Բնական թիւ

Բնական թիւ, այն թիւերն են, որոնք ծագած են առարկաները հաշուելու պահանջով:

Թուաբանագիտական նշանակումը N-ի «գրատախտակի թաւ» ℕ (անգլերէն՝ blackboard bold տառատեսակով է (լատ.՝ naturalis` բնական բառին սկզբնատառով):^[1]
0-ի պատկանելութիւնը նշելու համար երբեմն կ'աւելցուի 0 դասիչը՝^[2] ℕ₀

Բնական թիւերու բազմութեան մէջ կը մտնեն շարք մը ենթաբազմութիւններ, զորօրինակ՝

• Զոյգ թիւեր, որոնք 2-ի կը բաժնուին՝ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ....
• Կենտ թիւեր, որոնք 2-ի չեն բաժնուիր՝ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...
• Պարզ թիւեր, որոնք չունին 1-էն զատ բաժանարար՝ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
• Հարշատ թիւեր, որոնք կը բաժնուին իրենց թուանշաններու գումարին` 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, ...
• Կատարեալ թիւեր, որոնք հաւասար են իրենց իսկ բաժանարարներու գումարին՝ 6, 28, 496, 8128, ... (օրինակ՝ 28=1+2+4+7+14)
• Աքիլեւսի թիւեր, որոնք կը բաժնուին իրենց բոլոր բաժանարարներու քառակուսիներուն՝ 72, 108, 200, 288, 392, ...
• Մերսէնի թիւեր` 2²-1, 2³-1, 2⁵-1,..., 2⁴⁴¹⁹⁷-1, 2⁸⁶²⁴³-1

Բնական թիւերու բազմութեան մէջ գործողութիւններէն երկուքի` գումարման եւ բազմապատկման արդիւնքով կը ստացուին նոյն բազմութեանը պատկանող թիւեր։^[3] Ի տարբերութիւն այդ երկու գործողութիւններու, հանման եւ բաժանման գործողութիւնները միշտ չէ որ պատասխաններ ունին բնական թիւերու բազմութեան մէջ։

Բնական թիւերու բազմութիւնն անվերջ է, քանի որ կրնայ գտնուիլ որեւէ բնական թիւէն մեծ այլ, օրինակ՝ մէկով աւելի բնական թիւ։

Բնական թիւերու սահմանման երկու մօտեցում կայ.

• Թիւեր, որոնք կը ծագին առարկաները համարակալելով. առաջին, երկրորդ, երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ ...;
• Առարկաներու քանակը ցոյց տուող թիւեր․ 0 առարկայ, 1 առարկայ, 2 առարկայ, 3 առարկայ, 4 առարկայ, 5 առարկայ…

Առաջին պարագային բնական թիւերու շարքը կը սկսի մէկէն, երկրորդինը՝ զերոյէն։ Չկայ յստակ կարծիք, թէ ո՞ր մօտեցումն է ճիշդ (այսինքն ՝ զերօն բնակա՞ն թիւ է, թէ ոչ)։ Ռուսական աղբիւրներու ճնշող մեծամասնութիւնը աւանդաբար որդեգրած է առաջին մօտեցումը։ Երկրորդ մօտեցումը, օրինակ, կը կիրառուի Նիքոլա Պորպաքիի աշխատութիւններուն մէջ։

Բոլոր բնական համարներու բազմութիւնը սովորաբար կը նշուի  նշանով։ ISO 31-11 (1992) եւ ISO 80000-2 (2009) միջազգային սթանտարտները կը սահմանեն հետեւեալ խորհրդանիշները ․

• - բնական թիւեր, ներառեալ զերօ։  ...
• - բնական թիւեր առանց զերօյի.  ...

Ռուսական աղբիւրներուն մէջ այս սթանտարտը դեռեւս չեն պահպանուիր անոնց մէջ –որ կը նշէ բնական թիւերը առանց զերօյի, իսկ բնական թիւերը ներառեալ զերօն կը նշուին  եւ այլն։

Փակ գործողութիւններուն (գործողութիւններ, որոնց արդիւնքը նոյնպէս կը պատկանի բնական թիւերու բազմութեան) կը պատկանին հետեւեալ գործողութիւնները․

• գումարում ՝ գումարելի + գումարելի = գումար;
• բազմապատկում . արտադրիչ × արտադրիչ = արտադրեալ;
• աստիճան բարձրացում .  , ուր –ն հիմքն է,  –ն՝ ցուցիչը։ Եթե –ն եւ –ն բնական թիւեր են, ապա արդիւնքը նոյնպէս կ'ըլլայ բնական թիւ։

Յաւելեալ կը դիտարկուի եւս երկու գործողութիւններ (պաշտօնապէս չեն համարուիր գործողութիւններ բնական թիւերու հետ, քանի որ չեն կրնար կատարուիլ բոլոր թուային զոյգերուն հետ)։

• հանում . նուազելի - հանելի = տարբերութիւն։ Այս պարագային նուազելին պէտք է ըլլայ աւելի մեծ, քան՝ հանելին (կամ հաւասար ըլլայ անոր, եթե զերօն կը համարուի բնական թիւ);
• բաժանում մնացորդով . բաժանելի / բաժանարար = (քանորդ, մնացորդ)։ –ն –ի վրայ բաժանումէն ստացուած  քանորդն ու  մնացորդը կը սահմանուին հետեւեալ կերպով , երբ  ... Պէտք է հաշուի առնել, վերջին պայմանի հետեւանքով կ'արգելուի զերօյի վրայ բաժանումը, քանի որ հակառակ պարագային կրնայ ներկայացուիլ որպէս, այսինքն ՝ որեւէ թիւ կրնայ համարուիլ քանորդ, իսկ –ն մնացորդ։

Պէտք է նշել, որ հիմնական գործողութիւններն են գումարումն ու բազմապատկումը։

Տեղափոխական օրէնք

• Գումարելիներու տեղափոխումէն գումարը չի փոխուիր․

• Արտադրիչներու տեղափոխումէն արտադրեալը չի փոխուիր․

Զուգորդական օրէնք

• Քանի մը թիւ գումարելով կարելի է ընտրել աւելի յարմար հերթականութիւն․

• Քանի մը թիւ բազմապատկելով կարելի է ընտրել աւելի յարմար հերթականութիւն․

Բաշխական օրէնք

• Գումարը թիւով բազմապատկելու համար կարելի է այդ թիւով բազմապատկել իւրաքանչիւր գումարելին եւ ստացուած արտադրեալները գումարել:^[4]

• Ամբողջ թիւ