15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

You are currently using guest access (Login)

Mata Kuliah Download

Layanan Dosen

Layanan Mahasiswa

Persamaan Differensial Biasa

Home Courses Mata Kuliah untuk Umum Diferensial Tingkat Satu hibah24 Topic 1 Persamaan

NAVIGATION
Home Site pages Current course hibah24 Participants General Topic 1 Persamaan Diferensial Quis bab 1 Topic 2 Topic 3 Topic 4 Topic 5 Topic 6 Topic 7 Topic 8 Topic 9 Topic 10 Courses

1. Pengantar
Persamaan Diferensial Biasa memainkan peranan yang penting sebagai bahasa didalam merumuskan dan menyelesaikan persoalan-persoalan yang melibatkan ilmu pengetahuan dan keteknikan. Dalam bab ini pembicaraan dimulai dengan pernyataan yang jelas dari

definisi prinsip dan teorema yang berkaitan dengan Persamaan Diferensial Tingkat Satu beserta ilustrasi dan deskriptif lainnya. Kemudian semua ini diikuti dengan sejumlah soal terjawab sebagai contoh soal dan soal tambahan sebagai latihan beserta kunci jawabannya. Suatu Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang menghasilkan fungsi yang tak diketahui terhadap turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas Diklasifikasikan ada 2 jenis, yaitu Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial Parsial. Salah satu klasifikasi yang jelas adalah dengan melihat apakah fungsi yang tak diketahui bergantung pada satu atau lebih . Bila hanya satu disebut Persamaan Diferensial Biasa, jika fungsi yang tak diketahui bergantung pada lebih dari satu peubah bebas, disebut Persamaan Diferensial Parsial. Contoh dari Persamaan Diferensial Biasa adalah : 1. Rangkaian Listrik seri RLC :

Tingkat S atu

dimana Q(t) = muatan listrik , L= Induktor R = Tahanan, C= Kapasitor E(t) = Voltage

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740

1/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

2. Persamaan gerak pegas tanpa redaman : dimana y(t) = posisi massa pada saat t m = massa k = konstanta pegas

Contoh dari Persamaan Diferensial Parsial

1. 2.

Persamaan potensial Persamaan difusi atau induksi panas.

2. PD Tingkat Satu
2.1 Pengertian Persamaan Diferensial dan Definisi-Definisi. Banyak masalah penting dalam teknik, ilmu fisika dan ilmu sosial ketika diformasi dalam bentuk matematika memerlukan penelitian dari suatu fungsi yang memenuhi suatu

permasalahan yang mengandung satu atau lebih derifatif dari fungsi yang tidak diketahui. Persamaan semacam ini disebut Persamaan Diferensial. Beberapa gambaran bagaimana terbentuknya suatu Persamaan Diferensial diberikan dibawah ini : 1. Persamaan Geometri 1. Suatu kurva yang mempunyai koefisien arah (slope) garis singgungnya pada setiap titik (x,y) sama dengan dua kali jumlah koordinat titik itu diberikan oleh

2. Kurva dengan syarat bahwa jumlah potongan (Intercepts) x dan y dengan garis singgungnya selalu sama dengan 2, diberikan ilustrasi sebagai berikut: Persamaan garis singgung kurva di titik ( x, y) adalah potongan garis singgung tsb dengan sumbu-sumbu koordinat : , sehingga

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740

2/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

PD yang menyatakan hal diatas adalah :

2. Masalah Fisika

Suatu peristiwa berpindahnya partikel yang bermassa m sepanjang garis lurus (sumbu x) ke arah titik O dengan memperhatikan hal berikut ini : 1. Apabila dipilih arah positip ke kanan. Bilamana x > 0, gaya berarah ke kiri ke kanan ( positip) besarnya gaya juga - k1 x . (negatip), sehingga besarnya gaya adalah - k1 x. Bilamana x<0 , gaya berarah

2. Gaya yang melawan ( gaya redaman ) sebanding dengan kecepatannya adalah dimana k1 & k2 adalah faktor pembanding.

3. Menurut hukum Newton, gaya total (massa x percepatan) dinyatakan oleh :

Setelah memahami bagaimana terbentuknya suatu Persamaan Diferensial akan diberikan suatu definisi dari Persamaan Diferensial.:

Definisi : Suatu Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan dari fungsi yang tak diketahui..

Suatu Persamaan Diferensial Biasa orde n dapat ditulis dalam bentuk.

Contoh : Persamaan Diferensial orde 1 derajat 1 Persamaan Diferensial orde 2 derajat 1

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740 3/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

Persamaan Diferensial orde 1 derajat 3 Penyelesaian suatu Persamaan Diferensial : Penyelesaian suatu Persamaan Diferensial adalah suatu hubungan antara variabel-variabel tanpa turunan dan yang memenuhi Persamaan Diferensial tersebut. Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial ( PUPD) : Adalah penyelesaian Persamaan Diferensial yang mengandung konstanta sebarang yang banyaknya sama dengan tingkat dari Persamaan Diferensial tersebut. Penyelesaian Khusus/Partkelir Persamaan Diferensial ( PKPD) konstanta sebarangnya diberi harga tertentu. Contoh : Persamaan Diferensial : y"-y'-2y=0 Penyelesain Umum Persamaan Diferensial (PUPD) : Jika c1 dan c2 masing-masing diberi harga c1= 2 dan c2= 1, maka Penyelesaian Khusus/Partkelir Persamaan Diferensial (PKPD) : 2.2. Metoda Menyelesaikan Persamaan Diferensial Tingkat S atu: 2.2.1. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Bentuk Umum : PUPD : Persamaan Diferensial Dengan Variabel Yang Dapat Dipisahkan. Bentuk Umum : Dibagi dengan fungsi g(x) V (y ) diperoleh Persamaan Diferensial dengan variabel terpisah yaitu :

Adalah penyelesaian Persamaan Diferensial yang diperoleh dari PUPD jika kedua konstanta-

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740

4/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

PUPD : Contoh :

1. Selesaikan Persamaan Diferensial : Penyelesaian dapat ditulis :

PUPD : 2. diubah menjadi maka dengan mengintegralkan

menjadi 2.2.2 Persamaan Diferensial Homogen Persamaan Diferensial tingkat satu dan derajat satu disebut Persamaan Diferensial Homogen, Jika Persamaan Diferensial tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : (2.1)

Sedang f( x,y) disebut homogen berderajat n jika : Untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial (2.1) dengan substitusi y=vx mereduksi Persamaan Diferensial (2.1) menjadi Persamaan Diferensial terpisah. Contoh : 1. Selesaikan Persamaan Diferensial :

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740

5/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

Penyelesaian :

Substitusi y=vx dan dy= v dx + x dv : maka Persamaan Diferensial menjadi :

maka PUPD :

2.

Penyelesaian :

Misalkan y = vx

diperoleh PUPD :

3. Selesaikan :

BUKTIKAN

PUPD : Atau

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740

6/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

2.2.3. Persamaan Diferensial Linier Tingkat S atu.

Bentuk umumnya :

Cara mendapatkan Penyelesaian umumnya : Gandakan Persamaan Diferensial dengan Didapat :

PUPD : Dimana : Contoh : 1. Selesaikan Persamaan Diferensial Penyelesaian : dinamakan faktor pengintegral dari Persamaan Diferensial.

Faktor Pengintegral PUPD : atau

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740 7/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

2. Selesaikan PD : Penyelesaian :

Persamaan Diferensialnya dapat ditulis : Faktor pengintegral PUPD : atau 2.2.4. Persamaan Diferensial Bernouli

Bentuk umumnya:

Substitusi :

maka

Persamaan Diferensialnya menjadi :

Yang merupakan Persamaan Diferensial Tingkat Satu. Contoh : Selesaikan Persamaan Diferensial : 1.

Penyelesaian : Substitusi

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740

8/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

Persamaan Diferensial menjadi : Faktor Pengintegral : PUPD : PUPD : atau

2. Buktikan PUPDnya : 2.2.5. Persamaan Diferensial E ksak. Suatu Persamaan Diferensial dengan bentuk :

Disebut Persamaan Diferensial Eksak ; Jika ada suatu fungsi F ( x,y) yang diferensial totalnya sama dengan yaitu :

Teorema : Syarat perlu dan cukup agar persamaan merupakan Persamaan Diferensial Eksak adalah : PUPD Eksak berbentuk F(x,y) = C, dimana dan Dari kedua hubungan ini dapat dicari F ( x,y)sebagai berikut :
http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740 9/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

Dari maka

maka ,

atau

Dimana : dx menyatakan bahwa dalam integrasi y dipandang konstanta dan dalam hal ini R( y )adalah konstanta integrasi. dy menyatakan bahwa dalam integrasi x dipandang konstan dan dalam hal ini Q( x )adalah konstanta integrasi. Jadi atau R(y ) atau Q(x) ditentukan sebagai berikut : . (2.2)

(2.3) Maka dari persamaan (2.3) diatas dapat ditemukan : R(y ) atau Q(x) lalu substitusi ke (2.2) dan didapat : PUPD : Contoh : Selesaikan Persamaan Diferensial : 1.

Penyelesaian : Disini : dan

Jadi Persamaan Diferensial adalah Eksak. PUPD Eksak berbentuk

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740

10/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

Jadi PUPD :

2. Persamaan Diferensial Penyelesaian :

, Persamaan Diferensial diatas adalah eksak. Dimisalkan PUPD : PUPD : 2.2.6.Persamaan Diferensial Dengan F aktor Pengintegral : Apabila Persamaan Diferensial tidak eksak, yaitu : maka

maka salah satu cara digunakan faktor pengintegral sedemikian Persamaan Diferensial menjadi eksak. Suatu fungsi yang tidak nol v( x,y) disebut faktor pengintegral untuk , jika persamaan
http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740 11/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

diferensial adalah eksak. Syarat perlu dan cukup untuk ini adalah : atau Menentukan F aktor Pengintegral : 1. Jika V = f( x) saja, maka : dan , sehingga , berubah menjadi ; atau Jadi : Karena V = f( x) ; maka katakanlah h( x). Sehingga juga hanya merupakan fungsi dari x saja

Jadi jika V = f( x), maka Persamaan Diferensial mempunyai faktor pengintegral

Buktikan bahwa
http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740

jika adalah sebuah fungsi y saja , maka factor

12/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

pengintegral untuk

adalah

Buktikan Jika V = f( x, y) atau V = f(z) dimana z=g(x,y) maka factor pengintegral untuk M( x,y) dx + N( x,y) dy = 0 adalah

Contoh S oal : 1. Selesaikan Persamaan Diferensial : Penyelesaian : Disini :

Pers. Dif. Tidak Eksak

Sedangkan

Faktor pengintegral : Persamaan Diferensial (i) dikalikan dengan menjadi

Persamaan Diferensial Eksak PUPD. Berbentuk F ( x,y)=C

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740 13/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

maka R( y) = C PUPD 2. Penyelesaian :

Pers. Dif. Tidak Eksak

Lanjutkan Mencari Vaktor Pengintegral dan PUPD

3. Penyelesaian :

Misalkan z= xy maka

dan

diperoleh

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740

14/15

15/3/2014

hibah24: Persamaan Diferensial Tingkat Satu

Faktor pengintegral Dengan demikian , PD eksaknya adalah

Yang mempunyai penyelesaian

Last modified: Friday, 21 December 2012, 9:54 AM

P3AI- ITS Pusat Pengembangan Pendidikan dan Aktivitas Instruksional You are currently using guest access (Login)

hibah24

http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1740

15/15