自然數

自然數者，為一、二、三、四等，泰西人以為不言而喻，蓋「自然」之數也。或曰正整數，或曰非負整數，觀乎零為自然數否。若夫零者，自然數耶？非自然數耶？無定案也。今中華人民共和國教育部以零為自然數也。聚之成集，記曰${\displaystyle \mathbb {N} }$。

自然數有四用：一乃數量，曰基數；二乃次序，曰序數；三乃歸納法；四乃實數。此四用之引申，殆盡一切數學，故公理集論亦以自然數起，見無窮公理。自然數之學，曰數論。

自然數者，物之數量也。

有數若干，取物若干。若有二數，則共取二數之和也。從大數取走小數，則得二數之差耳。

有數甲乙，甲個乙相加，曰甲乙之積。以乙減甲，減之又減，至不能減，所減次數，曰商^[一]。

既為不說自明之數，何以定義耶？誠非易事也。今多宗疇人皮亞諾（Peano）及馮諾曼（John von Neumann）之定義。

皮亞諾曰，凡合五公理之集，可作自然數集觀：

• 公理一，有物曰「本」；
• 公理二，凡物必有「後」；
• 公理三，非「本」者，必承他物；
• 公理四，物異，則其後亦異；
• 公理五，此乃歸納法也：有子集合公理一，公理二者，實本集是也。

如是，則以「本」為零，零生一，一生二，二生三，三生萬物。^[二]

溤諾曼曰：「皮亞諾公理善，然則何者為「本」，何者為「後」也？」

遂以空集為「本」，以含己之集與己並（記曰「${\displaystyle \left\{a\right\}\cup a}$」）為「後」。如是，則零為無物之集（${\displaystyle 0=\left\{\right\}}$），一為合零之集（記曰「1=${\displaystyle \left\{0\right\}}$」），二為合「零、一」之集（記曰「2=${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$」），三為含「零、一、二」之集（記曰「3=${\displaystyle \left\{0,1,2\right\}}$」），類推可也。

有問：「不若以二物之集為二，三物之集為三，何以如此費周章？」

答曰：「不知三，則何謂三物之集耶？此乃遁環論證也。吾之法則無此弊然。從此，凡與吾定義之三有一一對應者，可稱為三物之集也。」

物加一者，物後也。

甲（a）加零為己（記曰「a+0=a」），甲加乙（b）後同乎甲乙和之後（記曰「a+(b+1)=(a+b)+1」），合此二者，加法是也。甲乘零為零（記曰「a0=0」），甲乘乙後同乎甲乙之積加甲（記曰「a(b+1)=(ab)+a」），合此二者，乘法是也。

若有數加乙等於甲，則謂之甲減乙（記曰「a-b」）。若有數乘乙等於甲，則謂之乙除甲（記曰「a/b」）。

此四者，當世數學之四則定義也。

殆無一文明不知有數，有南美亞瑪遜皮拉罕人，不知有三四，世所罕見。上古之人曰數，正整數也。古希臘人不以分數為數，只知二數之比。數系擴張，負數、無理數生，歐洲人惡之，曰：「非自然數也。」

零者，無也。古瑪雅人、印度人、中國人，最先用零者也。然印度、中國可有交流？未有定案也。零入歐洲，學者甚惡之，然商人喜其便利。

大食疇人Al-Karaji創歸納法，為證明之妙法。然此法當其可行？苦思良久，皮亞諾曰：「此自然數之性也，宜以公理視之。」遂有皮亞諾公理。

康托爾立集論，創基數，然不甚嚴謹。溤諾曼曰：「若以零為自然數，則可嚴謹定義基數也。」故有溤諾曼定義，亦開零乃自然數之爭。

今疇人各取所需。電腦之學，因記憶體始於零，故喜以零為自然數；數論者，零多不便，故喜以一為自然數之始。

1. ↑ 若以分數觀之，乙除甲之商，乙分之甲也。
2. ↑ 皮亞諾以「本」為一。