong
tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari system persamaan yang
dimaksud.
b. Cara Eliminasi
Langkah-langkahnya sebagai berikut :
* Contoh (4.5)
c. Cara Substitusi
Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya sebagai berikut :
1) Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang lain dari salah
satu persamaan.
2) Substitusikan hasil dari langkah 1) ke persamaan yang lain.
* Contoh (4.6)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
{4 x−2 y=12
x+ y=9 dengan cara substitusi !
Jawab:
4 x−2 y=12 …………… (1)
x + y = 9 x = 9 – y ….. (2)
a b
| |
Dengan : D = p q = aq – bp
c b
| |
Dx = r q = cq – br
a c
| |
Dy = p
= ar – cpr
Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan :
Dx Dy
x= D dan y = D
* Contoh (4.7)
{23x+3x+ y=5
y=1
dengan cara determinan !
Jawab:
2 3
| |
D = 3 1 = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = -7
1 3
| |
Dx = 5 1 = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = -14
2 1
| |
Dy = 3 5 = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7
Dx −14
x= D = −7 = 2
Dy 7
y= D = −7 = -1
Jadi HP = {(2, -1)}
C. Persamaan Kuadrat
ax2 + bx + c = 0; a, b, cR ; a 0
a = koefisien dari x2
b = koefisien dari x
c = konstanta
* Contoh (4.8)
x2 + 2x - 15 = 0
x2 – 9 = 0
1. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Ada beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat, antara lain :
a. Memfaktorkan
* Contoh (4.9)
1) Selesaikan x2 – 5x + 6 = 0 !
Jawab:
x2 – 5x + 6 = 0
(x – 3)(x – 2)= 0
x – 3 = 0 atau x -2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi HP = {3, 2}
2) Selesaikan x2 – 25 = 0 !
Jawab:
x2 – 25 = 0
(x + 5)(x – 5)= 0
x + 5 = 0 atau x - 5 = 0
x = -5 atau x = 5
Jadi HP = {-5, 5}
b. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
* Contoh (4.10)
1) Selesaikan x2 + 10x + 21 = 0 !
Jawab:
x2 + 10x + 21 = 0
x2 + 10x = -21
x2 + 10x + 25 = -21 + 25
1
( 2 koefisien x)2
(x + 5) = 4
2
x + 5 = ±√ 4=±2
x + 5 = 2 atau x + 5 = -2
x = -3 atau x = -7
Jadi HP ={-3, -7}
2) Selesaikan 4x2 + 8x + 3 = 0 !
Jawab:
4x2 + 8x + 3 = 0
4x2 + 8x = -3
3
−
x 2 + 2x = 4
3
−
x 2 + 2x + 1 = 4 +1
1
(x + 1)2 = 4
1 1
x+1=
±
√ 4
=±
2
1 1
x + 1 = 2 atau x + 1 = - 2
1 3
x = - 2 atau x = - 2
1 3
Jadi HP =
{
− ,−
2 2 }
c. Dengan Rumus ABC
−b±√ b2 −4 ac
x 1,2=
2a
* Contoh (4.11)
1) Selesaikan x2 + 6x - 16 = 0 !
Jawab:
a = 1, b = 6, c = -16
−6±√ 62 −4 (1)(−16)
x 1,2=
2(1)
−6± √100
= 2
−6±10
= 2
−6+10 4 −6−10 −16
x 1= = =2 x 2= = =−8
2 2 atau 2 2
Jadi HP = {2, -8}
d. Sifat-sifat Akar persamaan Kuadrat
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat yang menyangkut banyaknya akar
persamaan kuadrat, ditentukan oleh nilai diskriminannya yaitu D = b2 – 4ac.
(i) D > 0 kedua akar real dan berbeda
(ii) D = 0 kedua akar sama (kembar)
(iii) D < 0 Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata
* Contoh (4.12)
Tentukan sifat-sifat akar persamaan berikut ini !
1) x2 – 4x + 3 = 0
2) x2 + 6x + 9 = 0
3) x2 + 3x + 3 = 0
Jawab:
1) x2 – 4x + 3 = 0
a = 1, b = -4, c = 3
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4
D > 0, kedua akar real dan berbeda.
2) x2 + 6x + 9 = 0
a = 1, b = 6, c = 9
D = b2 – 4ac = 62 – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0
D = 0, kedua akar sama (kembar)
3) x2 + 3x + 3 = 0
a = 1, b = 3, c = 3
D = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(3) = 9 – 13 = -3
D < 0, persamaan tidak mempunyai akar nyata.
D. Pertidaksamaan Linear
* Contoh (4.14)
1) Selesaikan 6x + 2 4x + 10 !
Jawab:
6x + 2 4x + 10
6x + 2 – 2 4x + 10 - 2
6x 4x + 8
6x – 4x 4x – 4x + 8
2x 8
1 1
2 .2x 2 .8
x4
2) Selesaikan 6x – 5 9x + 10 !
Jawab:
6x – 5 9x + 10
6x – 5 + 5 9x + 10 + 5
6x 9x + 15
6x – 9x 9x – 9x + 15
-3x 15
(− 13 )
(-3x)
(− 13 )
(15)
x5
2. Himpunan Penyelesaian Pertidaksaman Linear
* Contoh (4.15)
x8
8
Jadi HP = { x x 8, xB}
2) Tentukan himpunan penyelesaian dari 5x + 10 > 8x + 4, xR !
Jawab:
5x + 10 > 8x + 4
5x + 10 – 10 > 8x + 4 - 10
5x > 8x - 6
5x – 8x > 8x – 8x - 6
-3x > -6
(− 13 ) (-3x) <
(− 13 ) (-6)
x<2
2
Jadi HP ={ x x < 2 , xR}
E. Pertidaksamaan Kuadrat
* Contoh (4.16)
x2 + 5x + 6 0
x2 – x - 6 < 0
2x2 + 9x + 5 0
1. Sifat-sifat Pertidaksamaan Kuadrat
* Contoh (4.17)
-4 -2
(iv) Ambil x = 0 x2 + 6x + 8 0
8 0 (B)
Jadi HP = { xx -4 atau x -2 }
(2x + 5)(x – 1) = 0
2x + 5 = 0 atau x – 1 =0
2x = -5 atau x = 1
5
−
x= 2 atau x = 1
5
−2 1
Ambil x = 0 2x + 3x - 5 < 0
2
- 5 < 0 (B)
5
−
Jadi HP = { x 2 <x<1}
* Contoh (4.18)
1. Ahli kesehatan mengatakan bahwa akibat menghisab satu batang rokok waktu
hidup seseorang akan berkurang selama 5,5 menit. Berapa rokok yang dihisab
Fahri tiap selama 275 hari(1 tahun = 360 hari).
Jawab:
misalkan banyaknya rokok yang dihisab tiap hari adalah x, maka waktu hidup
berkurang tiap harinya 5,5 x menit.
Dalam setahun waktu hidup, berkurang banyak 5,5x ¿ 360 hari. Dalam 20
tahun waktu hidup berkurang banyak 5,5x ¿ 360 ¿ 20 menit. Sehingga
diperoleh persamaan :
5,5x ¿ 360 20 = 275 ¿ 60 ¿ 24
39.600x = 396.000
x = 396.000/39.600
x = 10
jadi, fahri menghisap rokok 10 batang setiap hari.
2. Upah seorang teknisi untuk memperbaiki suatu mesin bubut adalah Rp.
250.000,- ditambah biaya Rp. 75.000 tiap jamnya. Karena pekerjaanya kurang
rapi, pembayaranya dip[otong 10% dari upah total yang harus diterima. Jika
teknisi tersebut mendapat upah sebesar Rp. 798.750,-Berapa jam mesin bubut
tersebut diperbaiki?
Jawab:
Misalkan teknisi bekerja selama x jam, dan upah yang diterima hanya (100 -
10)% =
90%, maka diperoleh persamaan berikut:
(75.000x + 250.000) X 90% = 798.750
67.500x + 225.000 = 798.750
67.500x = 798.750 – 225.000
67.500x = 573.750
x = 573.750/67.500 = 8.5
Jadi, teknisi tersebut bekerja memperbaiki mesin selama 8,5 jam.
3. Untuk dapat diterima sebagai karyawan di PT.Teknik Sejahtera, calon karyawan
akan menjalani tes sebanyak 4 kali, yaitu tes tertulis, psikotes, tes ketrampilan,
dan wawancara dengan perbandingan hasil tes berturut-turut adalah 4 : 3 : 2 : 1.
Total nilai tes tidak boleh kurang dari 827. Azam telah mengikuti tes dengan
hasil sebagai berikut. Psikotes =80, tes ketrampilan=95, dan wawancara=85.
Tentukan nilai terendah tes tertulisnya agar azam dapat diterima menjadi
karyawan.
Jawab :
Misalkan nilai tes tertulis adalah x,maka diperoleh pertidaksamaan :
4x + 3 . 80 + 2 . 95 + 1 .85 > 827
4x + 240 + 190 + 85 > 827
4x > 827 – 240 – 190 – 85
4x > 312
x > 78
Jadi, nilai terendah tes tertulis azam adalah agar diterima sebagai karyawan
adalah 78.
c. x2 – 10x + 21 < 0 f. x2 + x - 12 0
10. Suatu persegi panjang memiliki ukuran panjang (4x + 2) cm dan lebar (x + 1)
cm.
a. Tentukan keliling persegi panjang
b. Jika kelilingnya 66 cm, tentukan x.
c. Tentukan panjang dan lebarnya
d. Tentukan luas persegi panjang tersebut.
11. Dua kali suatu bilangan jika ditambah dengan lima hasilnya sama dengan 27.
Tuliskan kalimat matematikanya.
12. Usman memiliki uang Rp 3.800,00 lebih banyak dari uang Adi. Jika jumlah
uang mereka Rp 10.200,00 maka banyak uang Usman adalah…
13. Bastian berusia 3 tahun lebih tua dari Diah. Jumlah usia mereka kurang dari
15 tahun, usia Diah sekarang adalah . . .
14. Lebar sebuah persegi panjang lebih pendek 4 cm dari panjangnya. Jika
keliling nya sama dengan 72 cm, panjang persegi panjang adalah
15. Sebuah kawat yang panjangnya tidak lebih dari 72 cm dibuat kerangka balok
dengan kedua ujung kerangka balok tersebut berbentuk persegi. Panjang balok
lebih 6 cm dari pada lebarnya. Maka tentukan panjang, lebar dan tinggi balok
tersebut?
16. Ukuran panjang lapangan tenis 16 m lebinga daripada lebar lapangan tersebut.
Apabila luas lapangan tenis 225 m2, berapakah ukuran panjang dan lebar
lapangan tenis tersebut?
17. Untuk dapat diterima sabagai suster di RS SEHAT, seorang calon suster akan
menjalani tes sebanyak 4 kali, yaitu tes tertulis, psikotes, tes keterampilan dan
wawancara dengan perbandingan hasil tes berturut-turut 3 : 2 : 4 : 1 dan total tes
tidak boleh kurang dari 793. Windy adalah salah seorang calon suster yang telah
mengikuti tes dengan hasil sebagai berikut: tes tertulis = 75, psikotes = 78, dan
nilai wawancara = 92. Tentukan nilai terendah tes keterampilan agar ia diterima
di rumah sakit tersebut.