Սկալյար արտադրյալ

Սկալյար արտադրյալ (երբեմն՝ ներքին արտադրյալ), գործողություն երկու վեկտորների միջև. արդյունքը թիվ է, (երբ դիտարկվում են վեկտորներ, թվերը հաճախ անվանվում են սկալյարներ) որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է վեկտոր-արտադրիչների երկարություններն ու անկյունը դրանց միջև։ Տրված գործողությանը համապատասխանում է x վեկտորի երկարության բազմապատկումը x վեկտորի վրա y վեկտորի պրոյեկցիայով։ Այս գործողությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես տեղափոխական և գծային ըստ յուրաքանչյուր արտադրիչի։

Սովորաբար օգտագործվում է հետևյալ նշանակումներից մեկը.

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }$,

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$,

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$,

(կամ Դիրակի նշանակումը^[1]), որը հաճախ օգտագործվում է քվանտային մեխանիկայում

${\displaystyle \langle a|b\rangle }$.

Սովորաբար ենթադրվում է, որ սկալյար արտադրյալը որոշված է դրականորեն, այսինքն՝

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0}$ բոլոր a-երի համար (${\displaystyle a\not =0}$).

Հակառակ դեպքում արտադրյալը կոչվում է ինդեֆինիտ կամ անորոշ։

${\displaystyle \mathbb {L} }$ վեկտորական տարածությունում կոմպլեքս թվերի ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (կամ իրական թվերի ${\displaystyle \mathbb {R} }$) դաշտի նկատմամբ սկալյար արտադրյալ կոչվում է ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ֆունկցիան, որը որոշված է ${\displaystyle x,y\in \mathbb {L} }$ ցանկացած տարրերի համար և ընդունում է արժեքներ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ - ում (կամ ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ում)։ Ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմաններին.

1. ${\displaystyle \mathbb {L} }$ տարածության ցանկացած երեք ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ և ${\displaystyle y}$ տարրերի և ${\displaystyle \mathbb {C} }$-ի (կամ ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ի) ցանկացած ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ թվերի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը. ${\displaystyle \langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle }$;
2. ցանկացած ${\displaystyle x}$ և ${\displaystyle y}$-ի համար ճիշտ է ${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}$ հավասարությունը;
3. ցանկացած ${\displaystyle x}$-ի համար ունենք ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$, ընդ որում

${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ միայն ${\displaystyle x=0}$ դեպքում։

n-աչափ իրական տարածությունում a = [a₁, a₂, ..., a_n] և b = [b₁, b₂, ..., b_n] երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը սահմանվում է ինչպես.^[2]

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$:

Օրինակ, եռաչափ տարածությունում [1, 3, −5] և [4, −2, −1] վեկտորների արտադրյալը կհաշվարկվի այսպես.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}$

a = [a₁, a₂, ..., a_n] և b = [b₁, b₂, ..., b_n] կոմպլեքս վեկտորների համար սկալյար արտադրյալը կլինի.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}}$:

Օրինակ, ${\displaystyle [1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i}$

== Օրինակներ ==AB վեկտորի և BC վեկտորի սկալյար արտադրյալ

• Կոսինուսների թեորեմը հեշտությամբ արտածվում է սկալյար արտադրյալի կիրառմամբ.

${\displaystyle |BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}}$

• Անկյունը վեկտորների միջև.

  ${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}}$

• Վեկտորների կազմած անկյան գնահատումը.

  ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}$ բանաձևում նշանը որոշվում է միայն անկյան կոսինուսով (նորմաները միշտ դրական են)։ Այդ պատճառով սկալյար արտադրյալը > 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը սուր է, և < 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը բութ է։

• ${\displaystyle \mathbf {a} }$ վեկտորի պրոյեկցիան ${\displaystyle \mathbf {e} }$ միավոր վեկտորով սահմանված ուղղության վրա.

  ${\displaystyle a_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}}$, քանի որ ${\displaystyle |\mathbf {e} |=1}$

• ${\displaystyle \mathbf {a} }$ և ${\displaystyle \mathbf {b} }$ վեկտորների օրթոգոնալության (ուղղահայացության) պայմանը.

${\displaystyle \mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0}$

• ${\displaystyle \mathbf {a} \ }$ և ${\displaystyle \mathbf {b} \ }$ երկու վեկտորներով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է.

${\displaystyle {\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\ }$

Գծային տարածության ցանկացած ${\displaystyle \mathbf {x} }$ և ${\displaystyle \mathbf {y} }$ էլեմենտների համար տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը [1] Արխիվացված 2009-02-27 Wayback Machine

${\displaystyle \vert \langle x,y\rangle \vert ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle }$:

Սկալյար արտադրյալը ներմուծվել է Ուիլյամ Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին^[3], վեկտորական արտադրյալի հետ միաժամանակ, կապված քվատերնիոնների հետ, համապատասխանաբար ինչպես երկու այնպիսի քվատերնիոնների արտադրյալի սկալյար և վեկտորական մասեր, որոնց սկալյար մասը հավասար է զրոյի^[4]։

• Խառն արտադրյալ
• Հիլբերտյան տարածություն
• Վեկտորական արտադրյալ

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Սկալյար արտադրյալ» հոդվածին։

Բառարաններ և հանրագիտարաններ Մեծ նորվեգական Չափորոշչային վերահսկողություն GND: 4181619-5 · Microsoft: 32900221