KALK 2A - Integral Lipat Tiga PDF
KALK 2A - Integral Lipat Tiga PDF
KALK 2A - Integral Lipat Tiga PDF
KALKULUS
MUH1D4
S1 Teknik Elektro - Fakultas Teknik Elektro
Integral Lipat Tiga pada Balok
1. Partisi balok B menjadi n bagian;
B1, B2, …, Bk, …, Bn
Bk zk Definisikan
terpanjang dari Bk
|||| = diagonal ruang
(x k , yk , zk )
xk2. Ambil
3. Bentuk jumlah Riemann
z B yk ( x k , y k , z k ) Bk
4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah
Riemann n
f (x
k 1
k , y k , z k )Vk
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 2
Integral Lipat Tiga pada Balok (2)
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 3
Contoh
B = {(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2}
Jawab.
2 1 2
yz dV yz dx dy dz
2 2
x x
B 1 0 1
2 1 2
1
yz x 3 dy dz
1 0 3 1
2 1
7 1
z y 2 dz
1
3 2 0
2
7 1
z2 7
6 2 1 4
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 4
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang
Hitung yz dV , Jika S benda padat sembarang
2
x
S
y
x
(gb. 1)
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 5
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)
• Jika S dipandang sebagai
z= (x,y)
z
2
himpunan z sederhana (gb.2)
(S dibatasi oleh z=1(x,y) dan
S z=2(x,y), dan proyeksi S pada
z= (x,y)
1
bidang XOY dipandang sebagai
daerah jenis I) maka:b 2 ( x ) 2 ( x , y )
b Sxy
x
• Catatan: f (x, y, z) dV
S
(gb. 2)
Jika f(x,y,z) = 1, maka
menyatakan volume benda
pejal S
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 6
Contoh
Hitung f (x, y, z) dV dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda
S
padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 dan
bidang-bidang z = 0, y=x, y=0
z z=2–½ x2 Jawab.
y=x
y=0 Dari gambar terlihat bahwa
S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x
0≤z≤ 2 – ½x2}
0
Sehingga,
y 1
Sxy 2 x
2 x2
2
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 7
Contoh (lanjutan)
2 x 2
1
xy 2 x 2 dy dx
0 0 2
2 x
1 1
x 4 2x 2 x 4 y 2 dx
0 4 2 0
2
1
2 x 3 x 5 x 7 dx
0
8
2
1 1 1 8
x4 x6 x
2 6 64 0
32 4
8 4
3 3
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 8
Latihan
1. Hitung z dV , S benda padat di oktan pertama yang
S
dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung
x2 + z2 = 1.
2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi
tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan
tuliskan dan hitung integral lipatnya.
3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :
a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0.
b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0.
c. x2 = y, z2 =y, y = 1,x = 0.
d. y = x2 +y 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.
/ 2 z
4. Hitung
0 0 0
sin( x y z)dxdydz
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 9
Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)
Koordinat Tabung Koordinat Bola
z P(,,)
P(r,,z) z
z
z
r r y
y
x x
Syarat & hubungan dg Kartesius
Syarat & hubungan dg Kartesius
r 0, 0 2
0, 0 2 , 0
x = r cos x = r cos
y = r sin r = sin } x = cos sin
z=z y = r sin
r2 = x2 + y2 r = sin } y = sin sin
z = cos
x2 + y2 + z2 = 2
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 11
Contoh
2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.
z Jawab.
z 4 x 2 y 2 D dalam koordinat:
2
a. Cartesius:
0 2 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 x 2 ,
r y 0≤z≤ 4 x 2 y 2 }
2 b. bola:
x D={(x,y,z)| 0≤≤2, 0≤≤ /2,
0≤ ≤ /2}
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 12
Penggantian Peubah dalam Integral Lipat Tiga
Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w)
maka:
f (x, y, z) dx dy dz f (m(u, v, w), n(u, v, w), p(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dw
D D
x x x
dimana u v w
J (u , v, w ) y y y
u v w
z z z
u v w
Jacobian
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 13
Koordinat Kartesius Tabung
x = r cos
y = r sin
z=z
Matriks Jacobiannya:
x x x
r z cos r sin 0
J (u , v, w ) y y y sin r cos 0 r cos 2 r sin 2 r
r z
z z z 0 0 1
r z
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 14
Koordinat Kartesius Bola
x = cos sin
y = sin sin
z = cos
Matriks Jacobiannya:
x x x
sin cos sin sin cos cos
J(u, v, w ) y y y sin sin sin cos cos sin 2 sin
z z z cos 0 1
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 15
Contoh (Tabung)
1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid
z = x2 + y2 dan z = 4.
Z Jawab.
z=4
Daerah S dalam Koordinat Cartesius
adalah:
y S={(x,y,z)|-2 x 2, 4 x y 4 x ,
2 2
Sxy
x2 + y2 z 4}
x
Dalam koordinat tabung:
S={(r,,z)|0 r 2, 0 2 , r2 z 4}
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 16
Contoh (Lanjutan)
2 2 4
V r dz d dr
0 0 r2
2 2
4
0 0
r z r 2 d dr
2
r 4 r 2 0 dr
2
0
2
1
2 2r 2 r 4 8
4 0
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 17
Contoh (bola)
2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I
Jawab.
z
z 4 x2 y 2 D dalam koordinat:
2
a. Cartesius:
0 2 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 x 2
,
y 0≤z≤ 4 x 2 y 2 }
2 b. Bola:
x
D={(x,y,z)| 0≤≤2, 0≤≤ /2,
0≤ ≤ /2}
Sehingga, volume benda pejalnya adalah
/2 /2 2
V 1 dV sin d d d
2
S 0 0 0
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 18
Contoh (Lanjutan)
/2 /2 2
sin d d d
2
V
0 0 0
/2 /2 2
1
sin 3 d d
3 0
0 0
/2 /2
8
cos d
0
3 0
8 4
0
/2
3 3
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 19
Latihan
1. Hitung dV, dengan D benda pejal yang dibatasi
2
x
D
z =9 – x2 – y2 dan bidang xy.
2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi
bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4.
3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh
bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z.
4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid
z = x2 + y2 dan bidang z =4.
5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola
x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara
menyamping oleh tabung x2+y2=4.
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 20
Latihan Lanjutan
6. Hitung volume benda pejal, daerah yang dibatasi oleh bola
x2+ y2+ z2 = 9, dan berada dalam kerucut z x 2 y 2
9 x 2 9 x 2 y 2
x
3
2 3/ 2
7. Hitung y z
2 2
dz dy dx
3 9 x 2 9 x 2 y 2
3 9 x2 2
8. Hitung
0 0 0
x 2 y 2 dz dy dx
2 4 x 2 4 x 2 y 2
9. Hitung z 4 x 2 y 2 dz dy dx
0 0 0
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 21
[MA 1124]
1/9/2020 KALKULUS II 22